BREVE HISTORIA DEL ANALISIS ESTRUCTURAL

La historia del análisis estructural comienza mucho antes de la era antigua de los Egipcios, Romanos y Griegos. Aunque no se consiguen escritos sobre los principios del análisis de estructuras desde esta época, las ruinas actuales indican que ciertos principios de la estática y del análisis estructural fueron conocidos por sus constructores. Por ejemplo Arquímedes (287-212 A.C.) introdujo el concepto de centro de gravedad y llevo a su más simple expresión los principios fundamentales de la estática y el equilibrio.

Los escritos sobre el análisis estructural se han encontrado solamente después del Renacimiento. La tendencia histórica del análisis estructural después del Renacimiento, puede dividirse en las siguientes categorías:

La era de los grandes maestros

Esta es la era de Leonardo de Vinci (1452-1519), Galileo Galilei (1564-1642), Fontana (1543-1607) y Mimar Sinan (1490-1588) de Estambul, quienes tuvieron gran sentido físico acerca de las estructuras y sus éxitos se basaron en sus talentos innatos. Dignos de mención los trabajos de Leonardo (el hombre que introdujo los conceptos de fuerza y de momento) y el libro de galileo “Dos Nuevas Ciencias” acerca de la teoría de la viga en voladizo o cantiliver.

La era de los grandes matemáticos

En esta era los matemáticos mencionados adelante, lo mismo que muchos otros, mostraron interés en la mecánica estructural. Hombres como Hooke (1635.1703) Johann Bernoulli (1667-1748), Daniel Bernoulli (1700-1782), Euler (1707-1783), y Lagrnge (1736-1813) establecieron los principios fundamentales de los conceptos de energía. La relación entre esfuerzos y deformaciones, las ecuaciones diferenciales de deformaciones y sus soluciones.

Su interés fue más en la teoría matemática de la elasticidad y sus hallazgos, tales como la ley del esfuerzo-deformación de Hooke, la ecuación de las barras vibrantes de Bernoulli, el pandeo de columnas de Euler y las ecuaciones de flexión de placas de Lagrange, contribuyeron sin duda al desarrollo de la teoría de las estructuras.

La era de los grandes ingenieros

Esta era puede considerarse como la edad de oro de la ingeniería estructural. Hombres tales como Nvier (1785-1836), Saint-Venant (1797-1886), Clapeyron (1799-1864), Airy (1801-1892), Maxwell (1831-1879), Catigliano (1847-1884), Mohr (1835-1918), y

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Muller-Breslau ( 1851-1925) utilizaron exitosamente las formulas matemáticas desarrolladas en la era anterior para la solución de problemas estructurales.

Ellos deben considerarse mas como ingenieros que como matemáticos, aunque sus conocimientos en las ciencias matemáticas fueron sobresalientes. Sus descubrimientos y teoremas fueron la base para el desarrollo de la teoría de las estructuras en la era moderna.

La era moderna

A principios del siglo XX hombres como G.A Maney, H. Cross, R.w. Southwelly G. Kani comprendieron que era necesarios métodos más prácticos para analizar las estructuras indeterminadas. Ellos introdujeron, respectivamente, los métodos de pendiente-deflexión (1915), distribución de momentos (1932), relajación y distribución de esfuerzo cortante.

Cada uno de estos métodos, parte de u7n conjunto de hipótesis que simplifican el cálculo para obtener soluciones, con ciertas aproximaciones, de los problemas estructurales complejos. Estos métodos llegaron a ser muy utilizados en las oficinas de ingeniería (aun hoy en día se sigue utilizando el Método de Cross en las oficinas de diseño) debido a su simplicidad y adaptabilidad para los cálculos manuales.

En 1922, K.A. Calisev publico un artículo que describía un método de aproximaciones sucesivas para el análisis de estructuras reticulares, en el que se determinas aproximaciones sucesivas de las rotaciones de los nudos de una estructura, de esta manera los sistemas de numerosas ecuaciones se pueden resolver con cálculos manuales. Puede decirse que este método fue el predecesor del Método de Cross.

El análisis de las estructuras indeterminadas recibió un gran impulso en 1932, año en que Hardy Cross presento su método de distribución de momentos. El hecho de que el artículo escrito por Cross constaba de diez páginas y que iba seguido de una discusión de 146 páginas, ilustra el gran interés que produjo dicho artículo. El interés suscitado por el artículo es una indicación del impacto que el método de Cross tuvo en el análisis de las estructuras indeterminadas.

La era contemporánea

Hacia la mitad del siglo XX fueron desarrollados poderosos equipos de cálculo, tales como computadores analógicos y digitales, y los ingenieros fueron impulsados a

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establecer métodos que requieran menos suposiciones y restricciones en el planteamiento de los problemas, logrando mejores resultados. Fue introducido el llamado Método Matricial de análisis de estructuras.

Las ideas en el método matricial no son nuevas; están muy ligadas con los principios establecidos por Castigliano, Maxwell y Muller-Breslau. La única razón para que el método no fuera completamente desarrollado y utilizado en el último siglo se debe a que este conlleva la solución de numerosas ecuaciones simultaneas. Aun para una pequeña y sencilla estructura, el número de ecuaciones simultáneas podría ser tal que la solución sin computador, no sería posible.

Es difícil decir quién fue el primero en introducir los métodos matriciales en el análisis de las estructuras. Desde luego, ninguno surge con la seguridad de Castigliano o de Hardy Cross en otros métodos. Como en otras innovaciones, las mismas ideas parecen habérsele ocurrido simultáneamente podría ser tal que la solución sin computador, no sería posible.

Es difícil decir quién fue el primero en introducir los métodos matriciales en el análisis de las estructuras. Desde luego, ninguno surge con la seguridad de Castigliano de Hardy Cross en otros métodos. Como en otras innovaciones, las mismas ideas parecen habérsele ocurrido simultáneamente a m diferentes autores.

Al parecer los computadores se crearon de inmediato métodos de análisis adecuados para el cálculo en computador, e más usado de ellos es el método directo de las rigideces, creado en la década de 1950.

Al principio de dicha década. Samuel Levy sugirió algunas de las ventajas del método de desplazamientos, usando coeficientes de influencia para el análisis de las estructuras de los aviones. Al mismo tiempo, varios investigadores estaban elaborando una variedad de métodos para el análisis con base en métodos matriciales, con el objeto de aprovechar la capacidad de los computadores. Este confuso conjunto de métodos se consolido algo con el tiempo. En 1954 Turner, Clough, Martin y Topp presentaron el primer tratamiento del método directo de las rigideces, demostraron que la matriz de rigideces se puede ensamblar superponiendo las rigideces de los elementos individuales.

La dualidad de los métodos de las fuerzas o la flexibilidad y de los métodos de los desplazamientos o rigidez, fue demostrada por Argyris y Kelsey en 1960 en su tratado de los teoremas de energía. Desde entonces, se ha obtenido una gran unidad de los diversos procedimientos.

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Análisis matricial

El empleo, de la notación matricial presenta dos ventajas en el cálculo de estructuras. Desde el punto de vista teórico, permite utilizar métodos de cálculo de una forma compacta, precisa y, al mismo tiempo, completamente general. Esto facilita el tratamiento de la teoría de estructuras como unidad, sin que los principios fundamentales se vean oscurecidos por operaciones de cálculo, por un lado, o diferencias físicas entre estructuras, por otro lado. Desde el punto de vista práctico, proporciona un sistema apropiado de análisis de las estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas de computadores.

En constante con estas ventajas, debe admitirse que los métodos matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático, y su valor en el cálculo práctico de estructuras se basa en la adecuación de los computadores para llevar a cabo el trabajo numérico. Se desprende de esto que el principal campo de aplicación esta en el cálculo de grandes y complejas estructuras, en las que los métodos manuales tradicionales requieren una dosis excesiva de esfuerzo humano. En problemas simples, en los que los métodos existentes son plenamente satisfactorios, se gana muy poco con un tratamiento matricial.

Aunque se puede argumentar que el análisis completo de una estructura lleva consigo la determinación de los esfuerzos y movimientos en cualquiera de sus puntos, en el caso de las estructuras reticulares este interés se centra principalmente en los movimientos de los nudos y en los esfuerzos que actúan en los mismos.

La razón de esto estriba en que el estado completo de tensiones y deformaciones de cada barra de una estructura lineal puede determinarse completamente si son conocidos los esfuerzos (fuerzas y momentos internos) que actúan en sus extremos. Una vez que estos intermedios de una barra dependen exclusivamente de las características de la misma, y no de la posición que ocupa en la estructura. En general, se supone que un cálculo8 ha sido concluido cuando los movimientos de los nudos son conocidos y las fuerzas y momentos de los extremos de las barras han sido determinados.

El objetivo de los métodos matriciales

Excepto en la estructuras más simples, los valores de los esfuerzos y movimientos no puedes hallarse exclusivamente sustituyendo números en formulas algebraicas conocidas.

Se requieren cálculos más complejos, y en muchos casos el ingeniero se encuentra con una amplia gama de posibles procedimientos. La elección del método a seguir esta

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normalmente condicionada, en parte, por el grado de aproximación requerido, y, en parte, por su práctica y sus preferencias. Cuando compara métodos que son igualmente precisos, la elección suele basarse en dos consideraciones: el trabajo numérico que llevan consigo y la facilidad con que puedan detectarse y rectificarse los posibles errores. En general, dará preferencia a un método en el que pueda hacer uso de la experiencia adquirida en el análisis de estructuras semejantes, especialmente si dicho método le permite emplear su capacidad de juicio ingenieril para efectuar aproximaciones y reducir pasos intermedios.

Otro factor que puede guiar la elección, es la preferencia de muchos ingenieros por emplear cantidades que presente un significado físico directo. Este es uno de los atractivos de métodos tales como los de distribución de momentos (iterativos); a lo largo de todo el cálculo, el ingeniero siente que está llevando a cabo un proceso que tiene una realidad física. En tales métodos los errores pueden a menudo detectarse, mas por aplicación del sentido común que por un estricto criterio matemático, ya que los números representan términos cuyas magnitudes son conocidas, al menos aproximadamente por el ingeniero.

Todas estas consideraciones están basadas en el supuesto que todo el trabajo, incluyendo el análisis numérico, es realizado por el propio ingeniero- normalmente una persona con considerables conocimientos del comportamiento estructural, pero no demasiado gusto por el proceso meramente numérico o matemático. Sin embargo, si se utiliza un computador para llevar acabo dicho trabajo numérico, los criterios por los cuales un método debe juzgarse si es bueno o malo deben ser revisados.

La cuestión ahora no es decidir si a un ser humano le resultara el cálculo tedioso, sino si el método es adecuado para ser fácilmente adaptado a una maquina. Si esto último sucede, entonces el método es bueno, aunque el número total de operaciones realizadas sea considerablemente superior al de otro método de menor facilidad de mecanizar.

De esto se deduce que el desarrollo de los métodos de cálculo de estructuras en los que el trabajo numérico puede ser el hecho convenientemente en un computador, lleva a procedimientos a la vez sistemáticos y generales. El objetivo es, pues, no disminuir el número total de operaciones aritméticas, sino conseguir métodos que puedan aplicarse a muchos tipos diferente de estructuras y que utilicen el máximo posible de procedimientos numéricos típicos para los cuales ya existen rutinas en los computadores. Para llevar a cabo estos fines, los conceptos de algebra matricial son extremadamente útiles.

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¿Qué es un Computador?

Un computador es, esencialmente, una maquina de calcular, controlada por una secuencia de instrucciones previamente preparadas que conducen a efectuar sucesivamente diferentes pasos del cálculo en orden correcto. El conjunto de instrucciones se denomina programa y el trabajo de prepararlas es conocido como programación.

Es importante hacer notar que un programa no está condicionado a operar con un conjunto fijo de números (esto llevaría al computador a efectuar las mismas operaciones cada vez que se empleara), sino que los números que forman el material característico del cálculo pueden ser diferentes en cada ocasión. Por tanto, si existe un programa para un determinado tipo de cálculo, todos los problemas para los que dicho cálculo proporcionan los medios para su solución, pueden considerarse “resueltos”.

Decir, en este sentido, que existe una solución, significa considerablemente más que la mera existencia de una teoría matemática o una técnica numérica. Significa, en efecto, que cualquier problema cubierto por el programa puede ser resuelto completamente en términos numéricos introduciendo, simplemente, los datos del problema, junto con el programa, en el computador. Los resultados del problema serán correctos, aunque quien produjo el problema sea ignorante del método matemático utilizado en el programa; es decir, que todo el proceso de análisis se reduce a una operación rutinaria de relleno de datos.

Los problemas más sencillos de programar son aquellos en los cuales los datos numéricos son tratados en forma sistemática. Las operaciones de algebra lineal, por ejemplo, son fácilmente ejecutadas en un computador, porque consisten en secuencias de pasos relativamente simples, repetidas muchas veces. Todos los computadores de hoy en día están provistos con secuencias de instrucciones, llamadas rutinas, para llevar a cabo operaciones típicas del análisis numérico, incluidos aquellas del algebra lineal, de forma que, si un cálculo de estructuras puede ser puesto en forma de una serie de estas operaciones, la construcción del programa completo consiste simplemente en disponer las rutinas apropiadas en el orden correcto.

El COMPUTADOR Y EL ANALISIS ESTRUCTURAL

El desarrollo de los computadores electrónicos durante las últimas décadas ha estimulado sobremanera el trabajo de investigación en muchas ramas de la matemática. La mayor parte de esta actividad ha estado, naturalmente, relacionada con el desarrollo de los procedimientos numéricos apropiados para el uso de los computadores, y en el campo del análisis de estructuras ha conducido al desarrollo de métodos que utilizan las ideas del algebra matricial.

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El hecho de que los métodos matriciales estén ligados con los computadores y que se emplee en los mismos una notación no familiar a algunos ingenieros, ha llevado a la creencia de que incluyen nuevos difíciles conceptos matemáticos y estructurales. Esto no es cierto. Un conocimiento de las operaciones básicas del algebra matricial es todo cuanto se requiere, y los únicos principios estructurales necesarios son los elementales tratados en todos los textos de estructuras.

Los métodos clásicos del análisis estructural, desarrollados en las postrimerías del siglo XX, tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática. Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se aplicaban a los casos prácticos, y en aquella época, en la que incluso las maquinas de calcular eran raras, esto entrañaba un serio defecto. Por esta causa, sucesivas generaciones de ingenieros consagraron gran parte de su esfuerzo a reducir el conjunto de cálculos precisos.

Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico fueron apareciendo, pero la mayor parte de las mismas eran solamente aplicables a tipos determinados de estructuras, e inevitablemente el incremento en el número de métodos superficialmente diferentes llevó a oscurecer la simplicidad de las ideas fundamentales, de las que todos ellos originalmente provenían. Puede también suponerse que la necesidad de obtener técnicas prácticas para el análisis de estructuras lineales desvió a muchos investigadores que pudieron haber contribuido de otra forma a un mejor entendimiento del comportamiento real de las estructuras, con el resultado que la investigación de fenómenos tales como la plasticidad y la inestabilidad, fueron pospuestas.

La principal objeción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos conducían a sistemas con gran número de ecuaciones lineales, difíciles de resolver manualmente. Con los computadores, capaces de realizar el trabajo numérico, esta objeción ya no tiene fuerza, mientras que las ventajas de la generalidad de los métodos, permanece. Esto explica porque los métodos matriciales deben en su tratamiento básico de las estructuras más al siglo XIX que al XX.

El ingeniero, el análisis matricial y el computador

En la actualidad, el ingeniero que se dedique al diseño de estructuras, debería estar familiarizado con los métodos del análisis matricial de estructuras, porque constituyen una herramienta poderosa de análisis.

Al mismo tiempo deberá estudiar y entender el uso correcto de esta forma automática de análisis. El resultado de un análisis por computador es solo tan bueno como los datos y el modelo de los cuales se parte. La frase GIGO en ingles (Garbage In, Garbage

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Out) cuya traducción al castellano podría ser BEBS se ha acuñado para recordarnos constantemente que “basura que entra, es igual a basura que sale”.

Esto significa que el criterio y la habilidad del ingeniero, nunca podrán automatizarse, que el criterio y el entendimiento del comportamiento de las estructuras, siempre deberá estar presente cuando se idialice la estructura, se hagan suposiciones acerca de las cargas y solicitaciones, el comportamiento del material, las condiciones de apoyo, las conexiones entre diversos elementos, que son necesarias antes de iniciar el análisis. Lo mismo se aplica a la interpretación y uso correcto de los resultados de tales análisis.

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