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2aLISTA DE EXERCCIOS DERIVADAS PARCIAIS, DIRECIONAIS EREGRA DA CADEIA

1) Determine as derivadas parciais indicadas:

a.

b.

c.

2) Determine as derivadas parciais indicadas:

a. d)

b. e)

c. f)

3) Determine: A) o gradiente de f.B) o gradiente no ponto P.C) a taxa de variao de fem P na direo do vetor u.

a. P(1, 2)

b. P(1,-3)

c. P(1, 2, 1)

d. P(2, 0, 3)

4) Determine a derivada direcional da funo no ponto dado, na direo do vetor a.

a. P(3, 4)

b. P(6, 2)

c. P(2, )

d. P

e. P(1, 2, -2)

f. P(1, 4, 1)

g. P(1, 6, )

5) Determine a taxa de variao mxima de fno ponto dado e a direo em que isso ocorre.

FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABADisciplina: Clculo IIICurso: Engenharia

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a. P(1, ) d) P(1, 1, )

b. P(1, ) e) P(4, 3, 1)

c. P(1, ) f) P(4, 2, 1)

6) Use a regra da cadeia para determinar ou .

a.

b.

c.

d.

e.

f.

7) A temperatura num ponto (x, y) T(x, y) medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de

modo que a posio depois de tsegundos seja dada por , , ondexe

yso medidas em centmetros. A funo temperatura satisfaz e

Quo rpido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?

8) O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1,8 pol/s, ao passo que suaaltura est decrescendo taxa de 2,5 pol/s. A que taxa o volume do cone est mudandoquando o raio vale 120 pol e a altura 140 pol?

9) A presso de um mol de gs ideal aumentada taxa de 0,05 kPa/s e a temperatura aumentada taxa de 0,15 K/s. Utilize PV=8,31T para achar a taxa de variao do volumequando a presso 20kPa e a temperatura 320 K.

10) A voltagem V num circuito eltrico simples est decrescendo devagar medida que abateria se descarrega. A resistncia Rest aumentando devagar com o aumento de calordo resistor. Use a lei Ohm, V= RI, para achar como a corrente Iest variando no momento

em que !, I= 0,08A, e .

11) O comprimento l, a largura we a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certoinstante as dimenses da caixa so l= 1 m e w= h= 2 m, e l e w esto aumentando auma taxa de 2 m/s, ao passo que h est diminuindo taxa de 3 m/s. Nesse instante,determine as taxas nas quais as seguintes quantidades esto variando:

a. O volumeb. A rea da superfciec. O comprimento da diagonal

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Respostas:

1. a) 3/5 b) 3 c) 1/3

2. a) - 48 xy b) ( )23 22 2 yxey yx + c) 23348 zyx

d) sen y e)

( )( )yxsen

yx

!

!

!

3

cos2

f) ( )3322

32

72

zyx

zy

++

3. a) A) 322 410,125 xyxyxy !! B) 16,4! C) 172/13

b) A) xxy ln, B) 0,3! C) 12/5

c) A) 22332 3,2, zyxzyxzy B) 12,4,4 ! C) 320

d) A) 223 32,, zxzyzxzy +++ B) 54,11,27 C) 43/3

4. a) 23/10 b)5

102! c) 24 d)

132

233 +!

e) 4/9 f) 0 g) 8

5. a) Taxa: 5 Direo: 2,1 b) Taxa:5

52 Direo:

5

4,

5

2

c) Taxa: 1 Direo: 1,0 d) Taxa: 29 Direo: 4,3,2

e) Taxa: 11 Direo: 3,1,1 !! f) Taxa:2

17Direo: 2,0,

2

1!

6. a) 2232 2324 tyxxtyyx +!+ b)22

2222

yx

eyex tt

+

!

c) ysenxsent

yx2

1coscos !

" d) ( ) tsenyxxtyx

yxx

2

2cos2ln

2 +!"

#$%

&' ++

+

e) !"

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&''

2

22

z

xy

z

xte

zy f) yzzxtesenteye ttt 2cos 2

!+!+

7. sCo

2

8. spol3

8160!

9. sL270075,0!"

10. sA510.1,3 !

! 11. a) sm3

6 b) sm2

10 c) sm0