DerivadaGreat Sand Dunes National Monument, Colorado

0

limh

f a h f a

h

f a

Escribimos:

0limh

f x h f xf x

h

“La derivada de f con respecto a x…”

Existen muchas maneras de escribir la derivada de y f x

Se llama la derivada de en

f x “f prima x” o “la derivada de f con respecto a

x”

y “y prima”

dy

dx“de ye sobre de equis” or

“La derivada de y

con respecto a x”

df

dx“de efe de equis” or “la derivada de f con

respecto a x”

d

f xdx

“de de equis de efe de equis” or “la derivada de

f de x”( of of )d dx f x

dx no significa d veces x !

dy no significa d veces y !

dy

dxno significa !dy dx

(excepto cuando es conveniente pensar en ella como la división.)

df

dxno significa !df dx

(excepto cuando es conveniente pensar en ella como la división)

d

f xdx

no significa veces !d

dx f x

(excepto cuando es conveniente pensar en ella como la división)

Más adelante, todo se comenzará a aclarar.

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

y f x

-2

-1

0

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

y f x

La derivada es la

pendiente (m) de

la función f(x) La derivada está definida en los puntos

extremos de una función en un intervalo cerrado.

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 1 2 3x

2 3y x

2 2

0

3 3limh

x h xy

h

2 2 2

0

2limh

x xh h xy

h

2y x -6

-5

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 1 2 3x

0lim2h

y x h

0

Una función es diferenciable si tiene una

derivada en todas partes de su dominio.

Debe ser continua y suave.

Funciones en intervalos cerrados deben

tener un solo lado derivadas definidas en

los puntos extremos.

p

Para ser diferenciable, la función debe ser continua y

suave.

Las Derivadas de estas funciones no existen:

Esquina Cúspide

Tangente Vertical Discontinua

f x x 2

3f x x

3f x x

1, 0

1, 0

xf x

x

La mayoría de las funciones que estudiaremos en cálculo

serán diferenciables.

Teorema:

Si f tiene una derivada en x = a, entonces f es continua en x = a.

Puesto que la función debe ser continua para ser

derivada, entonces, si tiene una derivada debe ser

continua.

1

2f a

3f b

Teorema para valor intermedio para la derivada

Entre a y b, evaluando toma

los valores de y .

f 1

23

Si a y b son puntos en un intervalo en el que f es

diferenciable, entonces se puede evaluar en cada uno

de los dos valores y .

f

f a f b

p