CALCULO AVANZADO - MAT321

Cuaderno de Aprendizaje – 2012

Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

CUADERNO DE

APRENDIZAJE

CÁLCULO

AVANZADO



Estimado Estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de síntesis te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser. Mucho Éxito.- Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación

VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP



Unidad 1

APRENDIZAJE ESPERADO:

: Integración Indefinida

1. Calculan integrales de funciones indefinidas y resuelven problemas relacionados con la especialidad, mediante propiedades utilizando integración indefinida de una constante.

Criterio 1.1. Reconoce la integral como la primitiva de una derivada

Una integral es la operación inversa a la derivada y la llamamos antiderivada. Es decir, si aplicamos la derivada a una integral, obtendremos la función original que fue integrada.

Símbolo de integral=∫

( ) ( )f x g x dx= ∫

( ) ( ) ( )d df x g x d x g xdx dx

= =∫

Recordar que

1nnd x nx

dx

−

=

0d cdx

=

1. Ejemplo

3 2 22 2 2 33(3 ) 3 3

3 2 2x x xx x dx x dx xdx x dx xdx c x c+ = + = + = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Se separa la integral aplicando propiedad de la suma de integrales, luego, se resuelve cada integral aplicando fórmulas básicas de integrales (Integrales de una potencia y de una constante). Luego, se simplifica el resultado.

Derivemos el resultado

3 2 223 3 3 2( ) 3

3 2 3 2⋅

+ + = + = +d x x x xc x xdx

Aplicando métodos de derivación, se deriva el resultado de la integral. Si al derivar y simplificar nos da como resultado la función que se integró, queda demostrado que la integral es la antiderivada.



2. Ejemplo

5 4 234 3 4 3 4

5 4 2

2( 2 ) 2 25 4 2

5 2 2

x x xx x x dx x dx x dx xdx x dx x dx xdx c

x x x c

+ + = + + = + + = + + +

= + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Se separa la integral aplicando propiedad de la suma de integrales, luego, se resuelve cada integral aplicando fórmulas básicas de integrales (Integral de una potencia y de una constante). Luego, se simplifica el resultado.


5 4 2 4 34 35 4 2( ) 2

5 2 2 5 2 2d x x x x x xc x x xdx

+ + + = + + = + +

Aplicando métodos de derivación, se deriva el resultado de la integral. Si al derivar y simplificar nos da como resultado la función que se integró, queda demostrado que la integral es la antiderivada.

3. Ejemplo

2

( 1) 12xx dx xdx dx x c+ = + = + +∫ ∫ ∫

Se separa la integral, aplicando propiedad de la suma de integrales, luego, se resuelve cada integral aplicando fórmulas básicas de integrales (Integral de una potencia y de una constante). Luego, se simplifica el resultado.


2 2( ) 1 12 2

d x xx c xdx

+ + = + = +

Aplicando métodos de derivación, se deriva el resultado de la integral, si al derivar y simplificar nos da como resultado la función que se integró, queda demostrado que la integral es la antiderivada.



Criterio 1.2. Calcula integrales utilizando reglas básicas de integración: Integral indefinida de una constante:

ckxdxk +=⋅∫

Debemos recordar que, como en las derivadas, las integrales también poseen reglas, propiedades y fórmulas para su procedimiento. Una integral a realizar, siempre debe ir acompañada de una S alargada al inicio y un dx al final si estamos derivando con respecto a la variable x. Siempre al resultado final, se le suma una constante de integración, que normalmente se denota con la letra c.

La integral de constante “k” siempre será kx + c.

1. Ejemplo

3 3dx x c= +∫

Siempre que tengamos que derivar una constante, en función de x, el resultado será el valor de la constante multiplicado por x

2. Ejemplo

1 12 2

dx x c= +∫


3. Ejemplo

8 8dx x c= +∫




Criterio 1.3. Resuelve problemas atingentes a la especialidad, utilizando integración de una constante.

1. Ejemplo

Determine la función que representa el momento en una viga, simplemente apoyada en el primer tramo de ella, considere una carga puntual P en el centro de la luz.

( )2PV x =

( )2 2P PM x dx x c= = +∫

Cuando tenemos una viga, siempre la función que determina los momentos flectores (M(x)), está dada por la integral de la función, que nos permite determinar los esfuerzos cortantes (V(x)).

Resolvemos la integral, aplicando fórmulas básicas de integrales (Integral de una constante).

2. Ejemplo

Determine la función que representa el momento

en una viga, simplemente apoyada en el primer tramo de la viga, considere una carga puntual P a un cuarto de la luz, al lado izquierdo de la viga como indica la figura.

3( )4PV x =

3 3( )4 4P PM x dx x c= = +∫

Cuando tenemos una viga, siempre la función que determina los momentos flectores (M(x)), está dada por la integral de la función, que nos permite determinar los esfuerzos cortantes (V(x)). Resolvemos la integral, aplicando fórmulas básicas de integrales (Integral de una constante).



3. Ejemplo

Determine la función que representa el momento

en una viga, simplemente apoyada en el primer tramo de la viga, considere una carga puntual P a un cuarto de la luz, al lado derecho de la viga como indica la figura.

( )4PV x =

( )4 4P PM x dx x c= = +∫

Cuando tenemos una viga, siempre la función que determina los momentos flectores (M(x)), está dada por la integral de la función, que nos permite determinar los esfuerzos cortantes (V(x)). Resolvemos la integral, aplicando fórmulas básicas de integrales (Integral de una constante).



APRENDIZAJE ESPERADO: 2. Calculan integrales de funciones indefinidas mediante propiedades, utilizando

integración indefinida: regla de la potencia. Criterio 1.5. Calcula integrales utilizando reglas básicas de integración: Regla de la

potencia 1

( 1)1

nn xx dx C n

n

+

= + ≠−+∫

La integral de X elevado a un número “n”, será 1+nx , lo que queda en el exponente de la X, será lo queda en el divisor del número, es una regla establecida.

1. Ejemplo

6 1 76

6 1 7x xx dx c c

+

= + = ++∫

Debemos identificar n, en este caso será 6, y aplicamos la fórmula para resolver según regla de la potencia.

2. Ejemplo

3 1 43

3 1 4x xx dx c c

+

= + = ++∫


3. Ejemplo

5 1 65

5 1 6x xx dx c c

+

= + = ++∫




APRENDIZAJE ESPERADO: 3. Calculan integrales de funciones indefinidas, mediante propiedades utilizando

integración indefinida de una constante por una función.

Criterio 1.7. Calcula integrales utilizando reglas básicas de integración: integral de una constante por una función:

∫∫ =⋅ dxxfcxfc )()( , donde c es constante.

1. Ejemplo

2 2 2(3 9) 3( 3) 3 ( 3)x dx x dx x dx+ = + = +∫ ∫ ∫

Factorizamos la función, luego, separamos la constante, aplicando regla de integral de una constante por una función

2 1

3 32 1x x c

+ = + + +

Resolvemos la integral, aplicando reglas básicas (integral de una potencia y de una constante)

3 3333 3 9 9

3 3

= + + = + + = + +

x xx c x c x x c

Se desarrolla la multiplicación y posteriormente se simplifica.

2. Ejemplo

( )3 2 3 2 3 24 2 2(2 ) 2 (2 )x x dx x x dx x x dx+ = + = +∫ ∫ ∫

Factorizamos la función, luego, separamos la constante, aplicando regla de integral de una constante por una función.

3 1 2 1223 1 2 1x x c

+ + = + + + +

Resolvemos la integral, aplicando reglas básicas (integral de una potencia y de una constante)

4 3 4 3 3

42 2 2 224 3 2 3 3

= + + = + + = + +

x x x x xc c x c

Se desarrolla la multiplicación y posteriormente se simplifica.



3. Ejemplo

2 1 32 2

2 1 3

+ = = + = + +

∫ ∫x axax dx a x dx a c c

Debemos separar la constante, aplicando la regla de integral de una constante por una función. Se desarrolla la multiplicación y la adición.



APRENDIZAJE ESPERADO: 4. Calculan integrales de funciones indefinidas, mediante propiedades utilizando regla de

la suma. Criterio 1.9. Calcula integrales utilizando reglas básicas de integración: regla de la suma:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

f x g x f x g x

+ = +

− = −

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

1. Ejemplo

1 1

1 2( 8) 8 81 1

+

+ = + = + + ++∫ ∫ ∫

xx dx xdx dx c x c

Separamos la integral utilizando la regla de la suma, luego, se resuelve aplicando las reglas básicas de integración (potencia y constante)

Si consideramos que

1 2c c c= +

El resultado final será:

2

82x x c+ +

(Se agrupan las constantes en una sola constantes que llamamos c)

2. Ejemplo

2 1 1 12 2 2

1 2 33(3 1) 3 1 3 1 12 1 1 1x xx x dx x dx xdx dx x dx xdx dx c c x c

+ +

− + = − + = − + = + − + + ++ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Separamos la integral, utilizando la regla de la suma, luego, se resuelve aplicando las reglas básicas de integración (potencia y constante)

Si consideramos que

1 2 3c c c c= + +


3 2 233

3 2 2− + + = − + +

x x xx c x x c

(Se agrupan las constantes en una sola constantes que llamamos c). Además, debemos simplificar.



3. Ejemplo

3 1 2 13 2 3 2 3 2

1 21 1 1 12 2 2 2 3 1 2 1

+ + − = − = − = ⋅ + − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫x xx x dx x dx x dx x dx x dx c c

Separamos la integral, utilizando la regla de la suma, luego, se resuelve aplicando las reglas básicas de integración (potencia y constante)

Si consideramos que

1 2c c c+ =


4 3 4 3

2 4 3 8 3− + = − +

⋅x x x xc c

(Se agrupan las constantes en una sola constantes que llamamos c). Desarrollamos la multiplicación del denominador, de la primera expresión.



APRENDIZAJE ESPERADO: 5. Calculan integrales de funciones indefinidas, mediante propiedades, utilizando

integración de una función exponencial

Criterio 1.11. Calcula integrales utilizando reglas básicas de integración: regla de una función exponencial

x xe dx e c= +∫

Recordemos que

x xd e edx

=

( ) ( ) '( )= ⋅g x g xd e e g xdx

Entonces

x xe dx e c= +∫

( ) ( )'( )⋅ = +∫ g x g xe g x e c

1. Ejemplo

2 2+ =∫ xe dx

( ) 2 2'( ) 2

= +=

g x xg x

Debemos formar la integral, para poder aplicar la regla de integrales exponenciales, por lo que, procedemos a derivar el exponente y eso nos da 2. Como se debe multiplicar por 2 adentro de la integral, para poder resolverla y no variar la integral, se multiplica por un 1

imaginario, es decir por 22

2 2 22

+= ⋅∫ xe dx

2 2 2 21 122 2

+ += ⋅ = +∫ x xe dx e c

Se resuelve, aplicando la regla de la función exponencial.



2. Ejemplo

3 1+ =∫ xe dx

Si,

( ) 3 1'( ) 3

g x xg x

= +=



3 1 3 1 3 13 1 133 3 3

+ + +⋅ = ⋅ = +∫ ∫x x xe dx e dx e c

Se resuelve, aplicando la regla de la función exponencial 3. Ejemplo

Si, ( ) 6 4'( ) 6

g x xg x

= −=



6 4 6 4 6 46 1 16

6 6 6− − −⋅ = ⋅ = +∫ ∫x x xe dx e dx e c

Se resuelve, aplicando la regla de la función exponencial.

6 4xe dx−∫




integración de la función 1)( −= xxf

Criterio 1.13. Calcula integrales indefinidas de la función 1)( −= xxf

[ ] )0(ln11 ≠+== ∫∫ − xCxdxx

dxx

1. Ejemplo 1 1( 1)

1x dx dx

x−+ =

+∫ ∫

Sea

11

v xdv dx= +=

Reemplazamos “x+1” y “dx”

1 ( )= +∫ dv ln v cv

Ahora reemplazamos “v”

( 1)= + +ln x c

Luego, 1( 1)−+∫ x dx ( 1)= + +ln x c

2. Ejemplo

1( 3)−−∫ x dx 13

=−∫ dx

x Sea

31

v xdv dx= −=

Reemplazamos “x – 3” y “dx”

1 ( )= +∫ dv ln v cv

Reemplazamos “v” ( 3)= − +ln x c

Luego,

1( 3)−−∫ x dx ( 3)= − +ln x c



3. Ejemplo

1( 1)x dx−−∫

11

=−∫ dx

x Sea

11

v xdv dx= −=

Reemplazamos”x – 1” y “dx”

1 ( )= +∫ dv ln v cv

Reemplazamos “v”

( 1)= − +ln x c Luego,

1( 1)x dx−−∫ ( 1)= − +ln x c




integración por sustitución.

Criterio 1.15. Calcula integrales por sustitución de variable auxiliar.

Para cambiar de variable, identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

1. Ejemplo 2

3 1 2x dx

x+∫ 3

3

1 21 2

u xu x= +

= +

Identificamos la función que debemos simplificar, utilizando una nueva variable. Despejamos “x”

3 12

ux −=

Derivamos 232

=u dudx

Se deja todo en función de “u”

23

2

12 3

2

− ⋅∫

uu du

u 6 3 8 5 2

7 4 8 5 23 2 1 3 3 2 3 6 3( ) ( 2 ) ( )2 4 8 8 8 5 2 64 40 16

− += = − + = − + + = − + +∫ ∫

u u u u uudu u u u du c u u u c

Dejamos toda la expresión en la variable original

8 5 23 3 33 3 3( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )64 20 16

x x x c= + − + + + +

Así,

2

3 1 2x dx

x+∫ 8 5 23 3 33 3 3( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )64 20 16

x x x c= + − + + + +



2. Ejemplo

3

1 x dxx

−∫

Sea

6

6

56

x ux udx u du

=

=

= Identificamos la función que debemos simplificar, utilizando una nueva variable.

Cambiamos la variable 3

5 3 3 3 6 4 72

1 3 66 6 (1 ) 6 ( )2 7

−⋅ = − = − = − +∫ ∫ ∫

u u du u u du u u du u u cu

Dejamos toda la expresión en la variable original 4 76 6

3 2 6

3 6( ) ( )2 73 62 7

= − +

= − +

x x c

xx x c

Así,

3

1 x dxx

−∫ 3 2 63 6

2 7= − +

xx x c

3. Ejemplo 4(2 6)x dx+∫

Sea 2 6

2

2

u xdu dx

dudx

= +=

=

Identificamos la función que debemos simplificar, utilizando una nueva variable.

Hacemos el cambio de la variable, 4 4 1 5 5

41 1 1( )2 2 2 4 1 2 5 10

+

= = + = ⋅ + = ++∫ ∫

u u u udu u du c c c

Dejamos toda la expresión en la variable original 5(2 6)

10x c+

= +

Así,

4(2 6)x dx+∫

5(2 6)10

x c+= +




integración por partes.

Criterio 1.17. Calcula integrales por partes

El método de integración por partes, permite calcular la integral de un producto de dos funciones, aplicando la siguiente fórmula:

= ⋅ −∫ ∫udv u v vdu

A las funciones polinomiales o logarítmicas, les asignamos la letra u, mientras que a

las funciones trigonométricas o exponenciales, se les asigna dv.

1. Ejemplo 2 xx e dx∫

Sea 2

2==

=

=

x

x

u xdu xdxdv e dxv e

2 2 2= = −∫ ∫ ∫x x xx e dx udv x e xe dx

Identificamos las nuevas variables y las remplazamos en la integral, luego, aplicamos el método de integración por partes, el cual, permite calcular la integral de un producto de dos funciones. Ahora,

==

=

=

x

x

u xdu dxdv e dxv e

2 2( )x x xx e xe e dx= − − ∫ 2 2 2= − + +x x xx e xe e c

Debemos volver a aplicar el mismo procedimiento. Identificamos las nuevas variables y las remplazamos en la integral, luego, aplicamos el método de integración por partes, que permite calcular la integral de un producto de dos funciones



2. Ejemplo cosx xdx∫

Sea

cos

====

u xdu dxdv xdxv senx

Luego, cos =∫ ∫x xdx udv

xsenx senxdx= − ∫

( cos )cos

= − − += + +

xsenx x cxsenx x c

Identificamos las nuevas variables y las remplazamos en la integral, luego, aplicamos el método de integración por partes, que permite calcular la integral de un producto de dos funciones.

3. Ejemplo

xsenxdx∫ Sea,

cos

==== −

u xdu dxdv senxdxv x

Luego,

=∫ ∫xsenxdx udv

( cos ) ( cos )= ⋅ − − −∫x x x dx

cos ( )cos

x x senx cx x sen c

= − − − += − + +

Identificamos las nuevas variables y las remplazamos en la integral, luego, aplicamos el método de integración por partes, que permite calcular la integral de un producto de dos funciones.



Unidad 2

APRENDIZAJE ESPERADO:

: Integración Definida

9. Calculan integrales definidas y problemas de aplicación, aplicando propiedades y métodos de integración usando la regla de Simpson, regla del Trapecio y el teorema

fundamental del cálculo.

Criterio 2.1. Calcula el valor numérico de integrales definidas simples, usando la regla de Simpson y la regla del Trapecio.

1. Ejemplo

Aplicar la regla de Simpson, con n = 10, para hallar aproximadamente 2

1

1 dxx∫

Solución1( ) , 10, 0,1f x n xx

= = ∆ =

:

2

101

1 dr sx =≈∫

[ (1) 4 (1,1) 2 (1, 2) 4 (1,3) 2 (1,4) 4 (1,5) 2 (1,6) 4 (1,7) 2 (1,8) 4 (1,9) (2)]3∆

+ + + + + + + + + +x f f f f f f f f f f f

0,1 1 4 2 4 4 1... 0,6931503 1 1,1 1,2 1,3 1,9 2

= ⋅ + + + + + ≈

Se debe desarrollar el ejercicio conforme la regla de Simpson



2. Ejemplo

Aplicando la regla del trapecio resuelva: 4

1

1 , 6dx nx

=∫

Solución4 1 3 1 0,5

6 6 2b ax

n− −

∆ = = = = =

:

4

1

1 4 1[ (1) 2 (1,5) 2 (2 ) 2 (2,5) 2 (3) 2 (3,5) (4 )]2(6)

dx f f f f f f fx

−≈ + + + + + +∫

1 1 2 1 1 2 1 1 2 1(1) 1, (1,5) , (2 ) , (2,5) , (3) , (3,5) , (4 )3 5 71 3 2 5 3 7 42 2 2

f f f f f f f= = = = = = = = = = =

4

1

1 3 2 1 2 1 2 1 1 4 4 2 4 11 2 2 2 2 2 1 14 1 2 3 2 5 3 7 4 4 3 5 3 7 4

⇒ ≈ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + + + + + + ∫ dx

4

1

1 1 420 560 420 336 280 240 105 1 2361 23614 420 4 420 1680

+ + + + + + ⇒ ≈ ⋅ = ⋅ = ∫ dxx

4

1

1 1.4053571≈∫ dxx



3. Ejemplo

Aplicando la regla del trapecio resuelva

1

20

1 , 41

dx nx

=+

∫

Solución1 0 1 0,25

4 4−

∆ = = =x

:

1

20

1 1 0[ (0) 2 (0,25) 2 (0,5) 2 (0,75) (1)]2(4)1

d xf f f f fx

−≈ + + + +

+∫

2 2 2

1 1 1(0) 1, (0,25) 0,9701, (0,5) 0,8944,1 0 1 0,2 5 1 0,5

f f f= = = ≈ = ≈+ + +

2 2

1 1(0,75) 0,8, (1) 0,7071,1 0,75 1 1

= ≈ = ≈+ +

f f

1

20

1 1[1 2 (0,9701) 2 (0,8944) 2 (0,8) 0,7071],81

⇒ ≈ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ++

∫ dxx

1

20

1 1 7,0361[1 1,9402 1,7888 1,6 0,7071]8 81

⇒ ≈ + + + + =+

∫ dxx

1

20

1 0,87951

⇒ ≈+

∫ dxx



Criterio 2.2. Calcula el valor numérico de integrales definidas mediante el teorema fundamental del cálculo,

)()()( aFbFdxxfb

a

−=⋅∫.

1. Ejemplo

( ) [ ]3 33 2

2 2 25 5

5

22 3 3 3 (3) 3(3) ( 5) 3( 5) 9 9 25 15 82 − −

−

+ = + = + = + − − + − = + − − = ∫xx dx x x x

Primero debemos resolver la integral, aplicando las reglas de integración básicas, luego,

se debe evaluar (remplazar el valor que está bajo el símbolo de la integral y se resuelve,

luego, remplazar el valor que esta sobre el símbolo de la integral, ambos deben restarse)

2. Ejemplo

44 5 5 54

00

(4) (0) 1024 0 10245 5 5 5 5 5

= = − = − =∫xx dx




3. Ejemplo

( )311 3 32

11

11 1 1 23 3 3 3 3 3−

−

− −− −− = = − = − − = −

∫xx dx






Criterio 2.3. Resuelve problemas atingentes a la especialidad, utilizando el teorema fundamental del cálculo.

1. Ejemplo

Determine el área de una parcela triangular, si sabe que la hipotenusa de la parcela está dada por la recta “y = 3x”, y uno de sus lados es 5 metros. Solución

:

55 2 2 2

00

3 3 5 3 0 3 253 37,52 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅= = − = =∫

xxdx




Respuesta

: El área de la parcela es 37,5 m2.

2. Ejemplo

Determine el área en cm2 de un muro, de 6 metros de largo y 2,4 metros de alto. Solución

66

00

2, 4 2, 4 2, 4 6 2, 4 0 14, 4= = ⋅ − ⋅ =∫ dx x

:




Respuesta

: El área del muro es 14,4 m2, es decir, 144.000 cm2.



3. Ejemplo

Determine el área de una parcela triangular, si sabe que la hipotenusa de la parcela está dada por la recta “y = 5x”, y uno de sus lados es 2 metros. Solución

22 2 2 2

00

5 5 2 5 0 5 45 102 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅= = − = =∫

xxdx

:




Respuesta

: El área de la parcela es de 10m2



APRENDIZAJE ESPERADO: 10. Calculan el área de integrales definidas de curvas representándolas gráficamente.

Criterio 2.5. Calcula áreas de regiones planas mediante integrales de funciones reales.

1. Ejemplo

Determine el área bajo la curva ( ) 5 2f x x= + , para [ ]3,7x∈

Solución

( )77 2 2 2

33

5 5 7 5 3 5 49 5 95 2 2 2 7 2 3 14 62 2 2 2 2xx dx x

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = + = + ⋅ − + ⋅ = + − + =

∫

:

245 45 20014 6 8 1082 2 2

= + − + = + =




2. Ejemplo

Determine el área bajo la curva 2( ) 4 3f x x x= − , para [ ]2,5x∈ −

Solución

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 255 3 2 3 22

22

4 2 3 24 3 4 5 3 54 33 2 3 2 3 2

4 8 32 504 125 3 25 3 4 500 75 12 775 8753 2 3 2 3 2 3 2 6 3 6

x xx x dx−

−

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − = − = − − − ⋅ − − −⋅ ⋅ ⋅ = − − − = − − − = − =

∫

:






3. Ejemplo

Determine el área bajo la curva 14)( 2 −= xxf , para [ ]7,0x∈ −

Solución

( ) ( ) ( )300 3 3

27

7

4 74 4 0 1372 13934 1 0 7 73 3 3 3 3xx dx x

−−

⋅ − ⋅ − = − = − − − − = − + = − ∫

:






Criterio 2.6. Calcula áreas de superficies limitadas por una o más curvas, siendo capaces de graficar la situación.

1. Ejemplo Determine el área bajo la curva 2)( =xf , para [ ]3,7x∈ − , grafique.

Solución

( )77

33

2 2 2 7 2 3 14 6 20dx x−

−

= = ⋅ − ⋅ − = + =∫

:




Debe graficar la función que está dentro de la integral



2. Ejemplo

Determine el área bajo la curva 2)( xxf = , para [ ]0,3x∈ , grafique.

Solución

33 3 3 32

00

3 0 27 93 3 3 3xx dx

= = − = =

∫

:







3. Ejemplo

Determine el área bajo la curva 2)( =xf , para [ ]0,10x∈ , grafique

Solución

1010

00

2 2 2 10 2 0 20 0 20dx x= = ⋅ − ⋅ = + =∫

:







APRENDIZAJE ESPERADO: 11. Resuelven problemas relacionados con el área de la construcción utilizando integrales

definidas.

Criterio 2.8. Resuelve problemas contextualizados utilizando el cálculo de áreas descrito por una función de una región plana. Criterio 2.9. Resuelve problemas contextualizados utilizando el cálculo de áreas entre curvas de una región plana. Criterio 2.10. Resuelve problemas de situaciones propias de la especialidad, aplicando integrales definidas.

1. Ejemplo

Determine el momento en el centro de la viga (momento máximo), viga simplemente apoyada con una carga repartida de 8 ton/m. Considere que la viga tiene una luz de 10 metros, como lo indica la figura.

Solución

( )55 2 2 2

00

8 8 5 8 040 8 40 40 5 40 0 200 4 25 0 1002 2 2xx dx x

⋅ ⋅− = − = ⋅ − − ⋅ − = − ⋅ − =

∫

:

Cuando tenemos una viga, la función que determina los momentos flectores (M(x)), está dada por la integral de la función, que nos permite determinar los esfuerzos cortantes (V(x)). Como en este caso, nos piden el momento máximo, sabemos que éste se genera en el centro de la luz, por lo que, debemos calcular la integral desde 0 hasta la mitad de la luz que es 10.

Resolvemos la integral, aplicando fórmulas básicas de integrales (Integral de una constante). Luego se evalúa, para tener el valor numérico.



2. Ejemplo

Determine el momento a un cuarto del inicio de la viga, en una viga simplemente apoyada, con una carga repartida de 8ton/m. Considere que la viga tiene una luz de 10 metros, como lo indica la figura.

Solución

( )2,52,5 2 2 2

00

8 8 2,5 8 040 8 40 40 2,5 40 0 100 4 6,25 0 752 2 2xx dx x

⋅ ⋅− = − = ⋅ − − ⋅ − = − ⋅ − =

∫

:

Cuando tenemos una viga, siempre la función que determina los momentos flectores (M(x)), está dada por la integral de la función, que nos permite determinar los esfuerzos cortantes (V(x)). Como en este caso, nos piden el momento a un cuarto del inicio de la viga, debemos calcular la integral desde 0 hasta un cuarto de la luz que es 10.




3. Ejemplo

Determine el momento en el centro de la viga, en una viga simplemente apoyada, con una carga repartida triangular de 8 ton/m. Considere que la viga tiene una luz de 9 metros, como lo indica la figura.

Solución

( ) ( )34,54,5 2 3 3

00

4 4,54 4 4 012 12 12 4,5 12 0 13,5 54 0 40,59 9 3 9 3 9 3x xdx x

⋅ ⋅ − = − = − ⋅ − − ⋅ = − − = − ⋅ ⋅ ⋅ ∫

:

Cuando tenemos una viga, siempre la función que determina los momentos flectores (M(x)), está dada por la integral de la función, que nos permite determinar los esfuerzos cortantes (V(x)). Como en este caso, nos piden el momento en el centro de la viga, debemos calcular la integral desde 0 hasta la mitad de la luz que es 9.


CALCULO AVANZADO - MAT321

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