Calculemus. El sueño de Leibniz

CALCULEMUS

El Sueño de Leibniz

Félix Bou Moliner

1998/99

Estas ideas encuentran una primera exposición en Leibniz, quien desde su juventud, en pos de “un alfabeto de los pensamientos humanos” y de “un idioma universal”, se propone construir “una característica universal”, especie de lenguaje simbólico capaz de expresar sin ambigüedad todos los pensamientos humanos, de manera que “al surgir una controversia entre dos filósofos, éstos la zanjarían a la manera de los calculistas. Bastaría, en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse: calculemos”.

El sueño de Leibniz

Índice Calculemus. El sueño de Leibniz

ÍNDICE

1. Introducción 1

2. Contenido 3

3. Objetivos del crédito 6

4. Actividades de enseñanza-aprendizaje 7

5. Criterios y actividades para la evaluación 8

6. Temporización 11

7. Orientaciones para la intervención pedagógica12

8. Bibliografía 20

9. Material del alumno 21

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Introducción Calculemus. El sueño de Leibniz

INTRODUCCIÓN

El crédito “Calculemus. El sueño de Leibniz” es un crédito variable que persigue un acercamiento del alumno a la lógica proposicional partiendo de cero, tanto desde el punto de vista semántico como desde la vertiente sintáctica. La parte principal del curso consiste por tanto en un estudio matemático de la lógica proposicional, en hacer matemática de la lógica1. Esto hace que se trate de un crédito dentro del área de Matemáticas.

Es un crédito bastante interdisciplinario. Toca bastantes aspectos de Filosofía y también hace un pequeño guiño a la Física.

Los aspectos filosóficos que se tocan se centran en el sueño de Leibniz, y en diversos problemas de la filosofía de las Matemáticas: ¿qué es una demostración? ¿existen los objetos matemáticos?,… El sueño de Leibniz es la excusa para propiciar el estudio de la lógica proposicional, es decir, sirve para justificar al alumno el interés del estudio de la lógica proposicional. Por otra parte, la filosofía de las Matemáticas es una rama que no se toca nunca dentro de los cursos de Matemáticas y de la que es interesante dar pequeñas pinceladas para mostrar que las Matemáticas no es algo cerrado en lo que todo está claro2.

Con el tratamiento de temas de la Filosofía dentro de un crédito de Matemáticas se pretende entre otras cosas desmitificar la confrontación Ciencias/Letras que suele ocasionar el bachillerato.

1 Apenas se toca algo de lógica de las Matemáticas por estar ésta fuera del alcance de un alumno de bachillerato. 2 La filosofía de las Matemáticas es uno de los pocos temas tratables a este nivel que permite quitar la impresión de que las Matemáticas están cerradas. Por desgracia ésta suele ser la impresión de la mayoría de los alumnos al finalizar el bachillerato.

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Introducción Calculemus. El sueño de Leibniz

El pequeño guiño a la Física es una aplicación de la semántica proposicional al estudio de los circuitos eléctricos.

“Calculemus. El sueño de Leibniz” es un crédito variable para el último curso de bachillerato. La ubicación temporal en el último curso responde a que es conveniente que el alumno esté familiarizado con el mayor número posible de demostraciones para así poder apreciar el claro paralelismo existente entre las demostraciones formales realizadas dentro de la lógica y las demostraciones habituales de las Matemáticas; las posibilidades dentro de la lógica son las mismas que fuera, la única diferencia es el trabajar con un lenguaje formalizado.

La selección de los contenidos es la habitual de un estudio proposicional. El curso básicamente se centra en cuatro bloques:

1. El lenguaje proposicional2. La semántica del lenguaje proposicional3. La sintaxis del lenguaje proposicional4. El teorema de completitud3

Posteriormente a estos cuatro puntos hay un quinto en el que se intenta dar una divulgación de resultados famosos y curiosos de la lógica en general, no exclusivamente de la lógica proposicional. Este último punto no tiene más pretensiones que las meramente divulgativas.

La opción metodológica escogida para que el alumno adquiera los conocimientos se centra fundamentalmente en dos puntos:

a. Explicación del profesorb. Resolución de ejercicios

Junto a estos puntos también será muy utilizada la reflexión y discusión sobre textos para provocar que el alumno se involucre desde un inicio en los temas a estudiar.

El crédito está pensado para una clase de no más de veinte alumnos de forma que los debates y las actividades realizadas en pequeños grupos puedan ser realmente llevadas a la práctica con la pertinente participación de todos los alumnos. El ideal se situaría entre diez y quince alumnos.

3 Se limita a enunciar el teorema y a sacar consecuencias de él, no se entra en la demostración del resultado.

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Contenido Calculemus. El sueño de Leibniz

CONTENIDO

Hechos, conceptos y sistemas conceptuales

0. El sueño de Leibniz1. Lenguaje proposicional

1.1. Proposiciones atómicas y moleculares en el lenguaje natural.1.2. Fórmulas proposicionales.

1.2.1. Operadores lógicos: ¬ , ∧ , ∨ , →.1.2.2. Uso de los paréntesis.1.2.3. Subfórmulas

2. Semántica del lenguaje proposicional2.1. Cálculo veritativo sobre {0,1}.

2.1.1. Operaciones: ¬ , ∧ , ∨ , →.2.1.2. Uso de los paréntesis.

2.2. Cálculo semántico proposicional.2.2.1. Valoraciones.2.2.2. Tablas de verdad.2.2.3. Fórmulas satisfactibles, tautologías y contradicciones.2.2.4. Consecuencia semántica. El operador Con.2.2.5. Equivalencia semántica.

3. Sintaxis del lenguaje proposicional3.1. Demostraciones formales. El operador Ded.

3.1.2. Reglas básicas de inferencia.3.1.3. Reglas derivadas de inferencia.

3.1. Equivalencia sintáctica.4. Teorema de completitud5. Consistencia6. Decidibilidad7. Formalismo y platonismo

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8. Teorema de Gödel9. Paradojas

Procedimientos

0. El sueño de Leibniz0.1. Análisis del sueño de Leibniz a partir de textos.0.2. Discusión de las consecuencias de poder realizarse el sueño

de Leibniz.0.3. Debate de las posibilidades de éxito del sueño de Leibniz.0.4. Explicación de la imposibilidad de realizar el sueño de Leibniz

1. Lenguaje proposicional1.1. Distinción entre proposiciones atómicas y moleculares en el

lenguaje natural.1.2. Identificación de las fórmulas proposicionales.

1.2.1. Reconocimiento de las subfórmulas.1.2.2. Reconocimiento de la prioridad de las diferentes

subfórmulas.1.3. Simbolización de argumentos del lenguaje natural al

proposicional2. Semántica del lenguaje proposicional

2.1. Cálculo veritativo sobre {0,1}.2.1.1. Cálculo de expresiones.2.1.2. Identificación de identidades.2.1.3. Resolución de ecuaciones.2.1.4. Distinción del uso de ¬ , ∧ , ∨ , → como operación y como

operador lógico.2.1.5. Comparación del cálculo veritativo sobre {0,1} con el de

R.2.2. Cálculo semántico proposicional.

2.2.1. Realización de tablas de verdad.2.2.2. Identificación de las fórmulas satisfactibles, tautologías

y contradicciones.2.2.3. Detección de la validez semántica o no de un argumento.2.2.4. Búsqueda de fórmulas equivalentes a partir de la tabla

de verdad.2.2.5. Simplificación de circuitos eléctricos.

3. Sintaxis del lenguaje proposicional3.1. Discusión de la idea intuitiva de demostración.3.2. Comparación entre las demostraciones formales y las

demostraciones usuales.3.3. Diferenciación entre las reglas básicas de inferencia y las

derivadas.3.4. Realización de demostraciones formales.3.5. Detección de la corrección sintáctica de un argumento.3.6. Comprobación de la equivalencia sintáctica de fórmulas.

4. Teorema de completitud4.1. Ventajas del uso de la semántica.

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4.2. Ventajas del uso de la sintaxis.4.3. Discusión de las consecuencias filosóficas del teorema de

completitud.5. Consistencia

5.1. Explicación del concepto consistencia.5.2. Estudio de la consistencia en la lógica proposicional.

6. Decidibilidad6.1. Explicación del concepto decidibilidad.6.2. Estudio de la decidibilidad en la lógica proposicional.

7. Formalismo y platonismo7.1. Análisis de ambas corrientes a partir de textos.7.2. Debate sobre la concepción individual de la existencia de los

objetos matemáticos.8. Teorema de Gödel

8.1. Explicación del teorema de Gödel.8.2. Exposición de algunas consecuencias de él

9. Paradojas9.1. Distinción entre paradoja y contradicción.9.2. Presentación de las paradojas del mentiroso y del Quijote9.3. Análisis del error cometido en la paradoja del mentiroso.

Valores, normas y actitudes

1. Toma de opinión individual delante de los temas a tratar.2. Respeto por las opiniones claramente contrarias a la propia.3. Respeto al orden en los debates.4. Colaboración en grupos reducidos.5. Participación espontánea y activa.6. Predisposición a aprender.7. Confianza en las propias posibilidades de uno.8. Desmitificación de la diferenciación Ciencias/Letras.

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Objetivos del crédito Calculemus. El sueño de Leibniz

OBJETIVOS DEL CRÉDITO

El alumno, al acabar el crédito, ha de ser capaz de:0) Usar adecuadamente el léxico y la notación introducidos.1) Distinguir entre lenguaje formal y lenguaje natural.2) Simbolizar argumentos en lenguaje formal.3) Hacer tablas de verdad.4) Detectar tautologías y contradicciones.5) Utilizar las reglas de inferencia para realizar demostraciones

formales.6) Analizar argumentos y comprobar si son válidos o no, tanto

desde un punto de vista semántico como sintáctico.7) Utilizar el razonamiento lógico como herramienta para razonar

en general, no tan sólo en Matemáticas.8) Explicar y analizar el sueño de Leibniz.9) Comentar diversas posturas sobre la existencia de los objetos

matemáticos.

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Actividades de enseñanza-aprendizaje Calculemus. El sueño de Leibniz

ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE

0. Explicación introductora del crédito ½ hora

1. Explicación introductora de la lógica ½ hora

2. Análisis del sueño de Leibniz a partir de textos 1 hora

3. Debate sobre el sueño de Leibniz 1 hora

4. Análisis del lenguaje natural ½ hora

5. Explicación del lenguaje proposicional1 hora

6. Resolución de los ejercicios del tema 12 horas y ½

7. Explicación del cálculo veritativo sobre el conjunto {0,1}1 hora

8. Resolución de los ejercicios del tema 2.13 horas

9. Explicación del cálculo semántico proposicional 1 hora

10. Resolución de los ejercicios del tema 2.2 3 horas

11. Aplicación del concepto de equivalencia semántica a los circuitos1 hora

12. Discusión sobre el concepto de demostración½ hora

13. Explicación de la sintaxis proposicional1 hora y ½

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Actividades de enseñanza-aprendizaje Calculemus. El sueño de Leibniz

14. Justificación de las reglas derivadas de inferencia3 horas

15. Resolución de los ejercicios del tema 33 horas

16. Resolución de juegos lógicos por equipos 1 hora

17. Explicación del teorema de completitud½ hora

18. Resolución de los ejercicios del tema 42 horas y ½

19. Explicación de los conceptos de consistencia y decidibilidad¼ hora

20. Explicación y debate sobre la existencia de objetos matemáticos¾ hora

21. Explicación de las limitaciones de la lógica proposicional½ hora

22. Explicación del teorema de Gödel ½ hora

23. Explicación del concepto de paradoja1 hora

24. Explicación de la imposibilidad de realizar el sueño de Leibniz¾ hora

25. Comentario sobre los objetivos del crédito marcados al principio¼ hora

26. Realización del examen 1 hora

27. Corrección del examen 1 hora

Total:34 horas

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Criterios y actividades para la evaluación Calculemus. El sueño de Leibniz

CRITERIOS Y ACTIVIDADES PARA LA EVALUACIÓN

No hay pensada ninguna evaluación inicial puesto que se trata de un crédito que parte de cero, es decir, que no se requiere ningún conocimiento previo.

La evaluación formativa se llevará a cabo a través de las participaciones en clase y los ejercicios realizados en la pizarra. Todos los ejercicios propuestos serán realizados por los alumnos en la pizarra. Es recomendable hacer salir a los alumnos a la pizarra, y si el ejercicio lo permite que sea sin papeles. Es de esta forma se puede seguir si los alumnos entienden los diferentes temas. De todo esto se pondrá un nota de clase de 1 al 10 que llamaremos NC. Esta nota será dada a conocer a los alumnos el último día antes del examen. De esta forma, en el caso de que haya alguna disconformidad con esta nota sólo se admitirán comentarios antes del examen.

En esta nota también se tendrán en cuenta los ejercicios que presenten los alumnos. Estos ejercicios serán voluntarios, y consistirán en los de la lista. Ahora bien, sólo se admitirán aquellos entregados antes de ser realizados en clase. Además, también se pueden aceptar redacciones que muestren reflexiones del alumno sobre temas propuestos: sueño de Leibniz, platonismo y formalismo, etc.

Para poder llevar estas observaciones de forma correcta es interesante tener una ficha de cada alumno. En estas fichas se irán anotando diversas observaciones sobre las participaciones y las actuaciones en la pizarra del alumno en cuestión. Gracias a estas fichas luego será posible para el profesor poner la nota de clase NC.

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Criterios y actividades para la evaluación Calculemus. El sueño de Leibniz

La evaluación sumativa se realizará a través de un examen final escrito. En ese examen se valorará sobre los objetivos del crédito. La nota del examen, que llamaremos NE, estará entre 1 y 10. En el examen a cada alumno se le entregará una hoja con las reglas de inferencia, tanto las básicas como las derivadas. El examen propuesto se puede ver dos páginas después.

La nota final del alumno, NF, será calculada a partir de la fórmula siguiente:

NF máx NE NC NE= +{ , }13

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En el caso de que suspenda algún alumno, la recuperación será a partir de un examen llevado a cabo con un margen de tiempo suficiente, al menos mes y medio después del final del crédito.

El material referente a los conceptos involucrados los alumnos suspendidos ya lo tienen puesto que se encuentra en el dossier del alumno. Así pues lo recomendable será darles listas de ejercicios nuevos. Estas listas se pueden extraer de libros como son [Suppes-Hill]4, [Garrido, 1979] y [Gauthier-Gouret]. De cara a este propósito es especialmente interesante el último de los libros citados.

4 Ver la referencia en la bibliografía.

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CALCULEMUS. El sueño de LeibnizEXAMEN

1. Hacer la tabla de verdad de la fórmula ( ¬P ∧ (¬Q↔P) → (P ∨ ¬Q) ) → R. ¿Es una fórmula satisfactible? ¿Es una tautología? ¿Es una contradicción? Justificar el porqué. (2 puntos)

2. Demostrar formalmente ¬R ∨ P a partir de las siguientes fórmulas. (2 puntos)

(1) R → ¬Q(2) Q ∨ P

Nota: En este ejercicio se pueden usar tanto reglas básicas como reglas derivadas.

3. Formalizar y justificar la corrección del siguiente argumento. (3 puntos)

Si el cajero hubiera apretado el botón de alarma, la caja se habría cerrado automáticamente y la policía habría llegado en tres minutos. Si la policía hubiera llegado en tres minutos, habría alcanzado el vehículo de los ladrones. Pero no pudo alcanzarlo. Luego el cajero no apretó la alarma.Nota: En el caso de hacerlo de forma sintáctica sólo usar reglas básicas.

4. Enunciar el teorema de completitud y comentar un poco lo que dice. (1,5 puntos)

5. Explicar brevemente el sueño de Leibniz. (1,5 puntos)

Temporización Calculemus. El sueño de Leibniz

TEMPORIZACIÓN

La temporización está indicada en la página 7 actividad por actividad. Aquí se da una temporización indicativa por bloques que siguen más o menos el temario que se entregará al alumno5. En total se trata de un curso de unas 34 horas.

0. Introducción 1 hora Activ. 0-11. El sueño de Leibniz 2 horas Activ. 2-32. El lenguaje proposicional 4 horas Activ.

4-63. La semántica del lenguaje proposicional 9 horas

Activ. 7-114. La sintaxis del lenguaje proposicional 8 horas Activ.

12-155. Juegos lógicos 1 hora Activ. 166. El teorema de completitud 3 horas Activ.

17-187. Curiosidades de la lógica 3 horas Activ.

19-238. Desenlace del sueño de Leibniz 1 hora Activ.

249. Examen 2 horas Activ. 25-

27

5 Corresponde a la pág. 1 del dossier del alumno.

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Orientaciones para la intervención pedagógicaCalculemus. El sueño de Leibniz

ORIENTACIONES PARA LAINTERVENCIÓN PEDAGÓGICA

A continuación se van a desarrollar estas orientaciones comentando actividad por actividad.

0. Explicación introductora del créditoAl alumno se le entrega el apartado planificación del crédito

del DA6 y se comenta el temario, los objetivos, la forma de evaluar, etc. Se discute la fecha del examen teniendo en cuenta que después del examen quede libre alguna hora para así poder corregir el examen.

1. Explicación introductora de la lógicaSe comenta los conceptos abstractos de lógica y de cálculo,

siendo interesante observar la etimología de estas palabras. Al hablar de la noción de cálculo se pueden poner ejemplos de operaciones que el alumno ya conoce: suma de números, suma de funciones, composición de funciones, etc.

Para hablar del origen de la palabra lógica una buena y breve explicación puede ser consultada por el profesor en [Sacristán]7.

2. Análisis del sueño de Leibniz a partir de textosSe entrega el apéndice 1 del dossier DA y se analizan dichos

textos. A partir de ellos se explica el sueño de Leibniz.

6 Dossier del alumno.7 Ver la referencia en la bibliografía.

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Es interesante hacer algunas reseñas históricas a cerca de Leibniz, tales como:

a) La controversia suscitada entre él y Newton por la invención del cálculo diferencial.

b) En el s. XVII era habitual cultivar diversas áreas del saber. Por ejemplo, Leibniz destacó en Matemáticas y Filosofía, Newton hizo lo propio en Matemáticas y Física,… Es interesante destacar este dato porque más tarde veremos que en el s. XX la especialización ya es total8.

c) Leibniz, como todos los científicos de la época, escribía en latín. Así, por ejemplo, utilizaba el término calculemus. El dato de la lengua que usaba es curioso porque Leibniz era de origen anglosajón, y en cambio, usaba el latín.

Para que el profesor pueda consultar textos sobre el sueño de Leibniz son recomendables los libros [Agazzi], [Nidditch] y [Smullyan].

Una vez analizado el sueño de Leibniz es importante hacer ver que el planteamiento de Leibniz cayó en el olvido por causa de las ideas de Kant, y no fue hasta dos siglos después que el hombre volvió a mirar ese planteamiento. Precisamente en ese momento nació la lógica con las figuras centrales de Boole y de Frege. De esta forma el sueño de Leibniz puede dar pie a dar un pequeño comentario histórico sobre la evolución de la lógica. Esto está perfectamente documentado en [Nidditch].

3. Debate sobre el sueño de LeibnizCuando a lo largo de todo el crédito hablemos de debates estos

constarán de tres fases. En la primera fase el profesor explica algunas posibilidades sobre las que puede versar el debate. En la segunda fase se organizan pequeños debates en grupos de tres o cuatro personas. En la última fase ya se produce el debate entre toda la clase.

En este debate sobre el sueño de Leibniz se discute las posibilidades de éxito del sueño de Leibniz y las consecuencias que tal cosa supondría. Se pueden tratar cantidad de temas paralelos: ¿pueden pensar las máquinas?, ¿qué es pensar?, ¿se puede mecanizar el pensamiento?, etc. A propósito de estas preguntas se puede recomendar al alumno la lectura de la siguiente novela-ensayo:

CASTI, John L. El quinteto de Cambridge. Taurus, 1998.Esta novela recrea una conversación imaginaria sobre si las

máquinas podrán pensar mantenida por el matemático Turing, el filósofo Wittgenstein, el físico Schrödinger y el genetista Haldane.

4. Análisis del lenguaje naturalSe entrega la página 3 del DA. Es interesante relacionar este

análisis del lenguaje natural con el texto del apéndice del sueño de

8 Al hablar del formalismo y en concreto de la figura de Hilbert.

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Leibniz que explica como pensaba Leibniz la construcción de su lenguaje (pág. 17), el paralelismo es evidente.

5. Explicación del lenguaje proposicionalSe entregan las páginas 4-5 del DA, y se explica la

construcción del lenguaje proposicional a partir de esas hojas. En este tema es suficiente con explicar todo lo escrito en esas páginas.

6. Resolución de los ejercicios del tema 1Se resuelven los ejercicios correspondientes a las páginas 27-

28 del DA. Como a lo largo de todo el crédito, los ejercicios son resueltos por los alumnos.

7. Explicación del cálculo veritativo sobre el conjunto {0,1}Se entregan las páginas 6-7 del DA, y se explica el cálculo

veritativo sobre {0,1} a partir de esas hojas. Es interesante relacionar esto con la noción abstracta antes vista de lo que es un cálculo.

8. Resolución de los ejercicios del tema 2.1Se resuelven los ejercicios del tema 2.1, que se encuentran en

las páginas 29-30 del DA. Es interesante resolver estos ejercicios a través de tablas, para que así cuando después se vean las tablas de verdad todo resulte más natural.

Al final de la lista de ejercicios que se acaba de resolver hay unas preguntas que son que pueden dar pie a una pequeña discusión en clase. Con ella se pretende mostrar al alumno la sencillez del cálculo veritativo (motivada por la finitariedad de posibilidades) para que así no se sienta superado por este cálculo.

9. Explicación del cálculo semántico proposicionalSe entregan las páginas 8-10 del DA, y se usan esas hojas para

explicar el cálculo semántico. En las hojas únicamente se encuentran las definiciones de los

conceptos, y es interesante ampliar un poco lo de las hojas con algunos resultados. Básicamente se podría ampliar la explicación con los dos resultados siguientes:

a) α satisfactible ⇔ α no es contradicción.b) ∅╞ α ⇔ α tautología ⇔ ¬α contradicción.

10. Resolución de los ejercicios del tema 2.2Se resuelven los ejercicios del tema 2.2, que se encuentran en

las páginas 30-31 del DA.En el ejercicio 12d se pide demostrar que de una contradicción

se obtiene cualquier cosa. Al hacer el ejercicio en clase conviene acompañarlo de la siguiente anécdota histórica.

En una ocasión, Russell especulaba sobre el concepto lógico de condicional y lo importante que era entender que de una proposición falsa podía deducirse cualquier cosa. Poco podía esperar Russell que alguien lo interrumpiría con la siguiente

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observación: “¿Quiere decir que si 2 + 2 = 5 , entonces es usted el papa de Roma?”

Russell se precipitó a contestar afirmativamente, y ante la sorpresa de quien había preguntado procedió a realizar una “demostración” del hecho implicado: “Si se supone que 2 + 2 = 5, entonces estarán de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la igualdad, obtendremos 2 = 3. Si invertimos la igualdad, será 3 = 2, de la cual, al restar 1 de cada lado, queda 2 = 1. Dado que el papa de Roma y yo somos dos personas, y que 2 = 1, entonces el papa de Roma y yo somos uno. Luego, yo soy el papa de Roma”.9

11. Aplicación del concepto de equivalencia semántica a los circuitos

Se resuelven los ejercicios del apéndice 2 del DA. Para esta actividad conviene dedicar una clase entera.

En un principio el profesor realiza uno o dos ejemplos con circuitos sencillos. A continuación se forman grupos de 3 o 4 personas se procede con los circuitos propuestos. Al cabo de un rato los diversos grupos van saliendo y explican alguno la simplificación de esos circuitos.12. Discusión sobre el concepto de demostración

En primer lugar se pregunta a los alumnos ¿qué es una demostración?. Tras un breve rato en el que seguramente no se verá ninguna luz a la respuesta se reparte el diálogo del apéndice 3 del DA.

Con éste se pretende ver que la definición que se elija de demostración no es más que una convención, igual que se elige ésa se podría elegir otra. ¿Y por qué se elige ésa? No hay ninguna razón profunda, simplemente es que contenta a la mayoría de personas, parece que cuadra con la intuición que tenemos dentro de nuestro cerebro. Pero sí alguien quisiera trabajar con otra noción de demostración también podría hacerlo.

13. Explicación de la sintaxis proposicionalSe reparten las páginas 11-13 del DA y con ellas se explica el

concepto de demostración formal a partir de las reglas básicas de inferencia. Es interesante examinar las reglas una a una poniendo ejemplos del uso de esas reglas en demostraciones en el lenguaje natural.

En el caso de la reducción al absurdo dar las demostraciones de que √2 ∉ Q y la de que hay infinitos números primos. Para que el alumno asuma la reducción al absurdo puede estar bien ilustrarla a través del importante papel que desarrolla en el juego Buscaminas, por ejemplo dibujando diversas cuadrículas en la pizarra y resolviéndolas a través de la reducción al absurdo.

Como reglas básicas se han elegido las que usan los libros [Garrido, 1979] y [Garrido, 1989]. El resto de libros citados en la bibliografía usan un sistema de reglas básicas diferentes.

9 ALSINA, Claudi; DE GUZMÁN, Miguel. Los matemáticos no son gente seria. Barcelona, Rubes, 1996, pág. 86.

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De cara a la explicación por parte del profesor es interesante hacer ver al alumno desde un principio que tenemos puesta la mirada en el teorema de completitud. Así de esta forma se puede responder más o menos a preguntas como ¿por qué estas reglas? ¿es suficiente con estas reglas? ¿si no fuera suficiente con estas reglas, qué haríamos?

14. Justificación de las reglas derivadas de inferenciaLa justificación de las reglas derivadas es interesante que la

hagan los alumnos en la pizarra. El profesor puede consultar las demostraciones de todas estas reglas en el capítulo VI del libro [Garrido, 1979].

En el listado de reglas derivadas que se entregan al alumno hay unos cuadraditos para ir marcando las reglas que vayan siendo justificadas. En ocasiones tienen dos cuadraditos los cual se debe a que esas reglas son ciertas en los dos sentidos. Seguramente no dará tiempo de justificarlas todas, pero se pueden hacer todas las que den tiempo durante tres horas y el resto se asumen como ciertas.

15. Resolución de los ejercicios del tema 3Se resuelven los ejercicios del tema 3, que se encuentran en

las páginas 32 del DA. Para resolver estos ejercicios se puede permitir usar tanto reglas básicas como reglas derivadas.

16. Resolución de juegos lógicos por equiposAl igual que al terminar la semántica se realiza la aplicación a

los circuitos eléctricos para variar un poco, esta actividad esta pensada para lo mismo al finalizar la sintaxis.

En esta actividad se realizarán dos juegos lógicos. Se trata de dos juegos lógicos del tipo ¿quién es quién? pensados para hacerse en grupos de tres o cuatro personas. Una vez hechos los grupos se reparte el juego 1 y se les pide que lo resuelvan. Conviene dejarles unos 5 minutos o más para que experimenten. El problema de la mayoría será que no saben por donde agarrar el problema. Una vez han experimentado se les entrega la cuadrícula correspondiente al juego 1 que también está en el material del alumno. Una vez tienen la cuadrícula ya sabrán como resolverlo, se trata de ir marcando las posibilidades correctas y falsas por ejemplo usando los símbolos 1 y 0.

Se deja que los alumnos vayan haciéndolo y mientras tanto se dibuja la cuadrícula en la pizarra. Al cabo de unos 15 minutos el profesor puede empezar a hacerlo en la pizarra con la ayuda de los alumnos.

La táctica consiste en ir usando las diversas pistas y marcando casillas en la cuadricula. Las pistas las podemos clasificar esencialmente en dos grupos:

a) Primer grupo: Son pistas que sabemos explicar de manera precisa a través de la cuadrícula. En este grupo puede entrar la pista 2 del juego 2 que dice que “El Muecas es el bandido más

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viejo de la lista”, es decir, nos dice exactamente que El Muecas es el de 30 años.

b) Segundo grupo: Son pistas que no se pueden precisar totalmente en un principio a través de la cuadrícula. En este grupo puede entrar la pista 1 del juego1 que dice que “El asesino tiene dos años más que el soltero”. A priori esto no lo podemos expresar en la cuadrícula de forma precisa pero sí que podemos imponer alguna información: el asesino no es el soltero, el asesino no tiene 38 años y el soltero no tiene 44 años.

Las pistas del primer grupo una vez son impuestas en la cuadrícula ya nos podemos olvidar de ellas. Por contra, con las del segundo grupo esto no sucede. Durante la resolución de la cuadrícula puede ser que necesitemos usar pistas del segundo grupo.

A medida que se juega con la cuadrícula uno se da cuenta de diversos trucos estratégicos, por ejemplo que si tenemos un 1 en una casilla entonces el resto de casillas de su horizontal y su vertical tienen 0.

La solución del juego 1 es única y es la siguiente:NOMBRE EDAD ESTADO

CIVILPROFESIÓN

Antonio 42 años Viudo IngenieroAugusto 38 años Soltero DiseñadorAlberto 44 años Casado ArquitectoAlfredo 40 años Divorciado Constructor

Luego se entrega la hoja del juego 2 pero en esta ocasión se deja que sean ellos los que piensen en cómo hacerse la cuadrícula. La solución del juego 2 también es única y es:

NOMBRE ARMA EDAD RECOMPENSA

Bill el Despiadadado Rifle 23 años 10.000 $Bobby Dos Pistolas Revólver 28 años 5.000 $Chester el Muecas Cuchillos 30 años 14.000 $Cheyyene el Indio Hachas 27 años 7.000 $

Tomás el Loco Arco 25 años 4.000 $Estos juegos han sido extraídos de una revista de pasatiempos

de publicación mensual que se puede adquirir en cualquier quiosco. Los datos de la publicación concreta son los siguientes:

LÓGICAMENTE, juegos de lógica. Zugarto Ediciones, S.A. Año II - número 15.Antes de realizar esta actividad es conveniente que el profesor haya realizado los dos juegos lógicos no hace mucho tiempo. Esto es para evitar perderse en la clase, lo cual aún perdería más a los alumnos.

17. Explicación del teorema de completitudSe entrega la hoja 14 del DA y se explica el teorema

comentando a modo de debate las consecuencias de que verdad = demostrable. La pregunta del final de la página 14 está pensada para dejarla al aire y volver a ella en los ejercicios, es el ejercicio 23 del tema 4.

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18. Resolución de los ejercicios del tema 4Se resuelven los ejercicios del tema 4, que se encuentran en

las páginas 33 del DA. A continuación se dan algunas indicaciones para resolver el ejercicio 23 del tema 4 que pide una comparación entre la semántica y la sintaxis.

a) ╞ es un proceso mecánico, por lo tanto no requiere pensar mucho. Tiene la contra-partida de que se tarda mucho, si hay n letras la tabla de verdad consta de 2n líneas. Sirve para ver que algo no es consecuencia de unas premisas.

b) ├ no es un proceso mecánico, requiere de la intuición. Tiene la ventaja de que aunque haya muchas letras si uno tiene la suficiente intuición puede demostrar algo de forma mucho rápida, lo cual no pasa semánticamente. No sirve para ver que algo no es consecuencia de unas premisas.

El último ejercicio de la lista da lugar a una pequeña discusión sobre las consecuencias de este resultado para el sueño de Leibniz. El teorema de completitud supone un pequeño éxito para el sueño porque nos dice que la lógica proposicional, tanto el Ded como el Con, se puede mecanizar. Ahora bien el sueño de Leibniz persigue resultados más ambiciosos y como más adelante se comentará resultará ser irrealizable.

19. Explicación de los conceptos de consistencia y decidibilidad

Se trata de dar brevemente las definiciones de estos conceptos y comprobar que tanto Con(Σ) como Ded(Σ) son consistentes y decidibles. Para justificar esto habrá que usar el teorema de completitud. El profesor puede encontrar breves explicaciones de estos conceptos en [Sacristán] y [Garrido, 1979].

A propósito del concepto de decidibilidad es interesante organizar un pequeño debate sobre ¿qué es un algoritmo?. Dependiendo de lo que se considere por algoritmo las respuestas pueden ser unas u otras, pero más o menos todo el mundo tiene la misma intuición.

20. Explicación y debate sobre la existencia de objetos matemáticos

Se explican las corrientes platonista y formalista a partir del apéndice 4 del DA. Si no se ha visto en clase de Filosofía el mundo de las ideas de Platón es interesante hacer un breve comentario de él para que los alumnos asimilen mejor la corriente platonista. El profesor puede encontrar documentación sobre estas corrientes en los libros [Davis-Hersh] y [Rey Pastor-Babini]. El capítulo siete del primer libro citado contiene un acercamiento muy interesante a estas corrientes.

Posteriormente a la lectura del apéndice 4 se puede organizar un pequeño debate sobre las diferentes posturas de los alumnos a partir de las preguntas que hay al final del apéndice.

A la hora de hablar del formalismo es interesante dar algunas anécdotas históricas de Hilbert.

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Por un lado se puede comentar que de cara al congreso de Matemáticas de París de 1900 se decidió elaborar una lista con los problemas abiertos más interesantes de las Matemáticas. Esta lista fue encargada a Hilbert por tratarse de uno de los pocos matemáticos universales, dominaba muchos campos de las Matemáticas. De esta forma Hilbert elaboró su famosa lista de 23 problemas. Este hecho sirve para ilustrar al alumno como ha evolucionado la especialización dentro de las distintas áreas del saber desde los tiempos de Leibniz. Si aún se quiere poner un ejemplo más actual se puede hablar del congreso del 2000 que se celebrará en Barcelona, para el cual ya no se ha encargado ninguna lista ha nadie puesto que ya no queda ningún matemático universal.

Con referencia a Hilbert también se puede dar la siguiente anécdota que ilustra a la perfección la fama de despistados otorgada a los matemáticos.

Quizás la anécdota más viva, narrada por Pólya, se produjo con ocasión de una fiesta en casa de los Hilbert. Cuando su mujer le sugirió que fuese al dormitorio a cambiarse de camisa, y al no recordar lo que debía hacer a continuación, acabó deduciendo que debía quitarse el resto de la ropa. Así lo hizo, y a continuación, se echó a dormir. Su mujer tuvo que despertarlo tras un buen rato de estar esperando a que regresara a la fiesta.10

21. Explicación de las limitaciones de la lógica proposicional

El propósito de la lógica es el análisis de los argumentos por lo que surge inevitablemente la pregunta ¿se pueden analizar todos los argumentos con la lógica proposicional? En esta explicación se trata de dar algún argumento con el uso de ∀ y ∃ para que el alumno vea la imposibilidad de formalizarlo en lógica proposicional. Se puede comentar así la necesidad de la lógica de primer orden. Es interesante, no obstante, hacer notar que en proposicional también se pueden formalizar algunos argumentos con ∀ y ∃, a modo de ejemplo esta puesto el ejercicio 25 de la lista (El truco está en fijar el elemento en cuestión antes de la formalización).

22. Explicación del teorema de GödelSe corresponde con dar el enunciado del teorema de Gödel y

comentar algunas consecuencias que se pueden extraer de él.¿Como enunciar el teorema de Gödel para este nivel? Una

posibilidad es enunciarlo como un teorema que dice que:

En todo sistema formal consistente que tengamos las leyes de la lógica y a más a más otras leyes que conozcamos explícitamente siempre ocurre que hay fórmulas que no son verdaderas ni ella ni su negación.

10 ALSINA, Claudi; DE GUZMÁN, Miguel. Op. cit., pág. 17.

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La consecuencia más interesante a comentar tal vez sea que esto nos dice que en los sistemas formales ocurre que hay ignorabimus, hay cosas que no son ni ciertas ni falsas. Así pues, este resultado supone el hundimiento del plan formalista antes explicado puesto que el saber no lo podremos reducir a sistemas formales. Es interesante mostrar al alumno la influencia que tiene el teorema de Gödel en el formalismo.

23. Explicación del concepto de paradojaSe lleva a cabo a partir del apéndice 5 del DA. Al final se puede

llevar a cabo un análisis detallado del error cometido en la paradoja del mentiroso. El error proviene de la confusión entre lenguaje y metalenguaje. En realidad, en la paradoja del mentiroso lo que se observan son las dos afirmaciones siguientes:

1. Es verdad “Yo miento”.2. Es mentira “Yo miento”.

Lo que va entre comillas es una tira vacía de contenido, al formalizarlo sería tan sólo una letra proposicional. Así pues, el “Yo miento” no tiene significado propio, y de esta forma entonces no tendría lugar la paradoja.

Este análisis justifica de cara al alumno que durante todo el curso cada vez que hayamos formalizado una frase hayamos usado comillas. Por tanto es importante que el profesor use las comillas cada vez que formaliza un argumento desde el principio del curso.

24. Explicación de la imposibilidad de realizar el sueño de Leibniz

Esta es otra consecuencia del teorema de Gödel. Pretende ser la conclusión del curso, y se comenta a partir del apéndice 6 del DA. Puede ser que el fracaso del sueño sorprenda al alumno debido al pequeño éxito conseguido a partir del teorema de completitud. Es importante hacerles ver que no sólo les sorprende a ellos sino que también causó mucho estupor en los lógicos de tal momento histórico.

Una forma adecuada de enfocarlo para el alumno es hacer un paralelismo entre los sistemas formales y los procesos mecánicos de un ordenador puesto que ambos son simplemente el resultado de aplicar reglas fijas conocidas11. Entonces en virtud del teorema de Gödel tendremos para cualquier proceso mecánico siempre hay afirmaciones verdaderas que no se pueden obtener a través de él. Y por tanto el sueño de Leibniz resulta ser irrealizable.

25. Comentario sobre los objetivos del crédito marcados al principio

Consiste en comentar con los alumnos los objetivos del crédito que se le entregaron el primer día para comprobar si se han logrado. Es importante hacer notar al alumno que sobre ellos se les va a

11 El resultado riguroso de este hecho se debe a Turing.

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valorar. Aquí también conviene entregar a cada alumno la nota de clase NC que le corresponde.

26. Realización del examenLos alumnos realizan el examen antes mostrado para el cual

disponen de una hora.

27. Corrección del examenSe corrige el examen en la pizarra por el profesor, y después se

entregan los exámenes corregidos a los alumnos para que vean sus errores o si hay algún fallo de corrección por parte del profesor.

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Bibliografía Calculemus. El sueño de Leibniz

BIBLIOGRAFÍA

AGAZZI, Evandro. La lógica simbólica. Barcelona, Herder, 19793.ALSINA, Claudi; DE GUZMÁN, Miguel. Los matemáticos no son

gente seria. Barcelona, Rubes, 1996.DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. Experiencia matemática. Barcelona, Labor, 1988.GARCÍA TREVIJANO, Carmen. El arte de la lógica. Madrid, Tecnos, 1993.GARRIDO, Manuel. Lógica simbólica. Madrid, Tecnos, 1979.GARRIDO, Manuel. Lógica y lenguaje. Madrid, Tecnos, 1989.GAUTHIER, R.; GOURET A. Lógica y enseñanza de la matemática. Teide, 1972.NIDDITCH, P.H. El desarrollo de la lógica matemática. Madrid,

Cátedra, Teorema, 19955.REY PASTOR, J.; BABINI, José. Historia de la matemática. Gedisa,

19973.SACRISTÁN, Manuel. Lógica elemental. Barcelona, Vicens Vives, 1996.SMULLYAN, Raymond. ¿La dama o el tigre? Madrid, Cátedra, Teorema.SUPPES, P.; HILL, S. Introducción a la lógica matemática. Barcelona, Reverté, 1986.

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Material del alumno Calculemus. El sueño de Leibniz

MATERIAL DEL ALUMNO

El material del alumno está formado casi exclusivamente por el dossier del alumno. A parte de este dossier simplemente se utilizarán las hojas de enunciados de los juegos lógicos a realizar en la actividad 16.

En las páginas posteriores se encuentra todo el material del alumno. En primer lugar aparecen las hojas correspondientes a la realización de los juegos lógicos. Después viene el dossier del alumno.

¿Cómo utilizar el dossier del alumno?En este dossier el alumno al finalizar el crédito tendrá en su poder

la mayoría de las actividades realizadas: teoría, apéndices, ejercicios, etc.

Las explicaciones teóricas que se encuentran en él se limitan a dar las definiciones de los conceptos a impartir, y deberán ser complementadas en ciertos aspectos por el profesor. Se ha optado por incluir los conceptos en el material del alumno para que así pueda consultar sin problemas las definiciones de los conceptos.

Las hojas de este dossier se irán repartiendo a medida que se realicen las diferentes actividades, y por tanto, no seguirán el orden de numeración de las páginas del dossier. Antes de realizar el examen conviene entregar el índice del dossier del alumno para que así lo tengan todo ordenado. Es mejor retardar la entrega del índice lo máximo posible porque en ella se ven títulos como El despertar

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Material del alumno Calculemus. El sueño de Leibniz

del sueño, el cual quitaría toda gracia al estudio del sueño de Leibniz si el alumno ya sabe que es irrealizable.

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JUEGO 1

DATOS

NOMBRE EDAD ESTADO CIVIL

PROFESIÓN

Antonio 38 años Divorciado ArquitectoAugusto 40 años Soltero ConstructorAlberto 42 años Casado IngenieroAlfredo 44 años Viudo Diseñador

PISTAS

1. El asesino tiene dos años más que el soltero.

2. El arquitecto tiene cuatro años más que el constructor.

3. El sospechoso de profesión ingeniero fue interrogado antes que el mayor de los vecinos.

4. Antonio, que es inocente, es dos años más joven que el arquitecto.

5. El constructor no está viudo y es el cuñado de Augusto.

6. Alfredo es cuatro años más joven que Alberto.

7. El casado es mayor que Antonio.

8. El viudo no es el mayor de los cuatro sospechosos, aunque le lleva algún año al Diseñador.

PROBLEMAHa habido un asesinato en un edificio cuyos vecinos son los indicados en los datos. Tras el interrogatorio, el inspector Gutiérrez ha obtenido las ocho pistas anteriores. ¿Puedes ayudar a Gutiérrez a resolver el caso?

SOLUCIÓNEscribir las respuestas correctas en el siguiente diagrama.

NOMBRE EDAD ESTADO CIVIL

PROFESIÓN

AntonioAugustoAlbertoAlfredo

CUADRÍCULADEL JUEGO 1

JUEGO 2

DATOS


Bill el Despiadadado Arco 23 años 4.000 $Bobby Dos Pistolas Cuchillos 25 años 5.000 $Chester el Muecas Hachas 27 años 7.000 $Cheyyene el Indio Revólver 28 años 10.000 $

Tomás el Loco Rifle 30 años 14.000 $

PISTAS

1. Corren rumores de que Bobby ha abandonado el mundo del pillaje a sus 28 años, pero aún así debe rendir cuenta por sus anteriores crímenes.

2. El Muecas es el bandido más viejo de la lista.

3. El que se arma con cuchillos es siete años mayor que el que tiene un precio de 10.000$ por su cabeza.

4. El arquero es dos años mayor que Bill y dos menos que el forajido que utiliza hachas.

5. Por capturar a Bill se obtenían 6.000$ más que por Tomás.

6. La suma ofrecida por entregar al tal Chester es igual que las recompensas que se otorgan por Bill y Tomás juntas.

7. La recompensa por capturar a Chester es el doble que la suma alcanzada por encerrar a Cheyyene.

8. El arma de Tomás es el arco.

PROBLEMAHay que relacionar correctamente los datos anteriores a partir de las pistas sabiendo que a cada nombre le corresponde un arma, una edad y una recompensa.

SOLUCIÓNEscribir la respuestas correctas en el siguiente diagrama.


Bill el DespiadadadoBobby Dos Pistolas

Chester el MuecasCheyyene el Indio

Tomás el Loco

DOSSIER DEL

ALUMNO


ÍNDICE

Planificación del crédito 1

1 El lenguaje proposicional 3

1.1 Análisis del lenguaje natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Construcción del lenguaje proposicional . . . . . . . . . . . . . 4

2 La semántica del lenguaje proposicional 6

2.1 El cálculo veritativo sobre el conjunto {0,1} . . . . . . . . . . . 6

2.2 El cálculo semántico proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 La sintaxis del lenguaje proposicional11

4 El teorema de completitud14

Apéndice 1. El sueño de Leibniz15

Apéndice 2. Aplicación a los circuitos eléctricos19

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Apéndice 3. ¿Qué es una demostración?20

Apéndice 4. Los objetos matemáticos22

Apéndice 5. Paradojas24

Apéndice 6. El despertar del sueño26

Ejercicios27

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Planificación del crédito Calculemus. El sueño de Leibniz

TEMARIO

1 El lenguaje proposicional1.1 Análisis del lenguaje natural1.2 Construcción del lenguaje proposicional

2 La semántica del lenguaje proposicional2.1 El cálculo veritativo sobre el conjunto {0,1}2.2 El cálculo semántico proposicional

3 La sintaxis del lenguaje proposicional

4 El teorema de completitud4.1 Enunciado del teorema de completitud4.2 Consecuencias del teorema de completitud

5 Curiosidades de la lógica5.1 Consistencia5.2 Decidibilidad5.3 Limitaciones de la lógica proposicional5.4 El teorema de Gödel5.5 Paradojas

OBJETIVOS DEL CRÉDITO

El alumno, al acabar el crédito, ha de ser capaz de:0) Usar adecuadamente el léxico y la notación introducidos.1) Distinguir entre lenguaje formal y lenguaje natural.2) Simbolizar argumentos en lenguaje formal.3) Hacer tablas de verdad.

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Planificación del crédito Calculemus. El sueño de Leibniz

4) Detectar tautologías y contradicciones.5) Utilizar las reglas de inferencia para realizar demostraciones

formales.6) Analizar argumentos y comprobar si son válidos o no, tanto

desde un punto de vista semántico como sintáctico.7) Utilizar el razonamiento lógico como herramienta para razonar

en general, no tan sólo en Matemáticas.8) Explicar y analizar el sueño de Leibniz.9) Comentar diversas posturas sobre la existencia de los objetos

matemáticos.

EVALUACIÓN

Nota de Clase = NC (de 1 a 10) La nota de clase se obtiene a partir de las intervenciones en

clase y de las actuaciones en la pizarra. También se aceptarán la entrega de ejercicios y redacciones, ejercicios todavía no hechos en clase.

La nota de clase se dará a conocer antes de realizar el examen.

Nota del Examen = NE (de 1 a 10)

Nota final = NF que se obtiene a través de la fórmula siguiente:

NF máx NE NC NE= +{ , }13

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BIBLIOGRAFÍA

GARRIDO, Manuel. Lógica simbólica. Madrid, Tecnos, 1979.GARRIDO, Manuel. Lógica y lenguaje. Madrid, Tecnos, 1989.GAUTHIER, R.; GOURET A. Lógica y enseñanza de la matemática. Teide, 1972.SMULLYAN, Raymond. ¿La dama o el tigre? Madrid, Cátedra, Teorema.SUPPES, P.; HILL, S. Introducción a la lógica matemática. Barcelona, Reverté, 1986.

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Tema 1. El lenguaje proposicional Calculemus. El sueño de Leibniz

Tema 1

EL LENGUAJE PROPOSICIONAL

1.1 Análisis del lenguaje natural

Una proposición es una oración a la que se puede atribuir un valor de verdad, es decir, se puede considerar si es verdadera o falsa. (Las proposiciones suelen ser las oraciones declarativas).

Una proposición atómica es una proposición completa sin términos de enlace.La combinación de una o más proposiciones atómicas con un término de enlace se llama proposición molecular.

La proposición molecular que utiliza el término de enlace “no” es una negación.La proposición molecular que utiliza el término de enlace “y” es una conjunción.La proposición molecular que utiliza el término de enlace “o” es una disyunción12.La proposición molecular que utiliza el término de enlace “si …, entonces” es una condicional.La proposición molecular que utiliza el término de enlace “si y sólo si” es una bicondicional.

Nota: Estos términos de enlace “no”, “y”, etc. no son los únicos para la negación, conjunción, etc. Hay otros, pero éstos son los más representativos.

12 Es una disyunción inclusiva, no exclusiva.

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Nota: En una proposición condicional la proposición situada antes del término de enlace se llama antecedente mientras que la situada después es el consecuente.

1.2 Construcción del lenguaje proposicional

Dentro del lenguaje proposicional dispondremos de los símbolos siguientes:

{ P1 , P2 , P3 , P4 , … } ∪ { ¬ , ∧ , ∨ , → }.

Una fórmula atómica es un elemento del conjunto { P1 , P2 , P3 , P4 , … }. Para no tener que utilizar subíndices, en ocasiones se usan los símbolos P, Q , R , S , ... para referirnos a alguna fórmula atómica, a algún Pi.¿Qué entenderemos por una fórmula?Diremos que una tira α de símbolos anteriores es una fórmula proposicional si existe una sucesión finita que acaba en α tal que cada elemento de la sucesión cumple alguna de estas condiciones:

i) Es una fórmula atómica.ii) Se obtiene de elementos anteriores en la sucesión aplicando

alguna de las siguientes cuatro reglas: s s s

t t t t (¬t) (s ∧ t) (s ∨ t) (s → t)

Nota: Hay que cuidar el uso de los paréntesis tal cual se indica en las reglas.

Ejemplo: Justificar que ( P1 → ( P3 ∧ ( ¬P2 ) ) ) es una fórmula.(1) P1

(2) P2

(3) P3

(4) ( ¬P2 ) 2(5) ( P3 ∧ ( ¬P2 ) ) 3, 4(6) ( P1 → ( P3 ∧ ( ¬P2 ) ) ) 1, 5

¿Dada una fórmula, es única la sucesión de que habla la definición?

Abreviación: El símbolo ↔ no lo tenemos propiamente dentro del lenguaje proposicional, pero vamos a introducirlo a partir de los otros.La tira (s ↔ t) es una abreviación de la tira ( (s → t) ∧ (t → s) ). ¿Es una fórmula la tira ( P ↔ ( Q ∧ R ) )?

Abreviación: Se suele ahorrar el uso de los paréntesis siempre que no haya confusión. Se sigue la siguiente lista ordenada de mayor a

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menor prioridad, es decir, de las conectivas que se realizan en primer lugar hasta las que se realizan en último lugar.

Mayor prioridad ¬∧ , ∨ →

Menor prioridad ↔

Una subfórmula de una fórmula α son las fórmulas que se encuentran dentro de la sucesión de símbolos que forman α. Siempre ocurre que la misma α es una subfórmula de sí misma.

Ejemplo: Listar las subfórmulas de la fórmula ( P1 → ( P3 ∧ ( ¬P2 ) ) ).En total, esta fórmula tiene seis subfórmulas.

1. P1

2. P2

3. P3

4. ( ¬P2 )5. ( P3 ∧ ( ¬P2 ) )6. ( P1 → ( P3 ∧ ( ¬P2 ) ) )

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Tema 2. La semántica del lenguaje proposicionalCalculemus. El sueño de Leibniz

Tema 2

LA SEMÁNTICA DEL LENGUAJE PROPOSICIONAL

2.1 El cálculo veritativo sobre el conjunto {0,1}

A continuación se da un cálculo sobre el conjunto {0,1} formado por diversas operaciones. Este cálculo suele conocerse con el nombre de cálculo veritativo sobre el conjunto {0,1}.

1) Operación ¬ :x ¬ x1 00 1

2) Operación ∧ :x y x ∧ y1 1 11 0 00 1 00 0 0

3) Operación ∨ :x y x ∨ y1 1 11 0 10 1 10 0 0

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4) Operación → :x y x → y1 1 11 0 00 1 10 0 1

Abreviación: La operación ↔ no lo tenemos propiamente hablando, pero vamos a definirla a partir de las otras operaciones. Por definición,

x ↔ y : = ( x → y ) ∧ ( y → x )Ahora es fácil comprobar que la operación ↔ viene dada por la tabla siguiente:

x y x ↔ y1 1 11 0 00 1 00 0 1

Observación: Aunque se usan los mismos símbolos que para las fórmulas proposicionales conviene saber distinguir ambos usos del mismo signo. Es recomendable usar signos distintos para evitar este abuso de notación. Entonces, ¿por qué no se usan signos bien diferenciados?13

Abreviación: Se suele ahorrar el uso de los paréntesis siempre que no haya confusión. Se sigue la siguiente lista ordenada de mayor a menor prioridad, es decir, de las operaciones que se realizan en primer lugar hasta las que se realizan en último lugar.

Mayor prioridad ¬∧ , ∨ →

Menor prioridad ↔

2.2 El cálculo semántico proposicional

Ahora se pretende traspasar el cálculo anterior sobre {0,1}a un cálculo nuevo sobre las fórmulas del lenguaje proposicional. Este nuevo cálculo se conoce con el nombre de cálculo semántico proposicional y lo representaremos por el símbolo ╞.

13 La respuesta a esta pregunta se obtiene al estudiar el cálculo semántico proposicional.

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Una valoración es una aplicación v: { P1 , P2 , P3 , P4 , … } → {0,1}. Por tanto, una valoración da valores de verdad a las fórmulas atómicas.Ahora se pretende que dada una valoración también podamos asignar valores de verdad a las fórmulas proposicionales. ¿Cómo se hace esto? Se procede por las subfórmulas (desde las atómicas) siguiendo las siguientes reglas:

v (¬ α ) : = ¬ v(α)v (α ∧ β ) : = v(α) ∧ v(β )v (α ∨ β ) : = v(α) ∨ v(β )v (α → β ) : = v(α) → v(β )

¿Cuál es el significado de cada uno de esos signos? Distinguir entre la operación y el símbolo proposicional.

Ejemplo: Sea v una valoración tal que v(P)=1, v(Q)=1 y v(R)=1 (No es única). Calcular el valor veritativo que asigna esa valoración a la fórmula ¬Q ∧ ( R → P ).

v(Q)=1 ⇒ v(¬Q) = ¬1 = 0v(R)=1 , v(P)=1 ⇒ v(R → P) = 1 → 1 = 1v( ¬Q ∧ ( R → P ) ) = v( ¬Q ) ∧ v(R → P) = 0 ∧ 1 = 0

Por tanto, para las valoraciones de esa forma obtenemos que es una fórmula falsa.

Observación: A las reglas anteriores podemos añadirle la siguiente regla

v ( α ↔ β ) = v(α) ↔ v(β)La justificación es fácil, v (α ↔ β ) = v ( (α → β) ∧ (β → α) ) =

= v (α → β ) ∧ v (β → α) = ( v(α) → v(β) ) ∧ ( v(β) → v(α) ) = v(α) ↔ v(β)

Observación: Para calcular el valor de verdad de una fórmula α para una valoración concreta sólo necesitamos conocer los valores de verdad de las fórmulas atómicas que aparecen en α, son indistintos los valores de verdad de las fórmulas atómicas que no aparecen en α. Así pues, si α tiene n fórmulas atómicas diferentes entonces sólo se necesitan examinar 2n valoraciones14 para saber el valor de verdad de α para una valoración arbitraria. Es decir, examinando 2n

valoraciones las tenemos examinadas todas.

Ejemplo: Calcular el valor de verdad de ¬Q ∧ ( R → P ) para todas las valoraciones.

v(P) v(Q) v(R) v(¬Q) v(R → P)

v( ¬Q ∧ ( R → P ) )

14 Se corresponde con las variaciones con repetición de 2 elementos tomándolos de n en n.

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1 1 1 0 1 01 1 0 0 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 0 0 00 1 0 0 1 00 0 1 1 0 00 0 0 1 1 1

Esta presentación que se acaba de dar recibe el nombre de la tabla de verdad de la fórmula en cuestión, y es muy útil para examinar todas las valoraciones sobre una determinada fórmula.

Aunque la presentación anterior es la correcta de una tabla de verdad en la mayoría de ocasiones las tablas de verdad se suelen escribir de esta otra forma por una simple cuestión de ahorro de escritura.

P Q R ¬Q R → P ¬Q ∧ ( R → P )1 1 1 0 1 01 1 0 0 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 0 0 00 1 0 0 1 00 0 1 1 0 00 0 0 1 1 1

Se dice que una fórmula es satisfactible si existe alguna valoración que la hace cierta, es decir, si en su tabla de verdad hay alguna fila que acaba en 1.Se dice que una fórmula es una tautología si es cierta para todas las valoraciones, es decir, si en su tabla de verdad todas las filas acaban en 1.Se dice que una fórmula es una contradicción si es falsa para todas las valoraciones, es decir, si en su tabla de verdad todas las filas acaban en 0.

Seguidamente ya podemos pasar a definir nuestro cálculo semántico ╞ , el cual será una relación15 en vez de una operación.

Sea Σ un conjunto de fórmulas, y sea α una fórmula.¿Qué entenderemos por ser α consecuencia semántica de Σ?

15 Ejemplos de relaciones conocidas son < , > , ≤ y ≥ .

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Se dice que α es consecuencia semántica de Σ si toda valoración cumple que si hace cierta todas las fórmulas de Σ, entonces también hace cierta a α.

Usaremos la notación Σ α para expresar que α es consecuencia semántica de Σ. Llamaremos Con (Σ ) al conjunto formado por todas las fórmulas que son consecuencia semántica de Σ.

Ejemplo: Justificar la afirmación P , Q ∨ ¬P , P ∧ Q → R ╞ RP Q R P Q ∨ ¬

PP ∧ Q → R R

1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 0 01 0 1 1 0 1 11 0 0 1 0 1 00 1 1 0 1 1 10 1 0 0 1 1 00 0 1 0 1 1 10 0 0 0 1 1 0

La única valoración que hace verdad los antecedentes es la primera de la tabla anterior, la cual a su vez también hace verdad el consecuente. Por tanto, queda justificada la afirmación.

Diremos que dos fórmulas α y β son semánticamente equivalentes cuando se cumpla alguna de las siguientes condiciones:

i) v(α) = v(β) para todas las valoraciones.i) α ╞ β, y β ╞ α.

Es fácil ver que cuando se cumple alguna de esas condiciones automáticamente ocurre la otra.Usaremos la notación α ╞ ╡β para expresar que las fórmulas α y β son semánticamente equivalentes.¿Por qué se usa ese símbolo?

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Tema 3. La sintaxis del lenguaje proposicionalCalculemus. El sueño de Leibniz

Tema 3

LA SINTAXIS DEL LENGUAJE PROPOSICIONAL

Sea Σ un conjunto de fórmulas, y sea α una fórmula.¿Qué entenderemos por una demostración formal de α a partir de Σ ?

Una demostración formal de α a partir de Σ es una sucesión finita de fórmulas tal que cada fórmula cumple alguna de estas condiciones:

i) Es una fórmula de Σ o una hipótesis momentánea introducida por alguna regla básica.

ii) Se obtiene de fórmulas anteriores en la sucesión aplicando alguna regla básica de inferencia16.

Usaremos la notación Σ α para expresar que existe una demostración formal de α a partir de Σ. Llamaremos Ded (Σ ) al conjunto formado por todas las fórmulas demostrables formalmente a partir de Σ.

Diremos que dos fórmulas α y β son sintácticamente equivalentes cuando se cumpla que α ├ β, y β├ α.Usaremos la notación α ├ ┤β para expresar que las fórmulas α y β son sintácticamente equivalentes.¿Por qué se usa ese símbolo?

16 Ver la página siguiente.

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REGLAS BÁSICAS DE INFERENCIA (α, β, δ tres fórmulas arbitrarias)

Introducción de la negación (IN) Eliminación de la negación (EN)Reducción al absurdo (Abs) Doble negación (DN)

α ¬¬ α α

β ∧ ¬ β ¬α

Introducción de la implicación (II) Eliminación de la implicación (EI)Teorema de la deducción (TD) Modus ponens (MP)

α α → β α

β βα → β

Introducción de la conjunción (IC) Eliminación de la conjunción (EC1, EC2)

α α ∧ β α ∧ β β α βα ∧ β

Introducción de la disyunción (ID1, ID2) Eliminación de la disyunción (ED)

α β Prueba por casos (Cas)α ∨ β α ∨ β α ∨ β

α

δ β

δ δ

REGLAS DERIVADAS DE INFERENCIA (α, β, δ tres fórmulas arbitrarias)

Ley de identidad (Id) Introducción doble negación (IDN) α ¬¬ α α α

Silogismo hipotético (Sil) Modus tollens (MT)Contraposición (Cp)

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α → β α → β α → β β → δ ¬β ¬δ → ¬α α → δ ¬α

Conmutativa conjunción (CC) Conmutativa disyunción (CD)

α ∧ β α ∨ β β ∧ α β ∨ α

Asociativa conjunción (AC) Asociativa disyunción (AD) α ∧ ( β ∧ δ ) α ∨ ( β ∨ δ ) ( α ∧ β ) ∧ δ (α ∨ β ) ∨ δ

Dilema (Dil) Silogismo disyuntivo (SD) Principio tercio excluso (PTE)

α ∨ β α ∨ β ∅ α → δ ¬α α ∨ ¬α β → δ β δ

Principio de no contradicción (PNC) Ex contradictione quodlibet (ECQ)

∅ α ∧ ¬α ¬(α ∧ ¬α ) β

Definición de la implicación (DI1) Definición de la implicación (DI2)

α → β α → β ¬(α ∧ ¬β ) ¬α ∨ β

Leyes de De Morgan (DM1) Leyes de De Morgan (DM2)¬ ( α ∧ β ) ¬ ( α ∨ β ) ¬α ∨ ¬β ¬α ∧ ¬β

Definición de la conjunción (DC1) Definición de la conjunción (DC2)

α ∧ β α ∧ β ¬(α → ¬β) ¬(¬α ∨ ¬β )

Definición de la disyunción (DD1) Definición de la disyunción (DD2)

α ∨ β α ∨ β ¬α → β ¬(¬α ∧ ¬β )

Introducción coimplicador (ICO) Eliminación coimplicador (ECO1, ECO2)

α → β α ↔ β α ↔ β

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β → α α → β β → α α ↔ β

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Tema 4. El teorema de completitud Calculemus. El sueño de Leibniz

Tema 4

EL TEOREMA DE COMPLETITUD

El teorema de completitud afirma que:

Ded(Σ )= Con(Σ ) para cualquier conjunto de fórmulas Σ

Es decir, pone de manifiesto que los conceptos de ser verdad y ser demostrable en el fondo son el mismo: todo lo que es demostrable es verdad, y todo lo que es verdad es demostrable.Así pues, dice que los símbolos ╞ y├ vienen a ser el mismo, pueden intercambiarse siempre que se quiera. Es decir, Σ ╞ α si y sólo si Σ ├ α.

¿Para qué tareas es más indicado el uso de ╞? ¿Para cuáles el de ├?

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Apéndice 1. El sueño de Leibniz Calculemus. El sueño de Leibniz

Apéndice 1

EL SUEÑO DE LEIBNIZ

El sueño de Leibniz es un programa ideado por Leibniz (1646-1716) que consta esencialmente de dos puntos:1) Construir un lenguaje que permita expresar sin ambigüedades

todos los pensa-mientos17. Este lenguaje él lo llamaba Characteristica universalis.

2) Dar un cálculo sobre el lenguaje anterior que permita decidir si un enunciado es verdadero o falso. Este cálculo lo llamaba Calculus ratiocinator.

Es la primera vez en la historia en la que se observa la aparición de la idea de buscar una mecanización del pensamiento, del razonamiento, etc.

A continuación se dan una serie de textos que permiten vislumbrar los puntos claves del sueño de Leibniz así cómo responder a preguntas que surgen inevitablemente al estudiarlo un poco.

¿En qué consiste el sueño de Leibniz? En los dos fragmentos siguientes se ilustran las ideas fundamentales del programa que ideó Leibniz.

Estas ideas encuentran una primera exposición en Leibniz, quien desde su juventud, en pos de “un alfabeto de los pensamientos humanos” y de “un idioma universal”, se propone construir “una característica universal”, especie de lenguaje

17 No tan sólo matemáticos, sino que también filosóficos, religiosos,…

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simbólico capaz de expresar sin ambigüedad todos los pensamientos humanos, de manera que “al surgir una controversia entre dos filósofos, éstos la zanjarían a la manera de los calculistas. Bastaría, en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse: calculemos”.18

…en la medida en que fuese posible tomar tales decisiones razonando a partir de los hechos. Porque si bien es cierto que siempre se necesitan algunas experiencias como base del razonamiento, una vez estas experiencias hubieran sido dadas, podríamos extraer de ellas todo aquello que cualquier otra persona pudiera extraer de esas mismas experiencias, e incluso podríamos descubrir cuánta experiencia más se necesitaría para que nuestras mentes quedasen libres del resto de nuestras dudas…Si dispusiéramos de un cuerpo de signos que se ajustasen al propósito de poder tratar todas nuestras ideas de un modo tan claro, tan verdadero y tan detallado como son tratados los números en Aritmética o las líneas en la Geometría del Análisis, podríamos llevar a cabo el tratamiento de toda cuestión, mientras se encontrase sometida al control del razonamiento, todo lo que podemos llevar a cabo en Aritmética y Geometría. Todo trabajo científico que dependa del razonamiento sería efectuado recurriendo al cambio e intercambio de signos y mediante una especie de álgebra; una consecuencia de ello sería que el descubrimiento de hechos de gran interés e importancia resultaría fácilmente asequible. No habría necesidad de forzar nuestras mentes en el ejercicio de duras tareas hasta el extremo en que ahora se hace, y tendríamos la certeza de estar en condiciones de obtener todo el conocimiento posible del material que se nos diera. Además, todo el mundo estaría de acuerdo acerca de los resultados obtenidos, porque sería fácil revisar las operaciones realizadas, o bien volviéndolas a hacer o bien sujetándolas a comprobaciones similares a la popular “prueba de los nueves” en Aritmética. Y si alguien abrigase dudas acerca de alguno de mis enunciados, yo le diría: hagamos cálculos, y así, tomando papel y lápiz, pronto llegaríamos a la solución.19

¿Cuál es la importancia de la characteristica universalis dentro del programa? Lo único que interesa en el fondo es el cálculo final, pero para poder llevarlo a cabo es necesario como paso previo la construcción del lenguaje. En el siguiente fragmento se ilustra esta idea, es decir, que Leibniz sólo necesita la characteristica universalis como herramienta para su calculus ratiocinator.

…En realidad, su simbolismo únicamente constituye el último nivel de la abstracción y de la formalización, sin ser construido como algo que tenga valor por sí mismo como “hilo de Ariadna”20

18 REY PASTOR, J.; BABINI, José. Historia de la matemática. Gedisa, 19973, Volumen II, pág. 189.19 NIDDITCH, P. H. El desarrollo de la lógica matemática. Madrid, Cátedra, Teorema, 19955, pág. 29.20 Ariadna es un personaje mitológico griega. La leyenda cuenta que fue el hilo de Ariadna el que permitió salir a Teseo del laberinto una vez dio muerte al

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para adentrarse en el laberinto de las deducciones: “Llamo hilo del raciocinio a cierto método fácil y seguro, siguiendo al cual podamos, sin fatiga de la mente, sin confines y sin motivo de error, proceder con no menos seguridad que quienes disponen de un hilo de Ariadna en un laberinto”. Esto, como se ha dicho, debía servir especialmente para poner orden en las discusiones filosóficas: “Es preciso lograr que cualquier paralogismo21 no sea otra cosa que un error de cálculo…Una vez conseguido, cuando surjan controversias, no tendremos más necesidad de discutir, entre filósofos , que la que hay entre dos calculadores. En efecto, bastará tomar la pluma en la mano, sentarse a la mesa y decirse el uno al otro: calculemos22”…23

¿Cómo pensaba Leibniz la construcción de su lenguaje? La idea de la construcción de un lenguaje no fue absolutamente nueva por parte de Leibniz24, ya había habido intentos anteriores por parte de Ramón Llull y Descartes. En el siguiente fragmento se observa que para la construcción de su lenguaje Leibniz pretendía seguir el mismo sistema que ya usó Llull.

…Se comprende fácilmente que, con tal esquema en la mente, Leibniz llegara a pensar en una characteristica universalis estructurada de manera que a cada pensamiento elemental se haga corresponder un signo y se establezcan reglas de combinación , que permitan pasar de signos elementales a signos complejos, de un modo estrictamente paralelo a como pueden construirse pensamientos complejos a partir de pensamientos elementales. Debía establecerse, luego, un conjunto de reglas para operar sobre tales signos, que permitieran obtener, a partir de un signo S, otro signo S´, cuando los pensamientos por ellos significados sean uno consecuencia del otro. Esto sigue de cerca las ideas del pensador medieval mallorquín Ramón Llull, que ya consideró posible construir el saber de manera meramente calculística mediante la combinación de un número finito de conceptos elementales…25

¿Cuáles fueron las motivaciones históricas que posibilitaron que Leibniz pusiera su mirada en este programa? No hay duda alguna que gran parte del mérito es del propio Leibniz, pero no es menos cierto que la situación histórica de la época también influyó. Esto queda de manifiesto al examinar el siguiente fragmento.

Minotauro.21 Un paralogismo es un razonamiento falso.22 En latín calculemus.23 AGAZZI, Evandro. La lógica simbólica. Barcelona, Herder, 19793, pág. 78.24 El mérito de Leibniz recae en que fue el primero en pensar en dar un cálculo, lo cual es lo verdadera-mente interesante. Ya se ha visto que para Leibniz el lenguaje era simplemente una herramienta para el cálculo.25 AGAZZI, Evandro. Op. cit., pág. 79.

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…Todo ello se debía, en gran medida, al hecho mismo de que las matemáticas, rompiendo la tradición multisecular que las habían encerrado en el ámbito de la geometría, se habían ido construyendo un simbolismo cada vez más manejable y seguro, capaz de funcionar de una manera, por así decir, mecánica y automática, sin necesidad de hacer continuamente referencia a contenidos geométricos intuitivos, y sujetos a operaciones que, en el fondo, no eran sino reglas para la manipulación de símbolos, a los cuales podía oportunamente (aunque ello no fuera de hecho necesario) asociarse alguna de las interpretaciones intuitivas tradicionales. Pues bien, el genio matemático de Leibniz se dio certeramente cuenta de todo esto y concibió, también para la deducción lógica, una desvinculación análoga respecto al contenido semántico de las proposiciones, la cual, además de aligerar el proceso inferencial del esfuerzo por tener presentes el significado y las condiciones de verdad de la argumentación, pusiera la deducción a salvo de la fácil influencia que sobre ella puede ejercer el aspecto material de las proposiciones. De este modo, correspondió a Leibniz la gloria de haber aislado la verdadera naturaleza del “cálculo” en general, además de la de haber aprovechado por primera vez la oportunidad de reducir las reglas de la deducción lógica a meras reglas de cálculo, es decir a reglas cuya aplicación pueda prescindir de la consideración del contenido semántico de las expresiones. La moderna lógica simbólica está perfectamente de acuerdo con esta posición leibniziana acerca de las ventajas y de la naturaleza del simbolismo…26

¿Cuál fue la contribución real de Leibniz al éxito de su sueño? Leibniz no ha pasado a la historia precisamente por los logros alcanzados por él en este terreno. Apenas consiguió ningún avance a lo largo de su vida, tal vez una buena frase para reflejar su escaso éxito sea el refrán quien mucho abarca poco aprieta. En el siguiente texto se puede observar lo anteriormente expuesto.

…En realidad, la aportación de Leibniz quedó reducida sustancialmente a un mero programa, del que sólo ejecutó algunos fragmentos, muy parciales aunque muy interesantes y capaces de hacernos comprender bastante bien como concebía su obra completa… Probablemente la excesiva magnitud del plan de su characteristica universalis, es decir, del sistema de todo el saber construido de manera puramente combinatoria a partir de un número finito de conceptos elementales, sedujo a Leibniz con quiméricas perspectivas, alejándole del objetivo más modesto, pero alcanzable , de la construcción del primer auténtico cálculo lógico, que el genio de Leibniz ciertamente habría sido capaz de realizar…27

¿Qué consecuencias tendría que los humanos alcanzáramos el sueño de Leibniz?

26 AGAZZI, Evandro. Op. cit., pág. 76.27 AGAZZI, Evandro. Op. cit., pág. 81.

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Sería una panacea intelectual, tendríamos todos los problemas intelectuales resueltos sin apenas esfuerzo. En el terreno matemático lo que eso comportaría queda bien expuesto en el siguiente fragmento de Poincaré.

…de tal modo que, y es el objetivo explícito, para demostrar un teorema no es necesario, y ni siquiera útil, saber qué quiere decir. Se podría sustituir el matemático por el piano à raisonner imaginado por Stanley Jevons o, si se prefiere, se puede imaginar una máquina en la que se introduzcan los axiomas por un extremo y salgan los teoremas por el otro, como aquella fabulosa máquina de Chicago en la que introducía a los cerdos vivos y salían convertidos en salchichones y salchichas. Al igual que la máquina, el matemático no necesita saber lo que hace…28

28 LOLLI, Gabriele. La máquina y las demostraciones. Matemáticas, lógica e informática. Madrid, Alianza Universidad, 1987, pág. 20.

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Apéndice 2. Aplicación a los circuitos eléctricosCalculemus. El sueño de Leibniz

Apéndice 2

APLICACIÓN A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Encontrar circuitos eléctricos que hagan lo mismo pero que necesiten de menos elementos para su construcción.

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Apéndice 3. ¿Qué es una demostración? Calculemus. El sueño de Leibniz

Apéndice 3

¿Qué es una demostración?

Una posible conversación entre un matemático ideal29 (M.I.) con un estudiante (E.) con respecto al concepto de demostración podría ser perfectamente la siguiente.

E: Profesor, ¿qué es una demostración matemática?M.I.: ¿Cómo, no sabe eso? ¿En qué curso está usted?E: En tercer curso.M.I.: ¡Increíble! ¡Una demostración es lo que me ha visto hacer en

clase tres veces a la semana durante estos tres años! ¡Eso es una demostración!

E: Profesor, le pido mil disculpas. Debí explicarle que estudio filosofía, no matemáticas, y nunca he asistido a sus clases.

M.I.: ¡Ah, bueno, en tal caso…! De todas formas, habrá pasado por algún curso de matemáticas, ¿verdad? ¿Conoce la demostración del teorema fundamental del cálculo, o el teorema fundamental del álgebra?

E: He visto razonamientos de geometría, de álgebra y de cálculo diferencial que eran llamados demostraciones. Pero lo que le estoy pidiendo no son ejemplos de demostración, sino una definición de demostración. Pues, sin ella, ¿cómo puedo saber que sus ejemplos son válidos?

M.I.: Bueno, todo este asunto fue zanjado por el lógico Tarski, me parece, y por algunos otros, seguramente Russell o Peano. De todos modos, lo que se hace es expresar los axiomas de la teoría de que se trate en un lenguaje formalizado, que utiliza un alfabeto o lista de símbolos dado. A continuación, se escriben las hipótesis de los teoremas con ese mismo simbolismo. Seguidamente, se muestra que mediante las reglas de la lógica se pueden ir transformando paso a paso las

29 Ideal en el sentido platónico, no en el sentido habitual.

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Apéndice 3. ¿Qué es una demostración? Calculemus. El sueño de Leibniz

hipótesis hasta alcanzar la conclusión. Eso es una demostración.

E: ¿De verdad? ¡Es sorprendente! ¡He seguido cursos de cálculo elemental y superior, álgebra básica y topología, y jamás he visto hacer nada por el estilo!

M.I.: ¡Claro que nadie lo hace! ¡Se tardaría una vida! Basta hacer ver que sería posible hacerlo; con eso es suficiente.

E: Pero eso ni siquiera se parece a lo que yo he visto en mis cursos y en mis textos. En definitiva, lo cierto es que los matemáticos no hacen demostraciones.

M.I.: ¡Cómo que no! ¡Un teorema no demostrado no es nada!E: En tal caso, ¿qué es verdad de una demostración? Si ha de ser

algo expresado en lenguaje formal y construido por transformaciones de las fórmulas, entonces nadie demuestra nada. ¿Hay que saber mucho de lenguajes y lógicas formales para poder dar una demostración matemática?

M.I.: ¡Desde luego que no! Cuanto menos se sepa, mejor. A fin de cuentas, todo eso no son más que sinsentidos abstractos.

E: Entonces, ¿qué es de verdad una demostración?M.I.: Bueno, es un razonamiento que convence a quienes conocen

bien la cuestión.E: ¿A quienes conocen la cuestión? Entonces, la definición de

demostración es subjetiva, depende de personas concretas. Antes de poder dar por cierto que algo es una demostración tengo que determinar quienes son los expertos capacitados para juzgarla. ¿Qué tiene que ver todo esto con la demostración de algo?

M.I.: ¡No, no! ¡Una demostración no tiene nada de subjetiva! Todo el mundo sabe lo que es. Mire, léase unos cuantos libros, siga los cursos de un matemático competente, y enseguida lo entenderá.

E: ¿Está usted seguro?M.I.: Bueno…, también pudiera ser que usted no tuviera aptitudes.

Son cosas que pueden pasar.E: En resumen, que es usted quien decreta lo que es una

demostración y lo que no. Y si yo no aprendo a ver las cosas de igual modo que usted, entonces usted decreta que yo carezco de aptitudes.

M.I.: Si no yo, entonces ¿quién?30

30 DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. Experiencia matemática. Barcelona, Labor, 1988, pág. 43.

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Apéndice 4. Los objetos matemáticos Calculemus. El sueño de Leibniz

Apéndice 4

LOS OBJETOS MATEMÁTICOS

Cuando se trabaja en matemáticas éstas parecen la cosa más natural del mundo. Pero, si se reflexiona sobre lo que se hace y el significado qué tiene, las matemáticas son misteriosas. ¿Cómo podemos hablar de cosas que nadie ha visto, y comprenderlas mejor que los objetos sólidos de la vida ordinaria? ¿Qué sabemos, en matemáticas, y de qué modo lo conocemos?

En todas las exposiciones sobre los fundamentos de la matemática se distinguen claramente dos posturas diferentes: la platonista y la formalista.

1. Concepción platonistaPara ella los objetos matemáticos son reales, y su existencia,

un hecho objetivo independiente por completo del conocimiento que de ello tengamos. No son tales objetos, como es obvio, ni físicos ni materiales. Su existencia se halla fuera del espacio y del tiempo de la existencia física. Son inmutables; no fueron creados y no pueden cambiar ni desaparecer. Toda pregunta que pueda hacerse al respecto de un objeto matemático tiene respuesta definida, seamos o no capaces de determinarla. En el platonismo, los matemáticos son científicos empiristas, como los geólogos. Nada pueden inventar, porque todo está ya presente. Todo cuanto pueden hacer es descubrir.

2. Concepción formalista Para ella no hay objetos matemáticos. La matemática consiste meramente en axiomas31, definiciones y teoremas. Es decir, la matemática son fórmulas. En una concepción extrema, lo único que

31 Afirmaciones supuestas, es decir, hipótesis adicionales.

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Apéndice 4. Los objetos matemáticos Calculemus. El sueño de Leibniz

hay son reglas mediante las cuales se pueden deducir fórmulas a partir de otras, pero las fórmulas no se refieren a nada; son nada más tiras de símbolos. Como es natural, el formalista sabe que las fórmulas matemáticas son aplicadas a problemas físicos. Cuando una fórmula recibe una interpretación física adquiere un significado, y puede ser, ahora verdad, ahora falsa. Esta veracidad o falsedad tiene que ver con la interpretación física concreta. En tanto que la fórmula matemática no tiene significado, y tampoco tiene asignado valor de verdad.

La corriente formalista queda perfectamente ilustrada a través de las “formas vacías” que introduce el siguiente fragmento.

La tendencia formalista, cuyo adalid fue Hilbert, constituyó la corriente tradicional y más afín a los matemáticos profesionales. Según ella la matemática no es sino un variado juego de signos y símbolos de carácter formal, sin contenido empírico alguno. Estas “formas vacías” obedecen a una serie de reglas de estructura y de deducción que, en último análisis, descansan en un sistema de axiomas. Un sistema formal así concebido depende única y exclusivamente de su validez lógica, de manera que el problema central del formalismo es el de la demostración de la no contradicción del grupo básico de axiomas de cada sistema formal.32

Ahora es interesante reflexionar sobre estos dos puntos de vista sobre las matemáticas. Una posibilidad es intentar responder las siguientes preguntas.¿Cuando nació la corriente platonista? ¿Y la corriente formalista?¿Cuál es tu postura: platonista o formalista?¿Existe el uno? ¿Y el dos? ¿Existen conjuntos infinitos o sólo existen conjuntos finitos tan grandes como queramos? ¿Existe N? ¿Existe R?¿La noción de triángulo es real o es simplemente una “forma vacía”? ¿Existen los triángulos?¿Qué hay más, matemáticos platonistas o matemáticos formalistas?

Bibliografía:DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. Experiencia matemática. Barcelona,Labor,1988.REY PASTOR, J.; BABINI, José. Historia de la matemática. Gedisa,19973,Volumen II.

32 REY PASTOR, J.; BABINI, José. Historia de la matemática. Gedisa, 19973, Volumen II, pág. 199.

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Apéndice 5. Paradojas Calculemus. El sueño de Leibniz

Apéndice 5

PARADOJAS

Se suele llamar paradojas a resultados desconcertantes, totalmente extraños, opuestos a la idea general que uno tiene del tema en cuestión. Son ocasionadas por razonamientos incorrectos, la cual cosa diferencia las paradojas de las contradicciones.

A continuación se comentan dos paradojas bastante conocidas.

La paradoja del mentiroso

PlanteamientoUna persona dice “Yo miento”. Entonces, ¿ha mentido o ha dicho la verdad?

¿Dónde está la paradoja?Si ha mentido ⇒ ha dicho la verdad.Si ha dicho la verdad ⇒ ha mentido.

La paradoja del Quijote

PlanteamientoEsta paradoja aparece entre las cuestiones sometidas al juicio de

Sancho Panza como gobernador de la ínsula de Barataria33. Un resumen de la situación allí planteada es el siguiente.

El dueño de un río había impuesto como condición a quién quisiera pasar por un puente que lo cruzaba, que debía “jurar

33 Parte II, Capítulo II de la obra El Quijote de Cervantes.

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Apéndice 5. Paradojas Calculemus. El sueño de Leibniz

primero a dónde y a qué va; y si juráse verdad, déjenle pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra”. Ocurrió entonces que un hombre dijo que no iba a otra cosa que “a morir en aquella horca”, con lo cual los encargados del cruce del puente quedaron desconcertados, pues si lo dejaban pasar libremente el hombre había mentido y debía morir en la horca, pero si era ahorcado había dicho verdad y se debía pasar dejar libremente.34

¿Dónde está la paradoja?Si los encargados lo dejan pasar ⇒ ha mentido ⇒ lo cuelgan.Si los encargados lo cuelgan ⇒ ha dicho la verdad ⇒ lo dejan pasar.

Desenlace de la historiaSeguidamente se expone el desenlace de la situación que tiene

lugar en la obra de Cervantes. Éste puede resumirse así.

Lo que sigue ya no es una cuestión de lógica, pero vale la pena terminar el cuento. Consultado el buen Sancho, que no entiende de sutilezas lógicas, propone al principio una imposible solución salomónica: “que deste hombre aquella parte que juró verdad la dejen pasar y la que dijo mentira la ahorquen”, más luego, cediendo a razones no lógicas pero sí humanitarias, resuelve que lo dejen pasar libremente “pues siempre es alabado más el hacer bien, que mal”.35

Cuando uno se encuentra con un resultado desconcertante como éstos automáticamente le asalta la pregunta de si se habrá equivocado en su cadena de razonamientos.36

¿Son realmente paradojas o son contradicciones?Si son paradojas, ¿dónde está el fallo en nuestro razonamiento?Si son contradicciones, ¿qué comporta la existencia de contradicciones?

34 REY PASTOR, J.; BABINI, José. Historia de la matemática. Gedisa, 19973, Volumen II, pág. 200.35 Idem.36 Es interesante formalizar los argumentos dentro de la lógica para así disponer de un lenguaje preciso.

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Apéndice 6. El despertar del sueño Calculemus. El sueño de Leibniz

Apéndice 6

EL DESPERTAR DEL SUEÑO

Desgraciadamente, el sueño de Leibniz incluso restringiéndonos a la lógica es inalcanzable. Así pues, no hay forma alguna de mecanizar el pensamiento, al menos de la forma en qué entendemos los procesos mecánicos37 hoy en día. ¿Quién sabe si de otra forma si qué es asequible dicho sueño?

En los siguientes textos se pretende documentar con un par de fragmentos la afirmación antes expuesta, es decir, la imposibilidad de realizar el sueño de Leibniz.

Leibniz contempló la posibilidad de una máquina calculadora que pudiera resolver todos los problemas matemáticos y también todos los filosóficos. Dejando a un lado los filosóficos, parece ser que incluso para los matemáticos el sueño de Leibniz no era factible. Esto se deriva de los resultados de Gödel, Rosser, Church, Kleene, Turing y Post, de cuyo trabajo nos ocuparemos ahora.38

Por consiguiente, no hay ningún procedimiento puramente “mecánico” para descubrir que frases son demostrables en que sistemas de axiomas y cuales no. Por tanto, cualquier tentativa de inventar un ingenioso mecanismo que nos resuelva todos los problemas matemáticos está sencillamente condenada al fracaso.En las proféticas palabras del lógico Emil Post (1944), esto significa que el pensamiento matemático es, y debe seguir siendo, esencialmente creativo. O, como comenta agudamente el

37 Son los procesos computables por ordenador.38 SMULLYAN, Raymond. ¿La dama o el tigre? Madrid, Cátedra, Teorema, pág. 261.

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Apéndice 6. El despertar del sueño Calculemus. El sueño de Leibniz

matemático Paul Rosenbloom, esto significa que el hombre nunca podrá eliminar la necesidad de emplear su propia inteligencia, independiente-mente del ingenio que utilice para intentarlo.39

39 SMULLYAN, Raymond. Op. cit., pág. 269.

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Ejercicios. Tema 1 Calculemus. El sueño de Leibniz

TEMA 1El lenguaje proposicional

1. Demostrar que estas tiras de símbolos son fórmulas del lenguaje proposicional.

a) Pb) ( Q → P )c) ( ( R ∧ (¬S ) ) ∧ P )d) ( ( Q → P ) ∨ ( ¬ ( Q → P ) → S )e) ( P ∨ ( P → Q ) )f) P ↔ Q

Observación: El uso de paréntesis es un engorro como se puede apreciar. ¿Cómo se pueden escribir estas fórmulas sin ellos? Tener en cuenta el orden de prioridad.

A partir de ahora nos ahorraremos los paréntesis siempre que podamos. Es decir, admitiremos por ejemplo que P → Q es una fórmula aunque le faltan los paréntesis estrictamente hablando.

2. Identificar las fórmulas que tenemos en las siguientes tiras de símbolos.

a) P ∧ →Qb) P ∨ ¬Qc) Q ∧ P → ¬R Sd) P ∧ Q ∧ Re) ( P ∧ Q ) ∧ Rf) P ↔ Qg) ¬R → P ∨ ¬Q

Justificar las respuestas. ¿Qué se observa al comparar d) con e) ?

3. Explicar en las siguientes fórmulas el orden de agrupamiento de sus conectivas (El uso de paréntesis es una forma rápida de hacerlo). Si hay ambigüedades comentar las diversas posibilidades.

a) P → R ∨ ¬Sb) P → R ∨ ¬S → Qc) P ∨ Q ∨ Rd) P ∧ Q ∨ Re) P → S ↔ ¬Rf) ¬ ¬ P ∧ Qg) P ∧ ( P → P ∨ Q )

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4. Averiguar las subfórmulas de las fórmulas del ejercicio 1.

5. Simbolizar las proposiciones siguientes, indicando cuál es la proposición atómica simbolizada por cada una de las letras mayúsculas.

a) Si son más de las seis, entonces la asamblea ha empezado.b) O mi reloj va mal o llegaremos tarde.c) Este libro tiene más páginas que aquel otro.d) Si las células de la planta no tienen clorofila, entonces no

pueden sintetizar los alimentos.e) La piedra arenosa se produce por medio de capas de arena

endurecida y la piedra caliza se produce por las conchas de pequeños animales en el mar.

f) Si la tribu fuera nómada, entonces no construiría chozas permanentes.

g) Somos capaces de hacer todos los ejercicios de esta página.h) Juan irá a la fiesta sólo si Mari va.i) No vi la película, pero leí la novela.j) Ni vi la película ni leí la novela.k) No es cierto que viese la película y leyese la novela.l) Vi la película, aunque no leí la novela.m) O los hombres han nacido iguales o no son libres.n) Si los verdaderos amigos tienen todo en común, entonces tú

no puedes ser más rico que tu compañero si dices que sois verdaderos amigos. (Platón)

o) 2 es número primo porque sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.

p) Si x + 3 < 5, entonces x < 2.q) x2 + 5x + 6 = 0 si y sólo si x = -2 o x = -3.r) Si x + z = 0 y x > 0, entonces z < 0.

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TEMA 2La semántica del lenguaje proposicional

2.1 El cálculo veritativo sobre el conjunto {0,1}

6. Demostrar que la operación ↔ es la dada por la siguiente tabla.x y x ↔ y1 1 11 0 00 1 00 0 1

Indicación: Recordar que x ↔ y es una abreviación de ( x → y ) ∧ ( y → x).

7. Calcular:a) ( 0 ∧ 1 ) ∨ ¬1 → 1 = b) 0 → 0 → 0 =c) ( 0 → 0 ) → 0 =d) 0 → ( 0 → 0 ) =e) (¬1 ∧ 1 ) → 0 =f) 1 → ( ( 0 ∨ 1 ) ∧ 0 ) =g) 0 ∧ x =h) 0 ∨ x =i) 1 ∨ x =j) 0 → x =k) x → 1 =l) 0 ↔ (¬1 → ( x ∨ 0 ) ) =

Observación: x es una variable, es decir, tanto puede ser 0 como 1.

8. Justificar las siguientes afirmaciones:a) La operación ∧ es asociativa y conmutativa.b) La operación ∨ es asociativa y conmutativa.c) La operación → no es ni asociativa ni conmutativa.d) La operación ↔ es asociativa y conmutativa.

¿Qué se puede decir de la operación ¬? ¿Es asociativa? ¿Es conmutativa?

9. Estudiar las siguientes ecuaciones e identidades del cálculo semántico.

a) x ^ 0 = 1.

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b) 1 ∧ ( 0 ∨ x → 0 ) = 1.c) 1 ∧ ( 0 ∨ x → 0 ) = 0.d) x → x = 0.e) ( x ∧ 1 ↔ 0 ) → 0 = 1 → x.f) x → y = 1 → y.g) ( x ∧ ¬ y ) ↔ x = y y ∨ 1 = xh) x = ¬¬x. i) x → y = ¬ x ∨ y.j) ¬ ( x ∧ y ) = ¬ x ∨ ¬ y.k) ¬ ( x ∨ y ) = ¬ x ∧ ¬ y.

Las dos últimas igualdades reciben en nombre de leyes de De Morgan. ¿Son ecuaciones o identidades?

¿Qué diferencias observas al comparar el cálculo veritativo sobre {0,1} con el cálculo tradicional sobre R? ¿Cuál es más sencillo? ¿Por qué?

2.2 El cálculo semántico proposicional

10. Construir las tablas de verdad de las siguientes fórmulas. Identificar las tautologías, las contradicciones y las satisfactibles. ¿Son conceptos excluyentes?.

a) P ∨ ¬Pb) P ∧ ¬Pc) ( P → Q ) ↔ (¬Q → ¬P)d) ( P ∨ ¬Q ) ∧ (¬P ∨ Q )e) ¬ ( P ∨ Q ) ∨ (¬Q ∨ R)f) P → ( P ∧ R )g) P ∧ ( P ∨ ¬Q )h) ¬P → P

Observar las tablas resultantes de los dos últimos apartados. Pensar fórmulas más sencillas que nos den las mismas tablas de verdad. ¿Con cuáles de ellas es preferible trabajar?

11. Demostrar las siguientes equivalencias entre fórmulas:a) P ∧ Q╞ ╡Q ∧ P( P ∧ Q ) ∧ R╞ ╡P ∧ ( Q ∧ R )b) P ∨ Q ╞ ╡Q ∨ P( P ∨ Q ) ∨ R╞ ╡P ∨ ( Q ∨ R )c) P ↔ Q ╞ ╡Q ↔ P

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( P ↔ Q ) ↔ R╞ ╡P ↔ ( Q ↔ R )d) P ╞ ╡¬¬Pe) P → Q ╞ ╡¬P ∨ Qf) ¬ ( P ∧ Q ) ╞ ╡¬P ∨ ¬Qg) ¬ ( P ∨ Q ) ╞ ╡¬P ∧ ¬Q

Indicación: Usar los ejercicios 8 y 9 para ahorrarse trabajo.

Desde este instante tenemos justificado el uso de las fórmulas P ∧ Q ∧ R , P ∨ Q ∨ R , y P ↔ Q ↔ R a pesar de la ambigüedad aparente de la falta de paréntesis porque desde el punto de vista del cálculo semántico nos es indistinto donde coloquemos los paréntesis (Son fórmulas equivalentes, es decir, se cumplen para las mismas valoraciones). Así pues para el resto del tema 2 tenemos justificado el uso de ellas sin paréntesis.No obstante, si queremos usar esas fórmulas para propósitos diferentes del cálculo semántico volveremos a tener problemas de ambigüedad.

12. Demostrar la validez de los siguientes argumentos:a) P , P → Q ╞ Qb) P → Q ╞ ¬ ( P ∧ ¬Q )c) P ∧ ¬Q , P → ¬R ╞ ¬R ∨ Qd) Sea α una contradicción cualquiera. Ver que toda fórmula es

consecuencia semántica de α.

13. Demostrar que los siguientes argumentos son incorrectos:a) P → Q , ¬P ╞ Qb) ¬ ( R ∧ ¬S ) ╞ Sc) ╞ P ∨ (Q → P) ∨ ¬P

Observación: Si a la izquierda del símbolo╞ no hay nada se sobreentiende que nos referimos a las consecuencias del conjunto vacío.

14. Formalizar y justificar la corrección del siguiente argumento semánticamente:

Aristóteles nació en Estagira y fue tutor de Alejandro Magno. Pero si nació en Estagira fue de nacionalidad macedónica. Por tanto, Aristóteles fue de nacionalidad macedónica.

15. Formalizar y justificar la corrección del siguiente argumento semánticamente.

El oxígeno del tubo, o bien se combinó con el filamento para formar un óxido, o bien se evaporó completamente. El oxígeno del

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tubo no puede haberse evaporado totalmente. Luego el oxígeno del tubo se combinó con el filamento para formar un óxido.

16. Formalizar y justificar la corrección del siguiente argumento semánticamente.

La función valor absoluto no es continua. Si la función valor absoluto es derivable, entonces es continua. En consecuencia, la función valor absoluto no es derivable.

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TEMA 3La sintaxis del lenguaje proposicional

17. Dar demostraciones formales de los siguientes argumentos:a) ¬P→ Q , Q → R ├ ¬P→ Rb) P → Q ∨ R , Q → R, R → S ├ P→ Sc) P → S , R → Q ├ ¬ ( P ∧ R )d) ├ ( P → R ) ∧ ( P → R ) → ( P ∧ Q → R ∧ S )

18. a) Demostrar: P b) Demostrar: M c) Demostrar: ¬R

(1) P ∨ Q (1) S ∧ P (1) ¬Q ∨ S(2) ¬T (2) M ∨ ¬N (2) ¬S(3) Q → T (3) S → N (3) ¬(¬R ∧ S)

→ Qd) Demostrar: “x<3” e) Demostrar: D

(1) “x+2>5” → “x=4” (1) ¬A → B(2) “x=4” → ¬”x+4<7” (2) C → B(3) ”x+4<7” (3) C ∨ ¬A(4) “x+2>5” ∨ ( “5-x<2” ∧ “x<3”) (4) ¬B ∨ D

f) Demostrar: “x2=4” ∨ “x2=9”(1) “2x2-10x+12=0” ∧ “x<4” (2) “x2-5x+6=0” ↔ “x=2” ∨ “x=3”(3) “x=2” → “x2=4”(4) “x=3” → “x2=9”(5) “2x2-10x+12=0” → “x2-5x+6=0”

g) Demostrar: T h) Demostrar: ¬(A∨ B) i) Demostrar: ¬ S(1) P → Q (1) C ∧ ¬D (1) ¬ ( P ∧ Q)(2) Q → R (2) C → ¬ A (2) ¬Q → T(3) (P → R)→ ¬S (3) D ∨ ¬B (3) ¬P → T(4) S ∨ T (4) S → ¬T

19. Formalizar y justificar la corrección del siguiente argumento sintácticamente. Si dos gases tienen la misma temperatura, entonces sus moléculas tienen el mismo promedio de energía cinética. Volúmenes iguales de dos gases tienen el mismo número de moléculas. Las presiones de dos gases son iguales si es el mismo su número de moléculas y sus energías cinéticas son iguales. Por consiguiente, si dos gases tienen la misma temperatura y el mismo volumen, tienen la misma presión.

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20. Formalizar y justificar la corrección del siguiente argumento sintácticamente.

O el ladrón atravesó la puerta, o el delito fue cometido desde dentro y uno de los sirvientes debe estar implicado en él. El ladrón pudo atravesar la puerta si y solo si el cerrojo fue descorrido desde dentro. Pero uno de los sirvientes está con seguridad implicado si el cerrojo fue descorrido desde el interior. Luego uno de los sirvientes se halla implicado en el delito.

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TEMA 4El teorema de completitud

21. Decidir si los siguientes argumentos son correctos o no (α, β, δ son tres fórmulas arbitrarias).

a) α ├ α → βb) α ∧ ( β ∨ δ ) , ¬ (β ∧ δ) ├ βc) (α ∨ β ) ∧ (¬α ∨ β ) ∧ (α ∨ ¬β ) ∧ (¬α ∨ ¬β ) ├ β ∧ ¬β

22. Justificar que los siguientes argumentos son correctos:a) P → Q , R → S , S ∧ Q → T ╞ P ∧ R → Tb) P→ Q , Q → R , R → S , ¬S , P ∨ T ╞ Tc) P → Q ∨ R , R → S , Q → T , ¬(S ∨ T) ╞ ¬P

23. Hacer una tabla en la que se compare la eficacia del Con y del Ded para hacer tareas. Es decir, describir situaciones para las que sea mejor trabajar con el Con que con el Ded, y situaciones en que suceda lo contrario.Indicación: Se pueden sacar ideas al observar las estrategias usadas para resolver los ejercicios 21 y 22.

24. Formalizar y justificar la corrección del siguiente argumento.Si dices la verdad los hombres te odiarán, y si mientes Dios te

odiará. Pero dirás la verdad o mentirás. Luego los hombres te odiarán o Dios te odiará.

25. Formalizar y justificar la corrección del siguiente argumento.Todo número natural o es primo o es compuesto. Si es

compuesto, es un producto de factores primos, y si es un producto de factores primos, es divisible por ellos. Pero si un número entero es primo, no es compuesto, aunque es divisible por sí mismo y por la unidad. Si es divisible por sí mismo y por la unidad, entonces es divisible por números primos. Por tanto, todo número natural es divisible por números primos.Indicación: P = “n es primo”, Q = “n es compuesto”, etc.

26. ¿Qué supone el teorema de completitud para el sueño de Leibniz?. ¿Es un resultado esperanzador o desalentador de cara a la consecución de dicho sueño?

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Calculemus. El sueño de Leibniz

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