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1 1 4.2. Diseño por medio del Lugar Geométrico de las Raíces Capítulo 9 Sistemas de Control para Ingeniería (3º Ed.) Norman Nise 2 4.2. Diseño por medio del Lugar Geométrico de las Raíces 4.2.1. Introducción 4.2.2. Mejoramiento de error en estado estable por medio de compensación en cascada 4.2.3. Mejoramiento de la respuesta transitoria por medio de compensación en cascada 4.2.4. Mejoramiento del error en estado estable y respuesta transitoria 4.2.5. Construcción física de la compensación 3 4.2.1. Introducción 4 Mejoramiento de la respuesta transitoria a. Lugar geométrico de las raíces, en el que se aprecian posibles puntos de diseño por medio del ajuste de ganancia (A), y punto deseado de diseño que no puede satisfacer mediante simple ajuste de ganancia (B); b. Respuesta desde polos en A y B

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4.2. Diseño por medio del Lugar Geométrico de las Raíces

Capítulo 9Sistemas de Control para Ingeniería (3º Ed.)Norman Nise

2

4.2. Diseño por medio del Lugar Geométrico de las Raíces

4.2.1. Introducción4.2.2. Mejoramiento de error en estado estable por medio

de compensación en cascada4.2.3. Mejoramiento de la respuesta transitoria por medio

de compensación en cascada4.2.4. Mejoramiento del error en estado estable y

respuesta transitoria4.2.5. Construcción física de la compensación

3

4.2.1. Introducción

4

Mejoramiento de la respuesta transitoria

a. Lugar geométrico de las raíces, en el que se aprecian posibles puntos de diseño por medio del ajuste de ganancia (A), y punto deseado de diseño que no puede satisfacer mediante simple ajuste de ganancia (B);b. Respuesta desde polos en A y B

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Para lograr la respuesta transitoria deseada se compensa el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un lugar geométrico de las raíces que pase por el lugar deseado de polo para algún valor de ganancia.

Proceso de diseño:

• Determinamos la ubicación correcta de polos y ceros adicionalesen lazo abierto para obtener los polos deseados en lazo cerrado de segundo orden.

• Determinamos la posición de los polos en lazo cerrado de orden superior, y determinamos si el sistema se puede aproximar con uno de segundo orden

• Simulamos el sistema compensado para verificar si se cumplen las especificaciones de respuesta transitoria

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Mejoramiento del error en estado estable

Se utiliza compensación para mejorar el error en estado estable

* Cuanto mayor es la ganancia de un sistema, menor es el error en estado estable, pero mayor es el sobrepaso en porcentaje

* Reducir la ganancia para disminuir el sobrepaso puede aumentar el error en estado estable

SE PUEDEN DISEÑAR COMPENSADORES QUE PERMITAN SATISFACER SIMULTÁNEAMENTE ESPECIFICACIONES DEL ERROR

EN ESTADO ESTABLE Y RESPUESTA TRANSITORIA

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Técnicas de Compensación:a. cascada;b. mediante realimentación

Configuraciones de compensadores

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4.2.2. Mejoramiento de error en estado estable por medio de compensación en cascada

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MEJORAMIENTO DEL ERROR EN ESTADO ESTABLE POR MEDIO DE COMPENSACIÓN EN CASCADA

• Compensación integral ideal:

•Utiliza integración pura

•Reduce a cero el error en estado estable

•Se implementa con redes activas

• Compensador por atraso de fase:

•No utiliza integración pura

•No reduce a cero el error en estado estable

•Se implementa con redes pasivas

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Mejoramiento del error en estado estable por medio de compensación en cascada

Compensación integral ideal

Compensador integral ideal: Controlador Proporcional más integral (PI)

• Controlador Proporciona: alimenta el error en forma directa a la planta

• Controlador Integral: alimenta la integral del error a la planta

Se trata de mejorar el error en estado estable sin afectar la respuesta transitoria

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Procedimiento:• Se coloca un polo en el origen• Para no afectar la aportación angular de los polos en lazo abierto en el punto de respuesta transitoria deseada, se coloca un cero cerca del origen

• La aportación angular del cero y el polo del compensador se cancelan• El punto del lugar de las raíces donde se encuentran los polos de lazo cerrado para una respuesta transitoria deseada todavía se encuentra en el lugar de las raíces•La ganancia necesaria en el polo dominante es casi la misma que antes de la compensación, pues las longitudes desde el polo compensador y cero compensador es casi la unidad

•Se mejora el error en estado estable sin afectar la respuesta transitoria

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El polo en A está:a. sobre el lugar geométrico de las raíces sin compensador;b. no sobre el lugar geométrico de las raíces con polo compensador agregado;(figura continúa)

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(continuación)c. aproximadamente sobre el lugar geométrico de las raíces con polo compensador y cero compensador agregados

14

Ejemplo:Sistema en lazo cerrado:a. antes de la compensación;b. después de la compensación integral ideal

15

Lugar geométrico de las raíces para el sistema NO COMPENSADO

( ) 1 18.23 0.1081 1 8.23pK e

Kp= ⇒ ∞ = = =

+ +

( )cG s K=

16

Lugar geométrico de las raíces para el sistema COMPENSADO

El polo en lazo cerrado en -0.092 (para K=158.2) está cerca del cero (0.1) y pueden cancelarse

( ) 0=∞e

( )0.1( )c

K sG s

s+

=

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Respuesta del sistema compensado integral ideal y la respuesta des sistema no compensado

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Controlador PI(Proporcional Integral)

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121( )c

KK sKK

G s Ks s

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠= + =

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COMPENSACIÓN DE ATRASO DE FASE

Emplea redes pasivas

El polo y el cero se mueven a la izquierda, cerca del origen

Error en estado estable:

Sistema no compensado

......

21

210 pp

zKzKv =

20

Sistema compensado

Error en estado estable:( )( )( )( )c

cv ppp

zzKzK

N ......

21

21=

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Lugar de las raíces:a. antes de compensación de la atraso de fase;b. después de la compensación de atraso de fase

¿Cuál es el efecto sobre la respuesta transitoria?La ganancia K al insertar el compensador es prácticamente la misma que para el sistema no compensado

¿Cuál es el efecto sobre el error de estado estable?La mejoría en el error en estado estable es igual al cociente entre el polo y cero del compensador

00 Kvpz

KvKvc

cN >=( )( )

( )( )c

cv ppp

zzKzK

N ......

21

21=......

21

210 pp

zKzKv = 22

EjemploCompensar el sistema para mejorar el error en estado estable en un factor de 10, si el sistema está operando con un factor de amortiguamiento relativo de 0.174

( ) 108.0=∞eError en estado estable: para 23.8=Kp

Para mejoría 10 veces en error estado estable: ( ) 0108.010108.0 ==∞e

23

( ) 0108.01

1 =+

=∞Kp

e ( )( ) 59.91

0108.00108.011 =−=

∞∞−=

eeKp

La mejoría en Kp desde sistema no compensado al compensado es el cociente entre el cero compensador y polo compensador

13.1123.859.91

0

===KpKp

pz N

c

c

Se elige de forma arbitraria la posición del polo compensador: 01.0=cp

Luego el cero compensador se ubica en: 111.03.11 ≈= cc pz

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Lugar geométrico de las raíces para el sistema compensado

El cuarto polo del sistema cancela su cero

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Características pronosticadas del sistema no compensados y compensados en atraso de fase

26

Respuestas escalón de sistemas no compensado y compensado en atraso de fase

27

Respuesta escalón del sistema para el ejemplo anterior usando diferentes compensadores de atraso de fase

Se llega al mismo error de estado estable pero uno es más lento

Más Lento

Más Rápido

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4.2.3. Mejoramiento de la respuesta transitoria por medio de compensación en cascada

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MEJORAMIENTO DE LA RESPUESTA TRANSITORIA POR MEDIO DE LA COMPENSACIÓN EN CASCADA

Por lo general, el objetivo es diseñar una respuesta que tenga un sobrepaso en porcentaje deseable y un tiempo de asentamiento más corto que el sistema no compensado

Técnicas:

1. Compensación derivativa ideal: agrega un diferenciador puro a la trayectoria directa. Para esto se adiciona un cero a la función de transferencia de la trayectoria directa. Se denomina controlador Proporcional Derivativo (PD)

2. Compensador de adelanto de fase: Aproxima la diferenciación con una red pasiva agregando un cero y polo más distante a la función de transferencia de la trayectoria directa

30

COMPENSACIÓN DERIVATIVA IDEAL. CONTROLADOR PD

Una forma de acelerar el sistema original es agregar un solo cero a la trayectoria directa

( ) ( )cGc s s z= +Esta función, la suma de un diferenciador y una ganancia pura, se llama derivativo ideal o controlador PD

31

Uso de compensación derivativa ideal:a. no compensado;

32

Uso de compensación derivativa ideal:b. cero de compensador en –2;(figura continúa)

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33

Uso de compensación derivativa ideal:b. cero de compensador en –3;(figura continúa)

34

Uso de compensación derivativa ideal:b. cero de compensador en –4;

35

Sistema no compensado y soluciones de compensación derivativa ideal

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Características pronosticadas para los sistemas de la figura anterior

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EjemploDiseñar un compensador derivativo ideal para obtener un sobrepaso de 16%, con una reducción del tiempo de asentamiento

38

Para 16% de sobrepaso: 504.0=ξ

El par de polos de segundo orden están en: 064.2205.1 j±−

( )( )100%ln

100%ln22 OSOS

+−=

πξ

ξθ =cos

39

4 4 3.3201.205s

n

T = = =ξω

Ganancia en los polos dominantes: K=43.35

Ubicación tercer polo para la ganancia K de los polos dominantes: -7.59

Está más lejos de seis veces que el par dominante

El sistema se comporta como de segundo orden

Tiempo de asentamiento sistema no compensado:

( ) ( )σσ HGK 1−=

40

Determinación ubicación polos dominantes del sistema compensado

Para mejorar en un tercio el tiempo de asentamiento, el nuevo tiempo de asentamiento debe ser 1.107

4 4 3.6131.107sT

σ = = =

Parte real polo dominante de segundo orden debe ser:

Parte imaginaria polo dominante de segundo orden resulta:

( ) 193.6º26.120º180tan613.3 =−=dω

__

3.320 1.1073 3

s viejos nuevo

TT = = =

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41

Polo dominante compensado superpuesto sobre el lugar geométrico de las raíces no compensado para el ejemplo

42

Determinación ubicación del cero del compensador

Se utilizan los polos y ceros del sistema no compensado, y el punto de diseño -3.613+j6.193

Se realiza la suma de los ángulos al punto de diseño para todos los polos y ceros del sistema compensado, excepto para el cero del compensador

La diferencia ente el resultado obtenido y 180º es la aportación angular requerida por el cero del compensador.

43

La suma de los ángulos es -275.6ºAportación angular del cero: +275.6º-180º=95.6ºGeométricamente: ( )º6.95º180tan

613.3193.6 −=

− σ

Entonces 006.3=σ

44

No se puede aproximar el sistema compensado a un sistema de segundo orden dado que no se puede cancelar el polo en lazo cerrado en -2.775 y el cero en lazo cerrado en -3.006. Se necesita simulación

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Características de sistema no compensado y compensado para el ejemplo

46

Lugar de las raíces para el sistema compensado

47

Respuestas escalón del sistema no compensado y compensado

El sobrepaso en porcentaje difiere en 3% ente los sistemas compensado y no compensado

Hay una mejoría de tres veces en el tiempo de asenamiento

48

El compensador derivativo ideal empleado para mejorar la respuesta transitoria se pone en práctica con un controlador proporcional más derivativo (PD).

Función de transferencia del controlador:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

2

1212 K

KsKKsKsGc

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COMPENSACIÓN DE ADELANTO DE FASE

Se emplean redes pasivas para implementarla

Se agregan un cero y un polo mas alejado del eje imaginario que el cero. De esta forma la aportación angular del conjunto cero y polo se aproxima a la de un solo cero.

La aportación angular del polo se resta de la aportación angular del cero.

La aportación angular es positiva igual que para un solo cero del controlador PD

50

Geometría de la compensación de adelanto de fase

( ) º1801254312 +=+−−− kθθθθθ

Aportación angular del compensador de adelanto de fase: ( ) cθθθ =− 12

51

Tres de las infinitas soluciones posibles de un compensador de adelanto de fase

Un número infinito de compensadores de adelanto de fase podrían usarse para satisfacer el requerimiento de la respuesta transitoria

52

• Se selecciona un polo o un cero del compensador de adelanto de fase• Se encuentra la aportación angular en el punto de diseño de este polo o cero junto con los polos y ceros en lazo abierto del sistema• La diferencia entre este ángulo y 180º es la aportación necesaria del polo o cero restante del compensador

Método de diseño de un compensador por adelanto de fase

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53

Ejemplo

Diseñar tres compensadores de adelanto de fase para el sistema de la figura que reduzcan el tiempo de asentamiento en un factor de 2 y mantengan un 30% de sobrepaso. Compare las características de los tres diseños

54

Determinación de las características del sistema no compensado

Sobrepaso 30%, luego el factor de amortiguamiento relativo es ξ=0.358

Diseño del compensador de adelanto de fase, mostrando la evaluación de lospolos dominantesno compensados y compensados

55

Tiempo de asentamiento: Se determina a partir de la parte real del polo Ts=4/1.007=3.972 seg

Determinación del punto de diseñoLa reducción de dos veces en el tiempo de asentamiento produce Ts=3.972 / 2 =1.986seg

La pare real del polo deseado es:

014.24 −=−=− TsnξωLa parte imaginaria del polo es:

( ) 252.5º98.110014.2 =−=dω

56

Determinación de la ubicación del cero del compensador

Se elige arbitrariamente en -5 sobre el eje realSe suman los ángulos tanto desde este cero como de los polos y ceros del sistema no compensado

El ángulo restante es -172.69º

La diferencia entre este ángulo y 180º es la aportación angular requerida desde el polo del compensador

La aportación angular del polo del compensador debe ser de -7.31º

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Determinación de la ubicación del polo del compensador

º31.7tan014.2

252.5 =−cp

96.42=cp

58

Lugar de las raíces del sistema compensado

59

Determinación de la validez de la aproximación a un sistema de segundo orden

Se deben ubicar los polos en lazo cerrado de tercero y cuarto orden

Ganancia en el polo compensado: 1423

Los polos tercero y cuarto están en -43.8 y -5.134

El polo en -43.8 está más de 20 veces la parte real del polo dominante, El efecto del tercer polo en lazo cerrado es insignificante

El polo en lazo cerrado en -5.134 está cerca del cero en -5. Hay cancelación de cero y polo

La aproximación de segundo orden es válida

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Comparición de diseños de adelanto de fase para el ejemplo

Compensador a: polo en -5

Compensador b: polo en -2

Compensador c: polo en -4

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Sistema no compensado y respuestas de compensación de adelanto de fase para el ejemplo

Compensador a: polo en -5

Compensador b: polo en -2

Compensador c: polo en -4 62

Resumen de la tabla anterior: Se observan diferencias en lo siguiente

1. La posición del cero seleccionado arbitrariamente

2. La cantidad de mejoría en el error en estado estable

3. La ganancia requerida, K

4. La posición de los polos tercero y cuarto y su efecto relativo sobre la aproximación de segundo orden. Este efecto se mide por la distancia desde los polos dominantes o el grado de cancelación con el cero en lazo cerrado

63

4.2.4. Mejoramiento del error en estado estable y respuesta transitoria

64

Mejoramiento del error en estado estable y la respuesta transitoria

Primero se mejora la respuesta transitoria mediante un compensador derivativo ideal (PD) o un compensador de adelanto de fase

Luego se mejora el error en estado estable mediante un compensador integral ideal (PI) o un compensador de atraso de fase

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Controlador PID

( )s

KK

sKK

sK

ssKKsK

sKs

KKsGc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=++

=++= 3

2

3

123

3213

21

66

Técnica de diseño:1. Evaluación del desempeño del sistema no compensado para determinar

cuánta mejoría se necesita en la respuesta transitoria

2. Diseño del controlador PD para satisfacer las especificaciones de respuesta transitoria. El diseño incluye la ubicación del cero y la ganancia de lazo

3. Simulación del sistema para estar seguros que todos los requerimientos se hayan satisfecho

4. Rediseño si la simulación demuestra que los requerimientos no se han satisfecho

5. Diseño del controlador PI para obtener el error necesario en estado estable

6. Determinación de las ganancias: K1 , K2 y K3

7. Simulación del sistema para estar seguros que todos los requerimientos se hayan satisfecho

8. Rediseño si la simulación demuestra que los requerimientos no se han satisfecho

67

EjemploDiseñar un controlador PID para que el sistema pueda operar con un tiempo de pico que es dos tercios del tiempo de pico de un sistema no compensado a 20% de sobrepaso, y con error en estado estable cero para una entrada escalón

68

Paso 1: Evaluar el sistema no compensado

Para sobrepaso %OS=20%, ζ=0.456, los polos dominantes están en:57.105 j±− con una ganancia K=121.5

Un tercer polo existe en -8.169

La operación completa del sistema no compensado se ilustra en la primera columna de la Tabla siguiente

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Características pronosticadas de sistemas no compensados, compensados PD, y compensados PID

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Paso 2: Hallar la ubicación del polo dominante del sistema compensado

Se debe reducir el tiempo de pico a dos tercios del tiempo de pico del sistema no compensado

Parte imaginaria del polo dominante: ( )( ) 87.15297.032

=== ππωTpd

Parte real del polo dominante: 13.8º13.117tan

−== dωσ

71

Se realiza la suma de los ángulos desde los polos y ceros del sistema no compensado hasta el polo dominante compensado.

La suma da -198.37º

La aportación necesaria desde el cero compensador es:

180º-198.37º=18.37º

º37.18tan13,8

87.15 =−cz

92.55=cz

Controlador PD:

( ) ( )92.55+= sG SPD

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Lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado

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Pasos 3 y 4: Simular el sistema compensado. Verificar la reducción del tiempo de pico y la mejoría en error en estado estable sobre el sistema no compensado

74

Características pronosticadas de sistemas no compensados, compensados PD, y compensados PID

75

Lugar geométrico de las raíces para el sistema compensado PD

76

Respuestas escalón para sistemas no compensado, compensado PD, y compensado PID

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Paso 5: Diseñar el compensador integral ideal.

Se diseña para reducir a cero el error en estado estable para una entrada escalón

Se elige el compensador integral ideal ( ) ssG sPI

5.0+=

Ubicación polos dominantes:

Ganancia en polos dominantes: 4.6

67.147 j±−

78

Características pronosticadas de sistemas no compensados, compensados PD, y compensados PID

79

Respuestas escalón para sistemas no compensado, compensado PD, y compensado PID

80

Paso 6: Determinación de las ganancias K1 , K2, y K3

( ) ( )( ) ( )( )

( )s

sss

sss

ssKSGPID

96.2742.566.4

5.092.556.45.092.55

2 ++=

++=++=

Comprando con:

( )s

KK

sKKsK

ssKKsK

sKs

KKsGc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=++

=++= 3

2

3

123

3213

21

K1=259.5, K2=128.6, K3=4.6

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81

Pasos 7 y 8: Analizar la respuesta temporal del sistema planta mas compensador PID.

Ver si se logran las especificaciones de respuesta transitoria y error en estado estable

82

Tipos de compensadores en cascada (transparencia 1/2)

(continúa en la próxima transparencia)

83

Tipos de compensadores en cascada (transparencia 2/2)

84

4.2.5. Construcción física de la compensación

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Amplificador operacional configurado para construcción de una función de transferencia

Construcción física de la compensación

( )( )

( )( )sZsZ

sVsV

i

o

1

2−=

86

Construcción activa de controladores y compensadores, usando un amplificador operacional (diapositiva 1 de 2)

(continúa en la próxima diapositiva)

87

Construcción activa de controladores y compensadores, usando un amplificador operacional (diapositiva 2 de 2)

88

Compensación de adelanto-atraso de fase (lag-lead) implementado con amplificadores operacionales

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EjemploPoner en práctica el controlador PID con función de transferencia ( ) ( )( )

ssssGc 5.092.55 ++=

( )s

ssGc 96.2742.56 ++=

( ) ( )( )

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−=

sCR

sCRCC

RR

sZsZ

sGc s 2112

2

1

11

2

1( )sZ1

( )sZ2

42.562

1

1

2 ==+CC

RR

112 =CR96.27

1

21 =CR

90

Controlador PID

91

Construcción pasiva de compensación (diapositiva 1/2)

(continúa en la próxima diapositiva)

09.2011

21

=+CRCR

92

Realización pasiva de compensadores (diapositiva 2/2)

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EjemploConstruir el compensador de adelanto de fase cuya función de transferencia es la siguiente

( )09.20

4+

+=s

ssGc

41

1

=CR

09.2011

21

=+CRCR

( )( )

CRCRs

CRs

sVsV

i

o

21

1

11

1

++

+=

25.01 =CR 062.02 =CR

FC μ1= Ω= KR 2501 Ω= KR 2.622

94

Preguntas de repaso

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1. Brevemente distinga entre las técnicas de diseño de los temas 4.1 y 4.2.2. Mencione dos ventajas importantes de las técnicas del diseño vistas en el tema 4.2 sobre

las técnicas del diseño presentadas en el tema 4.1.3. ¿Qué clase de compensación mejora el error en estado estable?4. ¿Qué clase de compensación mejora la respuesta transitoria?5. ¿Qué clase de compensación mejora tanto el error en estado estable como la respuesta

transitoria?6 ¿Que compensación en cascada se usa para mejorar el error en estado estable? ¿Cuál es

la ubicación de polos y ceros del compensador? Exprese las razones para estáubicación.

7 ¿Que compensación en cascada se usa para mejorar las respuesta transitoria? ¿Cuál es la ubicación de polos y ceros del compensador? Exprese las razones para estáubicación.

8. ¿Que diferencia sobre el plano s se observa entre usar un controlador PD o una red de adelanto de fase, para mejorar la respuesta transitoria.

9. Para acelerar un sistema sin cambiar el sobrepaso en porcentaje. ¿donde deben colocarse los polos del sistema compensado sobre le plano s en comparación con los polos del sistema compensado?

10. ¿Por qué hay más mejoría en error en estado estable si se usa un controlador PI en lugar de una red de atraso de fase?

11. ¿Cuando se compensa un error en estado estable, ¿que efecto se observa a veces en la respuesta transitoria?

12. Un compensador de atraso de fase con el cero 25 veces más alejado del eje imaginario que el polo de compensador, ¿cuanta mejoría dará aproximadamente en error en estado estable?

13. Si el cero de un compensador mediante realimentación está en -3 y un polo de sistema en lazo cerrado está en -3.001, ¿puede decirse que habrá cancelación de polo y cero? ¿Por qué?

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FIN