8/7/2019 Calculo - 2008 - Cert 2

1/4

Universidad de Concepci onFacultad de Ciencias Fsicas y MatematicasDepartamento de Matematica

Pauta Evaluaci on No

2Calculo I y II (520141)

1. Sea (a n )n 1 la sucesion denida por a n = ( 1)n3n + 12n 1

. Usando teoremas sobrelmites, encontrar lm

n |a n | y lmn a n , si existen. Explicar los procedimientos.Solucion:

lmn |a n | = lmn

3n + 52n 1

= lmn

3 +5n

2 1n

=32

. (6 puntos)

Al considerar las subsucesiones a2n =6n + 54n 1

y a2n +1 = 6n + 84n + 1

, se tiene que

lmn

a2n =32

= lmn

a 2n +1 = 32

, luego lm n a n no existe. (6 puntos)

2. Calcular lmx 1

2x2 + 1 3x2 + x 2

.

Solucion: Si x = 1, se tiene que

2x2 + 1 3x2 + x 2

= 2x2 + 1 3x2 + x 2

2x2 + 1 + 32x2 + 1 + 3=

2(x2 1)(x + 2)( x 1)(2x2 + 1 + 3)

=2(x + 1)

(x + 2)( 2x 2 + 1 + 3) .

Por lo tanto, lmx 1

2x2 + 1 3x2 + x

2

= lmx 1

2(x + 1)(x + 2)( 2x2 + 1 + 3) =

233.

(12 puntos)

1

8/7/2019 Calculo - 2008 - Cert 2

2/4

3. Sea f (x) =4x

2x 1denida para x =

12

.

a ) Escribir la denici on del concepto lmx 1

4x2x 1

= 4.

b) Para =

110 obtener el n umero real de la denicion de la parte a).

Solucion:

a ) Por denici on lmx 1

4x2x 1

= 4 equivale a:

> 0, > 0 tal que xD f : 0 < |x 1| <

4x2x 1

4 < .

(4 puntos)

b ) Sea > 0. Se debe encontrar > 0 tal que

x

D f se verique que

0 < |x 1| < 4x

2x 1 4 < .

Basta elegir = mn14

,8

, pues xD f , se tiene que

0 < |x 1| < 4x

2x 1 4 =

4|x 1||2x 1|

(1)

8|x 1|(2)