PRÁCTICA LABORATORIO N° 2

CAIDA LIBRE Y MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO

GRUPO N° 5

CRISTHIAN CAMILO CELEITA HERNÁNDEZ

CODIGO Nº 141002411

MIGUEL EDISON GOMEZ O.

CODIGO Nº 141002499

Lic. SANDRA L. RAMOS D.

Docente

CURSO: CINEMÁTICA Y DINÁMICA NEWTONIANA

UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS

FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA

CUARTO SEMESTRE

VILLAVICENCIO - febrero 2011

INTRODUCCION

Al soltar una piedra desde cierta altura esta caerá indudablemente. Pero, ¿se acelera durante la caída?

¿Qué velocidades adquirirá durante estas caídas? Sabemos que parte del reposo y que adquiere

rapidez al caer. Lo sabemos porque podríamos atraparla sin hacernos daño después de la caída de un

metro o dos metros, pero no si cae de lo alto de un edifico. Así pues, la piedra adquiere una mayor

rapidez durante el tiempo que le toma en caer desde lo alto de un edificio que durante el intervalo de

tiempo menor que adquiere al caer de un metro. Este aumento de la rapidez indica que la piedra si

acelera. Imaginemos que no existe la resistencia del aire y que la gravedad es lo único que afecta a un

cuerpo que cae. Decimos entonces que el cuerpo está en caída libre.

El movimiento parabólico tiene (en condiciones ideales) caída libre. Difieren en que el movimiento

parabólico sostiene dos movimientos dimensionales mientras que la caída libre solo sostiene uno. Es

por ello que el movimiento parabólico se estudia con otras premisas, pero siempre conserva la

condición de que acelera porciones iguales en tiempos igual. A este movimiento se le conoce también

como movimiento o lanzamiento de proyectiles.

OBJETIVOS.

⁻ Describir el movimiento de los cuerpos en caída libre

⁻ Hallar experimentalmente el valor de la aceleración gravitatoria.

⁻ Identificar el movimiento parabólico como el movimiento de dos movimientos independientes.

⁻ Describir en su totalidad cada uno de los movimientos componente del movimiento parabólico

MARCO TEÓRICO

Caída Libre: En mecánica, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la

acción exclusiva de un campo gravitatorio. Aunque esta definición formal excluye la

influencia de otras fuerzas, como la resistencia aerodinámica, frecuentemente éstas deben

ser tenidas en cuenta cuando el fenómeno tiene lugar en el seno de un fluido, como el aire

o cualquier otro fluido. El concepto es aplicable incluso a objetos en movimiento vertical

ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad o a un satélite (no

propulsado) en órbita alrededor de la Tierra.1 El movimiento vertical de cualquier objeto

en movimiento libre, para el que se pueda pasar por esto la resistencia del aire, se resume

entonces mediante las ecuaciones:

a). v = -gt + v0. b). Vm = (vo + v)/2.

c). y = -0.5 gt² + vo t + y0. d). v²= -2gt (y - y0). 2

Movimiento Parabólico: Se denomina movimiento parabólico al realizado por un

objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal

de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que

está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.3 Para facilitar el estudio del

movimiento de un proyectil, frecuentemente este se descompone en las direcciones

horizontal y vertical. En la dirección horizontal el movimiento del proyectil es rectilíneo

y uniforme. En la dirección vertical, sobre el proyectil actúa la fuerza de gravedad que hace que el

movimiento sea rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración constante. Como el movimiento

de proyectiles es bi-dimencional, donde ax=0 y ay=g, o sea con aceleración constante, obtenemos las

componentes de la velocidad y las coordenadas del proyectil en cualquier instante t, esto con ayuda

de las ecuaciones ya utilizadas para el M.R.U.A. Expresando estas ecuaciones en función de las

proyecciones tenemos: X = Vxit = Vicosθt , Y = Vyit + ½at2 , Vyf = Vyi+ at , 2ay=Vyf

2-Vyi

2.

4

1 http://es.wikipedia.org/wiki/Ca%C3%ADda_libre

2 http://html.rincondelvago.com/caida-libre-de-cuerpos.html

3 http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_parab%C3%B3lico

4 Ibit

DESARROLLO EXPERIMENTAL

MATERIALES.

Registrador de tiempo, cinta

para registrador, regla, una

esfera, una Rampa, cinta blanca

para la rampa y papel carbón.5

PROCEDIMIENTO.

Primera Parte. 1- Colocar una esfera de acero, un taco de madera y una hoja de papel abierta sobre

una regla que está horizontal y a una altura de dos metros. 2- Luego hacer girar la regla para ver qué

sucede con los tres cuerpos. 3- Repetir el proceso pero con la hoja de papel arrugada. 4. Describir que

sucede

Segunda Parte. 1- Pegar la esfera a una cinta que va a pasar por el registrador de tiempo, quien está

40 Hz por segundo. 2- Colocar el registrador a una altura de 1,5 metros seguidamente asegurarse de

que la cinta tenga la menor fricción posible con el registrador. 3- Luego prender el registrador y

soltar la esfera con el fin de que se registren los tiempos y distancias de caída. 4- Tabular estos datos

tomando como distancia cada tres tics y el tiempo equivalente de este en segundos. 5- Graficar estos

esta tabla, linealizarla y obtener una función de posición respecto al tiempo. 6- A partir de esta

función encontrar la de velocidad y aceleración. 7- Responder; ¿Cuál es la aceleración para este

movimiento? 8- Comparar con el valor de la gravedad ¿En qué porcentaje difieren? 9- Explique los

factores de error involucrados en esta práctica. 10- Concluya.

Tercera Práctica. 1- Instalar una rampa de tal modo que al dejar rodar una esfera por ella y esta

salga de la rampa pegue en una regla que tiene papel carbón, marcando así su posición. 2- La regla se

irá separando de la rampa en intervalos de cinco centímetros con el fin de que la esfera marque su

caída y posición, así habrá una distancia horizontal y una vertical la cual será tabulada. 3- Hacer una

gráfica de Y(X) ¿Qué tipo de gráfica se obtuvo? 4- Calcular el tiempo de caída de cada intervalo y

colocarlo en la tabla de datos. 5- Graficar X(t) y Y(t) linealizarla y hallar la función de cada una de

ellas. 6- hallar Vx(t), ax(t), Vy(t) y ay(t) y con ello hacer una análisis de cada componente. 7-

Socializar y discutir con los compañeros. A continuación las evidencias de la práctica:

RESULTADOS

Primera práctica.

Descripción en la caída de objetos: Al ladear la regla observamos que la esfera y el taco de madera

caen al mismo tiempo, mientras que el papel queda flotando en el aire. Al arrugar el papel y repetir la

practica observamos que los tres cuerpos caen al tiempo. Al analizar detenidamente pareciera que la

esfera cae más rápido que los demás objetos pero, es muy mínima la diferencia que prácticamente se

generaliza diciendo que caen al tiempo. Estas diferencias se deben a la forma del cuerpo ya que si la

superficie del cuerpo es plana como en el caso del papel entonces obtendrá mayor resistencia con el

aire y cera mucho más lento pero, si tiene una superficie como la esfera entonces cortara el aire y

5 Para una mejor descripción revisar el anexo N° 1

tendrá menor resistencia, es decir caerá con mayor facilidad. Pero en general todos los cuerpos deben

caer, en condiciones ideales, al mismo tiempo sin tener en cuenta su forma, tamaño o masa.

Segunda Práctica.

Caída Libre. En esta práctica de caída libre se obtienen los siguientes datos: TABLA DE DATOS

altura = 1,55 m Registrador de tiempo a 40 Hz

tiempo en s caída en m tiempo en s caída en m tiempo en s caída en m

0,000 0,000 0,225 0,161 0,450 0,669

0,075 0,014 0,300 0,293 0,525 0,916

0,150 0,077 0,375 0,462 0,60 1,198

Seguidamente pasamos a graficar estos datos y obtenemos la siguiente gráfica:

Ahora linealizamos esta gráfica y obtenemos lo siguiente de lo cual sacamos la función posición.

A partir de esta grafica obtenemos la ecuación de posición

6 que es aproximada a P(t)=3,72t

2, para

hallar las funciones velocidad y aceleración basta con hallar la primera y segunda derivada a la

función posición, con ello obtenemos: V(t) = 7.45t y a(t) = 7,45. Para verificar todos estos datos y

procesos ver ANEXO N° 2. Como vemos la aceleración para este movimiento da un valor de 7,45

m/s2 pero que el verdadero valor debería estar próximo a 9,8 m/s

2 es decir que dando una diferencia

porcentual entre estos valor obtenemos que difieren en un 24%7, esta diferencia de porcentual se debe

a, primero; a la fricción que presenta la cinta con el registrador de tiempo y segundo; a que cada vez

que el registrador de un tic representa quitarle a velocidad a la cinta lo que tiene como consecuencia

un cambio en la aceleración.

Tercera Práctica.

Movimiento Semiparabólico. En la práctica de movimiento semiparabólico se obtienen los

siguientes datos8; La parte de la tabla en donde aparece tiempo es un caculo hecho por medio de

ecuaciones matemáticas, es decir, que tiempo es una medida indirecta9.

Tabla de Datos

Altura de la caída de la esfera es de 9,04 metros

dis . H. (m) caída (m) t (s) dis . H. (m) caída (m) t (s)

0,00 0,00 0,00 0,30 -0,23 2,16*10-1

0,05 -0,01 4,52*10-2 0,35 -0,32 2,56*10-1

0,10 -0,03 8,21*10-2 0,40 -0,40 2,86*10-1

0,15 -0,81 1,29*10-1 0,45 -0,51 3,23*10-1

0,20 -0,11 1,51*10-1 0,50 -0,60 3,51*10-1

0,25 -0,17 1,85*10-1 0,55 -0,72 3,82*10-1

6 Ver Anexo N° 2 7 Ibis

8 Los datos se han puesto precedidos con signo menos para cambiar el marco de referencia, es decir que ese signo no se tendrá en cuenta al

momento de operar con los datos.

9 Todo el proceso de esta práctica está plasmado en el anexo N° 3 es por ello que si cualquier duda favor revisar el anexo.

y = 3,3899x2 - 0,0372xR² = 1

-1

0

1

2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Datos Experimentales

Datos ExperimentalesLinea de Tendencia

y = 2,1175x + 1,3134R² = 0,9975

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

-3,00 -2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00

Log de Posición

Log de PosiciónLinea de Tendencia

Seguidamente graficamos para analizar el comportamiento de la esfera en semiparábola.

Ahora procedemos a las graficas de cada componente:

La grafica de posición x es una recta, por ello solo es hallar la pendiente y tenemos la función10

f(x)=139,44x pero, la grafica de posición en Y si necesita linealizar y esa es la siguiente:

Esta ultima grafica responde a la función f(x)=2x+1,59 y al seguir un proceso matemático y

relacionar esta ecuación con la grafica de posición en Y, llegamos a la función que representa dicha

grafica f(x)=4,9x2. Para hallar las velocidades y las aceleraciones de cada componente (es decir X y

Y) dividimos cada intervalo de distancia horizontal y de caída respectivamente en cada intervalo de

tiempo. Pero, si tendemos ese tiempo a cero equivale a derivar las funciones así que, derivando nos

quedan las siguientes respectivas funciones:

Tal como aparece en la tabla de derivadas la velocidad en

la horizontal es de 1,39 m/s pero, no hay aceleración.

Mientras que en la caída la velocidad 980 por el tiempo

(9,8t m/s) es decir la gravedad por el tiempo de caída, tal

como lo plantean las ecuaciones de cinemática. Y la

aceleración que es la gravedad o 9,8 m/s2.

10 Revisar anexo.

y = -2,0842x2 - 0,1671xR² = 0,9992

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Posición de la Esfera

Posición de la Esfera

y = 2x + 1,5892R² = 1

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

-3,50 -3,00 -2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00

Linealización de caida

Linealización de caidaLinea de Tendencia

TABLA DE FUNCIONES

Derivadas

Función x= 1,39t y= 4,9t2

Velocidad x'= 1,39 y'=9,8t

Aceleración x''= 0 y''=9,8

Análisis.

Primera Actividades: Vemos que en la caída de los cuerpos de la primera actividad lo que más

influyo es la forma del cuerpo. Es decir que entre más rozamiento tenga el cuerpo con el aire más

tardará en caer, que para este caso fue el papel ya que su superficie es mucho más amplia que la de la

esfera o el taco de madera. Esto sucede en condiciones no ideales ya que si se dejaran caer los

mismos tres cuerpos en un tupo de vacio sus velocidades y tiempos de caída serían los mismos. Sin

embargo cuando se arrugo el papel pareció que todos los tres cuerpo cayeron al mismo tiempo pero

esto solo se debe a que se dejaron caer una trayectoria pequeña.

Segunda Actividad: Como vemos la aceleración marca un valor muy bajo con respecto a los valores

estándar. Nuestra aceleración es igual a 7,45 m/s2, esto se debe a que la fricción que presentaba el

registrador y la cinta presentaba oposición a la aceleración. Por otro lado cada tic del registrador

ayuda a aminorar la velocidad y por ende la aceleración. A todo esto se le suma el error en las

medidas de la distancia entre los puntos marcados por el registrador en la cinta. Además encontramos

que este movimiento responde a una relación directa al cuadrado.

Tercera Actividad: Los datos para el movimiento en Y presentan un signo menos por conveniencia

para manejar los datos. Este signo solo indica la dirección de caída ya que nosotros tomamos

distancias de caída a partir de la altura máxima. Es de resaltar que las posiciones de cada componente

responden a ecuaciones paramétricas. Como vemos al tener cada componente del movimiento vemos

que la posición horizontal responde a una recta y por lo tanto decimos que hay una relación

directamente proporcional entre posición X y el tiempo t. Ahora bien la posición vertical responde a

una relación directa al cuadrado. Es decir la velocidad horizontal es constante y su aceleración es

cero, mientras que en la velocidad vertical es variable y la aceleración es igual a la gravedad. Además

de eso vemos que nos dio una gravedad de 9,8 m/s2 y esto se debe a que su cálculo fue de manera

indirecta y a partir de modelos matemáticos

Conclusiones.

- La relación entre distancia de caída de un cuerpo y su tiempo son directa proporcional al

cuadrado, igual vemos que su velocidad y el tiempo son directamente proporcionales,

mientras que la aceleración para cualquier cuerpo es constante, en condiciones ideales. En

condiciones no ideales hay que tener en cuenta la forma y tamaño del cuerpo por que así

mismo será su caída con respecto a tiempo.

- Dentro del proceso, se hallaron dos aceleraciones diferentes una obtenida con el registrador

de tiempo que es igual a 7,45 m/s2 y la otra a la implementación de modelos matemáticos, en

el movimiento semiparabólico. Con lo cual llegamos a hallar una aceleración de 9,8 m/s2 que

es la que se maneja como estándar, estos dos valores se deben a que uno es hallado de manera

experimental y el otro de forma indirecta respectivamente, es por ello que el de forma

indirecta es más confiable pues se previenen errores.

- Un proyectil en un movimiento parabólico se mueve en un plano bidimensional, una

dirección horizontal y una vertical estas a su vez se mueven con respecto a un parámetro, para

este caso el (tiempo). Y que para nuestro caso las ecuaciones paramétricas son las siguientes:

x=139,44t en la dirección horizontal y en la dirección vertical y= 4,9t2.

- Se evidencia que para el movimiento parabólico las distancias se dan en un mismo intervalo

de tiempo, donde distancia y tiempo se dan en proporción directa al cuadrado, donde la

velocidad y el tiempo manejan una relación directamente proporcional y la aceleración en

estos casos resulta ser constante, lo anterior dado en condiciones ideales y en dirección

vertical.

REFERENCIAS.

⁻ Guías entregadas para elaboración de prácticas.

⁻ Paul G. Hewitt. Física conceptual. Segunda edición.

⁻ http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_parab%C3%B3lico.

⁻ http://html.rincondelvago.com/caida-libre-de-cuerpos.html

⁻ http://cydnewton.blogspot.com/.

ANEXO N° 1

Registrador de tiempo: este es un aparato eléctrico, el cual consta de un punzador que es

programado para que titile varias veces en un determinado tiempo. Para esta ocasión se coloco a

titilar a 40 Hz por segundo, es decir que daba 40 punzadas por segundo. Este aparato se coloca de

forma que en el pase una cinta la cual tiene un cuerpo en la punta, a penas se suelte el cuerpo el

registrado comienza a marcar las distancias.

Cinta para registrador: sirve para que el registrador de tiempo haga marcas a medida que el cuerpo

cae. Esta es una cinta común que utilizan las cajas registradoras de supermercado solo que su ancho

en de aproximada un centímetro.

Regla: Es una regla de madera de un metro de longitud, es utilizada para medir la distancia marcada

por el registrador y la distancia de caída en el movimiento semiparabólico.

Una esfera: una esfera de acero que es utilizada tanto para la caída de cuerpos como para el

movimiento semiparabólico.

Una Rampa: Esta rampa es de madera con una zanja de su parte superior que es por donde va a

circular la esfera. Se utiliza para darle una velocidad inicial al movimiento semiparabólico.

Cinta blanca para la rampa: Esta cinta es igual a la del registrador solo que es más ancha, de

aproximadamente 5,5 centímetros. Se utiliza para registrar las caídas del cuerpo en movimiento

semiparabólico.

Papel carbón: Este debe ser igual de ancho a la cinta blanca para la rampa e igual de largo. Se utiliza

para que el cuerpo al caer deje las marcas en la cinta para la rampa, es decir que el papel carbón está

encima de la cinta y esta a su vez está encima de una regla para que se hagan las marcas.

Fotos de videncia en la realización de la práctica.

ANEXO N° 2

En la segunda práctica se obtuvieron los por medio del registrador de tiempo. Se puso el registrador

de tiempo a 40 Hz y luego se dejo caer la esfera que estaba pegada a la cinta que pasa por el

registrador. Se tomo la distancia cada tres tic o golpes del registrador y luego su equivalencia en

tiempo, es decir que equivale a tres veces uno sobre cuarenta (3(1/40)), de esta forma se obtuvo la

tabla de datos iniciales. Usamos Excel para operar y graficar todos nuestros datos.

Para linealizar nuestra grafica, utilizamos el análisis grafico. Primeramente sacamos logaritmo a cada

dato de la tabla de datos iniciales. Luego procedemos a graficar los nuevos datos. Nuestra gráfica de

datos iniciales nos da una curva por lo que decimos que f(x) = axn para linealizar hacemos lo

siguiente:

lnf(x) =ln (axn),

Lo que queda:

ln f(x) = ln a + ln xn

= ln f(x) =n lnx + ln a es de la forma canónica de una recta f(x)=mx+b

Con esta ecuación sacamos la función posición. Por esta última ecuación está determinada la última

grafica, es decir la de liberalización., Así que procedemos a hallar los valores a y n. la pendiente de la

recta de linealizacion es igual a n y su punto de intersección con las ordenadas es igual a ln a por lo

que para tener a a hacemos lo siguiente; eln a

= a y de esta forma encontramos nuestra función de

posición:

f(x) = axn.

Para hallar la diferencia porcentual solo basta dar a 9,8 m/s2 a calidad de un 100% y por regla de tres

hallar lo que equivale la aceleración de este movimiento.

Es decir que nuestra aceleración vale ?= 745/9,8 = 76% eso quiere decir que la

diferencia porcentual es 100% - 76% = 24%.

ANEXO N° 3

Para lo obtención de los datos nos valemos de la condición de que; “si un movimiento se repite bajo

las mismas condición, la trayectoria seguida por el móvil será la misma en todas las repeticiones.” Es

decir que para obtener los datos de la caída de la esfera dejamos que esta ruede por la rampa hasta

que pegue en una regla que tiene un papel carbón y una cinta entre el papel carbón y la regla, este

proceso lo repetimos las veces que sea necesario para así medir

las distancias de caída de la esfera, para mejor comprensión

visualizar la imagen N° 15. Es de resaltar que la regla se va

corriendo cada vez que se repite el proceso para tener varias

distancias de caída.

A partir de lo anterior se obtienen los datos iniciales.

El movimiento semiparabólico tiene dos componentes, uno vertical y uno horizontal. El tiempo para

la distancia horizontal es el mismo que para la distancia vertical, es por ello que para determinar el

tiempo usamos las distancias verticales debido a que su velocidad inicial es cero. Para ello utilizamos

la ecuación cinemática y = at2/2 lo que nos queda

con esto completamos nuestra tabla de

datos y procedemos a graficar cada componente en función del tiempo.

Ahora para linealizar nos valemos del proceso explicado en el anexo N° 2 pero, resulta que la

componente horizontal es un movimiento constante, por lo que nos da una recta y no necesita

linealización, para hallar su función basta con hallar la pendiente de la recta. La componente vertical

si es un movimiento variado por lo su gráfica es una curva y para hallar la función hay que aplicarle

un proceso de linealización o análisis gráfico11

.

Ahora para hallar las funciones de velocidad y aceleración para las componentes horizontales y

verticales basta con derivar cada función de posición. Así tenemos que al derivar la componente

horizontal solo va a dar velocidad porque su aceleración es cero debido a que su movimiento es

constante, es decir lineal. Pero, al derivar la componente vertical observamos que aquí si

encontramos una velocidad y aceleración, es decir que si cogemos la función posición vertical y la

derivamos encontramos la función velocidad, y si volvemos a derivar la función velocidad es decir la

segunda derivada de la función posición entonces encontramos la función aceleración que en este

caso va a ser una constante que es igual o aproximada a la gravedad (9,8 m/s2).

11 Ver anexo N° 2