Calculo Avanzado Caminos

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  • Apuntes de Clculo avanzado

    Ingeniera de Caminos, Canales y Puertos

    Jernimo Alaminos PratsDepartamento de Anlisis Matemtico

    Universidad de Granada

  • Clculo

    Avanzado

    Departamento

    de

    Anlisis Matemtico

  • 1

    ndice

    1 Nmeros complejos 3

    1.1 El cuerpo de los nmeros complejos 4 1.2 Representacin grfica. Conjugado y mdulo de

    un nmero complejo 6 1.3 Forma polar y argumentos de un nmero complejo 7 1.4 Conjun-

    tos en el plano complejo. Un poco de topologa 11 1.5 Sucesiones de nmeros complejos 12

    1.6 Series de nmeros complejos 13 1.7 Ejercicios 15

    2 Funciones complejas 21

    2.1 Continuidad y lmite funcional 21 2.2 Derivada de una funcin de variable compleja 22

    2.3 Ecuaciones de Cauchy-Riemann 23 2.4 Primeras propiedades de las funciones holomor-

    fas 24 2.5 Ejercicios 26

    3 Funciones complejas elementales 29

    3.1 La funcin exponencial 29 3.2 Logaritmos complejos 30 3.3 Potencias complejas 31

    3.4 Funciones trigonomtricas complejas 32 3.5 Funciones trigonomtricas inversas 32 3.6 Ejer-

    cicios 34

    4 Series de potencias. Funciones analticas 39

    4.1 Sucesiones y series de funciones 39 4.2 Series de potencias complejas 40 4.3 Ejerci-

    cios 42

    5 Integracin de funciones complejas 45

    5.1 Integracin de funciones de variable real con valores complejos 45 5.2 Curvas en el plano 45

    5.3 Integral curvilnea 47 5.4 Ejercicios 49

    6 Frmula de Cauchy. Teorema de los residuos 51

    6.1 ndice de un punto respecto de un camino cerrado 52 6.2 Forma general del Teorema de

    Cauchy y de la frmula integral de Cauchy 54 6.3 Singularidades aisladas. Teorema de los resi-

    duos 55 6.4 Aplicaciones del teorema de los residuos al clculo de integrales 58 6.5 Aplicacin

    del teorema de los residuos a la suma de series 64 6.6 Ejercicios 66

    7 Series de Fourier 69

    7.1 Introduccin 69 7.2 Fenmenos peridicos 69 7.3 Un poco de historia 71 7.4 Series de

    Fourier 75 7.5 Propiedades de las series de Fourier 83 7.6 Sobre los coeficientes de Fourier 84

    7.7 Convergencia de las series de Fourier 85 7.8 Otras propiedades 88 7.9 Sumabilidad.

    Ncleos de Fejr. 90 7.10 Aplicaciones de las series de Fourier 91 7.11 Ejercicios 94

    8 Transformada de Fourier 99

    8.1 Origen histrico de la transformada de Fourier 99 8.2 Definicin de la transformada de

    Fourier 100 8.3 Propiedades de la transformada de Fourier 102 8.4 Convolucin de funcio-

    nes 103 8.5 Ejercicios 104

    9 Transformada de Laplace 107

    9.1 Definicin 107 9.2 Propiedades de la transformada de Laplace 108 9.3 Ejemplos y apli-

    caciones 110 9.4 Ejercicios 111

  • 2

    10 Transformada discreta de Fourier 113

    10.1 Muestreo de seales continuas 113 10.2 Reconstruccin de una seal 115 10.3 El

    Teorema de Shannon 116 10.4 La transformada de Fourier discreta 118

    A Tablas de transformadas de Fourier y Laplace 121

    A.1 Transformadas de Laplace 121

    ndice alfabtico 123

  • Nmeros complejos

    3

    Nmeros complejos

    1

    1 Introduccin

    Los nmeros que hoy llamamos complejos fueron durante muchos aos motivo de polmicas y

    controversias entre la comunidad cientfica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad,

    acabaron por ser comnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta pocas re-

    cientes. Nada hay de extrao en ello si pensamos que los nmeros negativos no fueron plenamente

    aceptados hasta finales del siglo XVII.

    Los nmeros complejos hacen sus primeras tmidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501

    1576) y Bombelli (15261672) relacionados con el clculo de las races de la cbica o ecuacin de

    tercer grado. Fue Ren Descartes (15961650) quien afirm que ciertas ecuaciones algebraicas

    slo tienen solucin en nuestra imaginacin y acu el calificativo imaginarias para referirse a

    ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los nmeros complejos o imaginarios son

    usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solucin es un problema resulta

    ser un nmero complejo se interpreta esto como que el problema no tiene solucin. Para Leibnitz

    el nmero imaginario es un recurso sutil y maravilloso del espritu divino, casi un anfibio entre el

    ser y el no ser.

    Las razones de todo esto son claras. As como los nmeros reales responden al problema bien

    cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los nmeros complejos. Mientras

    los matemticos necesitaron interpretar en trminos fsicos sus objetos de estudio, no se avanz

    mucho en la comprensin de los nmeros complejos.

    El xito de Euler y Gauss al trabajar con nmeros complejos se debi a que ellos no se preocuparon

    de la naturaleza de los mismos; no se preguntaron qu es un nmero complejo?, sino que se

    dijeron a ver, para qu sirven, qu puede hacerse con ellos. Es Gauss quien definitivamente concede

    a los nmeros complejos un lugar privilegiado dentro de las matemticas al probar en 1799 el

    conocido como Teorema Fundamental del lgebra que afirma que toda ecuacin polinmica de

    grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raz se cuenta tantas veces como su orden, nraces que tambin son nmeros complejos. Algunas de sus implicaciones las podemos comentar

    directamente. Fjate en cada una de las ecuaciones:

    x + 3 = 0, 2x + 3 = 0, x2 2 = 0, x2 + 2x + 2 = 0,

    cuyas soluciones x = 3, x = 3/2, x = 2 y x = 1 i tienen sentido cuando x es es, respectiva-mente, un nmero entero, racional, real o complejo. Podra ocurrir que este proceso de ampliacin

    del campo numrico continuara. Qu ocurrir si ahora consideramos ecuaciones polinmicas con

    coeficientes complejos? Por ejemplo:

    x5 + (1 i)x4 + (1/5 i2)x2 8x + 3 i/3 = 0.

    Cmo sern sus soluciones? Aparecern tambin nuevos tipos de nmeros? El Teorema funda-

    mental del lgebra nos dice que esa ecuacin tiene soluciones que tambin son nmeros complejos

    y, por tanto, que no aparecern ya por este procedimiento nuevos tipos de nmeros.

    El trmino, hoy usado de nmeros complejos se debe a Gauss, quien tambin hizo popular la letra

    i que Euler (17071783) haba usado espordicamente. En 1806 Argand interpreta los nmeros

  • El cuerpo de los nmeros complejos Nmeros complejos

    4

    complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como el nacimiento de

    la teora de funciones de variable compleja, pues se publica en dicho ao la Memoria sobre la

    Integracin Compleja que Cauchy haba escrito ya en 1814.

    Recordemos, finalmente, la afirmacin de Hadamard El camino ms corto entre dos verdades del

    campo real pasa con frecuencia por el campo complejo.

    1.1 El cuerpo de los nmeros complejos

    Definicin 1.1. Consideremos en el conjunto R2 las operaciones de adicin y producto definidas

    por

    (a, b)+ (c, d) = (a+ c, b + d)

    (a, b)(c, d) = (ac bd,ad+ bc)

    Es muy fcil comprobar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de las operaciones

    as definidas. El elemento neutro de la suma es (0,0) y (1,0) es la unidad del producto. Adems,(a,b) es el opuesto de (a, b), y todo (a, b) (0,0) tiene inverso

    (a, b)(

    aa2+b2 ,

    ba2+b2

    )= (1,0).

    Todas estas propiedades se resumen diciendo que (R2,+, ) (lase el conjunto R2 con las opera-ciones de adicin y producto) es un cuerpo. Dicho cuerpo se representa simblicamente por C y

    sus elementos se llaman nmeros complejos.

    Observacin 1.2. A los elementos de R2 se les llama unas veces pares ordenados de nmeros

    reales, otras vectores o puntos y tambin nmeros complejos. La razn de esto es que en R2

    conviven varias estructuras cada una con su terminologa propia. Por eso a los elementos de R2

    se les llama vectores si se est considerando la estructura de espacio vectorial, puntos si fijamos

    la atencin en la estructura topolgica o afn, pares ordenados cuando estamos pensando en R2

    como conjunto sin ninguna estructura particular y nmeros complejos cuando se considera la

    estructura de cuerpo antes definida. Ocurre que estos trminos se usan a veces en un mismo

    prrafo lo que puede resultar confuso. La regla que debes tener siempre presente es que todo

    concepto matemtico tiene sentido propio dentro de una determinada estructura matemtica. Por

    ello, a un elemento de R2 se le llama nmero complejo cuando se va a usar el producto antes

    definido que es lo que en realidad distingue a los nmeros complejos de los vectores de R2.

    1.1.1 Forma cartesiana de un nmero complejo

    El smbolo usual (a, b) para representar pares ordenados no es conveniente para representar elnmero complejo (a, b). Para convencerte calcula (1,1)4. Representaremos los nmeros comple-jos con un simbolismo ms apropiado en el que va a intervenir el producto complejo. Para ello,

    observa que:

    (a,0)+ (b,0) = (a+ b,0)(a,0)(b,0) = (ab,0).

    Esto indica que los nmeros complejos de la forma (a,0) se comportan respecto a la suma y la mul-tiplicacin de nmeros complejos exactamente de la misma forma que lo hacen los nmeros reales

    respecto a la suma y multiplicacin propias. En trminos, ms tcnicos, R {0} es un subcuerpo

  • Nmeros complejos El cuerpo de los nmeros complejos

    5

    de C isomorfo a R. Por esta razn, en las operaciones con nmeros complejos podemos sustituir

    los complejos del tipo (a,0) por el nmero real a. Es decir, hacemos la identificacin (a,0) = a.Fjate que con dicha identificacin el productoa(c,d) tiene dos posibles interpretaciones: productodel escalar real a por el vector (c, d) (estructura vectorial de R2) y producto del complejo (a,0)por el complejo (c, d). Pero amb