Calculo Avanzado

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    30-Jul-2015
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Apuntes de Clculo avanzadoIngeniera de Caminos, Canales y PuertosJernimo Alaminos PratsDepartamento de Anlisis MatemticoUniversidad de GranadaClculoAvanzadoDepartamentodeAnlisis Matemtico 1 ndice1 Nmeros complejos 31.1El cuerpo de los nmeros complejos 4 1.2Representacin grca. Conjugado y mdulo deun nmero complejo 6 1.3Forma polar y argumentos de un nmero complejo 7 1.4Conjun-tos en el plano complejo. Un poco de topologa 11 1.5Sucesiones de nmeros complejos 121.6Series de nmeros complejos 13 1.7Ejercicios 152 Funciones complejas 212.1Continuidadylmitefuncional 21 2.2Derivadadeunafuncindevariablecompleja 222.3EcuacionesdeCauchy-Riemann 23 2.4Primeraspropiedadesdelasfuncionesholomor-fas 24 2.5Ejercicios 263 Funciones complejas elementales 293.1Lafuncinexponencial 29 3.2Logaritmoscomplejos 30 3.3Potenciascomplejas 313.4Funciones trigonomtricas complejas 32 3.5Funciones trigonomtricas inversas 32 3.6Ejer-cicios 344 Series de potencias. Funciones analticas 394.1Sucesionesyseriesdefunciones 39 4.2Seriesdepotenciascomplejas 40 4.3Ejerci-cios 425 Integracin de funciones complejas 455.1Integracin de funciones de variable real con valores complejos 45 5.2Curvas en el plano 455.3Integral curvilnea 47 5.4Ejercicios 496 Frmula de Cauchy. Teorema de los residuos 516.1ndice de un punto respecto de un camino cerrado 52 6.2Forma general del Teorema deCauchy y de la frmula integral de Cauchy 54 6.3Singularidades aisladas. Teorema de los resi-duos 55 6.4Aplicaciones del teorema de los residuos al clculo de integrales 58 6.5Aplicacindel teorema de los residuos a la suma de series 64 6.6Ejercicios 667 Series de Fourier 697.1Introduccin 69 7.2Fenmenos peridicos 69 7.3Un poco de historia 71 7.4Series deFourier 75 7.5Propiedades de las series de Fourier 83 7.6Sobre los coecientes de Fourier 847.7ConvergenciadelasseriesdeFourier 85 7.8Otraspropiedades 88 7.9Sumabilidad.Ncleos de Fejr. 90 7.10Aplicaciones de las series de Fourier 91 7.11Ejercicios 948 Transformada de Fourier 998.1OrigenhistricodelatransformadadeFourier 99 8.2DenicindelatransformadadeFourier 100 8.3Propiedades de la transformada de Fourier 102 8.4Convolucin de funcio-nes 103 8.5Ejercicios 1049 Transformada de Laplace 1079.1Denicin 107 9.2Propiedades de la transformada de Laplace 108 9.3Ejemplos y apli-caciones 110 9.4Ejercicios 111 2 10 Transformada discreta de Fourier 11310.1Muestreodesealescontinuas 113 10.2Reconstruccindeunaseal 115 10.3ElTeorema de Shannon 116 10.4La transformada de Fourier discreta 118A Tablas de transformadas de Fourier y Laplace 121A.1Transformadas de Laplace 121ndice alfabtico 123Nmeros complejos 3 Nmeros complejos11 IntroduccinLos nmeros que hoy llamamos complejos fueron durante muchos aos motivo de polmicas ycontroversias entre la comunidad cientca. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad,acabaron por ser comnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta pocas re-cientes. Nada hay de extrao en ello si pensamos que los nmeros negativos no fueron plenamenteaceptados hasta nales del siglo XVII.Los nmeros complejos hacen sus primeras tmidas apariciones en los trabajos de Cardano (15011576) y Bombelli (15261672) relacionados con el clculo de las races de la cbica o ecuacin detercergrado. FueRenDescartes(15961650) quienarmqueciertasecuacionesalgebraicasslotienensolucinennuestraimaginacinyacuelcalicativoimaginariasparareferirseaellas. Desdeel sigloXVI hastanalesdel sigloXVIII losnmeroscomplejosoimaginariossonusados con recelo, con desconanza. Con frecuencia, cuando la solucin es un problema resultaser un nmero complejo se interpreta esto como que el problema no tiene solucin. Para Leibnitzel nmero imaginario es un recurso sutil y maravilloso del espritu divino, casi un anbio entre elser y el no ser.Lasrazonesdetodoestosonclaras. Ascomolosnmerosrealesrespondenalproblemabiencotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los nmeros complejos. Mientraslos matemticos necesitaron interpretar en trminos fsicos sus objetos de estudio, no se avanzmucho en la comprensin de los nmeros complejos.El xito de Euler y Gauss al trabajar con nmeros complejos se debi a que ellos no se preocuparondelanaturalezadelosmismos; nosepreguntaronquesunnmerocomplejo?, sinoquesedijeron a ver, para qu sirven, qu puede hacerse con ellos. Es Gauss quien denitivamente concedealosnmeroscomplejosunlugarprivilegiadodentrodelasmatemticasalprobaren1799elconocidocomoTeoremaFundamentaldellgebraquearmaquetodaecuacinpolinmicadegrado nconcoecientescomplejostiene,sicadarazsecuentatantasvecescomosuorden, nraces que tambin son nmeros complejos. Algunas de sus implicaciones las podemos comentardirectamente. Fjate en cada una de las ecuaciones:x +3 = 0, 2x +3 = 0, x22 = 0, x2+2x +2 = 0,cuyas soluciones x = 3, x = 3/2, x = :2 y x = 1 :i tienen sentido cuando x es es, respectiva-mente, un nmero entero, racional, real o complejo. Podra ocurrir que este proceso de ampliacindel campo numrico continuara. Qu ocurrir si ahora consideramos ecuaciones polinmicas concoecientes complejos? Por ejemplo:x5+(1 i)x4+(1/5 i2)x28x +3 i/3 = 0.Cmo sern sus soluciones? Aparecern tambin nuevos tipos de nmeros? El Teorema funda-mental del lgebra nos dice que esa ecuacin tiene soluciones que tambin son nmeros complejosy, por tanto, que no aparecern ya por este procedimiento nuevos tipos de nmeros.El trmino, hoy usado de nmeros complejos se debe a Gauss, quien tambin hizo popular la letrai que Euler (17071783) haba usado espordicamente. En 1806 Argand interpreta los nmerosEl cuerpo de los nmeros complejos Nmeros complejos 4 complejoscomovectoresenel plano. Lafechade1825esconsideradacomoel nacimientodelateoradefuncionesdevariablecompleja, puessepublicaendichoaolaMemoriasobrelaIntegracin Compleja que Cauchy haba escrito ya en 1814.Recordemos, nalmente, la armacin de Hadamard El camino ms corto entre dos verdades delcampo real pasa con frecuencia por el campo complejo.1.1 El cuerpo de los nmeros complejosDenicin 1.1. Consideremos en el conjunto R2las operaciones de adicin y producto denidaspor(a, b) +(c, d) = (a +c, b +d)(a, b)(c, d) = (ac bd, ad +bc)Es muy fcil comprobar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de las operacionesas denidas. El elemento neutro de la suma es (0, 0) y (1, 0) es la unidad del producto. Adems,(a, b) es el opuesto de (a, b), y todo (a, b) (0, 0) tiene inverso(a, b)_aa2+b2,ba2+b2_= (1, 0).Todas estas propiedades se resumen diciendo que (R2, +, ) (lase el conjunto R2con las opera-ciones de adicin y producto) es un cuerpo. Dicho cuerpo se representa simblicamente por C ysus elementos se llaman nmeros complejos.Observacin 1.2. A los elementos de R2se les llama unas veces pares ordenados de nmerosreales, otrasvectoresopuntosytambinnmeroscomplejos. LarazndeestoesqueenR2conviven varias estructuras cada una con su terminologa propia. Por eso a los elementos de R2se les llama vectoressi se est considerando la estructura de espacio vectorial, puntossi jamosla atencin en la estructura topolgica o afn, pares ordenadoscuando estamos pensando en R2comoconjuntosinningunaestructuraparticularynmeroscomplejoscuandoseconsideralaestructuradecuerpoantesdenida. Ocurrequeestostrminosseusanavecesenunmismoprrafoloquepuederesultarconfuso. Lareglaquedebestenersiemprepresenteesquetodoconcepto matemtico tiene sentido propio dentro de una determinada estructura matemtica. Porello, aunelementodeR2selellamanmerocomplejocuandosevaausarel productoantesdenido que es lo que en realidad distingue a los nmeros complejos de los vectores de R2.1.1.1 Forma cartesiana de un nmero complejoEl smbolo usual (a, b) para representar pares ordenados no es conveniente para representar elnmero complejo (a, b). Para convencerte calcula (1, 1)4. Representaremos los nmeros comple-josconunsimbolismomsapropiadoenelquevaaintervenirelproductocomplejo.Paraello,observa que:(a, 0) +(b, 0) = (a +b, 0)(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).Esto indica que los nmeros complejos de la forma (a, 0) se comportan respecto a la suma y la mul-tiplicacin de nmeros complejos exactamente de la misma forma que lo hacen los nmeros realesrespecto a la suma y multiplicacin propias. En trminos, ms tcnicos, R 0 es un subcuerpoNmeros complejos El cuerpo de los nmeros complejos 5 de C isomorfo a R. Por esta razn, en las operaciones con nmeros complejos podemos sustituirlos complejos del tipo (a, 0) por el nmero real a. Es decir, hacemos la identicacin (a, 0) = a.Fjate que con dicha identicacin el producto a(c, d) tiene dos posibles interpretaciones: productodel escalar real a por el vector (c, d) (estructura vectorial de R2) y producto del complejo (a, 0)por el complejo (c, d). Pero ambos coinciden y son iguales a (ac, ad).El nmero complejo (0, 1) lo representaremos por i. Con ello tenemos quei2= (0, 1)(0, 1) = (1, 0) = 1.Ahora podemos escribir (a, b) = (a, 0) +(0, b) = (a, 0) +(b, 0)(0, 1) = a +bi.Se dice que a es la parte real y b es la parte imaginaria del nmero complejo a +ib. El producto Parte real y parteimaginariaahora es muy fcil de recordar pues(a +ib)(c +id) = ac +i2bd +i(ad +bc) = ac bd +i(ad +bc)Es costumbre representar los nmeros complejos con las letras zy wy reservar las letras x, y,u, vpara representar nmeros reales. Una expresin de la forma z = x + iyse interpreta comoque zes el nmero complejo cuya parte real es xy cuya parte imaginaria es y. Se escribe Re(z)e Im(z) para representar las partes real e imaginaria de z. Naturalmente, dos nmeros complejosson iguales cuando tienen igual parte real e igual parte imaginaria.Comentarios a la denicin usual i =1Acabamos de ver que i2= 1 pero eso no nos permite escribir as, sin ms ni ms, que i =1.Fjate lo que ocurre si ponemos i =1 y manejamos ese smbolo con las reglas a las que estamosacostumbrados: Paradoja de Bernoullii2= 1 = ii =11 =_(1)(1) =1 = 1.Luego 1 = 1. Por tanto, las matemticas son contradictorias y aqu hemos acabado.Naturalmente, elerror, procededequeestamoshaciendodisparates. Fjatequeenlaexpresin1nopuedesinterpretarque 1eselnmeroreal 1(porque,comosabes,losnmeros