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BOOLE Y EL ALGEBRA DE LA LOGICA

1. ¿Tuvo Boole una concepción psicologista de la lógica?

2. El lenguaje algebraico y sus interpretaciones lógicas

2.1. Lógica de las proposiciones primarias

2.2. Lógica de las proposiciones secundarias

3. El concepto de consecuencia lógica en la lógica de Boole

3.1. El sistema axiomático

3.2. Principios fundamentales del razonamiento simbólico

4. Otros autores en la tradición del álgebra de la lógica. Peirce y el

descubrimiento de los cuantificadores

4.1. Algunos autores en la tradición booleana

4.2. Peirce y los cuantificadores

5. Conclusiones

6. Referencias bibliográficas

1. ¿Tuvo Boole una concepción psicologista de la lógica?

Sobre Boole han recaído diversos calificativos que en algunos casos y, por lo

menos, bajo una primera impresión son difícilmente compatibles. Por un lado, Boole es

uno de los pioneros de la lógica matemática actual. Además, Boole tiene una

concepción psicologista de la lógica. En primera instancia no parecen compatibles estas

dos calificaciones, pero puede ocurrir que no sean justas con la aportación y obra

booleana y, si lo son, puede que la incompatibilidad sea aparente. En este apartado

trataremos de dar una respuesta sobre esta prima facie incompatibilidad.

Asumiremos que efectivamente Boole es uno de los pioneros de la lógica

matemática tal y como se entiende ésa en la actualidad. En apartados sucesivos de este

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trabajo trataremos de esclarecer hasta dónde es justo este carácter pionero atribuido a la

lógica de Boole. Nos centraremos, pues, en el supuesto psicologismo.

Antes de tomar alguna decisión sobre si es adecuado calificar a Boole como

psicologista debemos delimitar el significado asociado con dicha expresión. La tesis

básica del psicologismo es que las leyes de la lógica son generalizaciones empíricas

establecidas a partir de experiencias subjetivas. De esta forma, las leyes de la lógica

tienen un carácter descriptivo de aquellas experiencias. Consecuentemente también, la

lógica constituye un conocimiento de marcado carácter a posteriori.1

Antes de pasar a analizar las afirmaciones de Boole acerca de la naturaleza de

la lógica, a modo de ilustración, podemos resumir la crítica que Frege hace a la

perspectiva psicologista de la lógica para ver que esta última, tal y como la entiende

Frege, se ajusta a la caracterización que hemos propuesto:

‘Pero nada significaría comprender peor la matemática que

someterla al dominio de la psicología. Ni la lógica ni la matemática

tienen como tarea investigar las mentes y el contenido de la conciencia

del que el hombre individual es portador.’ 2 *

Frege no acepta la lógica como fundamentada en contenidos de conciencia,

que él denomina ‘representaciones’, ya que la lógica se convertiría en una disciplina que

se ocupa de lo subjetivo. Esta es la característica, según Frege, propia de las

representaciones. Nada más lejos de la concepción fregeana de la lógica. Frege señala

que la lógica tiene la tarea de encontrar las leyes del ser verdad y afirma que si

pensamos que la lógica trata del proceso mental y de las leyes psicológicas de acuerdo

con las cuales aquél tiene lugar entonces la verdad no detenta el lugar que le

corresponde.3 Frege rechaza el psicologismo ya que las leyes del ser verdad no se

encuentran en supuestas leyes psicológicas. Valga esta breve, quizás demasiado breve,

caracterización de una postura antipsicologista para pasar a continuación a analizar la

concepción general con respecto a la lógica del propio Boole.

1 En esta caracterización del psicologismo hemos conjuntado aspectos tanto metodológicos como epistemológicos. Véase Richards (1980) para una caracterización desglosada del psicologismo. 2 Frege (191.8), p.80. * En lo sucesivo siempre que hagamos referencia a páginas de cualquier obra lo haremos de la versión castellana, caso de que la haya según las referencias bibliográficas al final de este trabajo. 3 Ibid., p.50.

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Cuando uno lee tanto Boole (1847) como Boole (1854) no ha lugar a dudas

que las consideraciones generales acerca de la lógica llevan un ropaje psicologista y/o

mentalista:

‘Lo que hace posible a la Lógica es la existencia en nuestras

mentes de nociones generales -nuestra capacidad de concebir una clase

y designar a sus miembros individuales por un nombre común.’4

De esta forma la lógica esta relacionada con la teoría del lenguaje: los nombres

comunes constituyen una vía lingüística de expresión de las nociones mentales alojadas

en nuestra mente.

‘Suponiendo la noción de una clase, somos capaces de

separar por un acto mental, de cualquier colección concebible de

objetos, los que pertenecen a la clase dada, y contemplarlos aparte

del resto. Podemos concebir que un acto de elección tal, u otro

similar, se repita. El grupo de individuos que resta bajo

consideración puede limitarse aún más, seleccionando

mentalmente entre ellos los que pertenecen a alguna otra clase

reconocida, a la par que a la anteriormente contemplada. Y este

proceso puede ser repetido con otros elementos de distinción, hasta

que lleguemos a un individuo que posea todos los caracteres

distintivos tomados en cuenta, y sea miembro al mismo tiempo, de

toda clase que hayamos enunciado.’ 5

Esta es la descripción que Boole nos proporciona de los actos mentales de los

que la lógica debe ocuparse. Supuesta una clase de individuos podemos seleccionar una

subclase mediante -un acto mental. Esta operación es repetible. Si tenemos la clase de

los seres humanos, podemos, mediante un acto mental, hacer una selección de los

europeos. Posteriormente podemos seleccionar los alemanes, así, dice Boole, hasta que

lleguemos a un individuo. Estos actos mentales tienen su reflejo lingüístico cuando

4 Boole (1847), p.42. 5 Ibid., p.43.

4

acumulamos epítetos descriptivos: se trata de un ser humano europeo y alemán.

Básicamente la lógica se ocupa de estos actos mentales, expresando los mismos en un

lenguaje lógico-algebráico, y de las leyes a las que están sujetos.

‘El propósito del siguiente tratado es investigar las leyes

fundamentales de aquellas operaciones de la mente mediante las

cuales se lleva a cabo el razonamiento: expresarlas en el lenguaje

simbólico de un cálculo, y establecer sobre esa base la ciencia de la

Lógica y construir su método.’ 6

En este párrafo aparecen ya diferentes características ligadas a la lógica y que,

como hemos señalado al principio, pudieran resultar contrapuestas entre sí. Por un lado,

se reafirman las tesis señaladas en los párrafos citados más arriba y, por otra parte, se

limita el campo de estudio a la actividad del razonamiento, insistiendo en el carácter

simbólico del lenguaje de representación de los procesos mentales, además de

incorporar una idea relativamente novedosa:7 la lógica adquiere forma de cálculo. La

contraposición a la que hacíamos referencia es la siguiente: la lógica tiene como objeto

determinados procesos y actos mentales pero, en su despliegue, recurre a un lenguaje

simbólico propio de un cálculo. ¿No es factible pensar que ese supuesto objeto de la

lógica sea, cuanto menos, adulterado cuando esas operaciones mentales y leyes

fundamentales de las mismas son representadas en el lenguaje simbólico de un cálculo?

Además, ¿se ajustan los preceptos metodológico-epistemológicos propios del

despliegue del cálculo booleano a los aspectos metodológico-epistemológicos que uno

asocia con toda disciplina que pueda llamarse psicológica? Una respuesta a estas

preguntas resulta dificultosa antes de conocer en detalle la lógica booleana. En cualquier

caso, podemos adelantar que, desde nuestro punto de vista, no caben identificar en la

lógica de Boole aspectos que nos llevaran a reconocer su supuesto psicologismo. En

este sentido estamos de acuerdo con la valoración de Kneale cuando afirma:

‘La primera ruptura con la confusa tradición fue dada por

Bolzano (filósofo-matemático él mismo), pero fue la obra de Boole

la que mostró con claridad por vía de ejemplo que la lógica podría

6 Boole (1854), p. 11. 7 Decimos 'relativamente novedosa' ya que cabe encontrar antecedentes de estas ideas de Boole. Un ejemplo claro lo proporciona Leibniz y su calculus ratiocinator. Sobre la relación Leibniz/Boole, véase Lewis (1918).

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ser provechosamente estudiada sin referencia alguna a los procesos

de nuestras mentes. Boole creía, sin duda alguna, estarse

ocupando de las leyes del pensamiento en algún sentido

psicológico de esa ambigua expresión, pero de lo que se ocupaba

en realidad era de algunas de las leyes más generales de lo

pensable.’8

Es indudable, a partir de los textos, que se reconoce un psicologismo de

palabra en los textos booleanos, pero de hecho es difícil identificar ese psicologismo.

Una corroboración de lo señalado puede ser que la tradición booleana, en general,

heredó el sistema de Boole y no tanto sus ropajes psicologistas. De cualquier manera,

nada de lo apuntado tendrá sentido mientras no hagamos una descripción de la lógica

que nos ocupa. Antes de realizarlo, no queremos pasar por alto una de las afirmaciones

booleanas que más comentarios ha generado al tratar el tema del psicologismo:9

‘Por otra parte, el conocimiento de las leyes de la mente

no requiere como fundamento una colección extensa de

observaciones. La verdad general se ve en el caso particular, y no

se confirma por la repetición de casos particulares...

En conexión con esta verdad se puede ver la no menos

importante de que nuestro conocimiento de las leyes sobre las que

reposa la ciencia de las potencias intelectuales, cualquiera que sea

su alcance o su deficiencia, no es conocimiento probable. Pues no

sólo vemos en el ejemplo particular la verdad general, sino que la

vemos como una verdad cierta -una verdad referente a la cual

nuestra confianza no irá aumentando a medida que se incremente

la experiencia de sus verificaciones prácticas.’10

Básicamente son dos las ideas que Boole nos presenta en relación a la

naturaleza de las leyes de la mente (laws of the mind), que constituyen el objeto de la

8 Kneale (1948), p.174. El énfasis en las últimas líneas es nuestro. La traducción también. La misma valoración se reproduce, casi literalmente, en Kneale-Kneale (1962), p.376. 9 Por ejemplo, Grattan-Guiness (1982), pp.34-41 y Richards (1980), pp.29-30. 10 Boole (1854), p.1 3.

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lógica. En primer lugar, no accedemos a las leyes de la mente inductivamente ya que la

verdad general que siempre es una ley de la mente se ve en un caso particular. Además,

una ley de la mente es una verdad cierta (certain truth). Estas dos características

contrastan, según el propio Boole, con las características asociadas con las leyes de la

naturaleza. Estas últimas son probables, por oposición a ciertas, y son o obtenidas

inductivamente o establecidas a modo de hipótesis. No hay, ninguna forma de

compatibilizar las leyes de la mente con las leyes de la naturaleza, ya que la dicotomía

probable/cierto las separa ineludiblemente. Consideramos que si el mecanismo de

aprehensión de las leyes lógicas -aprehensión clara de lo universal en un caso particular-

ya aleja la lógica booleana de las concepciones psicologistas de la lógica, el carácter

cierto de dichas leyes lógicas abre una brecha infranqueable entre una concepción

psicologista de la lógica y la concepción booleana de la lógica. Realmente Boole está

comparando las leyes de la naturaleza con las leyes de la mente. Lo que ocurre es que

una concepción psicologista atribuye a las leyes de la lógica lo que Boole atribuye a las

leyes de la naturaleza. Por ejemplo, Mill considera que la lógica es una colección de

reglas del pensamiento ya que se basa sobre el mayor número de experiencias posibles.

Estas reglas tienen el valor que tienen precisamente por estar sustentadas en la

experiencia.11 En la perspectiva milliana difícilmente cabe atribuir a las leyes de la

lógica el carácter de verdades ciertas.

Parece claro, pues, que Boole presenta una caracterización de las leyes de la

mente que no parece ajustarse a los preceptos metodológicos que una concepción

psicologista de aquéllas implica. Otra vía que confirma esta interpretación sobre el

pretendido psicologismo booleano vendrá dada cuando analicemos el trabajo de Boole

‘tal cual’ independientemente de sus expresiones más o menos acertadas sobre lo que

‘de hecho’ él hace.

En cualquier caso, no estaría de más dilucidar en qué consiste esa aprehensión

de lo universal a partir de lo particular que Boole plantea con respecto a las leyes de la

mente y que precisamente otorga a aquéllas las mencionadas ‘características no-

psicologistas’. Una vez más la mejor vía es ver cómo Boole distingue las leyes de la

naturaleza de las leyes de la mente, de tal forma que, a su vez, se hace evidente su

perspectiva no psicologista de la lógica. En determinado momento califica las

proposiciones que expresan las leyes del pensamiento como verdades necesarias,

11 Richards (1980), p.28.

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equiparables a las proposiciones generales de la aritmética.12 Posteriormente señala el

carácter no descriptivo de las leyes del pensamiento o leyes matemáticas del

razonamiento, separando una vez más su concepción de la lógica de las concepciones

psicologistas. Su argumento discurre de la siguiente forma: las leyes de la naturaleza

describen la naturaleza, valga la expresión, exterior. Supongamos que las leyes del

razonamiento describen los razonamientos que la gente realiza. En cierto sentido

podemos pensar que hay una analogía, metodológica si se quiere. Esta analogía es

aparente. Es obvio que la gente razona sin ajustarse a las leyes del razonamiento.

También cabe decir que en ocasiones la naturaleza no se ajusta a las leyes de la

naturaleza. Con lo cual el símil continúa y cabe pensar en una convergencia

metodológica entre el establecimiento de las leyes de la naturaleza y del razonamiento,

habida cuenta que este paralelismo alimentaría una concepción psicologista de la lógica.

El problema es que en el caso de las leyes de la naturaleza el mencionado desajuste está

en las leyes y no en la naturaleza misma, es decir, cuando hay desajuste o se pasa a

nuevas concepciones o leyes de tal, forma que el ajuste sea reestablecido o simplemente

una observación más detenida concluye el carácter aparente del desajuste. Si, como

hemos supuesto, las leyes de pensamiento son descripciones de una realidad, ante la

existencia evidente de desajustes entre la realidad y su descripción debemos,

metodológicamente hablando, obrar de la misma forma que lo hacemos con las leyes de

la naturaleza. Esta no es la solución de Boole. Contrariamente, en el caso de las leyes

del pensamiento el desajuste no se resuelve de la misma forma La razón es que para

Boole las leyes del pensamiento no tienen un carácter descriptivo. Las leyes del

razonamiento son leyes del razonamiento correcto (right reasoning). Se pueden violar

las leyes de la inferencia correcta, pero no por ello dejan de existir. La ley del

razonamiento convive con su trasgresión. Boole parece distinguir entre las leyes, ahora,

intelectuales dos tipos. Por un lado, están las leyes establecidas en la lógica. Por otro,

nos encontramos con aquellas leyes que causan la ruptura. Las primeras marcan el

camino del razonamiento correcto, las segundas abren las puertas a la trasgresión.13

Quizás las segundas sí sean susceptibles de ser establecidas como tales siguiendo la

metodología propia para el establecimiento de las leyes naturales. Se trata de una

hipótesis, en cualquier caso, independiente de lo que querernos mostrar; a saber, el

carácter no psicologista de la concepción booleana de la lógica. El carácter prescriptivo-

12 Boole (1854), p.357. 13 Ibid., pp.360-361.

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normativo de la lógica es una prueba más. Las leyes del pensamiento junto con las leyes

de la matemática constituyen para Boole verdades necesarias. En el esquema de Boole

la lógica aparece ligada a la matemática mientras que una concepción psicologista de la

lógica relacionaría ésta con las leyes de la naturaleza.14

Para concluir, volvamos a recordar el texto de los Kneale mencionado

anteriormente Seguimos estando de acuerdo con su mensaje, pero quizás matizaríamos

diciendo que en Boole no hay ningún sentido psicológico en relación a las leyes del

pensamiento Lo que sí hay es un modo psicológico de decir las cosas.

Nuestra única conclusión es, pues, que no hay psicologismo en Boole.

2. El lenguaje algebráico y sus interpretaciones lógicas15

La lógica en la obra de Boole se despliega en un lenguaje algebráico. En este

lenguaje tenemos los siguientes signos (y: o símbolos, según Boole):

(a) Símbolos literales: x, y, z....

(b) Signos de operaciones: +, x,-.

(c) El signo de identidad: =.16

(d) dos símbolos literales constantes: 1, 0 (universo del discurso y nada)17

(e) la operación de complementariedad 1-.18

(f) El símbolo ‘υ’

En Boole (1847) el lenguaje utilizado es básicamente el mismo, pero nos gustaría destacar un

aspecto. En su primera obra Boole muestra mucha cautela con respecto a la operación diferencia (-).

Como posteriormente veremos, en contraposición a lo que ocurre en Boole (1854), al presentar los 14 Ibid., p-358. 15 A partir de ahora seguiremos Boole (1854), pero aprovecharemos todas las oportunidades que creamos necesarias para referirnos a Boole (1847). Como regla general utilizaremos una letra más pequeña al comentar Boole (1847). Si bien consideramos bastante correcta la valoración con respecto a Boole (1854) por la que se señala que no hay novedades esenciales en esta obra con respecto a Boole (1847) (por ejemplo, véase Kneale-Kneale (1962), pp. 375-376), sí creemos conveniente utilizar como hilo conductor Boole (1854) ya que la presentación de sus ideas es mas ordenada y pausada, mejorando deficiencias de detalle tan habituales en Boole (1847) (estas deficiencias han llevado a valoraciones comparativamente negativas de Boole frente a, por ejemplo, Aristóteles. Véase Corcoran-Wood (1980), p.634)). Hemos dicho que no hay novedades esenciales, pero el lector valorará la importancia que tienen su nueva 'lectura' de la lógica de los 'conectores' y la presentación de la teoría de probabilidades en Boole (1854). Quizás entonces se llegue a una nueva valoración de la transición Booleana entre sus dos obras más importantes. En lo que a nuestro trabajo atañe, dejaremos de lado todo lo relacionado con la lógica de probabilidades, (Véase Boole (1854), pp. 215-280). Para un estudio detallado de esta teoría, véase Hailperin (1976) (las referencias a esta obra se hacen sobre la reedición de 1986). 16 Boole (1854), p.31. 17 Ibid., p.47. 18 Ibid., p.48.

9

‘axiomas’ de la lógica no hay, aparición alguna del símbolo ‘-’. En los capítulos posteriores las

apariciones del signo ‘-’ se producen en expresiones como ‘1-x’, ‘1-y’ etc. Es decir como parte del

símbolo utilizado para representar la complementariedad. Aunque bien es verdad que sí aparece ‘-’ en

algunos momentos,19 parece que Boole muestra muchas más dudas con respecto a la operación diferencia

en Boole (1847) que en Boole (1854).

Sobre este alfabeto se construyen las expresiones del lenguaje, siguiendo las

reglas de formación que definen el lenguaje algebráico, reglas que Boole no explicita.

No es fácil establecer por qué Boole eligió este lenguaje para el desarrollo de

la lógica. Leibniz junto con otros autores fue un antecedente en este sentido, pero

tampoco cabe utilizar este hecho como una justificación suficiente de la propuesta que

nos ocupa. Boole afirma que la lógica se ocupa de las relaciones entre clases. La

concepción de las clases está sujeta a leyes, siendo estas últimas susceptibles de ser

expresadas matemáticamente.20 La perspectiva totalmente extensional acerca de los

conceptos (nuestras concepciones de las clases) facilita las cosas, pero lo realmente

central en la algebrización de la lógica es el descubrimiento de isomorfia entre las leyes

formales del pensamiento de las que se ocupa la lógica y las leyes de los números 0 y 1.

La apreciación de esta isomorfia es la clave. El lenguaje ya disponible para los números

sirve también para la lógica. El lenguaje algebraico es susceptible de diferentes

interpretaciones, algunas de las cuales son lógicas.21

Boole plantea dos interpretaciones lógicas del lenguaje del álgebra. Estas dos

interpretaciones distintas se desarrollan sobre interpretaciones distintas de los símbolos

del alfabeto. La primera interpretación nos proporciona la lógica de las proposiciones

primarias (o lógica de clases). La otra es la lógica de las proposiciones secundarias (o

lógica de proposiciones/enunciados sin más o, si se prefiere, lógica de conectores).22

Para Boole toda afirmación lógica expresa o una relación entre clases o una relación

entre proposiciones. En el primer caso estamos en la lógica de las proposiciones

primarias, mientras que en el segundo nos movemos en la lógica de las proposiciones

secundarias. Un síntoma (no siempre suficiente) de que nos encontramos ante una

proposición secundaria es la presencia de conectores En cualquier caso, la lógica de

19 Por ejemplo, Boole (1847), p. 74 y p. 83. En la pagina 47 aparece en estrecha relación con la complementariedad, no así en la página 83. 20 Boole (1848). 21 Boole (1847), pp.41-42, Boole (1854), p.52, punto 4. 22 Boole (1854), p.51, proposición 1.

10

clases y la lógica de enunciados se expresan en el mismo lenguaje y están sometidas a

las mismas leyes.

2.1. Lógica de las proposiciones primarias

En la lógica de las proposiciones primarias los símbolos literales representan

clases. ‘x’ representa, por ejemplo, todos los hombres o la clase de los hombres. Entre

las clases se incluyen las clases con un único elemento, además de las clases denotadas

por los términos ‘nada’ y ‘universo’ es decir, las clases compuestas de ‘ningún ser’ y de

‘todos los seres’ respectivamente.23 La inclusión de estos tres últimos casos si bien

tienen antecedentes, no por ello dejó de ser fuente de controversias. Para las dos últimas

clases Boole reserva los símbolos ‘0’ y ‘1’. Los símbolos ‘x’, ‘y’, etc. representan clases

que tienen por casos límites precisamente las clases 0 y 1.

El símbolo ‘υ’, uno de los grandes problemas del álgebra de Boole, se

introduce en relación a expresiones como ‘algunos seres mortales...’. Es decir, ‘υ’ es el

símbolo que Boole utiliza para expresar subconjuntos de una clase determinada. Por

ejemplo, ‘todos los hombres son (algunos) seres mortales’ se representa en el álgebra,

de Boole como ‘y = υx’ donde ‘y’ representa la clase de los hombres y ‘x’ la clase de

los mortales.24

En Boole (1847) se afirma que ‘1’ representa el Universo, y entenderemos a éste como

comprendiendo toda clase concebible de objetos. Más adelante se nos dice que 1 es el dominio sobre el

que se sobreentiende que se hacen las selecciones de individuos representadas por ‘x’ , ‘y’ …25 Hailperin

señala que hay una variación en el ‘significado’ de ‘1’ de Boole (1847) a Boole (1854). Añade que sólo

en Boole (1854) se tiene un concepto de universo del discurso a ‘la De Morgan’, es decir un universo

cambiante y limitado. En Boole (1847) el universo del discurso es absoluto.26 Una clara manifestación de

esta variación la encontramos en las siguientes palabras de Boole al hacer referencia a ‘1’ en el contexto

de las proposiciones secundarias: ‘Como en las proposiciones primarias el universo del discurso está

limitado a veces a una pequeña porción del universo efectivo de las cosas, y es a veces coextensivo con

este universo,...’27 En cualquier caso, cierta cautela es necesaria en relación a la apreciación de Hailperin,

si tenemos en cuenta lo que Boole señala a continuación: ‘así como su exacta interpretación, en el sistema

primario es el universo efectivamente existente.’

23 Ibid., p.32. 24 Ibid., p.58. 25 Boole (1847), p.53. 26 Hailperíng (1976), p.67 y p. 115. 27 Boole (1854), p.149.

11

El símbolo ‘υ’ se introduce al ‘formalizar’ el enunciado particular afirmativo aristotélico. Si

queremos representar ‘algunos X son Y’, tendremos que recurrir al símbolo ‘υ’, esto es: υ = xy o, en

lectura no formal, la intersección de las clases x e y es una clase indefinida no vacía. Posteriormente

utiliza sistemáticamente ‘υ’ para formalizar expresiones como ‘algunos X...’: υx=…28

Los símbolos de operación tiene la siguiente interpretación en la lógica de las

proposiciones primarias. El producto lógico representa la intersección de dos clases, es

decir, la clase con los elementos comunes a las dos clases. ‘Así, si x aisladamente

representa ‘cosas blancas’ e y ‘ovejas’, hagamos que xy represente ‘ovejas blancas’ ‘.29

Con respecto a la suma lógica Boole nos dice: A este fin usamos las

conjunciones ‘y’, ‘o’, etc. ‘Árboles y minerales’ y ‘áridas montañas o valles fértiles’,

son ejemplos de este tipo. En rigor, las palabras ‘y’, ‘o’ interpuestas entre los términos

descriptivos de dos o más clases de objetos, implican que tales clases son

completamente distintas, de tal modo que ningún miembro de una se halla en la otra.

En este y en todos los demás respectos las palabras ‘y’, ‘o’ son análogas al signo + en

Algebra y sus leyes son idénticas.’30 Hay que destacar el carácter exclusivo de la suma

en el álgebra booleana: la clase de los números que son mayores que 30 o que son pares

no puede representarse mediante ‘x+y’.

Con respecto al signo ‘-’ Boole señala: ‘Esta operación la expresamos en el

lenguaje común mediante el signo excepto, como ‘todos los hombres excepto los

asiáticos’, ‘todos los estados excepto las monarquías’.’31 La aplicación de la operación

diferencia a dos clases está sometida a una restricción: sólo tiene sentido ‘x-y’ cuando y

está contenido totalmente en x.32 No tiene sentido representar ‘los números mayores que

30 excepto los números pares’ como ‘x-y’, ya que la condición no se cumple.

La operación de complementariedad la introduce Boole en los siguientes

términos: ‘si x representa cualquier clase de objetos, 1-x representará entonces la clase

contraría o suplementaría de objetos, es decir, la clase que contenga todos los objetos

que no se hallan en la clase x.’33

En Boole (1847), en general, al expresar las mismas ideas que en Boole (1854) hay una

variación terminológica ya que se distingue entre ‘X’ y ‘x’. En cualquier caso, hay cierta confusión en el

28 Boole (1847), pp.61-62. 29 Boole (1854), p.32. 30 Ibid., p.36. El énfasis es nuestro. 31 Ibid., p.36. 32 Ibid., p.84. 33 Ibis., p.48.

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uso de estos signos. En algunas ocasiones ‘X’ se utiliza (como nombre) para hacer referencia a los

individuos que son miembros de x, entendiendo x como una clase o como la operación mental que

selecciona determinados individuos del universo 1.34 En otras ocasiones X representa la propia clase. Por

ejemplo, con respecto a la operación de complementariedad Boole nos dice: La clase X y la clase no-X

constituyen el universo. Pero el universo es 1, y la clase X está determinada por el símbolo x; por tanto, la

clase no-X estará determinada por el símbolo 1-x.’35 En Boole (1854), en lo que a la lógica de las

proposiciones primarias se refiere, se evita el uso de ‘X’, ‘Y’, etc.

Básicamente estas son las interpretaciones de los símbolos del álgebra que

Boole proporciona para el, caso de las lógicas primarias. Pasemos a la lógica de las

proposiciones secundarias.

2.2. Lógica de las proposiciones secundarias

Boole distingue entre los símbolos ‘X’ y ‘x’. Mediante ‘X’ designamos una

proposición de tal forma que podemos decir cosas tales como: X es verdadera (falsa).

‘x’ denota el tiempo para el cual la proposición X es verdadera. En palabras de Boole:

‘llamaremos a x el símbolo representativo de la proposición X.’36 0 representa nada con

referencia al tiempo, mientras que 1 representa la totalidad del tiempo, a la cual se

supone que el discurso de alguna manera se refiere. También, en este caso, tiene Boole

una concepción limitada del universo del discurso: ‘...del mismo modo en las

proposiciones secundarias el universo del discurso puede estar limitado a un sólo día o

al momento que pasa, o puede comprender la duración total del tiempo.’37 Boole

posteriormente identifica el universo del discurso con lo eterno, caso de hacer una

interpretación adecuada (proper). No entendemos qué quiere decir mediante dicha

expresión.

En Boole (1847) el planteamiento general es muy diferente al de Boole (1854). No hay

consideraciones relativas al tiempo. 1 es el conjunto de circunstancias concebibles. x, y, z,... denotan

operaciones mentales que seleccionan, de entre las circunstancias en 1, aquellas en las que X, Y, Z,...

respectivamente son verdaderas. Aquí se produce un desajuste en relación a la lógica de clases que tiene

que ver con el uso que Boole hace de ‘1’. Si decimos ‘x=1’, estamos expresando, según Boole, que X es

verdadera pero, a su vez, puede entenderse que x selecciona todas las circunstancias concebibles. ¿Son

34 Boole (1847), p.53. 35 Ibid., p.60. 36 Boole (1854), p.147. 37 Ibid., p.149.

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equivalentes estas dos ideas? Hay ambigüedad ya que 1 es por un lado todas las circunstancias

concebibles y por otro, cuando afirmamos que x=1, resulta que decimos que todas las circunstancias

concebibles pasan por la verdad de X, como si dejáramos de lado las circunstancias concebibles en las

que X es falsa. Con lo cual 1 depende de X. En la lógica de clases no hay esta ambigüedad. 1 es el

universo y si decimos que x=1, entonces estamos diciendo que x selecciona todos los elementos del

universo. 1 es independiente de las elecciones que hagamos mediante x, y,... En la lógica de las

proposiciones secundarias x selecciona circunstancias donde X es verdadero, con lo cual el universo

depende de alguna manera de la proposición X. Hailperin, en su interpretación de estos problemas,

resuelve la ambigüedad distinguiendo entre el universo 1 y una función universo 1 (X,Y,...). Supongamos

que hay dos proposiciones X, Y. Si X es verdadera e Y es falsa, entonces 1(X,Y) nos da como valor un

conjunto con el único elemento (v,f) ((verdadero, falso)). De esta manera, según Hailperin cuando Boole

expresa x=1, realmente quiere expresar:

x1(X,...)=11(X,...), donde se distinguen ‘1’ y ‘l(X,...)’. En 1 están (para el caso de dos

proposiciones) como elementos los pares (v,v), (v,f), (f,v) y (f,f), es decir todas las circunstancias

concebibles, mientras que 1(X,...) es la función que antes hemos señalado.38 Dejamos de lado la cuestión

sobre la adecuación de la interpretación de Hailperin con respecto a la obra de Boole. Lo que si parece

claro es que Boole buscó un cambio radical en relación a su planteamiento para la lógica de las

proposiciones secundarias. Quizás este cambio esté relacionado con el desajuste arriba señalado en

relación a Boole (1847).

En la lógica de las proposiciones secundarias también disponemos del símbolo

‘υ’. υ representa un tiempo indefinido y cuando hacemos uso de dicho símbolo en

expresiones como ‘υx’ debemos entender que ‘υx’ representa la totalidad, o una parte

indefinida o ninguna parte del tiempo x. Hay que destacar que υ puede ser la clase

vacía.

Tenemos que señalar que en Boole (1847), en el capítulo dedicado a la ‘lógica de conectores’,

Boole no hace uso de ‘υ’. Pueden compararse las formalizaciones que Boole propone para el condicional

en las dos obras (ambas han sido expuestas antes). También hay que señalar que Boole formaliza la

proposición primaria universal afirmativa y la proposición secundaria condicional de la misma manera.

De hecho en Boole (1854) el condicional se interpreta como universal afirmativa. Una cuestión

interesante consiste en ver si, por ejemplo, estas dos formalizaciones para la universal afirmativa (todo Y

es X son equivalentes: y= υx, y(1-x)=0. Boole parece afirmar la equivalencia de ambas expresiones. Esta

es una cuestión interesante si nos ocupamos de la cuestión clásica de la carga existencial (del sujeto) de la

proposición universal afirmativa. Teniendo en cuenta que υ representa una clase indefinida no-vacía

parece que Boole interpreta la universal afirmativa con carga existencial sobre el sujeto. Pero si tenemos

en cuenta la afirmación booleana con respecto a la equivalencia de las dos expresiones, entonces parece

38 Hailperin (1976), pp. 182-183.

14

que no está tan clara la cuestión de la carga existencial. La razón es la siguiente: si seguirnos los métodos

que serán expuestos en el apartado siguiente podemos efectuar la siguiente transformación:

Si y(1-x)=0, entonces y = 0/1-x = 0(1-x) + 0/0x = υx. Este ‘υ’ que Boole introduce es un

sustituto de 0/0 que corno el propio Boole señala puede ser ‘alguno, ninguno o todo’. El ‘ninguno’

permite pensar que Boole consideraba la proposición universal afirmativa sin carga existencial, tal y

como en nuestros días es habitual.39

A partir de estos supuestos es fácil ver, teniendo en cuenta lo señalado en

relación a las proposiciones primarias, cuál es la interpretación de las diferentes

operaciones ya que, como Halipering pone de manifiesto, la concepción ‘temporal’ de

las proposiciones secundarias hace que éstas sean consideradas proposiciones primarias:

una proposición secundaria es un conjunto de unidades temporales:

La operación producto, xy, selecciona los instantes temporales en los que X e

Y son ambas verdaderas.

x+y es el agregado de aquellas porciones de tiempo en las que X e Y son

verdaderas, estando estos tiempos enteramente separados uno del otro.

x-y es el resto del tiempo que queda cuando quitamos de la porción del tiempo

para la que X es verdadera, aquella parte (por suposición) incluida para la que Y es

verdadera.

Finalmente, tenemos la expresión ‘x=y’ utilizada para representar que las

proposiciones X e Y son verdaderas en las mismas porciones temporales.

Bajo esta interpretación de los símbolos del lenguaje, para expresar la

proposición ‘la proposición X es verdadera’ utilizaremos la ecuación ‘x=1’, ya que

‘tenemos que expresar aquí que dentro de aquellos límites de tiempo a los que se limita

el asunto de nuestro discurso, la proposición X es verdadera. Ahora bien, el tiempo para

el cual la proposición X es verdadera se expresa por x, y la extensión de tiempo a la que

se refiere nuestro discurso se representa por 1.’40 ‘X es falsa’ se representa como ‘x=1’

o ‘l-x=1’. Esto quiere decir que 1-x selecciona los instantes temporales en los cuales X

es falsa.

A partir de aquí tenemos todos los elementos mediante los cuales expresar, por

ejemplo, que una proposición disyuntiva exclusiva (DE), disyuntiva inclusiva (Di),

condicional (C), etc. son verdaderas:

39 Ibid., p.109. 40 Boole (1854), p.151.

15

(DE) x (1-y) + y(1-x) = 1

(DI) xy + x (1-y) + y (1-x) = 1

(C) y = υx. (Si Y es verdadera, X también).

No podemos dejar pasar de lado el hecho de que en Boole (1847) hay una clara exposición

sobre cómo representar cualquier función veritativa (monádica, diádica, etc.) en forma normal disyuntiva,

donde en cada disyunto aparecen todas las proposiciones requeridas para la definición de la función

proposicional en cuestión. Para ello hace uso de la idea de interpretación, en el sentido de que si son n las

proposiciones consideradas 2n son las interpretaciones relevantes a tener en cuenta (la suma de todas estas

posibilidades nos da 1). Para obtener la forma normal disyuntiva basta con considerar las interpretaciones

(representadas como conjunciones de literales) para las que el valor de la función es verdadero y hacer la

suma de las mismas. Por ejemplo, la función veritativa condicional (si X, entonces Y) se representa en la

lógica de Boole de la siguiente manera:

- esta función es verdadera en tres casos: cuando X e Y son verdaderas (xy), cuando X es falsa

e Y verdadera ((1-x) y) y cuando X e Y son ambas falsas ((i-x)(1-y)).

- Se suman estas tres posibilidades (interpretaciones).

- La suma se iguala a 1: xy + (1-x)y + (1-x)(1-y) = 1.

Boole considera también el proceso dual que tiene en cuenta los casos para los que la función

proposicional tiene como valor 0, e iguala la suma a 0. En el caso del condicional: x(1-y)=0.

3. El concepto de consecuencia lógica en la lógica de Boole

Cuando decimos que un enunciado σ es consecuencia lógica de un conjunto de

enunciados Γ, estarnos queriendo referirnos a la misma idea expresada, en otras

ocasiones, en términos de σ se sigue lógicamente de Γ’. En el caso particular de Boole,

el concepto de consecuencia lógica parece analizarse en el marco de un sistema o, quizá

mejor, parece analizarse desde un punto de vista sintáctico-sistemático. Decimos

‘parece’ ya que las deficiencias del supuesto sistema son obvias.41 En cualquier caso, sí

parece claro que Boole pretende proporcionarnos criterios sistemáticos-sintácticos para

el análisis de la relación de consecuencia lógica. El problema es que no está claro en

qué centrarnos cuando hablamos de ‘sistema’ en el contexto de la obra de Boole. Por un

lado tenemos algo que tiene visos de ser un sistema axiomático. Por otro, hay algo que

Boole considera un método general para la lógica. Como se verá, hay una relación entre

ambos, aunque no sea una relación clara. La tradición se ha ocupado principalmente de

41 Este aspecto crítico con respecto a la lógica de Boole se muestra transparentemente en Corcoran-Wood (1980). Como estos autores muestran Boole (1847) está plagado de deficiencias, muchas de las cuales se mantienen en Boole (1854).

16

ir mejorando el sistema axiomático booleano, hasta llegar a la presentación axiomática

de las estructuras denominadas álgebras booleanas (que no son álgebras de Boole).

Contrariamente hay autores que consideran que lo relevante es el método que Boole

plantea a partir del capítulo V en su obra de 1854.42 Es un método que va más allá de la

lógica, pero que resulta útil a la misma. Se trata de proponer técnicas de transformación

no específicamente lógicas para aplicarlas en contextos lógicos con las debidas

precauciones. El método constituye una prueba de la utilidad de la matemática para la

lógica, así como de la diferencia entre ambas. Parece que a Boole le interesa

principalmente esta parte de su obra, teniendo en cuenta el espacio que le dedica. A este

respecto recordamos las siguientes palabras de Boole: ‘Estas investigaciones (lo que

nosotros denominamos sistema axiomático) han sido preliminares en el sentido más

estricto. Constituyen una introducción indispensable a uno de los objetivos principales

de este tratado -la construcción de un sistema o método de Lógica...’43

3.1. El sistema axiomático

Boole distingue entre axiomas (en términos de Boole ‘leyes’)44 y reglas de

inferencia (en términos de Boole ‘axiomas’).45

Boole identifica los siguientes axiomas:

(1) x=x.46 No estamos seguros del lugar que ocupa (1) en el sistema de Boole.

Téngase en cuenta que no se hace referencia a (1) cuando Boole, recapitulando, nos

proporciona la lista de axiomas.47 Corcoran-Wood interpretan que se trata de una verdad

lógica y, posteriormente, incorporan (1) al conjunto de axiomas.48 Nosotros seguimos

esta estrategia pero tomando alguna precaución, por considerar que Boole tiene más

dudas con respecto a (1) que en relación a otros axiomas.

(2) Conmutatividad: xy=yx.49

(3) Asociatividad: x (yz)= (xy) z. En este caso tenernos que decir que Boole

considera la asociatividad de manera implícita, en el sentido de que no aparece en su

listado de axiomas. En cualquier caso, hay una referencia, aunque implícita, clara a este 42 Por ejemplo, Van Evra (1977). 43 Boole (1854), p.62. El subrayado y paréntesis son nuestros. 44 Ibid., pp. 32-33. 45 Boole (1847), p. 56 y Boole (1854), p.38. 46 Ibid., p.53. No hay referencia explícita a este axioma en Boole (1854). 47 Boole (1847), p.56. 48 Corcoran-Wood (1980), pp.614-616. 49 Boole (1847), p.55 y Boole (1854), p.33.

17

axioma,50 además de un uso obvio del mismo. La no mención explícita a la

asociatividad ha generado extrañeza en los intérpretes de la obra de Boole. La

asociatividad ya fue reconocida en el año 1844 por Hamilton y De Morgan.51

(4) Distributividad: x(u+v)=xu+xv.52

(5) Ley del índice: xx=x (x2 = x). En Boole (1847) la ley del índice tiene la

forma ‘xn = x’ para pasar a ser ‘x2 = x’ en Boole (1854). Es obvio que ha habido un

cambio con respecto a la ley del índice. Boole explica que la ecuación ‘x3 = x’ no es

interpretable en el sistema de la Lógica, ya que al expresar dicha ecuación en cualquiera

de estas dos formas ‘x(l-x)(l+x)=0’ y ‘x(1-x)(-1-x)’, resulta que no cabe interpretación

lógica: las expresiones ‘1+x’ y ‘-1’ son problemáticas.53 Hailperin considera la

posibilidad (planteada por Corcoran) de que el mismo problema sea identificable en

alguno de los ‘desarrol1os’ posibles con respecto a ‘x2=x’ En particular, x(x-l)=0. La

cuestión es que en este último caso, a diferencia del anterior, cabe al menos un

‘desarrollo’ (x(1-x)=0) que no es problemático desde el punto de vista de la

interpretación lógica.54 La ley del índice se nos presenta como un axioma específico de

las interpretaciones lógicas (en términos de proposiciones primarias o secundarias) del

lenguaje del álgebra.

(2), (4) y (5) son los axiomas que aparecen claramente en Boole (1847) y en

Boole (1854). En esta última obra se añaden explícitamente los siguientes:

(2’) x+y=y+x

(4’)x(y-z)=(xy)-(xz)

(6) x-y=y-x55

(7) 0y=0

(8) 1y=y56

(9) x(1-x)=057

50 Boole (1854), p.33. 51 Hailperin (1976), p. 133. 52 Boole(1847), p.54y Boole(1854), p.36. 53 Boole (1854), p.5O. 54 Hailperin (1976), pp.80-82. 55 (2’), (4’) y (6) en Boole (1854), pp.36-37. 56 (7) y (8), en Ibid., p.47. 57 Ibid., p.48

18

Los axiomas están sometidos a las restricciones que en el apartado anterior

hemos considerado con respecto a los símbolos lógicos. Por ejemplo, el carácter

exclusivo de la suma.

Con respecto a las reglas de inferencia, cabe identificar explícitamente las

siguientes:

(a) De x=y, z=u, se obtiene x+z=y+u. (Si cosas iguales se añaden a cosas

iguales, los todos son iguales.)

(b) De x=y, z=u, se obtiene x-z=y-u. (Si se separan cosas iguales de cosas

iguales, los restos son iguales.)

(c) Si tenemos la ecuación x=y, sea cual sea la clase o propiedad que z

represente, tenemos también zx=zy.58

(c) puede considerarse una instancia de una regla de inferencia más general,

planteada en los términos de (a) y (b):

(c’) De x=y, z=u, se obtiene xz=yu.

Siguiendo la interpretación de Corcoran-Wood, cabe pensar que (a), (b) y (c’)

son las reglas de inferencia que Boole tiene ‘in mente’ cuando plantea una única regla

de inferencia en su sistema: ‘El axioma único y suficiente involucrado en esta

aplicación es que operaciones equivalentes sobre dominios equivalentes producen

resultados equivalentes.’59

Además Boole también parece referirse a la siguiente regla de inferencia:60

(d) De x=z, y=z, obtenemos x=y.

A partir de estas reglas pueden derivarse otras como la simetría y transitividad

de la identidad. Teniendo en cuenta (1) y (d), establecemos la simetría de la identidad

(Tenemos y=y y suponemos x=y. Vía (d), obtenemos y=x). Con la simetría y (c’), se

obtiene la transitividad de la identidad.

58 (a), (b) y (c) en Ibid., pp.38-39. 59 Corcoran-Wood (1980), p.616 y Boole (1847), p. 56. 60 Boole (1847), p.56: ‘si dos términos concuerdan con un único tercer término, concuerdan entre sí’.

19

Como consideración general en relación al sistema axiomático propuesto por

Boole, hay que señalar que su presentación es defectuosa. Defectuosa en la presentación

de las reglas de inferencia. En algunas ocasiones, debemos intuir lo que Boole parece

querer decirnos. Además, hay que tener en cuenta que hemos considerado un sistema

axiomático compuesto a partir de las dos obras de Boole. De considerarlas

independientemente el carácter defectuoso resultaría más patente. También, como se ha

señalado, hay defectos en la presentación de los axiomas. En cualquier caso, se trata de

defectos de presentación que, siendo optimistas, podrían ser subsanados. Un defecto

quizá más importante es que Boole no hace un uso claro del supuesto sistema en sus

derivaciones de conclusiones a partir de premisas. En Boole (1847) los defectos son

quizás más claros.61 Corcoran-Wood muestran que en la algebrización que Boole

efectúa con respecto a la silogística aristotélica, en muchas ocasiones considera que la

solución de una ecuación o sistema de ecuaciones es una consecuencia de la misma, y

esto no es correcto en general. Por ejemplo, ‘y=x’ es una solución de ‘x2-y2=0’, pero no

es una consecuencia, en el sentido de que no se puede obtener en el marco del sistema.62

En general, consideramos que la crítica de Corcoran-Wood, aun siendo

correcta, no recoge un aspecto importante de la obra de Boole. Este aspecto es

precisamente ese supuesto método o sistema general de la lógica al que antes hemos

hecho referencia. Corcoran-Wood se limitan al sistema axiomático y, en particular, al

uso que Boole hace del mismo para la exposición de la silogística aristotélica. Por ello,

no creemos que esa crítica golpee en el corazón de la obra de Boole.

3.2. Principios fundamentales del razonamiento simbólico

Cuando afirmamos que σ es consecuencia lógica de Γ, queremos señalar que el

razonamiento efectuado a partir de las premisas Γ para obtener la conclusión σ es un

razonamiento válido. Boole nos describe los pasos que hay que seguir en el

establecimiento de razonamientos válidos en el marco de su lógica:63

61 En este punto recogemos la 'crítica' de Corcoran-Wood (1980) en relación a Boole (1847). Consideramos que esta 'crítica' es, en líneas generales, correcta. En cualquier caso, como más abajo se mostrará, Boole aporta más métodos e ideas a la Historia de la Lógica que nos llevarían a una valoración más positiva de la que Corcoran-Wood plantean. En cualquier caso y como se ha señalado, el trabajo de los autores citados se limita a una parte de Boole (1847). 62 En Boole (1847), pp.66-67, hay un ejemplo de esta estrategia booleana, donde no se ve claro cómo se puede obtener la consecuencia ‘x=υy’ a partir de las premisas ‘(1-y)x=0’ y ‘yx=0’, independientemente del hecho de que la primera ecuación sea una solución para el citado sistema de ecuaciones. 63 Boole (1854), p.63.

20

(i) Hay que interpretar las premisas expresadas en forma simbólica. Los

símbolos se combinan sobre la base de la interpretación ‘in mente’.

(ii) A estas premisas se les deben ‘aplicar’ procesos formales de solución o

demostración. En esta aplicación no hay que preocuparse de la interpretación de los

resultados intermedios obtenidos.

(iii) El resultado final (la conclusión) debe ser interpretable en los mismos

términos en los que las premisas fueron interpretadas.

Es decir, la interpretación lógica debe ser clara con respecto a premisas y

conclusión, no así en relación a los pasos intermedios que se siguen desde las premisas

hasta la conclusión. Este es el aspecto más problemático del método booleano.

‘Podemos de hecho arrinconar la interpretación lógica de los símbolos en la ecuación

dada: convertirlos en símbolos cuantitativos susceptibles solamente de los valores 0 y 1;

llevar a cabo sobre ellos todos los procesos requeridos de solución; y devolverles

finalmente su interpretación lógica.’64 El método que va a seguir Boole para establecer

la validez de un razonamiento es un método que va más allá de la lógica, es decir, va

más allá de las interpretaciones lógicas que podemos efectuar del lenguaje del álgebra.

‘Los procesos a que los símbolos x, y, z, considerados como cuantitativos y del tipo

arriba descrito, están sometidos no están limitados por aquellas condiciones de

pensamiento a que estarían si se llevasen a cabo sobre símbolos puramente lógicos, y se

nos otorga libertad a la hora de operar sin la cual la búsqueda de un método general en

lógica sería una búsqueda sin esperanza’.65 Cuando habla de procesos, se refiere a los

procesos señalados más arriba en (ii). Estos procesos constituyen la posibilidad de un

método general para la lógica, pero estos procesos son definidos para funciones

cuantitativas donde las variables toman valores 0/1, sin tener en cuenta restricciones que

deberían tenerse en cuenta caso de que considerásemos el método limitado por la

interpretación lógica. Boole poco antes nos recuerda el lastre que supone considerar que

los sumandos, en una suma lógica, son excluyentes.

Por otro lado, no es una práctica extraña a la matemática la de ‘dejar de lado’

pasos intermedios sospechosos. Supongamos que estamos trabajando en el marco de la

estructura de los números naturales, donde suma y multiplicación son operaciones ‘bien

definidas’ para dicho conjunto. Supongamos que estamos ante la ecuación ‘6=2x’. Para

64 Ibid., p65. 65 Ibid., p.65.

21

resolverla decimos ‘x=6/2=3’. El resultado es que x es un número natural, pero su

determinación nos ha obligado a llevar a cabo una operación de división problemática.

Una situación análoga plantea Boole con respecto a su método para la lógica.

Ya que la manipulación de las ecuaciones o funciones puede hacer que éstas

sean lógicamente irreconocibles, Boole propone el método de desarrollo de funciones y

el método de interpretación para las mismas. El método de desarrollo-interpretación

pretende dar forma lógica transparente a las expresiones ‘desfiguradas’ que se obtienen

tras una manipulación algebraica de la ecuación (o ecuaciones) de partida. El método

puede aplicarse a cualquier función lógica o cuantitativa (donde las variables tomen

valores 0/1). La idea básica del método consiste en la consideración de que cualquier

función f(x) se puede expresar equivalentemente como ax+b(1-x). Si la función es de

dos variables, f(x,y), entonces tenemos que f(x,y)=axy+bx(1-y)+c(1-x)y+d(1-x)(1-y).

Este método de desarrollo es generalizable a funciones de cualquier número de

variables. En el desarrollo de la función, por ejemplo, f(x,y), podemos distinguir los

coeficientes (a, b, c, d) por un lado, y los constituyentes por otro (xy, x(1-y), (1-x)y, (1-

x)(1-y)). El problema es determinar los coeficientes. Para el caso que nos ocupa, es

sencillo ver que a=f(1,1), b=f(1,.0), c=f(0,1) y d=f(0,0). Puede ocurrir que la función

desarrollada no tenga de una forma inmediata una interpretación lógica. Este es el

siguiente paso: la interpretación. En lo que a los constituyentes se refiere, el conjunto de

los mismos, bajo una interpretación lógica, nos proporciona una partición del universo:

la intersección de cada dos es vacía y la unión de todos los constituyentes nos da el

universo. Si pensamos en la interpretación lógica proposicional, cada constituyente es

un candidato a ser un disyunto en el desarrollo de la función proposicional (veritativo-

funcional) que tengamos entre manos. Dicho desarrollo en su interpretación lógica,

diríamos ahora, es una expresión en forma normal disyuntiva. Los problemas aparecen

con los coeficientes y, en particular, con coeficientes del estilo 1/0 y 0/0 (también puede

haber coeficientes negativos) que emergen al aplicar el método. Dejaremos de lado los

aspectos concretos de la teoría del desarrollo y de la interpretación de una ecuación,66 ya

que nos interesa llegar a caracterizar de una forma general la relevancia de la aportación

de Boole.

66 Estos aspectos se detallan en los cap. v-VI de Boole (1854). Para una exposición crítica, véase Hailperin (1976), §1.6 y §1.7.

22

Los métodos de eliminación y de reducción son procedimientos de

manipulación de ecuaciones y de eliminación de variables. Estos métodos proporcionan

la vía por la que se establecen las consecuencias de un conjunto de premisas

(ecuaciones). Una breve descripción de la estrategia seguida en la silogística resultará

útil. En los silogismos tenemos dos premisas que tienen un término en común, el

término medio. La conclusión tiene como característica precisamente que no aparece en

ella el término medio. En términos booleanos podemos describir la situación de la

siguiente manera: tenemos dos ecuaciones como premisas. En la primera ecuación

aparecen dos variables ‘x’ y ‘u’. En la segunda ‘u’ y ‘v’. La conclusión es una ecuación

donde aparecen ‘x’ y ‘v’, habiéndose eliminado ‘u’. Boole nos proporciona métodos

para eliminar alguna variable de una ecuación dada.67 También nos dice cómo eliminar

el símbolo ‘’ν. Por otro lado, Boole proporciona métodos para reducir un sistema de

ecuaciones a una ecuación única, la cual se interpreta según las ideas desarrolladas

anteriormente. La combinación de la reducción de un sistema de ecuaciones a una

ecuación y de la eliminación de una variable en una ecuación68 nos proporciona un

método general que va más allá de la silogística. Basta considerar dos características del

método booleano: no tienen por qué ser dos las ecuaciones reducidas, ni tampoco se

trata de eliminar una variable de una ecuación con tres variables. Es decir, los

razonamientos que podemos ‘analizar’ en la lógica booleana no están sometidos a las

restricciones de la silogística.

Todos estos métodos los despliega Boole haciendo uso del llamado ‘sistema

axiomático’ que anteriormente hemos presentado pero, a su vez, son métodos que van

más allá de dicho sistema. El objetivo final de los métodos es dar criterios y vías

sistemáticas para el análisis del concepto de consecuencia lógica en el marco del

lenguaje del álgebra. La idea central es la posibilidad de expresar las premisas en forma

de ecuaciones, para obtener la conclusión (otra ecuación) donde las relaciones entre

clases (y proposiciones) son distintas de las relaciones expresadas en las premisas. Aquí

el método de reducción (-eliminación) es central. El paso que va desde las premisas

hasta la conclusión puede ‘desfigurar’ esta última. La recuperación de la interpretación

67 Véase Boole (1854), pp.91-92. Boole elimina ‘x’ de la ecuación ‘f(x)=0’ (en f(x) pueden aparecer otras variables además de x). El resultado es ‘f(1)f(0)=0’. 68 Sobre estos métodos, véase Boole (1854), cap.VII-IX y Hailperin (1976), §1.8 y §1.9.

23

lógica es posible gracias a los métodos de interpretación (y desarrollo). Este es el núcleo

del método booleano.69

69 Trabajos recientes sobre Boole y el álgebra de la lógica: Hailperin (2004), Sánchez Valencia (2004), Pekhaus (2004) y Hilpinen (2004).

24

4. Otros autores en la tradición del álgebra de la lógica. Peirce y el

descubrimiento de los cuantificadores

En este apartado, aunque de forma breve, vamos a presentar una serie de

autores que pueden ser considerados como miembros de una tradición booleana. Nos

referimos, entre otros, a De Morgan, Jevons, Venn, Carroll, Huntington, McColl,

Scröder y Peirce.

4.1. Autores de la tradición booleana

De Morgan (1806-1871) se ocupó de cuantificadores como ‘muchos’ y ‘pocos’

y también del problema de la cuantificación del predicado. Sigue una evolución que va

desde el rechazo como razonamiento de todo aquello que no sea susceptible de

transformarse en un silogismo, hasta que llega finalmente a reconocer la estrechez del

silogismo. Razonamientos como ‘si a=b y b=c, entonces a=c’ no son tratables en el

marco aristotélico. En cualquier caso, una de las grandes aportaciones de De Morgan

consiste en su lógica de las relaciones.

En esta lógica considera los siguientes tipos de símbolos:

X,Y,...:elementos que están en relación binaria

L, M,….: relaciones entre dichos elementos

L-1, M-1,....: relaciones inversas (padre e hijo son mutuamente inversas o

conversas)

l,m,...: relaciones contrarias (o contradictorias).

También distingue los siguientes tipos de expresiones:

X.. LY: X está en la relación L con Y

X.LY: X no está en relación L con Y

X..LMY: representa un agregado de relaciones, (padre del amigo de). Es lo

que se denomina posteriormente producto relativo y que Peirce simbolizaría como:

LXrM (superior de un admirador).

A partir de este exiguo vocabulario desarrolló teoremas lógicos sobre

relaciones:

- las contrarias de las conversas son conversas

25

- la contraria de una conversa es la conversa de una contraria

Por ejemplo, sea la relación admirador de un superior de. El contradictorio (o

contrario en terminología de De Morgan) es ‘no admiro a ningún superior’. El converso

del contradictorio es: ‘no tener ningún superior admirado por’. Si ahora pensamos en el

contradictorio del converso. El converso sería: ‘tiene un superior admirado por’. El

contradictorio es: ‘no tiene ningún superior admirado por’.

Schröder y Peirce continuarán, de alguna manera, las ideas de De Morgan.

Jevons (1835-1882) fue uno de los autores que más insistió en algunos

defectos presentes en el álgebra de Boole:

Jevons no aceptó la concepción booleana acerca de la disyunción (interpretada

como exclusiva o sometida a restricciones). Consideró que ‘x+x=x’ es una ley lógica

que en el sistema de Boole no se obtiene.

- Consideró que la raíz de los problemas estaba en el excesivo apego de Boole

a la matemática. Jevons tenía más en mente el razonamiento ordinario.

- Ideó métodos combinatorios. Por ejemplo dados tres términos (como en la

silogística), caben las siguientes combinaciones: ABC, ABc, AbC. Abb, aBC, aBc, abC,

abc. Las letras minúsculas representan términos negativos. Si tenemos que ‘Todo A es

B’ como premisa, no puede ocurrir que algo sea A y no-B. Por ello Abc y AbC hay que

descartarlas.

- Construyó una máquina (piano lógico) para resolver problemas lógicos.

- Dio la espalda al cálculo proposicional. Una de las trabas para el desarrollo

del mismo es que consideraba como símbolo básico la igualdad, frente a gente como

MacColl (y el propio Peirce) que consideraban el condicional como básico.

Venn y Carroll desarrollaron métodos geométricos y basados en diagramas

para la resolución de problemas en el marco del álgebra de la lógica.

la gran aportación de Schröder es el cumplimiento del principio de dualidad

(sustitución de 0 por 1, y + por x) en su gran sistema de álgebra lógica. La obra de

Schröder es considerada como un cierre de la forma de hacer lógica que Boole

inauguró.

26

En esta misma tradición merece una especial mención la figura de Peirce

(1839-1914). Son numerosas las aportaciones de Peirce a la historia de la lógica, aunque

también es verdad que la figura de Frege, justa o injustamente, ha ensombrecido la

relevancia del lógico norteamericano. De todas las aportaciones destacaríamos el

‘descubrimiento’ peirceano de los cuantificadores. Antes de describir la evolución y las

ideas de Peirce en lo que a los cuantificadores se refiere, queremos señalar otras

destacadas aportaciones (en general, estas aportaciones se presentan en los artículos de

Peirce publicados entre 1880 y 1885).

- Peirce define la suma y el producto, así como la igualdad misma, mediante la

noción de inclusión. Se comienzan a dar los pasos de una lógica ecuacional a una lógica

de la inclusión en estrecha relación con la noción de implicación y con el conector

condicional.70

- Hay explicaciones que pueden considerarse las bases teóricas de las tablas de

verdad.

- Se detalla una lógica trivalente.

- Introduce la flecha de Peirce que viene a ser un conector al que todos se

pueden reducir. Estamos en el preludio de los resultados de Sheffer de 1913.

- Aparece la idea de forma normal conjuntiva (conjunción de disyunciones).

En Boole se presenta la idea de forma normal disyuntiva.

- En el artículo de 1880 sobre el álgebra de la lógica se desarrolla algo

parecido a un sistema de deducción natural. En el artículo del 85 hay un cálculo

axiomático, incluso completo, con 5 axiomas que él denomina iconos.

- Desarrolla una lógica de relativos en estrecha relación con lo que hoy

denominamos lógica de relaciones. En esta dirección mejora las aportaciones de De

Morgan, siempre dentro de la tradición booleana.

4.2. Peirce y los cuantificadores71

Puede aceptarse como hipótesis que Peirce fue modificando su concepción

sobre los cuantificadores según iba variando su planteamiento con respecto a la

formalización del enunciado aristotélico particular afirmativo. En Peirce (1870) se

aprecian dos novedades con respecto a otros autores de su tradición. En primer lugar,

70 Ver Thibaud (1975) y Beatty (1969). 71 Seguimos la exposición en Beatty (1969).

27

para formalizar ‘algunos animales son caballos’ Peirce utiliza la siguiente expresión:

a,c>0. La aparición de un signo como ‘>‘ supone una novedad en relación al espíritu

ecuacional del álgebra de Boole. Por otro lado, es interesante ver que Peirce representa

una clase (referencia de un término general) como una suma de los individuos

pertenecientes a dicha clase (a estos individuos se hace referencia mediante términos

individuales). De esta manera, la clase de los seres humanos se representa como la suma

lógica de sus miembros (humano=Peirce+Sócrates+…).

En un artículo publicado en 1880, hay una variación a la hora de expresar una

clase: la clase no es la suma lógica de sus miembros, sino la suma lógica de los

miembros del universo del discurso.72 Esto supone un acercamiento a algunas ideas

presentes en la lógica actual: las variables ligadas se mueven en el universo. En relación

a esta nueva idea, Peirce plantea la siguiente forma de representación para las

relaciones: l=Σi(Li:Mi) La relación 1 es la suma de los pares (de elementos

relacionados). El subíndice se utiliza pan distinguir los elementos que relacionamos, a

saber, los distintos Li y Mi. Este subíndice se mueve por el dominio al que pertenecen

los elementos relacionados, aunque no se utiliza para denotar estos elementos. Li y Mi

denotan individuos del universo. Se utilizan letras distintas ya que los elementos

relacionados pueden ser distintos, aunque sin descartar la posibilidad de que sean

iguales. Este método de representación para clases y relaciones presenta un problema ya

que todas las clases o relaciones (definidas sobre el mismo universo) tienen la misma

representación. Con lo cual no cabe distinguir clases distintas. Este es el motivo por el

cual Peirce introduce coeficientes en la representación de las clases y relaciones:73

x=xaA+xbB+…=ΣixiI

El subíndice ‘i’, como se aprecia, se mueve por el universo I, es decir, va

tomando valores ‘a’, ‘b’, ... El coeficiente (genérico) xi va tomando valores en función

de los cuales se establece el carácter de la relación de pertenencia de los elementos A,

B,... a la clase x.

De manera análoga se representa la relación 1:

1=Σi Σj lij (I:J)74

72 Peirce (1880), p.127 (en la versión castellana). 73 Peirce (1882) y Peirce (1883). 74 Peirce (1883), p. 148 (versión castellana).

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Los coeficientes (xi y lij) toman valores 1 y 0 según el elemento en cuestión

pertenezca o no pertenezca a la clase (o relación). Se aprecia que los subíndices recorren

el universo del discurso y que tanto ‘I’ como ‘(I:J)’ son expresiones de las que podemos

prescindir. Nos basta con esos subíndices que se mueven a través del universo. De aquí

que Peirce más adelante utilice proposiciones como ‘ΣiΣjlij’ para expresar ‘algo es

amante de algo’.75 Esto lo hace en dos pasos: en primer lugar lo expresa mediante

‘ΣiΣjlij>0’ y posteriormente elimina ‘>0’. Uno ya puede ver que la expresión ‘ΣiΣjlij’ que

Peirce propone es análoga estructuralmente a la expresión que en la lógica

contemporánea propondríamos: ∃x∃ylxy. En cualquier caso, hay una importante

diferencia. Para Peirce ‘lij’ representa un coeficiente, mientras que ‘lxy’ representa una

fórmula abierta. Es en 1885 cuando Peirce da el último paso que le resta pan llegar a la

concepción actual de los cuantificadores. Para ello Peirce pasa a considerar los

subíndices como representando individuos y ‘1’ representa, en nuestro caso, una

relación. Por ello, ‘lij’ representa exactamente lo que representa en la lógica actual.

Peirce señala a este respecto:

‘Si x es una relación simple, ΠiΠjxij significa que todo i

está en relación con todo j, ΣiΠjxij que algún i está en esa relación

con todo j;...’76

Finalizamos señalando que en este mismo artículo de 1885, Peirce opera

siempre con expresiones en forma normal prenexa, es decir, expresiones con una primera

parte donde aparecen todos los cuantificadores con sus ‘variables ligadas’ (el prefijo) y

una segunda parte donde va una expresión sin presencia de cuantificadores (la matriz).

Peirce además nos proporciona métodos para pasar de expresiones cualesquiera a

expresiones ‘equivalentes’ en forma normal prenexa.77

Es llamativo que tanto Peirce como Frege, casi simultáneamente e

independientemente, desarrollaran la idea de cuantificador en el sentido en el que

entendemos esta idea en la actualidad. En un principio, además, las perspectivas de

ambos autores son claramente distintas. En cualquier caso, y como hipótesis de trabajo,

cabe encontrar un aspecto común, así como básico, en la obra de ambos autores. Nos

75 Ibid., p. 162. 76 Peirce (1885), pp.187-188 (versión castellana). 77 Ibid., pp.188-194 (versión castellana).

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referimos al carácter no saturado de las propiedades y relaciones (rhemas no relativos y

relativos respectivamente para Peirce. Conceptos, en general, para Frege). En relación a

la obra de Frege nos centraremos en este aspecto sobre el que él insiste para establecer

la dicotomía ‘expresión de objeto/expresión funcional’ que constituye la categorización

fregeana a partir de la cual analiza las expresiones lingüísticas, obteniendo como

resultado una forma de ver el lenguaje lógico que se corresponde con la actual. Peirce,

en cierto sentido por lo menos, mantiene aspectos comunes en relación a las

distinciones fregeanas. Baste como ilustración la siguiente cita donde Peirce postula, en

un lenguaje propio de la química, el carácter no saturado de propiedades y relaciones

(parece que Peirce se refiere más a expresiones de propiedades y de relaciones):

‘Un rhema es algo muy similar a un átomo o radical

químico cuyas valencias no están saturadas. Un rhema no relativo

es como un radical monovalente; sólo tiene una valencia

insaturada. Un rhema relativo es como un radical multivalente.’78

5. Conclusiones

El lugar de Boole en la historia de la lógica es destacado. El uso del lenguaje

matemático-algebraico en el contexto del análisis del razonamiento es su gran

aportación. No sólo nos referimos al lenguaje matemático como marco de

representación, sino también como vía sistemática para el análisis del concepto de

consecuencia lógica. Se trata de heredar métodos y técnicas ya consolidadas en el

campo de la matemática para darles un uso lógico. Para ello resultan necesarias técnicas

de ajuste. En este sentido en Boole hay un mecanismo inferencial para el análisis del

concepto de consecuencia lógica. No hay un método, valga la expresión, ‘semántico’

como uno puede encontrar en ilustres antecesores de Boole. Por ejemplo, en Aristóteles

y Bolzano.79 Tampoco queremos decir que haya un sistema de tipo fregeano para la

78 Peirce (1892), p.215 (versión castellana) 79 Decimos ‘semántico’ entre comillas ya que obviamente en estos autores no hay un concepto de semántica tal y como lo entendemos en la actualidad. Ni tan siquiera en Frege lo hay, si entendemos por semántica, por ejemplo, la semántica de la lógica de primer orden. En Frege sí encontramos preocupaciones y reflexiones semánticas. Cuando hablamos de semántica en Aristóteles, nos referimos, por ejemplo, al método del contraejemplo para establecer que un supuesto razonamiento o silogismo no es un razonamiento válido. En el caso de Bolzano, el concepto de consecuencia lógica se define en términos de sustituibilidad. Ambos métodos no son sistemáticos, por contraposición a los métodos de reducción aristotélicos, al sistema de Crisipo en la lógica estoica y a los métodos booleanos.

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lógica. Nada más lejos de nuestra intención. En este sentido son correctas las críticas

que Boole ha recibido en relación a las numerosas lagunas, soluciones ad hoc, etc.

existentes en sus métodos. Críticas que el propio Frege realizaba con respecto a la

actividad matemática de sus días. En cualquier caso, nadie puede negar que la lógica y

la matemática a partir de la obra de Boole van a ir de la mano. Este es un hecho crucial

en la historia de la lógica. En Boole, además, la lógica está situada en el marco y

contexto de métodos matemáticos generales que van más allá de ella misma.

Otro aspecto importante en la obra de Boole es la distinción entre lenguaje e

interpretación: un mismo lenguaje susceptible de pluralidad de lecturas. Esta idea

aparece frecuentemente en la obra de Boole y en este sentido, desde el punto de vista

actual, su visión del lenguaje formal del álgebra, que es el lenguaje para la lógica, es

superior a la perspectiva fregeana en relación al lenguaje. La plurinterpretabilidad de los

símbolos y expresiones del lenguaje es algo que a Frege le preocupaba; es el síntoma de

la equivocidad. En lógica la distinción entre el lenguaje y su interpretación resulta

básica. La posibilidad de plurinterpretabilidad de un lenguaje hace que las teorías

formuladas en el marco del mismo también sean plurinterpretables.

Consideramos que las categorías fregeanas de concepto y objeto80

proporcionan una vía de análisis de las expresiones del lenguaje que posibilitaron, entre

otras muchas cosas, el ‘descubrimiento’ de los cuantificadores81 y, en consecuencia, la

concepción de los lenguajes lógicos tal y como en la actualidad se entienden. En este

sentido, Frege va más allá de la dicotomía sujeto/predicado a la que Boole se ajusta y

del lenguaje algebraico-ecuacional que Boole utiliza. A pesar de ello, no hay que

olvidar que Boole abre las puertas a sendas hoy ya habituales en el trabajo de los

lógicos, sendas que Frege ni tan siquiera vislumbró. En este trabajo no queremos

comparar la obra de ambos autores.

80 Quizás sea mejor hablar de expresiones de función (entre las que se encuentran las expresiones de concepto) y expresiones de objeto o, para Frege, nombres propios. 81 Ese mismo descubrimiento puede ser atribuido a Peirce, autor que está en la tradición del álgebra de la lógica. Dejamos de lado esta cuestión.

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