Calculo de Limite de Funciones

Limites de funciones

Algebraicas

Propiedades de las funciones

1.-si “c” es una constante, el limite de “c” cuando “x” tiende a “a”, es igual a “c”.

Ejemplo:

2.- el limite de “x” cuando “x” tiende a “a”, es igual a “a”.

Ejemplo:

Lim c = cX 2

Lim 5 = 5

X2

Lim x = aX a

Lim x = 3

X3

Demostración

Propiedades

3.- si “c” es una constante y “f” es una función, el limite del producto constante por función cuando “x” tiende a “a”, es igual al producto de la constante por el limite de la función.

Lim c f(x) = c Lim f(x)X a X a

Lim 4x = 4 Lim x = (4)(2) = 8

X2 X2

Demostración

4.-si “f” y “g” son funciones, el limite de un producto de funciones cuando “x” tiende a “a”, es igual al producto de los limites de las funciones.

Lim f(x) g(x) = Lim f(x) Lim g(x)X a X a x a

Propiedades

Demostración

5.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de una suma o diferencia cuando “x” a “a”, es igual a la suma o diferencia de los limites de las funciones.

Lim [ f(x) ± g (x) = Lim f(x) ± Lim g (x)] xa xaEJEMPLO:

Lim (3x²+2x) = Lim 3x² + Lim 2x x5 x5 x5 =3 Lim x²+ 2 Lim x= 3(5)²+ 2(5) = 75+10=85

Propiedades

Demostración

6.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los limites de las funciones;siempre y cuando el limite de la función del denominador se diferente de cero.

Propiedades

Lim f(x) = xa g(x) Lim g(x)

Lim f(x)

Xa

Sí Lim g(x) ≠ 0Xa

Demostración

Casos del calculo de limites de funciones

Caso I.- Si la función dada, esta totalmente simplificada, se sustituye directamente el valor a que tiende la variable independiente en la función, dando lugar al limite buscado.

EJEMPLOS:

1. Calcular el limite de la función y = x +2x-1 cuando x2

Lim f(x) = Lim (x + 2x -1)= (2) +2(2) -1 =4+4-1= 7.

2. Calcular el limite de la función y = cuando x1/2

X + 5x4x - 6

3

Demostración

FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0/0)

Al calcular el cociente se observa que:a).- si el numerador y el denominador tienen el limite distinto de cero, el limite del

cociente es igual al cociente de los limites (propiedad 6).

b).- si el limite del numerador es cero y el denominador es diferente de cero , el limite del cociente es igual a cero.

C).- si el limite del numerador es diferente de cero y el denominador es cero, el cociente no tiene limite y se establece que tiende a mas o menos infinito, según el caso.

D) si los limites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se tiene la forma (0/0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor numérico que se ponga como cociente cumple con la condición de que multiplicado por el divisor da lugar al dividendo.

Ir a propiedad 6

Caso II

A veces es necesario simplificar la expresión dada antes de sustituir el valor de la variable, si no se hace da la forma indeterminada (0/0).

Se factoriza el numerados y el denominador de ser necesario.

Ejemplos:

y = x + x – 6 cuando x2x -4

2

2 Lim = x + x – 6 cuando x2x -4

2

2

= Lim (x+3) (x+2) = Lim x+3 x+3= 2+3 = 5

X 2 (x+2)(x-2) X 2 x+2 2+2 4

Mas ejemplos

Caso III

Para calcular el limite de una función dada, es necesario simplificar mediante la racionalización del numerador o del denominador, antes de sustituir el valor de la variable independiente, de no hacerlo se dará la forma (0/0).

Ejemplo:

Calcular el limite de f(x) cuando x 0x

X + 1 -1

Mas ejemplos

Infinito en limites Lim f(x) = ∞

Xa

Positivo Negativo

Lim f(x) = ∞Xa

Lim f(x) = -∞Xa

Lim f x² = ∞X0

1Lim f ‾ x² = - ∞X0

1

Lim f c = ∞X0 x

Lim f x = 0X0 c

Lim f cx = 0X0

Lim f c = 0X∞ x

Lim f x = ∞X∞ c

Lim f cx = ∞X∞

Se establece:

0 = ∞c

c = 00

∞ = 0c

c = ∞∞

C(0) = 0

C(∞) = ∞

Lim f(x) = AX∞

Indeterminadas del tipo ∞

Sí el numerador y el denominador son iguales a ∞:

Se elimina dividiendo ambos entre la variable de máxima potencia.

Ejemplo:

Limite de la función y = 49x³-5x²+6

∞

7x-3x²+9x³

Solucionar

Caso IV

Cuando se desea obtener el cociente de polinomios y si la variable independiente tiende al infinito, en este caso es necesario dividir el numerador y el denominador por la variable de mayor exponente, antes de sustituir el valor al que tiende la variable.

EJEMPLO: 1.-Calcular el Lim 2- 5x² Y

4x + 8x²X∞

Lim 3t +2xt²+x²t³4-3xt-2x³t³T∞

Solucionar

Limites de funciones

Trascendentales

Teorema

Si “c” es un numero real en el dominio de una función trigonométrica indicada, se cumple las siguientes propiedades.

Lim sen (x) = sen (c)X c

Lim cos (x) = cos (c)X c

Lim tan (x) = tan (c)X c Demostración

Propiedad de SENO

Ejemplos:

Observe que en este caso el argumento es, por lo que en el denominador se necesita también la expresión , de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento:

Lim senx = 1X 0 x

Lim sen 3xX 0 x

sen 3x

X 0

= Lim 3 3x

sen 3x

X 0

= 3 Lim 3x

= 3 * 1 = 3

Demostración

Limite de funciones circulares trigonométricas inversas

Limites Trascendentales Inversos

Son los limites con funciones trigonométricas inversas:

Teorema: si “c” es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades…

Lim cot (x) = cot (c)X c

Lim sec (x) = sec (c)X c

Lim csc (x) = csc (c)X c

Demostración

Recuerda las siguientes identidades trigonométricas

En muchas veces para resolver los limites trigonométricos tendremos que utilizar el simplificado de términos, formulas de ángulos dobles, medio ángulo, suma y resta de ángulos.

1) tan (x) = sen (x) cos (x)

2) cot (x) = cos (x)

sen (x)

3) csc (x) = 1

sen (x)

4) sec (x) = 1

cos (x)

2) sen² (x) + cos² (x) = 1

;o; cot (x) =1

tan (x)

Limites de funciones exponenciales y algorítmicas

La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece a demás en muchas ecuaciones de la física. Se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función es igual al valor de la propia función. A demás es la inversa del logaritmo natural, esta función se denota equivalentemente como:

X е ó x exp(x).

Donde “е” es la base de los logaritmos naturales.

En términos generales una función real f(x) es de tipo exponencial si tiene la forma:

f(x) = K * a

siendo a, “a”, K Є R números reales.

x

Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama función exponencial la función definida sobre los reales por x ℮ .

La exponencial es la única función que es igual a su derivada.

x

Relación adición-multiplicación

℮ = ℮ * ℮a+b a b

℮ =-a1℮a

℮ =a-b

℮b

a℮

Sus limites son: Lim ℮ = 0X -∞

x

Lim ℮ = ∞X +∞

x

Inversa del logaritmo: y = exp x

X = ln y (y > 0)

Demostración

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación:

Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler:

℮ = cos t + i * sen ti*t

℮ = ℮ * (cos b + i sen b)a+bi a

Demostración

Fin

Demostración

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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6.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los limites de las funciones;siempre y cuando el limite de la función del denominador se diferente de cero.

Propiedades

Lim f(x) = xa g(x) Lim g(x)

Lim f(x)

Xa

Sí Lim g(x) ≠ 0Xa

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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Demostración

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X + 5x4x - 6

3

1.-

2.- X + 2x - 3X + 1

Y= Cuando x ½

Y= Cuando x 1