Mejor respuesta:  Si dibujas un círculo que represente a la esfera, el cilindro de su interior sería un rectángulo. Si trazas una línea horizontal y otra vertical por el centro de la figura, el rectángulo queda dividido en otros 4 rectángulos iguales. Toma uno de ellos y traza su diagonal desde el centro del círculo. Para los cálculos observaremos uno de los triángulos rectángulos en que ha quedado dividido finalmente el rectángulo pequeño: 

hipotenusa = R = radio de la esfera cateto horizontal = y = radio de la base del cilindro cateto vertical = x = mitad de la altura del cilindro 

Volumen del cilindro = Area de la base por altura: 

V = (π·y²) · (2x) = 2π·x·y² 

...para dejar una sola variable utilizamos Pitágoras en el triángulo del dibujo 

R² = y² + x² ==> y² = R² - x² 

...sustituimos en la función del volumen 

V = 2π·x·(R² - x²) = 2πR²·x - 2π·x³ 

...derivamos la función 

V ' = 2πR² - 6π·x² 

...y la igualamos a cero para localizar los posibles máximos o mínimos 

2πR² - 6π·x² = 0 ==> x² = 2πR²/(6π) = R²/3 

x = R/√3 

...con la ecuación de Pitágoras anterior calculamos "y" 

y² = R² - x² = R² - R²/3 = 2R²/3 

y = R·√(2/3) 

como x era la mitad de la altura del cilindro entonces sus dimensiones son: 

>>> Altura = 2x = R·2/√3 >>> Radio de la base = y = R·√(2/3) 

NOTA: habría que demostrar que se trata realmente de un volumen máximo y no mínimo, pero como sólo se ha obtenido un valor de x, y dada la geometría del problema, está claro que es un máximo (el mínimo sería un puntito en el centro de la esfera). De todas formas para verificar que es un máximo hay que comprobar que la derivada segunda es negativa para ese valor de "x": ...derivada segunda V " = - 12π·x ...y para x = R/√3 V " = -12π·R/√3 , que es negativo como se suponía 

Bye.Krayo · hace 7 años

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Sea: V = volumen del cilindro S = superficie de la base del cilindro r = radio de la base del cilindro h = altura del cilindro R = radio de la esfera 

Como sabemos, el volumen de un cilindro está dado por la expresión: V = S*h = pi*r^2*h 

El problema es de optimización porque al estar el cilindro inscripto en una esfera, a medida que aumenta la altura disminuye el radio y viceversa. Dicho esto, la solución consiste en expresar ese par de variables "r" y "h", en función de una variable única que será el ángulo alfa que definiremos mas adelante. Dado que no es posible graficar acá, te ruego imaginar (y eventualmente dibujar) lo siguiente para poder seguir la explicación: 

Imaginemos una cilindro cualquiera inscripto en una esfera en posición vertical. Cortemos la esfera con un plano vertical que pase por el centro de la misma. La intersección será una circunferencia sobre ese plano, en la cual aparecerá inscripto un rectángulo que corresponderá a la sección vertical máxima del cilindro. Observemos el primer cuadrante de esa circunferencia. Llamemos "c" al centro de la circunferencia, que en el espacio corresponde al centro de la esfera. Trazemos por ese centro: un radio vertical, otro horizontal y un tercero hasta el punto común entre la circunferencia y el rectángulo. Llamemos "a" al punto del primer cuadrante que es común al rectángulo y a la circunferencia. Llamemos "b" al punto donde el lado superior del rectángulo, corta al radio vertical de la circunferencia. Llamemos "d" al punto donde al lado vertical del rectángulo corta al radio horizontal de la circunferencia. El segmento c-a, corresponde en el espacio al radio de la esfera. El segmento c-d corresponde en el espacio al radio del cilindro. El segmento a-d corresponde en el espacio a la mitad de la altura del cilindro. Por último llamemos alfa al ángulo que forma el segmento c-a con la horizontal. 

Ahora podemos plantear: 1) V = pi*r^2*h 2) sen alfa* = (h/2)/R --> h = 2*R*sen alfa 3) cos alfa = r/R --> r = R*cos alfa 

Reemplazando 2) y 3) en 1) resulta: V = pi*(R*cos alfa)^2*(2*R*sen alfa) Simplificando: 4) V = 2 * p i* R^3 * (cos alfa)^2 * sen alfa 

Ahora que tenemos expresado el volumen del cilindro en función de la única variable alfa, estamos en

condiciones de averiguar cual es el valor de alfa que lo hace máximo. 

Para ello derivamos V respecto de alfa. Se obtiene: V' = 2 * p i* R^3 * ( - 2*cos alfa*(sen alfa)^2 + (cos alfa)^3) Igualando la derivada a cero y operando: 2 * p i* R^3 * ( - 2*cos alfa*(sen alfa)^2 + (cos alfa)^3) = 0 ( - 2*cos alfa*(sen alfa)^2 + (cos alfa)^3) = 0 2*cos alfa*(sen alfa)^2 = (cos alfa)^3 (sen alfa)^2 / (cos alfa)^2 = 1/2 (tg alfa)^2 = 1/2 tg alfa = 1 / (2)^1/2 

Calculando arctag alfa, y sacando su seno y coseno podemos ahora calcular el volumen máximo reemplazando en la ecuación 4). Sin embargo para evitar aproximaciones, podemos aprovechar ciertas relaciones trigonómetricas para calcular el seno y coseno sin calcular previamente alfa. Veamos: 

Dado que tg alfa = 1 / (2)^1/2 --> sen alfa / cos alfa = 1 / (2)^1/2 Lo cual significa que hay una constante "k", tal que:: sen alfa = k * 1 cos alfa = k * (2)^1/2 Como además sabemos que siempre: (sen alfa)^2 + (cos alfa)^2 = 1 Reemplazando: (k * 1)^2 + (k * (2)^1/2)^2 = 1 Simplificando: k^2 + 2*k^2 = 1 k^2 = 1/3 k = (1/3)^1/2 Por lo tanto, reemplazando: sen alfa = (1/3)^1/2 cos alfa = (1/3)^1/2 * (2)^1/2 = (2/3)^1/2 

Como según 2): h = 2*R*sen alfa Resulta: h = 2*R*(1/3)^1/2 

Como según 3): r = R*cos alfa Resulta: r = R*(2/3)^1/2 

Finalmente reemplazando en 4) se obtiene: V = 2 * p i* R^3 * ((2/3)^1/2)^2 * (1/3)^1/2 Simplificando: V = 2 * p i* R^3 * (2/3) / 3^1/2 V = 4/3 * p i* R^3 / 3^1/2 Multiplicando y dividiendo por 3^1/2 V = (4/9)*(3^1/2)*pi*R^3 

Las falta de herramientas adecuadas para dibujar y desarrollar aquí razonamientos matemáticos, complica la explicación, pero de todos modos preferí tratar de dar el razonamiento completo. Espero que lo puedas entender, pero quedo a tu disposición para cualquier aclaración que fuere necesaria