Cal Culo

CÁLCULO DIFERENCIAL

Amaury Camargo y Favián Arenas A.

Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías

Departamento de Matemáticas

Cálculo Diferencial

UNIDAD 12. Funciones y modelos

2.1. Relaciones y funcionesLos pares ordenados de números reales desempeñan un papel importante en el estudio que seva a realizar.

De�nición .1 Si a y b son dos elementos de un conjunto, el par ordenado con primera compo-nente a y segunda componente b se simboliza por (a; b) y es por de�nición ffag ; fa; bgg : Estoes, (a; b) = ffag ; fa; bgg :Nota .1 Nótese que los pares ordenados (a; b) y (c; d) son iguales si y sólo si a = c y c = dDe�nición .2 El producto cartesiano de dos conjuntos A yB, que se notaA�B, es el conjuntode todos los pares ordenados (a; b) con a 2 A y b 2 B; esto es,

A�B = f(a; b) : a 2 A y b 2 Bg

De�nición .3 SeanX y Y dos conjuntos. R es una relación deX a Y ó deX en Y sí y sólo síR � X � Y . Si la pareja (x; y) está en R se escribe (x; y) 2 R, y se dice que x está relaciónpor R o según R, con y.De�nición .4 El dominio de R, que se denotaDR, es el conjunto de elementos deX que estanrelacionados por R con algún elemento de Y , esto es,

DR = fx 2 X : existe algún y 2 Y tal que (x; y) 2 R gDe�nición .5 El recorrido de R, que se denota RR, es el conjunto de elementos de Y queestán relacionados por R con algún elemento de X , es decir,

RR = fy 2 Y : existe algún x 2 X tal que (x; y) 2 R gDe�nición .6 Si X y Y son conjuntos de números reales, la gra�ca de una relación R de X aY es el conjunto de todos los puntos (x; y) del plano coordenado para los cuales (x; y) 2 R.

2.2. FuncionesDe�nición .7 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una relación deA en B que satisface la siguiente condición: Para todo elemento x de A existe un único elementoy en B tal que (x; y) 2 f:Esto signi�ca que:

i). Todo elemento x de A es la primera componente de alguna pareja de f:

ii). Si (x; y1) 2 f; y (x; y2) 2 f; entonces y1 = y2; es decir, en f no hay dos parejas distintascon la primera componente igual.

Arenas A. 6 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial

Prueba de la recta vertical: Una curva en el plano xy es la grá�ca de una función de xsi y sólo si ninguna recta vertical se interseca con la curva más de una vez.

Función No es función Función

2.2.1. Funciones seccionalmente continuas

La función del ejemplo siguiente está de�nida por fórmulas diferentes en diferentes partes desus dominios.

Ejemplo .1 Una función f se de�ne por8<:x2 � 1 if x � �11� x2 if �1 < x � 12x2 + 1 if 1 < x

Evalúe f(�5); f(0); f(5) y trace la grá�ca.Solución: Para esta función en particular, la regla es: primero se considera el valor de la entradax: Si sucede que x � �1; entonces f(x) = x2 � 1: Por otra parte, si x > 1; entonces f(x) =2x2 + 1:

Como � 5 � �1; se tiene que f(�5) = (�5)2 � 1 = 24Como � 1 < 0 � 1; se tiene que f(0) = 1� (0)2 = 1Como 5 > 1; se tiene que f(5) = 2(5)2 + 1 = 51

Figura 1



2.2.2. Simetría

Si una función f satisface f(�x) = f(x); para todo número x en su dominio, entonces f sedenomina función par. Por ejemplo, la función f(x) = x2 � 1 es par porque

f(�x) = (�x)2 � 1 = x2 � 1 = f(x)

Si una función f satisface f(�x) = �f(x); para todo número x en su dominio, entonces f sedenomina función impar. Por ejemplo, la función f(x) = x3 � x es impar porque

f(�x) = (�x)3 � (�x) = �x3 + x = ��x3 � x

�= �f(x)

El signi�cado geométrico de una función par es que su grá�ca es simétrica con respecto al ejey: (ver �gura 2a), mientras que el signi�cado geométrico de una función impar es que su grá�caes simétrica con respecto origen de coordenadas (ver �gura 2b)

Figura 2a Figura 2b

2.2.3. Funciones nuevas a partir de funciones antiguas:

Al resolver problemas de cálculo, encontrará que resulta útil familiarizarse con las grá�cas dealgunas funciones cuya presencia es frecuente. En esta sección clasi�caremos varios tiposde funciones y, enseguida , mostraremos cómo se les transforma por el desplazamiento, elalargamiento y la re�exión de sus grá�cas. También mostraremos cómo combinar pares defunciones por medio de operaciones aritméticas estandar o por composición.

2.2.4. Tipos de funciones:

Funciones constantes: La función constante f (x) = c tiene el dominio R y su rango elúnico valor c. Su grá�ca es una recta horizontal.

Funciones potencia: Una función de la forma f (x) = xa, donde a es una constante, sellama función potencia. Considaremos varios casos.

a = n, un entero positivo:



En la �gura que sigue, se muestran las grá�cas de f (x) = xn, para n = 1; 2; 3; 4 y 5. Yaconocemos la forma de las grá�cas de y = x (una recta que pasa por el origen con pendiente 1y y = x2 una parábola.).La forma general de la grá�ca f (x) = xn depende de si n es par o impar. Si n es par,entoncesf (x) = xn es una función par y su grá�ca es similar a la parábola y = x2. Si n es impar,entoces f (x) = xn es una función impar y su grá�ca es similar a la de y = x3. Sin embargo,observe la �gura y advierta que, conforme n crece, la gra�ca de y = xn se vuelve más planacerca de 0 y más empinada cuando jxj � 1. Si x es pequeña, entonces x2 es más pequeña, x3incluso es más pequeña, x4 todavía es más pequeña y así sucesivamente.

y = x y = x2 y = x3 y = x4 y = x5

a = �1:

En la �gura siguiente se muestra la grá�ca de la función reciproca f (x) = x�1 = 1x. Su grá�ca

tiene la ecuación y =1

x, o bien, xy = 1. Es una hipérbola equilátera con los ejes de coordenadas

como asíntotas.

a =1

n, n un entero positivo:

La función f (x) = x 1n = n

px es una función raíz. Para n = 2, es la función raíz cuadrada

f (x) =px, cuyo dominio es [0;1) y cuya gra�ca es la mitad superior de la parábola x =

y2 [ver �g]. Para otros valores pares de n, la grá�ca de y = npx es similar a la de y =

px. Para

n = 3, tenemos la función raíz cubica f (x) = 3px, cuyo dominio es R (recuérdese que todo

número real tiene una raíz cubica y cuya grá�ca se muestra a continuación. La grá�ca de y =npx para n es impar (n > 3) es similar a la de y = 3

px.



y =px y = 3

px

Polinomios: Una función P recibe el nombre de polinomio si

P (x) = axxn + an�1x

n�1 + �� + a2x2 + a1x+ a0

donde n es un cociente es un entero no negativop y los números a0;a1;a2; ::::::; an son constantesllamadas coe�cientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es R = (�1;1). Siel primer coe�ciente an 6= 0, entonces el grado del polinomio es n. Por ejemplo, la función

P (x) = 2x6 � x4 + 25x3 +

p2

es un plinomio de grado 6 (o sexto grado).Un polinomio de primer grado es de la forma P (x) = ax + b y se llama función lineal porquesu grá�ca es la recta y = ax+ b (pendiente a, ordenada al origen b). Un rasgo característico delas funciones lineales es que crecen con una razón constante. Por ejemplo, en la �gura siguientese muestra una grá�ca de la función lineal f (x) = 2x+1 y una tabla de valores muestras. Noteque, siempre que x se incrementa en 1, el valor de y = f (x) aumenta en 2. Por tanto, f (x)crece dos veces más rapido que x. De este modo, la pendiente de la grá�ca y = 2x+1, a saber,2, se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a x:

x -2 -1 0 1 2y = f(x) -3 -1 1 3 5

Un polinomio de segundo grado es de al forma P (x) = ax2 + bc + c y se llama funcióncuadrática. La grá�ca de P siempre es la parábola que se obtiene desplazando la parábolay = ax2. Un polinomio de la forma

P (x) = ax2 + bc+ cx+ d



se llama función cúbica. A continuación se muestra la grá�ca de una función cúbica, en la partea, y las grá�cas de polinomios de cuarto y quinto grado en las partes b y c.

y = x3 (a) y = x4 (b) y = x5 (c)

Comúnmente, los polinomios se usan para modelar diversas cantidades que se presentan enlas ciencias naturales y sociales. Más adelante, explicaremos por qué los economistas usan amenudo un polinomio P (x) para representar el costo de producir x unidades de un artículo.

Funciones racionales: Una Funcion racional f es una razón de dos polinomios.

f (x) =P (x)

Q (x)

donde P y Q son polinomios. El dominio consta de todos los valores de x tales que Q (x) 6= 0.Por ejemplo, la función

f (x) =2x� x2 + 1x2 � 4

y = f(x)

es una función racional con dominio fx j x 6= �2g. En la �gura anterior se muestra su gra�ca.

Funciones algebraicas:Una función f recibe el nombre de Función algebraica sí puedeconstruirse usando operaciones algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, división



y extracción de raíz) a partir de polinomios. Automáticamente, cualquier función racionales una función algebraica. Aquí se tienen dos ejemplos más:

f (x) =px2 + 1

g (x) =x4 � 16x2xpx

+ (x� 2) 3px+ 1

Cuando tracemos las grá�cas de las funciones algebraicas, veremos que esas grá�cas puedentomar diversas formas.

Funciones trigonométricas:En cálculo, la convención es usar la medida radián (exceptocuando se indica lo contrario). Por ejemplo, cuando utilizamos la función f (x) = sin x,se entiende que sin x signi�ca el seno del ángulo cuya madida en radianes es x. De estemodo, las grá�cas de las funciones seno y coseno son como las que muestran en la �guraSiguiente.

Sen(x) Cos(x)

Nota .2 Nótese que tanto para la función seno como para la coseno, el dominio es (�1;1) yel rango es el intervalo cerrado[�1; 1]. Por tanto, para todos los valores de x, tenemos

�1 � sin x � 1 � 1 cos x � 1

Asímismo, los ceros de la función senose tienen en los multiplos enteros de �, es decir,

sin(x) = 0 cuando x = n� n un entero

Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son periodicas y tienen unperiodo 2�. Esto signi�ca que, para todos los valores de x,

sin (x+ 2�) = sin x cos (x+ 2�) = cos x

La naturaleza periódica de estas funciones las hace apropiadas para modelar fenómenos repeti-tivos, como mareas, resortes vibrantes y las ondas sonoras. La función tangente esta relacionadacon las funciones seno y coseno por la ecuación



tan x =sin x

cos x

y su grá�ca no está de�nida cuando cos x = 0, es decir, cuando x = ��2;�3�

2; :::Su rango es

(�1;1).

y = tan x

Note que la función tangente tiene período �.Las tres funciones trigonometricas restantes(cosecante, secante y cotangente) son las recíprocasde las funciones seno, coseno y tangente.

Funciones exponenciales: Son las funciones de la forma f (x) = ax, donde la base a esuna constante positiva. En la �gura que sigue se presentan las grá�cas de y = 2x ; y =2�x y y = �2x. En los dos casos, el dominio es (�1;1) y el rango es (0;1).

2x 2�x �2x

Funciones logarítmicas: Son las funciones f (x) = loga x, donde la base a es una con-stante positiva. Son las funciones inversas de las funciones exponenciales y se estudiaranen la otra sección En la �gura siguiente se encuentran las grá�cas de cuatro funcioneslogarítmicas con diversas bases. En cada caso, el dominio es (0;1), y el rango (�1;1)



y la función crece con lentitud cuando x > 1.

Funciones trascendentes: Se trata de las funciones que no son algebraicas. El conjuntode las funciones trascendentes incluye las trigonométricas, las trigonométricas inversas,las exponenciales y las logarítmicas., así como un vasto número de otras funciones quenunca han sido nombradas.

2.2.5. Transformación de funciones:

Al aplicar ciertas transformaciones a la gra�ca de una función dada podemos obtener las gra�casde ciertas funciones relacionadas y, de este modo, reducir el trabajo al trazar esas gra�cas. Enprimer lugar, consideraremos las traslaciones. Si c es un número positivo, entonces la gra�cade y = f (x) + c es precisamente la de y = f (x) desplazada hacia arriba una distancia de cunidades(debido a que cada coordenada y se incrementa el mismo número c). Del mismo modo, si g (x) = f (x� c), donde c > 0, entonces el valor de g en x es el mismo que el valor de f enx� c(c unidades a la izquierda de x). Por lo tanto, la gra�ca de y = f (x� c) es precisamentela de y = f (x) desplazada c unidades a la derecha(véase la �g. 14)

Desplazamientos verticales y horizontales: Supóngase que c > 0. Para obtener la gra�cade

1. y = f(x)+c, se desplaza la gra�ca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia arriba.

2. y = f(x)� c, se desplaza la gra�ca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia abajo.

3. y = f (x� c), se desplaza la gra�ca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia laderecha.

4. y = f (x+ c), se desplaza la gra�ca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia laizquierda.



y =px y =

px� 2 y =

px� 2 y = �

px y =

p�x

Consideremos ahora las transformaciones de alargamiento y re�exión. Si c > 1, entonces lagra�ca de y = cf (x) es la de y = f (x) alargada al factor de c en la dirección vertical(porquecada coordenadad y se multiplica por el mismo número c ). La gra�ca de y = �f (x) es la dey = f (x) re�ejada respecto al eje x, porque el punto (x;�y) remplaza al punto (x; y). (Véasela lista y la �gura a continuación, donde también se dan los resultados de otras transformacionesde alargamiento, comprensión y re�exión).

Alargamientos y re�exiones verticales y horizontales: Supóngase que c > 1. Para obtenerla gra�ca de

1. y = cf(x), alárguese la gra�ca de y = f (x) verticalmente en un factor de c.

2. y =�1c

�f(x), comprímase la gra�ca de y = f (x) verticalmente en un factor de c

3. y = f (cx), comprímase la gra�ca de y = f (x) horizontalmente en un factor de c.

4. y = f�xc

�, alárguese la gra�ca de y = f (x) horizontalmente en un factor de c.

5. y = �f (x), re�éjese la gra�ca de y = f (x) respecto al eje x.

6. y = f (�x), re�éjese la gra�ca de y = f (x) respecto al eje y.



Funciones exponenciales

La función f (x) = 2x se llama función exponencial porque la variable, x, es el exponente.No debe confundirse con la función ppotencia g (x) = x2, en la cual la variable es la base. Engeneral, una función exponencial es una función de la forma

f (x) = ax

donde a es una constante positiva. Recordemos qué signi�ca esto. Si x = n, un entero positivo,entonces

an =a � a � � � � � an factores

Si x = 0, entonces a0 = 1 y, si x = n, donde n es un entero positivo, entonces

a�n =1

an

Si x es un número racional, x = pq, donde p y q son enteros y q > 0, entonces

ad = apq = q

pap

En la �gura 3 se presentan las gra�cas de los miembros de la familia de funciones y = ax paravarios valores de la base a. Note que todas estas gra�cas pasan por el mismo punto (0;1) porquea0 = 1 para a 6= 0. Note también que a medida que la base a se vuelve más grande, la funciónexponencial crece con mayor rapidez (para x > 0)

Leyes de los exponentes:

Si a y b son números positivos y x y y son cualesquieras números reales, entonces

1. ax+y = ax + ay

2. ax�y = ax

ay

3. (ax)y = axy

4. (ab)x = axbx

Ejemplo .2 Gra�que la funcion y = 3� 2x y determine su dominio y su rango.

Solución: En primer lugar, re�ejamos la grá�ca de y = 2x (�g. a) respecto al eje x, para obtenerla grá�ca de y = �2x �gura b. Luego, desplacemos la �gura de y = �2x tres unidades haciaarriba para obtener la gra�ca de y = 3� 2x �gura c. El dominio es R y el rango es (�1; 3).



Fig. (a) Fig. (b) Fig. (c)

Ejemplo .3 La vida maedia del estroncio 90, 90Sr, es de 25 años. Esto signi�ca que la mitadde cualquier cantidad dada de 90Sr se desintegrará en 25 años.

Si una muestra de 90Sr tiene una masa de 24 mg, encuentre una expresión para la masam(t) que queda despues de t años.

Encuentre la masa restante después de 40 años, correcta hasta el miligramo más cercano.

Use un gra�cador para trazar la gra�ca de m(t) y utilice está última a �n de estimar eltiempo requerido para que la masa se reduzca hasta 5 mg.

Solución: En un inicio la masa de 24 mg y se reduce a la mitad durante cada 25 años, por tanto

m (0) = 24

m (25) =1

2(24)

m (50) =1

2� 12(24) =

1

22(24)

m (75) =1

2� 122(24) =

1

23(24)

m (100) =1

2� 123(24) =

1

24(24)

Con la base en este patrón, parece que la masa restante despues de t años es:

m (t) =1

2t25

(24) = 24 � 2�t25

Esto es una función exponencial con base a = 2�125 = 1

2125:

La masa que queda después de los 40 años es

m (40) = 24 � 2�4025 � 7;9mg



Usamos una calculadora gra�cadora o una computadora para trazar la grá�ca de la fun-ción m (t) = 24 � 2�t25 . También trazamos la grá�ca de la recta m = 5 y utilizamos elcursor para estimar que m(t) = 5 cuando t � 57. Por tanto, la masa de la muestra dereducirá hasta 5mg después de alrededor de 57 años.

m(t) = 24(2�t25 )

El número e

De todas las bases posibles para una función exponencial existe una que es la más convenientepara los �nes del cálculo, se trata del número irracional e = 2;71828::.

Ejemplo .4 Gra�que la función y = 12e�x � 1 y dé el dominio y el rango.

y = ex y = 12e�x y = 1

2e�x � 1

Solución: Partimos de la grá�ca de y = ex, y la re�ejamos respecto al eje y para obtener lagra�ca de y = e�x, (Nótese que la grá�ca cruza el eje y con una pendiente m = �1 ) Luego,comprimimos, verticalmente la grá�ca, un factor de 2 para obtener la gra�ca de y = 1

2e�x . Por

último, la desplazamos hacia abajo una unidad para lograr la grá�ca deseada; el dominio es Ry el rango es (�1;1).

Funciones inversas y logarítmicas

De�nición .8 Se dice que una función f es una función uno a uno si nunca toma el mismovalor dos veces; es decir,



f (x1) 6= f (x2) siempre que x1 6= x2

Prueba de la recta horizontal: Una función es uno a uno si sólo si ninguna recta hori-zontal interseca su gra�ca más de una vez.

No es 1-1 Es 1-1 No es 1-1

De�nición .9 : Sea f una función uno a uno, con dominio A y rango B. Entonces su funcióninversa f�1 tiene dominio B y rango A y la de�ne

f�1 (y) = x () f (x) = y (1)

para cualquier y en B.Esta de�nición expresa que si f mapea x en y, entonces f�1 mapea y de regreso a x. (Si f nofuera uno a uno, entonces f�1 no estaría de�nida de manera única). Note que

dominio de f�1 = rango de frango de f = dominio de f�1

Tradicionalmente, la letra x se usa la como variable independiente, de modo que cuando nosconcentramos en f�1, en lugar de f ,solemos invertir los papeles de x y y en la ecuación (1) yescribimos

f�1 (x) = y () f (y) = x (2)

Si en la misma ecuación (1) se sustituye y, así como en (2), se obtienen las siguientes ecuacionesde cancelación:

f�1(f (x)) = x para toda x en Af(f�1 (x)) = x para toda x en B

Cómo hallar la función inversa de una función f uno a uno



Paso 1: Escribimos y = f (x)Paso 2: Resolvemos esta ecuación para x en terminos de y (si es posible)Paso 3: Para expresar f�1 como función de x, intercambiamos x y y. La ecuación resultante esy = f�1 (x)

Ejemplo .5 Encuentre la función inversa de f (x) = x3 + 2.

Solución: Primero escribimosy = x3 + 2:

Luego resolvemos esta ecuación para x:

x3 = y � 2x = 3

py � 2

Por último, intercambiamos x y y:y = 3

px� 2

Por lo tanto, la función inversa es:

f�1 (x) = 3px� 2

f(x) = x3 + 2 f�1(x) = 3px� 2 f(x) y f�1(x)

El principio de intercambiar x y y a �n de hallar la función inversa también nos proporcionael método para obtener la grá�ca de f�1, a partir de la de f . Dado que f (a) = b si sólo sif (b) = a, el punto (a; b) está en la grá�ca de f�1. Pero obtenemos el punto (a; b) por re�exiónrespecto de la recta y = x (�g. 8).Por lo tanto, como se ilustra en la �gura siguiente:

Se obtiene la gra�ca de f�1 al re�ejar la gra�ca de f respecto a la recta y = x.

Ejemplo .6 Trace la gra�ca de f (x) =p�1� x y de su función inversa, usando los mismos

ejes de coordenadas.



Solución: Primeo gra�camos la curva y =p�1� x (La mitad superior de la parábola y2 =

�1 � x, o bien, x = �y2 � 1) y luego la re�ejamos respecto a la recta y = x para lograr lagrá�ca de f�1(�g. 10). Como comprobación de la gra�ca, note que la expresión para f�1 esf�1 (x) = �x2 � 1; x > 0. De modo que la gra�ca de f�1 es la mitad derecha de la parábolay = �x2 � 1 y, a partir de la �gura , esto parece razonable.

f(x) =p�1� x f�1(x) = �x2 � 1 f(x) y f�1(x)

Funciones logarítmicas

Si a > 0 y a 6= 1, la función exponencial f (x) = ax está creciendo o decreciendo y, por tanto,es uno a uno. Por consiguiente, tiene una función inversa f�1, la cual se conoce como funciónlogaritmica con base a y se denota con loga. Si usamos la formulación de función inversa queda ,

f�1 (x) = y () f (y) = x

entonces tenemosloga x = y () ay = x

Por tanto, si a > 0, entonces loga x es el exponente al que debe elvarse la base para a para darx. Por ejemplo, log10 0;001 = �3, porque 10�3 = 0;001. Cuando las ecuaciones de cancelaciónse aplican a f (x) = ax y f�1 (x) = loga x, quedan como

loga(x) = x para toda x 2 Raloga = x para toda x > 0

La función logarítmica loga tiene dominio (0;1) y rango R. Su gra�ca es la re�exión de lagra�ca de y = ax respècto a la recta y = x.En la �gura se muestra el caso en dondea > 1(Las funciones logarítimicas más importantestienen base a > 1). El hecho de que y = ax sea una función que aumenta con mucha rapidezpara x > 0 se re�eja en que y = loga x es una función que aumenta con mucha lentitud parax > 1.

Leyes de los logaritmos: Si x y y son números positivos, entonces:



1. loga (xy) = loga x+ loga y

2. loga

�xy

�= loga x� loga y

3. loga (xr) = r loga x (en donde r es cualquier número real)

Logaritmos naturales

De todas las bases a para los logaritmos, veremos que la elección más conveniente de una basees el número e, el cual ya se de�nió anteriormente. El logaritmo con base e se conoce comologaritmo natural y tiene una notación especial:

loge x = ln x

Si en las ecuaciones anteriores ponemos a = e y loge = ln, entonces las propiedades dede�nición de la función logaritmo natural quedan

lnx = y () ey = x

ln (ex) = x x 2 Relnx = x x > 0

En particular, si se hace x = 1, obtenemos

ln e = 1


Cal Culo

Documents

Transcript of Cal Culo