CAÍDA LIBRE

NOMBRE : OMAR ROY COPA

CARRERA : ING. INDUSTRIAL

FECHA : 6 DE ABRIL de 2010

1. OBJETIVO

1.1. OBJETIVO GENERAL

Experimentar el Movimiento de Caída Libre, observando sus características; aceleración, velocidad, distancia y tiempo, comprobando la relación que existen entre éstas, y, con éste experimento desarrollar la aplicación del Análisis de Gráficas vista en cursos previos.

1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Estudiar las características del Movimiento de Caída Libre de un cuerpo (MRUA)b) Comprobar la ecuación matemática: distancia∝ ( tiempo )2 (proporcional), yc) Comprobar que la gráficas: distancia∝tiempo es una parábola (velocidad) y velocidad∝ tiempo es una recta (aceleración)

d) Medir experimentalmente la aceleración de un cuerpo que cae libremente (g)

2. FUNDAMENTO TEÓRICO

2.1. ACELERACIÓN MEDIA

Cambio que experimenta la velocidad instantánea de una partícula en un intervalo de tiempo y está definida por la siguiente ecuación:

a=∆v∆ t

2.2. ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

Es el límite de la aceleración media, derivada de la aceleración con respecto al tiempo, cuando ∆ t tiende a cero, o bien como la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo dos veces, se la puede escribir como:

a= lim∆t →0

∆ v y∆ t

=d v ydt

=d2 v yd t 2

La a adopta la rapidez de la ∆ vEn la gráfica

2.3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Se analizará el movimiento de una partícula restringid a moverse sólo a lo largo de la dirección vertical (eje y) con aceleración constante, es decir que la aceleración media

coincide con la aceleración instantánea, a esta aceleración se denomina aceleración de la gravedad: g=a=a=constante.En este movimiento la velocidad del móvil varía uniformemente, es decir la velocidad aumenta o disminuye la misma cantidad en la unidad de tiempo.

A la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo se denomina aceleración. También la aceleración se puede interpretar como una medida de la rapidez con que varia la velocidad.

Entonces se puede escribir: g=∆v∆ t

=v−vot−t o

considerando t o=0

v=v o+¿ 1)

Las graficas v – t y g – t que caracterizan a este movimiento, cuando el móvil parte del reposo, es decir vo=0 se las representa:

Cuando la velocidad cambia uniformemente con el tiempo, es decir la aceleración se mantiene constante, también la velocidad media para cualquier intervalo de tiempo está dada por:

v=vo−v2

2)

Además por lo analizado anteriormente: v=∆ y∆ t

=y− yot−t o

= yt

3)

Si la posición original del móvil se encuentra en el origen: vo=0 y t o=0

Igualando 2) y 3) se tiene: y=v0∗t+v∗t

2 4)

Reemplazando 1) en 4) se tiene: y=vo∗t+12a t 2 5)

La grafica de la ecuación 5) es una parábola como se representa:

2.4. CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS

El ejemplo más sencillo del movimiento rectilíneo vertical con aceleración constante es el movimiento de un cuerpo que cae libremente por acción de la gravedad.

La aceleración de la gravedad para todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre se puede representar como un vector que apunta verticalmente hacia abajo. Hacia el centro de la Tierra. Si la resistencia del aire no afecta en la caída de los cuerpos, es decir es despreciable, todos los cuerpos caen con la misma aceleración sobre la superficie de la Tierra.

La aceleración de un cuerpo que cae libremente, cerca de la superficie terrestre tiene una

valor aproximado de: g=9,8m

s2=32 pie

s2, donde su valor varía de acuerdo con la latitud y la

altura del lugar.

La resistencia que ejerce el aire a la caída de los cuerpos es despreciable en los casos de cuerpos de densidad grande como por ejemplo una esfera de metal, una piedra, un proyectil, un bloque de madera, etc.

La resistencia que el aire ejerce a la caída de algunos cuerpos es despreciable y se debe tomar en cuenta, como por ejemplo la caída de un trozo de algodón, una pluma, un papel, un paracaidista, etc.

El movimiento de caída libre de un cuerpo, es un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección vertical, por lo tanto se cumplen las siguientes ecuaciones.

h=12g t 2 donde vo=0

v=¿ donde vo=0

3. MATERIAL Y MONTAJE

3.1. MATERIALES

a) Balanza de precisión

b) Esferas de metal de dos tamañosc) Regla de madera mayor a 2 metrosd) Prensa pequeñae) Soporte universal con accesoriosf) Equipo de caída libre con accesoriosg) Sensor de tiempo de vuelo

3.2. MONTAJE

a) Se instala el soporte universal cerca a una mesa firme y se sujeta con la prensa pequeñab) Luego se instala el equipo de caída libre en el soporte universal a una altura de 138 cmc) Luego se conecta el sensor de tiempo de vuelo verificando que este funcione al dejar

caer una espera de metal.d) Ubicar el sensor, este debe estar en la misma dirección donde caerá la esfera

4. PROCEDIMIENTO

a) Se pesan las dos esferas en la balanza de precisión

b) Luego cada una se lleva al equipo de caída libre y se realiza lo siguiente:- Con la mano derecha se introduce la esfera de metal en el equipo- Luego con el índice de la mano izquierda se sujeta la parte superior del equipo- Al mismo tiempo con el anular se presiona la parte inferior y- Con el dedo medio presionar el resorte y sujetar con el tornillo de sujeción

c) Se deja caer la esfera aflojando el tornillo de sujeción

d) Se repite esta operación cinco veces para cada una de las diez altura a medir

e) Registrar todos los datos

5. ANÁLISIS DE DATOS

5.1. PARA LA MASA “A”

Masa: 26 gramos

REGISTRO DE DATOS

N h(cm) t1 t2 t3 t4 t5 t(promedio)1 138,0 0,534 0,530 0,526 0,527 0,535 0,53042 135,2 0,506 0,518 0,515 0,522 0,524 0,51703 131,0 0,505 0,515 0,509 0,503 0,509 0,50824 127,0 0,501 0,501 0,490 0,504 0,504 0,50005 122,0 0,491 0,494 0,490 0,482 0,497 0,49086 117,5 0,491 0,488 0,489 0,489 0,488 0,48907 113,7 0,481 0,482 0,482 0,480 0,482 0,48148 107,5 0,469 0,468 0,466 0,468 0,455 0,46529 101,3 0,456 0,455 0,454 0,454 0,454 0,4546

10 95,8 0,443 0,441 0,442 0,442 0,442 0,4420

0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.5490

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140f(x) = 546.803224244688 x^2.13089765054005R² = 0.986380482374412

GRAFICA h - t

TIEMPO t (segundos)

HALT

URA

h (c

m)

La ecuación de la curva representa a una parábola.La ecuación es: y=548,138 x2,134

LINEALIZACIÓN DE LA CURVA h –t

Ecuación de la curva: h=12g t 2

Identificación de la curva: y=A x B (Ecuación potencial)

Linealización de la curva: log h=log( 12 g)+2 log tlog h=A '+B ' log t

Desarrollo de Cuadro h – t:

N t(promedio) h(cm) log t log h (log t)2 (log t)x(log h)1 0,5304 138,0 -0,27539648 2,13987909 0,07584322 -0,589315182 0,5170 135,2 -0,28650946 2,13097669 0,08208767 -0,610544973 0,5082 131,0 -0,29396534 2,1172713 0,08641562 -0,622404374 0,5000 127,0 -0,30103 2,10380372 0,09061906 -0,633308025 0,4908 122,0 -0,30909545 2,08635983 0,09553999 -0,644884326 0,4890 117,5 -0,31069114 2,07003787 0,09652899 -0,643142437 0,4814 113,7 -0,31749391 2,05576046 0,10080239 -0,652691448 0,4652 107,5 -0,33236029 2,03140846 0,11046336 -0,675159519 0,4546 101,3 -0,34237057 2,00560945 0,11721761 -0,68666165

10 0,4420 95,8 -0,35457773 1,98136551 0,12572537 -0,70254809∑ -3,12349037 20,7224724 0,98124328 -6,46065998

Calculo de A’, B’ y g

B'=N∑ logt∗logh−∑ logt∗∑ logh

N∑ ( logt )2−(∑ logt )2

B'=10∗(−6,46065998 )−(−3,12349037 )∗(20,7224724 )

10∗(0,98124328)−(−3,12349037 )2

B'=2,13429

A'=∑ logh−B∑ logt

N

A'=(20,7224724 )−(2,13429 )∗(−3,12349037 )

10

A'=2,73889

Pero: A'=log( 12 g)( 12 g)=antilog A '=antilog 2,73889

( 12 g)=548,13811

g=1096,2762 cms2

g=10,96 ms2

La ecuación es: y=2,134 x+2,739

La grafica h-t linealizada

-0.39 -0.37 -0.35 -0.33 -0.31 -0.29 -0.27 -0.251.9

1.95

2

2.05

2.1

2.15

2.2

f(x) = 2.13089765054005 x + 2.73783106673622R² = 0.986380482374413

LINEALIZACIÓN DE LA CURVA h -t

TIEMPO t (segundos)

HALT

URA

h (c

m)

5.2. PARA LA MASA “B”

Masa: 8,3 gramos

REGISTRO DE DATOS

N h(cm) t1 t2 t3 t4 t5 t(promedio)1 138,0 0,530 0,534 0,535 0,535 0,534 0,53362 135,2 0,527 0,524 0,524 0,526 0,527 0,52563 131,0 0,521 0,514 0,513 0,513 0,516 0,51544 127,0 0,507 0,508 0,508 0,507 0,508 0,50765 122,0 0,501 0,503 0,501 0,501 0,500 0,50126 117,7 0,495 0,491 0,492 0,492 0,491 0,49227 114,0 0,483 0,483 0,483 0,483 0,483 0,48308 107,8 0,470 0,470 0,469 0,469 0,470 0,46969 101,5 0,457 0,456 0,455 0,454 0,454 0,4552

10 96,2 0,444 0,444 0,444 0,444 0,443 0,4438

0.4 0.45 0.5 0.55 0.690

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140f(x) = 487.266877872255 x^1.99576352796883R² = 0.997729669660278

GRAFICA h - t

TIEMPO t promedio (segundos)

HALT

URA

h (c

m)

La ecuación de la curva representa a una parábola.La ecuación es: y=487,259 x1,996

LINEALIZACIÓN DE LA CURVA h –t

Ecuación de la curva: h=12g t 2

Identificación de la curva: y=A x B (Ecuación potencial)

Linealización de la curva: log h=log( 12 g)+2 log tlog h=A '+B ' log t

Desarrollo de Cuadro h – t:

N t(promedio) h(cm) log t log h (log t)2 (log t)x(log h)1 0,5336 138,0 -0,27278418 2,13987909 0,07441121 -0,583725162 0,5256 135,2 -0,27934464 2,13097669 0,07803343 -0,595276923 0,5154 131,0 -0,28785559 2,1172713 0,08286084 -0,609468374 0,5076 127,0 -0,29447839 2,10380372 0,08671752 -0,619524735 0,5012 122,0 -0,29998894 2,08635983 0,08999336 -0,625884876 0,4922 117,7 -0,30785839 2,07077646 0,09477679 -0,637505917 0,4830 114,0 -0,31605287 2,05690485 0,09988942 -0,650090688 0,4696 107,8 -0,32827191 2,03261876 0,10776245 -0,667251659 0,4552 101,5 -0,34179775 2,00646604 0,1168257 -0,68580557

10 0,4438 96,2 -0,3528127 1,98317507 0,1244768 -0,69968936∑ -3,08124535 20,7282318 0,95574751 -6,37422321

Calculo de A’, B’ y g

B'=N∑ logt∗logh−∑ logt∗∑ logh

N∑ (logt )2−(∑ logt )2

B'=10∗(−6,37422321 )−(−3,08124535 )∗(20,7282318 )

10∗(0,95574751)−(−3,08124535 )2

B'=1,99576

A'=∑ logh−B∑ logt

N

A'=(20,7282318 )−(1,99576 )∗(−3,08124535 )

10

A'=2,68776

Pero: A'=log( 12 g)( 12 g)=antilog A '=antilog 2,68776

( 12 g)=487,2591

g=974,5182 cms2

g=9,74 ms2

La ecuación es: y=1,996 x+2,688

La grafica h-t linealizada

-0.36 -0.34 -0.32 -0.3 -0.28 -0.26 -0.241.9

1.95

2

2.05

2.1

2.15

2.2

f(x) = 1.99576352796888 x + 2.68776689107308R² = 0.997729669660279

LINEALIZACIÓN DE LA CURVA h -t

TIEMPO t promedio (segundos)

HALT

URA

h (c

m)

5.3. GRAFICA V – t PARA MASA “A”

Cuadro de cálculo de V:

N t(promedio) g(m/s2) V1 0,5304 10,962762 5,814648962 0,5170 10,962762 5,667747953 0,5082 10,962762 5,571275654 0,5000 10,962762 5,4813815 0,4908 10,962762 5,380523596 0,4890 10,962762 5,360790627 0,4814 10,962762 5,277473638 0,4652 10,962762 5,099876889 0,4546 10,962762 4,98367161

10 0,4420 10,962762 4,8455408

AJUSTE DE LA RECTA V –t

Ecuación de la curva: v=¿Identificación de la curva: y=A+Bx (Ecuación lineal)Linealización de la curva: y=Bx A=0

Cuadro del grafico V – t

N t(promedio) V (m/s) t2 txV1 0,5304 5,81464896 0,28132416 3,084089812 0,5170 5,66774795 0,267289 2,930225693 0,5082 5,57127565 0,25826724 2,831322284 0,5000 5,481381 0,25 2,74069055 0,4908 5,38052359 0,24088464 2,640760986 0,4890 5,36079062 0,239121 2,621426617 0,4814 5,27747363 0,23174596 2,54057588 0,4652 5,09987688 0,21641104 2,372462739 0,4546 4,98367161 0,20666116 2,26557711

10 0,4420 4,8455408 0,195364 2,141729044,8786 53,4829307 2,3870682 26,1688606

Calculo de A’, B’ y g

B'=N∑ t∗v−∑ t∗∑ v

N∑ t2−(∑ t )2

B'=10∗(26,1688606 )−(4,8786 )∗(53,4829307 )

10∗(2,3870682)−(4,8786 )2

B'=10,9627

A'=∑ v−B∑ t

N

A'=(53,4829307 )−(10,9627 )∗(4,8786 )

10

A'=0La ecuación será:

y=10,963 x

0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.544.5

4.7

4.9

5.1

5.3

5.5

5.7

5.9

f(x) = 10.962762 xR² = 1

GRAFICO V -t

TIEMPO t promedio (segundos)

VELO

CIDA

D (m

/s)

5.4. GRAFICA V – t PARA MASA “B”

Cuadro de cálculo de V:

Nt(promedio

) g(m/s2) V (m/s)

1 0,5336 9,7451825,2000291

2

2 0,5256 9,7451825,1220676

63 0,5154 9,745182 5,0226668

4 0,5076 9,7451824,9466543

8

5 0,5012 9,7451824,8842852

2

6 0,4922 9,7451824,7965785

8

7 0,483 9,7451824,7069229

1

8 0,4696 9,7451824,5763374

7

9 0,4552 9,7451824,4360068

5

10 0,4438 9,7451824,3249117

7

AJUSTE DE LA RECTA V –t

Ecuación de la curva: v=¿Identificación de la curva: y=A+Bx (Ecuación lineal)Linealización de la curva: y=Bx A=0

Cuadro del grafico V – t

Nt(promedio

) V (m/s) t2 txV

1 0,53365,2000291

20,2847289

62,7747355

4

2 0,52565,1220676

60,2762553

62,6921587

6

3 0,5154 5,02266680,2656371

62,5886824

7

4 0,50764,9466543

80,2576577

62,5109217

6

5 0,50124,8842852

20,2512014

42,4480037

5

6 0,49224,7965785

80,2422608

42,3608759

8

7 0,48304,7069229

1 0,2332892,2734437

6

8 0,46964,5763374

70,2205241

62,1490480

7

9 0,45524,4360068

50,2072070

42,0192703

2

10 0,44384,3249117

70,1969584

41,9193958

4

4,9272 48,01652,4357201

623,736536

3

Calculo de A’, B’ y g

B'=N∑ t∗v−∑ t∗∑ v

N∑ t2−(∑ t )2

B'=10∗(23,7365363 )−(4,9272 )∗(48,0165 )

10∗(2,43572016)−(4,9272 )2

B'=9,7428

A'=∑ v−B∑ t

N

A'=(48,0165 )−(9,7428 )∗(4,9272 )

10

A'=0La ecuación será:

y=9,7428x

0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54 0.564

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

f(x) = 9.74518200000005 x − 2.66453525910038E-14R² = 1

GRAFICO V-t

TIEMPO t promedio (segundos)

VELO

CIDA

D (m

/s)

6. COMPARACIÓN DE LA GRAVEDAD DE LA MASA A Y B

∆ g=gA−gB=(10,96−9,74 ) ms2

=1,22 ms2

El valor más confiable de la gravedad en este caso es el obtenido de la masa B, puesto que su valor de 9,74 m/s2 se encuentra más cercano a la gravedad en la ciudad de La Paz que tiene una valor promedio de 9,78 m/s2.

La variación de la gravedad de la masa A con respecto a B es muy grande, en teoría deberían ser ambos iguales, factores como el mal procedimiento al medir, pudieron afectar a este dato.

En caída libre la aceleración de la gravedad no está influenciada por la masa de los cuerpos en estudio, ya que en el vacio ambos cuerpos caen al mismo tiempo, independientemente de su masa.

7. CONCLUSIONES

En el estudio de las características de la caída libre se concluye lo siguiente:

Es un movimiento rectilíneo en dirección vertical con aceleración constante (gravedad) realizado cuando se deja caer un cuerpo.

Este movimiento está en función de la altura (distancia de recorrido), tiempo que emplea en cambiar de posición, aceleración constante y velocidad variable.

Con la ecuación y=12g t 2 siendo vo = 0, cumple el enunciado que indica que la distancia

recorrida es directamente proporcional al tiempo elevado al cuadrado, además Que la grafica h – t es una parábola, por su forma y por su ecuación encontrada. En cambio la grafica V – t es una recta donde su pendiente representa a la aceleración. Se obtuvieron de las 2 masas datos muy interesantes como el valor de la aceleración de

la gravedad, velocidad, tiempo que emplean estos cuerpos en llegar a un determinado punto.

La masa A arrojo un dato de aceleración de la gravedad un poco alejada del valor promedio, debido tal vez, a la inexactitud en el manejo del equipo de caída libre.

Mientras que la masa B dio un dato muy cercano al valor promedio de la aceleración de la gravedad.

Se concluye el presente informe argumentando que se utilizaron hasta 6 decimales para cálculos, a fin de no afectar y alejarse, de los datos señalados por el programa Excel.

8. BIBLIOGRAFÍA

Física para Ciencias e Ingeniería, Serway Jewett, Séptima Edición.Dinámica, Mecánica Vectorial para Ingenieros, R.C. Hibbeler, Decima Edición.Guías de Laboratorio para Física Básica 1, Ing. Delgado.Mecánica, Física Experimental, Manuel R. Soria, Segunda Edición.