C8_VF SDOF

1Clase 8Vibracin ForzadaRespuesta de sistemas de un grado de libertad a solicitaciones armnicas y peridicas.

Vibracin Forzada en SDOF

Las vibraciones armnicas son un tpico clsico en la ingeniera estructural:

No slo por encontrase en los sistemas ingenieriles. (fuerzas debido a mquinas)Si no que ver la respuesta de las estructuras a cargas armnicas nos puede dar una idea de cmo se comportar frente a otro tipo de solicitaciones.

Ahora veremos los concepto bsicos para la respuesta de sistemas de 1gdl a fuerzas armnicas.

COC 3100 - Ingeniera Ssmica - Carolina Magna V. - Clase 8 2

2Vibracin armnica en sistemas sin amortiguamiento


Una fuerza armnica podra ser:

Donde po es la amplitud o el mximo de una fuerza, es la frecuencia de excitacin y T=2/es el perodo de excitacin.


o

3Vibracin Forzada en SDOF

Si fijamos p(t)=po sin(t), la ecuacin de movimiento para un sistema forzado armnicamente, sin amortiguamiento es:

Sujeto a las condiciones iniciales: u=u(0) y u=u(0), que son el desplazamiento y la velocidad inicial en el instante en que la fuerza es aplicada.

La solucin particular de la ecuacin diferencial es:

Y la solucin homognea es de la forma:


. .


Por lo tanto:

Las constantes A y B se determinan imponiendo las condiciones iniciales, con lo que se obtiene el resultado final:


Transiente

Rgimen estacionario


Al graficar la respuesta total para un sistema con ciertas condiciones iniciales se tiene:


Vibracin Forzada en SDOFSe puede ver que la respuesta u(t) contiene dos componentes de vibracin distintas:

El trmino sen(t), da una oscilacin segn la fuerza o frecuencia solicitante.Los trminos sen(nt) y cos(nt), dan una oscilacin a la frecuencia natural del sistema.

La primera de estas componentes es la llamada vibracin forzada o vibracin en rgimen estacionario, pues est presente debido a la fuerza aplicada (p(t)), independiente de las condiciones iniciales.

La segunda componente es la llamada transiente, la cual depende de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad.



Esta vibracin transiente existe incluso si las condiciones iniciales son cero u(0)=0 y u(0)=0, con lo que se tiene:

La componente transiente se muestra como la diferencia entre las lnea slida y punteada, y pareciera que continuara por siempre.Esto es slo terico, ya que el amortiguamiento inevitablemente hace que la vibracin decaiga con el tiempo.Y es por esta motivo que esta componente es llamada vibracin transiente.


.

Vibracin Forzada en SDOFPor otra parte, la vibracin en rgimen estacionario puede expresarse como:

Donde (uest)o es la deformacin esttica mxima causada por la fuerza p(t)=posin(t). (cuando po sin(t) es 1)

En la ecuacin de rgimen estacionario se tiene:Para /nn), el factor entre [ ] es negativo e indica u(t) y p(t) tienen distinto signo algebraico. El sistema est en desfase con la fuerza aplicada.

Cuando la fuerza acta hacia la derecha, el sistema se desplazar hacia la izquierda.


para


Para describir esta nocin de fase y desfase matemticamente, la ecuacin anterior se reescribe en trminos de la amplitud uo del desplazamiento vibratorio u(t) y el ngulo de fase .

donde:

Para n, = 180 implica que el desplazamiento vara segn - sen(t), en desfase con la fuerza aplicada.


y


El factor de deformacin de respuesta, Rd, es el cuociente entre la amplitud uo de la vibracin dinmica y la deformacin esttica (uest)o.Este ndice nos dice cmo es la respuesta vibratoria en comparacin a la deformacin esttica.



Resonancia:La frecuencia de resonancia es definida como la frecuencia forzada a la cual Rd es mximo.Para sistemas no amortiguados, la frecuencia de resonancia es n y Rd tiende a infinito.

La deformacin vibratoria no se va a infinito inmediatamente, pero si gradualmente.

Si = n la solucin anterior ya no es vlida:La solucin particular ahora es:

Y la solucin completa a las condiciones iniciales u(0)=0, u(0)=0 es:


.


O tambin:

Por lo tanto, en cada ciclo de deformacin, la amplitud crece en:



La amplitud de deformacin crece indefinidamente, pero va a infinito luego de un tiempo infinito.Este resultado es terico y debe interpretarse bien para estructuras reales.

Si el sistema es frgil, mientras la deformacin sigue creciendo, en algn punto va a fallar.Por otra parte, si el sistema es dctil alcanzar la fluencia, por lo que su rigidez disminuir y su frecuencia natural ya no ser igual a la frecuencia de la fuerza solicitante.


Vibracin armnica en sistemas con amortiguamiento viscoso


Respuesta transiente y de rgimen estacionario.Incluyendo el amortiguamiento a la ecuacin de movimiento que gobierna la respuesta de un sistema de 1 gdl a una fuerza armnica se tiene:

Con condiciones iniciales: u=u(0), u=u (0)La solucin particular de esta ecuacin es:

Donde:


. .

Vibracin Forzada en SDOFY la ecuacin homognea es:

Donde:Entonces, la respuesta total es:

Donde A y B se determinan de los procedimientos estndares en trminos de las condiciones iniciales u(0), u(0).

Al igual que en el caso anterior, la respuesta u(t) contiene dos componentes vibratorias: vibracin forzada o de rgimen estacionario y vibracin transiente.


Transiente Rgimen estacionario

.

10


La respuesta se grafica a continuacin:



La diferencia entre las dos lneas es la respuesta transiente, que decae exponencialmente con el tiempo en un radio que depende de /n y .Despus de un tiempo, esencialmente la respuesta transiente desaparece y queda slo la respuesta en rgimen estacionario.De todas formas, se debe reconocer que el mximo peak de deformacin puede ocurrir antes de que el sistema alcance el rgimen estacionario.


11


Respuesta para = n.Ahora examinaremos el rol del amortiguamiento en la resonancia:

Si = n:

Agregando las condiciones iniciales del reposo:

Con (uest)o=po/k y reemplazando en la ecuacin anterior, se tiene:



Esta respuesta, para un =0,05, es graficada a continuacin:


12

Vibracin Forzada en SDOFA diferencia de los sistemas sin amortiguamiento, se muestra que el amortiguamiento disminuye cada peaky limita su respuesta a:

Para sistemas con amortiguamiento bajo, la componente sinusoidal es baja y D n, entonces se tiene:

La deformacin vara con el tiempo como una funcin coseno, con la amplitud creciendo en el tiempo de acuerdo a la curva envolvente (ver figura anterior).


Funcin envolvente


La amplitud de la deformacin estacionaria de un sistema sometido a una fuerza con frecuencia = n, y el radio al cual esta deformacin estacionaria es alcanzada, es influenciada fuertemente por el amortiguamiento.La importancia del amortiguamiento en la amplitud de muestra a continuacin:


13


Estudiando como ser la respuesta en rgimen estacionario, se examina el peak uj luego de j ciclos de vibracin.Se puede escribir una relacin entre uj y j, sustituyendo t=jTn y dejando cos(nt)=1, con lo que se obtiene:

Esto nos dice que mientras ms bajo sea el amortiguamiento, mayor es el nmero de ciclos requeridos para alcanzar un cierto porcentaje de uo(amplitud estacionaria).



Deformacin y ngulo de fase.La deformacin en rgimen estacionario del sistema debido a una fuerza armnica, como la dada por la respuesta up(t) vista anteriormente, puede ser escrita como:

Donde:

Sustituyendo:


14


A continuacin se grafica la respuesta descrita anteriormente para 2 razones de /n y un valor fijo de =0,20. Adems de grafica en lnea punteada la deformacin esttica a uest(t)=po/k sin(t) que vara con el tiempo.El movimiento estacionario ocurre al perodo de la fuerza T=2/, pero con un desfase de /2, que es llamado ngulo de fase o desfase.




15

Vibracin Forzada en SDOFLa curva de respuesta en frecuencia es un grfico donde se grafica la amplitud de la respuesta contra la frecuencia de excitacin.A continuacin, para la deformacin u, se grafica Rd como una funcin de /n para algunos valores de .

Es importante destacar que todas estas curvas estn por debajo de la ya vista para = 0.

Se puede ver que el amortiguamiento reduce Rd y por lo tanto, reduce la amplitud de la deformacin en todas las frecuencias de excitacin ().La magnitud de esta reduccin depende fuertemente de la frecuencia de excitacin segn lo que se ve puede observar en el grfico.El ngulo de fase define el tiempo de retraso que lleva la respuesta con respecto a la fuerza y vara con /n segn el siguiente grfico.




16


Ejemplos:1. La amplitud de desplazamiento uo de un sistema de 1gdl debido a una fuerza armnica es conocida para dos frecuencias de excitacin diferentes:

A = n, uo=5 inA = 5n, uo=0,02 in

Estime la razn de amortiguamiento del sistema.


Vibracin Forzada en SDOFEjemplos:2. Una unidad de aire acondicionado que pesa 20 kg est apernada en la mitad de la luz de dos vigas paralelas de acero, que se encuentran simplemente apoyadas. Las dos vigas son de largo 10 m y poseen un momento de inercia igual a 10 m4. El motor de la unidad de aire funciona a 300 rpm y produce una fuerza desbalanceadora de 1 kg a esa velocidad de funcionamiento.Desprecie el peso de las vigas y asuma una razn de amortiguamiento de 1%. Considere el mdulo de elasticidad de las vigas de E = 425 kg/cm2.

Determine la amplitud de la deflexin de la viga y la aceleracin (en g) para rgimen estacionario de las vigas en su punto medio, que produce la fuerza desbalanceadora del motor.


17

Vibracin Forzada en SDOFEjemplos:3. El edificio de un piso cuya planta se indica en la figura, tiene un peso de 26.4 ton concentrado al nivel del cielo del primer piso. Los elementos estructurales son muros de 17 cm de espesor, con E = 90000kg/cm2 y una altura de 2.50m, que pueden considerarse empotrados en la base y libres de girar en el extremo superior.

Determine el perodo natural de vibracin para el movimiento segn el eje Y, y estime la razn de amortiguamiento .El cielo del primer piso se desplaza suavemente en 0.5 cm en direccin Y, y se suelta desde el estado de reposo. Determine el desplazamiento que tiene el cielo del primer piso despus de 0.10seg.


A continuacin:Respuesta Ssmica de Sistemas Lineales SDOF

C8_VF SDOF

Documents

Transcript of C8_VF SDOF