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Codigos de grupos LCD y LCP

Cristian David Salina Cassiani

UNIVERSIDAD DEL NORTEDIVISION DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA

Codigos de grupos LCD y LCP

Cristian David Salina Cassiani

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al tıtulo de:Magıster en Matematicas

Dirigida por:Dr. Javier de la Cruz Cantillo

Barranquilla, Diciembre de 2019

AGRADECIMIENTOS

Dirijo mi reconocimiento y gratitud principalmente a Dios por ser el dueno y creador del uni-verso, gracias por tenerme lleno de vida, salud, abundancia y prosperidad e infinitas graciaspor permitirme cumplir cada uno de mis suenos.

A mis padres Ruben David Salina Cassiani e Ibeth Cassiani Cabarcas, gracias a ellos tengoprincipios y valores que dıa a dıa me han ayudado a ser una persona humilde, servicial, ex-traordinaria, exitosa,. . . , los bendigo padres.

Tambien dirijo parte de mis agradecimientos a la Universidad del Norte por abrirme suspuertas y permitirme cumplir uno de mis suenos, el de ser Magister en Matematicas, graciasUniversidad del Norte por tener en tu plantel a excelentes administrativos y docentes quedıa a dıa trabajan por la formacion integral de calidad de sus estudiantes. Gracias a cadauno de los docentes (Edgardo Enrique Alvarez Pardo, Rogelio Grau Acuna, Javier Alfonsode la Cruz, Ismael Gutierrez Garcıa, Jairo Hernandez Monzon, Carlos Vega Fuentes, RicardoAntonio Prato Torres,. . . ) y companeros por compartir generosamente su tiempo, sabidurıa,amor y divinidad. Principalmente agradezco a dos seres humanos extraordinarios, al com-paneros y amigo Francisco Arias Dominguez por sacrificar parte de su tiempo para ayudarmede forma continua en este proceso, y al profesor y maestro Javier Alfonso de la Cruz Canti-llo por acogerme, apoyarme, guiarme, ensenarme el valor de las cosas, mostrarme el caminohacia mi meta y por ayudarme a cumplir este gran sueno.

A los extraordinarios seres humanos que forman parte de mi vida (familiares, amigos, conoci-dos, entre otros), gracias porque de forma directa o indirecta han aportado a mi crecimientoespiritual, emocional y cognitivo, gracias por sus ensenanzas.

Y finalmente, sobre todo, a mi bella y maravillosa esposa Yuris Paola Caicedo Velasquezdesde que la conocı cambio de manera positiva mi mundo, ensenandome el valor de la viday el significado del amor, ademas, gracias por sacrificar parte de tu vida y tiempo para apo-yarme y ayudarme a cumplir mis suenos.

Dedico este tıtulo a mi hijo Danny Jossue Salina Caicedo que desde su nacimiento ha sidomi principal inspiracion.Y a mis mentores, que me han ensenado entre otras muchas cosas, a valorar el tiempo.

Indice general

Introduccion 7

1. Preliminares 91.1. Anillos y cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Subanillos e ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2. Homomorfismos de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3. El anillo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.1. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Ideales, subalgebras, algebras cociente y proyecciones . . . . . . . . . 18

1.3. Teorıa de codigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1. Codigos de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2. Codigos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3. El codigo dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.4. Codigos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.5. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4. Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.2. Submodulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.3. Modulo factor o modulo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.4. Homomorfismos de modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4.5. Modulos simples, submodulos maximales y minimales . . . . . . . . . 391.4.6. Modulos finitamente generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.4.7. Modulos sobre algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.4.8. Modulos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.9. El algebra de grupo KG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.4.10. Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.4.11. Modulos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2. KG-modulos y codigos de grupos. 512.1. KG-modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2. Codigos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5

INDICE GENERAL 6

3. Codigos LCD en Kn y codigos de grupo LCD 603.1. Codigos LCD en Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2. Codigos de grupo LCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4. Codigos LCP en Kn y codigos de grupo LCP 704.1. Codigos LCP en Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2. Codigos de grupo LCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Bibliografıa 74

Introduccion

Los codigos lineales con dual complementario, tambien llamados codigos LCD, fueron in-troducidos en 1992 por J.L. Massey [20]. Concretamente, un codigo lineal C ≤ Kn es uncodigo LCD si Kn = C ⊕ C⊥. Los codigos clasicos LCD son de particular interes debido aque son asintoticamente buenos [20] y porque alcanzan la cota de Gilbert-Varshamov [22].Ademas esta familia de codigos juega un papel crucial en la proteccion de informacion [2].Una definicion mas general de codigos LCD es la siguiente. Un par (C,D) de codigos linealessobre K de longitud n es llamado lineal complementariamente par o abreviadamente LCP, siC∩D = 0 y C+D = Kn. En la actualidad los codigos LCP son objeto de gran estudio de-bido a sus aplicaciones en la criptografıa [29], [12], [2]. En este contexto la seguridad de un par(C,D) de codigos LCP puede ser medida por el parametro de seguridad mınd(C), d(D⊥).Claramente, si D = C⊥, entonces C es un codigo con dual complementario y la seguridadpara (C,D) es d(C).

Por otra parte, un codigo lineal C se denomina un codigo de grupo (para un grupo G sobreel cuerpo K) si C es un ideal derecho en el algebra de grupo KG = a =

∑g∈G

agg | ag ∈ K,

donde G es un grupo finito. El espacio vectorial KG con base G sirve como espacio ambiente,con la funcion de peso wt(a) = |g ∈ G | ag 6= 0| para todo a ∈ KG.

Es bien conocido que KG tiene una estructura natural de K-algebra a traves de la mul-tiplicacion de G. Mas precisamente, si a =

∑g∈G

agg y b =∑g∈G

bgg son dados, entonces

a · b =∑g∈G

(∑h∈G

ahbh−1g

)g. En este sentido, los codigos cıclicos son codigos de grupo cuando

G es un grupo cıclico y los codigos Reed-Muller son codigos de grupo cuando G es un p-grupoabeliano.

El algebra de grupo KG tiene una forma bilineal G-invariante simetrica no degenerada 〈·, ·〉definida por

〈g, h〉 =

1 si g = h

0 en caso contrario.

Aquı G-invariante significa que 〈ag, bg〉 = 〈a, b〉 para todo a, b ∈ KG y todo g ∈ G. Con

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INDICE GENERAL 8

respecto a esta forma bilineal, definimos el codigo dual de C como

C⊥ := v ∈ KG | 〈v, u〉 = 0 para todo u ∈ C.

Recientemente, en [14] y [16] los autores definen y estudian en el ambiente de codigos degrupo, los codigos LCD y codigos LCP, los cuales son denominados codigos de grupo LCD yLCP respectivamente.

El objetivo central de este trabajo es analizar los resultados dados en [14] y [16], sobrecodigos de grupo LCD y LCP, completando con todo detalle cada una de las pruebas. Eldocumento esta organizado de la siguiente manera. En el Capıtulo 1, se estudian conceptospreliminares de la teorıa de anillos, la teorıa de cuerpos, la teorıa clasica de codigos y lateorıa de modulos. En el Capıtulo 2, estudiamos resultados fundamentales de KG-modulosy codigos de grupos. En el Capıtulo 3, estudiamos codigos LCD en Kn y codigos de grupoLCD. En esta parte se analizan condiciones necesarias y suficientes para que un codigo seaun codigo de grupo LCD. Finalmente, en el Capıtulo 4 presentamos los codigos de grupoLCP .

Capıtulo 1

Preliminares

En el presente capıtulo presentaremos una serie de resultados y/o definiciones muy importan-tes que seran utiles y fundamentales en el desarrollo de los capıtulos posteriores y en genealpara el desarrollo de este trabajo. Por ser resultados que han sido ampliamente tratados enotros textos o por ser resultados que no son objeto central de la investigacion, algunos seranenunciados sin demostracion.

1.1. Anillos y cuerpos

Posiblemente junto con los grupos y los espacios vectoriales, los anillos son los objetos alge-braicos mas importantes. En esta seccion se define la estructura de anillo, subanillo e ideal,y se enuncian algunas de sus propieades mas importantes.

Definicion 1.1.1. Sean A un conjunto no vacıo, + : A × A −→ A y · : A × A −→ A dosleyes de composicion interna. Decimos que la estructura algebraica (A,+, ·) es un anillo si,y solo si

A1: (A,+) es un grupo abeliano.

A2: (A, ·) es asociativa.

A3: a(b+ c) = ab+ ac y (b+ c)a = ba+ ca para todo a, b y c en A.

Si (A, ·) es una estructura algebraica abeliana, decimos que A es un anillo conmutativo, ysi existe 1 ∈ A tal que a · 1 = 1 · a = a, para todo 1 ∈ A, decimos que A es un anillo conidentidad 1A.Escribiremos A para denotar el anillo (A,+, ·).

Nota 1.1.2. Un ejemplo trivial de anillo con identidad es A = 0 , donde 0 es la identidadmultiplicativa y el elemento neutro aditivamente.Para evitar esto, supondremos que 1 6= 0 y que todo anillo tiene mas de dos elementos.Tambien vamos a suponer que todos los anillos son anillos con identidad.

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CAPITULO 1. PRELIMINARES 10

Definicion 1.1.3. Sea A un anillo, un elemento a ∈ A es invertible (o una unidad) si existeb ∈ A, tal que ab = ba = 1. En dicho caso escribiremos b = a−1.

Definicion 1.1.4.

1. Un elemento 0 6= a ∈ A es un divisor de cero derecho (izquierdo) si existe 0 6= b ∈ Atal que ab = 0 (ba = 0).

2. Un elemento 0 6= a ∈ A es un divisor de cero si existe 0 6= b ∈ A tal que ab = ba = 0.

3. Un anillo conmutativo que carezca de divisores de cero laterales (y por tanto divisoresde cero) se denomina dominio entero.

4. Un anillo en el cual todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo se denomina unanillo con divisor.

5. Un anillo con division conmutativa es llamado un cuerpo.

Teorema 1.1.5. Un dominio entero finito es un cuerpo.

Teorema 1.1.6. (Wedderburn) . Un anillo con division finito D es un cuerpo.

Nota 1.1.7. Si A es un anillo, el conjunto U (A) := x ∈ A : x es una unidad es un grupomultiplicativo. Si A es un cuerpo, entonces A× := A\ 0 = U (A). Por ejemplo, U (Z) =−1, 1 ∼= G = 〈x : x2 = 1〉, donde G es un grupo cıclico de orden 2. Entonces Z no es uncuerpo. Sin embargo, si tomamos Zm := Z/mZ con m un numero primo, la situacion esdiferente, como veremos en el siguiente lema.

Lema 1.1.8. El anillo Zm es un dominio entero (por lo tanto un cuerpo) si, y solo si m esprimo.

Demostracion. Inicialmente mostremos que si Zm es un cuerpo, implica que m es un numeroprimo, en efecto, razonemos por el absurdo, supongamos que m no es un numero primo. Sim = 1, entonces, Zm = Z no es un cuerpo.Si m > 1, entonces m = ab con a y b enteros estrictamente menores que m. En Zm, tenemos[a] [b] = [ab] = [m] = [0] , si Zm fuese cuerpo, necesariamente [a] = [0] o [b] = [0] , pero eso secumple si m/a o m/b lo que contradice la hipotesis.Ahora mostremos que si m es primo, entonces Zm es un cuerpo. Para ello, probemos que todoelemento no nulo tiene inverso multiplicativo. En efecto, consideremos [n] ∈ Zm con m > n.Por ser m primo, tenemos que m y n son primos entre sı y por lo tanto existen enteros talesque 1 = an+ bm, de donde se concluye que:

[1] = [a][n] + [b][m] = [a][n] + [b][0] = [a][n].

Luego, [n] tiene inverso en Zm.Ejemplo 1.1.9. Si G es un grupo aditivo abeliano, entonces

End(G) := f : G −→ G | f es un homomorfismoes un anillo con identidad bajo la adicion y composicion de funciones. En este caso, la funcioncero es el elemento neutro aditivo y la funcion identica la identidad. El anillo End (G) esllamado el anillo de endomorfismos de G.


1.1.1. Subanillos e ideales

Daremos los conceptos y propiedades basicas relacionadas con ciertos subconjuntos de unanillo A, que bajo las mismas operaiones de A, poseen propiedas importamtes, algunos seranllamados subanillos y otros ideales. Dichos conceptos seran utilizados en capıtulos posteriores.

Definicion 1.1.10. Sea S un subconjunto de A no vacıo (∅ 6= S ⊆ A), decimos que S es unsubanillo de A si S bajo las operaciones de A es tambien un anillo.

Observacion 1.1.11. .

1. Note que todo subanillo S tiene una identidad 1S, no necesariamente 1S = 1A. Enefecto, sea A = Z× Z un anillo con unidad (1, 1) y suma y multiplicacion componentea componente. Ademas, S = (n, 0) ∈ A : n ∈ Z, es un grupo abeliano aditivo y escerrado bajo la multiplicacion. Por lo tanto, S es un anillo con identidad (1, 0). Sinembargo 1A = (1, 1) 6= (n, 0) = 1S.

2. Dado que la identidad de un anillo es unica, si 1A ∈ S y S es un subanillo, entonces1A = 1S. En nuestro caso no solo supondremos que todo anillo tiene identidad, sino queademas, para todo subanillo S se tiene 1A = 1S. En consecuencia, en el item anteriorS no es un subanillo de A.

Definicion 1.1.12. Sea S un subconjunto de A (S ⊆ A) no vacıo, S es un subanillo de A siy solo si

S1: (S,+) es un subgrupo abeliano.

S2: (S, ·) es una estructura algebraica.

S3: 1A ∈ S.

Lema 1.1.13. Un subconjunto no vacıo S de un anillo A es un subanillo de A si y solo si

1. x− y ∈ S para todo x, y ∈ S.

2. xy ∈ S para todo x, y ∈ S.

3. 1A ∈ S.

Demostracion. Inicialmente, supongamos que S es un subanillo de A, en particular S es unanillo, con S 6= ∅ (pues 0 ∈ S). Ademas, S es tambien un subgrupo aditivo de A, por lo tantose cumple que x − y ∈ S, para todo x, y ∈ S. Sabemos que el producto es una operacioninterna en S, entonces se cumple que xy ∈ S, para todo x, y ∈ S. Como 1S ∈ S, en particular1S ∈ A y como la identidad es unica, se sigue que 1A = 1S ∈ S.En la otra direccion, tenemos que S 6= ∅ y x−y ∈ S para todo x, y ∈ S, se sigue que (S,+) esun subgrupo abeliano de (A,+) (por ser A un anillo), es decir, (S,+) es un grupo abeliano.Ademas, como xy ∈ S, se sigue que la operacion producto es una operacion interna en S,y es asociativa en S por serlo en A, lo cual implica que (S, ·) es semigrupo. Finalmente, secumple la propiedad distributiva en S al cumplirse en A. Con lo cual (S,+, ·) es un anillo ypor lo tanto S es un subanillo de A.


Definicion 1.1.14. Sea I un subconjunto de A no vacıo y sea A un anillo. Entonces I es unideal derecho de A si y solo si:

1. (I,+) es un subgrupo abeliano.

2. xa ∈ I, para todo a ∈ A y x ∈ I.

En forma analoga se define un ideal izquierdo. En caso en que I sea un ideal derecho eizquierdo de A, decimos que I es un ideal bilateral de A o simplemente un ideal de A.

Lema 1.1.15. Sea ∅ 6= I ⊆ A y A un anillo. Entonces I es un ideal derecho de A si y solosi:

1. x+ y ∈ I, para todo x, y ∈ I.

2. xa ∈ I, para todo a ∈ A y x ∈ I.

Observaciones 1.1.16.

1. La interseccion de cualquier familia de ideales derechos de A es un ideal derecho de A.Si S ⊆ A, entonces el ideal derecho generado por S denotado como 〈S〉d, es el menorideal derecho de A que contiene a S, es decir

〈S〉d :=⋂I∈F

I,

donde F := I : I es un ideal derecho de A con S ⊆ I. Se demuestra facilmente que:

〈S〉d =

m∑i=1

siai : si ∈ S, ai ∈ A, m ∈ N

.

En el caso que S sea finito, por ejemplo S = s1, s2, · · · , sn, escribiremos 〈S〉d =〈s1, s2, · · · , sn〉 y diremos que dicho ideal es finitamente generado. De forma analoga sedefine el ideal izquierdo 〈S〉i, y el ideal bilateral 〈S〉 generado por S es definido como

〈S〉 =

m∑i=1

bisiai : si ∈ S, ai, bi ∈ A, m ∈ N

.

Si S = x, entonces se suele denotar por 〈x〉d = xA al ideal derecho generado por x. Demanera equivalente 〈x〉i = Ax al ideal izquierdo generado por x. Ademas, denotamospor 〈x〉 = AxA al ideal bilateral generado por x. Notese que 〈x〉d coincide con elconjunto producto xa : a ∈ A y por ello se usa la notacion xA.Note que 〈S〉 es el menor ideal bilateral que contiene a S y 〈S〉d es el menor idealderecho que contiene a S, en consecuencia 〈S〉d ⊆ 〈S〉. Sin embargo, si I = 〈S〉d = 〈S〉i,se tiene que I = 〈S〉.


2. Si I = Ax (I = xA) diremos que I es un ideal principal izquierdo (derecho) de A.Si I = AxA se dice que es un ideal principal bilateral. En el caso que todo idealderecho e izquierdo de A sea un ideal principal derecho e izquierdo respectivamente, Ase denomina un anillo de ideales principales, lo cual abreviamos como AIP. Es claroque en un AIP todo ideal bilateral es un ideal bilateral principal.

3. El centro de un anillo A, se define como

Z(A) := x ∈ A : ax = xa para todo a ∈ A .

Es facil ver que Z(A) es un subanillo de A. Ademas, si A es un subanillo con division,entonces Z(A) es un cuerpo.

1.1.2. Homomorfismos de anillos

En esta subseccion mostraremos herramientas que nos permitan determinar cuando dos ani-llos son algebraicamente el mismo.

Definicion 1.1.17. Dados dos anillos A y B, decimos que una funcion ϕ : A −→ B es unhomomorfismo de anillos si se cumple que:

1. ϕ(x+ y) = ϕ(x) + ϕ(y), para todo x, y ∈ A.

2. ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), para todo x, y ∈ A.

En caso en que ϕ sea inyectiva, sobreyectiva o biyectiva se dira que ϕ es un monomorfismo,un epimorfismo o un isomorfismo respectivamente.

Observacion 1.1.18. Si ϕ : A −→ B es un homomorfismo, notese que ϕ(1) = ϕ(1)ϕ(1) =ϕ(1)2, es decir, ϕ(1A) es un idempotente de B. En caso en que ϕ sea un epimorfismo vemosademas que ϕ(1A) = 1B. En efecto, sabemos que existe x ∈ A tal que ϕ(x) = 1B, entoncesϕ(1A) = ϕ(1A)1B = ϕ(1A)ϕ(x) = ϕ(1A·x) = ϕ(x) = 1B.Un homomorfismo de anillo para el cual ϕ(1A) = 1B se denomina homomorfismo que conservaidentidad. En nuestro caso supondremos que todos los homomorfismos son de este tipo.

Definicion 1.1.19. Dado un homomorfismo de anillos ϕ : A −→ B definimos

1. Ker(ϕ) := x ∈ A : ϕ(x) = 0, denominado el kernel de ϕ.

2. Im(ϕ) := ϕ(x) : x ∈ A, denominado la imagen de ϕ.

Es facil verificar que Ker(f) es un ideal de A y que Im(f) es un subanillo de B. En el casoque ϕ : A −→ B sea un isomorfismo, diremos que A es isomorfo a B y escribiremos A ∼= B.

Lema 1.1.20. Sea f : A −→ B un homomorfismo de anillos, entonces:

1. Si I es un ideal dereho (izquierdo, bilateral) de A, entonces f(I) es un ideal dereho(izquierdo, bilateral) de B.


2. Si J es un ideal dereho (izquierdo, bilateral) de B, entonces f−1(J) es un ideal dereho(izquierdo, bilateral) de A.

3. Si I es un ideal de cualquier tipo de A, entonces f−1(f(I)) = I+ Ker(f).

4. Si J es un ideal de cualquier tipo de B, entonces f(f−1(J)) = J∩ Im(f).

5. f es un monomorfismo si y solo si Ker(f) = 0.

1.1.3. El anillo cociente

En esta subseccion definiremos un anillo especial, llamado el anillo cociente, y algunas de susprincipales propiedades.

Definicion 1.1.21. Si I es un ideal bilateral propio de A, entonces el conjunto de las claseslaterales de I en A, definido como

A/I := a+ I : a ∈ A ,

es un anillo bajo las operaciones

(a+ I) + (b+ I) = (a+ b) + I

y(a+ I)(b+ I) = (ab) + I

El conjunto A/I se denomina el anillo cociente (o anillo factor) de A sobre I. La identidadde A/I es 1 + I. Como es usual denotaremos la clase a+ I por [a].

Ejemplo 1.1.22.

1. F2/ 〈x2 + x+ 1〉 es el anillo cociente formado por 0+〈x2 + x+ 1〉, 1+〈x2 + x+ 1〉, x+〈x2 + x+ 1〉 y (x+1)+〈x2 + x+ 1〉. Entonces, F2/ 〈x2 + x+ 1〉 = [0], [1], [x], [x+ 1] ∼=F4.

2. Sea A = Z×Z. Sabemos que A no es un dominio entero puesto que (0, 1)(1, 0) = (0, 0).Sin embargo, si definimos N = (0, n) : n ∈ Z, entonces A/N es isomorfo a Z conisomorfismo,

ϕ : A/N −→ Z

definido como ϕ((m,n) + N) = m. Luego, A/N es un dominio entero. Ası, un anillocociente puede ser dominio entero aunque el anillo original no lo sea.

Definicion 1.1.23. Dado un ideal I de un anillo A, la funcion πI : A −→ A/I definida comoπ(a) = a+ I para todo a ∈ A, es un epimorfismo de anillos, llamado proyeccion canonica (oepimorfismo canonico).

Nota 1.1.24. Es claro que πI : A −→ A/I es la proyeccion canonica, entonces


1. πI(J) = J/I, si J es un ideal de A con I ⊆ J .

2. Ker(πI) = I.

A continuacion enunciaremos unos resultados fundamentales sobre anillos cocientes.

Lema 1.1.25. (Propiedad universal del cociente). Dado un homomorfismo de anillo f :A −→ B con I ⊆ Ker(f), exite un unico homomorfismo de f : A/I −→ B tal que

1. El siguiente diagrama conmuta, es decir fπI = f .

A

πI

f // B

A/If

==

2. Ker(f) = πI(Ker(f)) e Im(f) = Im(f)

1.1.4. Cuerpos finitos

Un cuerpo K que satisface |K| <∞ se denomina cuerpo finito, en esta subseccion se define lacaracterıstica de un cuerpo, extensiones de cuerpos, el grupo de automorfismos de un cuerpofinito, y se enuncian algunas de sus propiedades mas importantes.

Definicion 1.1.26. Sea K un cuerpo con elemento cero 0K, decimos que K es de caracteristicapositiva si existe un entero n > 0 tal que nx = 0K para todo x ∈ K. El menor entero n conesta propiedad se denomina caracterıstica de K y se denota Char(K). Si no existe un enterosemejante, decimos que K tiene caracterıstica cero.

Teorema 1.1.27. Un cuerpo K tiene caracterıstica n > 0 si y solo si n es el menor enteropositivo tal que n · 1K = 0K.

Teorema 1.1.28. Si K es un cuerpo, entonces su caracterıstica es cero o un numero primo.

Demostracion. Sea Char(K) 6= 0 y supongamos que Char(K) /∈ P. Entonces, Char(K) = km,con k,m ∈ N y k,m > 1. En consecuencia 0 = (km)1 = (k1)(m1). De donde se concluye quek1 = 0 o m1 = 0, lo cual es una contradiccion.

Teorema 1.1.29. Todo cuerpo finito tiene como caracterıstica un numero primo.

Demostracion. Demostremos que Char(K) 6= 0. Para esto, consideremos los multiplos 1, 2 ·1,3 · 1, · · · , dado que K es finito, entonces existen m, k ∈ N tales que m > k y m1 = k1.Entonces (m− k)1 = 0, con m− k 6= 0.

Definicion 1.1.30. Sean K y F cuerpos. Decimos que F/K es una extension de cuerpos, oque F es una extension de K, si existe un homomorfismo de cuerpos ϕ : K −→ F.

Observacion 1.1.31. Si F/K es una extension de cuerpos, entonces F es un espacio vectorialsobre el cuerpo K. La dimension de F sobre K se denota [F : K].


Teorema 1.1.32. Si H es una extension finita de K y F es una extension finita de H,entonces F es una extension finita de K con [F : K] = [F : H][H : K]. Ademas, [F : K] esfinito si y solo si [F : H] y [H : K] lo son.

Demostracion. Ver [28], Teorema 1,84.

Teorema 1.1.33. Sea K un cuerpo finito con caracterıstica p. Entonces K es una extensionde cuerpo con p elementos Fp.

Demostracion. Consideremos la aplicacion ϕ : Fp −→ K, definida como ϕ(n) = n · 1, es claroque ϕ es un homomorfismo de cuerpos finitos.

Teorema 1.1.34. Sea K un cuerpo finito con caracterıstica p. Entonces |K| = pn, para algunn ∈ N.

Demostracion. Sabemos que K es un espacio vecorial sobre Fp, mas aun, K es finito-dimensionalcomo el espacio vectorial sobre Fp, por lo tanto, K tiene una base sobre Fp, digamos (v1, . . . , vn).Entonces cada elemento de K se escribe de forma unica

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn,

para α1, α2, . . . , αn ∈ Fp. Dado que cada αi puede tener p valores, entonces K tiene exacta-mente pn elementos, esto es, |K| = pn.

Teorema 1.1.35. Sea K un cuerpo finito con caracterıstica p. Entonces

(x+ y)pn

= xpn

+ ypn

,

para todo n ∈ N.

Definicion 1.1.36. Sea F/K una extension de cuerpos. Entonces

AutK(F) := ϕ ∈ Aut(F) : ϕ(k) = k, para todo k ∈ K.

El conjunto AutK(F) es un subgrupo del grupo de automorfismos Aut(F).

A continuacion, definimos el concepto de subcuerpos y cuerpos primos, y algunas de susprincipales propiedades.

Definicion 1.1.37. Sea K un cuerpo y ∅ 6= F ⊆ K. Decimos que F es un subcuerpo de K,si F bajo las operaciones de K es tambien un cuerpo. En este caso decimos que K es unaextension de F.

Definicion 1.1.38. Sea K un cuerpo. Entonces la interseccion de todos los subcuerpos deK es un subcuerpo denominado el subcuerpo primo P de K.

Observacion 1.1.39. P es el subcuerpo mas pequeno de K.


Definicion 1.1.40. Decimos que un cuerpo K es primo si no tiene subcuerpos propios.

El resultado que sigue a continuacion nos permite conocer el subcuerpo primo de todo cuerpo.

Teorema 1.1.41. Si Char(K) = 0, entonces el subcuerpo primo P de K es isomorfo a Q.Ademas si Char(K) = P , entonces el subcuerpo primo de K es isomorfo a Zp.

Demostracion. Ver [28], Teorema 1.1.82.

Teorema 1.1.42. Sea K un cuerpo. Si f ∈ K[x] es irreducible de grado n, entonces E =K[x]/ 〈f〉 es un cuerpo. Si identificamos a k + 〈f〉 : k ∈ K con el cuerpo K, entonces E esuna extension de K con [E : K] = n. Ademas f tiene una raız en E.

Demostracion. Ver [28], Teorema 1.61.

Teorema 1.1.43. (Exitencia y unicidad de cuerpos).

1. Para cada potencia prima q existe un cuerpo con q elementos.

2. Sea K un cuerpo con |K| = q. Si E es una extension de K con [E : K] = n y f ∈ K[x]es irreducible de grado n, entonces E ∼= K[x]/ 〈f〉.En particular, los cuerpos finitos salvo isomorfıa estan determinados por su cardinali-dad.


Definicion 1.1.44. El unico cuerpo con q elementos se denomina el cuerpo de Galois y sedenota como GF(p, n) o Fq si q = pn.

Teorema 1.1.45. Si K = Fq y K× = K\ 0, entonces K× es un grupo multiplicativo cıclico.


Definicion 1.1.46. Si α ∈ Fq y 〈α〉 = F×q , decimos que α es un elemento primitivo delcuerpo Fq.

Definicion 1.1.47. Sea E un cuerpo finito y K ≤ E. Entonces, definimos el grupo de Galoisde E sobre K como Gal(E/K) = α : α ∈ Aut(E), α(a) = a para a ∈ K.

Teorema 1.1.48. Sean K ≤ E, [E : K] = n y |K| = q. Entonces Gal(E/K) es un grupocıclico de orden n. Un generador de Gal(E/K) es el automorfismo de Frobenius, definidocomo α(a) = aq para a ∈ E.


1.2. Algebras

1.2.1. Definicion y ejemplos

En esta seccion estudiaremos algunas propiedades relacionadas con el concepto de albegra,las cuales son fundamental para el presente trabajo, ademas esta es una de las estructurasmas importantes en la teorıa de anillos. Este tipo especial de anillos es muy estudiado en laliteratura, en donde se consideran algebras conmutativas, algebras no conmutativas, algebrasde Lie, algebras de Hopf, entre otras, casi todas dependiendo de las propiedades del producto.

Definicion 1.2.1. Sea K un cuerpo. Decimos que un conjunto no vacıo A es una K-algebrasi y solo si:

AL 1. A es un anillo con identidad.

AL 2. A es un K-espacio vectorial.

AL 3. Para todo α ∈ K y todo a, b ∈ A se tiene (αa)b = α(ab) = a(αb).

En este caso, la estructura aditiva (A,+) es la misma como anillo y espacio vectorial. Ademas,se exige que 1 6= 0. Dado que la estructura multiplicativa del anillo es asociativa, nuestrasalgebras seran asociativas. En caso en que A sea un anillo conmutativo, entonces se dice queA es una algebra conmutativa. Ademas, si dimK(A) es finita como espacio vectorial, entoncesdecimos que A es una algebra de dimension finita.

Lema 1.2.2. Si A es un K-algebra, entonces para todo a ∈ A y α ∈ K se tiene αa =a(α1A) = (α1A)a.

Demostracion. La afirmacion se sigue por la propiedad AL3 y del hecho de que a = a1A =1Aa.

Los conceptos de homomorfismos, monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos se definenpara algebras en forma similar como para anillos, con la exigencia de que se debe preservar laestructura de espacio vectorial, es decir ϕ(λa) = λϕ(a). Ademas, exigimos como para anillosque ϕ(1A) = 1B si ϕ : A −→ B es un homomorfismo de K-algebras.

1.2.2. Ideales, subalgebras, algebras cociente y proyecciones

Al igual que en la subseccion de subanillos e ideales enunciamos algunos conceptos y propie-dades basicas muy importantes de ciertos subconjuntos de un anillo A. En esta subseccion,daremos conceptos fundamentales para el presente trabajo relacionados con ideales, subalge-bras y algebras cociente.

Definicion 1.2.3. Sea A un K-algebra.

1. Si ∅ 6= B ⊆ A es tambien un K-algebra, decimos que B es un subalgebra de A.


2. Un ideal derecho I de un algebra es un K-subespacio vectorial para el cual xa ∈ I paratodo x ∈ I y a ∈ A.

3. Dado un ideal bilateral I de A se tiene que A/I es un K-algebra denominada el algebracociente.

4. Decimos que un ideal I de A es maximal si I 6= A y siempre que I ≤ J ≤ A para algunideal J de A, entonces I = J o J = A.

Ejemplo 1.2.4.

1. Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, vemos que HomK(V, V ) es un K-alge-bra denominada usualmente el algebra de las transformaciones de V que denotaremosEndK(V ). En caso en que dimKV = n, entonces HomK(V, V ) = n2.

2. K[x] es un algebra conmutativa de dimension infinita. Ademas, para n ∈ N tenemosque 〈xn − 1〉 es un ideal bilateral y K[x]/ 〈xn − 1〉 un algebra cociente.

3. A = K es un K-algebra con dimK(A) = 1, llamada algebra regular.

Observacion 1.2.5. La definicion de ideal derecho I para un algebra A con identidad se pue-de dar igual como para anillos, puesto que la cerradura por multiplicacion escalar se tendrıa.En efecto, λx = λ(x1A) = x(λ1A) ∈ A para x ∈ I y λ ∈ K. Cuando el algebra A carecede identidad, estos dos conceptos no coinciden. Por ello vemos nuevamente otra ventaja detrabajar con anillos con identidad.

El siguiente teorema establece para algebras el resultado analogo al Teorema de Cayley paragrupos.

Teorema 1.2.6. Si A es un K-algebra, entonces A es isomorfa a un subalgebra de EndK(V ) =HomK(V, V ) para algun espacio vectorial V sobre K.

Demostracion. Dado que A es un K-subespacio sobre K, tomemos V = A como el espaciovectorial buscado. Dado a ∈ A si definimos Ta : A −→ A como Tav := av para todo v ∈ A,entonces es facil probar que Ta ∈ HomK(V, V ). En efecto,

1.

Ta(u+ v) = a(u+ v)

= au+ av

= Tau+ Tav

2.

Ta(uv) = a(uv)

= (auv)

= TauTav.


Sea ahora ϕ : A −→ HomK(A,A) definida como ϕ(a) = Ta. Entonces ϕ es un monomorfismode K-algebras, en efecto, sean a, a′ ∈ A tales que ϕ(a) = ϕ(a′). Entonces:

ϕ(a) = ϕ(a′)

ϕ(a)v = ϕ(a′)v con v ∈ ATav = Ta′v

av = a′v

a = a′.

Definicion 1.2.7. Sea A un K-algebra,

1. Dado que la interseccion de ideales (subalgebras) es un ideal (subalgebra), si X ⊆ Adefinimos el ideal (subalgebra) generado por X como:

〈X〉 :=⋂

X⊆I≤A

I

(〈X〉 :=

⋂X⊆B≤A

B

)

2. Definimos el centro de A como el subalgebra definido como

Z(A) := a ∈ A : ax = xa, para todo x ∈ A .

3. Si a ∈ A, definimos el centralizador de a como el subalgebra definida como

CA(a) = x ∈ A : ax = xa, para todo x ∈ A .

1.3. Teorıa de codigos

La teorıa de codigos es un area de las matematicas discretas estrechamente relacionada conla teorıa de la informacion, donde la tecnica para la construccion de codigos utiles puedenser extendidas enormemente si dotamos a los sımbolos con las propiedades de los numeros.A grandes rasgos, codificar es transformar una informacion en una senal convenida para sucomunicacion. Decodificar serıa el proceso inverso y complementario del anterior por el cualla senal comunicada es transformada en la informacion original.En esta seccion se veran algunos conceptos basicos de la Teorıa de Codigos, tales comodefiniciones que serviran de lenguaje para los siguientes capıtulos, notaciones, conceptoselementales, hasta resultados que facilitaran los calculos a lo largo de este trabajo, los cualespueden encontrarse en la mayorıa de libros relacionados al tema.


1.3.1. Codigos de bloques

Los codigos de bloque son tecnicas utilizadas para transformar un conjunto de datos binariosen otro un poco mas largo. Los codigos mas estudiados son los codigos de bloque q-arios,por lo tanto a lo largo de este trabajo, cuando nos refiramos a un codigo estaremos hablandode un codigo de bloque q-ario. Ademas, por brevedad a las palabras-codigo las denotaremossimplemente como palabras.Comenzamos dando una definicion matematica de lo que sera un codigo.

Definicion 1.3.1. Sea A = a1, a2, ..., aq un conjunto de tamano q, el cual denominaremosel alfabeto y a sus elementos los sımbolos.

1. Una palabra q-aria de longitud n es una secuencia w = w1w2...wn con wi ∈ A. Quetambien puede denotarse como n-tupla w = (w1, w2, ..., wn).

2. Un codigo de bloque q-ario de longitud n sobre A es un conjunto no vacıo C de palabrasq-arias todas de longitud n. Es decir ∅ 6= C ⊆ An.

3. Un elemento de C, se denomina un codeword en C.

4. |C| se denomina el tamano del codigo.

5. La tasa de informacion de un codigo se define por logq |C| /n.

6. Un codigo de longitud n y tamano M se denota como un [n,M ]-codigo.

Nota 1.3.2. Si q es una potencia de un primo entonces A = Fq. En caso contrario A = Zn.

Ejemplo 1.3.3. Un codigo sobre el alfabeto A = F2 es un codigo binario. Algunos ejemplosde estos son:

1. C1 = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) es un [2, 4]-codigo.

2. C2 = (0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) es un [3, 4]-codigo.

Si F3 es el alfabeto, entonces se dice que el codigo es ternario. Si A = F4, se dice que el codigoes cuaternario, aunque tambien se denomina ası cuando A = Z4.

Definicion 1.3.4. Sean x, y dos palabras de longitud n sobre un alfabeto A. Definimos ladistancia de Hamming entre x y y denotada d(x, y), como el numero de coordenadas en lascuales x y y difieren. Por lo tanto si x = x1, ..., xn y y = y1, ..., yn, entonces

d(x, y) = |i : xi 6= yi| .

Ejemplo 1.3.5. Sea A = 0, 1, x = 01010 y y = 10110. Entonces d(x, y) = 3.

Teorema 1.3.6. La distancia d de Hamming es una metrica. Es decir, para todo x, y, z ∈ Anse verifica que:


1. d(x, y) ≥ 0.

2. d(x, y) = 0⇔ x = y .

3. d(x, y) = d(y, x).

4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Demostracion. Las afirmaciones (1.), (2.) y (3.) son inmediatas. Demostremos (4.), para esto,tengamos en cuenta lo siguiente:

a. d(x, y) = d(x1, y1) + · · ·+ d(xn, yn), donde

d(xi, yi) =

1, xi 6= yi

0, xi = yi

b. Si xi 6= yi ⇒ xi 6= zi o zi 6= yi. Entonces

d(x, y) = d(x1, y1) + · · ·+ d(xi, yi) + · · ·+ d(xn, yn)

d(x, z) + d(z, y) = [d(x1, z1) + d(z1, y1)] + · · ·+ [d(xi, zi) + d(zi, yi)]

+ · · ·+ [d(xn, zn) + d(zn, yn)] .

Pero en general d(xi, yi) ≤ d(xi, zi) + d(zi, yi). Veamos dos casos:

b1. Si d(xi, yi) = 0, entonces, puesto que 0 ≤ d(xi, zi) y 0 ≤ d(zi, yi), se tiene la afirmacion.

b2. Si d(xi, yi) = 1, entonces, xi 6= yi. Por lo tanto d(xi, zi) = 1 y d(zi, yi) = 1, con lo cualse tiene tambien la afirmacion.

Nota 1.3.7. Si A es un grupo abeliano con la suma, entonces d es invariante bajo traslaciones.Esto es, para todo x, y, z ∈ An se verifica que

d(x+ z, y + z) = d(x, y).

Definicion 1.3.8. Sea C un codigo de longitud n sobre el alfabeto A = Fq.

1. Si |C| > 1, definimos la mınima distancia de C como

d (C) := mın d (x, y) : x, y ∈ C, x 6= y .

En caso en que |C| = 1, se define d(C) := 0.

2. Si d = d(C) y M = |C|, hablamos de un [n,M, d]-codigo.


Nota 1.3.9. Dado un codigo C de longitud n y |A| = q fijos, la busqueda de buenos codigosC ⊆ An consiste en encontrar codigos que tengan una mayor tasa de informacion R(C) =logq |C|n

y que tengan distancia minima lo suficientemente grande para que corrijan mayorcantidad de errores. Lamentablemente estas dos exigencias se contradicen, puesto que siR(C) es grande, entonces |C| debe ser grande y la distancia entre los codewords se hacepequena. La dependencia entre estas dos variables se aprecia claramente en el siguienteteorema, demostrado por R.C. Singleton en 1964.

Teorema 1.3.10 (Cota de Singleton). Sea C un codigo de longitud n sobre A con |A| = q.Entonces:

d(C) ≤ n− logq |C|+ 1.

Demostracion. Sea f : An −→ An−(d−1) la funcion (proyeccion) definida por

f(u1, ..., un−(d−1), un−(d−2), ..., un) = (u1, ..., un−(d−1)).

Se puede verificar que f es inyectiva, en efecto, Seanu = (u1, ..., un−(d−1), un−(d−2), ..., un), v = (v1, ..., vn−(d+1), vn−(d−2), ..., vn) vectores de An talque f(u) = f(v), de donde se sigue que (u1, ..., un−(d−1)) = (v1, ..., vn−(d−1)).Entonces, el numero de coordenadas en que u y v podrıan ser diferentes es a lo mas n− (n−d + 2) + 1 = d − 1. Es decir que si u 6= v, entonces, d(u, v) ≤ d − 1 < d, una contradiccion.Por lo tanto,

|C| = |f(C)| ≤∣∣An−(d−1)∣∣ = qn−(d−1)

De donde se sigue que logq |C| ≤ n− (d− 1), es decir, d ≤ n− logq |C|+ 1.

Los codigos C ⊆ An que alcanzan la cota de Singleton se denominan codigos MDS, por sussiglas en ingles (Maximum Distance Separable).

1.3.2. Codigos lineales

En esta subseccion detallaremos aspectos esenciales de la teorıa clasica de codigos lineales,con el objetivo de destacar resultados importantes que seran utiles en el desarrollo de loscapıtulos posteriores.

Definicion 1.3.11. Decimos que C es un codigo lineal, si C es un subespacio vectorial delespacio vectorial Kn, donde K es un cuerpo finito y n ∈ N. En este caso escribiremos C ≤ Kn.Ademas, si K = Fq, dimKC = n y d = d(C), hablamos de un [n, k, d]-codigo lineal q-ario.

Definicion 1.3.12. Sea A = K un cuerpo finito y n ∈ N.

1. Para todo v = (v1, v2, ..., vn) ∈ An, definimos el soporte de v como

sop(v) := i : vi 6= 0 .

2. Para todo v = (v1, v2, ..., vn) ∈ An, definimos el peso de v como

wt(v) := |sop(v)| .


3. Si C 6= 0 es un codigo, entonces definimos el peso mınimo de C comowt(C) :=mınwt(v) : 0 6= v ∈ C. En caso en que C = 0, definimos wt(C) := 0.

4. Cualquier subconjunto D de C, es un subcodigo. Si C es lineal y k = dimKC, entoncesD es un subcodigo de C si y solo si D es un subespacio vectorial de C, en tal casor = dimKD.

Lema 1.3.13. Si v, u ∈ An, entonces d(v, u) = wt(v − u). En particular wt(v) = d(v, 0).

Demostracion.

d(v, u) = |i : vi 6= ui|= |i : vi − ui 6= 0|= |sop(v − u)|= wt(v − u).

Otra manera de probar este resultado es observando primero que wt(v) = d(v, 0) y entonces

d(v, u) = d(v − u, u− u) = d(v − u, 0) = wt(v − u).

Lema 1.3.14. Si A = Fq es un cuerpo y C ≤ (Fq)n, entonces d(C) = wt(C).

Demostracion. Si C = 0, entonces la afirmacion es inmediata.Supongamos que C 6= 0. Entonces, por la Definicion 1.3.8 se sigue que

d(C) := mın d(v, u) : v, u ∈ C, v 6= u .

Ademas, por la Nota 1.3.7 se tiene que d es invariante bajo traslacion, con lo cual,

d(C) := mın d(v − u, 0) : v, u ∈ C, v 6= u .

y por el Lema 1.3.13 se tiene que

d(C) := mın wt(v − u) : v, u ∈ C, v 6= u .

Finalmente, como C es un codigo lineal y v, u ∈ C, entonces z = v − u ∈ C. Por lo tanto,

d(C) := mın wt(z) : z ∈ C, z 6= 0 = wt(C).

Definicion 1.3.15. Sea C un [n, k]-codigo sobre Fq.

1. Si k ≥ 1, decimos que una matriz G ∈ Mk×n(Fq) es una matriz generadora de C si ysolo si

C = FkqG :=

(v1, ..., vk)G : v = (v1, ..., vk) ∈ Fkq.

Si k = 0, decimos que G = (0, ..., 0) ∈ Fnq generadora de C. La matriz generadora de Cse denotara como gen(C).


2. Sin k < n, decimos que una matriz H ∈M(n−k)×n(Fq) es una matriz de control de C siy solo si,

C =v = (v1, ..., vk) : v ∈ Fnq , Hvt = 0

.

En el caso atıpico en que C = Fnq definimos la matriz de control como H = (0, ..., 0) ∈Fnq .

Observacion 1.3.16. Si G es una matriz generadora de C, entonces las k filas de G es unconjunto generador de C y puesto que dimFqC = k, ellas forman una base de C.

vG = (v1, . . . , vk)

g11 g12 · · · g1ng21 g22 · · · g2n...

. . .

gk1 gk2 · · · gkn

= (v1g11 + · · ·+ vkgk1), . . . , v1g1n + · · ·+ vkgkn

= v1(g11, . . . , g1n) + · · ·+ vk(gk1, . . . , gkn).

Entonces: FkqG = 〈(g11, . . . , g1n), . . . , (gk1, . . . , gkn)〉 .

Teorema 1.3.17. Sea C un [n, k]-codigo lineal sobre Fq con k < n. Entonces, existe unamatriz de control H para C. Ademas, rang(H) = n− k.

Teorema 1.3.18. Si G = (Ik|B) ∈ Matk×n(Fq) es una matriz generadora para un [n, k]-codigo lineal C, entonces H = (−Bt| In−k) es una matriz de control para C.

1.3.3. El codigo dual

Sean x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Fnq , entonces se define el producto interior de losvectores x, y de la siguiente manera,

x · y :=n∑i=1

xiyi.

Teniendo en cuenta lo anterior, definamos el codigo dual.

Definicion 1.3.19. Si C ≤ Fnqm , definimos el codigo dual de C, denotado C⊥, como

C⊥ :=x ∈ Fnq : ∀y ∈ C, x · y = 0

.

Diremos que un codigo lineal C es auto-ortogonal si C ⊆ C⊥ y auto-dual si C = C⊥.

Teorema 1.3.20. Sea C un [n, k]-codigo lineal sobre Fq. Entonces,

1. C⊥ es un [n, n − k]-codigo lineal sobre Fq. En particular, todo codigo lineal auto-dualtiene longitud par.


2. Si C ≤ Fnqm , entonces (C⊥)⊥ = C.

3. G es una matriz generadora de C si y solo si G es una matriz de control de C⊥.

Demostracion.

1. Sea G una matriz generadora para C. Entonces

x ∈ C⊥ ⇐⇒ x · y = 0, ∀y ∈ C⇐⇒ x · u ·G = 0, ∀u ∈ Fkq⇐⇒ u ·G · xt = 0, ∀u ∈ Fkq⇐⇒ G · xt = 0.

Por lo tanto C⊥ =x ∈ Fnq : G · xt = 0

. Es decir G es una matriz de control para C⊥.

EL teorema de la nulidad garantiza que n =rang(G)+η(G). Es decir,

n = k + dimFqC⊥.

Por lo tanto, dimFqC⊥ = n−k. Ahora, si C es auto-dual, entonces dimFqC = dimFqC

⊥,de donde n = 2k.

2. Sea x ∈ C, entonces x · y = 0 para todo y ∈ C⊥, de donde se sigue que x ∈ (C⊥)⊥.Por otro lado, aplicando la parte (1) se tiene

dimFq(C⊥)⊥ = n− (n− k) = k = dimFqC.

Esto demuestra que (C⊥)⊥ = C.

3. En (1) se mostro que si G es una matriz generadora de C, entonces G es una matriz decontrol para C⊥. Supongamos ahora que G es una matriz de control de C⊥. Entoncesaplicando la Definicion 1.3.15 se tiene que G ∈Mat(n−(n−k))×n(Fq), ademas, si g1, . . . , gkson las filas de la matriz G, entonces gi · c = 0 para todo c ∈ C⊥ y todo i = 1 . . . , k. Esdecir, para todo i = 1, . . . , k, se sigue que gi ∈ (C⊥)⊥ = C.Debido a que dimFqC = k, se tiene que G es una matriz generadora de C.

Corolario 1.3.21. Sea C un [n, k]-codigo lineal sobre Fq. Entonces H es una matriz decontrol de C si y solo si H es una matriz generadora de C⊥.

1.3.4. Codigos cıclicos

En este apartado veremos que ciertos codigos denominados codigos cıclicos pueden ser visua-lizados como ideales de un algebra.


Definicion 1.3.22. C ≤ An (An = Fnq ) se denomina un codigo cıclico, si y solo si para todo(c0, c1, . . . , cn−1) ∈ C se verifica que (cn−1, c0, c1, . . . , cn−2) ∈ C.

En algunas situaciones, en lugar de considerar los codigos como subespacios vectoriales deAn, podemos verlos como subespacios del algebra cociente

Rn := Fq[x]/ 〈xn − 1〉 ,

donde 〈xn − 1〉 denota el ideal de Fq[x] generado por xn − 1. La funcion indicada para esteobjetivo es

f : An −→ Rn

definida como

f(c0, c1, . . . , cn−1) :=n−1∑i=0

cixi + 〈xn − 1〉 = c(x) + 〈xn − 1〉 ,

que resulta ser un isomorfismo de Fq-espacios vectoriales. En consecuencia, Fnq puede iden-tificarse con el sistema de representaciones canonicas de las clases laterales de Rn. i.e, cadav = (v0, v1, . . . , vn−1) ∈ Fnq puede identificarse con el polinomio v(x) = (v0 + v1x + . . . +vn−1x

n−1) ∈ Fq[x]/ 〈xn − 1〉 .Si C ≤ Fnq , entonces notamos con C(x) al conjunto

c(x) + 〈xn − 1〉 |c ∈ C .

Pero que ganamos con esta identificacion?. Notese que ahora Rn a diferencia de Fnq tieneestructura de K-algebra y podemos multiplicar los vectores. Como consecuencia se tiene elsiguiente resultado.

Lema 1.3.23. Un codigo C ≤ Fnq es cıclico si y solo si C(x) es un ideal de Rn.

Demostracion. Sea C ≤ Fnq cıclico y veamos que C(x) es un ideal de Rn. En efecto, sea v(x) =v0 +v1x+ · · ·+vn−1x

n−1 ∈ C(x), dado que C es cıclico y v = (v0, v1, · · · , vn−1) ∈ C, entoncesse sigue que (vn−1, v0, v1, · · · , vn−2) ∈ C, de donde se sigue que xv(x) ∈ C(x) y en generalxiv(x) ∈ C(x) con i = 0, . . . , n−1. En consecuencia, si p(x) = a0+a1x+ · · ·+an−1xn−1 ∈ Rn,entonces p(x)v(x) =

∑n−1i=0 aix

iv(x) ∈ C(x).Recıprocamente, si C(x) es un ideal de Rn, se tiene trivialmente que C es cıclico.

Nota 1.3.24.

1. Dado que todo ideal en Rn es un ideal principal, se tiene que todo codigo cıclico en Rn

tiene un polinomio que lo genera.

2. El polinomio g(x) se denomina el polinomio generador del codigo cıclico C. Un polino-mio e(x) se llama un generador idempotente de un codigo cıclico C, si se verifica quee(x) genera a C y ademas e2(x) = e(x).


Teorema 1.3.25. Sea C un codigo cıclico no nulo en Rn. Entonces existe un polinomiog(x) ∈ C con las siguientes propiedades.

1. g(x) es el unico polinomio monico de grado mınimo en C.

2. g(x) es un generador de C. Es decır, C = 〈g(x)〉 .

3. dimFqC = n− grad(g(x)).

Teorema 1.3.26. Sea C = 〈g(x)〉 un codigo cıclico no nulo en Rn. Entonces

1. Existe un unico idempotente e(x) ∈ C tal que C = 〈e(x)〉 . Es decir, e(x) = p(x)g(x),para algun polinomio p(x).

2. Si e(x) es un idempotente no nulo en C, entonces C = 〈e(x)〉 si y solo si e(x) es unaunidad de C.

Teorema 1.3.27. Sean C1 y C2 codigos cıclicos de longitud n sobre Fq con polinomiosgeneradores g1(x) y g2(x) y generadores idempotentes e1(x) y e2(x) respectivamente. Entoncesse tiene que:

1. C1 ⊆ C2 si y solo si g2(x)|g1(x).

2. C1∩C2 tiene polinomio generador mcm(g1(x), g2(x)) y generador idempotente e1(x)e2(x).

3. C1 + C2 tiene polinomio generador mcd(g1(x), g2(x)) y generador idempotente e1(x) +e2(x)− e1(x)e2(x).

Teorema 1.3.28. Dada la descomposicion de xn − 1 en polinomios irreducibles sobre F2

comoxn − 1 = h0(x)h1(x) · · ·hs(x) (1.1)

con h0(x) = x− 1. Para j = 0, . . . , s definimos Ij := 〈qj(x)〉 , donde

qj(x) =xn − 1

hj(x).

Sea ademas, ej(x) el generador idempotente de Ij. Entonces,

1. Los Ij son todos los ideales minimales de Rn.

2. Rn = I0 ⊕ I1 ⊕ · · · ⊕ Is.

3. Si kj := grad(hj(x)), entonces Ij es un cuerpo isomorfo a F2kj .

4. ej(x)ei(x) = 0 para todo j 6= i.

5.∑s

j=0 ej(x) = 1.



Lema 1.3.29. Sea P := v(x) ∈ Rn|wt(v(x)) ≡ 0 mod 2 . Entonces

1. P es un codigo cıclico con |P | = 2n−1 y P = 〈(x− 1) + 〈xn − 1〉〉 .

2. P es un subanillo de F2[x]/ 〈xn − 1〉 con identidad e(x) = x+ x2 + · · ·+ xn−1.

3. Si n es un numero primo, digamos p y 1 +x+x2 + · · ·+xp−1 es irreducible sobre F2[x],entonces P es un cuerpo. Ademas,

β(x)p(x) ≡ xp(x) mod (xp−1 − 1)

para p(x) ∈ P, donde β(x) := 1 + x + x2 + x3 + · · · + xp−1. Es decir, la multiplicacionpor β(x) equivale a una traslacion cıclica en P.

Nota 1.3.30. Sea nuevamente xp − 1 = h0(x)h1(x) · · ·hs(x) la descomposicion de xp − 1 enpolinomios irreducibles sobre F2 como en (1.1) del Teorema 1.3.28. Si p es un primo impar,entonces

grad(hj(x)) =p− 1

sconj = 0, . . . , s.

y en consecuencia tenemos el siguiente resultado.

Teorema 1.3.31. P = I1 ⊕ I2 ⊕ · · · ⊕ Is y cada Ij es un cuerpo con 2p−1s elementos.

Demostracion. Como dimF2Ij = gra(hj(x)), tenemos que

dimF2(I1 ⊕ I2 ⊕ · · · ⊕ Is) = n− 1 = dimF2P.

Ademas, P ⊆ I1 ⊕ I2 ⊕ · · · ⊕ Is. En efecto, si v ∈ P por el Teorema 1.3.28 (2) se tiene quev = v0 + v1 + · · ·+ vs con vj ∈ Ij = 〈qj〉. Ahora, para todo j 6= 0 se deduce que x− 1|qj(x),y se infiera que wt(vj) es par. Por lo tanto, wt(v0) = wt(v − (v1 + · · · + vs)) es par. Puestoque x − 1 - q0(x), se sigue que v0 = 0. En consecuencia v ∈ I1 ⊕ I2 ⊕ · · · ⊕ Is y se tiene laafirmacion. El resto se sigue del Teorema 1.3.28 (3).

1.3.5. Proyecciones

Ahora, definiremos el concepto de proyeccion ortogonal, junto con una propiedad que juegaun papel vital en la caracterizacion de codigos lineales duales complementarios sobre K.

Definicion 1.3.32. Sea K un cuerpo y V un K-espacio vectorial con producto interno 〈·, ·〉.Decimos que un funcion K-lineal P : V −→ V se llama una proyeccion si

1. P 2 = P , mas aun, P se llama una proyeccion ortogonal si

2. 〈u, v〉 = 0 para todo u ∈Ker(P ) y v ∈Im(P ).


Definicion 1.3.33. Dado C ≤ Kn, decimos que una aplicacion K-lineal P : Kn −→ C esuna proyeccion ortogonal sobre C si y solo si

P (v) =

v si v ∈ C0 si v ∈ C⊥.

Lema 1.3.34. Sea C un codigo lineal de longitud n sobre K y sea P : Kn −→ Kn unaaplicacion K-lineal. Entonces P es una proyeccion ortogonal con respecto al producto internosobre C si y solo si

P (v) =


Demostracion. Supongamos que P : Kn −→ C es una proyeccion ortogonal con respecto alproducto interno sobre C. Sea v ∈ C y u ∈ C⊥. Como P esta en C, tenemos C =Im(P ).Por lo tanto, existe una palabra x ∈ Kn tal que P (x) = v, entonces v = P (x) = P 2(x) =P (P (x)) = P (v), esto es, P (v) = v ∈ C. Ya que u ∈ C⊥, se sigue que 〈u, v〉 = 0 para todov ∈ C =Im(P ). Con lo cual se deduce que u ∈Ker(P ), y por lo tanto, P (u) = 0.Supongamos ahora que

P (v) =


Y mostremos que P es una proyeccion ortogonal con respecto al producto interno sobre C.En efecto, como P es una funcion, C ∩ C⊥ = 0. Para cada w ∈ Kn, se puede escribirde forma unica w = v + u, donde v ∈ C y u ∈ C⊥. Entonces P (v) = v y P (u) = 0. Porlo tanto, P 2(v) = P (P (v)) = P (v) y P 2(u) = P (P (u)) = P (0) = 0 = P (u). Se sigue queP 2(w) = P (w) para todo w ∈ Kn. Sea v ∈Im(P ) y w ∈Ker(P ). Entonces v ∈ C y P (w) = 0.Resulta que w ∈ C⊥ y 〈w, v〉 = 0. Por lo tanto, Im(P ) y Ker(P ) son ortogonales con respectoal producto interno.

1.4. Modulos

El concepto de A-modulo es una generalizacion del concepto de K−espacio vectorial, endonde ahora solo exigimos que A sea un anillo y no necesariamente un cuerpo K.

1.4.1. Definicion y ejemplos

Definicion 1.4.1. Sea (M,+) un grupo abeliano aditivo y (A,+, ·) un anillo con identidad.Decimos que M es un A-modulo derecho (unitario) si existe una operacion binaria

M × A −→M

(x, a) −→ xa,

tal que para todo x, y ∈M y a, b ∈ A, se tiene


M1. x(a+ b) = xa+ xb.

M2. (x+ y)a = xa+ ya.

M3. x(ab) = (xa)b.

M4. x · 1 = x.

De forma analoga, se define modulos izquierdo. Escribiremos MA o AM para indicar que Mes un A-modulo derecho o izquierdo respectivamente.

Algunas propiedades basicas de los modulos son las siguientes.

Lema 1.4.2. Sea M un A-modulo derecho. Entonces se tienen las siguientes propiedadespara n ∈ Z, a, b ∈ A y x, y ∈M.

1. 0Ma = x0A = 0M .

2. −(xa) = (−x)a = x(−a).

3. x(−1) = −x.

4. n(xa) = (nx)a.

5. n(xa) = x(na).

6. x(a− b) = xa− xb.

7. x(−a)b = x(a)(−b) = (−x)(ab).

8. (x− y)a = ax− ay.

Ejemplo 1.4.3. Si (M,+) es un grupo abeliano aditivo, entonces M es un Z-modulo iz-quierdo, donde n · x es la definicion usual de exponente aditivo. Para n,m ∈ Z y x, y ∈ M ,se cumple:

M1. (n+m)x = nx+mx.

M2. n(x+ y) = nx+ ny.

M3. n(mx) = (nm)x.

M4. 1 · x = x.

Notese en el ejemplo anterior que si MA es un A-modulo derecho, entonces es tambien unZ-modulo izquierdo ZM. Ademas por el lema anterior (4) se cumple que n(xa) = (nx)a paran ∈ Z, x ∈M y a ∈ A. Esta es una propiedad particular que motiva la siguiente definicion.


Definicion 1.4.4. Si A y B son anillos con identidad y M es un A-modulo derecho y ademasun B-modulo izquierdo tal que (bx)a = b(xa) para todo a ∈ A, b ∈ B y x ∈ M, decimosque M es un (B,A)-bimodulo y escribiremos BMA. Si M es un (A,A)-bimodulo diremossimplemente que M es un A-bimodulo.

Ejemplo 1.4.5. Sea (M,+) un grupo abeliano aditivo. Sabemos que M es un Z-moduloizquierdo, donde n · x es la definicion usual de exponente aditivo. Notese ademas que M estambien un Z-modulo derecho si definimos x ∗ n = n · x, puesto que la conmutatividad de Zpermite que se cumpla la condicion (M3.) de la Definicion 1.4.1. En efecto,

x ∗ (nm) = (nm) · x = (mn) · x = m(n · x) = m(x ∗ n) = (x ∗ n) ∗m.

Tambien podemos ver que M es un (Z,Z)-bimodulo:

(m · x) ∗ n = n · (m · x)

= (nm) · x= (mn) · x= m · (n · x)

= m · (x ∗ n).

Observacion 1.4.6.

1. Como en el ejemplo anterior se puede demostrar que en general todo A-modulo izquierdoM sobre un anillo conmutativo A se puede volver un A-modulo derecho con x∗a = a ·x.Se puede demostrar tambien que M es un A-bimodulo. En efecto,

(bx) ∗ a = a(bx) = (ab)x = (ba)x = b(ax) = b(x ∗ a),

para a, b ∈ A y x ∈M. Pero en general no todo A-bimodulo es de esta forma.

2. Hemos visto que todo A-modulo derecho M es un (Z, A)-bimodulo. Similarmente, si Mes un A-modulo izquierdo, entonces M es un (A,Z)-bimodulo. En efecto, vemos que Mes un Z-modulo derecho al definir la operacion de exponentes aditivos por la izquierdacomo x ∗ n := n · x tal como se menciono en el ejemplo anterior. Entonces,

(ax) ∗ n = n · (ax) = a(n · x) = a(x ∗ n),

donde la propiedad n · (ax) = a(n ·x) se deriva similarmente como en el Lema 1.4.2 (4).

3. Si A no es conmutativo, entonces un A-modulo izquierdo M no se puede volver unA-modulo derecho definiendo simplemente x ∗ a = a · x. En efecto,

x ∗ (ab) = (ab) · x= a · (b · x)

= (b · x) ∗ a= (x ∗ b) ∗ a= x ∗ (ba).


Es decir (ab) · x = (ba) · x. Pero existen ejemplos de A-modulo izquierdos sobre anillosno conmutativos para los cuales no siempre se tiene esta propiedad.

4. En caso en que A no sea conmutativo y M sea un A-modulo izquierdo, lo podemosvolver un op(A)-modulo derecho definiendo x ∗ a = a · x. En efecto, veamos que secumple (M3.) Sea la operacion en op(A). Entonces,

x ∗ (a b) = x ∗ (ba) = (ba) · x = b · (a · x) = (a · x) ∗ b = (x ∗ a) ∗ b,

es decir, x ∗ (ba) = (x ∗ a) ∗ b.

Ejemplo 1.4.7. Sea (M,+) un grupo aditivo abeliano y End(M) el anillo de endomorfismosde M, es decir

End(M) := φ : M −→M |φ es un homomorfismo .

Entonces, M es un End(M)-modulo izquierdo con φ · x = φ(x) para todo x ∈ M y paratodo φ ∈ End(M). Tambien sabemos que (M,+) es un Z-modulo derecho con x ∗ n lan-esima potencia aditiva. Vemos entonces que M es un (End(M),Z)-bimodulo. En efecto,(φ · x) ∗ n = φ(x) ∗ n = φ(x ∗ n) = φ · (x ∗ n).

1.4.2. Submodulos

En esta subseccion se definen ciertos subconjuntos de un modulo, dado que bajo las opera-ciones de este, tambien tiene la estructura de modulo.

Definicion 1.4.8. Sea M un A-modulo derecho y ∅ 6= N ⊆ M. Decimos que N es un A-submodulo de M, si N es tambien un A-modulo bajo las mismas operaciones de M. En estecaso escribiremos N ≤ M. Es claro que 0 ≤ M y M ≤ M y se denominan submodulostriviales de M. Si N ≤M pero N 6= M decimos que N es un submodulo propio de M.

Lema 1.4.9. Sea M un A-modulo derecho y ∅ 6= N ⊆ M. Entonces las siguientes afirma-ciones son equivalentes:

1. N es un A-submodulo derecho de M.

2. N es un subgrupo abeliano de M y ademas xa ∈ N para todo x ∈ N y para todo a ∈ A.

3. x+ y ∈ N y xa ∈ N para todo x, y ∈ N y a ∈ A.

Demostracion. Se sigue facilmente por la definicion.

Definicion 1.4.10. Dado un (A,B)-bimodulo M diremos que un subconjunto ∅ 6= N es un(A,B)-subbimodulo M si es un (A,B)-bimodulo con las operaciones de M.

Lema 1.4.11. Sea MαI una familia cualquiera de A-submodulos de M. Entonces,

1. La interseccion⋂I

Mα es un A-submodulo de M.


2. El conjunto

∑I

Mα :=

∑I

mα : mα ∈Mα y la suma es finita

es un A−submodulo de M.

Ejemplo 1.4.12. Si M es un A-modulo y x ∈ M, entonces Ax := ax : a ∈ A es un A-submodulo de M y es llamado el submodulo cıclio generado por x. Si M = Ax para algunx ∈M, decimos que M es A-modulo cıclico.

Lema 1.4.13. (Propiedad modular). Sean N,L,R submodulos de un A-modulo M, con N ⊆R. Entonces R ∩ (N + L) = N + (R ∩ L).

Demostracion. Mostremos la doble contenencia, esto es:Sea x ∈ R ∩ (N + L). Entonces, existen y ∈ R, n ∈ N y l ∈ L tal que x = y y x = n + l, dedonde se sigue que l = x − n y x = y ∈ R y n ∈ N ⊆ R, entonces l ∈ R. En consecuancia,l ∈ R ∩ L y por ellos x ∈ N + (R ∩ L).Recıprocamente, si x ∈ N + (R ∩ L), entonces x = n+ y con n ∈ N y y ∈ R ∩ L. Dado queN ⊆ R, entonces n ∈ R y por ello x = n + y ∈ R. Ademas, x = n + y ∈ N + L, de dondex ∈ R ∩ (N + L).

Definicion 1.4.14. Sea M un A-modulo derecho.

1. Si B es un subanillo de A y ∅ 6= N ⊆ M, definimos y denotamos el aniquilador de Nen B como

AnnBd (N) := n ∈ B : xb = 0 para todo x ∈ N .

La d indica que los elementos que anulan lo hacen por la derecha. Ademas, definimosAnnd(M) :=AnnAd (M).

2. Si I es un ideal izquierdo de A, entonces definimos y denotamos el aniquilador de I enM como

AnnMi (I) := x ∈M : xi = 0 para todo i ∈ I .

La i indica que los elementos que anulan lo hacen por la izquierda.

1.4.3. Modulo factor o modulo cociente

Dado un modulo M y un submodulo N de M podemos definir un nuevo modulo denominadoel modulo cociente.

Definicion 1.4.15. Si N es un submodulo de un A-modulo M, entonces

M/N := x+N : x ∈M

es un A-modulo bajo las siguientes operaciones:


1. (x+N) + (x′ +N) = (x+ x′)N.

2. (x+N)a = xa+N.

El A-modulo M/N se denomina el modulo factor o modulo cociente.

Ejemplo 1.4.16.

1. Sea A un anillo e I un ideal derecho de A. Entonces el grupo abeliano aditivo A/I esun A−modulo derecho bajo la accion (x + I) · a := xa + I, para x, a ∈ A. Notese queA/I no es el anillo cociente necesariamente, dado que I no es necesariamente bilateral.Notese que A no es necesariamente un I-modulo dado que I no es un anillo necesaria-mente.

2. Sabemos que I es un ideal derecho de A si y solo si IA es un A-submodulo derecho deAA. Entonces podemos considerar el A-modulo cociente AA/IA, el cual coincide con elA-modulo derecho definido en el inciso anterior. En igual forma notese que AA/IA noes un anillo cociente o alguna de sus categorıas necesariamente.

1.4.4. Homomorfismos de modulos

Usualmente queremos saber cuando dos modulos son esencialmente el mismo, es decir, queno exista diferencia algebraica entre ellos. Esto es lo que definimos en esta subseccion comoisomorfıa entre modulos.

Definicion 1.4.17. Sean M y N dos A-modulos. Decimos que f : M −→ N es un A-homomorfismo de modulo si para toda x, y ∈M y para toda a ∈ A se tiene:

H1. f(x+ y) = f(x) + f(y).

H2. f(xa) = f(x)a.

Siempre que no haya lugar a confusion, diremos simplemente que f es un homomorfismo demodulos. Si f cumple solo (1) se dice que f es una funcion aditiva. Si f es un homomorfismoinyectivo, diremos que es un monomorfismo, si es un homomorfismo sobreyectivo, se diceque es un epimorfismo y finalmente si f es un homomorfismo biyectivo diremos que es unisomorfismo de modulos y que M y N son isomorfos como modulos, lo cual denotaremoscomo M ∼= N. Un isomorfismo f : M −→M se denomina un endomorfismo de M .El conjunto de todos los homomorfismos f : M −→ N se denotara como HomA(M,N) yHomA(M,M) se denotara simplemente como EndA(M). Si f : M −→ N es un epimorfismose dice que N es la imagen epimorfica de M.

Ejemplo 1.4.18. Si M y N son A-modulos derechos, entonces HomA(M,N) es un grupoabeliano aditivo bajo la adicion de funciones. Por lo tanto, por el Ejemplo 1.4.5 tenemos queHomA(M,N) es un Z-modulo.


Observacion 1.4.19. Dados dos grupos aditivos M y N (por ejemplo dos A-modulos),sabemos que estos son dos Z-modulos derechos con la operacion exponente aditivo. En estecaso es facil observar que

HomZ(M,N) = End(M).

donde Hom(M,N) es el conjunto de los homomorfismos de grupos (aditivos) de M en N. Enparticular los siguientes anillos coinciden

EndZ(M) = End(M).

Teorema 1.4.20. Sean M y N dos A-modulos derechos. Entonces:

1. HomA(M,N) es un subgrupo aditivo de Hom(M,N), el grupo de homomorfismos degrupos de M en N.

2. Si A es un anillo conmutativo, entonces HomA(M,N) es un A-modulo derecho conoperacion (fa)(x) = f(x)a.

3. Si M = N, entonces EndA(M) := HomA(M,N) es un subanillo de End(M), el anillode los endomorfismos del grupo abeliano M, con multiplicacion compuesta de funciones.

4. EndZ(M) es un anillo bajo la adicion usual y la composicion de funciones, denominadoel anillo de los Z-endomorfismos de M. Ademas EndA(M) es un subanillo de EndZ(M).

5. Si definimos fx = f(x) para toda f ∈ EndZ(M) y para todo x ∈M, entonces M es unEndZ(M)-modulo izquierdo bajo la misma operacion. Ademas, M es un (EndA(M), A)-bimodulo.

Teorema 1.4.21. EndA(AA) ∼= A como anillos.

Demostracion. Sea

ϕ : A −→ EndA(AA),

a 7−→ ϕa

donde ϕa(b) = ab para todo b ∈ A. Probemos que ϕ es un homomorfismo de anillo. En efecto,sean a1, a2 ∈ A y b ∈ A, entonces:

ϕ(a1 + a2)(b) = ϕa1+a2(b)

= (a1 + a2)b

= a1b+ a2b

= ϕ(a1)(b) + ϕ(a2)(b).

Ademas,

ϕ(a1a2)(b) = ϕa1a2(b)

= (a1a2)b

= a1(a2b)

= a1ϕa2(b)

= ϕa1(ϕa2(b)).


Por otra parte,

Ker(ϕ) = a ∈ A : ab = 0, para todo b ∈ A= 0 , dado que 1 ∈ A.

Finalmente ϕ es sobreyectiva dado que f ∈ EndA(AA), entonces ϕ(f(1)) = f.En efecto, ϕ(f(1))(b) = ϕf(1)(b) = f(1)b = f(1 · b) = f(b).

Teorema 1.4.22. Sea f : M −→ N un A-homomorfismo de modulos. Entonces,

1. f(0m) = 0N .

2. f(−x) = −f(x), para todo x ∈M.

3. Si M ′ es un submodulo de M, entonces f(M ′) es un submodulo de N.

4. Si N ′ es un submodulo de N, entonces f−1(N ′) es un submodulo de M.

Definicion 1.4.23. Sea f : M −→ N un A-homomorfismo de modulos. Entonces,

1. Ker(f) := x ∈M : f(x) = 0N es un submodulo de M llamado el kernel de f.

2. Im(f) := f(x) : x ∈M es un submodulo de N llamado la Imagen de f.

3. N/Im(f) es un A-modulo llamado el Cokernel de f denotado como Coker(f).

4. Si L es un submodulo de M, entonces πL : M −→M/L definido como πL = m+ L, esun A-epimorfismo, llamado el epimorfismo canonico o proyeccion canonica.

Lema 1.4.24. Si f : M −→ N es un A-homomorfismo de modulos, entonces f es unmonomorfismo si y solo si Ker(f) = 0 .

Demostracion. Supongamos que f es un monomorfismo y sea x ∈ Ker(f). Sabemos quef(0m) = 0N , por lo tanto x = 0m y por ello,

Ker(f) = x ∈M : f(x) = 0N= 0 ∈M : f(0) = 0= 0 .

Recıprocamente, supongamos que Ker(f) = 0 y f(x) = f(y) para x, y ∈M.Entonces, f(x) − f(y) = 0, de donde f(x − y) = 0. Por lo tanto x − y ∈ Ker(f) = 0 y porello x = y.

Lema 1.4.25 (Propiedad universal del cociente para modulos). Dado un homomorfismo demodulo f : M −→ N con L ⊆ Ker(f), existe un unico homomorfismo de f : M/L −→ N talque


1. El siguiente diagrama conmuta, es decir fπL = f .

M

πL

f // N

M/Lf

<<

2. Ker(f) = πL(Ker(f)) e Im(f) = Im(f).

Demostracion. La prueba es analoga a la del Lema 1.1.25.

Teorema 1.4.26 (Primer teorema de isomorfıa para modulos). Sea f : M −→ N un A-homomorfismo. Entonces M/Ker(f) ∼= Im(f).

Demostracion. Definamos ϕ : M/Ker(f) −→ Im(f) como ϕ(x + Ker(f)) = f(x). Probemosque ϕ esta bien definida. En efecto, sea

x+ Ker(f) = y + Ker(f) =⇒ x− y ∈ Ker(f)

=⇒ f(x− y) = 0

=⇒ f(x) = f(y)

=⇒ ϕ(x+ Ker(f)) = ϕ(y + Ker(f))

Recıprocamente se puede verificar la inyectividad o tambien se puede seguir del hecho de que

Ker(ϕ) = x+ Ker(f) : x ∈M y f(x) = 0= x+ Ker(f) : x ∈ Ker(f)= Ker(f) .

La A-linealidad es inmediatamente heredada de la linealidad de f. La sobreyectividad tambienes inmediata.

Corolario 1.4.27. Si f : M −→ N es un epimorfismo, entonces M/Ker(f) ∼= N.

Demostracion. La demostracion se sigue facilmente por el teorema anterior..

Teorema 1.4.28 (Segundo teorema de isomorfıa para modulos). Si M1 y M2 son submodu-los de un A-modulo M tal que M1 ⊆ M2, entonces M2/M1 es un submodulo de M/M1 y(M/M1)/(M2/M1) ∼= M/M2.

M

∼=

A/M1

∼=

M2 M2/M1

M1 〈M1〉

〈0〉


Teorema 1.4.29 (Tercer teorema de isomorfıa para modulos). Si M1 y M2 son submodulosde un A-modulo M, entonces

M1/(M1 ∩M2) ∼= (M1 +M2)/M2

Graficamente tenemos

M

M1 +M2

M1 M2

M1 ∩M2

0

Demostracion. La funcion f : M1 −→ (M1 + M2)/M2 definida como f(x) = x + M2 es unepimorfismo con kernel (M1 ∩M2), por lo cual se tiene la afirmacion.Probemos que f esta bien definida. En efecto, si x = y, entonces x + M2 = y + M2 yf(x) = f(y). Es claro que f es un homomorfismo de modulos y que su kernel es (M1 ∩M2).En efecto,

Ker(f) = x ∈M1 : x+M2 = M2= x ∈M1 : x ∈M2= M1 ∩M2.

Finalmente, verificamos que f es sobre. Sea (m1 + m2) + M2 ∈ (M1 + M2)/M2. Entonces,(m1 +m2) +M2 = m1 +M2, si tomamos x = m1, vemos que

f(x) = x+M2 = m1 +M2 = (m1 +m2) +M2.

1.4.5. Modulos simples, submodulos maximales y minimales

En esta subseccion daremos conceptos fundamentales para el presente trabajo y estudiaremosalgunas propiedades relacionadas con modulos simples, submodulos maximales y minimales.

Definicion 1.4.30. Sea M un A-modulo derecho (izquierdo).

1. Decimos que M es simple si M 6= 0 y sus unicos submodulos derechos (izquierdo)son los triviales.


2. Un A-submodulo derechos (izquierdo) N de M se denomina un submodulo maximalderecho (izquierdo) si N 6= M y para todo submodulo derecho (izquierdo) L con N ≤L ≤M se tiene L = N o L = M.

3. Un A-submodulo derechos (izquierdo) N de M se denomina un submodulo minimalderecho (izquierdo) de M si 0 6= N y para todo submodulo derecho (izquierdo) L con0 ≤ L ≤ N se tiene L = 0 o L = N.

Lema 1.4.31. N es un submodulo maximal de un A-modulo M si y solo si M/N es unA-modulo simple.

Demostracion. La prueba se sigue facilmente de la definicion anterior.

Corolario 1.4.32. I es un ideal maximal derecho de un anillo A si y solo si AA/IA es unA-modulo simple derecho.

Demostracion. Para la prueba, notese que I es un ideal maximal derecho (minimal derecho)de un anillo A si y solo si IA es un A-submodulo maximal derecho (minimal derecho) deAA.

Nota 1.4.33.

1. Notese que en el corolario anterior A/I no es necesariamente un anillo, dado que Ino es un ideal bilateral. Sin embargo A/I es un A-modulo. En caso en que I fuese unideal maximal bilateral (es decir, es bilateral y no es contenido por ningun bilateral),sabemos que esto es equivalente a que A/I es un anillo simple. En teorıa de modulostendrıamos que I es un (A,A)-subbimodulo maximal de AAA y esto serıa equivalente aque AAA/AIAI es un (A,A)-bimodulo simple (no contiene subbimodulos no triviales).

2. A diferencia de los anillos en donde siempre existen ideales maximales, en general unA-modulo no tiene siempre un A-submodulo maximal. No obstante, es claro que AAsiempre tiene un A-submodulo maximal derecho, el cual corresponde a un ideal maximalderecho del anillo A. Veremos mas adelante que la razon de ello, es debido a que AA esfinitamente generado.

Ejemplo 1.4.34. Por el Lema 1.4.31 el submodulo 0 es maximal si y solo si M es simple.Dado que Zp es un Z-modulo simple,entonces, 0 es maxima.

Lema 1.4.35. Sea N < M y M un A-modulo, Entonces N es un submodulo maximal si ysolo si M = N + xA, para todo x ∈M\N.

Demostracion. Supongamos que N es un submodulo maximal y x ∈ M\N. Entonces N esun submodulo propio de N + xA y por la maximilidad de N, entonces M = N + xA.Recıprocamente, sea N < L ≤ M y M = N + xA para cada x ∈ M\N. Sea y ∈ L\N.Entonces y ∈M\N y M = N + yA ≤ L, de donde M = L y N es maximal.

Lema 1.4.36 (Lema de Schur 1875-1945). Sea M un A-modulo simple. Entonces EndA(M)es un anillo con division.


Demostracion. Sea 0 6= f ∈EndA(M) y probemos que f es invertible, es decir, que f es unabiyeccion. Sabemos que Im(f) ≤ M. Puesto que f 6= 0, entonces Im(f) 6= 0 y como M essimple, tenemos que Im(f) = M. En forma analoga, Ker(f) ≤ M y como f 6= 0, entoncesKer(f) 6= M y por la simplicidad de M se tiene que Ker(f) = 0 .

Teorema 1.4.37. Un A-modulo M es simple si y solo si M = xA = 〈x〉 , para todo 0 6= x ∈M.

Demostracion. Sea M un A-modulo simple. Entonces M 6= 0. Si x ∈M, entonces 〈x〉 := xAes un A-submodulo no cero de M. Puesto que M es simple, entonces M = xA.Recıprocamente, supongamos que M = 〈x〉 para todo 0 6= x ∈ M. Sea 0 6= N ≤ M.Entonces existe y ∈ N con M = 〈y〉 ⊆ N. En consecuencia M = N.

Corolario 1.4.38. Si M es un A-modulo simple, entonces M es cıclico.

Demostracion. La prueba es inmediata, se sigue del teorema anterior.

Ejemplo 1.4.39. Sabemos que Zp es un Z-modulo simple. Por lo tanto Zp = xZ para todo0 6= xZp.

Observacion 1.4.40. Aunque todo A-modulo simple es cıclico, no todo cıclico es simple.Por ejemplo, Z es un Z-modulo cıclico con Z = 〈1〉 pero no es simple puesto que nZ < Z.Notese que AA es siempre un A-modulo cıclico para todo anillo A.

Teorema 1.4.41. Sea M un A-modulo cıclico, entonces M ∼= A/I como A-modulo, dondeI es un ideal derecho de A.

Demostracion. Sea M = 〈x〉 := xA y definamos ϕ : AA −→ M como ϕ(a) = xa. Esfacil demostrar que ϕ es un epimorfismo de A-modulos. Entonces por el primer Teorema deIsomorfıa de Modulos tenemos AA/Ker(ϕ) ∼= M.

Teorema 1.4.42. Sea M un A-modulo simple. Entonces M ∼= A/I como A-modulo, dondeI es un ideal derecho maximal de A.

Demostracion. Dado que M es simple, entonces es cıclico, se tiene que M ∼= A/I para unideal derecho. Por lo tanto A/I es tambien un A-modulo simple. Entonces por el Lema 1.4.31se tiene que I es un A-submodulo maximal de A y por ello un ideal maximal derecho deA.

1.4.6. Modulos finitamente generados

El proposito en esta subseccion es determinar la estructura de los modulos finitamente gene-rados.

Definicion 1.4.43. Dado un A-modulo M y S ⊆ M, definimos el A-modulo generado porS al A-submodulo mas pequeno de M que contiene a S, el cual es denotado como 〈S〉 . Esclaro que

〈S〉 =⋂

S⊆N≤M

N


Lema 1.4.44. 〈∅〉 = 0 .

Demostracion. Sea m ∈ 〈∅〉 . Entonces m ∈ N para todo N con ∅ ⊆ N ≤ M. Dado que∅ ⊆ 0 ≤M, entonces m ∈ 0 , es decir, m = 0.Recıprocamente, si m = 0, es claro que m ∈ N para todo modulo N que contiene a 0 .

Definicion 1.4.45. Si 〈S〉 = M, decimos que S genera a M o que S es un conjunto generadode M. En caso en que 〈S〉 = M y S sea finito, diremos que M es finitamente generado.

Teorema 1.4.46. Sea M un A-modulo derecho y ∅ 6= S ⊆M. Entonces

〈S〉 =

n∑i=1

siai : si ∈ S, ai ∈ A, n ∈ N

.

Demostracion. La prueba se sigue facilmente de la definicion.

Observacion 1.4.47. Podemos ver que si M = 〈S〉 y S = x por el teorema anteriorM = xA, es decir, M es cıclico generado por x.

Teorema 1.4.48. Sea MαI una familia de A-submodulos de M. Entonces

∑I

Mα =

⟨⋃I

Mα

⟩.

Demostracion. Sabemos que∑I

Mα es un A-modulo y que⋃I

Mα ⊆∑I

Mα.

Por lo tanto

⟨⋃I

Mα

⟩⊆∑I

Mα. Por otro lado, si x ∈∑I

Mα, tenemos que x ∈n∑i=1

xi, con

xi ∈⋃I

Mα. Por el Teorema 1.4.46, entonces x ∈

⟨⋃I

Mα

⟩.

1.4.7. Modulos sobre algebras

Dado que un K-algebra A tambien es un anillo, podemos considerar la existencia de modulossobre un algebra. No obstante, en este los modulos tienen la propiedad adicional de ser unK-espacio vectorial.

Lema 1.4.49. Si M es un modulo sobre un K-algebra A, entonces M es un K-espaciovectorial con operacion α ·m := (α1A)m. Ademas, para todo m ∈M, a ∈ A y α ∈ K se tieneque

α · (am) = a(α ·m) = (αa)m.


Demostracion. Facilmente se verifica el hecho de que M es un K-espacio vectorial con lamultiplicacion por escalar α ·m := (α1A)m. Por otra parte, por el Lema 1.2.2 y la condicionM3 de la definicion de modulo, tenemos que:

a(α ·m) = a((α1A)m) = (a(α1A))m = ((α1A)a)m = (α1A)(am) = α(am).

(αa)m = ((αa)1A)m = ((α1A)a)m = (α1A)(am) = α(am).

Teorema 1.4.50. Sea A un K-algebra de dimension finita y M un A-modulo. Entonces Mes finitamente generado como A-modulo si y solo si M es de dimension finita como K-espaciovectorial.

Demostracion. SeaB = a1, . . . , an una base deA sobre K. Supongamos queX = m1, . . . ,mtes un conjunto generador delA-moduloM y probemos queBX := aimj : ai ∈ B y mj ∈ Xgenera a M como K-espacio vectorial.

Sea m ∈M . Entonces m =t∑

j=1

bjmj, con bi ∈ A y mi ∈ X. Por lo tanto

m =t∑

j=1

(r∑i=1

αijai

)mj =

t∑j=1

(r∑i=1

(αijai)mj

)=

t∑j=1

r∑i=1

αij(aimj)

Es decir, M = 〈BX〉K y por lo tanto dimKM es finita.Recıprocamente, sea M finitamente generado sobre K como espacio vectorial, con conjuntogenerador m1, . . . ,ms. Si m ∈M, entonces tenemos m = α1m1 + · · ·+αsms = (α11A)m1 +· · ·+ (αs1A)ms, es decir m1, . . . ,ms genera a M como A-modulo.

1.4.8. Modulos libres

En el caso de espacios vectoriales, la existencia de bases es una herramienta que permite, porejemplo, definir transformaciones lineales indicando su valor en los elmentos de una base, yluego extendiendo por linealidad. A su vez, estas poseen un conjunto de vectores no nulostal que toda combinacion lineal nula de estos es trivial y ademas todo elemento del espaciovectorial se puede escribir como combiancion lineal de ellos. Dado que los modulos no sonmas que generalizacion del concepto de espacio vectorial, es normal tratar de extender elconcepto de base y dimension para ellos.

Definicion 1.4.51. Sea M un A-modulo derecho y xαI un conjunto de elementos en M .

1. xαI es un conjunto de vectores linealmente independiente si, siempre que∑4 xαλα =

0, entonces λα = 0 para todo λα ∈ I. En caso contrario decimos que el conjunto xαIes linealmente dependiente.

2. xαI es una base de M si y solo si xαI es linealmente independiente y es un conjuntogenerador de M .


3. M es un A-modulo libre si y solo si M tiene una base.

4. X = xαI es un conjunto maximal linealmente independiente si es linealmente in-dependiente y no es contenido propiamente por ningun otro subconjunto linealmenteindependiente de M .

5. X = xαI es un conjunto minimal de generadores de M si X genera a M y ningunotro subconjunto propio de X genera a M .

Teorema 1.4.52. Sea M un A-modulo y X = xαI un subconjunto de M . Entonces lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

1. X = xαI es una base de M .

2. X = xαI es un conjunto maximal linealmente independiente.

3. X = xαI es un conjunto minimal de generadores de M .

Teorema 1.4.53. Todo A-modulo M es la imagen homomorfica de un A-modulo libre.Ademas, si M es finitamente generado, entonces el modulo libre puede ser escogido fini-tamente generado.

Teorema 1.4.54. Sea M un A-modulo libre finitamente generado. Entonces toda base de Mes finita.

Teorema 1.4.55. D es un anillo con division si y soslo si todo D-modulo es libre.

1.4.9. El algebra de grupo KG

En esta subseccion daremos unas definiciones y propiedades para KG, las cuales son muyimportantes para los capitulos posteriores. Tambien definiremos la forma bilineal y el opera-dor adjunto de un operador lineal. Ademas, presentamos algunos resultados requeridos delAlgebra lineal para el desarrollo de este trabajo.

Definicion 1.4.56. Sea G un grupo y K un cuerpo. Entonces definimos KG como el conjunto

de las sumas formales∑g∈G

αgg. Es decir,

KG =

∑g∈G

αgg : αg ∈ K

Lema 1.4.57. KG es un K-espacio vectorial con las operaciones

1.∑g∈G

αgg +∑g∈G

βgg =∑g∈G

(αg + βg)g.


2. β∑g∈G

αgg =∑g∈G

(βαg)g.

En particular, si |G| = n, entonces dimKKG = n.

Demostracion. Es facil probar que KG es un K-espacio vectorial. Demostremos que B =1g : 1 ∈ K, g ∈ G es una base.

Es claro que si∑g∈G

αgg ∈ KG, entonces∑g∈G

αgg =∑g∈G

αg(1g), es decir, B genera a KG.

Supongamos ahora quen∑i=1

αi(1gi) = 0, entoncesn∑i=1

(αigi) = 0 y αi = 0, para todo i =

1, . . . , n. Por lo tanto, los elementos de B forman una base de KG.Definamos ahora una multiplicacion en KG que nos permita tener la estructura de anillo y

por lo tanto de K-algebra. Dados∑g∈G

αgg ∈ KG,∑h∈G

βhh definimos

(∑g∈G

αgg

)(∑h∈G

βhh

)=∑g,h∈G

(αgβh)(gh)

=∑g∈G

∑hk=gh,k∈G

αhβk

g

=∑g∈G

(∑h∈G

αhβh−1g

)g.

Un resultado inmediato

Lema 1.4.58. KG es un K-algebra con identidad 1e bajo la multiplicacion anteriormentedefinida y la estructura de espacio vectorial del Lema 1.4.57.

Teorema 1.4.59. Sean G un p-grupo y K un cuerpo con caracterıstica p.

1. KG tiene precisamente una representacion irreducible, a saber, la representacion de launidad.

2. Si R es un ideal derecho propio de KG, entonces KG/R es un KG-modulo indescom-ponible. En particular, el KG-modulo libre con un generador es indescomponible.

3. Cada submodulo de KG distinto de cero es indescomponible.

Demostracion. Para la prueba de este resultado, (ver [24], cap. VII, Teorema 5.2).

Nota 1.4.60.

1. EL algebra KG es denominado el algebra de grupo.


2. Si A es un anillo, AG se define de la misma forma y se denomina el anillo de gruposAG.

Definicion 1.4.61.

1. El algebra de grupo KG tiene una forma bilineal natural simetrica no degenerada G-invariante 〈·, ·〉 que se define como:

〈a, b〉 =

1 si g = h

0 si g 6= h

donde a, b ∈ KG, con a =∑g∈G

αgg y b =∑h∈G

βhh. La forma G-invariante significa que

〈ag, bg〉 = 〈a, b〉 para todo a, b ∈ KG y todo g ∈ G.

2. Para cada a ∈ KG con a =∑g∈G

αgg (αg ∈ K y g ∈ G), el adjunto de a es definido como

a =∑g∈G

αgg−1. Llamamos a a auto-adjunto si a = a. Note ademas que la aplicacion

: KG −→ KG define un anti-isomorfismo de KG (esto es, es una biyeccion queinvierte el orden).

Esta definicion nos permite enunciar y demostrar el siguiente lema.

Lema 1.4.62. Si a, b ∈ KG, con a =∑g∈G

αgg, b =∑g∈G

βgg y f ∈ G. Entonces se cumplen

las siguientes condiciones.

1. 〈af, b〉 = 〈a, bf−1〉 y 〈fa, b〉 = 〈a, f−1b〉

2. 〈ab, c〉 = 〈b, ac〉

Demostracion. 1. Sean a, b ∈ KG, entonces

〈af, b〉 =

⟨∑g∈G

αggf,∑g∈G

βgg

⟩=

⟨∑g∈G

αggf,∑g∈G

βgfgf

⟩

=

⟨∑g∈G

αg,∑g∈G

βgf

⟩=∑g∈G

αgβgf

=∑g∈G

αgf−1βg =

⟨∑g∈G

αgf−1 ,∑g∈G

βg

⟩

=

⟨∑g∈G

αgf−1gf−1,∑g∈G

βggf−1

⟩=

⟨∑g∈G

αgg,∑g∈G

βggf−1

⟩=⟨a, bf−1

⟩


2. Aplicando el inciso anterior, tenemos

〈ab, c〉 =

⟨(∑g∈G

αgg)b, c

⟩=∑g∈G

αg 〈gb, c〉

=∑g∈G

αg⟨b, g−1c

⟩=

⟨b,∑g∈G

αgg−1c

⟩

=

⟨b, (∑g∈G

αgg−1)c

⟩= 〈b, ac〉

Observacion 1.4.63.

1. De la Definicion 1.4.61 y del Lema 1.4.62, tenemos que para todo a, b ∈ KG la formabilineal satisface la condicion

〈a, b〉 =⟨ba, 1

⟩= 〈1, ab〉 .

2. Sobre KG, definimos el dual de C denotado C⊥ como

C⊥ := x ∈ KG : ∀y ∈ C, 〈x, y〉 = 0 .

1.4.10. Idempotentes

La propiedad que permite realizar una accion determinada varias veces y aun ası conseguirel mismo resultado que se obtendrıa si se realiza una sola vez, se denomina idempotente. Enesta subseccion daremos la definicion formal de idempotentes la cual dice que si un elementoes multiplicado por sı mismo sucesivas veces da el mismo [14]. Este concepto sera de vitalimportancia para la continuidad de la investigacion.

Definicion 1.4.64.

1. Un elemento e ∈ A se llama idempotente si e2 = e.

2. Dos idempotentes 0 6= e 6= f ∈ A son ortogonales, si ef = fe = 0.

3. Si un idempotente e no puede escribirse como e = e1 +e2 con idempotentes ortogonalese1 y e2 entonces decimos que e es primitivo.

Proposicion 1.4.65. Los siguientes son equivalentes:

1. A = P1 ⊕ · · · ⊕ Pn con A-modulo Pi.

2. 1 = e1 + · · ·+ en con idempotentes ortogonales por pares ei y eiA = Pi.

Proposicion 1.4.66. Sea e = e2 ∈ A. Entonces el modulo eA es indescomponible si y solosi e es primitivo.

Para los detalles de los resultados anteriormente enunciados (ver [25], Capitulo I, Teorema1.4).


1.4.11. Modulos proyectivos

En este apartado estudiaremos modulos proyectivos finitamente generados sobre un dominioDedekind (si todo ideal de A es proyectivo como A-modulo). Estos son quizas los anillosmas simples para los que existen modulos proyectivos no triviales, aunque se puede dar unaclasificacion completa de ellos [14]. Ademas, daremos el concepto de envoltura y cubierta [7]y [8].

Definicion 1.4.67. Supongamos que A es un K-algebra de dimension finita, entonces:

1. Un A-modulo P es llamado proyectivo si P es una suma directa de An para algun n,es decir, si existe un A-modulo P ′ tal que

P ⊕ P ′ ∼= A⊕ · · · ⊕ A = An,

como A-modulo.

2. Si e = e2 ∈ A es primitivo, entonces P = eA lo llamamos un PIM (Modulo ProyectivoIndescomponible). Note que para e = e2 ∈ A el modulo eA es de hecho proyectivo comoA = eA⊕ (1− e)A.

Definicion 1.4.68. Sea M un A-modulo. La envoltura inyectiva de M , denotada por E(M),puede describirse como un monomorfismo f : M −→ E(M), donde E(M) es inyectivo eIm(f) es esencial en E(M), es decir, que todo submodulo propio de E(M) tiene interseccionno nula con Im(f).

Definicion 1.4.69. Sea M un A-modulo. Si P es proyectivo de dimension minima, la cubiertaproyectiva minimal de M es un epimorfismo ϕ : P (M) −→M , donde P (M) es un A-moduloproyectivo indescomponible y Ker(ϕ) es un superfluo en P (M), es decir, la suma de Ker(ϕ)con un submodulo propio de P (M) es siempre un submodulo propio de P (M).

Observacion 1.4.70.

1. La envoltura inyectiva siempre existe y esta determinada de forma unica, salvo isomor-fia.

2. La cubierta proyectiva no siempre existe; cuando existe, esta determinada de formaunica, salvo isomorfismo.

3. Finalmente, para cada A-modulo M irreducible existe (hasta el isomorfismo) un A-modulo P (M) proyectivo indescomponible unico llamado la cobertura proyectiva de M ,de modo que M es un modulo factor de P (M). En realidad, un A-modulo P proyectivono descomponible tiene solo un modulo de factor irreducible, lo que significa que solotiene un A-submodulo maximo.

Corolario 1.4.71. Todas las coberturas proyectivas de un modulo son isomorfas entre sı.


Definicion 1.4.72.

1. Como A es de dimension finita, podemos descomponer a A en una suma directa

A = I0 ⊕ I1 ⊕ · · · ⊕ Is

con ideales Ii de A, de 2-lados indescomponibles (es decir, descompuestos como idealesde 2-lados). Los Ii estan determinados unicamente por A y se denominan bloques, omas presisamente los p-bloques de A si la caracterıstica de K es p.

2. Si escribimos 1 = f0 + · · ·+ fs con fi ∈ Ii, entonces los fi son idempotentes primitivosortogonales en el centro

Z(A) = b ∈ A : ab = ba para todo a ∈ A

de A. El idempotente fi esta determinado unicamente por Ii y se llama el bloque idem-potente de Ii.

3. Si M es un A-modulo indescomponible, entonces la descomposicion

M = Mf0 ⊕ · · · ⊕Mfs

con A-modulo Mfi implica que hay exactamente un i tal que M = Mfi y Mfj = 0para i 6= j. Decimos que M pertenece al bloque Ii.

Lema 1.4.73. Los siguientes son equivalentes

1. Si A = A1 ⊕ A2 con ideales Ai, entonces existe e = e2 ∈ A tal que A1 = eA yA2 = (1− e)A.

2. Si e = e2 ∈ A, entonces A = eA⊕ (1− e)A.

Demostracion.

1. Sea 1 = e1 + e2, con ei ∈ Ai. De donde se sigue que

e1 = 1e1 = (e1 + e2)e1 = e21 + e2e1

como e1, e21 ∈ A1 y e2e1 ∈ A2, obtenemos que e1 = e21 y e2e1 = 0.

Analogamente, e2 = e22 + e1e2, es decir, e2 = e22 y e1e2 = 0. Ya que eiA ≤ Ai yclaramente A = e1A⊕ e2A = e1A⊕ (1− e1)A, en particular tomando e = e1 se tiene elresultado.

2. Para x, y ∈ A, tenemos que ex + ey = y, entonces ex = (1 − e)y con ex ∈ eA y(1− e)y ∈ (1− e)A, en consecuencia ex = (1− e)y ∈ eA ∩ (1− e)A, entonces

ex = e(ex) = e(1− e)y = ey − e2y = 0,

ya que e = e2. Ası, eA ∩ (1− e)A = 0. Ademas para x ∈ A claramente se tiene

x = ex+ x− ex = ex+ (1− e)x ∈ eA ∩ (1− e)A,

lo que prueba A = eA+ (1− e)A.


Nota 1.4.74. Tenga en cuenta que en el lema anterior e es un idempotente central, es decir,e es un elemento en el centro Z(A) = b ∈ A : ab = ba para todo a ∈ A de A si, y solo silos ideales Ai son bilaterales.Ademas, eA se llama indescomponible (es decir, no es la suma directa de dos ideales distintosde cero) si, y solo si e es primitivo (es decir, e no se puede escribir como e = e1 + e2 cone2i = ei y e1e2 = e2e1 = 0).

Capıtulo 2

KG-modulos y codigos de grupos.

En esta seccion se enunciaran algunas definiciones y propiedades (algunas se demostrarany otras no) muy importantes que seran de utilidad y fundamento para el presente trabajo,estas responden a los KG-modulos y los codigos de grupos ([13], [24]). Para ello, utilizaremoslos coceptos trabajados en las Secciones 1.4.9, 1.4.10 y 1.4.11, entre otros. Ademas, en losresultados de las secciones antes mencionadas, nos restringimos al grupo de algebra A = KG.

2.1. KG-modulos

La definicion de KG-modulo es analoga a la de A-modulo, por ello, nos centramos en estudiaralgunos resultados de modulos sobre el grupo de algebra KG. Al respecto tenemos el siguienteteorema.

Teorema 2.1.1. Sea G un grupo finito y M un KG-modulo. Entonces M es finitamentegenerado como KG-modulo si y solo si M es de dimension finita como K-espacio vectorial.

Demostracion. Supongamos que M es finitamente generado como KG-modulo. Sean β =g1, . . . , gn una base de KG sobre K y X = m1, . . . ,mt un conjunto generador del KG-modulo M . Probemos que βX := gimj : gi ∈ β y mj ∈ X genera a M como K-espaciovectorial.

Sea m ∈M , entonces m =t∑

j=1

ajmj, con aj ∈ KG y mj ∈ X. De donde se sigue que

m =t∑

j=1

ajmj =t∑

j=1

(n∑i=1

αijgi

)mj =

t∑j=1

(n∑i=1

(αijgi)mj

)=

t∑j=1

n∑i=1

αij(gimj)

Por lo tanto, M = 〈βX〉K y consecuencia dimKM es finita.Recıprocamente, sea M finitamente generado como K-espacio vectorial, con conjunto genera-dor m1, . . . ,mt. Si m ∈M, entonces m = α1m1+· · ·+αtmt = (α11KG)m1+· · ·+(αt1KG)ms,es decir m1, . . . ,mt genera a M como KG-modulo.

51

CAPITULO 2. KG-MODULOS Y CODIGOS DE GRUPOS. 52

Evidentemente existe una correspondencia biyectiva entre los KG-modulo finitamente gene-rados y las representaciones lineales de G sobre un K-espacio vectorial de dimension finita.

En lo que resta del trabajo G representara un grupo finito, todos los K-espacio vectoria-les seran de dimension finita y los KG-modulo seran finitamente generado y en consecuancia,seran de dimension finita sobre K.Ademas, V es un KG-modulo si y solo si V es un G-modulo. De igual manera, si V y W sonKG-modulo y ϕ : V −→ W es un K-homomorfismo, entonces ϕ es un KG-homomorfismo siy solo si ϕ(gv) = gϕ(v), para todo g ∈ G.

Teorema 2.1.2. Si P es un KG-modulo proyectivo y H ≤ G, entonces PH es un KH-moduloproyectivo.

Demostracion. Supongamos que P es un KG-modulo proyectivo, esto es, existe un KG-modulo P ′ tal que

P ⊕ P ′ ∼= KG.

Puesto que H ≤ G, entonces H tambien es un grupo finito. Por la Definicion 1.4.51 y elTeorema 2.1.1 se sigue que KG es un KG-modulo libre, en consecuencia (KG)H es un KH-modulo libre, es decir, la restriccion de cualquier KG-modulo libre sobre H es un KH-modulolibre. Por lo tanto, como P es un KG-modulo proyectivo, entonces PH es un KH-moduloproyectivos, esto es,

PH ⊕ P ′H ∼= KH.

Teorema 2.1.3. Sean G un p-grupo y K un cuerpo con caracterıstica p. Si P es un KG-modulo proyectivo finitamente generado, entonces P es libre.

Demostracion. Supongamos que P es un KG-modulo proyectivo finitamente generado, estoes, existe un KG-modulo finitamente generado P ′ tal que

P ⊕ P ′ ∼= KG.

Entonces existe un KG-modulo H finitamente generado tan que H = P⊕P ′, por la Definicion1.4.51 H es libre. Puesto que P y P ′ son KG-modulo proyectivo finitamente generados, esevidente que P y P ′ son espacios vectoriales de dimension finita sobre K, en consecuenciaexisten descomposiciones Pi y P ′j tal que

P =⊕i

Pi y P ′ =⊕j

P ′j ,

donde P y P ′ son KG-modulos indescomponibles (ver, Proposicion1.4.65, Definicion1.4.67 y1.4.72 , y Lema1.4.73 ). Ademas, por el Teorema1.4.59 se sigue que KG es un KG-moduloindescomponible y segun el Teorema de Krull-Schimidt (ver [23], 12.4), cada Pi debe ser unKG-modulo libre con un generador. Por lo tanto, P es un KG-modulo libre.


El KG-modulo K que mostraremos en el siguiente lema, se denomina el modulo trivial.

Lema 2.1.4. El cuerpo K es un KG-modulo con operacion gλ = λ para todo g ∈ G y todoλ ∈ K.

Demostracion. Sean λ1, λ2 ∈ K y a, b ∈ KG tales que a =∑g∈G

αgg y b =∑g∈G

βgg, entoncees

M1.

(a+ b)λ =

(n∑i=1

αig +n∑i=1

βig

)λ

=

(n∑i=1

(αi + βi)g

)λ =

n∑i=1

(αi + βi)gλ

=n∑i=1

(αi + βi)λ =n∑i=1

(αiλ+ βiλ)

=n∑i=1

αigλ+n∑i=1

βigλ

= aλ+ bλ.

M2.

a(λ1 + λ2) =n∑i=1

αig(λ1 + λ2) =n∑i=1

αi(λ1 + λ2)

=n∑i=1

αiλ1 +n∑i=1

αiλ2

=n∑i=1

αigλ1 +n∑i=1

αigλ2

= aλ1 + aλ2.

M3.

(ab)λ =

(n∑i=1

αign∑i=1

βig

)λ =

(n∑i=1

αign∑i=1

βigλ

)

=

(n∑i=1

αign∑i=1

βiλ

)=

(n∑i=1

αig

)(n∑i=1

βiλ

)

=

(n∑i=1

αig

)(n∑i=1

βigλ

)= a(bλ)


M4. Claramente 1KG · λ = λ.

Donde se sigue que K es un KG-modulo izquierdo con operacion gλ = λ para todo g ∈ G ytodo λ ∈ K. De forma analoga se prueba que K es un KG-modulo derecho.

Lema 2.1.5. Sea X un G conjunto finito y KX = λ1x1 + · · ·+ λnxn : λi ∈ K, xi ∈ X elconjunto de todas las K-combinaciones lineales de X. Entonces,

1. KX es un K-espacio vectorial con base X.

2. KX es un KG-modulo mediante la operacion

(n∑i=1

αig

)(m∑j=1

λjxj

)=

m∑j=1

λj

n∑i=1

αig(xj).

Es decir, mediante la accion g · x y extendiendo linealmente.

Demostracion. 1. Es claro que KX es un K-espacio vetorial con base X.

2. Sean x, y ∈ KX y a, b ∈ KG tales que a =n∑i=1

αig y b =n∑i=1

βig, entoncees

M1.

(a+ b)x =

(n∑i=1

αig +n∑i=1

βig

)m∑j=1

λjxj

=

(n∑i=1

(αi + βi)g

)m∑j=1

λjxj

=

(m∑j=1

λj

n∑i=1

(αi + βi)g(xj)

)

=

(m∑j=1

λj

n∑i=1

(αig(xj) + βig(xj))

)

=m∑j=1

λj

n∑i=1

αig(xj) +m∑j=1

λj

n∑i=1

βig(xj)

=

(n∑i=1

αig

)(m∑j=1

λjxj

)+

(n∑i=1

βig

)(m∑j=1

λjxj

)= ax+ bx.


M2.

a(x+ y) =n∑i=1

αig

(m∑j=1

λjxj +m∑j=1

λ′jx′j

)

=n∑i=1

αig

(m∑j=1

(λj + λ′j)(xj + x′j)

)

=m∑j=1

(λj + λ′j)n∑i=1

αig(xj + x′j)

=m∑j=1

λj

n∑i=1

αig(xj) +m∑j=1

λ′j

n∑i=1

αig(x′j)

=

(n∑i=1

αig

)(m∑j=1

λjxj

)+

(n∑i=1

αig

)(m∑j=1

λ′jx′j

)= ax+ ay.

M3.

(ab)x =

(n∑i=1

αign∑i=1

βig

)m∑j=1

λjxj

=

(n∑i=1

αig

)(n∑i=1

βig

)m∑j=1

λjxj

=

(n∑i=1

αig

)(m∑j=1

λj

n∑i=1

βig(xj)

)= a(bx).

M4. Claramente 1KG · x = x.

Por lo tanto KX es un KG-modulo izquierdo. De forma analoga se prueba que KX es unKG-modulo derecho.

El KG-modulo anteriormente definido se denomina KG-modulo de permutacion.

Lema 2.1.6. Si M y N son KG-modulos, entonces,

1. M ⊕N es un KG-modulo bajo la operacion g(m,n) = (gm, gn).

2. M ⊗ N es un KG-modulo bajo la accion g(m ⊗ n) = (gm ⊗ gn), denominada acciondiagonal.

Teorema 2.1.7. Si M y N son KG-modulos, entonces HomK(M,N) es un KG-modulosmediante la operaciion (gf)(m) = g(f(g−1(m))).


Demostracion. Probemos que gf ∈HomK(M,N). En efecto,

(gf)(m1 +m2) = g(f(g−1(m1 +m2)))

= g(f(g−1m1 + g−1m2))

= g(f(g−1m1) + f(g−1m2))

= g(f(g−1m1)) + g(f(g−1m2))

= (gf)(m1) + (gf)(m2).

y

(gf)(λm) = g(f(g−1(λm)))

= g(f(λg−1(m)))

= g(λf(g−1(m)))

= λg(f(g−1(m)))

= λ(gf)(m).

Entonces la operacion esta bien definida, probemos que la accion es lineal. Esto es,g(f1 + f2)(m) = g(f1 + f2)(g

−1m) = g(f1(g−1m)) + g(f2(g

−1m)) = (gf1)(m) + (gf2)(m).Ademas, g(λf)(m) = g(λf)(g−1m) = g(λf(g−1m)) = λgf(g−1m) = λgf(m) y (ef)(m) =ef(em) = f(m). Finalmente,

((g1g2)f)(m) = (g1g2)f((g1g2)−1m)

= (g1g2)f((g−12 g−11 )m)

= (g1g2)f(g−12 (g−11 m))

= g1(g2f(g−12 (g−11 m)))

= g1(g2f)(g−11 m)

= [g1(g2f)(m)].

Por el Lema 2.1.4 y el Teorema 2.1.7, tenemos la siguiente definicon que sera muy importanteen la continuidad de este trabajo.

Definicion 2.1.8. Si M es un KG-modulo, entonces M∗ := HomK(M,K) es un KG-modulodenominado el modulo dual de M, donde K es el KG-modulo trivial y la operacion se reducea (gf)(m) = f(g−1m).

Pues, por el Lema 2.1.4, en K la accion esta definida como gλ = λ para todo g ∈ G.Por lo tanto (gf)(m) = gf(g−1m) = f(g−1(m)) puesto que f(g−1(m)) ∈ K.Para f ∈ HomKG(M,K), g ∈ G y m ∈ M . M se llama un modulo auto-dual si M ∼= M∗

como un KG-modulo.


2.2. Codigos de grupos

En esta seccion veremos algunos resultados de algebras de grupos sobre anillos que contienenideales auto-duales, esto es, ideales C que satisfacen C = C⊥ con respecto a la forma bilinealnatural no degenerada [31]. En este sentido, los codigos cıclicos son codigos de grupos cuandoG es un grupo cıclico; los codigos de Reed-Muller son codigos de grupos cuando G es unp-grupo abeliano elemental [26].

Definicion 2.2.1.

1. Si G es un grupo finito y C es un ideal derecho de KG, decimos que C es un codigo degrupo.

2. Ademas decimos que un codigo C ≤ Kn es un codigo de grupo para G si existe unabiyeccion ϕ : E −→ G, donde E := e1, . . . , en, tal que la extension lineal de ϕ a unisomorfismo ϕ : Kn −→ G envıa a C en un ideal derecho de KG.

Proposicion 2.2.2. Si C es un ideal en KG, entonces

KG/C⊥ ∼= C∗

como KG-modulos.

Demostracion. Para a ∈ KG, definamos la aplicacion

f :KG −→ C∗

a 7−→ f(a)

donde,

f(a) :C −→ K

c 7−→ f(a)(c) := 〈a, c〉

f esta bien definida, en efecto:

1. Probemos que f(a) ∈ C∗.

a. f(a)(b+ c) = 〈a, b+ c〉 = 〈a, b〉+ 〈a, c〉 = f(a)(b) + f(a)(c)

b. f(a)(βb) = 〈a, βb〉 = β 〈a, b〉 = βf(a)(b).

2. Sean a, b ∈ KG, con a = b tales que f(a)(c) = 〈a, c〉 y f(b)(c) = 〈b, c〉, entonces comoa = b, se sigue que:

〈a, c〉 = 〈b, c〉f(a)(c) = f(b)(c)

f(a) = f(b).


Claramente f(a) es K-lineal, por lo tanto f(a) ∈ C∗. Ademas, la aplicacion α : KG −→ C∗

definida por a 7−→ α(a) := f(a) tambien es K-lineal. Mas aun, α es KG-lineal ya que laG-invarianza de la forma 〈·, ·〉 (ver, Lema 1.4.62) implica:

α(ga)(c) = f(ga)(c)

= 〈ga, c〉=⟨a, g−1c

⟩= f(a)(g−1c)

= α(a)(g−1c)

= (gα(a))(c).

Ası, tenemos que f(a) es un KG-Homomorfismo. Por el Teorema 1.4.26,

KG/Ker(α) ∼= Im(α) ≤ C∗.

Pero,

Ker(α) = a ∈ KG : α(a) = 0= a ∈ KG : f(a) = 0= a ∈ KG : f(a)(c) = 0, c ∈ C= a ∈ KG : 〈a, c〉 = 0, c ∈ C= C⊥

Por lo tanto, obtenemos un KG-lineal monomorfismo de KG/C⊥ en C∗, es decir,

KG/C⊥ ∼= Im(α) ≤ C∗. (2.1)

Por ultimo, demostraremos que∣∣KG/C⊥∣∣ = |C∗| . Puesto que C⊥ ≤ KG, entonces dimC +

dimC⊥ = dimKG, esto es, dimC = dimKG− dimC⊥ y dimC = dimC∗. Entonces,

dim(KG/C⊥) = dimKG− dimC⊥

= dimC

= dimC∗.

(2.2)

De 2.1 y 2.2 se sigue que dim Im(α) = dimC∗, entonces Im(α) = C∗.

Corolario 2.2.3. Sea K un cuerpo finito y G un grupo finito. Entonces KG contiene uncodigo de grupo auto-dual si y solo si la caracteristica de K es 2 y el orden de G es par.

Corolario 2.2.4. Si KG contiene un codigo de grupo auto-dual y H ≤ G. Entonces M esun KH-modulo auto-dual simple con multiplicidad en KG considerado como KH-modulo.


Demostracion. Sea C un codigo de grupo auto-dual en KG. Por la Proposicion 2.2.2 se tieneque KG/C⊥ ∼= C∗ como KG-modulo, ademas, tenemos que H es un subgrupo de un grupofinito G, entonces H tambien es un grupo finito. En consecuencia, KG/C⊥ ∼= C∗ comoKH-modulo. Sea M un KH-modulo simple auto-dual, entonces la multiplicidad de M enC es la misma que en C∗. Por lo tanto, la multiplicidad de M en KG considerado como unKH-modulo es par.

Proposicion 2.2.5. Sea H un subgrupo de G. Si KH contiene un codigo de grupo auto-dual,entonces KG tambien contiene un codigo de grupo auto-dual.

Demostracion. Supongamos que KH contiene un codigo de grupo auto-dual, esto es, C⊥ =C ≤ KH. Puesto que H un subgrupo de G, de la teoria de grupo se sigue que existeun conjunto de transversales derechas (o izquierda) de H en G (ver [6]), digamos T =t1, t2, . . . , tn con t1 = 1H . Ademas, para a, b ∈ KH, tenemos

〈ati, btj〉 =

〈a, b〉 , si i = j

0, si i 6= j.

Ası, KG = KHt1⊥KHt2⊥ · · ·⊥KHtn (ver [10], [18]). Entonces, C = C⊥Ct2⊥ · · ·⊥Ctn es

un ideal en KG y C = C⊥.

Capıtulo 3

Codigos LCD en Kn y codigos degrupo LCD

3.1. Codigos LCD en Kn

En esta seccion diremos que C es un codigo lineal con un doble complemento (o un codigoLCD para abreviar) solo en el caso que C sea un codigo lineal con un doble complementopara el cual C ∩ C⊥ = 0 [20]. El estudio de estos codigos (LCD) es muy interesante, puessegun Massey (1992) los codigos LCD son asintoticamente buenos, Sendrir (2004) los codigosLCD alcanzan la cota de Gilbert-Varshamov y Carlet-Guillet (2015) los codigos LCD tienenimportantes aplicaciones en criptografıa.

Si C es un codigo LCD, entonces tambien lo es C⊥, porque(C⊥)⊥

= C.

Definicion 3.1.1. (J. L. Massey, 1992) Un codigo C ≤ Kn es llamado codigo LCD (linearwith complementary dual), si

C ∩ C⊥ = 0 .

Equivalentemente, C ⊕ C⊥ = Kn.

Lema 3.1.2. Sea C un codigo lineal de longitud n sobre K. Entonces C es un codigo LCDsi y solo si la proyeccion ortogonal sobre C existe.

Demostracion. Supongamos que ΠC es una proyeccion ortogonal sobre C. Por el Lema 1.3.34tenemos

ΠC(v) =

v si v ∈ C,0 si v ∈ C⊥.

Si C no es LCD, entonces existe u 6= 0 tal que u ∈ C ∩ C⊥. De lo anterior se sigue que0 = ΠC(u) = u 6= 0, lo cual es una contradiccion.Supongamos ahora que C es un codigo LCD. Sea v ∈ Kn, entonces existe un unico par u ∈ Cy w ∈ C⊥ tal que v = u+ w. Definamos la aplicacion ΠC : Kn −→ Kn por

ΠC(v) = u.

60

CAPITULO 3. CODIGOS LCD EN KN Y CODIGOS DE GRUPO LCD 61

Claramente ΠC esta bien definido y es una aplicacion lineal, en la prueba del Lema 1.3.34,se obtiene

ΠC(z) =

z si z ∈ C,0 si z ∈ C⊥.

1. Probemos que ΠC ∈ Kn.

a. Sean v, v′ ∈ Kn tales que v = u+w y v′ = u′+w′. Puesto que ΠC(v) = ΠC(u+w) =u, obtenemos

ΠC(v + v′) = ΠC [(u+ w) + (u′ + w′)]

= ΠC [(u+ u′) + (w + w′)]

= u+ u′

= ΠC(v) + ΠC(v′)

b. ΠC(βv) = ΠC [β(u+ w)] = ΠC(βu+ βw) = βu = βΠC(v).

2. Sean C,C ′ ≤ Kn, tal que C = C ′, con ΠC(v) = u y ΠC′(v) = u. Entonces,

u = u

ΠC(v) = ΠC′(v)

ΠC = ΠC′ .

Por lo tanto, por el Lema 1.3.34 , ΠC es una proyeccion ortogonal sobre C.

Proposicion 3.1.3. Sea G una matriz generadora para el [n, k]-codigo lineal C. Entonces Ces un codigo LCD si y solo si la matriz GGT de tamano k× k es no singular. Ademas, si Ces un codigo LCD, entonces ΠC = GT (GGT )−1G es la proyeccion ortogonal de Kn sobre C.

Demostracion. Supongamos que GGT es no singular. Entonces, si v ∈ C, es decir, si v = uGpara algun u ∈ Kk, se sigue que:

vGT (GGT )−1G = (uG)GT (GGT )−1G

= u[GGT (GGT )−1G]

= u[G(GT (GT )−1G−1G)]

= u[G(GT (GT )−1)]

= uG

= v.

Ademas, si v ∈ C⊥, esto es, si vGT = 0, se obtiene:

vGT (GGT )−1G = 0(GGT )−1G = 0.

Ası, ΠC = GT (GGT )−1G es la proyeccion ortogonal de Kn sobre C y, por lo tanto, C debeser un codigo LCD.


Recıprocamente, supongamos que GGT es singular. Como GGT es una matriz de tamanok× k, del algebra lineal se tiene que rang(GGT ) < k. Mas aun, el Teorema del rango-nulidadgarantiza que k = rang(GGT ) + η(GGT ), es decir

k = rang(GGT ) + η(GGT ) < k + η(GGT ).

Con lo cual η(GGT ) > k−k = 0, entonces Ker(GGT ) 6= 0. Por consiguiente, hay un vectoru distinto de cero en Km tal que uGGT = 0. Ahora uG es un vector distinto de cero en C.Pero un vector arbitrario v en C puede escribirse como v = u′G para algun u′ en Km demodo que

(uG)vT = (uG)(u′G)T

= uGGT (u′)T

= 0(u′)T

= 0

y en consecuencia uG tambien es un vector en C⊥. Se sigue entonces que uG ∈ C∩C⊥ 6= 0,en otras palabras C no es un codigo LCD.

Ahora, mostraremos como modificar un [n, k]-codigo lineal arbitrario para producir un codigoLCD cuya distancia mınima de Hamming sea al menos igual de grande. De la teorıa de codigosabemos que cada codigo lineal es equivalente (hasta una permutacion de las coordenadas delas palabras de codigo) a un codigo lineal que tiene matriz generadora en la forma estandarG = [Ik : P ], donde Ik denota la matriz de identidad de tamano k × k.

Proposicion 3.1.4. Sea G = [Ik : P ] la matriz generadora de un [n, k]-codigo lineal C, condistancia mınima de Hamming dmin, donde K es un cuerpo con caracterıstica 2. Entonces,

G′ = [Ik : P : P ]

es la matriz generadora de un [2n−k, k]-codigo C ′ LCD, con distancia mınima d′min ≥ dmin.

Demostracion. Como K es un cuerpo con caracterıstica 2, para la matriz G′ se tiene queG′(G′)T = [Ik : P : P ][Ik : P : P ]T = Ik + PP T + PP T = Ik. En consecuencia, G′(G′)T es nosingular y por la Proposicion 3.1.3, se sigue que el codigo C ′ generado por G′ es un codigoLCD.Como C es un codigo lineal de longitud n, entonces G tiene n columnas. Tengamos encuenta que P tiene columnas n − k. Con lo cual se deduce que G′ = [Ik : P : P ] tienek + (n − k) + (n − k) = 2n − k columnas. Por lo tanto, el codigo C ′ generado por G′ es un[2n− k, k]-codigo lineal.A continuacion, mostraremos que d′min(C ′) ≥ dmin. Sea v ∈ C ′ \ 0. Entonces existe u ∈Kk \ 0 tal que v = uG′ = [uIk : uP : uP ]. Ası,

wt(v) = wt([uIk : uP : uP ]) ≥ wt([uIk : uP ]) = wt(u[Ik : P ]) = wt(uG) = dmin(uG) ≥ dmin(C) = dmin.

Por lo tanto, d′min = d′min(C ′) ≥ dmin.


En la Seccion 1.3.4 estudiamos algunas de las propiedades mas importantes de los codigoscıclicos, ahora daremos la condicion necesaria y suficiente para que un codigo cıclico sea uncodigo LCD. Para ello, sea C un codigo cıclico de longitud de bloque n = n · pe, donde prepresenta la caracterıstica de GK(q), e ≥ 0 y mcd(p, n) = 1. Ademas, todos los factoresmonicos irreducibles de xn − 1 en GK(q)[x] tienen multipicidad exacta pe, por lo tanto

xn − 1 = xn·pe − 1 = (xn − 1)p

e

.

Puesto que el mcd(p, n) = 1, entonces el polinomio xn − 1 en GK(q)[x] no tiene factoresirreducibles repetidos. Supongamos que f(x) es un polinomio monico de grado d con f(0) =c 6= 0. Entonces, el polinomio monico recıproco de f(x) es

f(x) = f−1xdf(x−1).

Lema 3.1.5. Sea g(x) un polinomio generador de C, donde C es un [n, k]-codico cıclico delongitud n = n · pe, con e ≥ 0, mcd(p, n) = 1 y p la caracterıstica de GK(q). Entonces C es

un codigo LCD si y solo si mcd(g(x), h(x)) = 1, donde h(x) es el polinomio monico recıprocode h(x) = (xn − 1)/g(x).

Demostracion. Como C es un codigo cıclico, el codigo dual C⊥ de C tambien es un codigocıclico. Ademas, por la Nota 1.3.24, todo codigo cıclico C⊥ tiene un polinomio que lo genera,digamos h(x). Sea g∗(x) = mcm(g(x), h(x)), entonces por el Teorema 1.3.27, g∗(x) es elpolinomio generador de C ∩C⊥. De la definicion3.1.1 se sigue que C ∩C⊥ = 0 si y solo si

el grado de g∗(x) es n. Pero xn − 1 es divisible por g(x) y por h(x), grad[g(x)] = n− k (ver

Teorema 1.3.27), y grad[h(x)] = k. Por lo tanto, grad[g∗(x)] = n si y solo si mcd(g(x), h(x)) =1 si y solo si C ∩ C⊥ = 0 si y solo si C es un codigo LCD.

Teorema 3.1.6. Si g(x) es el polinomio generador de un [n, k]-codico cıclico C sobre Kn.Entonces C es un codigo LCD si y solo si g(x) es auto-recıproco (esto es, g(x) = g(x)) ytodos los factores monicos irreducibles de g(x) tienen la misma multiplicidad en g(x) y enxn − 1.

Demostracion. Sea C es un codigo LCD. Por el Lema anterior se sigue que mcd(g(x), h(x)) =

1. Sean h(x) y g(x) los polinomios monicos recıprocos de h(x) = (xn − 1)/g(x) y g(x) =(xn − 1)/h(x) respectivamente. Entonces

xn − 1 = g(x) · h(x) = g(x) · h(x),

de donde podemos concluir que g(x) divide a g(x) y por lo tanto, g(x) = g(x). Ası,

mcd(g(x), h(x)) = mcd(g(x), h(x)) = mcd(g(x), h(x)) = 1.

Puesto que xn − 1 = g(x) · h(x) = (xn − 1)pe, obtenemos que todos los factores irreducibles

de g(x) tienen multiplicidad pe.

Supongamos que g(x) no es auto-recıproco, entonces g(x) no divide a g(x) y mcd(g(x), h(x)) 6=


1. Por el Lema anterior se sigue que C no es un codigo LCD.Ahora, si suponemos que g(x) es auto-recıproco, como tambien lo es h(x), pero que algun fac-tor monıco irreducible de g(x) tiene multiplicidad menor que pe, entonces mcd(g(x), h(x)) =

mcd(g(x), h(x)) 6= 1, con lo cual se concluye que C no es LCD.

A continuacion enunciaremos un corolario de mucho interes en la teorıa de codigos cıclicos, elcual establece una relacion entre los codigos reversibles y los codigos cıclicos cuyos polinomiosgeneradores no tienen factor repetido, ver [9] y [19].

Corolario 3.1.7. Sea C codigo cıclico de longitud n relativamente primo a la caracterısticap de GK(q), entonces C es un codigo LCD si y solo si es un codigo reversible.

3.2. Codigos de grupo LCD

En esta seccion estudiaremos propiedades importantes y de gran interes relacionadas con loscodigos de grupos, pero en el ambiente KG [14], de hecho, tenemos el siguiente resultado.

Lema 3.2.1. Si e = e2 ∈ KG, entonces eKG ∼= eKG∗.

Demostracion. Supongamos que e 6= 0 y definamos la aplicacion α : eKG −→ eKG∗ como

(αx)y = 〈x, y〉 ∈ K,

con x ∈ eKG y y ∈ eKG, veamos que α esta bien definida, en efecto:

1. α(x)(y + z) = 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉 = α(x)y + α(x)z.

2. α(x)(βy) = 〈x, βy〉 = β 〈x, y〉 = βα(x)y.

3. Sean x1, x2 ∈ eKG, con x1 = x2, entonces α(x1)y = 〈x1, y〉 y α(x2)y = 〈x2, y〉como x1 = x2, se sigue que:

〈x1, y〉 = 〈x2, y〉α(x1)y = α(x2)y

α(x1) = α(x2).

Por lo tanto, α esta bien definida. Es claro que α es K-lineal (esta linealidad es heredada dela forma bilineal). Mas aun, α es KG-lineal puesto que, por la Definicion 2.1.8 y la forma enque esta definida la aplicacion, obtenemos:

(α(gx))y = 〈gx, y〉 =⟨x, g−1y

⟩= (αx)(g−1y) = (g(αx))y.

con x ∈ eKG, y ∈ eKG y g ∈ KG. Ademas,

Ker(α) = a ∈ eKG : α(a) = 0= a ∈ eKG : α(a)(b) = 0= a ∈ eKG : 〈a, b〉 = 0


Entonces, para (αx)y = 〈x, y〉 ∈ K y x 6= y, se sigue que (αx)y = 0, en consecuencia, α esun monomorfismo para todo x ∈ eKG y algun y ∈ eKG, con x = ea y y = eb se tiene que:

0 = 〈x, y〉 = 〈ea, eb〉 = 〈eea, eeb〉 =⟨a, e2b

⟩= 〈a, eb〉 ,

es decir y = eb = 0. Por lo tanto,

dimeKG = dimeKG = dimeKG∗.

Observacion 3.2.2. Si C es un codigo de grupo LCD, es decir, C ⊕ C⊥ = KG donde C esun ideal derecho en KG. Tenga en cuenta que C⊥ tambien debe ser un ideal derecho ya quepara todos los c ∈ C, c⊥ ∈ C⊥ y g ∈ G tenemos⟨

c, c⊥g⟩

=⟨cg−1, c⊥

⟩= 0 (ver, Lema 1.4.62).

Entonces C es un KG-modulo proyectivo dentro de KG. Ademas KG/C⊥ ∼= C ya queC ⊕ C⊥ = KG. Segun la Proposicion 2.2.2 tambien tenemos KG/C⊥ ∼= C∗ como KG-modulos, de ahı que C ∼= C∗. Por lo tanto, un codigo de grupo LCD es un modulo auto-dualproyectivo dentro de KG.

Lema 3.2.3. Sea K un cuerpo con caracterıstica p. Si C es un codigo de grupo LCD paraG sobre K, entonces |G|p |dimC.

Demostracion. Supongamos que C es un codigo de grupo LCD, esto es, C ⊕ C⊥ = KG.Entonces C es un KG-modulo proyectivo. Por el primer teorema de Sylow se sigue quetodo grupo finito G admite, para cada primo p, un p-subgrupo de Sylow digamos H. Por elTeorema 2.1.2 CH es un KH-modulo proyectivo, y por el Teorema 2.1.3 CH es libre. Por lotanto, como consecuencia del teorema de Sylow |G|p |dimKC.

Teorema 3.2.4. Si C ≤ KG es un ideal derecho en KG, entonces los siguientes son equi-valentes.

1. C es un codigo LCD.

2. C = eKG donde e2 = e = e.

Demostracion. Sea C ≤ KG un ideal derecho en KG. Supongamos que C = eKG, cone2 = e = e, esto es, e es un idempotente, entonces por el Teorema 1.4.73 se sigue queKG = eKG⊕ (1− e)KG. Ademas, para todo f, g, h ∈ KG se tiene que

〈fg, h〉 =⟨ffg, fh

⟩=⟨g, fh

⟩.

En consecuencia,

〈ef, (1− e)g〉 = 〈f, e(1− e)g〉 =⟨f, (e− e2)g

⟩= 〈f, 0〉 = 0.


Por lo tanto, (1− e)KG ≤ C⊥, pero

dim(1− e)KG = dimKG− dim(eKG) = |G| − dimC = dimC⊥

Ası, (1− e)KG = C⊥, con lo cual concluimos que KG = C ⊕ C⊥ y C es un codigo LCD.Supongamos ahora que C es un codigo LCD, entonces KG = C ⊕ C⊥, de donde podemosescribir 1 = e+ f con e ∈ C y f ∈ C⊥, lo que implica

e = e2 + fe y f = ef + f 2.

Puesto que C y C⊥ son KG-modulos con C⊥ = f ∈ KG : 〈f, e〉 = 0 para todo e ∈ C, sesigue que e = e2 y f = f 2 y fe = ef = 0 (ver, Definicion 1.4.72 y la Nota 1.4.74). Ademas,KG = eKG⊕ fKG, con lo cual C = eKG. Ahora, para g, h ∈ KG se tiene

0 = 〈eg, fh〉 = 〈eeg, efh〉 = 〈g, e(1− e)h〉 .

Entonces, por la forma bilineal natural simetrica no degenerada en KG se obtiene e(1− e) =e− ee = 0, es decir, e = ee. Por lo tanto,

e = e = ee = ee = e.

Observacion 3.2.5. De la Definicion 1.4.61 a es auto-adjunto si a = a, en este sentido,llamamos a un codigo de grupo C auto-adjunto si C = C = c : c ∈ C. Donde C esun KG-modulo derecho, pero tambien un KG-modulo izquierdo en el caso que G sea ungrupo abeliano. Ademas, Si G es un grupo cıclico de orden n generado por g y ordenado

por 1, g, g2, . . . , gn−1, entonces (c0, c1, c2, . . . , cn−1) corresponde a c =n−1∑i=0

cigi. Por lo tanto, el

auto-adjunto c =n−1∑i=0

ci(gi)−1 de c esta dado por (c0, cn−1, . . . , c1). Como C es cıclico, se sigue

que (cn−1, cn−2, . . . , c1, c0) tambien es una palabra de codigo. Esto muestra que auto-adjuntopara los grupos cıclicos no significa nada mas reversibilidad (ver [19]).

Corolario 3.2.6. Sea C ≤ KG un ideal derecho en KG. Entonces los siguientes son equi-valentes.

1. C es un codigo LCD auto-adjunto.

2. C = fKG donde f 2 = f = f y f se encuentra en el centro de KG.

Demostracion. Supongamos que C = fKG donde f 2 = f = f y f se encuentra en el centrode KG, con Z(KG) = f ∈ KG : fa = af para todo a ∈ KG. Entonces tomando f = e enel Teorema 3.2.4, se tiene que C es un codigo LCD, mas aun, como

C = fKG = KGf = KGf = fKG,


se sigue que C = C.Ahora, supongamos que C es un codigo de grupo LCD auto-adjunto. Entonces por el Teorema3.2.4 y tomando f = e, se sigue que C = fKG donde f 2 = f = f . Falta mostrar que f seencuentra en el centro de KG, en efecto, puesto que C = C, obtenemos

C = fKG = fKG = KGf = KGf

es decir, C = fKG = KGf , pero f 2KG = fKGf , entonces C = fKG = fKGf.Ademas, tenemos KG = fKG⊕ (1− f)KG, y tomando 1 = f + e podemos escribir KG =fKG⊕ eKG, ası obtenemos KG = fKGf ⊕ eKG, por lo tanto

KGe = fKGfe⊕ eKGe = eKGe,

ya que fe = 0. Ası, KGe = eKGe ≤ eKG. Pero dimKGe = dimeKG, lo cual implicaeKG = KGe. Esto muestra que

KG = fKG⊕ eKG

es una descomposicion de KG en una suma directa de ideales bilaterales. Por lo tanto, paracualquier a ∈ KG tenemos

a = af + ae = fa+ ea ∈ fKG⊕ eKG.

Por lo tanto, af = fa para todos los a ∈ KG, lo que muestra que f esta en el centro deKG.

Definicion 3.2.7. Sea K un cuerpo. Si la caracterıstica de K es 2, un K-espacio vectororialV con una forma K-bilineal no degenerada 〈·, ·〉 se llama simplectico si 〈v, v〉 = 0 para todov ∈ V .De la definicion se sigue que un codigo auto-dual es simplectico, pero no al reves.

Corolario 3.2.8. Sea K un cuerpo. Si la caracterıstica de K es 2 y C ≤ KG es un idealderecho en KG. Entonces los siguientes son equivalentes.

1. C es un codigo de grupo LCD simplectico.

2. e2 = e = e y 〈1, e〉 = 0, esto es, el coeficiente de e en 1 es cero.

Demostracion. Supongamos que C es un codigo de grupo LCD simplectico, es decir, paratodo c ∈ C se sigue que 〈c, c〉 = 0. Ademas, por el Teorema 3.2.4 C = eKG donde e2 = e = e.Solo falta verificar que 〈1, e〉 = 0. En efecto,

0 = 〈e, e〉 = 〈ee, ee〉 = 〈1, ee〉 =⟨1, e2

⟩= 〈1, e〉 .

Ahora, supongamos que e2 = e = e y 〈1, e〉 = 0. Entoces por el Teorema 3.2.4 C = eKG esun codigo LCD. Solo falta verificar que C es simplectico. En efecto, por la Definicion 1.4.61


〈eg, eg〉 = 〈e, e〉 = 〈1, ee〉 =⟨1, e2

⟩= 〈1, e〉 = 0,

para todo g ∈ G. En consecuencia, para a =∑g∈G

αgg y e =∑g∈G

βgg con αg, βg ∈ K y

g ∈ D, obtenemos

〈ea, ea〉 =

⟨e∑g∈G

αgg, e∑h∈G

αhh

⟩=∑g∈G

∑h∈G

αgαh 〈eg, eh〉

=∑g,h∈G

αgαh 〈eg, eh〉

=∑

g,h∈G|g 6=h

αgαh(〈eg, eh〉+ 〈eh, eg〉)

= 0

donde ea ∈ eKG = C y CharK = 2. Por lo tanto 〈·, ·〉 es simplectico en C.

Observacion 3.2.9. Por el Teorema 3.2.4. Sea C = eKG un codigo LCD, donde e2 = e = ey sea la caracterıstica de K igual a 2. Supongamos que C⊥ = (1 − e)KG no contiene lacubierta proyectiva P (1G) del modulo trivial como suma directa (hasta el isomorfismo). Por[[27], Proposicion 2.2] se deduce que 〈·, ·〉 |C⊥ es la polarizacion de una forma cuadratica G-invariante para C⊥. Esto significa que hay una forma q cuadratica G-invariante en C⊥ talque

q(a+ b)− q(a)− q(b) = 〈a, b〉 ,

para a, b ∈ C⊥. Ya que la caracterıstica de K es 2, la forma 〈·, ·〉 |C⊥ es simplectico. Estotiene la siguiente consecuencia interesante en teorıa de representacion.

Proposicion 3.2.10. Sea K un cuerpo. Si la caracterıstica de K es 2 y P (1G) = eKG es la

cubierta proyectiva del modulo trivial, donde e = e2 ∈ KG. Entonces e = 1 +∑g 6=1

λgg.

Demostracion. Supongamos que CharK = 2 y P (1G) = eKG es la cubierta proyectiva delmodulo trivial, donde e = e2 ∈ KG. Es claro que para cualquier caracterıstica p primo, lacubierta proyectiva P (1G) = eKG del modulo trivial es siempre un codigo de grupo LCD.Esto se deduce de [[30], Teorema 2.15] ya que la multiplicidad P (1G) en KG es 1. Ademas,P (1G) no es una suma directa en (1 − e)KG. Segun el Teorema 3.2.4 tenemos e2 = e = e.Por Observacion 3.2.9, el elemento 1− e no contiene 1 en su soporte. Como 1 = e + (1− e)la afirmacion se sigue.

A continuacion veamos dos ejemplos que permiten ver la aplicacon e importancia de loscodigos de grupo LCD, ver [14].


Ejemplo 3.2.11.

1. Sea G = S3 el grupo simetrico sobre 3 letras (o grupo simetrico de grado 3) y sea Kun cuerpo de caracterıstica 2. Ademas, sea G = 〈g : g3 = e〉 y e = g + g2, entoncese2 = ee = (g + g2)(g + g2) = g2 + 2g3 + g4 = g + g2 + 2e = 3g + 3g2 = g + g2 yclaramente e = g + g2. Por lo tanto, e = e2 = e es un idempotente central autoadjuntoen KG. Ası, el codigo de grupo C = eKG es un codigo LCD autoadjunto (Teorema3.2.4) de dimension 4 y distancia mınima 2.

2. Sea G = A4 el grupo alterno sobre 4 letras, donde A4 es un subgrupo del grupo simetricoS4 y sea K un cuerpo de caracterıstica 3. Tomemos e = g+h+gh ∈ KG donde g, h ∈ Ggeneran un grupo cuatro de Klein en G. Por lo tanco, el codigo de grupo C = eKG esun codigo LCD autoadjunto de dimension 9 y distancia mınima 2.

Capıtulo 4

Codigos LCP en Kn y codigos degrupo LCP

4.1. Codigos LCP en Kn

En esta seccion hablaremos de un codigo muy importante, llamado codigo lineal par comple-mentario (o codigo LCP para abreviar). Estos surgen del hecho que para un par de codigoslineal complementarios (C,D), donde C y D son ideales en un algebra de grupo, D estadeterminado unicamente por C y el codigo dual D⊥ es una permutacion equivalente a C. Elinteres actual de los codigos LCP surgio del hecho que se pueden usar en la proteccion contracanal y ataques de inyeccion de fallas. [29], [12], [2].Inicialmente, definiremos los codigos constacıclicos [3], cuya motivacion proviene de la crip-tografıa y que tienen su propio interes en la codificacion, luego hablaremos de los codigoscıclicos nD [5], y finalmente mostraremos resultados de los codigos de grupo LCP [16].

Definicion 4.1.1. Sea α ∈ Kn un elemento distinto de cero. Un codigo lineal C sobre K esllamado α-constacıclico si se cumple lo siguiente:

si (c0, c1, . . . , cn−1) ∈ C entonces (αcn−1, c0, . . . , cn−2) ∈ C.

Observacion 4.1.2. Algunos conceptos importantes referentes a los codigos constacıclicosson los siguientes (ver [21] y [32]).

1. De la definicion anterior se tiene lo siguientes, si α = 1, entonces el codigo equivale a uncodigos cıclicos, en el caso que α = −1, entonces se convierte en un codigos negacıclico.

2. Un codigo constacıclico C, lo podemos ver como un ideal de K[x]/ 〈xn − α〉. Ademas,si C es un ideal de K[x]/ 〈xn − α〉, entonces tiene un unico polinomio monico generadorg(x) que divide a xn − α. Evidentemente la dimension de C es n−gradg.

3. El dual de un codigo α-constacıclico es α−1-constacıclico. Si C = 〈g(x)〉 es constacıclicocon gradg = k, entonces para h(x) = (xn − α)/g(x), el codigo dual constacıclico C⊥

tiene polinomio generador

h(x) = h(0)−1xn−kh(x−1).

70

CAPITULO 4. CODIGOS LCP EN KN Y CODIGOS DE GRUPO LCP 71

Definicion 4.1.3. Un par (C,D) de codigos sobre Kn es llamado codigo lineal par comple-mentario (linear complementary pair), para simplificar (LCP), si

C ∩D = 0 y C +D = Kn.

Equivalentemente C ⊕D = Kn.

Teorema 4.1.4. Sean C y D dos codigos constacıclico sobre Kn, con polinomios generadoresg(x) y h(x) respectivamente. Entonces (C,D) es LCP si y solo si h(x) = (xn − α)/g(x) ymcd(h(x), g(x)) = 1.

Demostracion. Supongamos que (C,D) es LCP. Sea g∗(x) = mcm(g(x), h(x)), entonces porel Teorema 1.3.27, g∗(x) es el polinomio generador de C ∩D. Pero por la interseccion trivialC ∩ D = 0, el mınimo comun multiplo debe ser xn − α. Puesto que C + D = Kn =K[x]/ 〈xn − α〉, entonces 1 ≡ a(x)g(x) + b(x)h(x)mod(xn − α) para todo a(x), b(x) ∈ K[x].Si existiera un divisor comun para g y h este harıa contradecir la congruencia, por lo tan-to, mcd(g(x), h(x)) = 1. Estas dos observaciones combinadas implican en particular queh(x) = (xn − α)/g(x).Por el contrario, si h(x) = (xn − α)/g(x) y mcd(h(x), g(x)) = 1, es decir, g y h son relativa-mente primo implica que C +D = K[x]/ 〈xn − α〉 = Kn y C ∩D = 0.

Teorema 4.1.5. Si (C,D) es un codigo LCP constacıclico, entonces C y D⊥ son equivalen-tes.

Demostracion. Supongamos que (C,D) es un codigo LCP constacıclico. Por el Teorema an-terior, si g(x) = g0+g1x+ · · ·+xk y h(x) = h0+h1x+ · · ·+xk son los polinomios generadoresde C y D respectivamente, entonces el dual D⊥ del codigo complementario constacıclico Des generado por

g(x) = g−10 xkg(x−1).

Ademas, las matrices generadores de C y D⊥ son las siguientes:

GC =

g0 g1 · · · 1 0 · · ·0 g0 g1 · · · 1 0 · · ·...

......

0 · · · 0 g0 g1 · · · 1

GD⊥ = g−10

1 gk−1 · · · g1 g0 0 · · ·0 1 gk−1 · · · g1 g0 0 · · ·...

......

0 · · · 0 1 gk−1 · · · g1 g0

Los codigos generados por estas matrices son equivalentes (hasta una multiplicacion esca-lar distinta de cero en cada coordenada) bajo la permutacion de coordenadas que envıa lacoordenada i-esima a la (n− 1− i)-esima coordenada (para 0≤i≤n-1).


Observacion 4.1.6.

1. En el Teorema 4.1.5 se mostro que C = D⊥, con lo cual podemos inferir que D =(D⊥)⊥ = C⊥. Por lo tanto, en el Teorema 4.1.4 tomando D = C⊥ el codigo se convierteen un codigo LCD y la prueba del teorema se sigue analoga a la del Lema 3.1.5.

2. El parametro de seguridad para un codigos lineal par complementario (C,D) se definecomo mind(C), d(D⊥). En el caso que D = C⊥, entonces el parametro de seguridadpara (C,D) es d(C).

En [3] se presentan resultados para codigos cıclicos 2D, los cuales se basan en la descompo-sicion del resto chino y la representacion de trazas de los codigos cıclicos 2D. La prueba delos codigos abelianos utiliza la correspondencia entre los ideales en el algebra grupal y susconjuntos cero.El grupo cıclico de orden a lo denotaremos como Ca, para cualquier numero entero positivo a,entonces un codigo cıclico sobre Kn es un ideal en K[Cn] y un 2D codigo cıclico sobre Kn×m

es un ideal en K[Cn × Cm]. Esto plantea naturalmente la cuestion de si existe un resultadosimilar para el parametro de seguridad de ”codigos ideales” mas generales, mas conocidoscon el nombre de codigos cıclicos nD o codigos abelianos [4], [17].

Definicion 4.1.7. Sean m1, . . . ,mn enteros positivos, los cuales son relativamente primospara q. Sea Cmi

el grupo cıclico de orden mi y consideremos el grupo abeliano

G = Cm1 × · · · × Cmn .

Entonces existe un isomorfismo natural entre el algebra de grupo K[G] y el anillo cociente

Rn = K[x1, . . . , xn]/ 〈xm11 − 1, . . . , xmn

n − 1〉

tal que un ideal en K[G] o en Rn es llamado un codigo abeliano o un codigo cıclico nD.Note que cuando n = 1, estos son simplemente codigos cıclicos.

Denotemos una matriz de tamano m1 × · · · ×mn sobre K como (ai1,i2,...,in), donde el ındiceij se ejecuta sobre el conjunto 0, 1, . . . ,mj − 1 para todo 1 ≤ j ≤ n. Esta matriz essimplemente un vector sobre K de tamano m1 · · ·mn. El espacion Km1×···×mn de todas lasmatrices m1 × · · · ×mn se puede identificar con Rn a traves de la aplicacion

Km1×···×mn −→ Rn

(ai1,i2,...,in) 7−→n∑j=1

mj−1∑ij=1

ai1,i2,...,inxi11 · · · xinn .

Definicion 4.1.8. Por la identificacion anterior, se tiene:

1. Un nD codigo cıclico se convierte en un codigo lineal sobre Km1×···×mn si satisface lacondicion

(ai1,i2,...,in) ∈ C, entonces (ai1+s1,i2+s2,...,in+sn) ∈ C,para todo s1, . . . , sn, donde ij + sj es calculado modulo mj para todo j.


2. El dual C⊥ de un nD codigo cıclico de tamano m1×· · ·×mn, tambien es un nD codigocıclico del mismo tamano.

Definicion 4.1.9.

1. Sea Ω = (αi11 , . . . , αinn ) : 0 ≤ ij ≤ mj − 1, 1 ≤ j ≤ n, donde αj es una raız primitivade la unidad mj. Entonces la clase de conjugacion que contiene (αi11 , . . . , α

inn ) en Ω se

define como[(αi11 , . . . , α

inn )] = (αi1q

t

1 , . . . , αinqt

n ) : 0 ≤ t ≤ δ − 1,

dondeδ = mcm[K(α

ijj ) : K], 1 ≤ j ≤ n.

Ω es una union disjunta de tales clases de conjugacion. Tenga en cuenta que todos losαj se encuentran en el cuerpo Fqs con la propiedad de que cada mj divide a qs − 1.

2. Sea C un ideal de Rn (nD codigo cıclico). Para 〈xm11 − 1, . . . , xmn

n − 1〉 ⊂ C se defineel conjunto cero Z(C) de un nD codigo cıclico C como los ceros comunes de todos lospolinomios en C.

4.2. Codigos de grupo LCP

En esta seccion mostraremos dos resultados fundamentales para los codigos de grupo LCPpero en el ambiente KG [16].

Lema 4.2.1. Sea D = eKG con e2 = e ∈ KG, entonces D⊥ = (1− e)KG.

Demostracion. Supongamos que D = eKG con e2 = e ∈ KG, entonces se sigue que e2 = e,ademas, para todo a, b, c ∈ KG, 〈ab, c〉 = 〈aab, ac〉 = 〈b, ac〉. Luego, para ea ∈ eKG y(1− e)b ∈ (1− e)KG obtenemos

〈ea, (1− e)b〉 =⟨e2a, (1− e)b

⟩=⟨ee2a, e(1− e)b

⟩= 〈ea, e(1− e)b〉 = 〈ea, (e− e)b〉 = 0

para todo a, b ∈ KG. Por lo tanto (1− e)b ∈ D⊥, esto es, (1− e)KG ⊆ D⊥. Del Lema 3.2.1,se tiene dimeKG = dimeKG = dimeKG∗, ademas dim(1 − e)KG = dimKG − dimeKG =|G|−dimeKG y por el Teorema de la nulidad y el rango dimD+dimD⊥ = dimKG, es decir,dimD⊥ = dimKG− dimeKG. Ası,

dim(1− e)KG = |G| − dimeKG

= |G| − dimeKG∗

= |G| − dimeKG

= dimD⊥

Con lo cual se deduce (1− e)KG = D⊥.


Teorema 4.2.2. Sea G un grupo finito. Si C ⊕D = KG donde C y D son ideales en KG,entonces D esta determinado unicamente por C y D⊥ es permutacionalmente equivalente aC. En particular d(D⊥) = d(C).

Demostracion. Supongamos que C ⊕ D = KG con C y D ideales en KG. Por el Teorema3.2.4 y 1.4.73, podemos escribir C = (1− e)KG y D = eKG para un idempotente adecuadoe2 = e = e en el centro de KG, con

Z(KG) = f ∈ KG : fa = af para todo a ∈ KG

(ver, Corolario 3.2.6). Ademas, por el Lema 4.2.1, D⊥ = (1−e)KG. Por medio de la aplicacion : KG −→ KG el codigo lineal (1 − e)KG es permutacionalmente equivalente al codigo

KG(1 − e), puesto que (1 − e)KG = KG(1− e) = KG(1 − e), como e es central en KG,entonces

D⊥ = (1− e)KG = KG(1− e) = (1− e)KG = C.

Con lo cual se tiene la afirmacion.

Observacion 4.2.3. Si C y D son solo ideales derechos, entonces D esta determinado uni-camente por C, pero D⊥ en general, no es necesariamente una permutacion equivalente a C.Incluso puede suceder que d(D⊥) 6= d(C), de hecho tenemos el siguiente ejemplo [16].

Ejemplo 4.2.4. Sea K = F2 y sea

G =⟨a, b | a7 = 1 = b2, ab = a−1

⟩un grupo diedrico de orden 14 ( pues, | Dn |= 2n). Si tomamos

e = 1 + a+ a2 + a4 + b+ a2b+ a5b+ a6b,

entonces con calculos sencillos obtenemos que e = e2. Utilizando Magma, facilmente se calculaque d((1− e)KG) = 2 y d(KG(1− e)) = 3.Ahora sea C = (1− e)KG y D = eKG. Por el Lema 4.2.1, tenemos D⊥ = (1− e)KG.Entonces

d(D⊥) = d((1− e)KG) = d(KG(1− e)) = 3,

pero d(C) = d((1 − e)KG) = 2. Nos gustarıa mencionar aquı que C y D son codigoscuasicıclicos.

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