Ejemplo 1:

El departamento de estudios de mercado de una fbrica estima que el 20% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprar el mes siguiente.

Adems, el 30% de quienes no lo compren un mes lo adquirir al mes siguiente.

En una poblacin de 1,000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes.

1. Cuntos lo comprarn al mes prximo?, y

2. Dentro de dos meses?

El estado de una mquina puede describirse como una CADENA DE MARKOV

Xn = Condicin de la mquina en el n-simo perodo de tiempo.

0 = La mquina esta funcionando

1 = La mquina est parada en espera de reparacin.

2 = La mquina est parada en reparacin.

Espacio paramtrico : T { 0, 1, 2, } (Das, horas)

Espacio de Estados : S = { 0, 1, 2 }

Ejemplo

Solucin: Para resolver este tipo de problemas, lo primero es hacer un esquema. A la vista del esquema podemos pasar a construir la matriz de probabilidades de transicin:

0.8

Compra en un mes el producto

Del 100% de clientes que compran en un mes el producto, slo el 20% no compra el mes siguiente, o sea el 80% lo sigue comprando el siguiente mes.

Del 100% de clientes que no compran en un mes el producto, slo el 30% lo compra el mes siguiente, o sea el 70% no lo compra el siguiente mes.

No Compra en un mes el producto

0.80

0.20 0.30

0.70

Clculo: con esa informacin construimos la matriz 2x2.

P(0) representa la situacin inicial

El primer mes comprarn C=350 y no comprarn N=650

P (0) = 0.8 0.2 0.3 0.7

(C, N) = 100 900 0.8 0.2 0.3 0.7

= (350, 650)

P(2) representa la situacin en el segundo mes

El segundo mes comprarn C=475 y no comprarn N= 525

(C, N) =

0.8 0.2 0.3 0.7

P (2) =

100 900

0.8 0.2 0.3 0.7

0.7 0.3 0.45 0.55

= (475, 525)

0.7 0.3 0.45 0.55

=

Ejemplo 2

En una poblacin de 10,000 habitantes, 5,000 no fuman, 2,500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2,500 fuman ms de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar ms de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar ms de un paquete diario. Entre los que fuman ms de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos.

Cuntos individuos habr de cada clase el prximo mes?

Matriz de Transicin:

Estados de procesos:

(0)NF= No fuman

(1)FC= fuman uno o menos de un paquete diarios

(2)FCC= fuman ms de un paquete diario.

Despus de un mes habrn NF=5025, FC=2500, FCC=2475

Diagrama de Transicin:

Despus de un mes habrn NF=5025, FC=2500, FCC=2475

Aplicaciones:

Fsica: Las cadenas de Markov son usadas en muchos problemas de la termodinmica y la fsica estadstica. Ejemplos importantes se pueden encontrar en la Cadena de Ehrenfest o el modelo de difusin de Laplace.

Meteorologa: Si consideramos el clima de una regin a travs de

distintos das, es claro que el estado actual solo depende del ltimo estado y no de toda la historia en s, de modo que se pueden usar cadenas de Markov para formular modelos climatolgicos bsicos.

Modelos epidemiolgicos: Una importante aplicacin de las cadenas de

Markov se encuentra en el proceso Galton-Watson. ste es un proceso de ramificacin que se puede usar, entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia.

Internet: El pagerank de una pgina web (usado por Google en sus

motores de bsqueda)se define a travs de una cadena de Markov, donde la posicin que tendr una pgina en el buscador ser determinada por su peso en la distribucin estacionaria de la cadena.

Simulacin: Las cadenas de Markov son utilizadas para proveer una solucin analtica aciertos problemas de simulacin tales como el Modelo M/M/1.3

Juegos de azar: Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a

travs de una cadena de Markov. El modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una persona que apuesta en un juego de azar finalmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas de Markov en este rubro.

Economa y Finanzas: Las cadenas de Markov se pueden utilizar en

modelos simples de valuacin de opciones para determinar cundo existe oportunidad de arbitraje, as como en el modelo de colapsos de una bolsa de valores o para determinar la volatilidad de precios. En los negocios, las cadenas de Mrkov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.

Msica: Diversos algoritmos de composicin musical usan cadenas de

Markov, por ejemplo el software Csound o Max. 16

Ejemplo 3: Tres agencias de viaje disponen de informacin respecto de los desplazamientos en vacaciones de semana santa.

Estado actual n=0 No viajar viajar entre islas viajar fuera

No viajar

40 20 40

viajar entre islas

50 10 40

viajar fuera 10 70 20

a)Supuestos necesarios para considerar esta situacin como cadena de Markov de primer orden b)Calcular la probabilidad de que los clientes que no han viajado estas vacaciones lo hagan fuera de las islas dentro de 2 aos.

Ejercicio 4: La carrera de diplomado en CCEE tiene 3 cursos. A partir de los datos facilitados por el decanato del centro se sabe que el 35% y el 26% de los alumnos de primero y segundo abandonarn los estudios. El 28% de los alumnos de primero repiten curso, siendo este porcentaje del 20% y 30% para los alumnos de segundo y tercero respectivamente.

Ejemplo 5: El reparto del mercado a largo plazo en un oligopolio Tres laboratorios farmacuticos (A,B y C) que compiten en un principio activo (mismo conjunto homogneo en la orden de precios de referencia). Hoy sus cuotas de mercado son 30%, 20% y 50% respectivamente

A B C A 0.8 0.1 0.1

B 0.15 0.82 0.03

C 0.13 0.12 0.75

Cmo se repartirn el mercado dentro de 1 mes, 6 meses, 1 ao? A largo plazo?

Matriz de transicin en un ciclo (P)

Ejemplo 6: La evolucin clnica de los pacientes con vlvula cardiaca sometidos a tratamiento anticoagulante

BIEN

CON SECUELAS

MUERTO

Estados : 3 (1 absorbente, 2 transitorios) Ciclo = mes Utilidades = Nivel salud Distribucin inicial de la cohorte (N=10.000): todos bien

0.6 0.2

0.4

0.6

0.2

1

Ejemplo 7: Para efecto de una investigacin en un determinado pas, una familia puede clasificarse como habitante en zona urbana, rural y sub urbana. Se ha estimado que durante un ao cualquiera del 15 % de todas las familias urbanas se cambia a zonas sub urbana y el 5% a zona rural. El 6% de las familias sub urbanas pasan a zonas urbanas y el 4% a zona rural. El 4% de las familias rurales pasan a zonas urbanas y el 65 zona sub urbana.

Ejemplo 8: La empresa jurdica Angie Montero, emplea 3 tipos de abogados: subalternos, superiores y socios. Durante cierto ao el 10% de los subalternos ascienden a superiores y a un 10% se les pide que abandonen la empresa. Durante un ao cualquiera un 5% de los superiores ascienden a socios y a un 13% se les pide la renuncia. Los abogados subalternos deben ascender a superiores antes de llegar a socios. Los abogados que no se desempean adecuadamente, jams descienden de categora.

a) Se hace la matriz T y nos queda:

b) Ntese que la parte azul cielo tiene probabilidades iguales a 1, por lo tanto esta es la parte absorbente de la matriz. Por esta razn es una matriz absorbente.

Ahora se procede a restar la matriz normal de la identidad y se halla la inversa para ver los tiempos entre estados, para posteriormente esta ltima ser multiplicada por la matriz absorbente y saber las probabilidades de cambios de estado.

c) Al multiplicar la matriz inversa por la Absorbente se puede hallar dicha probabilidad, esta es 0.14 d) Al simplemente hallar la matriz inversa se es posible hallar el tiempo en aos que debera permanecer normalmente un abogado subalterno en su compaa, seran 5 aos. e) Cuando piden el tiempo que debera permanecer un abogado subalterno pero durante la empresa sera sumar el tiempo en que se queda como subalterno con el tiempo en que permanece como superior: esto es, 5+2.77= 7.77 aos. f) Por ltimo la probabilidad de que pase de subalterno a socio es mostrado en la ltima matriz, sera 0,28.