cÁlculo de Árboles y Ejes SegÚn Criterio

CÁLCULO DE ÁRBOLES Y EJES SEGÚN CRITERIO DE RESISTENCIA A FATIGA

DEL MATERIAL.

Compilación de apuntes del curso de Elementos de Máquinas II.

Profesor:

Dr. Gonzalo González Rey Email: [email protected] Profesor Principal de Elementos de Máquinas Facultad de Ingeniería Mecánica Instituto Superior Politécnico José A. Echeverría Ciudad de La Habana. Cuba

Septiembre 2006

Árboles y Ejes G. . González Rey

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Tema 3. Árboles y Ejes. Objetivos. Analizar y diseñar un eje de transmisión de potencia, para cualquier número de apoyos, tipos y número de cargas, tomando en cuenta la potencia a transmitir, velocidad del eje, material del mismo, naturaleza de las cargas y factor de seguridad deseado. Contenidos fundamentales del tema: Clasificación. Materiales. Criterios de diseño. Diseño de árboles y ejes. Comprobación de la resistencia a la fatiga. Cantidad de horas del tema: 7 Cantidad de horas de conferencia: 3 Cantidad de horas en solución de problemas: 3 Evaluación: Prueba parcial (1 hora) y una tarea. Bibliografía. Libros: • Mott, R. L. Machine Elements in Mechanical Design.

Editorial Prentice. 1999. • Dobrovolski. Elementos de Máquinas. Editorial MIR. 1981. • Reshetov. Elementos de Máquinas. Editorial Pueblo y

Educación. 1985. • Norton. Diseño de Máquinas. Editorial Prentice Hall. 1999. • Shigley, J. E. Diseño en Ingeniería Mecánica. Editorial

McGraw Hill, 1990. • Grefkowicz, A., Problemas Escogidos del cálculo de

resistencia en el Diseño de Máquinas, Tecnología Serie 7, Ingeniería Mecánica, abril 1970, Universidad de la Habana

Normas: • ANSI/ASME B106.1M-1985, Design of Transmission

Shafting (second printing), ASME, EUA, 1985. • ANSI/AGMA 6001-D97, Design and Selection of

Components for Enclosed Gear Drives, AGMA, EUA, 1997 1. -Introducción. Como es conocido, los árboles y ejes son elementos de máquinas sobre los cuales se montan las partes giratorias de las máquinas, resultando ser los verdaderos ejes geométricos de estas partes en rotación∗. Los árboles, a diferencia de los ejes, además de sostener los elementos giratorios trasmiten momentos torsores, por consiguiente, los árboles resultan cargados, no solo por esfuerzos normales debido a los momentos flectores, sino también, por esfuerzos tangenciales generados por momentos torsores, en toda la longitud o en sectores aislados del árbol.

∗ Algunos tipos de árboles no soportan partes giratorias sobre ellos, como es el caso de los árboles de transmisión o de torsión y los árboles flexibles.

Por la forma del eje geométrico del árbol se distinguen los árboles rectos y los árboles acodados (cigüeñales). Los árboles cigüeñales se emplean siempre que se requiera transformar en una máquina el movimiento alternativo en movimiento giratorio o viceversa. Como se comprenderá, los árboles cigüeñales son característicos de construcciones especiales, lo que hace que los criterios para el dimensionado previo y su cálculo no sean tratados en este curso. También los árboles flexibles con ejes curvilíneos constituyen un grupo especial no tratados en este material.

En cambio la gran difusión de los árboles rectos en la ingeniería mecánica moderna, hace necesario que sean objetos de estudio, con énfasis en el análisis de los criterios de dimensionado previo y de comprobación de la capacidad de carga.

Diferentes tipos de árboles rectos.


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1. Ranura para permitir la salida de la muela de

rectificado, o un tallado que requiera diferencia de diámetros entre las secciones contiguas.

2. Muñones de apoyo para los cojinetes de rodamiento o deslizamiento. Pueden ser cilíndricos o cónicos y generalmente son zonas endurecidas superficialmente entre los 48 y 52 HRC. En el caso de muñones para cojinetes de rodamientos debe tenerse en cuenta que su diámetro debe coincidir con la serie de los diámetros de montaje de los rodamientos, usualmente múltiplos de 5.

3. Escalón de apoyo. Sirve para absorber las cargas axiales en los árboles, producto de los elementos que se vinculan a el, y trasmitirlas a los apoyos y anclaje de las máquinas. Otro objetivo, es el garantizar la correcta disposición axial de los elementos en el montaje.

4. Zona de ajuste para el montaje. En caso de no estar en un extremo del árbol, se realiza con un diámetro mayor que las secciones contiguas para permitir el montaje de los elementos. Se recomienda un endurecimiento de la zona entre 48 y 52 HRC.

5. Zona de transición. Son superficies que suavizan los cambios de sección y disminuyen los concentradores de tensión. Suelen ser circulares o elípticas. Es recomendable que sean empleadas superficies con radios mayores al 10% del diámetro menor de las secciones vinculadas.

6. Biseles. Se emplean para centrar las piezas durante el montaje y tambien para evitar cortaduras de los operarios durante la manipulación de los árboles.

7. Chaveteros. 8. Zona de centraje. Esta es una zona del árbol contigua a

una zona de montaje, con dimensiones ligeramente menores que la de montaje, para facilitar esta operación y el centrado de los elementos.

Los materiales empleados para la construcción de los árboles deben distinguirse por las características de: resistencia suficientemente alta, pequeña sensibilidad a la concentración de tensiones, capacidad de poder ser tratados térmica y quimico-termicamente y poseer buena maquinabilidad.

Tomando lo anterior en consideración es indiscutible que el material más empleado por su excelencia es el acero. Por ello durante este curso serán tratados con exclusividad los árboles rectos de acero, para los cuales se brindan algunas especificidades de los materiales empleados. 2.- El acero como material de árboles y ejes. La selección de los materiales es una de las partes que integran el diseño de cualquier pieza de las máquinas; en determinados casos no se presta a este asunto toda la atención que merece, y hemos de insistir sobre tan fundamental tema recordando que, antes de decidirse por un material determinado, por sencilla y poca importancia que se le conceda a una pieza a construir, se elija el que reúna las características más apropiadas, no ya solo por su resistencia, sino por su facilidad de maquinado y tratamiento, y muy especialmente también, por el factor económico que puede influir notablemente en el costo de fabricación, por tanto, ha de elegirse el más apropiado con todo detenimiento. La resistencia y rigidez son factores clave siempre tomados en cuenta en la selección de un material. Igualmente importantes es la confiabilidad relativa y la durabilidad de la pieza cuando se consideran alternativas posibles con respecto al material. El acero es el material que se usa con más frecuencia para la construcción de los árboles y ejes. Variando adecuadamente la composición, el tratamiento térmico y el tratamiento mecánico pueden obtenerse propiedades mecánicas que se encuentren entre márgenes muy amplios. Para la selección apropiada de la composición del acero son fundamentales tres relaciones básicas:

1. Todos los aceros tienen esencialmente el mismo módulo de elasticidad. Entonces, si el requisito decisivo del árbol o eje es la rigidez, como todos los aceros se comportan igual, debe seleccionarse el de menor costo (incluyendo los costos de fabricación).


3

2. El contenido de carbono, casi por sí solo, determina la máxima dureza que puede desarrollarse en el acero. El máximo potencial de dureza según el contenido de carbono puede llegar hasta cerca de 0,7%. Esto significa que se puede aplicar un tratamiento térmico a las partes con forma regular, relativamente pequeñas, hechas con acero simple al carbono para obtener esencialmente la misma dureza y resistencia que se lograría con los aceros de aleación más costosa.

3. Los elementos de aleación (manganeso, molibdeno, cromo, níquel y otros) elevan la templabilidad del acero. Por lo tanto, el potencial de dureza y resistencia (el cual está controlado por el contenido de carbono) puede obtenerse con tratamientos térmicos menos drásticos usando dichos elementos de aleación.

Tabla 1.- Composición química de algunos aceros•.

Composición Química Aceros Denominación GOST

Tratamiento térmico C % Mn % Si % Cr % Ni %

CT 3 ST 0,14- 0,22 - - - - CT 4 ST 0,18- 0,27 - - - - CT 5 ST 0,28- 0,37 - - - - CT 6 ST 0,38- 0,49 - - - - CT 7 ST 0,50- 0,62 - - - - 10 N 0,07- 0,15 0,35- 0,65 0,17-0,37 - -

Al Carbono de Calidad Normal

15 N 0,12- 0,20 0,35- 0,65 0,17-0,37 - - 20 N 0,17- 0,24 0,35- 0,65 0,17-0,37 - - 25 N 0,22- 0,30 0,50- 0,80 0,17-0,37 - - 35 TR 0,32- 0,40 0,50- 0,80 0,17-0,37 - - 45 TR 0,42- 0,50 0,50- 0,80 0,17-0,37 - - 55 TR 0,52- 0,60 0,50- 0,80 0,17-0,37 - - 65 TR 0,62- 0,70 0,50- 0,80 0,17-0,37 - -

15X TR 0,12- 0,18 0,60- 0,90 0,17- 0,37 0,70- 1,00 Max. 0,30

Al carbono de Alta Calidad

20X TR 0,17- 0,23 0,50- 0,80 0,17- 0.37 0,70- 1.00 Max. 0,30 30X TR 0,27- 0,35 0,50- 0,80 0,17- 0,37 0,80- 1,10 Max. 0,30 35X TR 0,32- 0,40 0,50- 0,80 0,17- 0,37 0,80- 1,10 Max. 0,30

Aleados al Cromo

40X TR 0,37- 0,45 0,50- 0,80 0,17- 0,37 0,80- 1,10 Max. 0,30 20XΓC TR 0,17- 0,23 0,80- 1,10 0,90- 1,20 0,80- 1,10 Max. 0,30 Al Cromo

Manganeso-Silicio 30XΓC TR 0,28- 0,35 0,80- 1,10 0,90- 1,20 0,80- 1,10 Max. 0,30 Al Cromo-Níquel 50XH TR 0,47- 0,55 0,50- 0,80 0,17- 0,37 0,40- 0,75 1,00- 1,40

1X13 TR Max. 0,15 Max. 0,60 Max. 0,60 12,0-14,0 Max. 0,60 Anticorrosivo 3X13 TR 0,25- 0,34 Max. 0,60 Max. 0,60 12,0-14,0 Max. 0,60 Para muelles 50C2 M 0,47- 0,55 0,60- 0,90 1,50- 1,80 Max. 0,30 Max. 0,30 Nota: ST: Sin tratamiento térmico

N: Normalizado, TR: Templado y revenido M: térmicamente mejorado

• Grefkowicz, A., Problemas Escogidos del cálculo de resistencia en el Diseño de Máquinas, Tecnología Serie 7, Ingeniería

Mecánica, abril 1970, Universidad de la Habana.


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Tabla 2.- Esfuerzos límites de resistencia en Mpa de algunos aceros. Límites de fatiga Rotura a

Tracción σRT

A Tracción y Compresión σ0T σ-1T

A Flexión σ0F σ-1F

A Torsión τ0 τ-1

Nominación GOST

Min. Max.

A fluencia σF

intermitente alternativo intermitente alternativo intermitente alternativo CT 3 380 470 240 238 132 323 180 214 107 CT 4 420 520 260 255 145 358 194 220 110 CT 5 500 620 280 313 174 425 238 280 140 CT 6 600 720 310 365 205 500 280 332 166 CT 7 700 850 350 430 240 590 328 390 195 10 350 450 210 223 124 304 170 200 100 15 380 500 220 245 135 335 185 220 110 20 410 500 250 254 140 346 191 225 112 25 470 550 300 284 156 388 214 252 126 35 550 650 350 333 185 456 254 300 150 45 650 750 390 390 217 532 298 350 175 55 750 900 450 460 256 630 352 416 208 65 820 1150 480 530 285 710 395 460 230

15X 700 840 500 400 240 508 324 354 192 20X 800 960 600 458 272 580 370 405 220 30X 900 1080 700 515 306 653 415 455 247 35X 950 1140 750 545 324 690 438 480 260 40X 1000 1200 800 570 340 725 460 505 275

20XΓC 800 960 600 458 272 580 370 405 220 30XΓC 1100 1320 850 630 385 800 508 555 302 50XH 1100 1320 850 630 380 800 508 555 302 1X13 550 660 350 315 188 400 254 280 151 3X13 750 900 550 430 256 545 346 380 206 50C2 1200 1440 1100 685 4080 870 550 608 330

Generalmente, los árboles y ejes son hechos de barras circulares de acero al carbón estirado en frío. Son usadas barras de acero aleado cuando se requiere tenacidad, resistencia al impacto y alta resistencia en materiales disponibles de modo comercial. En estos casos, los árboles y ejes pueden tratarse térmicamente para obtener las propiedades requeridas. Cuando la resistencia al desgaste en la superficie es un factor muy importante, puede usarse acero de cierto grado de carburación. Sin embargo, para no aumentar el costo, el diseñador deberá tratar de usar un acero con bajo contenido de carbono, si esto fuera posible, y posteriormente garantizar un endurecimiento local por tratamiento térmico o térmico-químico. Las barras de acero estiradas en frío tienen las propiedades físicas superiores a las barras estiradas en caliente del mismo material, destacándose una mayor resistencia a la fluencia, a la fractura y a la fatiga. Sin embargo, los valores de fatiga altos a veces son afectados por los esfuerzos residuales de tensión en la superficie que son causados por el estirado en frío.

Prácticamente es aconsejable que las características mecánicas de los aceros sean determinadas por el constructor y/o proveedor, mediante ensayos de los materiales empleados y/o disponibles para la fabricación de los árboles y ejes, con la intención de conocer exactamente los valores limites de resistencia y realizar cálculos precisos de los coeficientes de seguridad. En su defecto, pueden ser empleados valores suministrados por la literatura asociada a la resistencia de materiales. Para este último caso, el autor recomienda el empleo de las tablas 1 y 2, basadas en recopilaciones realizadas por el profesor polaco Andrzej Grefkowicz•.

• Grefkowicz, A., Problemas Escogidos del cálculo de resistencia en el Diseño de Máquinas, Tecnología Serie 7, Ingeniería Mecánica, abril 1970, Universidad de la Habana.


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3.-Criterios para el dimensionado previo de árboles. Durante el diseño de árboles de transmisión, se hace necesario asegurar en estos elementos de máquinas: resistencia mecánica, rigidez suficiente y un régimen de explotación no coincidente con el régimen de resonancia del sistema. La tarea de asegurar las anteriores condiciones es una parte integrante del proceso de proyección de los árboles y ejes. Generalmente una etapa importante de este proceso se vincula a los criterios empleados durante el dimensionado previo, que permiten determinar aquellas dimensiones básicas del árbol que garanticen una adecuada capacidad de trabajo y un costo aceptable según las exigencias de fiabilidad establecidas en el diseño. Es indiscutible que el criterio de dimensionado previo de los árboles empleado con mayor frecuencia por los proyectistas es el asociado con un cálculo clásico de resistencia mecánica. A pesar de ser reconocido en este criterio numerosas conveniencias, debemos de ser conscientes de que no toma en consideración aspectos tales como: dimensiones necesarias en las secciones que satisfacen la capacidad de trabajo de otros elementos vinculados a los árboles como los cojinetes de rodamiento y de deslizamiento, la suficiente rigidez de los árboles establecida de acuerdo con las condiciones de explotación y del funcionamiento normal del conjunto y variación de las magnitudes de las cargas, entre otros aspectos. Muchas veces, criterios para el dimensionado previo que emplean dependencias empíricas o empiricas-convencionales satisfacen más convenientemente esta etapa del proyecto, que aquellos criterios clásicos de resistencia mecánica, que requieren de la suposición de esquemas de montajes y distancias entre apoyos para el cálculo de los momentos flectores en los árboles en la etapa de diseño previo. A continuación, serán brindados varios criterios para el dimensionado previo de árboles rectos de acero con montaje horizontal, basados en dependencias empíricas y fórmulas clásicas de Resistencia de Materiales, de forma tal que se disponga de un grupo de criterios prácticos para el dimensionado previo de las secciones básicas de estos tipos de árboles. 3.1 - Dimensionado previo según dependencias empíricas. La base de este criterio de dimensionado previo es la experiencia obtenida de otras construcciones, verificadas durante la explotación y que han demostrado una seguridad y fiabilidad aceptable. Estos diseños confiables permiten establecer relaciones practicas entre las dimensiones básicas del árbol y parámetros fundamentales del componente o agregado de máquina donde será empleado el árbol que se diseña. Este método debe ser aplicado en árboles donde no

es exigida una optimización de las dimensiones y se desea tomar la experiencia práctica anterior. A continuación son brindados algunos ejemplos: a)- Reductor de velocidad de una etapa compuesto por engranajes cilíndricos:

( )d dm1 0 8 0 120≈ ⋅, . .... , y ( )d aw2 0 30 0 35≅ ⋅, ... , b)- Reductor de velocidad de una etapa compuesto por engranaje de tornillo sinfín:

( )d aw2 0 35 0 40≅ ⋅, ... , c)- Árbol de levas de un motor de combustión interna:

( )d DL C≈ ⋅0 25 0 30, .... , Donde: d1: diámetro del extremo en voladizo del árbol rápido. d2: diámetro del extremo en voladizo del árbol lento. dm: diámetro del extremo del eje de un motor con igual torsor

nominal que el momento torsor nominal del árbol rápido del reductor de velocidad.

aw : distancia interaxial entre los árboles del reductor de velocidad.

dL: diámetro del muñón del árbol de levas. Dc: diámetro de los cilindros del motor de combustión interna.

3.2 - Dimensionado previo según dependencias semi-convencionales. De no existir dependencias empíricas seguras para el árbol que se desea proyectar, puede ser utilizado un cálculo semi-convencional donde solo se considera el momento torsor y no se requiere de una evaluación inicial del momento flector, en una etapa en que aún no se han determinado las dimensiones del árbol en longitud, ni se conoce con precisión la ubicación exacta de los apoyos. Planteando la condición de resistencia mecánica a esfuerzos tangenciales debido a la torsión de una sección circular, puede ser obtenida una fácil ecuación para el dimensionado previo:

[ ]τπ

τ ≤

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅=

401

16

3

ddd

Mtmt

De donde:

[ ]3 401

16

τπ ⋅⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

⋅≥

dd

Mtd (mm)


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Siendo: Mt : Momento torsor en la sección del árbol (Nmm) d : Diámetro de la sección analizada del árbol (mm) d0 : Diámetro interior de la sección del árbol (mm). En

caso de árboles macizos debe ser tomado d0 = 0. Generalmente la proporción d0 / d = 0,4 ... 0,6 en árboles huecos.

[τ] : Esfuerzo tangencial admisible según ciclo de carga del torsor (MPa).

Generalmente en este cálculo, como es despreciado el efecto del momento flector, deben de ser tomados valores muy bajos del esfuerzo tangencial admisible, previendo que posteriormente el árbol garantice una resistencia suficiente a la combinación de los esfuerzos normales (debido al momento flector que no ha sido considerado en la etapa de dimensionado previo) y los esfuerzos tangenciales. Con frecuencia se adoptan coeficientes de seguridad entre 10 y 20, los que reportan valores de esfuerzos tangenciales admisibles entre 12 y 20 MPa para los aceros típicos de árboles. Una forma bastante difundida de aplicar este cálculo fue la prevista en la norma GOST 12080-66 (ratificada hasta 1985) y también asumida por las antiguas normas CAME para extremos de árboles. La referida norma establece un cálculo previo muy sencillo y con buenos resultados prácticos mediante el empleo de la siguiente fórmula:

dMtKextr

extr

CAL≥ 3 (mm)

Donde : Mtextr : momento torsor en el extremo del árbol (Nmm). dextr : diámetro del extremo del árbol (mm) KCAL : Coeficiente de cálculo (MPa).

Tabla 3.- Coeficiente de cálculo KCAL en MPa, en dependencia del ciclo de carga del momento torsor Mt (Nmm) y de la fuerza en voladizo F (N), considerando la longitud máxima del extremo del árbol (lextr) no mayor de dextr = 3.

Torsor (Mt) con fuerza (F) en voladizo Torsor (Mt) puro

F <8 √Mt F> 8 √Mt

Límite de rotura a

a tracción (MPa) σrt.

a b c a b a b

500 ... 850 8,0 5,6 4,0 5,6 4,0 2,8 2,0 850... 1200 11,2 8,0 5,6 8,0 5,6 4,0 2,8

más de 1200 16,0 11,2 8,0 11,2 8,0 5,6 4,0 Siendo: a - momento torsor constante. b - momento torsor intermitente. c - momento torsor alternativo.

3.3 - Dimensionado previo según Código ASME. Este método fue establecido por la Asociación Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME) en 1927 y fue reconocido hasta principios de los años 60. Su fundamento es teórico-empírico y fue empleado para proyectar árboles durante muchos años y, por ello, es una información que debe tener en su poder un proyectista mecánico que trabaje en el área del diseño de transmisiones. El Código ASME establece un valor de esfuerzo tangencial admisible, correspondiente a la más pequeña de las dos magnitudes siguientes; [ ] ,τ σ= ⋅ ⋅0 30 ft fct o [ ] ,τ σ= ⋅ ⋅018 rt fct

Donde: σft : esfuerzo límite de fluencia a tracción del material (MPa). σrt : esfuerzo límite de rotura a tracción del material (MPa). fCT :factor por concentración de tensiones. En caso de existir

algún concentrador de tensiones, debido a un chavetero o una zona de transición por cambio de sección, debe de ser tomado fCT = 0,85. En caso de no existir un concentrador de tensiones fCT =1,0.

La ecuación para el dimensionado previo según el Código ASME está basada en la teoría de fallo por el máximo esfuerzo cortante, para la cual es calculado un momento torsor equivalente:

( ) ( )mte C mf C mtF T= ⋅ + ⋅2 2

(Nmm)

[ ]d

mtedd

≥⋅

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⋅

16

14

0π τ

(mm)

Donde: mte : momento torsor equivalente (Nmm). CF : coeficiente modificador de la flexión. (Ver tabla 4) CT : coeficiente modificador de la torsión. (Ver tabla 4)

Tabla 4- Valores de los coeficientes modificadores CF y CT.

Tipo de carga CF CT Carga constante o aplicada gradualmente.

1,0 1,0 Eje fijo

Carga aplicada de forma repentina. 1,5..2,0 1,5.. 2,0 Carga constante o aplicada gradualmente.

1,5 1,0

Carga aplicada de forma repentina, en choques ligeros

1,5..2,0 1,0..1,5

Eje o

árbol que rota Carga aplicada de forma repentina,

en choques fuertes 2,0..3,0 1,5..3,0


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3.4 - Dimensionado previo según criterio convencional de resistencia mecánica. Como se conoce, para el dimensionado previo de los árboles, según el criterio de resistencia mecánica, es necesario calcular los momentos de flexión y de torsión en las secciones del árbol. Por tal motivo, debe ser confeccionado un esquema del árbol que permita su análisis como una viga montada sobre apoyos, donde estos se disponen de forma aproximada a la prevista para el diseño final. Deben ser ubicadas convenientemente las cargas generadas por los elementos que el árbol debe soportar y de aquellos que se vinculan a él. En muchos casos, se puede despreciar la influencia del propio peso de los elementos, como también la magnitud del momento de las fuerzas de fricción en los cojinetes. Generalmente la forma de la distribución de la carga por las superficies portantes y de apoyo con frecuencia es desconocida, por lo que la carga calculada puede suponerse uniformemente distribuida o, mucho más cómodo, a menudo concentrada. En caso de que se desee, durante el cálculo de los momentos flectores, precisar la ubicación de los apoyos en los árboles y ejes pueden servir como referencia los siguientes esquemas.

Las cargas a los árboles y ejes se trasmiten a través de las piezas montadas en estos, como son las ruedas dentadas, las poleas, sprockets, acoplamientos, etc. En caso de cálculos sin exigencia de gran precisión, se adopta que las piezas acopladas con el árbol trasmiten las fuerzas y momentos exactamente en la mitad de la longitud del encaje. Para casos con mayor exigencia de exactitud, conviene tomar las fuerzas y momentos aplicados cercanos a los bordes de la zona de encaje según se muestra en la figura 3, tomándose los mayores valores para los montajes con interferencia y cubos rígidos y los menores valores para los ajustes deslizantes con cubos flexibles.

El esquema confeccionado posibilitará determinar las magnitudes de los momentos flectores y torsores indispensables para la aplicación del criterio de resistencia mecánica. Cuando sobre el árbol actúan cargas en distintos planos, estas se descomponen en dos planos mutuamente perpendiculares, generalmente conocidos como planos ZX y ZY, en los cuales son determinados los momentos flectores Mx y My. Con el objetivo de hallar el momento resultante, los momentos de flexión en los planos mutuamente perpendiculares se suman vectorialmente como:

Mf Mx My= +2 2 (Nmm)


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Fig. Esquema de cargas externas en un árbol y diagrama de

momentos flectores en dos planos. a) Para el caso de ejes, donde solo actúan momentos

flectores, el criterio de resistencia mecánica permite obtener la siguiente fórmula para el dimensionado previo de la sección más cargada:

[ ]d

Mfdd

≥⋅

⋅ −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⋅

32

1 04

3 π σ

(mm)

Donde: Mf: Momento flector en la sección del eje (Nmm). [σ]: Esfuerzo normal admisible por flexión (MPa).

En la anterior fórmula, debe de ser considerado el mismo ciclo de carga para el esfuerzo admisible que el del momento flector resultante en la sección analizada. Para ejes fijos debe de ser empleado el esfuerzo admisible según el ciclo de la carga externa que soporta. Para ejes que giran debe ser empleado el esfuerzo admisible para una flexión alternativa y simétrica σ-1f. b) En árboles donde solo se soportan momentos

torsores, caso típico de los árboles de transmisión, la aplicación del criterio de resistencia mecánica permite obtener la siguiente fórmula para el dimensionado previo de la sección más cargada:

[ ]d

Mtd

d

≥⋅

⋅ −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⋅

16

1 04

3 π τ

(mm)

Donde: MF: Momento flector en la sección del eje (Nmm) [τ]: Esfuerzo tangencial admisible por torsión (MPa). Debe de

ser considerado el mismo ciclo de carga para el esfuerzo admisible que el del momento torsor en la sección analizada.

c) Los casos de árboles sometidos a un estado tensional

simple son menos frecuentes en la práctica, pues usualmente los árboles están sometidos a esfuerzos normales y tangenciales, provocados principalmente por una actuación combinada de momentos flectores y torsores en la sección analizada. Aunque para el análisis del efecto de los esfuerzos combinados en la resistencia del material existen varios criterios, de ellos, los más empleados son los establecidos por la Hipótesis de la Tensión Tangencial Máxima (Mohr, Guest, Coulomb) y la Hipótesis del Trabajo Específico de la Deformación de las Tensiones Tangenciales (Mises, Huber y Hencky). Las pruebas demuestran que estas hipótesis ofrecen valores prácticamente aceptables para los árboles de acero que soportan momentos flectores y torsores.

Criterio de Resistencia de Mohr σ σ τ σe = + ⋅ ≤2 24 [ ] Criterio de Resistencia de Von Mises σ σ τ σe = + ⋅ ≤2 23 [ ] En el caso de una sección circular, puede ser calculado un momento flector equivalente, según los dos criterios anteriores y ser obtenido un diámetro previo para la sección analizada. Criterio de Resistencia de Mohr

Mfe Mf Mt= +2 2 (Nmm)

Criterio de Resistencia de Von Mises Mfe Mf Mt= + ⋅2 20 75, (Nmm)

Así la ecuación para le dimensionado previo es:

3 41

32

10

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅≥

− fdd

Md

fe

σπ (mm)

Siendo: σ : Esfuerzo normal en la sección (MPa). τ : Esfuerzo tangencial en la sección (MPa). σe : Esfuerzo normal equivalente en la sección (MPa).


9

Mf : momento flector resultante en la sección analizada del árbol (Nmm).

Mt : Momento torsor resultante en la sección analizada del árbol (Nmm).

Mfe : Momento flector equivalente en la sección analizada del árbol (Nmm).

[σ-1f]: Esfuerzo admisible por fatiga para una flexión alternativa y simétrica (MPa).

Durante la etapa de dimensionado previo no se evidencian diferencias significativas en los resultados al emplear el criterio de Mohr o de Von Mises, aunque es una practica aceptable emplear el criterio de Mohr durante el dimensionado previo y el criterio de resistencia de Von Mises en la etapa de comprobación. 4 – Cálculo de Comprobación de los Árboles. Los cálculos de comprobación pueden ser variados y depende del tipo de árbol y de las condiciones de trabajo. Los árboles rápidos fallan en el 40% a fatiga. En los árboles lentos de menor dureza es frecuente la rotura ante la presencia de cargas picos. En el caso de árboles frágiles (hierro fundido), se manifiesta la rotura por resistencia. Adicionalmente, es necesario tener en cuenta que los árboles de reductores, motores eléctricos y árboles de levas de MCI, deben ser verificados a rigidez ya que pequeñas deformaciones de estos pueden traer grandes afectaciones en el funcionamiento de los mismos. En general son cuatro los criterios fundamentales de comprobación: • Resistencia mecánica a carga estática. (no ocurrencia

de deformación plástica o rotura por sobrecarga). • Resistencia mecánica a carga variable (no ocurrencia de

rotura por fatiga volumétrica). • Rigidez suficiente para garantizar buen funcionamiento. • Resistencia a la sobrecarga por incremento de las

amplitudes por resonancia o régimen parciales de vibración. (control de la velocidad crítica).

4.1 - Cálculo de comprobación de resistencia a la fatiga. Los cálculos modernos de la resistencia a la fatiga reflejan el carácter de la variación de los esfuerzos, las características estáticas y de fatiga de los materiales, la concentración de tensiones, el efecto del tamaño en la resistencia, el estado de la superficie, el efecto de la temperatura, la cantidad de ciclos de carga y la fiabilidad exigida en el diseño. El cálculo de comprobación suele llevarse a cabo en forma de verificación del coeficiente de seguridad. Para el cálculo es necesario conocer las componentes constantes de los esfuerzos normales σm y de los esfuerzos tangenciales τm así como las

componentes variables (amplitud) de los esfuerzos normales σa y los esfuerzos tangenciales τa. Numerosos han sido los ensayos con diferentes combinaciones de esfuerzos medio y de amplitud para determinar el comportamiento a la fatiga de los materiales en el caso de ejes y árboles de acero. Algunos de los criterios difundidos para considerar la superposición del efecto de las tensiones de fatiga (cargas de amplitud) con las tensiones estáticas (cargas medias) son mostrados en la figura 4. Se ha dicho que el Profesor Joseph Marin de la Universidad del Estado de Pennsylvania en EUA fue el primero en proponer que las relaciones de resistencia a la fatiga se expresen mediante una ecuación en la siguiente forma•:

σσ

σσ

a

f

mN m

ft

p

n

m

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

⋅⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

1

Siendo: σft : esfuerzo límite por fluencia a tracción. σ-1f: esfuerzo límite por fatiga para una flexión alternativa y

simétrica. σa : esfuerzo normal de amplitud. σm : esfuerzo normal medio. n : coeficiente de seguridad por resistencia a la fatiga. m y p : exponentes de las curvas asociadas a los criterios de

superposición para resistencia a la fatiga. N : factor por consideración de la fluencia o fractura en el

criterio de fallo. Tabla 5- Exponentes m , p y del factor N, según los

diferentes criterios de resistencia a la fatiga. Criterios de curvas continuas de fallo N m p Criterio de Soderberg (E.U.A., 1930) 1,0 1,0 1,0 Criterio de Goodman (Inglaterra, 1899) σft / σrt 1,0 1,0 Criterio de Curva Cuadrática o Elíptica (ASME, E.U.A.)

1,0 2,0 2,0

Criterio de Kececioglu (forma semi-elíptica para el acero)

1 2,6 2.0

Criterio de Curva Parabólica de Gerber (Alemania, 1874)

σft / σrt 1,0 2,0

Criterio de Bagci 1,0 1,0 4,0

• Shigley, J, E., Mechanical Engineering Design, New York: McGraw-Hill Book Co., 1989, Fifth Edition.


10

Desde los años 80, el criterio de una curva cuadrática o elíptica, propuesto en un inicio por el estadounidense Sullivan, es una de las hipótesis más empleadas para verificar el posible fallo de los árboles de acero con uso industrial. Este es el criterio recogido en la norma ANSI/ASME B106.1M-1985• y aceptado en la norma AGMA 6001-D97∗ para el cálculo de comprobación de árboles de transmisión. Por tales motivos, este será el criterio estudiado en el curso. 4.1 - Cálculo de Comprobación Según Norma ASME B106. La referida norma establece que el cálculo de resistencia a la fatiga sea verificado según:

σσ

σσ

aeK f

me

ft n⋅ −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2 2 21

Esta relación nos permite determinar el coeficiente de seguridad a la fatiga del material del árbol, en la sección analizada, empleando la siguiente ecuación:

22

1

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−⋅

=

ftme

fKae

n

σσ

σσ

Donde:

• ANSI/ASME B106.1M-1985, Design of Transmission Shafting (second prnting), ASME, EUA, 1985. ∗ ANSI/AGMA 6001-D97, Design and Selection of Components for Enclosed Gear Drives, AGMA, EUA, 1997

σae : esfuerzo de amplitud equivalente según criterio de Von Mises. (MPa)

σme: esfuerzo medio equivalente según criterio de Von Mises. (MPa)

K : coeficiente modificador de la resistencia a la fatiga. Los valores del esfuerzo límite por fatiga para un flector alternativo σ-1f y del esfuerzo límite por fluencia a tracción σft deben ser precisados para el material del árbol. En caso de árboles de acero, cuando sean desconocidos estos valores (o no se desee emplear la tabla 2), ellos pueden ser estimados según las siguientes relaciones, donde HB representa la dureza en Grados Brinell del núcleo de la sección analizada.

σrt HB= ⋅3 45, (MPa) ó σ σft rt= ⋅ −0 94 86 2, , (MPa)

En caso de: σrt ≤ 1389 Mpa, entonces debe ser empleado:

( )σ σ− ≈if rt0 4 0 6, ... ,

En caso de: σrt > 1389 Mpa, entonces debe ser empleado:

σ− =if 690 MPa

4.2 - Cálculo de Comprobación según Serensen (Goodman-Soderbeg modificado). Para árboles de acero, en el caso de un análisis tridimensional completo de la resistencia a la fatiga, puede ser empleado el criterio de Serensen, correspondiente a un comportamiento en el diagrama de fallo con rectas quebradas según se muestra en la figura 5.

05 0

1 0 01 5 02 0 02 5 03 0 03 5 04 0 0

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 35 0 40 0 4 50

Es fue rzo m edio (M Pa )

Esfu

erzo

de

ampl

itud

(MPa

)

So d e r b e r gGo o d m anSu llivan (e líp t ica)Ke ce cio g luGe r b e r (p ar ab ó lica)Bag ci

Fig. 4 - Diagramas de fallo, para combinaciones de esfuerzos normales de amplitud σa y medio σm, según conocidos criterios de superposición de efecto de esfuerzos de amplitud y medio en la resistencia a la fatiga del material. El gráfico está elaborado para un acero con los siguientes valores límites: esfuerzo límite por rotura a tracción: σRT = 450 Mpa, esfuerzo límite por fluencia a tracción: σFT = 250 Mpa, esfuerzo límite por fatiga para un flector alternativo simétrico: σ-1f = 350 Mpa.

σ-1f

σFT σRT

fp

FTmN

a 11 −⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−= σ

σσ

σ


11

Fig. 5 - Representación de la curva de fallos según el criterio de Serensen.

En este tema se tratarán los árboles y ejes sometidos a flexión y torsión pues son las solicitaciones mas frecuentes de estos elementos de máquinas. El método que será empleado es válido también para cargas variables de tracción y compresión. Para que exista el fenómeno de fatiga deben existir esfuerzos variables en el tiempo. Los casos más frecuentes son:: • Cargas variables actuando sobre un árbol o eje. • Cargas constantes sobre un árbol o eje que gira lo que

provoca en la superficie exterior del elemento esfuerzos de tracción y compresión sucesivos.

Para los casos ciclos de carga con inclusión de una flexión alternativa el coeficiente de asimetría del ciclo es r= -1 y se calcula como:

mín

máxrσσ

= .

El coeficiente de seguridad a fatiga se puede obtener de forma analítica y de forma gráfica. Para el caso de una flexión alternativa será deducida la formula para evaluar el coeficiente de seguridad a fatiga. De la figura 5, puede observarse que el coeficiente de seguridad a esfuerzos normales puede ser evaluado como:

`01´02

0102

==σn

Siendo:

*01´01

´02 F1

+=

σ= −

mnmmn

tan**tan σ⋅ψ=θ⋅σ=σ

=θ σ

0

0f12σ

σ−σ=ψ −

σ

nσ : Coeficiente de seguridad a fatiga para esfuerzos de flexión. σ-1f : Esfuerzo límite de fatiga para esfuerzos de flexión alternativos. [MPa] σ0 : Esfuerzo límite de fatiga para esfuerzos de flexión intermitente. [MPa]

mnan

f1

kn

σψ+⋅εσ

σ=

σσσ

−σ


12

ψσ : Coeficiente sensibilidad del material a la asimetría del ciclo para esfuerzos de flexión. σmn : Esfuerzo medio nominal de flexión. [MPa] σan : Esfuerzo de amplitud nominal a flexión. [MPa] Como se observa en la expresión del cálculo del coeficiente de seguridad, el esfuerzo de amplitud a la flexión nominal se modifica por un grupo de coeficientes:

( σσε

σ kan)

Los coeficientes incluidos en el anterior termino ajustan el valor del esfuerzo de amplitud nominal a flexión en función de las características de la superficie del material, el coeficiente de tamaño (1/εσ) y del coeficiente de entalladura (kσ). En el caso de esfuerzos tangenciales variables, el cálculo del coeficiente de seguridad a fatiga por esfuerzos de torsión de una sección de un árbol o eje se efectúa de forma semejante como:

mnan

1

kn

τψ+ετ

τ=

τττ

−τ

0

012τ

τ−τ=ψ −

τ

Siendo: nτ : Coeficiente de seguridad a fatiga por torsión. τ-1 : Esfuerzo límite de fatiga por torsión alternativa. [MPa] τ0 : Esfuerzo límite de fatiga por torsión intermitente. [MPa] ψτ : Coeficiente de sensibilidad del material a la asimetría del ciclo para esfuerzos tangenciales. τm : Esfuerzo medio nominal de torsión. [MPa] τan : Esfuerzo de amplitud nominal a torsión. [MPa] Como en el caso de esfuerzos de flexión, el esfuerzo de amplitud a la torsión se modifica por un grupo de coeficientes:

( ττε

τ kan)

Estos coeficientes ajustan el valor del esfuerzo de amplitud a torsión en función del coeficiente de tamaño (1/ετ) y del coeficiente de entalladura (kτ). Si se da la combinación de cargas variables por esfuerzos de flexión y esfuerzos por torsión se plantea:

22 · τσ

τσ

nnnnn eq⋅

=

Siendo: neq : Coeficiente de seguridad a fatiga equivalente. El tamaño de las piezas a comprobar influye en la resistencia de estas a la fatiga ya que para mayores dimensiones de la sección las probabilidades de la existencia de fallas en el material aumentan, el coeficiente de tamaño (1/ε) depende también del coeficiente de forma en la entalladura (αk), y del límite de resistencia del material a la fatiga por flexión alternativa, tanto cuando se realicen cálculos de comprobación a esfuerzos normales como a tangenciales. El coeficiente de entalladura (Kσ, kτ) tiene en cuenta los efectos del coeficiente de concentración de la carga por la forma (Kσk, Kτk) y del coeficiente de concentración de la carga por el estado de la superficie (Kσs, Kτs.). El coeficiente de concentración de la carga por la forma (Kσk,

Kτk), depende de la geometría de la sección y la solicitación en la resistencia de esta a la fatiga, por medio del coeficiente de forma en la entalladura (αk). Este coeficiente (αk) refleja con claridad el aumento de la resistencia, por ejemplo, para aumentos de radios de redondeo, y la diferencia entre el comportamiento de la resistencia de una sección para diferentes tipos de solicitaciones de carga. En resumen Kσk,

Kτk se obtienen en función del coeficiente de forma, el tratamiento térmico, y para ambos casos (flexión y torsión) toman en cuenta el esfuerzo límite a fatiga a la flexión alternativa. Los coeficientes de concentración de la carga por estado de la superficie. Kσs, Kτs. Reflejan la influencia de esta en la resistencia a la fatiga. Se determina en función del esfuerzo límite de rotura, y la rugosidad superficial, su valor numérico es diferente para las cargas de flexión y torsión. El coeficiente de entalladura (Kσ, kτ) se calcula como:

1KKK SK −+= σσσ

1KKK SK −+= τττ Para comprobar un árbol o eje a fatiga se puede adoptar la siguiente propuesta de secuencia de cálculo. a) Determinar las cargas que actúan sobre el elemento.

Construcción de los gráficos de momento torsor y flector. b) Definir el carácter de las cargas que actúan. Tipo de

ciclo. (constante, alternativo o intermitente).


13

c) Selección de las secciones a comprobar. d) Cálculo de los esfuerzos que actúan en la sección. e) Determinación de los coeficientes modificadores del

esfuerzo. e-1) Obtención de los coeficientes de entalladura Kσ, Kτ:

1. Determinación del radio límite. ρ Se obtiene en función del radio geométrico y la línea de esfuerzos.

mk ρρρ += ρk Radio geométrico (radio de redondeo de la sección analizada en el plano).

ρm radio teórico en la línea de esfuerzo. (Ver Fig. 6, en función del esfuerzo de rotura a la tracción).

2. Determinar el coeficiente de forma en la

entalladura αk, en función de la geometría la carga que actúa y el radio límite. (Ver Figs. 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16 Y 17)

3. Obtención de los coeficientes de

concentración de la carga por forma de la entalladura (Kσk, Kτk) en función del coeficiente de forma, el tratamiento térmico, y para ambos casos del esfuerzo límite a fatiga a la flexión alternativa. (Ver Fig. 11)

e-2) Obtención de los coeficientes de concentración de la carga por estado de la superficie Kσs, Kτs, en función del esfuerzo límite de rotura y el estado de la superficie. (Ver Fig. 13)

e-3) El coeficiente modificador de los esfuerzos (Kσ, kτ) se calcula como:

1−+= Sk KKK σσσ

1KKK SK −+= τττ f) Obtención del coeficiente de tamaño 1/ε. (Ver Fig. 9). Se busca su valor con σ-1f, αk, las dimensiones de la sección. g) Cálculo de los coeficientes de seguridad.

man

1

k1nσ⋅ψ+⋅ε⋅σ

σ=

σσσ

−σ

man

1

k1nτ⋅ψ+⋅ε⋅τ

τ=

τττ

−τ

22τσ

τσ

nnnnn eq+

⋅=

A continuación es referido el resto de los parámetros de cálculo para una sección circular: σMf : esfuerzo normal por flexión.

σπ

MfMf

ddd

=⋅

⋅ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

32

134

0

(MPa)

τaMt : esfuerzo tangencial de amplitud por torsión.

τπaMt

Mtad d

d

=⋅

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

3 4

161 0

(MPa)

Siendo: 2

TminMTmaxMTaM

−=

τmMt : esfuerzo tangencial medio por torsión.

τπmMt

Mtmd d

d

=⋅

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

3 4

161 0

(MPa)

Siendo: 2

minmax TTTm

MMM

+=

Donde: Mta : momento torsor de amplitud. (Nmm) Mtm : momento torsor medio. (Nmm)

τQ : esfuerzo tangencial por cortante.

τ τQQYA

K= ⋅ (MPa)

( )A d d= ⋅ −π4

2 20

(mm2)

( )K

d dd dτ =

⋅ + ⋅+

123 2 2520

2

20

2

, ,

4.3 - Coeficiente admisible de seguridad a la resistencia por fatiga [n]. El valor del coeficiente de seguridad calculado a la resistencia por fatiga de material n debe ser mayor que el coeficiente de seguridad admisible [n] para garantizar un nivel de seguridad en el diseño del árbol o eje.

[ ]nn ≥


14

Aunque teóricamente el valor del coeficiente admisible de seguridad [n] debe ser mayor o igual a la unidad [n] ≥1, es conveniente que su magnitud sea evaluada en función del tipo de aplicación y tomando como base la incertidumbre en situaciones de cargas, de propiedades del material, condiciones ambientales, fiabilidad, costo económico, riesgo de deterioro medioambiental debido a una rotura y peligro para la vida humana. Muchas veces el valor del coeficiente admisible de seguridad es acordado por normativas de seguridad legisladas, en casos donde es evidente el peligro para la vida humana, como en diseños de ascensores, teleféricos, aviones, etc, y el diseñador deberá respetarlos necesariamente. No obstante, en la mayoría de las aplicaciones en construcción mecánica no existen referencias fiables, y el propio diseñador deberá seleccionar loa valores numéricos que considere adecuados.

En la tabla 9 se presentan algunos valores recomendados del coeficiente admisible de seguridad, orientativos tan sólo, para el diseño considerando el riesgo a fatiga del material.

Tabla 9 - Coeficientes admisible de seguridad [n] .♠ Casos Aplicaciones [n]

Choques pequeños en el arranque

Motores eléctricos, bombas centrífugas.

1,0 - 1,1

Choques de nivel medio

Máquinas y motores alternativos.

1,2 - 1,5

Choques fuertes con frecuencia media de aplicación

Máquinas de punzonado y corte.

1,5 - 2,0

Choques fuertes con frecuencia alta de aplicación

Prensas de martillo, molinos de bolas.

2,0 - 3,0

Para facilitar la selección de los valores del coeficiente admisible de seguridad y determinar concretamente los factores que influyen sobre su valor, puede ser empleado el procedimiento recomendado por el profesor polaco Moszynski∗ hace ya algún tiempo, y empleado con muy buenos resultados en el diseño de árboles de la sección de Elementos de Máquinas de la Facultad de Ingeniería Mecánica del ISPJAE. Según Moszynski puede ser orientado el coeficiente admisible de seguridad [n] como el producto de una serie de coeficientes parciales, donde cada uno considera una influencia determinada y sus valores son recomendados en la tabla 10. En general, el valor de [n] se encuentra entre los límites de 1,2 y 1,8.

[ ] 54321 nnnnnn ⋅⋅⋅⋅=

♠ Avilés R., Fatiga de Materiales en el Diseño y Análisis Mecánico, ETSII de Bilbao, España, 1993. ∗ Moszynski, W., Wytrzymalosce zmeczeniowa czesci maszynowych, Varsovia, PWT, 1953

Tabla 10 - Valores de los coeficientes parciales de [n].

n1 : coeficiente por propiedades del material Caso n1 Material laminado, forjado o trefilado 1,1 Fundiciones ejecutadas muy cuidadosamente: fundición centrifugada o bajo presión

1,15

Fundiciones ejecutadas cuidadosamente y soldaduras fuertes

1,2

Fundiciones y soldaduras corrientes 1,25 Fundiciones burdas para aplicaciones de importancia secundaria

1.3

n2: coeficiente por rigurosidad en el control de las piezas Caso n2 Control riguroso de cada pieza por métodos directos

1,0

Control riguroso de cada pieza por métodos indirectos

1,05

Control menos riguroso de cada pieza o control estadístico de la muestra de piezas

1,1

Control de forma irregular 1,15 Falta de control 1,2

n3: coeficiente por responsabilidad de la pieza Caso n3 La rotura de la pieza no provoca la detención de la máquina

1,0 - 1,1

La rotura de la pieza produce la detención breve de la máquina

1,1 - 1,2

La rotura de la pieza puede dañar la máquina 1,2 - 1,3 n4: coeficiente por inexactitudes en las dimensiones

Caso n4 Maquinado cuidadoso 1,01 -

1,02 Maquinado corriente 1,02 -

1,04 Maquinado basto 1,04 -

1,07 Superficie sin maquinado 1,07 -

1,1 n5: coeficiente sobre la base de experiencia del diseñador

Caso n5 Todas las sobrecargas han sido incluidas y son empleadas fórmulas exactas

1,0

No son incluidas todas las sobrecargas y/o las fórmulas empleadas no son exactas

Hasta 1,3


15

Fig. 6 - Radio teórico ρm en la línea de esfuerzo.

Fig. 7 – Coeficientes de forma αK para barras planas y cilíndricas sometidas a FLEXIÓN. . A la izquierda con un cambio de

sección y a la derecha con una entalladura. .


16

Fig. 8 - – Coeficientes de forma αK para barras cilíndricas sometidas a TORSIÓN. A la izquierda con un cambio de sección y a la

derecha con una entalladura.

Fig. 9 - Coeficientes de forma αK para sección de árbol circular macizo con un chavetero (TORSIÓN).


17

Fig. 10 - Coeficientes de forma αK para un cilindro circular sometido a FLEXIÓN con un casquillo montado a presión.

Fig. 11 - Coeficientes de concentración de la carga por forma de la entalladura (Kσk, Kτk) en función del coeficiente de forma, el

tratamiento térmico y del esfuerzo límite a fatiga a la flexión alternativa.


18

Fig. 12 - Coeficientes de concentración de la carga por estado de la superficie Kσs, Kτs, en función del esfuerzo límite de rotura y

el estado de la superficie: 0- Pulida (Ra = 0,63- 0,02μm), a- Esmerilada (Ra = 0,63 – 0,02μm), b- Torneado cuidadoso (Ra = 1,25 – 0,63μm), c- Torneado de desbaste (Ra = 5 – 1,25μm), e- Laminado (Ra = 10 – 80μm), f- Corroída por agua dulce, g- Corroída por agua salada.


19

Fig. 13 - Coeficiente de tamaño 1/ε en función del esfuerzo límite del material a la fatiga por flexión alternativa, el coeficiente de

forma y las dimensiones de la sección.

Fig. 14 - Coeficientes de forma αK para un cilindro circular con un agujero transversal. A la izquierda con carga de TRACCIÓN y

COMPRENSIÓN y a la derecha con FLEXIÓN.


20

Fig. 15 - Coeficientes de forma αK para barras cilíndricas con uno o dos agujeros (FLEXIÓN EN EL PLANO DEL AGUJERO).


21

Fig. 16 - Coeficientes de forma αK para barra circular hueca con cambio de forma sometido a FLEXIÓN.


22

Fig. 17 - Coeficientes de forma αK para barra circular hueca con cambio de forma sometido a TORSIÓN.

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