Calculo 2, derivacion

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ejercicios de calculo de una variale, derivacion limites continuidad

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  • CLCULO IICUADERNO DE EJERCICIOS

    Dra. Lorena ZogaibDepartamento de Matemticas

    ITAM

    Agosto 8, 2012

    1

  • INTRODUCCIN

    Este documento constituye un material de apoyo para el curso deClculo II para las carreras de Economa y Direccin Financiera en elITAM. Contiene una recopilacin de ejercicios y aplicaciones, que com-plementan el documento de trabajo Clculo II, Notas de Clase, LorenaZogaib, Departamento de Matemticas, ITAM, agosto 8 de 2012.

    Gran parte de estos ejercicios fueron tomados de la bibliografa delcurso, as como del material utilizado por otros profesores, muy especial-mente de mis queridos colegas Carmen Lpez y Guillermo Pastor. Lasecuencia de los temas obedece al orden del temario vigente, por lo quese espera que el estudiante avance en las tareas a medida que se vayacubriendo en clase el material correspondiente.

    Con el n de que el estudiante pueda vericar sus resultados, pongoa su disposicin mis soluciones a estos ejercicios, que estn publicadas enel documento de trabajo Clculo II, Cuaderno de Ejercicios, Soluciones,Lorena Zogaib, Departamento de Matemticas, ITAM, junio 12 de 2012.Recomiendo ampliamente al lector consultar las soluciones slo despusde haber intentado resolver los ejercicios por s mismo.

    Para la elaboracin de este documento cont con la colaboracinde Alejandro Arriaga Vargas, que es estudiante de Economa del ITAM.Alejandro realiz una transcripcin del texto enWord a su versin actualen Scientic WorkPlace.

    Agradezco de antemano sus comentarios y correcciones en relacincon este material.

    Lorena Zogaib

    2

  • CLCULO IITAREA DE PRERREQUISITOS

    1. Graca las funciones f1(x) = ln x, f2(x) = ln(x), f3(x) = ln |x| ,f4(x) = ln x.

    2. Graca las funciones f1(x) = ex, f2(x) = ex, f3(x) = e|x|,f4(x) = ex.

    3. Graca la curva x+y = 1 en el plano xy.

    4. Proporciona el dominioDf y la imagen If de la funcin f(x) = lnx.

    5. Proporciona el dominio Df y la imagen If de la funcin f(x) = ex.

    6. Escribe las propiedades de la funcin ln x.

    7. Escribe las propiedades de la funcin ex.

    8. Resuelve para x :

    (a) x2 4.(b) (x 1) ex = 0.(c) ln x 1.

    9. Encuentra la derivadady

    dxen cada inciso:

    (a) y = ln x3.

    (b) y = ln3 x.

    (c) y = x ln x.

    (d) y =lnx

    x.

    (e) y =1 + 21/x

    x.

    10. Verdadero o falso?:

    (a)1

    ln x= ln x.

    (b) x1/2 =1

    x2.

    (c) ex2 lnx =ex

    x2.

    (d)ex2 = ex.

    (e)ex2

    = ex.

    3

  • CLCULO IITAREA 1

    VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES(Tema 1.1)

    1. Encuentra un vectorb con direccin opuesta a a = i+2j, que

    tenga: a) magnitud 2, b) el doble de la magnitud de a .

    2. Encuentra los puntos A y B, si v representa el vector AB, conv = 4i 6j, y el punto medio del segmento de recta entre A y Bes P (3,1).

    3. Si a = (1, 2, 3) y b = (4,1, 1) calcula: a)b , b) b ,

    c)b , d) a b , e) a b .

    4. Encuentra un vectorb con la misma direccin que a = 1

    2i 1

    2j 1

    2k,

    que tenga: a) magnitud 3, b) el triple de la magnitud de a .5. Sean P (3, 4, 5) y Q(2, 3, 4). Determina: a) la distancia entre P y

    Q, b) la direccin del vectorPQ, c) el punto medio del segmento

    de recta entre P y Q.

    6. En cada inciso calcula a b , a ,b y el ngulo entre a y b :

    (a) a = 3i 4j, b = 4i+ 3j(b) a = 3i, b =i+ j(c) a =i+ j + k, b = 2i+ 3j 4k(d) a =i+ k, b = 3i+ 4j

    7. Sia = (1, 3, 2),b = (2,4, 7) yc = (1, 0, 2), calcula: a)a (b +c ) ,b)2a +b

    (3c ), c) (a b ) (b +c ), d) (a b )(c c ).

    8. La proyeccin de un vectorb en la direccin de un vector no nuloa es el vector

    Pr oyab =

    b aa a

    a .

    Calcula Pr oyab , si a = i+ 3j + 4k y b = 2i j + k.

    4

  • 9. (a) Demuestra quea +b 2 = a 2+b 2+2 a b cos .

    Sugerencia: x 2 = x x .(b) Da ejemplos de vectores no nulosa yb en R2 que satisfagan:

    i.a +b 2 = a 2 + b 2

    ii.a +b 2 = a 2 + b 2 + 2 a b

    iii.a +b 2 = a 2 + b 2 2 a b

    10. Encuentra todos los valores tales que los vectores (3,1,1)y (, 2, 1) sean ortogonales entre s.

    11. Sean u y v vectores ortogonales unitarios y sea w = u + v.Calcula

    (a) w u(b) w w

    12. Sean x y y vectores ortogonales, tales que x = 3 y y = 2.Si w = 2x y , calcula:

    (a) w (5x )(b) w w

    13. Encuentra a b ,a b y la direccin de a b , si:

    (a) a =i+ j + 2k, b = i 2j k(b) a = 2i+ 3j, b =i 2j k

    14. Encuentra un vector que sea ortogonal a los vectores a =ij+3kyb = 2i+ 5k.

    15. En cada inciso determina si los vectores son paralelos, perpendi-culares, o ninguna de las dos cosas:

    (a) a = 3i 6j + 4k y b = i 2j + (4/3)k(b) a =i+ j, b = i+ k(c) a = 3i j, b = 6i+ 2j(d) a = 2i j + k, b = 3i+ 4j 2k

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  • CLCULO IITAREA 2

    CURVAS PARAMTRICAS. RECTAS. PLANOS.(Temas 1.2-1.4)

    1. Identica y graca las siguientes curvas paramtricas r = xi+ yjen el plano xy:

    (a) r (t) = (1 + t) i t j, t R.(b) r (m) = (m+ 1) i+ (m2 1) j, m R.(c) r (a) = (4 a) ia j, a 0.(d) r (b) = (24 b) i+ e2+4b j, b 4.(e) r () = 3 i+ 3

    j, = 0.

    (f) r (t) = et i 5e2t j, t R.(g) r (t) = ln t i+ ln(et) j, t > 0.(h) r (t) = t i+ ln(1/t) j, t > 0.(i) r () = 3 cos i+ 3sen j, [0, 2) .

    2. Sea r () = cos i+ sen j, con 0 < 2.(a) Encuentra el vector derivada dr /d.(b) Calcula dr /d en = 0,

    2, , y muestra grcamente que

    estos tres vectores son tangentes a la curva r () en las posi-ciones correspondientes.

    (c) Demuestra que para esta curva se satisface r (dr /d) = 0,para todo [0, 2) .Qu signica este resultado?

    3. Sea r (t) = (sen t cos t) i+(sen 2t) j+(cos t) k la ecuacin de unacurva en R3.

    (a) Prueba que la curva r (t) est en una esfera unitaria concentro en el origen.

    (b) Encuentra el vector tangente a la curva, dr /dt, y demuestraque ste es ortogonal a r , para todo valor de t. Cul es larazn de este hecho?

    4. Da un ejemplo de una curva paramtrica r (t) en R2 tal quer (dr /dt) = 0 en general.

    6

  • 5. Encuentra las ecuaciones paramtricas de la recta con la informa-cin dada:

    (a) Pasa por el origen y es paralela al vector v = 3i2j+5k.(b) Pasa por el punto P (1, 2, 3) y es paralela al eje y.

    (c) Pasa por los puntos P (3,1, 4) y Q(1,2, 0).(d) Pasa por el punto P (1, 2, 3) y es paralela a la recta

    x+ 1

    3= y

    2= z 5 .

    (e) Pasa por el origen y es perpendicular a las rectas x = 1 3a,y = 3, z = 1 + 2a y x = 2 + b, y = 3b, z = 1, con a, b R.

    6. Encuentra las ecuaciones paramtricas de la recta tangente a lacurva r () = cos i+ sen j, 0 < 2, en =

    4. Ilustra con

    una grca.

    7. En cada inciso halla las ecuaciones paramtricas de la recta tan-gente a la curva r (t), t R, en el punto dado t = t0:

    (a) r (t) = sen t i+ (t2 cos t) j + et k, t0 = 0.(b) r (t) = (2t2) i+ (4t) j + k, t0 = 1.

    8. En cada inciso halla la interseccin de las rectas L1 y L2:

    (a) L1 : x = a, y = 3 3a, z = 1 + a, a R,L2 : x = 1 + b, y = 2b, z = b, b R.

    (b) L1 :x 16

    =y

    3=

    2 z3

    ,

    L2 : x = 1 + t, y = 3 t, z = 7 3t, t R.(c) L1 : x = 1 a, y = 3 + a, z = 4 + a, a R,

    L2 : x = 1 + 2b, y = 2b, z = 3 2b, b R.(d) L1 : x = 1 + t, y = 1 t, z = 1 + 2t, t R,

    L2 : x = 2 2s, y = 2s, z = 3 4s, s R.

    9. Encuentra la ecuacin del plano con la informacin dada:

    (a) Pasa por el punto P (2, 1, 5) y es ortogonal al vectora = 3i 4 j + 2 k .(b) Pasa por los puntos A(1,1, 0), B(1, 2, 1) y C(3, 1,2).(c) Pasa por el puntoA(1, 1, 1) y es paralelo al plano 2 x 7 y + 5 z = 13 .(d) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta x

    2= 3 y = z 2

    3.

    7

  • (e) Contiene a las rectas x = 2+2t, y = 1 t, z = 1 y x = 3+s,y = 1 + s, z = s, t, s R.

    (f) Pasa por el origen y es perpendicular a los planos x+y+z = 1y 2x y + 3z = 0.

    (g) Pasa por el punto P (7,4, 3) y es paralelo al plano yz.(h) Es vertical y pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0).

    10. Da la ecuacin del plano que es perpendicular a la curvar (t) = 3t i+ 2t2 j + t5 k en el punto con t0 = 1.

    11. En cada inciso halla la interseccin de los planos 1 y 2:

    (a) 1 : x+ y + z = 1, 2 : 2x y + z = 12.(b) 1 : 2x 6y + 4z = 4, 2 : x+ 3y 2z = 7.

    12. En cada inciso halla la interseccin de la recta L con el plano :

    (a) L : x = 1 t, y = 3t, z = 1 + t, : 2x y + 3z = 6.(b) L : x = 1 2t, y = 1 + t, z = 1 + t, : 2x+ y + 3z = 6.(c) L : x = 1 2t, y = 1 + t, z = 1 + t, : 2x+ y + 3z = 8.

    13. Encuentra la interseccin del plano xy con la recta tangente a lacurva r (t) = sen t cos t i+ sen 2t j + cos t k en t0 = /4.

    14. En cada inciso determina si los dos conjuntos son perpendiculares,paralelos o ninguno:

    (a) L1 = {(x, y, z) R3|x = 1 + 2t, y = 3 t, z = 3t, t R} ,L2 = {(x, y, z) R3|x = 3s, y = 2 + s, z = 1 + 2s, s R} .

    (b) 1 = {(x, y, z) R3|x 3y + 5z = 4} ,2 = {(x, y, z) R3| 4x+ 2y + 2z = 0} .

    (c) L = {(x, y, z) R3|x = 2 t, y = 3 + 2t, z = t, t R} , = {(x, y, z) R3|3x+ y + z = 5} .

    (d) L = {(x, y, z) R3|x = 2 t, y = 3 + 2t, z = t, t R} , = {(x, y, z) R3|x 2y z = 0} .

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  • 15. Sean I el ingreso,p = (px, py, pz) el vector de precios yx = (x, y, z)el vector de cantidades, con p , I constantes.

    (a) Encuentra la ecuacin cartesiana del plano presupuestalp x = I.(b) Encuentra la ecuacin cartesiana del plano que pasa por el

    origen y es paralelo al plano p x = I.(c) Encuentra las ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa

    por el origen y es perpendicular al plano p x = I.

    16. En cada inciso justica si la armacin es verdadera o falsa:

    (a) El plano x+y+z = 1 es perpendicular al plano 2 x y + 3 z = 0 .(b) La recta x = t, y = 2t, z = 3t, t R, es paralela al plano

    x+ 2y +