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CALCULO

MOO PECHEDWARD

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El área entre dos curvas

  En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas. 

El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f  y g  , encontrar el área contenidaentre sus gráficas en el intervalo [a,b] . 

Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo. 

 f(x)= 3x3 - x2 - 10x g(x)= - x2 + 2x

 

tili!aremos el mismo procedimiento "ue se usó para encontrar el área bajo unacurva. #e apro$imará el área entre las dos curvas %aciendo una partición del intervalo[a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor

 particular de x, al "ue llamaremos x*. 

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&. Evaluamos f(x*) y  g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n yde altura f(x*)-g(x*) 'si f(x*)>g(x*)(. 

). El área de dic%o rectángulo es ' f(x*)-g(x*)('(b-a)/n(. *l sumar lasáreas de los rectángulos obtenemos una apro$imación al valor delárea entre las curvas. 

+. omando el l-mite cuando n--->Infinito obtendremos el valore$acto del área buscada. 

. Por definición, el l-mite de la sumatoria de /iemann es la integraldefinida de f(x)-g(x) en [a,b]. 

0. #i g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los

rectángulos es g(x*)-f(x*). 

En cualquier caso la altura de los rectángulos es | f-g | (valor absoluto de la

diferencia). 

Definición de área entre dos gráficas: 

El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo[a,b] está dado por el valor de la 1ntegral Definida de 2 f-g 2en [a,b]. 

Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas. 

Dentro del intervalo '3),)(, las curvas: y=2(1-x2 ) y  y=x2-1 

se intersectan en x = -1, 1. 

 f(x)=2(1 - x2 ) ; g(x)=x2-1 

El área entre las curvas en cadasubintervalo es: {4, 4, 4} 

4ada una de estas áreas tiene "ue sercalculada por separado. 

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El área total entre las curvas es:4 + 4 + 4 = 12 

Dentro del intervalo '3&,&.0(, lascurvas:

 y = -x2/3+1 y  y = x2/3 se intersectan en x = 1. 

 f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1 

El área entre las curvas en cadasubintervalo es: {1.6, 0.1!6"} 

4ada una de estas áreas tiene "ueser calculada por separado. 

El área total entre las curvas es:

1.6 + 0.1!6" = 1."!6" 

 

Otros métodos: Rectángulos horizontales.

  El procedimiento anterior depende de "ue, en cada intervalo de integración, la curva5de arriba5 es la misma y la curva 5de abajo5 tambi6n. * continuación se muestra unasituación en donde esto no se cumple. 7bserva las siguientes gráficas. 

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7bserva "ue en el intervalo [-1,3] no se cumple "ue la curva 5de arriba5 sea la misma.En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras "ue en [2,3] la curva de arriba es y=(3-

 x)1/2

. 

En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo %ori!ontal de base # 2 - # 1 y de altura y. 

 # 2 es elvalor de x dado por la curva de la derec%a ' x=3-y2( y # 1 es el valor de x dado por la curva de la i!"uierda ' x=y+1(. En esta situación la curva de la derec%a siempre esla misma y la curva de la i!"uierda tambi6n es la misma para todos los rectángulos

%ori!ontales desde y=-2 %asta y=1. 

 y=1

Entonces el área entre las curvas es igual a [3 - y2 - (y+1)] $y y=-2

 

#i integramos con respecto a 5y5 la diferencia (3-y2 ) - (y+1) entre y=-2 %asta y=1,entonces encontramos "ue: 

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%

 &'a nt' a 'a =

2

 

 Nota  'oba ant'io' $o ab' i$o 'to on 'tngo

'tia (intg'ain on 'to a 5x5) 'o bi'ao tni$o 7aa' 'a n $o a't. 8'i'o n 9-1,2: y go  

Área Entre Curvas

 

3.2.1 Introducción

3.2.2 El Área entre una curva y el eje X

3.2.3 El Área entre dos curvas

 

2.3.1 Introducción

 

/ecordemos "ue el desarrollo del 4álculo 1ntegral se originó en parte para calcular elárea bajo una curva.

El cálculo de áreas entre una curva dada por y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] nosllevó a definir una sumatoria de /iemann y el área entre la curva y el eje %ori!ontal secalculó tomando el l-mite de la suma de /iemann cuando n---> . odo esto fue para

 f(x)>0 en [a,b]. 

En este cuaderno generali!aremos el procedimiento para calcular áreas.

El área entre una curva y el eje x 

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#ea f(x) 0 en el intervalo [a,b]. Entonces la altura del  36simo rectángulo es f(x  ) y el

área bajo la curva es igual al valor de la 1ntegral Definida de f(x) desde a %asta b.

7bserva la siguiente gráfica. 

8alor de la integral

definida 9 .;

<rea entre la curva y

el eje %ori!ontal 9 .;

El caso en que f(x)<0 en el intervalo [a,b] 

#i f(x)<0 en [a,b] la situación cambia. En este caso la altura del rectángulo es elnegativo del n=mero  f(x), puesto "ue el área del rectángulo 'y cual"uier área( debe ser

 positiva. 

7bserva la siguiente gráfica. 

8alor de la integral

definida 9 3.;

>?E@*187A

<rea entre la curva y

el eje %ori!ontal 9 .;

 

4omo %emos visto, el área entre la curva y el eje $ no siempre es lo mismo "ue laintegral definida. Depende de si f >0 o si f<0 en el intervalo de inter6s. Enseguida

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definiremos de una ve! por todas el área entre la gráfica de y=f(x) y el eje x en unintervalo dado. 

Defnición de área: 

ea f(x) c!ntinua en [a,b]" E# área entre #a $ráfca de y=f(x) % e# e&e ' en e# interva#! [a,b] se defne c!(! #ainte$ra# defnida en [a,b] de# va#!r a)s!#ut! de f(x)" 

En el siguiente ejemplo verás el cálculo del área entre una curva y el eje x. 

Dentro del intervalo

'0,1.(, las curvas:

 y = 1 - x3 y y = 0 

se intersectan en x = 1.

 f(x)= 1 - x3 ; g(x)= 0 

El área entre las curvas

en cada subintervalo es:

{0.", 0.162}

4ada una de estas áreas tiene "ue ser calculada por separado. 

El área total entre las curvas es: 0." + 0.162 = 1.2663

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función "ue está situada por encima menos el área de la función "ue está situada por debajo.

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Ejemplos&. 4alcular el área del recinto limitado por la parábola y 9 $) B ) y la recta "ue pasa porlos puntos 'C&, ;( y '&, (.

). allar el área de la figura limitada por: y 9 $), y 9 $, $ 9 ;, $ 9 ).

Puntos de corte de la parábola y la recta y 9 $.

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De $ 9 ; a $ 9 &, la recta "ueda por encima de la parábola.

De $ 9 & a $ 9 ), la recta "ueda por debajo de la parábola.

+. allar el área de la región del plano limitada por las curvas y 9 ln $, y 9 ) y los ejescoordenados.

4alculamos el punto de corte de la curva y la recta y 9 ).

El área es igual al área del rectángulo 7*4 menos el área bajo la curva y 9 ln $.

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El área de rectángulo es base por altura.

El área bajo la curva y 9 ln $ es:

. allar el área del recinto plano y limitado por la parábola y 9 $ C $) y las tangentes

a la curva en los puntos de intersección con el eje 7F.

Puntos de intersección:

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto ';, ;(:

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto ', ;(:

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0. 4alcular el área limitada por las gráficas de las funciones y) 9 $ e y 9 $).

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