Cálculo Avanzado

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Indice general

1. Espacios Metricos 51.1. Metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Conceptos basicos de Topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Separabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Conexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8. Teorema de Stone - Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Diferenciacion 272.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

4 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Espacios Metricos

1.1. Metricas

Definicion. Una metrica o distancia en un conjunto M es una funcion

d : M ×M → R≥0

que cumple con las siguientes propiedades:

∀x ∈M d(x, x) = 0

∀x, y ∈M x 6= y ⇒ d(x, y) = d(y, x) > 0

∀x, y, z ∈M d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)

Lema 1. ∀x, y, z ∈M vale |d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y).

Demostracion. Supongamos sin perdida de generalidad d(x, z) > d(y, z) ya que si esto no pasallamamos x a y e y a x y obtenemos la misma desigualdad. Entonces hay que ver que d(x, z)−d(y, z) ≤ d(x, y), pasando d(y, z) sumando al termino de la derecha obtenemos d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z) que es la desigualdad triangular que habıamos puesto como condicion para cualquierfuncion que sea una metrica. �

Definicion. Un espacio metrico es un par (M,d) donde M es un conjunto y d es una metricade M .

Veamos algunos ejemplos de espacios metricos:

(R, d) con d(x, y) = |x− y|(Rn, d2) con d(x, y) = ||x− y||2

(Rn, d∞) con d(x, y) = ||x− y||∞(M,d) con d(x, x) = 0 y d(x, y) = 1(x 6= y)

Definicion. Dos metricas d y d′ en un conjunto M son equivalentes si

∃ c1, c2 ∈ R+ : c1d′(x, y) ≤ d(x, y) ≤ c2d′(x, y) ∀x, y ∈M

Ejemplo 1. Probemos que las metricas dadas por || · ||1, || · ||2 y || · ||∞ son metricas equivalentesde Rn:

d1(x, y) =n∑i=1

|xi − yi|

d2(x, y) =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2

d∞(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi|

5

6 CAPITULO 1. ESPACIOS METRICOS

Demostracion. Veamos que

d∞ ≤ d2 ≤ d1 ≤ n · d∞

Primero probemos la primer desigualdad. Para todo par x, y ∈ Rn queremos ver que

max1≤i≤n

|xi − yi| ≤

√√√√ n∑i=1

|xi − yi|2

Como ambos terminos son positivos, podemos elevar al cuadrado y nos queda

max1≤i≤n

|xi − yi|2 ≤n∑i=1

|xi − yi|2

Ahora podemos observar facilmente que el termino de la izquierda es uno de los terminos quesuman en la derecha, y como los terminos de la derecha son cuadrados, entonces son positivos yesto prueba la desigualdad, ya que del lado derecho de la desigualdad tenemos el termino de laizquierda mas otros terminos que son positivos.Veamos ahora que se cumple la segunda desigualdad.√√√√ n∑

i=1

|xi − yi|2 ≤n∑i=1

|xi − yi|

Esta vez, si volvemos a elevar al cuadrado, ya que nuevamente los dos terminos son positivos,podemos expresar la desigualdad de esta manera

n∑i=1

|xi − yi|2 ≤n∑i=1

n∑j=1

|xi − yi| · |xi − yi|

Del lado izquierdo tenemos los productos |xi−yi| · |xj−yj | solo para los valores i = j, en cambiodel lado derecho de la desigualdad tenemos todos estos terminos para 1 ≤ i, j ≤ n, por lo que losterminos de la izquierda son algunos de los terminos de la derecha, y como son todos positivos,entonces se cumple la desigualdad.Por ultimo veamos que se cumple la tercera desigualdad.

n∑i=1

|xi − yi| ≤ n · max1≤i≤n

|xi − yi|

Podemos reescribir esta desigualdad como

n∑i=1

|xi − yi| ≤n∑i=1

max1≤i≤n

|xi − yi|

Y si agrupamos uno a uno los sumandos de ambos lados, el de la derecha siempre es mayor oigual al de la izquierda, por lo que queda probada la ultima desigualdad.Podemos deducir entonces que las tres distancias son equivalentes. �

1.2. Abiertos

Definicion. Sea (X, d) un espacio metrico, x0 ∈ X y ε ∈ R+ definimos la bola abierta centradaen x0 y de radio ε como

B(x0, ε) = {x ∈ X /d(x, x0) < ε}

1.2. ABIERTOS 7

Definicion. Sea (X, d) un espacio metrico y sea U ⊆ X. Decimos que U es un abierto de X si

∀x ∈ U ∃ ε ∈ R+ /B(x0, ε) ⊆ U

Lema 2. Toda bola abierta es abierta.

Demostracion. Por mas que suene redundante, es necesario demostrar que una bola abiertacumple con la definicion de abierto. Para esto alcanza con ver que B(x, ε−d(x,x0)2 ) ⊆ B(x0, ε),por lo que encontramos dada una bola B(x0, ε), una bola centrada en x y contenida en la bolaoriginal para todo x de la bola. �

Lema 3. Se cumplen las siguientes propiedades:

1. X es un abierto de (X, d) y tambien lo es ∅.

2. La union de abiertos es abierto.

3. Interseccion finita de abiertos es abierto.

Demostracion. Veamos que se cumplen las tres propiedades:

1. Es trivial ver que ∅ es abierto porque la condicion para ser abierto es que todos los puntosdel conjunto cumplan con una condicion, y dado que ∅ no tiene ningun punto, entoncestodos sus puntos cumplen con todas las condiciones que se les quiera imponer. Para verque X es un abierto de (X, d) alcanza con ver que dado un punto x ∈ X, cualquier bolacentrada en x va a estar contenida en X ya que X contiene a todos los puntos de X ytoda bola de X esta contenida en X.

2. Supongamos que x ∈⋃i∈I

Xi, entonces existe al menos un i tal que x ∈ Xi, luego hay

una bola contenida en Xi centrada en x, y como Xi ⊆⋃i∈I

Xi, entonces esta bola tambien

estara contenida en⋃i∈I

Xi por lo que la union de los Xi es un abierto.

3. Supongamos que x ∈⋂i∈I

Xi con I finito. Entonces para cada i ∈ I tenemos x ∈ Xi.

Luego existen radios εi tales que B(x, εi) ⊆ Xi. Luego nos tomamos mın εi para cada xy encontramos una bola con ese radio centrada en xi que esta en la interseccion de losfinitos abiertos. Si fuesen infinitos abiertos podrıa pasar que εi sea por ejemplo 1

i por loque no podrıamos tomar mınimo sino que tendrıamos que tomar el ınfimo, y este ınfimoserıa 0 y el radio de una bola abierta tiene que ser un real positivo, por lo que no soloprobamos que interseccion finita de abiertos es abierto sino que tambien probamos queinterseccion arbitraria de abiertos no siempre es abierto. Un ejemplo concreto serıa tomaren R el intervalo (− 1

n ,1n) para todo n ∈ N, la interseccion de estos intervalos abiertos es

el intervalo [0, 0] que no es abierto.

�

Definicion. Un espacio topologico es un espacio M y una coleccion de conjuntos A ∈ M a losque llamamos abiertos tales que

1. ∅ ∈ A ∧M ∈ A

2. X ∈ A ∧ Y ∈ A⇒ X ∩ Y ∈ A


3. ∀i ∈ I Xi ∈ A⇒⋃i∈I

Xi ∈ A

Definicion. Sean (X, dx), (Y, dy) espacios metricos. Una funcion f : X → Y se dice continuaen x0 ∈ X si

∀ε ∈ R+ ∃ δ ∈ R+ / dx(x0, x) < δ ⇒ dy(f(x0), f(x)) < ε

Se dice que f es continua si es continua en todos los puntos de X.

Definicion. Se dice que f : X → Y es continua por abiertos si la preimagen de todo abierto esabierto.

Lema 4. Una funcion es continua si y solo si es continua por abiertos.

Demostracion. Sea f : X → Y y U ⊂ X un abierto tal que f restringida a U es continua porabiertos. Sea x0 ∈ U y ε ∈ R+, tomamos V = B(f(x0), ε) que es un abierto, entonces f−1(V )es un abierto de U . Como x0 ∈ f−1(V ) entonces ∃δ1 ∈ R+/B(x0, δ1) ⊆ f−1U (V ) donde f−1U (V )son las preimagenes de V por f que estan en U . Tambien existe δ2 ∈ R+ tal que B(x0, δ2) ⊆ U .Si tomamos δ = mın(δ1, δ2) entonces B(x0, δ) ⊆ f−1U (V ) luego f es continua en x0 y como estademostracion no usa ninguna dato de x0 mas que estar en U es continua en todo U .Sea f : X → Y continua y sea V ⊆ Y abierto y sea x0 ∈ f−1(V ). Busco δ > 0 tal queB(x0, δ) ⊆ f−1(V ).

f(x0) ∈ V ⇒ ∃ε > 0/B(f(x0, ε)) ⊆ V

⇒ ∃δ > 0/(d(x, x0) < δ ⇒ d(f(x), f(x0)) < ε)

⇒ B(x0, δ) ⊆ f−1(V )

Esto demuestra que la preimagen de V es un abierto, por lo que f es continua por abiertos. Lamisma demostracion sirve para ver que si U ⊆ X entonces f continua en U implica f continuapor abiertos en U y viceversa. �

Corolario 1. Sea f : X → Y con X =⋃α∈I

Uα con los Uα abiertos. Si f restringida a Uα es

continua para todo α entonces es continua en X.

Demostracion. Como f es continua en todo Uα entonces es continua por abiertos en todo Uα.Tomamos un abierto V ⊆ Y y tomamos los conjuntos Aα = f−1(V ) ∩ Uα para todo α, es facilver que

⋃Aα = f−1(V ) ya que todo punto de f−1(V ) tiene que estar en al menos algun Aα ya

que esta en f−1(V ) y esta en algun Uα. Ademas como Uα es abierto, la preimagen de abiertosen f(Uα) es abierto. Tomemos ahora f(Uα) ∩ V �

Definicion. Sea (M,d) un espacio metrico, x ∈M y r > 0. Se definen:

B(x, r) = {y ∈M : d(x, y) < r}

B[x, r] = {y ∈M : d(x, y) ≤ r}

S(x, r) = {y ∈M : d(x, y) = r}

Definicion. Si E es un R-espacio vectorial, una norma en E es una funcion ||·|| : E → R+ tal que

1. ||x|| > 0 si x 6= 02. λ||x|| = ||λx|| ∀λ ∈ R, x ∈ E3. ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y|| ∀x, y ∈ E

1.2. ABIERTOS 9

Definicion. Si (M1, d1), . . . , (Mn, dn) son espacios metricos definimos en

M1 × · · · ×Mn

la metrica d como

d(x, y) = max1≤i≤n

di(xi, yi)

Ası podemos definir las bolas como

B(x, r) =n∏i=1

Bi(xi, r)

Definicion. Si X es un conjunto, f : X → R se dice acotada si

∃ c > 0/|f(x)| ≤ c ∀x ∈ X

Definicion. Si (M,d) es un espacio metrico, A ⊆M y x ∈M entonces

d(x,A) = ınf{d(x, a) : a ∈ A}

diam A = sup{d(a, b) : a, b ∈ A}

Si B ⊆Md(A,B) = ınf{d(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} = ınf{d(a,B) : a ∈ A}

A es acotado si diam A <∞

Proposicion 1. Sea (M,d) un espacio metrico, x ∈M , A ⊆M . Entonces

1. diam B(x, r) ≤ 2r (2r si M es normado)2. A es acotado sı y solo sı ∃x ∈M, r ∈ R / A ⊆ B(x, r)

Demostracion. 1. Es facil ver que B(x, r) ≤ 2r por desigualdad triangular tomando los dospuntos que distan a mas de 2r y el centro de la bola y llegando a un absurdo. EN un espacionormado tomamos v de norma r y x+ v, x− v ∈ B(x, r) teniendo d(x+ v, x− v) = 2r.

2. Si A es acotado entonces siendo a ∈ A se tiene que A ⊆ B(a,diam A) lo cual no es difıcil deprobar. �

Teorema 1. Sean ∅ 6= X ⊂M con M espacio metrico y a, b ∈M . Entonces

|d(a,X)− d(b,X)| ≤ d(a, b)

Demostracion. Como d(b,X) = ınf{d(b, x) : x ∈ X} entonces ∀εinR+, d(b,X) + ε no es cotainferior de las distancias de b a los puntos de X, luego

∃x0 ∈ X / d(b, x0) > d(b,X) + ε

Entonces

d(a,X) ≤ d(a, x0) ≤ d(a, b) + d(b, x0) < d(a, b) + d(b,X) + ε

d(a,X)− d(b,X) < d(a, b) + ε∀ε > 0

Entonces se cumple el teorema si d(a,X) ≥ d(b,X), el otro caso se demuestra analogamente,luego siempre se cumple el teorema. �


Definicion. Sean M,N espacios metricos, una inmersion isometrica es una funcion f : M → Nque conserva distancias (d(f(x), f(y)) = d(x, y)).Si es sobreyectiva se llama isometrıa. Es facil ver que toda inmersion isometrica es inyectiva yaque f(x) = f(y)⇒ d(f(x), f(y)) = 0⇒ d(x, y) = 0⇒ x = y

Ejemplo 2. Si X es un conjunto, (M,d) un espacio metrico y f : X →M es inectiva le damosa X la metrica d(x, y) = d(f(x), f(y)).

Ejemplo 3. Si E es normado y fijamos x0 ∈ E, f(x0) = x+ x0 es una isometrıa de E en E

Teorema 2. Todo espacio metrico M se puede llevar mediante una inmersion isometrica a unespacio normado.

Demostracion. Vamos a obtener una inmersion de M en B(M,R) (el conjunto de funcionesacotadas de M en R) con ||f || = supx∈M |f(x)|.Fijamos a ∈ M y definimos ϕ : M → B(M,R) como ϕ(x) = dx − da donde dx(z) = d(x, z) yda(z) = d(a, z).Veamos que ϕ(x) es acotada:

|ϕ(x)(z)| = |dx(z)− da(z)| = |d(x, z)− d(a, z)| ≤ d(x, a) ∀z ∈M

Luego ϕ(x) ∈ B(M,R).Veamos que conserva distancias:

d(ϕ(x), ϕ(y)) = ||ϕ(x)− ϕ(y)|| = supz∈M||dx(z)− dy(z)|| = sup

z∈M||d(x, z)− d(z, y)|| ≤ d(x, y)

Pero para z = x o z = y se cumple la igualdad, luego d(ϕ(x), ϕ(y)) = d(x, y) y por lo tantoencontramos una inmersion isometrica de M en un espacio normado. �

Definicion. Llamamos C([0, 1]) al conjunto de las funciones f : [0, 1]→ R continuas. Podemosdefinir varias metricas sobre este conjunto, dos de ellas son:

d1(f, g) =

∫ 1

0|f(x)− g(x)|dx

d∞(f, g) = supx∈[0,1]

|f(x)− g(x)|

Es facil comprobar que tanto d1 como d∞ son metricas.

1.3. Conceptos basicos de Topologıa

Definicion. Un entorno basico de un punto x0 es una bola B(x0, ε) para algun ε ∈ R+.

Definicion. Si A ⊆ X, x0 es un punto de acumulacion de A si todo entorno basico de x0contiene infinitos puntos de A. Los puntos de acumulacion se conocen tambien como puntoslımites.

Definicion. Se dice que A ⊆ X es cerrado si A contiene a todos sus puntos de acumulacion.

Definicion. x ∈ A se llama punto aislado si no es punto de acumulacion de A.

Definicion. x ∈ A se dice punto interior de A si existe un entorno basico de x contenido en A.El conjunto A◦ de puntos interiores de A se llama interior de A.

Definicion. A ⊆ X se dice abierto si todos sus puntos son interiores.

1.3. CONCEPTOS BASICOS DE TOPOLOGIA 11

Definicion. La clausura A de A es la union de A con sus puntos lımites.

Definicion. La frontera de A es A−A◦.

Definicion. El conjunto derivado de A (A′) es el conjunto de sus puntos lımites.

Definicion. A es acotado si ∃M > 0 y x ∈ X tal que A ⊆ B(x,M).

Definicion. Un conjunto A es denso en X si A = X.

Definicion. Sea (xn)n∈N ⊆ X. Se dice que xn → x si d(xn, x)→ 0.

Definicion. Se dice que (xn)n∈N ⊆ X es de Cauchy si dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que∀n,m > n0 se tiene d(xn, xm) < ε.

Definicion. X se dice completo si toda sucesion de Cauchy tiene lımite.

Definicion. Dos metricas sobre un conjunto M se dicen topologicamente (o debilmente) equiv-alentes si todo conjunto A ⊆ M es abierto con ambas metricas o con ninguna, es decir, si lasdos metricas dan lugar a la misma nocion de abierto.

Definicion. Dos metricas d1 y d2 sobre un conjunto M se dicen equivalentes (o fuertementeequivalentes) si

∃ c1, c2 ∈ R+ : ∀x, y ∈M c1d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ c2d2(x, y)

Si dos metricas son fuertemente equivalente entonces son topologicamente equivalentes, lo inversono ocurre.

Ejemplo 4. (R, d) con d(x, y) = |x−y|1+|x−y| es topologicamente equivalente a (R, d2) pero estas

metricas no son fuertemente equivalentes.

Proposicion 2. Si (M,d) es un espacio metrico, A ⊆ M . Entonces M −A = M − A◦ yM −A = (M −A)◦.

Demostracion. x ∈ M −A ⇔ B(x, r) corta a M − A para todo r > 0 ⇔ @B(x, r) ⊆ A ⇔ x noes punto interior de A (x ∈M −A◦). La otra igualdad se prueba de la misma manera. �

Lema 5. A es abierto sii es union de bolas abiertas

Demostracion. Si A es abierto es facil ver que para todo a ∈ A existe εa > 0 tal que B(a, εa) ⊆ A,luego la union de estas bolas para todo a ∈ A esta contenida en A porque es la union de conjuntoscontenidos en A y contiene a A luego es igual a A.Si A es union de bolas abiertas entonces por ser union de abierto es abierto. �

Lema 6. A es cerrado sii M −A es abierto

Demostracion. Queda como ejercicio. �

Definicion. f es un homeomorfismo si es biyectiva, continua y f−1 es continua.

Proposicion 3. Dos metricas d1, d2 definidas sobre un conjunto M son topologicamente equiv-alentes si y solo si IdM : (M,d1)→ (M,d2) es un homeomorfismo.

Demostracion. Es claro que si f es un homeomorfismo las metricas son topologicamente equiva-lentes porque un homeomorfismo por tener inversa continua manda abiertos en abiertos y por sercontinua la preimagen de un abierto es abierto. Si son topologicamente equivalentes entonces co-mo IdM es biyectiva y manda abiertos en abiertos y la preimagen de abiertos es abierto entonceses continua de inversa continua, luego es un homeomorfismo. �


Lema 7. El conjunto Da = {f ∈ B(M,N) / f es discontinua en a} es abierto.

Demostracion. Si f es continua en a entonces

∀ ε > 0 : ∃ δ > 0 / d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), f(a)) < ε

Como f ∈ B(M,N) entonces f es discontinua en a y se cumple

∃ ε > 0 / ∀ δ > 0 : ∃ xδ / d(xδ, a) < δ ∧ d(f(xδ), f(a)) ≥ ε

Si g ∈ B(f, ε3) tomando el ε de la definicion de discontinua entonces g ∈ Da:

ε < d(f(xδ), g(xδ)) + d(g(xδ), g(a)) + d(g(a), f(a)) <ε

3+ d(g(xδ), g(a)) +

ε

3

ε

3< d(g(xδ), g(a))

Luego para todo δ podemos encontrar un punto xδ tal que d(xδ, a) < δ y d(g(xδ), g(a)) > ε3

luego g es discontinua en a. Como para cada f ∈ Da podemos encontrar una bola centrada enf contenida en Da entonces Da es abierto. �

Lema 8. Las funciones continuas y acotadas son un cerrado en el espacio de funciones acotadas:

C(M,N) ⊆ B(M,N)

Demostracion. El complemento de Da es cerrado para todo a, como interseccion de cerradoses cerrado tomamos la intersecciond de los complementos de Da para todo a ∈ M , luego esteconjunto es el conjunto de las funciones continuas de M en N y es cerrado. �

Lema 9. Sean f, g : M → N continuas, entonces

A = {x ∈M : f(x) 6= g(x)}

es abierto en M

Demostracion. A es la preimagen de R−{0} por d(f(x), g(x)) y como R−{0} es abierto luegoA es abierto. �

1.4. Separabilidad

Definicion. Decimos que un espacio metrico es separable si contiene un denso numerable.

Ejemplo 5. R es separable ya que Q es un denso numerable.

Definicion. Sea 1 ≤ p <∞. Se define el conjunto

lp = {(xn)n∈N ∈ RN /

∞∑i=0

|xn|p <∞}

y cuando p =∞ se definel∞ = {(xn)n∈N ∈ RN acotadas}

Definimos la norma en lp

||xn||p = (∞∑i=0

|xn|p)1p

y la norma en l∞

||xn||∞ = supn∈N

xn

Definimos tambien dp((xn), (yn)) = ||xn − yn||p y de la misma forma definimos d∞(xn, yn) =||xn − yn||∞.

1.5. COMPLETITUD 13

Lema 10. lp es separable. l∞ no es separable.

Demostracion. Definimos

Ai = {(qn)n∈N ∈ QN / j > i⇒ qj = 0}

Estos conjuntos son numerables y la union de Ai para todo i es densa en lp para cada p.Queda como ejercicio probar que esta union es densa en lp para todo p y que l∞ no es separable.

�

Definicion. {Ui}i∈I es una base de abiertos de X si para todo U ⊆ X abierto existe J ⊆ I tal

que⋃j∈J

Uj = U

Teorema 3. Son equivalentes

1. X es separable.2. X tiene una base de abiertos numerable.3. X cumple con la propiedad de Lindelof (de todo cubrimiento abierto de X se puede extraerun subcubrimiento numerable).

Demostracion. 1⇒ 2) Sea A denso en X. El conjunto de bolas con centro en A y radio racionales una base de abiertos ya que para todo abierto U ⊆ X existe para todo u ∈ U una bola cen-trada en u contenida en U de radio ε y existe un a ∈ A tal que d(u, a) < ε

3 y una bola centradaen a de radio racional entre ε

3 y ε2 . Es facil ver que esta bola contiene a u y esta contenida en

U , y estas bolas son numerables ya que union numerable de numerables es numerable.

2 ⇒ 3) Tomamos una base numerable. Para cada Aj de los abiertos del cubrimiento se puedeescribir Aj ∩X como union de elementos de la base numerable. Para cada uno de estos elemen-tos de la base numerable tomamos un abierto del cubrimiento, es claro que este conjunto es uncubrimiento de X y ademas es numerable.

3 ⇒ 1) Para cada n tomamos Bn = {B(x, 1n)}x∈X . Estos cubrimientos (Bn) admiten sub-cubrimientos numerables, luego tomamos los centros de las bolas que conforman subcubrimientosnumerables para cada n y este conjunto es numerable y es denso. �

1.5. Completitud

Definicion. Un espacio metrico M se dice completo si toda sucesion de Cauchy tiene lımite.

Definicion. Una completacion de un espacio metrico M es un espacio metrico M completo conuna inmersion isometrica ϕ : M → M tal que ϕ(M) es denso en M .

Lema 11. Un cerrado en un completo es completo.

Demostracion. Sea X cerrado tal que X ⊆M y M es completo. Cualquier sucesion de Cauchyen X tiene lımite en M , y este lımite tiene que estar necesariamente en X pero X = X por serX cerrado, luego X es completo. �

Teorema 4. Si M es un espacio metrico existe una completacion M de M y es unica.

Demostracion. Si tomamos el espacio normado B(M,R) y tomamos a ∈M . Definimos ϕ : M →B(M,R) como ϕ(x) = dx − da. Es claro que ϕ es inyectiva y que ϕ(M) ⊆ B(M,R) y comoB(M,R) es completo entonces ϕ(M) es completo por ser completo en un cerrado y ϕ(M) esdenso en ϕ(M).


Probemos ahora la unicidad de la completacion. Sea M un espacio metrico y M1 y M2 doscompletaciones (ϕ : M → M1 y ψ : M → M2 inmersiones isometricas). Entonces existe una

isometrıa f tal que f ◦ ϕ = ψ, es decir, que hay una isometrıa entre M1 y M2.Definamos f(ϕ(a)) = ψ(a). Es claro que conserva distancias, ahora tenemos que ver como exten-demos a f para los elementos de las completaciones que no estan en M , entonces tomamos unelemento de una completacion que no este en M , como M es denso en sus completaciones, existeuna sucesion de Cauchy en M que converge a este elemento de su completacion, entonces estasucesion tiene lımite en las dos completaciones, y mandamos por f al lımite en una completacionen el lımite en la otra completacion. Queda como ejercicio probar que esto es una isometrıa. �

Teorema 5. Si f : M → N es uniformemente continua entonces existe una unica extensionf : M → N uniformemente continua que extiende a f .

Demostracion. Si f es uniformemente continua entonces dada una sucesion de Cauchy se tieneque f( lım

n→∞xn) = lım

n→∞f(xn). Como para todo punto de la M hay una sucesion de Cauchy en

M que tiende a ese punto entonces evaluamos f en esa sucesion y calculamos el lımite que esunico por ser f uniformemente continua. �

Definicion. X es nunca denso si (X)◦ = ∅.

Lema 12. Union finita de nunca densos es nunca denso.

Demostracion. Lo probaremos para dos y el resto de los casos salen por induccion. Sean A y Bnunca densos.

(A ∪B)◦ = (A ∪B)◦

Supongamos a ∈ (A∪B)◦. Luego existe B(a, δ) ⊆ A∪B ⇒ B(a, δ)−A ⊆ B. Como B es nuncadenso entonces el unico abierto que contiene B es el vacıo, luego B(a, δ) ⊆ A pero el unicoabierto que contiene A por ser A nunca denso es el vacıo, luego no existe tal δ y A∪B es nuncadenso. �

Definicion. Se dice que X es magro si es union numerable de nunca densos. Un magro puedeno ser nunca denso, por ejemplo Q

Teorema 6. Sea M un espacio metrico. M es completo sii para toda sucesion de cerrados novacıos Fn ⊆ M tales que F1 ⊇ F2 ⊇ F4 ⊇ . . . y lım

n→∞diam(Fn) = 0 existe un unico a ∈ M tal

que⋂n∈N

= {a}.

Demostracion. ⇒) Tomemos xn ∈ Fn. Es facil ver que es de Cauchy ya que xm ∈ Fn si m > ny como los diametros de los Fn tienden a cero entonces dado ε hay un Fn0 con diametro menora ε, luego d(xn, xm) < ε si n,m > n0. Por ser completo M todos los Fn son completos por sercerrados en un completo, luego el lımite de esta sucesion de Cauchy esta en todos los Fn y hayun punto en la interseccion de los Fn que es el lımite de esta sucesion de Cauchy. El punto esunico porque si hay dos el diametro de los Fn es mayor o igual a la distancia entre estos dospuntos en la interseccion y por lo tanto llegamos a un absurdo porque los diametros tienden acero.

⇐) Tomemos una sucesion de Cauchy y sea Fn =⋃i≥n

xi. Los Fn son cerrados y sus diamet-

ros tienden a cero, si hay un punto en su interseccion entonces este punto es necesariamente ellımite de la sucesion de Cauchy ya que si este punto es a entonces d(a, xn) tiende a cero y por lotanto a es el lımite de la sucesion de Cauchy. Como elegimos una sucesion de Cauchy arbitrariatoda sucesion de Cauchy tiene lımite y M es completo. �

1.5. COMPLETITUD 15

Teorema 7. (Baire) Todo magro en un completo tiene interior vacıo.

Demostracion. El enunciado del teorema es equivalente, tomando complemento, a que la in-terseccion numerable de abiertos densos en un completo es denso. Probemos esta version delteorema.

A =⋂n≥1

An

con An abiertos y densos. Queremos ver que cualquier bola abierta corta a A y esto probara queA es denso.Sea B una bola abierta. Como B y A1 son abiertos su interseccion es abierta y como A1 esdenso es no vacia. Existe entonces B1 = B(a1, δ1) tal que B1 ⊆ B ∩A1. Tomamos ahora B2 talque B2 ⊆ B1 ∩ A2 y ası sucesivamente, asegurandonos ademas que diam(Bi) <

1i . Luego por el

teorema 6 tenemos que la interseccion de todos estos cerrados tales que se contienen cada unoal siguiente es no vacıa, luego hay un punto de A que esta en B, y como B es cualquier bolaabierta arbitraria entonces toda bola abierta tiene puntos de A entonces A es denso. �

Definicion. Un espacio normado completo se denomina espacio de Banach.

Definicion. Si f : A→ A es tal que f(a) = a con a ∈ A, el punto a se llama punto fijo de f .

Teorema 8. (Brouwer) Sea f : [0, 1]× [0, 1]× · · · × [0, 1]→ [0, 1]× [0, 1]× · · · × [0, 1], entoncesf tiene un punto fijo.

Demostracion. Solo lo vamos a probar para f : [0, 1]→ [0, 1].Consideremos g definida por g(x) = f(x) − x. Entonces g(0) ≥ 0 y g(1) ≤ 1. Por Teorema delValor Medio se tiene que g tiene un cero, y este cero de g es un punto fijo de f . �

Definicion. Sean M,N espacios metricos. Decimos que f es una contraccion estricta si existe0 < c < 1 tal que d(f(x), f(y)) < cd(x, y) para todo x, y ∈M .

Teorema 9. (del Punto Fijo de Banach) Sea M un espacio metrico completo y f : M → Muna contraccion estricta, entonces existe un unico punto fijo de f . Mas precisamente, si x0 ∈Mtomamos x1 = f(x0), x2 = f(x1), . . . , luego a = lım

n→∞xn es el punto fijo de f .

Demostracion. Supongamos que la sucesion {xn} converge a a. Como f es continua f(a) =lımn→∞

f(xn) = lımn→∞

xn+1 = a por lo que si {xn} converge entonces converge a un punto fijo. Es

facil ver que si hay un punto fijo es unico ya que si a y b son puntos fijos entonces d(a, b) =d(f(a), f(b)).Veamos ahora que la sucesion que definimos es de Cauchy. Sabemos que existe 0 < c < 1 tal qued(f(x), f(y)) < cd(x, y), entonces

d(xn, xn+1) = d(f(xn−1), f(xn)) < cd(xn−1, xn)

luego tenemos para todo n ≥ 1

d(xn, xn+1) < cnd(x0, x1)

Como la serie de cn converge sus colas tienden a cero y por desigualdad triangular obtenemosque la sucesion es de Cauchy y por estar en un completo es convergente. �


1.6. Conexion

Definicion. Un espacio metrico M se dice conexo si cada vez que M se descompone como A∪Bcon A y B abiertos disjuntos se tiene A = ∅ o B = ∅. En particular X ⊆M es conexo si cuandoX se escribe como A ∪B con A y B abiertos en X entonces A = ∅ o B = ∅.

Proposicion 4. R es conexo.

Demostracion. Supongamos que R = A ∪ B con A y B abiertos disjuntos no vacıos. Entoncesexisten a ∈ A, b ∈ B. Supongamos sin perdida de generalidad que a < b. Entonces consideremosC = {x ∈ A / x < b}.Si supC = b entonces B no es abierto porque hay una sucesion de Cauchy en el complementode B (que es A y que es cerrado por ser B abierto) que tiende a algo que no esta en A, es decirb, luego supC < b.Si supC ∈ A luego hay una sucesion convergente de la forma supC+ 1

n que a partir de un ciertovalor de n esta siempre en B por no estar en C y ser menor que b y que converge a algo de A,luego por el mismo motivo del caso anterior llegamos a un absurdo.El caso que nos queda es supC ∈ B, pero entonces hay una sucesion convergente en C ⊆ Aque tiende al supremo, pero el supremo esta en B y A es cerrado por ser B abierto, luego esnuevamente un absurdo, que provino de suponer que tanto A como B son no vacıos. Luego Res conexo. �

Corolario 2. M es un metrico conexo si y solo si los unicos abiertos y cerrados en M son M y∅

Demostracion. Es evidente que si M es conexo y existe un abierto y cerrado A entonces siendoB el complemento de A tenemos M = A∪B con A e B abiertos disjuntos, luego A = ∅ o B = ∅.Si M y ∅ son los unicos abiertos y cerrados entonces si M = A∪B con A y B abiertos disjuntostenemos que A es abierto y cerrado, luego A = ∅ o B = ∅ y M es conexo. �

Proposicion 5. Sea {Xi}i∈I una familia de conjuntos conexos en M con M espacio metrico.

Si⋂i∈I

Xi 6= 0 entonces X =⋃i∈I

Xi es conexo.

Demostracion. Sea x ∈ X y X = A ∪B con A y B abiertos disjuntos. Supongamos sin perdidade generalidad x ∈ A, luego (A ∩ Xi) ∪ (B ∩ Xi) = Xi ∀i ∈ I, entonces como A y B sonabiertos disjuntos en M se tiene que A ∩Xi y B ∩Xi son abiertos disjuntos en Xi, luego comoXi es conexo tenemos B ∩Xi = ∅ y como esto se cumple para todo Xi entonces B = ∅ y X esconexo. �

Definicion. Una componente conexa de M es un conjunto X ⊆ M tal que X es conexo y siY ⊇ X es conexo entonces Y = X.

1.7. Compacidad

Definicion. Se dice que M es compacto si de cada cubrimiento abierto de M podemos extraerun subcubrimiento finito.

Teorema 10. (Borel-Lebesgue) Si F ⊆ R es cerrado y acotado, luego es compacto.

Demostracion. Supongamos F = [a, b] y {Aλ} un cubrimiento abierto de F y que F no escompacto. Consideremos el siguiente conjunto

X = {x ∈ [a, b] / ∃ finitos λ1, λ2, . . . , λn / [a, b] =n⋃i=1

Aλi}

1.7. COMPACIDAD 17

Existe c = supX y por no ser F compacto c 6= b. Es claro que al menos un Aλi contiene a cya que la union de todos es [a, b], pero tambien contiene un entorno de c por ser abierto, luegosi lo agregamos a los finitos que cubren el [a, c] tenemos un ε tal que hay finitos que cubren el[a, c+ ε], por lo que llegamos a un absurdo que provino de suponer que [a, b] no era compacto.Supongamos ahora que F no es un intervalo, pero existe un intervalo que contiene a F , es decir,F ⊆ [a, b]. Luego podemos cubrir [a, b] con los Aλi y con R − F que son todos abiertos, luegohay un subcubrimiento finito. Si a este subcubrimiento finito le sacamos R− F en caso de quesea parte del subcubrimiento, conseguimos el subcubrimiento finito de F con los Aλi �

Lema 13. Si K1, . . . ,Kn son compactos entonces K =n⋃i=1

Ki es compacto.

Demostracion. Cada cubrimiento de K cubre a cada uno de los Ki, luego podemos extraer unsubcubrimiento finito de cada uno, y la union finita de estos finitos abiertos que cubren a cadaKi es un subcubrimiento finito de K. �

Definicion. Se dice que una familia {Fλ}λ∈I tiene la propiedad de interseccion finita (PIF) sicualquier subfamilia finita tiene interseccion no vacıa.

Lema 14. M es compacto ⇔ toda familia de cerrados con la PIF tiene interseccion no vacıa

Demostracion. Tomando complemento en la definicion de compacto se tiene que si hay unafamilia de cerrados cuya interseccion es ∅ entonces hay una subfamilia finita cuya intersecciones ∅, luego, la familia no tiene la PIF. �

Teorema 11. (Dini) Sea M un espacio metrico compacto y f, fn : M → R continuas talesque f1(x) ≤ f2(x) ≤ f3(x) ≤ . . . ∀x ∈ M . SI fn → f puntualmente entonces fn → funiformemente.

Demostracion. Dado ε > 0 para cada n ∈ N consideremos el siguiente conjunto: Fn = {x ∈M / |fn(x)− f(x)| ≥ ε}.Los Fn son cerrados porque son preimagen por una funcion continua de un cerrado, Fn ⊃ Fn+1

y⋂n≥1

Fn = ∅.

Como M es compacto existen finitos Fi tales que su interseccion es vacıa, luego fn → f uni-formemente. �

Proposicion 6. 1) Si K ⊆M es compacto entonces K es cerrado en M .

2) Si M es compacto y K es cerrado en M entonces K es compacto.

Demostracion. 1) Si K no es cerrado en M entonces existe en M un punto de acumulacion deK, llamemosle a. Tomamos An = {x / d(x, a) > 1

n y es claro que la union de todos los An cubrea K sin embargo ninguna subfamilia finita cubre a K.

2) Dado un cubrimiento abierto de K tomamos ese cubrimiento y M−K que es abierto, entoncestenemos un cubrimiento abierto de M que tiene un subcubrimiento finito. Ese subcubrimientofinito, sacandole si es que lo tiene el abierto M −K es el subcubrimiento finito de K. �

Lema 15. Interseccion de compactos es compacto.

Demostracion. Sean {Kλ}λ∈I compactos, su interseccion esta contenida en uno de ellos que escompacto, ademas son todos cerrados y por ende su interseccion es cerrado, luego su intersecciones un compacto. �

Proposicion 7. M es completo ⇒ M es compacto.


Demostracion. M es denso y cerrado en su completacion, luegoM es su propia completacion. �

Proposicion 8. Si K ⊆M es compacto entonces K es acotado.

Demostracion. Tomamos para cada a ∈ K la bola Ba abierta de radio unitario centrada en a.La union de todas estas bolas es un cubrimiento abierto de K pero si unimos finitas de estasbolas forman un conjunto acotado, luego ningun conjunto no acotado es compacto. �

Proposicion 9. Sea f : M → N continua. Si K ⊆M es compacto entonces f(K) es compacto.

Demostracion. Tomemos un cubrimiento abierto de f(K). Las preimagenes de este cubrimientoforman un cubrimiento abierto de K, luego existe un subcubrimiento finito. Aplicando f a estesubcubrimiento recuperamos un subcubrimiento finito de f(K) �

Corolario 3. Sean M y N espacios metricos, M compacto y f : M → N continua. Entonces

1) f es cerrada (manda cerrados en cerrados).

2) f es acotada (f(M) es un conjunto acotado).

Demostracion. 1) Sea K ⊆ M cerrado, entonces es compacto, luego f(K) es compacto y porende cerrado.

2) Como f(M) es compacto entonces es acotado. �

Corolario 4. Si M es compacto y N es un espacio metrico entonces C(M,N) (el conjunto defunciones continuas de M en N) es un espacio metrico con

d(f, g) = sup d(f(x), g(x))

Demostracion. Como las funciones continuas en un compacto son acotadas entonces C(M,N) ⊆B(M,N). �

Corolario 5. Sea f : M → N continua y biyectiva. Si M es compacto entonces f es unhomeomorfismo.

Demostracion. Como f es cerrada entonces f−1 es continua. �

Teorema 12. (Weierstrass) Si f : M → R es continua y M es compacto, entonces f alcanza sumaximo y su mınimo en M .

Demostracion. Como M es compacto y f es continua entonces f(M) es compacto, luego esacotado y tiene infimo y supremo, y por ser compacto alcanza ambos. �

Corolario 6. Si f : M → R es continua, M es compacto y f > 0 entonces ∃ c > 0 tal quef ≥ c.

Demostracion. Si 0 es el ınfimo de f(M) entonces f alcanza el valor 0, luego si no lo alcanza noes el ınfimo. �

Corolario 7. Si M es un espacio metrico tal que F ⊆M es compacto y G ⊆M entonces existeun punto en F que realiza la distancia a G (∃x ∈ F / d(x,G) = d(F,G))

Demostracion. La funcion dG : M → R sale de un compacto y va a parar a R luego alcanza sumınimo. �

Definicion. Sea X ⊆ M un espacio metrico. Se dice que X es totalmente acotado si ∀ε > 0existe un cubrimiento finito de X con conjuntos de diametro menor a ε.

1.7. COMPACIDAD 19

Proposicion 10. Son equivalentes:

1) X es totalmente acotado.

2) Dado ε > 0 existen x1, . . . , xn tales que X ⊆n⋃i=1

B(xi, ε).

3) Dado ε > 0 existe F finito tal que ∀ x ∈ X : d(F, x) < ε.

Demostracion. 1 ⇒ 2) Como X es totalmente acotado tomamos un cubrimiento finito de di-ametro menor a ε

2 , luego tomamos para cada conjunto un punto de ese conjunto y la bolacentrada en ese punto y de radio ε contiene a el conjunto, luego tomamos una bola de radio εpara cada conjunto y estas bolas cubren X.

2 ⇒ 3) Tomamos los centros de las bolas, luego todo punto de X esta en una de las bolasy por lo tanto dista a menos de ε de el centro de la bola en la que esta, y el conjunto de loscentros de las bolas es el F que buscabamos.

3 ⇒ 1) Tomamos las bolas centradas en los puntos de F y de radio ε2 siendo F el conjunto

finito al cual todos los puntos distan en menos de ε2 y esto nos da el cubrimiento de X con

conjuntos de diametro menor a ε. �

Corolario 8. Si M es totalmente acotado y X ⊆M entonces X es totalmente acotado.

Demostracion. Tomamos finitas bolas de radio ε que cubran M , y tambien cubren X. �

Corolario 9. X es totalmente acotado ⇒ X es acotado.

Demostracion. Como podemos tomar finitas bolas de radio 1 que cubran X entonces sea D elmaximo de las distancias entre los centros de las bolas, luego D+2 es una cota para la distanciaentre dos puntos de X y por ende X es acotado. �

Corolario 10. Si X ⊆ Rn es acotado entonces es totalmente acotado.

Demostracion. Como X es acotado existe n ∈ N tal que X ⊆ F = [−n, n]× · · ·× [−n, n]. Luegotomamos dado ε el conjunto de los (a1ε, a2ε, . . . , anε) tales que −nε ≤ ai ≤ n

ε . Este conjuntoes finito y todo punto de F dista a menos de ε de este conjunto finito, luego F es totalmenteacotado y como X ⊆ F entonces X es tambien totalmente acotado. �

Ejemplo 6. En l2, B[0, 1] es acotado pero no es totalmente acotado.

Lema 16. M es totalmente acotado ⇔ toda sucesion en M tiene una subsucesion de Cauchy.

Demostracion. ⇒) Sea {xn} una sucesion en M con infinitos terminos distintos. Como M estotalmente acotado, es union finita de bolas de radio ε con ε > 0, luego alguna de estas bolastiene infinitos puntos de la sucesion. Tomamos uno en esa bola y el resto de la sucesion lo obten-emos escribiendo esa bola como union de bolas de radio epsilon

2 , y ası procedemos inductivamente.

⇐) Si M no es totalmente acotado ∃ ε > 0 tal que M no se puede escribir como union finita debolas de radio ε. Luego tomamos x1 ∈M , x2 ∈M −B(x1, ε), x3 ∈M − (B(x1, ε)∪B(x2, ε)), . . .y esta sucesion no tiene subsucesiones de Cauchy. �

Teorema 13. (Caracterizacion de Compacidad) Si M es un espacio metrico son equivalentes:

1) M es compacto.


2) Todo subconjunto infinito de M tiene algun punto de acumulacion.

3) Toda sucesion en M tiene una subsucesion convergente.

4) M es completo y totalmente acotado.

Demostracion. 1 ⇒ 2) Si F ⊆ M no tien puntos de acumulacion, entonces todo E ⊆ F escerrado pues E = E ∪ E′ ⊆ E ∪ F ′ = E. Si F es infinito tiene algun subconjunto numerableE1 = {x1, x2, . . . }. Consideremos los conjuntos En = {xn, xn+1, . . . }. Como estan en F soncerrados y ademas tienen la PIF, luego por el lema 14 M no es compacto.

2 ⇒ 3) Sea {xn} una sucesion en M . Si la sucesion tiene finitos puntos al menos uno apareceinfinitas veces y por lo tanto tomando todas las apariciones de ese punto tenemos una subsuce-sion convergente. Si esto no pasa, es decir, hay infinitos puntos, entonces el conjunto de puntosde la sucesion tiene un punto de acumulacion al que llamamos a, y por lo tanto para cada ntenemos que hay infinitos puntos en B(a, 1n), luego tomamos un punto en B(a, 1) y lo llamamosxi1 , despues tomamos un punto en B(a, 12) que aparezca despues de x1 en la sucesion y lo lla-mamos xi2 , y ası nos vamos construyendo la subsucesion convergente tomando xij en B(a, 1j ) yque aparezca en la sucesion despues de xij−1 .

3 ⇒ 4) Si toda sucesion tiene una subsucesion convergente, esta subsucesion convergente esde Cauchy, y por el lema 16 M es totalmente acotado. Tomemos una sucesion de Cauchy. Estatiene una subsucesion convergente, y por lo tanto la sucesion converge. Como la eleccion de lasucesion de Cauchy es arbitraria, toda sucesion de Cauchy converge luego M es completo.

4 ⇒ 1) Supongamos que M no es compacto, luego ∃{Aλ}λ∈I un cubrimiento de M que noadmite un subcubrimiento finito. Como M es totalmente acotado, entonces existen cerradosF1, . . . , Fn de diametro 1 que cubren M . Al menos uno de estos cerrados no se puede cubrircon finitos Aλ porque sino cubrirıamos M con finitos Aλ. Llamemosle E1 al cerrado que no sepuede cubrir con finitos Aλ. Tomemos entonces, por ser E1 totalmente acotado un cubrimien-to de E1 por cerrados E11 , E12 , . . . , E1n1

de diametro 12 . Ası podemos ir obteniendo cerrados

E1, E2, E3, . . . tales que E1 ⊇ E2 ⊇ E3 ⊇ . . . y diam(Ei)→ 0, luego por ser M completo por el

teorema 6 existe un unico x tal que x ∈⋃n∈N

Ei y por lo tanto existe un Aλ0 tal que x ∈ Aλ0 , pero

por ser Aλ0 abierto existe B(x, ε) ⊆ Aλ0 pero como diam(Ei)→ 0 existe n tal que diam(En) < εluego En ⊂ Aλ0 , pero habıamos dicho que En no podıa ser cubierto por finitos Aλ. El absurdoprovino de suponer que M no era compacto. �

Teorema 14. (Cantor-Tychonov) Sean M1,M2, . . . ,Mn espacios metricos.

M =

n∏i=1

Mi es compacto ⇔ ∀ i ∈ {1, . . . , n}Mi es compacto

Demostracion. ⇒) Sea {Aij}j∈Ii un cubrimiento abierto de Mi, luego tomamos como cubrim-iento abierto de M los abiertos:

A1j1×A2j2

× · · · ×Anjn

con ji ∈ Ii. Estos abiertos que son todas las combinaciones de productos de los abiertos quecubren cada Mi y admiten un subcubrimiento finito de M , luego tomando proyeccion a cadaMi de este subcubrimiento finito obtenemos un subcubrimiento finito de Mi para todo i.

⇐) Veremos que M es completo y totalmente acotado. Sea {xn} una sucesion de Cauchy. Como

1.7. COMPACIDAD 21

las proyecciones son Lipschitz entonces pi(xn) es de Cauchy y converge a ai por ser M com-pleto, luego xn de Cauchy converge a (a1, a2, . . . , an) luego M es completo. Veamos que M estotalmente acotado. Sean Fi ⊆ MI conjuntos finitos tales que D(xi, Fi) < ε para todo xi ∈ Mi,luego F = F1 × F2 × · · · × Fn es un conjunto finito tal que d(x, F ) < ε para todo x ∈M por loque M es totalmente acotado. �

Definicion. Sean M y N espacios metricos y E un conjunto de funciones f : M → N . Se diceque E es equicontinuo en a si

∀ ε > 0 : ∃δ > 0 / d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), f(a)) ∀f ∈ E

Se dice que E es equicontinuo si es equicontinuo en todos los puntos de M . Notemos que si Ees equicontinuo en A toda f ∈ E es continua en A.

Definicion. Se dice que E es uniformemente equicontinuo si es equicontinuo en M y para cadaε hay un δ que cumple con la definicion de equicontinuo que no depende del punto a. Si E esuniformemente equicontinuo, entonces toda f ∈ E es uniformemente continua.

Lema 17. Sean f, fn : M → N / fn → f puntualmente y {fn} es equicontinuo. Entonces{f} ∪ {fn} es equicontinuo y f es continua.

Demostracion. Sea a ∈ M . Dado ε > 0 ∃ δ > 0 / d(x, a) < δ ⇒ d(fn(x), fn(a)) < ε ∀n ∈ N.Tomando lımite en n obtenemos d(f(x), f(a)) ≤ ε porque d es continua. �

Definicion. Si E es un conjunto de funciones f : M → N y x ∈ M definimos E(x) = {f(x) :f ∈ E.

Definicion. Si X es compacto se dice que X es precompacto.

Lema 18. Sea f : M → N continua y X ⊆ M . Si X es precompacto entonces f(X) esprecompacto.

Demostracion. X es compacto ⇒ f(X) es compacto ⇒ f(X) es cerrado ⇒ f(X) ⊆ f(X) ⊆f(X)⇒ f(X) es compacto. �

Lema 19. X es precompacto ⇔ toda sucesion en X tiene una subsucesion convergente en X

Demostracion. ⇒) Como X es compacto entonces toda sucesion en X es una sucesion en X ypor el teorema 13 tiene una subsucesion convergente.

⇐) X es denso en X, luego para toda sucesion {xi} en X existe una subsucesion {yi} enX tal que d(xi, yi) >

1i ∀i ∈ N, luego como {yi} tiene una subsucesion convergente, tomamos

los terminos con los mismos ındices en {xi} y se puede ver facilmente que van a converger allımite de la subsucesion de los {yi}. Luego toda sucesion tiene una subsucesion convergente y Xes compacto. �

Teorema 15. (Arzela-Ascoli) Sean K,N espacios metricos con K compacto y sea E ⊆ C(K,N).E es precompacto si y solo si

1) E(x) es precompacto ∀x ∈ K.

2) E es equicontinuo.


Demostracion. ⇒) Si x ∈ K definimos Dx : C(K,N)→ N como Dx(f) = f(x). Dx es continuapara todo x ∈ K ya que es una contraccion (no necesariamente estricta) y las contracciones soncontinuas (de hecho son uniformemente continuas tomando δε = 2ε). Para ver que Dx es unacontraccion alcanza con ver que

d(Dx(f), Dx(g)) = d(f(x), f(g)) ≤ supt∈K

d(f(t), g(t)) = d(f, g)

Luego como Dx es continua entonces Dx(E) = E(x) es precompacto por ser E precompacto.

Veamos ahora que E es equicontinuo. Sea ε > 0. Como E es compacto entonces E ⊆n⋃i=1

B(fi,ε

3)

donde f1, . . . , fn ∈ E.Sea a ∈ K, veamos que E es equicontinuo en a. El conjunto {f1, . . . , fn} es equicontinuo (porser un conjunto finito de funciones continuas). Luego existe δ > 0 tal que d(fi(x), fi(a)) < ε

3 sid(x, a) < δ para i ∈ {1, . . . , n}. Luego para toda f ∈ E se tiene para algun i entre 1 y n quef ∈ B(fi,

ε3) y luego

d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), f(a)) < d(f(x), fi(x)) + d(fi(x), fi(a)) + d(fi(a), f(a)) <ε

3+ε

3+ε

3= ε

Luego E es equicontinuo.

⇐) Sea {fn} una sucesion en E. Debemos ver que {fn} tiene alguna subsucesion convergenteen C(K,N) uniformemente.Como K es compacto entonces K es separable. Sea D ⊆ K un denso numerable. Veremos que{fn} tiene alguna subsucesion {fnk

} que converge puntualmente en D.Sea D = {x1, x2, . . . }. Como {fn(x1) : n ≥ 1} es compacto en N entonces

∃ fnk1subsucesion de fn / fnk1

(x1)→ lx1 ∈ N

Como {fnk1(x2) : k1 ≥ 1} es compacto

∃ fnk2subsucesion de fnk1

/ fnk2(x2)→ lx2 ∈ N

Ası vamos tomando subsucesiones de la sucesion anterior para cada punto.En este proceso vamos tomando de la sucesion fnki

una subsucesion tal que d(fnki(xi), lxi) <

1i .

Ası para todo ε existe i0 tal que

∀x ∈ D ∃i0 / i > i0 ⇒ d(fnki(xi), lxi) < ε

Y como al tomar todos los puntos de D salvo finitos se obtiene un denso entonces converge enun denso �

1.8. Teorema de Stone - Weierstrass

Definicion. Sea ϕ : R→ R≥0 continua que se anula fuera de un intervalo [−δ, δ] y sea f : R→ Rcontinua. La convolucion f ∗ ϕ es una funcion de R en R dada por

(f ∗ ϕ)(x) =

∫ +∞

−∞f(x+ t)ϕ(t) dt =

∫ δ

−δf(x+ t)ϕ(t) dt

Teorema 16. (Weierstrass) Dada f : [a, b] → R contnua, ∃ una sucesion de polinomios pn talque pn ⇒ f (pn converge uniformemente a f) en [a, b].La estrategia va a ser probarlo primero para el caso [a, b] = [0, 1], f(0) = 0, f(1) = 1 tomandouna sucesion ϕn / f ∗ ϕn sean polinomios en [0, 1] y f ∗ ϕn ⇒ f en [0, 1]. Esto nos va a llevar

1.8. TEOREMA DE STONE - WEIERSTRASS 23

tres lemas y luego del caso particular lo generalizaremos.

Vamos a necesitar definir

cn =

∫ 1

−1(1− t2)n dt

y

ϕn(t) =1

c2(1− t2)n

teniendo ∫ +∞

−∞ϕn(t) dt =

∫ 1

−1ϕn(t) dt = 1

Lema 20. Si 0 < δ < 1 entonces lımn→∞

ϕn(x) = 0 uniformemente en |x| ≥ δ

Demostracion.

cn = 2

∫ 1

0(1− t2)n dt = 2

∫ 1

0(1 + t)n(1− t)n dt ≥ 2

∫ 1

0(1− t)n dt =

2

n+ 1

|x| ≥ δ ⇒ x2 ≥ δ2 ⇒ 1− x2 ≤ 1− δ2 ⇒ 0 ≤ ϕn(x) ≤ 1

cn(1− x2)n ≤ n+ 1

2(1− δ2)n → 0

Como esto ocurre para todo δ > 0 entonces ϕn(x)→ 0 para todo x > 0 tomando δ = |x|2 . �

Lema 21. Si f : [0, 1] → R es continua, f(0) = f(1) = 0 y la consideramos definida para todoR como f(x) = 0 si x /∈ [0, 1] entonces f ∗ ϕn es un polinomio para x ∈ [0, 1]

Demostracion.

f ∗ ϕn(x) =

∫ 1

−1f(x+ t)ϕn(t) dt

Cambiando variables y = x+ t

P (x) =

∫ x+1

x−1f(y)ϕn(y − x) dy =

∫ 1

0f(y)ϕn(y − x) dy

x, y ∈ [0, 1]⇒ y − x ∈ [−1, 1]⇒ ϕn(y − x) =1

cn(1− (y − x)2)n) =

2n∑i=0

αi(y)xi

Nos queda entonces

P (x) =

∫ 1

0f(y)

2n∑i=0

αi(y)xi dy =

2n∑i=0

xi∫ 1

0f(y)αi(y) dy

�

Lema 22. En las condiciones anteriores pn → f uniformemente en [0, 1]

Demostracion. Como∫ϕn = 1⇒ f(x) =

∫f(x)ϕn(t) dt

Pn(x)− f(x) =

∫ 1

−1(f(x+ t)− f(x))ϕn(t) dt

|Pn(x)− f(x)| ≤∫ 1

−1|f(x+ t)− f(x)|ϕn(t) dt


Sea 0 < δ < 1∫ 1

−1|f(x+ t)− f(x)|ϕn(t) dt =

∫ δ

−δ|f(x+ t)− f(x)|ϕn(t) dt+

∫δ<|t|<1

|f(x+ t)− f(x)|ϕn(t) dt

Como f es uniformemente continua podemos tomar δ tal que para todo x se tiene que |f(x +t)− f(x)| < ε

2 si |t| < δ∫δ<|t|<1

|f(x+ t)− f(x)|ϕn(t) dt ≤ 2||f || sup|t|<δ|ϕn(t)|

y como ϕn(t) tiene a cero entonces esta integral se puede hacer menor a ε2 y luego Pn tiende

uniformemente a f en [0, 1] lo que prueba el teorema de Weierstrass �

Definicion. Si M es un espacio metrico compacto entonces C(M,R) es un espacio de Banachcon ||f || = sup

x∈M|f(x)|.

Si f y g estan en C(M,R) entonces fg ∈ C(M,R) por lo que hay un producto que es conmutati-vo, asociativo, distribuye respecto a la suma y tiene elemento neutro. Es por entonces C(M,R)un espacio vectorial.Decimos que A ⊆ C(M,R) es un algebra si

1) A es un subespacio vectorial de C(M,R).

2) A es cerrado por el producto.

Definicion. Es facil de verificar que interseccion de algebras es un algebra. Si S ∈ C(M,R) lainterseccion de todas las algebras que contienen a S es el algebra generada por S, es el algebramas chica que contiene a S y esta formada por los polinomios sin termino independiente envarias variables de elementos de S. Al algebra generada por S la denotamos con A(S).

Ejemplo 7. Si S = {x} entonces A(S) = A({x}) = {P polinomo : P (0) = 0}.

Lema 23. Si M es compacto y A ⊆ C(M,R) es un algebra, entonces A es un algebra.

Demostracion. Sean f, g ∈ A y α, β ∈ R Luego existen fn, gn ∈ A tales que fn → f y gn → g.Para ver que A es un algebra alcanza con ver que

lımn→∞

αfn + βgn = αf + βg

ylımn→∞

fngn = fg

Con esto probamos que A es un algebra. �

Proposicion 11. Sea M un compacto y f, g ∈ C(M,R), entonces |f |, (f ∨g), (f ∧g) ∈ C(M,R)donde

f ∨ g = max(f, g) y f ∧ g = min(f, g)

Proposicion 12. Si A es un algebra y fi(i ∈ {1, . . . , n}) entonces∧fi,∨fi ∈ A.

Demostracion. Solo probaremos el caso para dos y los demas casos salen por induccion ya que∧ y ∨ son operadores asociativos.

f ∨ g =f + g + |f − g|

2y f ∧ g =

f + g − |f − g|2

Por lo que alcanza con probar que f ∈ A⇒ |f | ∈ A.Para ver esto usamos el teorema de Weierstrass y como |x| es una funcion continua la podemosaproximar por una sucesion de polinomios pn, luego componiendo pn ◦f (restandole a pn el valorpn(0) que como tiende a cero sigue tendiendo pn a |x|) esta en A y tiende a |f |. �

1.8. TEOREMA DE STONE - WEIERSTRASS 25

Definicion. Si M es un metrico compacto y S ∈ C(M,R) se dice que S separa puntos de M si

∀ x, y ∈M,x 6= y : ∃f ∈ S / f(x) 6= f(y)

Lema 24. Sea A ∈ C(M,R) un algebra que separa puntos y contiene a las constantes, entoncesdados x, y ∈M y α, β ∈ R existe f ∈ A tal que f(x) = α, f(y) = β.

Demostracion. Sea g ∈ A tal que g(x) 6= g(y) entonces existen s, t ∈ R tales que si f = sg + tentonces f(x) = α y g(x) = β. s y t son tales que(

g(x) 1g(y) 1

)(st

)=

(αβ

)Que tiene solucion porque la matriz es inversible. �

Teorema 17. (Stone - Weierstrass) Sea M un espacio metrico compacto y A ⊆ C(M,R) unalgebra que separa puntos de M y contiene a las constantes, entonces A = C(M,R)

Demostracion. Debemos ver que dados f ∈ C(M,R) y ε > 0 existe g ∈ A tal que

∀ z ∈M : |g(z)− f(z)| < ε

Dados x, y ∈M ∃ gxy ∈ A / gxy(x) = f(x), gxy(y) = f(y).Si x = y funcionan las constantes, sino usamos el lema anterior.Fijemos x ∈M . Por continuidad para cada y ∈M existe una bola abierta Vxy centrada en y talque gxy(z)− f(z) > −ε ∀ z ∈ Vxy.

M =⋃y∈M

Vxy ⇒ ∃ y1, . . . , yn / M =n⋃i=1

Vxy

por ser M compacto. Definimos

gx = gxy1 ∨ gxy2 ∨ · · · ∨ gxyn

Es claro que gx ∈ A y gx(z) = max1≤i≤n

gxyi(z). Luego

∀ z ∈M : gx(z) > f(z)− ε

Como gx(x) = f(x) por continuidad existe una bola abierta Ux centrada en x tal que gx(z) −f(z) < ε ∀ z ∈ Ux.

M =⋃x∈M

Ux ⇒ ∃ x1, . . . , xn / M =n⋃i=1

Uxi

Sea g = gx1 ∧ gx2 ∧ · · · ∧ gxn y es claro que g ∈ A y que para todo z ∈M se tiene

f(z)− ε < g(z) < f(z) + ε

Lo que prueba el teorema. �

Capıtulo 2

Diferenciacion

2.1. Transformaciones lineales

Definicion. Llamaremos funcion lineal o transformacion lineal indistintamente a las funcionesque van de espacios normados en espacios normados y que son transformaciones lineales siconsideramos a estos espacios normados como espacios vectoriales.

Lema 25. Sean M,N espacios normados y f : M → N una funcion lineal. Son equivalentes:

1) f es continua en M .

2) f es continua en 0.

3) sup||x||<1

||f(x)|| <∞.

4) ||f(x)|| < c||x|| ∀ x ∈M .

5) ||f(x)− f(y)|| ≤ c||x− y|| ∀ x, y ∈M .

Ademas el c de los items 4 y 5 es el mismo c.

Definicion. Si E y F son espacios normados, L (E,F ) notara al espacio vectorial de funciones

lineales y continuas de E en F . Si ||f || = supx 6=0

||f(x)||||x||

para f lineal y continua entonces obtenemos

un espacio normado.

Proposicion 13. Si E y F son normados y F es de Banach entonces L (E,F ) es de Banach.

Demostracion. Sea fn ∈ L (E,F ) una sucesion de Cauchy.Dado ε > 0 ∃ n0 / ||fn − fm|| = sup

||y||=1||fn(y)− fm(y)|| < ε ∀ m,n > n0.

fn(x) es de Cauchy en F por lo que fn tiende puntualmente a f . Por ser lineal y continua tiendeuniformemente a f . �

Lema 26. Sea F normado y f : Rn → F lineal. Entonces f es continua.

Demostracion. Sea ei(i ∈ {1, . . . , n}) la base canonica de Rn Entonces

||f(α1e1 + · · ·+ αnen)|| =n∑i=1

f(αiei) ≤

≤n∑i=1

|αi|||f(ei)|| ≤ (|α1|+ · · ·+ |αn|)( max1≤i≤n

||f(ei)||) ≤ c||(α1, . . . , αn)||2

27

28 CAPITULO 2. DIFERENCIACION

donde c es una constante. �

Teorema 18. Sea E un espacio normado de dimension finita como espacio vectorial. Entonces

1) E es linealmente homeomorfo a Rn

2) E es de completo

3) Si F Es normado toda funcion lineal de E en F es continua.

4) Todas las normas de E son equivalentes.

Demostracion. 1) Sea v1, . . . , vn una base vectorial de E y h : Rn → E dado por

h(α1, . . . , αn) =n∑i=1

αivi

Como los vi son linealmente independientes, h es inyectiva (ademas es lineal) y como son gen-eradores, h es sobreyectiva (luego es biyectiva) ⇒ ∃ h−1 : E → Rn es lineal y h es continua porel lema anterior. Veamos que h−1 es continua.Como S[0, 1] ⊆ R es compacto y h es continua h alcanza maximo y mınimo en S[0, 1].

∃x0 ∈ S[0, 1] / ||h(x)|| ≥ ||h(x0)|| ∀ x ∈ S[0, 1]

Si x 6= 0 ∈ Rn entonces ||h(x)|| = ||x||||h( x||x||)|| ≥ ||x||c.

Si x = h−1(y)) con y 6= 0 entonces ||h(h−1(y))|| > ||h−1(y)c.

1

c||y|| ≥ ||h−1(y)||

Luego h−1 es continua.

2) Porque homeomorfismo uniforme manda completos en completos

3 y 4) Quedan como ejercicio. �

Definicion. L (Rn,Rm) puede identificarse con Rn×m. Asociamos f ∈ L (Rn,Rm) con A ∈Rn×m si f(x) = Ax. Definimos

||A|| = sup||x||=1

||Ax||

Proposicion 14.

||BA|| ≤ ||B|| ||A||

Demostracion.

||BAx|| ≤ ||B|| ||Ax|| ≤ ||B|| ||A|| ||x|| ⇒ ||BA|| ≤ ||B|| ||A||

�

Definicion. L (Rn,Rn) se notara como L (Rn).

Definicion. El conjutno de transformaciones lineales inversibles en L (Rn) se notara L (Rn)−1.

2.2. DIFERENCIALES 29

Teorema 19. Sea A ∈ L (Rn)−1

1) Si B ∈ L (Rn) satisface ||B −A|| ||A−1|| < 1 entonces B tambien es inversible.B(A, 1

||A−1||) ⊆ L (Rn)−1 por lo que L (Rn)−1 es abierto.

2) Invertir es una funcion continua en L (Rn)−1 (es un homeomorfismo).

Demostracion. 1) Llamemos α a 1||A−1|| y β a ||B −A||. Nuestra hipotesis es β < α.

Si x ∈ Rn entonces

α||x|| = α||A−1Ax|| ≤ α||A−1|| ||Ax|| = ||Ax|| ≤ ||(A−B)x||+ ||Bx|| ≤ β||x||+ ||Bx||

Luego tenemos(α− β)||x|| ≤ ||Bx||

y por lo tanto ||Bx|| = 0⇒ ||x| = 0 por ser α− β > 0

2) Sea A ∈ L (Rn). Tomemos Bn tal que Bn → A

(α− β)||x|| ≤ ||Bnx||

(α− β)||B−1n y|| ≤ ||y|| ⇒ ||B−1n || ≤1

α− β

B−1n −A−1 = B−1n (A−Bn)A−1

Luego

||B−1n −A−1|| ≤ ||B−1n || ||A−Bn|| ||A−1|| ≤β

α− β1

α

Pero si Bn → A entonces β → 0 y ||Bn −A|| ≤ βα(α−β) →

0α2 = 0.

Luego invertir es un homeomorfismo. �

2.2. Diferenciales

Definicion. Sea f : U ⊆ Rn → Rm donde U es abierto y sea x ∈ U .Si exite A ∈ L (Rn,Rm) tal uqe

lımh→0

||f(x+ h)− f(x)−Ah||||h||

= 0

diremos que f es diferenciable en x y escribiremos f ′(x) = A y la llamamos derivada total odiferencial de f en x.Si esto pasa para todo x ∈ U diremos que f es diferenciable en U .

Lema 27. Si existe el diferencial, es unico.

Demostracion. Sean U ⊆ Rn abierto, x ∈ U y f : U → Rm. Si A1, A2 ∈ L (Rn,Rm) son ambosel diferencial de f en x entonces para cualquier h ∈ Rn − {0} se tiene

||(A1 −A2)h|| ≤ ||f(x+ h)− f(x)−A1h||+ ||f(x+ h)− f(x)−A2h||

Dividiendo por h nos queda||(A1 −A2)th||

||th||→ 0

Pero entonces como esto pasa para todo h 6= 0 se tiene A1 = A2. �

30 CAPITULO 2. DIFERENCIACION

Teorema 20. (Regla de la cadena) Sea f : U ⊆ Rn → Rm y g : V ⊆ Rm → Rk con U, Vabiertos y f(U) ⊆ V , f diferenciable en x0 ∈ U y g diferenciable en y0 = f(x0).F = f ◦ g es diferenciable en x0 y F ′(x0) = g′(f(x0))f

′(x0).

Demostracion. Sean A = f ′(x0) y B = g′(y0). Veamos que

lımh→0

||F (x0 + h)− F (x0)−BAh||||h||

→ 0

Queda por demostrar. �

Definicion. Sea f : E ⊆ Rn → Rm. Decimos que f ∈ C1(E) si f es diferenciable en E y f ′ esuna funcion continua.

2.3. Teorema de la funcion inversa

Teorema 21. (de la funcion inversa) Sea f : E ∈ Rn → Rn con E abierto, f ∈ C1(E) y seaa ∈ E tal que f ′(a) es inversible. Sea b = f(a). Existen abiertos U ⊆ E, V ⊆ f(E) tales quea ∈ U, b ∈ V y f : U → V es biyectiva y ademas g = f−1 : V → U esta en C1(V ).Si esto pasa, g′(b) = f ′(a)−1

Demostracion. Si el teorema vale entonces como g(f(x)) = x se tiene g′(f(x))f ′(x) = Id y luegoreemplazando a = x se tiene g′(b) = 1

f ′(a) . Probemos ahora el teorema.

Llamemos A = f ′−1(a) y sea ||A−1|| = 12λ . Como f ′ es continua en a existe una bola en E

centrada en A, U ⊆ E tal que ||f ′(x)−A|| < λ ∀x ∈ U .Para todo x ∈ E definimos ϕy(x) = x+A−1(y − f(x)).Observamos que

f(x) = y ⇔ x es punto fijo de ϕy

Como f ∈ C1(E) entonces ϕy es diferenciable y vale

ϕ′y(x) = Id−A−1f ′(x) = A−1(A− f ′(x))

||ϕ′y(x)|| ≤ ||A−1|| ||A− f ′(x)|| < 1

2λλ =

1

2Luego obtenemos

||ϕy(x1)− ϕy(x2)|| <1

2||x1 − x2||

Por ser ϕy una contraccion estricta tiene un solo punto fijo. Eso implica que f es inyectiva yaque si f(x1) = f(x2) = y entonces ϕy tiene dos puntos fijos.Llamemos V a f(U). Entonces f : U → V es biyectiva. Queremos ver que V es abierto.Sea y0 ∈ V : Existe entonces x0 ∈ U / f(x0) = y0.Sea B = B(x0, r) / B = B[x0, r] ⊆ U y probemos que

B(y0, λr) ⊆ VTomemos y ∈ B(y0, λr) y consideremos ϕy

||ϕy(x0)− x0|| = ||A−1(y − f(x0))|| = ||A−1(y − y0)|| ≤ ||A−1|| ||y − y0|| ≤r

2

Entonces para todo x ∈ B se tiene

||ϕy(x)− x0|| ≤ ||ϕy(x)− ϕy(x0)||+ ||ϕy(x0)− x0|| ≤r

2+r

2= r

Luegoϕy(x) ∈ B[x0, r] = B ⇒ ϕy(B) ⊆ B

Y como ϕy es una contraccion estricta entonces tiene un punto fijo en B luego existe x ∈ B talque f(x) = y lo que demuestra que V es abierto porque B(y0, λr) ⊆ V y esto pasa para caday0 ∈ V . �

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