Calculo Diferencial

Bosquejos de Graficas

Ciclo escolar 2013-2014

Reglas para construir una curva usando coordenadas rectangulares.

• Para un buen bosquejo de graficas, deben de seguirse lo mas fielmente posible los siguientes pasos: – Identificar si es una función par o impar. – Encontrar las intersecciones con los ejes coordenados

(𝑥 = 0, 𝑦 = 0). – Encontrar las asíntotas horizontales y verticales. – Calcular los valores críticos ( f′ 𝑥 = 0, f ′′ 𝑥 = 0)

que nos proporcionan máximos y mínimos locales, y puntos de inflexión.

– Calcular los sentidos de concavidad de la curva. – Encontrar las asíntotas oblicuas.

Ejemplos

• 𝑦 = 𝑥3 − 9𝑥2 + 24𝑥 − 16

• 𝑦 =2𝑥2

𝑥−2 𝑥−6

• 𝑦 =6𝑥

𝑥2+3

• 𝑦 = 𝑥 +1

𝑥

• y=x^3-9x^2+24x-16

• y=(2x^2)/((x-2)(x-6))

• y=6x/(x^2+3)

• y=x+1/x

En el buscador de gooogle.com

𝑦 = 𝑥3 − 9𝑥2 + 24𝑥 − 16

• No es ni par ni impar. • No tiene asíntotas horizontales ni verticales. • Sus intersecciones con los ejes son 0,−16 , 1,0 y

4,0 . • 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 18𝑥 + 24 = 0 cuando 𝑥 = 2 (nos da

un máximo local) y 𝑥 = 4 (nos da un mínimo local). Los puntos son 2,4 y 4,0 . 𝑓′′ 𝑥 = 6𝑥 − 18 = 0 cuando 𝑥 = 3 (nos da un punto de inflexión). El punto es 3,2 .

• Al principio la función en cóncava hacia arriba, y cambia luego a ser cóncava hacia abajo.

• No tiene asíntotas oblicuas.

𝑦 =2𝑥2

𝑥 − 2 𝑥 − 6

• No es ni par ni impar. • Tiene dos asíntotas verticales cuando 𝑥 = 2 y cuando 𝑥 = 6.

Tiene una asíntota horizontal cuando y= 2 • Su única intersección con los ejes es en el punto 0,0 .

• 𝑓′ 𝑥 =−16𝑥2+48𝑥

𝑥2−8𝑥+12 2 = 0 cuando 𝑥 = 0 (nos da un mínimo local)

y 𝑥 = 3 (nos da un máximo local). Los puntos son 0,0 y

3,−6 . 𝑓′′ 𝑥 =32𝑥3−144𝑥2+576

𝑥2−8𝑥+12 3 = 0 cuando 𝑥 ≈ −1.702 (nos da

un punto de inflexión). • Es difícil determinar la concavidad, pero hacia abajo desde −∞

hasta −1.702, luego es cóncava hacia arriba hasta 2, luego es cóncava hacia abajo hasta 6, y finalmente su ultima parte es cóncava hacia arriba.

• No tiene asíntotas oblicuas.

𝑦 =6𝑥

𝑥2 + 3

• Es una función impar. • No tiene asíntotas verticales, pero tiene una asíntota horizontal

cuando y= 0 • Su única intersección con los ejes es en el punto 0,0 .

• 𝑓′ 𝑥 =−6𝑥2+18

𝑥2+3 2 = 0 cuando 𝑥 ≈ 3 (nos da un máximo local) y

𝑥 ≈ − 3 (nos da un mínimo local). Los puntos son 3, 3 y

− 3,− 3 . 𝑓′′ 𝑥 =12𝑥3−108𝑥

𝑥2+3 3 = 0 cuando 𝑥 = 0,3, −3 (nos da

varios puntos de inflexión). Los puntos son 0,0 , 3,1.5 y −3,−1.5

• La función es cóncava hacia arriba desde −∞ hasta −3, luego es cóncava hacia abajo hasta 0, luego es cóncava hacia arriba hasta 3, y finalmente su ultima parte es cóncava hacia abajo.

• No tiene asíntotas oblicuas.

𝑦 = 𝑥 +1

𝑥=𝑥2 + 1

𝑥

• Es una función impar. • Tiene una asíntota vertical cuando 𝑥 = 0, no tiene asíntotas

horizontales • No tiene intersecciones con los ejes.

• 𝑓′ 𝑥 =𝑥2−1

𝑥2= 0 cuando 𝑥 = 1 (nos da un mínimo local) y 𝑥 = −1

(nos da un máximo local). Los puntos son 1,2 y −1,−2 . 𝑓′′ 𝑥 =2

𝑥3

nunca es igual a cero, por lo que no tenemos puntos de inflexión. • La función es cóncava hacia abajo desde −∞ hasta 0, luego es cóncava

hacia arriba. • Cuando una función tiene una asíntota oblicua, esta es de la forma

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 donde el valor de 𝑚 esta dado por la asíntota horizontal de la derivada, y para calcular el valor de b, restamos a la función 𝑚𝑥 y calculamos la asíntota horizontal de la nueva función. En nuestra función 𝑚 = 1 y 𝑏 = 0. La asíntota oblicua es 𝑦 = 𝑥.