Estudio de las propiedades electronicas de c´ umulos de Pd ...
c).-Propiedades de Los Determinantes
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación. En los párrafos siguientes consideramos que A es una matriz cuadrada. Propiedad 1. Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero. Ejemplo 1. Sea Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene Propiedad 2. El determinante de una matriz A es igual al determinante de la
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que A es una matriz cuadrada.
Propiedad 1.
Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
Ejemplo 1.
Sea
Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene
Propiedad 2.
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.
Esto es
Ejemplo 2.
Sea
La transpuesta de A es
Propiedad 3.
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.
Ejemplo 3.
Sea con
Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda
con
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.
Propiedad 4.
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.
Ejemplo 4.
Sea entonces
Propiedad 5.
Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.
Ejemplo 5.
Sea cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar r = 3 se tiene la matriz B siguiente
cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es
Propiedad 6.
Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.
Ejemplo 6.
Sea cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando la segunda columna de A por el escalar 2 y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente
Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene
Propiedad 7.
Si A y B son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.
Esto es
Ejemplo 7.
Sean y
con y
El producto
Y su determinante es
Entonces .
Propiedad 8.
El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)
Ejemplo 8.
I = det I = (1)(1) – (0)(0) = 1
Propiedad 9.
El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)
Ejemplo 9.
J = |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0
Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.
Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto orden.
Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede reducir un determinante a una forma mas fácil de evaluar. Si se reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Al hacerlo hay que tomar en cuenta las propiedades 3, 5 y 6, como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.
Calcular el determinante de la matriz A de
Simplificamos el cálculo del determinante de A reduciendo por renglones
Entonces, la permutación P14 cambia el signo de det A , las operaciones y no cambian el valor del determinante.
De esta forma
Se podría seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando que hay varios ceros en el tercer renglón resulta fácil desarrollar por cofactores, primero de la primera columna, y después del tercer renglón:
