Mtodo de clculo de los rotores de las bombas de cavidad progresiva considerando los mismos como una viga sobre fundacin elstica

Dr. Rafael Goytisolo Espinosa, M.Sc. Yovany Llody Garca, Ing. Mario Javier

Cabello Ulloa, Ing. Ral Alfonso Rodrguez, Ing. Diane Lpez Raywathe

Facultad de Ingeniera Mecnica Universidad de Cienfuegos Carlos Rafael Rodrguez.

Cuatro Caminos, CP 59430. Cienfuegos, Cuba. ragoyti@ucf.edu.cu

Dr. Luis Marcos Castellanos Gonzlez Universidad Tecnolgica de Bolivar, Cartagena de Indias, Colombia

lmcglez5510@yahoo.es

Resumen La fabricacin de las bombas de cavidad progresiva es patrimonio potencias tecnolgicas mundiales debido a la complejidad tecnolgica de fabricacin de dos piezas que constituyen el corazn de estos equipos como son su estator de goma y su rotor de acero. Cuba se ha visto obligada a desarrollar sus propias tecnologas para la fabricacin de estas bombas, patentadas en la actualidad, y se han comenzado a desarrollar novedosos mtodos de clculo, nuevos diseos y nuevas tecnologas para la fabricacin de sus diferentes componentes. En el presente trabajo se presenta un nuevo Esquema de Anlisis basado en el Esquema de Viga (el rotor) sobre Fundacin Elstica (el estator) para la evaluacin de la resistencia de los rotores. Los clculos y su propia validacin son realizados con ayuda del Software MatLab. En el trabajo se dan los resultados aplicados a un rotor particular fabricado en Cuba.

Palabras clave: Bombas de cavidad progresiva, rotores, estatores, viga sobre fundacin elstica.

Introduccin

Las bombas de cavidad progresiva mundialmente llamadas MONO en honor a su inventor el ingeniero francs Dr. Ren Moineau en el ao 1934, comienzan a producirse en grandes series a finales de la dcada del 30 por una firma francesa fundada por su creador; debido a su gran versatilidad, caractersticas y campo de aplicaciones que va desde su empleo en lquidos tan ligeros y limpios como el agua, hasta lquidos tan pesados como las mieles y lodos, conteniendo un gran nmero de partculas en suspensin, se han difundido en casi todas las ramas industriales a nivel mundial. En la actualidad firmas alemanas, inglesas, rusas, chinas, que constituyen potencias a nivel mundial en la manufactura de equipos mecnicos poseen el patrimonio de la fabricacin de estas bombas y rpidamente han invadido el mercado internacional con la produccin de varios modelos con diferentes caractersticas y clasificaciones, pero todas basadas en el principio de funcionamiento ideado por el Dr. Moineau. Al ser estas bombas slo fabricadas por potencias mundiales debido a su complejidad tecnolgica, principalmente en la fabricacin de dos piezas que constituyen el corazn de estos equipos como son el estator y el rotor, dichas firmas comienzan a elevar sus precios y, aprovechndose de desventajas comerciales impuestas a Cuba por el bloqueo norteamericano no permiten la adquisicin de repuestos para las mismas, obligando al pas a comprar bombas nuevas a elevados precios como el caso ocurrido en el ao

1989 en la Empresa Glucosa Cienfuegos cuando se deteriora el estator de la bomba de la planta de glucosa paralizando totalmente la fbrica, y por no poder comprar un estator de repuesto cuyo precio oscilaba en los $600.00 USD, la fbrica se vio obligada, para continuar con su produccin, a comprar una bomba nueva completa del mismo tipo a un precio de $6 000.00 USD pagando 10 veces ms que lo requerido por la solucin real a su problema. Ante esta situacin Cuba se ha visto obligada a desarrollar sus propias tecnologas, patentadas en la actualidad (Llody, 1996, Llody, 2004; Llody, 2007), y se han comenzado a desarrollar novedosos mtodos de clculo, nuevos diseos y tecnologas para la fabricacin de los diferentes componentes de las Bombas de Cavidad Progresiva. As es que en la Empresa Glucosa de la ciudad de Cienfuegos a partir de la paralizacin sufrida en el ao 1989, un colectivo de trabajadores encabezados por los Ing. Antonio Llody Prez e Ing. Yovany Llody Garca, se dan a la tarea de investigar y desarrollar mtodos de manufactura convencionales y no convencionales que permitieron crear novedosas tecnologas de manufacturas, combinando de forma inteligente las mquinas herramientas convencionales con que cuenta el pas, con novedosos mtodos y dispositivos especiales de maquinado, lo que permiti vulnerar el patrimonio exclusivo que tienen varias firmas a nivel mundial en la produccin de este tipo de bombas (Llody, 2004, 2007). A partir de la dcada del 90 comienza a funcionar en la Empresa Glucosa un Taller para la Recuperacin de Bombas de Cavidad Progresiva. En dicho taller inicialmente la recuperacin de estas bombas consisti en la fabricacin de los estatores de goma, que constituyen el elemento que mayor deterioro sufre y producto de cuyo desgaste las bombas quedan inutilizadas. Para la fabricacin de los mismos fue necesario construir un conjunto de mquinas y dispositivos entre los que encontramos una mquina combinada de extrusin-inyeccin de caucho, autoclave para vulcanizacin, prensa, complejos moldes de acero y varios dispositivos auxiliares, los cuales permitieron desarrollar un total de 12 modelos de estatores utilizados principalmente en industrias tan sensibles como la alimenticia y azucarera. (Llody, 1996). Una etapa posterior del desarrollo de las investigaciones ha sido la de enfrentar la recuperacin o fabricacin de los rotores de dichas bombas. Se han planteado dos posibles tecnologas: mediante arranque de virutas en el caso de los rotores macizos la cual ha sido desarrollada totalmente (Llody, 2004) y mediante la deformacin plstica (Aluminoforging) de un tubo de acero inoxidable en el caso de los rotores huecos, la cual se encuentra en fase de desarrollo (Alemn, 2008). La presente investigacin es parte del desarrollo de esta nueva tecnologa de fabricacin de los rotores. La elaboracin primeramente de la tecnologa de manufactura de los estatores y, posteriormente el desarrollo de un mtodo para la fabricacin de los rotores permiti que a partir del ao 2002 salieran a la luz los dos primeros modelos completos de bombas clasificados como ALL- 43 y ALL-35 las cuales han sido introducidas con gran aceptacin en varias industrias como es el caso de los Combinados Lcteos, Industrias de Conservas, Industrias de Jabonera entre otras. (Llody, 2007). La Situacin Problmica existente es que debido a la exclusividad en la fabricacin y desarrollo de las Bombas de Cavidad Progresiva por empresas de los pases desarrollados, no se publican los mtodos de clculo de sus diferentes componentes, vindose Cuba en la necesidad de desarrollar sus propios Esquemas de Anlisis y sus propios Mtodos de Clculo. La Hiptesis formulada es que resulta posible desarrollar un Nuevo Esquema de Anlisis para el clculo de las fuerzas internas en los rotores de las Bombas de Cavidad Progresiva, utilizando el Esquema de

Viga sobre Fundacin Elstica en la zona de contacto rotor - estator, para poder calcular la ley de distribucin de la reaccin del estator sobre el rotor, la flecha, la pendiente, las fuerzas de cortante y momentos flectores a que est sometido el rotor en dicha zona bajo la accin de la fuerza que se origina en el acoplamiento cardnico. Con la elaboracin de este trabajo se pretende desarrollar un Nuevo Esquema de Anlisis para el clculo de las fuerzas internas y la evaluacin de la resistencia de los rotores de las Bombas de Cavidad Progresiva que permitir calcular con una exactitud adecuada el espesor de la pared mnimo requerido en los rotores huecos de dichas bombas, para su fabricacin mediante la Tecnologa Aluminoforging (Alemn, 2008). El Objetivo es:

Desarrollar, aplicando el esquema de viga sobre fundacin elstica, un nuevo Esquema de Anlisis para la evaluacin de las fuerzas internas, desplazamientos y tensiones provocados por la fuerza que se origina en el acoplamiento.

La Novedad Cientfica del Trabajo es precisamente el Nuevo Esquema de Anlisis que permite la solucin del sistema hiperesttico complejo que representa el contacto elstico entre rotor y estator utilizando el esquema de viga sobre una fundacin elstica y la obtencin por primera vez en la prctica de la distribucin de la flecha, la pendiente, la reaccin no uniformemente distribuida del rotor sobre el estator y los diagramas de fuerzas de cortante y momentos flectores del rotor provocados por la carga sobre el acoplamiento. Desde el punto vista prctico el desarrollo de este nuevo Esquema de Anlisis permite poder evaluar adecuadamente la resistencia de los rotores en general, pero en el caso de los rotores huecos permite precisar el dimetro mximo interior de los mismos para su fabricacin mediante la tecnologa investigada de Aluminoforging

Desarrollo

Los datos del rotor y estator de la bomba investigada son los siguientes: Potencia de la bomba, N = 3 kW, n = 400 rpm, Longitud del rotor, l = 35 cm, Dimetro mayor del rotor, D = 4,2 cm, Dimetro menor del rotor, d = 3,2 cm, Mdulo de elasticidad del acero, Ea = 19 620 kN/cm2, Mdulo de elasticidad de la goma, Eg = 9,81 kN/cm2. El motor de la bomba transfiere su potencia y velocidad a travs el sistema cardnico hasta el rotor, esto produce una fuerza cortante perifrica en la posicin del cardn. En el caso ms crtico, cuando toda la potencia del motor se est transfiriendo a la bomba la fuerza radial o transversal sobre el rotor ser igual a la perifrica (Dobrovolski, 1975). Esta fuerza se puede calcular como sigue: Pmax.rad = 2Mtor.max / Dc y Mtor.max.= 97360 N / n

Sustituyendo los datos se obtiene que: Pmax.rad. = 243,4 kgf = 2,388 kN. Esta fuerza Pmax.rad acta sobre el rotor en el lugar donde est ubicado el cardn, pero el estator no empieza en este lugar. Como el estator es compuesto por caucho, l acta como una base elstica (fundacin elstica). El estator est colocado a 6,5 cm del cardn, entonces en el punto donde empieza el estator esta fuerza radial provoca una fuerza cortante, Qo, y un par de momento, Mo. Este punto se tomar como origen del sistema. La fuerza Qo y el momento Mo se calcula de siguiente manera: Qo = Pmax.rad = - 2,388 kN y Mo = Pmax.rad x 6,5 = -2,388 kN x 6,5 cm = -15,522 kN-cm. En la Fig. 1 se representa los elementos mencionados y la consideracin del estator como una fundacin elstica.

Fig. 1 Esquema del Rotor ubicado en el Estator y posicin relativa del cardn Para desarrollar el nuevo esquema de anlisis se tiene que encontrar el valor para el coeficiente de rigidez de la fundacin, , de la goma, que en la literatura no aparece ningn valor para este parmetro. Lo que aparece en la literatura (Pisarenko, 1989) es una ecuacin basada en la Teora de Hertz que establece la relacin entre el ancho de contacto b entre dos cilindros, uno exterior (el estator) y uno interior (el rotor), la carga distribuida en el contacto y el mdulo de elasticidad reducido del mismo: ER. Esta ecuacin es la siguiente:

Para el esquema de viga sobre fundacin elstica se tiene que: qr = - Y Donde Y es la aproximacin entre los cuerpos en contacto y b el ancho de la banda de contacto

(Fig. 2). Como qr = P/L, esta ecuacin se puede escribir como sigue:

Fig. 2 Ancho de la banda de contacto y desplazamiento relativo entre dos cilindros en contacto uno interior y otro exterior.

Se deduce que para el caso analizado: = ER / 1,82 (1 - ln b). Si se asume como primera aproximacin: b = 0,5 cm, teniendo que: ER= 2 Ea Eg /(Ea + Eg). Como: Ea = 19 620 kN/cm2 y Eg = 9,81 kN/cm

2, se tiene que: ER = 19,610 kN/cm2. De donde se

obtiene que el coeficiente de rigidez del estator considerado como una fundacin elstica ser: = 19,610/1,82 (1-ln b) = 6,364 kN/cm2 = 63,64 MPa. Este valor es muy lgico para el caso del contacto goma acero que es muy elstico, ya que por ejemplo para el caso de caa hmeda triturada y compactada hierro fundido en el trabajo (Arzola, 2002, 2005) se obtuvo experimentalmente un valor = 8 000 MPa, valor ste elevado a causa de la presencia del agua, pero en este caso la goma es por mucho ms elstica. En el caso de contacto acero hormign se utiliz = 230 MPa (Valle, 2000). El valor de para el caso del rotor de la bomba Mono en contacto con el estator de goma ser:

Se aplic el Mtodo de los Parmetros de Origen en la elaboracin del Esquema de Anlisis. Los dos extremos del rotor son libres. En el extremo izquierdo actan una fuerza de cortante y un momento flector (Ver Fig. 1), entonces los parmetros de origen

que se conocen son, la fuerza de cortante y el momento flector y en el extremo opuesto del rotor se conoce que tanto la fuerza de cortante como el momento flector son cero. Se conocen por lo tanto dos parmetros de origen M0 = -15,522 KN-cm, Q0 = 2,388 KN, se necesita hallar la flecha, Y0, y la pendiente, 0, en el origen y se conoce que Ml = 0 y Ql = 0. Se plantearn las expresiones de M(z) y Q(z) para z = l = 35 cm y se igualarn a cero para hallar los parmetros Y0 y 0:

Donde: = .z = 0,053 135 = 1,855 cm. De la Tabla de las funciones de Krilov para Vigas sobre Fundacin Elstica (Pisarenko, 1989), interpolando se obtiene que:

J1 J2 J3 J4 1,855 0,918 1,134 1,496 1,004

Sustituyendo los valores de: = 0,053 cm-1, = 648,7 kgf/cm2 y los valores de Ji correspondientes, se tiene que: Y0 = -0,064 cm y 0 = -0,00425 rad. Se plantean las ecuaciones para: y(z), (z), M(z) y Q(z) para representarlas grficamente:

Resolviendo las ecuaciones para una longitud: z = l = 35 cm, se obtiene que: Y35 = 0,28 cm; 35 = -0,0022 rad; M35 = 0; Q35 = 0 Utilizando el programa MatLab se pueden evaluar estas funciones a travs de toda la longitud del rotor, es decir, calcular los valores de las funciones de Krilov para cuando 0 z 35 cm. Con estos resultados se puede representar las funciones grficamente. Los grficos se muestran en la Fig. 3.

Fig. 3 Distribucin de la flecha, la reaccin del rotor sobre el estator, la pendiente, el momento flector y la fuerza de cortante a lo largo de toda la longitud del estator.

De la grfica de qR contra z se puede ver que: qRmax = 0,41 kN/cm y qRmin = - 0,18 kN/cm. Si halla el rea debajo la curva de qR utilizando el programa MatLab, o sea:

Este valor es exactamente igual a Q0, lo que permite validar la exactitud de los clculos realizados, ya que al estar el rotor en equilibrio la resultante de la reaccin de la fundacin (integral debajo de la curva) tiene que ser igual a la fuerza transversal aplicada Qo. Lo mismo ocurre si se integra el momento del rea debajo de la curva de qR utilizando el programa MatLab, dicho momento da igual a M0 = -15,522 KN-cm, lo que confirma definitivamente la exactitud de los clculos. Debido a la complejidad del anlisis, en los clculos anteriores se utiliz un valor fijo de b (ancho de contacto entre el rotor y el estator) para poder llegar a algunos resultados parciales preliminares. Con el objetivo de lograr ms generalidad se analizar la aplicacin del esquema de anlisis asumiendo z y b variables. Ahora para completar el anlisis de la flecha se utiliza el funcin de la misma en la forma tal que b y z son variables, es decir: . La

grfica se representa en tres dimensiones en la Fig.4 ya que tiene dos variables.

Fig. 4 Valores de la flecha y(z,b) para diferentes valores de b en el campo de valores de z Como se aprecia en la grfica, para el rotor analizado, la mxima diferencia entre las flechas al comienzo y final de la fundacin elstica (estator) se obtiene para valores de b muy pequeos, o sea, gomas muy rgidas y en esa situacin, aunque parezca contradictorio, se obtiene el mximo desplazamiento ymax en un rotor, precisamente cuando z = 0 con un valor cercano a 0,2 cm, o sea, y = 2 mm, con gomas blandas, la flecha se estabiliza a lo largo de la longitud, slo es ligeramente superior cuando z = 0. Para el anlisis de la pendiente se utiliz la funcin de la misma en la forma de para la flecha, tal que b y z son variables, es decir, = f (b, z). La grfica se da en la Fig. 5

Fig. 5 Valores de la pendiente (z, b) para diferentes valores de b en el campo de valores de z

Para la fuerza de cortante la grfica de la misma en funcin de las dos variables se da en la Fig. 6. Como se muestra en la grfica la fuerza de cortante tiene dos extremos para z = 0 y para un valor de z intermedio en la longitud. Resulta muy interesante

Fig. 6 Comportamiento de la fuerza de cortante Q f (b, z) para diferentes valores de b en el campo de valores de z

analizar cmo se comportan estos extremos y su posicin cuando se vara b. Como se aprecia el valor del extremo cuando z = 0 no se altera pues slo depende del valor de Qo, el otro extremo modifica ligeramente su posicin pero su valor mximo casi no se modifica y es siempre menor que Qo. Para el momento flector se utiliza la funcin de forma tal que b y z son variables, es decir: M= f (b, z). La grfica de este anlisis se muestra en la Fig. 7.

Fig. 7 Comportamiento del momento flector M(b, z) para diferentes valores de b en todo el campo de valores de z

Esta demuestra cmo, el momento Mfmax no vara ni en magnitud ni en posicin. El comportamiento de la reaccin del estator sobre el rotor se muestra en la Fig. 8.

Fig. 8 Comportamiento de la reaccin de la fundacin para diferentes valores de b en todo el campo de valores de z

Se realizar el clculo preliminar de un rotor hueco para evaluar, conociendo su

dimetro exterior, el interior mximo que da mnimo espesor. Si y W = 0,1D3(1-c4) y c = d/D El rotor que ser verificado tiene D = 42 mm y d = 32 mm con c = 0,76. Los valores de tensin admisible, para este clculo, depende del material y el rgimen de funcionamiento del rotor. En este caso tiene un rgimen en que el carcter del cambio de las tensiones corresponde al ciclo simtrico, el rgimen III. Los valores de las tensiones admisibles para los aceros corresponden aproximadamente por los regmenes a la siguiente proporcin (Dobrovolski, 1975):

, ,

El dimetro menor del rotor debe ser:

Se calcular el dimetro para: b= 0,5 cm, z= 35 cm, D= 4,2 cm y Mfmax= 23,8 kN-cm.

Es decir que el dimetro interior del rotor debe ser menor o igual a 3,46 cm. El rotor utilizado como referencia tiene un dimetro interior un poco menor que este valor.

Conclusiones

1. Se elabor un Nuevo Esquema de Anlisis para la evaluacin de la resistencia de los rotores de las bombas de cavidad progresiva considerando el estator como una base elstica, mediante el cual se dan a conocer las interacciones que se producen entre rotor y estator bajo la accin de la fuerza radial provocada por el acoplamiento y, a partir de stas, las fuerzas internas y tensiones que se producen en el mismo.

2. Se elabor un Programa utilizando el Software MatLab que permite, para cualquier combinacin de rotor con un estator de una Bomba de Cavidad Progresiva de parmetros conocidos, realizar el estudio del comportamiento de la flecha del rotor de acero en contacto con la goma del estator, la reaccin del estator sobre el rotor como una carga no uniformemente distribuida a lo largo de su longitud, la pendiente que adquiere el rotor en contacto con el estator y la distribucin del Momento Flector y de la Fuerza de Cortante interna a lo largo de la longitud del rotor.

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