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GRADO EN lNEi. CIVIL EXAMEN N SIGNATURA GRUPO CALIFICACION

AT2 TARDE

FERNANDO MINAYA EMA EXAMEN: COMPLEJOS Y LIMITES

'):'T NOTA: LA HOJA DE EXAMEN JUNTO CON EL EXAMEN DEBER ENTREGARSE. '- NO SE RESPONDER NIN~UNA DUDA, EN CASO DE DISCORDAN~IA CON EL ENUNCIADO ~ ~ EL ALUMNO LO INDICARA CONSIGNANDO" NO TIENE SOLUCION" N+~~ ~

'--' 1. Hallar el valor de las constantes a y b para que: !.!.! ~ ~ ,...

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~i~ 2. Calcular el lmite : 11 )

L ( tag 2x) r-~ Lim

L ( tag x)

3. Responder a las siguientes preguntas , multirespuesta.

'aj El conjunto de nmeros complejos a) Engloba a todos los dems conjuntos numricos.

@ Se representa en el Plano de Gauss. ~ Todas las anteriores son ciertas.

b) La derivada del Chx es : / (a)) Sh X. V b) -Sh x

-t t-J

c) Th x Todos los trminos son mayores que los de la mayorante.

c) Calcule el infinitsimo equivalente de senx; L (2-x) ; senx - x .

el) La condicin para que una funcin f(x) sea un infinitsimo s: @ Que el lmite cuando tiende a un punto X0 vale O. ,

b) Que el lmite cuando tiende a un punto X0 vale oo. c) Ninguna de las anteriores.

" '[ "" -+ -t:

l.) _J ....

....J ....... " ~

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:.--..._, , ......, ~ t: t= Q) N

4-4 C' ...J '--'"" ~

~ .:::

~ e) Enunciar las distintas formas de determinacin de un complejo. Indique un ejemplo. 1 (V 'Q._ Como se resuelven los logaritmos neperianos de un complejo. Indique un ejemplo.

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UPYl Ingeniera Civil

Y1ATE:\1TICAS II Tema l. Septiembre, 2012

1.- Dados z = ( 5, i) y z' =-y ( 2, ) obtener las formas binmica y exponencial de los nmeros " -y' -y - .,1 .,, z' Z -1 V .::.._ ....., i ...., ~ ...., ...., : ....., ' ~ J,

z

2.- Calcular z = (1 + i) 3 de dos formas distintas.

3.- Calcular lasfraces cbica~de z = - ~ + V: i. 1 (i)Fer .- -

. 1 4.- Determinar los nmeros complejos z tales que z7 y ? sean conjugados.

z-

5.- Resolver z5 = 1 + i.

6.- Uno de los vrtices de un hexgono regular de centro (O. O) es el punto (O, 2). Hallar las coordenadas de los otros vrtices.

r, . 3-2~ t 7.-l Dado el nmero complejo z =

4 _ 3i a E IR, hallar a para que:

( 1) z sea imaginario puro.

(2) z sea real.

(3) z est en la bisectriz del primer cuadrante.

8.- Dada la ecuacin z2 - 8iz - (19 - 4i) =O. cuyas races son 2 1 y z2 , hallar el valor de z para que los afijos de este nmero formen un tringulo rectngulo issceles con z1 y z2 , estando el vrtice del ngulo recto en el afijo de la raz que tenga mayor componente imaginaria.

9.- Resolver , utilizando la regla de Cramer, el sistema de variables complejas

.(.")~ .c:o~C\ O. rvA:. r. 10.- Calcular (1 - J3i~ ' - J \J \~

ll .- Determinar el nmero complejo z tal que 1z1 = 1~1 = l 1 - z I 12.- Demostrar la igualdad (coshz +senhzt = cosh(n.z) -:-senh(n.z).

13.- Resolver las siguientes ecuaciones:

@) (1) ) (2)

tan z + 5-i =O

tanhz + 2 =O

(3) sen:: = -! -y

( 4) cos i = - 2 i

{

iz + (1 + i)w = 3

(2 + i)z + iw = 4

{,.\ mmh ..

\1-o\o~ exa..o.eu. , HillaL M-J v. LL 1V 6 c:C.

.,,{.{ 7 2 .+ - j

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UPM Ingeniera Civil

Segundo examen parcial. Curso 2012/ 2013.

Apaguen y guarden los telfonos mviles.

Duracin del examen: 90 minutos.

No se permite el uso de ningn tipo de calculadoras.

Los ejercicios 1 y 2 deben entregarse por separado.

MATEMTIC:\S II 19 de Diciembre de 2012

l.- (1) Un tringulo equiltero con vrtices A(l, 1), B(3, 1) y C en el primer cuadrante, gira alrededor del eje O X. Calcular el rea y el volumen engendrado en dicho giro. ( 1 O puntos)

(~Resolver la integral euleriana (1 x 5 . dx . (5 puntos) B. lo JI - x3 -~ t= (hl 1(-1/z)

/> (l.i,,i) () 2.- (1) Calcular las trayectorias ortogonales a la familia de curvas y= Cx2 + 2C. (5 puntos)

/, ') ~ ') --\:' g) Resolver la ecuacin diferencial y"+ 3y' + 2y = x +sen x. (10 puntos)

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GRADO ING CIVIL EXAMEN N ASIGNATURA GRUPO CALIFICACION

MAT2 TARDE j PROF: FERNANDO MINAYA ingenierosabolonia.blogspot.com TEMA EXAMEN : INTEGRALES

ALUMNO:

INSTRUCCIONES: El ejercicio se realizar en esta hoja que debe entregarse al final, se puede utilizar el dorso de la pgina para su desarrollo Debe justificarse la respuesta en cada problema

3.

~.

RESUELVE LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

ex (X-1) - ex

(X - 1) 2 el X

dx

4 3 X -X -X - 1 (

oX X 3_ x2

2 . J

X

/ 4. v' J-x4

/ x

Tiempo: 45 minutos

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