Fsica | Derum 7 | Cinemtica: M.V.C.L.

Pre facultativos de Ingeniera 45

7 | Movimiento Vertical de Cada Libre M.V.C.L.

Definicin

Es aquel movimiento en el cual los cuerpos se

mueven con un movimiento rectilneo

uniformemente variado (M.R.U.V.) en forma

vertical, debido a la accin de la gravedad.

Nota: En la grafica podemos ver que la pelota

soltada desde el reposo se desplaza con M.R.U.V. en

forma vertical, ya que experimenta un cambio de

velocidad uniforme, aumentando su velocidad en

10m/s cada segundo, debido a la aceleracin de la

gravedad ( ).

La aceleracin para todo cuerpo que se mueve en forma vertical es la

gravedad. El valor de gravedad vara dependiendo lugar en que nos

encontremos, por ejemplo:

Nivel del mar

La Paz

Mientras ms nos alejamos del centro de la tierra la gravedad va

disminuyendo. Es decir mientras a mayor altura nos encontremos, el

valor de la gravedad disminuye.

Adems en este captulo consideraremos que todos los cuerpos se

mueven en el vacio (se denomina vacio al lugar donde no existe aire)

en otras palabras despreciaremos la resistencia del aire.

En el vaco, todos los cuerpos soltados desde una misma altura sea cual

sea su forma y masa, caern siempre con la misma velocidad y al

mismo tiempo.

Anlisis de la Altura en el M.V.C.L.

CASO 1:

(Cuando un objeto es lanzando verticalmente hacia arriba y retorna al

mismo punto de lanzamiento).

Como el cuerpo regresa al mismo punto de

lanzamiento su desplazamiento es cero ,

entonces la ecuacin del formulario se reduce a

la siguiente ecuacin:

Adems en el presente caso se cumple que la velocidad final es igual a

la velocidad inicial en magnitud pero con sentido opuesto.

CASO 2:

(Cuando un objeto es lanzando verticalmente hacia arriba y al final se

encuentra por debajo del punto de lanzamiento).

En este caso podemos observar que

el cuerpo presenta un

desplazamiento negativo ( ).

Por lo tanto la ecuacin del

formulario se reduce a la siguiente

ecuacin:

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46 Pre facultativos de Ingeniera

Esta ecuacin solo es vlida siempre y cuando el objeto sea lanzado

hacia arriba y no hacia abajo.

Las ecuaciones y son de gran ayuda al momento en que se

analiza un problema.

FORMULARIO

Movimiento Vertical de Cada Libre M.V.C.L.

Ya que el movimiento vertical de cada libre es un movimiento

uniformemente variado en forma vertical, se utilizan las mismas

formulas del (M.R.U.V.)

En donde se toma: y

(

)

En donde:

Nota: Estas ecuaciones son validas para cuerpos que inician su

movimiento en direccin hacia abajo, en caso de que el cuerpo inicie su

movimiento en direccin hacia arriba debemos cambiar el signo (+)

por el signo () de las ecuaciones , y .

Problemas Resueltos

Movimiento Vertical de Cada Libre M.V.C.L.

PROBLEMA 1: Desde una altura de 100 m se deja caer una

pelota y al mismo tiempo desde la tierra es lanzada es lanzada otra

pelota verticalmente hacia arriba. Si las dos pelotas tienen la misma

velocidad cuando se encuentran. Qu altura ha recorrido la pelota

lanzada desde la tierra? (considerar gravedad igual a 10m/s2).

Solucin: Nos piden hallar la altura respecto de la tierra a la que las

pelotas se encuentran ( ).

Realizando un listado de datos y analizndolo en una grafica,

tenemos:

DATOS:

Cuando en nuestros problemas nos indican que se deja caer el objeto,

nos dice que comienza su movimiento con ( ).

Si en el problema no nos dan el valor de la gravedad siempre se asume

que es .

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Pre facultativos de Ingeniera 47

Adems es importante identificar, si nuestro objeto sube o baja para

tomar en cuenta los signos de nuestras ecuaciones.

Planteamiento de ecuaciones:

Primero, debemos tomar en cuenta si el problema nos da alguna

condicin, en nuestro caso, tenemos:

Tomaremos la velocidad final de ambas pelotas solo como

Para la pelota A, ya que la partcula se mueve hacia abajo, tenemos:

Ya que ( ), la ecuacin queda:

Tomando en cuenta que ( ) y , tenemos:

Para la pelota B, ya que la partcula se mueve hacia arriba, tenemos:

Adems, se tiene. Tomando en cuenta que :

Adems, recordando que se puede obtener ecuaciones adicionales esta

vez en base a las alturas, viendo la grafica, tenemos:

Resolucin de las ecuaciones:

Remplazando las ecuaciones y en

Remplazando la ecuacin en

Multiplicando por ambos miembros de la ecuacin

Remplazando en

(

)

Remplazando en esta ecuacin

(

)

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48 Pre facultativos de Ingeniera

Remplazando datos

PROBLEMA 2: Un globo aerosttico est descendiendo con la

velocidad constante de 5 m/s en el instante que se encuentra a 500 m

sobre el suelo, suelta una moneda de plata, 2 s despus suelta una

moneda de cobre.

Calcular la distancia que separa ambas monedas al cabo de 5 s de

soltarse la primera moneda.

Solucin: Nos piden hallar la distancia de separacin entre ambas

monedas despus de 5 s de soltarse la primera moneda.

Cuando un objeto se desprende o se suelta desde algn mvil que est

en movimiento con una determinada velocidad, el objeto adquiere esa

misma velocidad y esta pasa a ser su velocidad inicial.

Realizando un listado de datos y analizndolo en una grafica,

tenemos:

DATOS:

En el grafico se toman dos alturas para la moneda B, considerando que

en los primeros 2 s, se desplaza la altura ( ) con (M.R.U.) ya que sigue

en el globo aerosttico y cuando la moneda se suelta recorre la altura

( ) con (M.R.U.V.) en los 3 s restantes ( )

Planteamiento de ecuaciones:

Para la moneda A, tenemos:

Cuando un objeto se suelta de un cuerpo en movimiento esta adquiere

la velocidad del cuerpo al momento de desprenderse del objeto, por lo

tanto ( ).

Para la moneda B:

Cuando se desplaza junto con el globo aerosttico, se desplaza con

M.R.U., por tanto tenemos:

Cuando se suelta del globo se desplaza con M.R.U.V los 3s restantes.,

por tanto tenemos:

Obteniendo una ecuacin adicional del grafico, se tiene:

Resolucin de las ecuaciones:

Remplazando las ecuaciones tenemos:

A = Moneda de plata

B = Moneda de cobre

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Multiplicando por 2 ambos miembros de la ecuacin y ordenando, se

tiene:

Despejando

Remplazando datos, se tiene:

PROBLEMA 3: Dos globos aerostticos en t0=0 estn separados

por 196 m uno encima del otro en la vertical. El superior asciende con

una velocidad de 10 m/s mientras que el inferior desciende con una

velocidad de 4,7 m/s. Si en t0 = 0 del superior se deja caer un paquete

hacia el globo inferior: Calcular el tiempo en que dicho paquete cae

desde el nivel de la barquilla del globo superior hasta el nivel de la

barquilla del nivel inferior.

Solucin: Nos piden hallar el tiempo en que el paquete y el globo

inferior se encuentran en el mismo nivel.

Realizando un listado de datos y analizndolo en una grafica,

tenemos:

DATOS:

Ya que el paquete se desprende del globo superior se tomara la

velocidad del globo como velocidad inicial del paquete.

Planteamiento de ecuaciones:

Viendo que el globo B se desplaza con M.R.U. tenemos:

Ya que el paquete se suelta del globo superior el cual est en ascenso, y

viendo que al final el paquete se encuentra por debajo de su punto de

partida, motivo por el cual se considera una altura negativa, tenemos:

Multiplicando por (-1) ambos miembros, se tiene:

Obteniendo la ecuacin adicional del grafico, se tiene:

A = Paquete.

B = Globo inferior.

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Resolucin de las ecuaciones:

Remplazando las ecuaciones y en

Multiplicando por 2 ambos miembros y ordenando, se tiene:

Remplazando datos.

Resolviendo la ecuacin cuadrtica por la formula, tenemos:

Ya que no existen tiempos negativos, el paquete estar en el mismo

nivel que el globo inferior en 8s.

PROBLEMA 4: Desde una altura H se lanza una manzana hacia

abajo con una velocidad V, y simultneamente desde la tierra es

lanzada otra manzana verticalmente hacia arriba con una velocidad de

5V. Si las dos manzanas tiene la misma rapidez cuando se encuentran.

Qu altura ha recorrido la manzana lanzada desde la tierra? Expresar

la respuesta en trminos de H.

Solucin: Nos piden hallar la altura de la segunda manzana con

respecto del suelo en trminos de H, en el momento en que ambos se

encuentran en el mismo nivel, es decir .

Realizando un listado de datos y analizndolo en una grafica,

tenemos:

DATOS:

Planteamiento de ecuaciones:

Considerando la condicin del problema, en el cual nos dicen que en el

momento de encuentro ambas manzanas tienen la misma velocidad,

entonces:

Para la manzana A, tenemos:

A = 1ra manzana.

B = 2da manzana.

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Pre facultativos de Ingeniera 51

Adems

Pero

Para la manzana B, considerando que se mueve hacia arriba, tenemos:

Adems

Obteniendo una ecuacin adicional del grafico, tenemos:

Resolucin de las ecuaciones:

Remplazando las ecuaciones y en

Remplazando datos.

Despejando

Remplazando la ecuacin en

Remplazando datos y ordenando

Multiplicando por ambos miembros de la ecuacin

Remplazando en esta ecuacin

Remplazando datos en la ecuacin

Remplazando las ecuaciones y en esta