RIEPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELIA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

FACULTAD DE IINGENIERIA DIVTSION DE POSTGRADO

CALCULO DE PETROLEO EN SITIO Y ESTIMACION DE RESERVA POR METODOS PROBABILISTICOS

USANDO TECNICAS DE MUESTRE0 MONTE CARLO E HHPERCUBO LATINO

ING. GILRERTO R. MENDIETA G C.I. fK2.273.962

F ' -1 'TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR AL TITULO DE MAGISTER :SCIENTIARUM EN INGENIERIA DE PETROLEO

DEDICATORIA

Dad gracias en todo, porque esta es la voluntad de Dios para con vosotros en Cristo Jesús.

1 T"s.5: 18

Asi que ofrezcamos siempre a Dios, por medio de (51: sacrificios de alabanza, es decir, fmto de labios que confiesan su nombre.

Hel~. 13: 15

A Dios, por bendecirme y darme la oportunitfad de vivir e ilimunarme con el espíritu de inteligencia y sabiduría.

A mi Padre, por ayudarme desde lo alto. guiándome por el camino del bien.

A mi Madre, por haberme brindado todo el apoyo, .Amor y confianza en la realización de rnis esfuerzos.

A mi Hermana, por su apoyo que ha sido participe de este logro.

A mis Amigos, por estar presente cuando los necesiro.

Al Ingeniero Francisco Guevara B., por su ayuda con este trabajo de Investigación.

A todos mil Gracias.

Gilberto R. Mendieta G.

RESUMEN

El presente trabajo de investigación tiene por objetivo mostrar las técnicas de inuestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino, en el Calculo de Petróleo en Sitio y Estiinación de Reservas por inétodos probabilísticas, este estudic se hizo sobre la base de iin yacimiento hipotético.

Se calculo el Petróleo en Sitio (POES), por el inétodo vol~unétnco, seleccionaiido iina probabilidad del 50%, resultando para el inuestreo de Monte Carlo un POES de 65736240 Bls. y para el intlestreo H perCubo Latino un POES de 65062000 Bls.

Se liizo el calculo de Reservas, utilizando iin factor de recobro del yacimiento de 200/ó, dando corno resiiltado que las reservas por inuestreo Monte Carlo fiieron de 13147248 Rls. y por iniiestreo Hipercubo Latino fiieron de 1301 2400 Bls.

Se detennino que al usar el niuestreo Hipercubo Latino se utiliza irn ineiior numero de muestras (600 muestras), para determinar las características esenciales de la población, que al usar el miiestreo Monte Carlo (mayor de 1 O00 muestras).

INDICE GENERAL

Pág . ............................................................................................... Lista de Tablas iv

............................................................................................... Lista de Figuras v

. . ............................................................................................... Nomenclatura VII

CAPITULO 1 . Introducción ............................................................................ 1

CAPITtJLO 11 . Revisión de Literatura ......................................................... 3

CAPITULO 111 . Marco Teórico ..................................................................... 7 3.1 .Conceptos Básicos de Estadística ........................................................ 7

3.1 . 1 Distribiiciones de Probabilidad de Variables Aleíitorias Cont iniias ........................................................................................ 9

3.1 . 2 Muestreo Aleatorio ........................................................................ 17 3.2 Métodos para la Estimación de Reservas .............................................. 26

3.2.1 Método Voliimétrico ................................................................... 26 3.2.2 Curva de Declinación de Producción ............................................ 30

....................................................................... CAPITULO IV . Metodología 36 9 4.1 Aplicación Probabilística del Método Voliiinétrico .............................. 37

4.1 . 1 Descripción de la Aplicación Probabilística del hlétodo Volumétrico ................................................................................... -38

4.1.2.Función de Distribución Acumulada .............................................. 40 ..... 4.2 Aplicación Probabilística de la Curva de Declinacióri Exponencia1 41

4.2.1 Descripción de la Aplicación Probabilística de la Curva de Declinacióii Exponencial .............................................................. 42

CAPITULO V . Aplicación de la Metodología ............................................ 44 5.1 Aplicación Probabilística del Método Voluinétrico .............................. 45

5.1.1 Generación de las Distribuciones Betas ........................................ 35 5.1.2 Fonnas de Miiestreo ....................................................................... 53

. ................................................................... 5.1 3 Frecuencia Acumulada 55 .............................................. 5.1.4 Estunación de Reservas de Petróleo 56

.............................. 5.1.4.1 Mecanismo de Prodiicción del Yacimiento 57

5.1.4.2 Estimación de Reservas de Petróleo Recuper:ibles ................. 57 ..... 5.2 Aplicación Probabilística de la Ciirva de Declinación Exponenc.id 58

5.2.1 Generación de la Distribución Beta .............................................. 58 5.2.2 Muestre0 Simple ............................................................................ 62 5.2.3 Comportamiento de la Constante de Declinación E;xponencial (D)

Versus Producción Aciimulada de Petróleo (NP) y Frecuencia Aciuniilada versus Producción Aciimiilada de Petróleo ................ 65

. ........................................................ CAPITULO VI Análisis y Resultados 68 6.1 Análisis sobre la Aplicación Probabilística del Método Voliimétnco .... 69 6.2 Aiiálisis sobre la Aplicacióri Probabilística de la Curva (le Declinación

Exponencial .......................................................................................... 80

. CAPITULO VI1 Conclusiones y Recomendaciones .................................. 83

ANEXOS

BIBLIOGRAFIA

LISTA DE TABLAS

CAPITULO V. APLICACIÓN DE LA METODOLOGI~~

Tabla 5.1. Factores de pesos y raíces del polinomio Gaiiss - LJagierre. Tabla 5.2. Función de Distribución Beta para el Area del yacimiento. Tabla 5.3. Valores de los parámetros necesarios para estimar el POES. Tabla 5.4. Valores de las inodas normalizadas, desviación estándar

normalizadas y varianzas normalizadas . Tabla 5.5. Valores de S, R y S-R para calcular la función Gaina. Tabla 5.6. Valores de las funciones Gama para los diferentes parámetros. Tabla 5.7. Función de Distribución Beta para la Declinación Exponencial del

pozo o yacimiento.

CAPITULO VI. ANÁLISIS Y RESULTADOS

Tabla 6.8. Valores de los parámetros estadísticos usados en el cálculo de POES

LISTA DE FIGURAS

CAPITULO 111. MARCO TEORICO

Figura 3.1 Figura 3.2

Figura 3.3. Figura 3.4. Figura 3.5. Figura 3.6. Figura 3.7.

Figiira 3.8. Figira 3.9.

Figura 3.1 1 Figura 3.12

Probabilidad ilustrada como el área bajo la curva de densidad Distribirción aciimiilativa ilustrada como un área bajo la ciirva de densidad Distribución Normal o Gausiana Distribución Uniforme Distribución Gama a diferentes valores de a y P Distribución Beta a diferentes valores de a y P Selección de una muestra dentro de una firncióri de probal~ilidad Beta Muestreo en una frecuencia acumulada Ejemplos de cómo se selecciona una o varias muestras usando iin inuestreo Monte Carlo

Ejemplos de cómo se selecciona una o varias muestras usando muestreo Hipercubo Latino

Tamaño mínimo de la muestra Factores de recobro para diferentes inecanismos de empuje en un yacimiento

CAPITULO IV. METODOLOGIA

Figura 4.13. Diagrama de flujo para construir una función de distribuc:ión acumulada de POES - Método Volumétrico

Figura 4.15. Valores de POES a diferentes probabilidades eri una función distribiición acumulada

Figura 4.15. Diagrama de flujo para construir una fiinción de distribiición acumulada de POES - Declinación Exponencial

CAPITULO V. APLICACIÓN DE LA METODOLOGIA

Figrira 5.16. Función de Distribución Beta para el Area del yacimiento Figira 5.1 7. Función de Distn bución Beta para el Espesor de la formación Figura 5.18. Función de Distribución Beta para la Porosidad de la formación Figiira 5.19. Función de Distribiición Beta para la Saturación de Agua Lnicial Figura 5.20. Función de Distribiición Beta para el Factor Volumétrico de Petróleo

Figura 5.2 1 . Frecuencia acimiiilada de POES usando miiestreo Monte Carlo e Hiperciibo Latino

Figura 5.22. Función de Distribiición Beta para la Declinacióii exponencial del pozo o yaciiniento

Figura 5.23. Declinación exponencial del pozo o yacimiento a ima constante de declinación

Figura 5.24. Coinportamiento de la constante de declinación exponencial versus prodiicción acwnulada de petróleo

Figura 5.25. Frecuencia acii~nulada versus producción acumulada de pr:tróleo

Figiira 6.26.

Figura 6.27

Figura 6.28.

Figiira 6.29.

Figura 6.30.

Figura 6.3 1 .

Figiira 6.32.

Figiira 6.34.

Figura 6.36.

Figura 6.37.

Figira 6.3 8. Figura 6.39.

Figura 6.40.

Promedio de las muestras para el Area del yacii~iiento usando muestre0 Monte Carlo e Hipercubo Latino Promedio de las muestras para el Espesor de la formación usando inuestreo Monte Carlo e Hiperciibo Latino

Promedio de las muestras para la Porosidad de la formacibn usando muestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino

Promedio de las iniiestras para la Saturación de Agua Inicial usando muestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino

Promedio de las muestras para el Factor Voliiméttico de Petróleo usando miiestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino Desviación estándar de las muestras para el Area del yacimiento usando muestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino Desviación estándar de las muestras para el Espesor de la formación usando miiestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino Desviación estándar de las muestras para la Porosidad de la formación iisando muestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino Desviación estándar de las muestras para la Saturación dr: Agua Tnicial usando muestreo Monte Carlo e Hiperciibo Latino Desviación estándar de las muestras para el Factor Voliiniétrico de Petróleo usando muestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino Promedio de las muestras para el POES iisando muestreo Monte Carlo e Hiperciibo Latino versus el numero de inuestras Desviación estándar de las muestras para el POES usando muestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino versus el numero de milestras

POES a diferentes casos de incertidumbre Rango de variación de la posible declinación exponencial del pozo o yacimiento

Estimación de petróleo recuperable a diferentes casos de incertidiunbre

NOMENCLATURA

R(I) SU) XMIN(1) XMAX(1) SEED(1) AREA H o SW BOI POES Qo Qab Q NP D

Función Beta paráinetro para la variable 1 Función Beta parátnetro para la variable 1 Valor mínimo de la variable 1 Valor máxitno de la variable 1 Semilla para la variable T Area, Acres Espesor, Ft Porosidad, Fracción Saturación de Agua Inicial, Fracción Factor Voliunétnco de Petróleo, Fracción Petróleo Original En Sitio Tasa de produccióii de petróleo actual, Bls Tasa de abandono, Bls Futiira tasa de producción de petróleo, BIS Prodiicción acuinulada de petróleo, (Bls/Dia)l(l /Año) Constante de declinación exponencial, Año -'

LISTA DE ANEXOS

ANEXO 1 . Función Gaina. ANEXO 2. Calculo de Petróleo Original En Sitio (POES) usando muestre0

Monte Carlo e Hiperciibo Latino. ANEXO 3. Archivos de ingreso y salida para el programa del calciilo de

POES. ANEXO 4. Estimación de la tasa de producción de peiróleo utilizando la

ciirva de declinación exponencial. ANEXO S. Arcliivos de ingreso y salida para el programa de declinación

exponencial.

CAPITULO 1

INTRODUCCI~N

INTRODUCCION

Un reservorio de petróleo es el producto final de muchos procesos comple.jos (por ejemplo, sedimentación, erosión, coinpactación, díagénesis) que hati ociirrido sobre inillones de años. Aunque mucho de las propiedades básicas del reservorio no cambian apreciablemente con el tiempo, el conocimiento de iin reservorio es limitado. Información acerca dí: algunas propiedades es parcialmente conocida en la localización del pozo, esto representa una pequeña fracción del reservorio. Aiin algunas propiedades medidas de la data del pozo no son estrictamente deterministica a causa de la incertidumbre en los métodos de interpretación, la espacial variabilidad de inuchos paráinetros es inferido por métodos de mapeo de áreas entre pozos. Ambos métodos deterministicos y estocásticos son usados.

Sabiendo que la información de iin reservorio es limitada, la estimación de reservas de petróleo, es una de las fases de trabajo de mayor iniportancia de un ingeniero de petróleo, por cuanto debe hacer una coinparación entre el costo de inversión estimado en términos de dólares y la cuantificación del volumen de reservas en términos de bamles de petróleo.

Muchos artículos lian sido publicados con respecto a la estimación de reservas de petróleo, algunos por métodos deterministicos y otros por métodos probabilisticos. Cada método presenta sil ventaja, pero en este trabajo se presentara una metodología que permita calcular el petróleo en sitio y estimar reservas de petróleo recuperable por métodos probabilísticos usando técnicas de iniiestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino.

En la estimación de reservas se estudiaran los casos del método volilmétrico y curva de declinación exponencial, donde se utilizaran programas en FORTRAN, que permitan seleccionar una o varias inuestras en forma aleatotia dentro de tina fiincióri de distribución de probabilidad y poder

calcular el petróleo original en sitio y la tasa de produccii~n de petróleo para una declinación exponencial.

También se harán inferencias sobre las muestras seleccionadas para conocer ciertas características de la población entre ellas Pa tendencia central de las muestras y el tamaño mínimo de inuestreo.

CAPITULO 11

REVISIÓN DE LITERATURA

REVISIÓN DE LA LITERATURA

El propósito de Iiacer esta revisión de literatura es el de obtener información detallada sobre el tenia (estimación de reservas de petróleo por inétodos probabilisticos) que se Iia Iieclio, qiie inétodos se han aproxiiiiado al problema, que resultados se han obtenido, etc. En el ánibito nacional e internacional qiie nos ayudaran a comprender rnejor el problema de investigación planteada acerca del terna en si, A continuación se pn:sentan algunos coinentarios de trabajos relacionados con el tema.

La estimación de reservas de petróleo puetle ser basada principalrnente en ima Estiinación Inicial Volumétrica, método de Halance de Materiales y análisis de Curvas de Declinación de Producci(jn, f~le presentado por Garb (1985). Método detenninistico son siificier~tes en miichos casos particularmente cuando existen extensos dates de pozos en el yacimiento, piiede ser necesario en algunas situaciones inanejar volúinenes mas apropiadamente por aplicación del método probabilistico los cuales liacen liso de todos los datos disponibles, incliiyendo sísmica, la cual da una apreciación asociada incierta y exacta con el voluinen estimado.

Walstrom y colaboradores (1967) reconocieron la falta de acierto en el ingreso de los parárnetros de ciertos cálculos, situaciones que " Un pi-oblema qiie envuelve ingreso de variables indeterminadas no tienen uiia sola solución deterministica, presentar una simple solución a tal problema es incorrecto". Walstrom usa el método Monte Carlo para hacer i111 muecstreo de la distribución de probabilidad de las variables de ingreso. Los valores de cada variable aleatoria independiente son sustituidos en la expresitm a ser evaluada, y el valor de la variable dependiente es calculado. Posteriores valores de las variables dependientes son obtenidos por repetición del proceso. Finalmente, una fi~ncióri de distribución probabilística de las

variables dependientes es obtenida de la cual puede ser una evaluzción de incertidumbre derivada.

Un procediiniento similar fiie aplicado por Smitli (1968) y Belirenbnich y colaboradores (1 985) para calcular hidrocarburos en vI liigar. Belirenbrucli y colaboradores proceden a incorporar trampas, arena neta y saturación de petróleo presente. El procedimiento de Sinith permite la incorporación de una más real distribiición del espesor de voliimen de roca.

Davidson y Cooper (1979) presentaron diferentes métodos para calciilar petróleo en sitio o potencial recuperación de reseivas de hidrocarburos. Sil método usa la inedia y la varianza de los pai-áinetros (porosidad, saturación de agia, etc.) los cuales fiieron combinados usando reglas estadísticas para dar las mediciones de la inedia y la varianza del petróleo en el lugar. Por asunción el tipo de probabilidad de la fi~ncióii densidad de la reserva es log-nomal, iin estimado del intervalo de confidencia del petróleo en el lugar es obtenido. Este método e:; fácil y rápido para usar; sin embargo, reglas estadísticas para combinar la media y la varianza de los parámetros de ingreso, y la asunción de iin cierto tipo de probabilidad de la fiinción densidad, representa una significantv fiiente potencial de error. Esta aproxiinación es conocidii. como método parametrico.

Smitli y colaboradores (1993) describen la estadística del método parametrico y su aplicación para reservorios a escala de campo, Foríh field, en el mar del Norte. Singleton (1995) usa el método parametrico para cuantificar la incertidumbre de la producción para los campos del inar del Norte.

Simulación MonteCarlo y el método parametrico íiieron coinparadas por Sinith y Buckee (1985) para investigar la fuente de error de ambos métodos. Ellos concluyeron cliie los errores respectivos pueden ser ~.educidos y propone iina niieva aproximación para la estimación de reservas que combine la fuerza de ambos en iin flexible y general algoritmo.

La eficiencia coinpiitacional en los procesos de calculo, hace posible una mejora en la técnica de simiilación estadística ( mejora comparada a la simulación Monte Carlo) presentada por MacDonald y Czimpbell (' 983). La

mejora de la técnica computacional es llamada muestreo ITiperctibo Latino y fiie reportada por primera vez por McKay (1 979)

El gran numero de iniiestras requeridas por el método Moiite Carlo representa una serie limitación para su aplicabilidad. Star:zmaii y colaboradores (1985) y Ding y colaboradores (1989) sugieren el uso de un método de reducción de varianza, el muestro Hipercubo Latino, reduce el numero de muestreo reqiierido para evaluar la incertidiiinbre, como una alternativa al método Monte Carlo.

La mayoría de los autores citados hasta ahora aplican métodos parainetricos y estadístico para direccionar el problema de la predicción del voluinen de hidrocarburos con incertidumbre. Solamente Belire?bnicli g colaboradores (1 985) direccionan el problema de naturaleza estadística del modelo geoinétrico.

Bertieg y colaboradores (1 988) presentan una geología basada en un modelo estocástico para calcular volu~nen poroso de hidrocarburos y su distribución. Basados en la teoría de variables regionales (Distribución de variables en el espacio), estadística Bayesiana y técnica de reemplazo. Basada en la definición del modelo estocástico y la disponibilidad de los pozos observados ( los cuales todas las variables son conocidaqs), varias realizaciones de posibles reservorios son generadas. Cada realización tiene diferentes propiedades de roca y diferente volumen poroso de Iiidi-ocarburo (HCPV) con la cual es generada la función de distribución, para ser empleada como una lierramienta para decisión de mercadeo.

Ciiantificar la incertidiiinbre en HCPV es una importante dec.isión, sin embargo, una mayor importancia en la meta final es el calciilo del factor de recuperación y el ultimo pronostico de producción versus treinpo.

Haldorsen y Damsletli ( 1990) presentaron una simple aproxiinación para determinar la incertidumbre en el comportamiento del rc:servorio. Basada en la estiinación inicial de los liidrocarb~u-os en sitio (Sinitli y

Buckee, 1985; Berteig y colaboradores 1988), Ellos corren iin n-iinero dé simulaciones de flujo 3D en el cual uno de los parámetros a iin tiempo fiie alterado. El simulador es así corrido para el caso promedio, iin caso optimista, y un caso pesimista para cada paráinetro o modelo estudiado. Tres factor-es de recuperación son disponibles. Asumiendo un cierto tipo de

filnción probabilística de distribución de densidad, resultando la distribilción acumulada del factor de recobro donde cada parámet-t-o genera una incertidumbre. Después de varias distribuciones acuinuladas son combinadas por iniiestreo de ciirvas repetidamente para obtener, por niiiltiplicac.ión de cada paráinetro (asumidas independientemente), una total distribución del factor de recobro de HCPV (Stnitli y B~ickee, 1985; Berteig y colaboi-adores 1988) y la total distribución de factor de recobro es multiplicada para dar la incertidtimbre en el total de reservas reciiperable.

CAPITULO 111

MARCO TEORICO

MARCO TEORICO

En este capitulo presentaremos algunos conceptos básicos de estadística que nos permitan hacer inferencias sobre un determinado numero de muestras, así coino conceptos sobre estimacióri de resenas de petróleo.

Existen dos medidas de interés para cualquier conjurito de datos: La tendencia central ( localización de su centro) y su variabilidad (dispersión de los datos).

TENDENCIA CENTRAL DE UN CONJUNTO DE DATOS

Es la disposición de estos para agruparse ya sea alrededor del centro o de ciertos valores nuinkricos.

Existen principalmente tres medidas de tendencia central: Media, Mediana y Moda.

MEDIA : Si xi, x2, ........., xn representan una muestra aleatoiia de tainaño n, entonces la inedia inuestral ( ) se define por el estadístico:

MEDIANA : Si X I , x2, ........., xn representan una muestra aleatoria de tamaiio n, la mediana es el valor para el cual, cuando todas las observaciones se ordenan de manera creciente, la mitad de estas es inenor que este valor y la otra mitad inayor.

-- Marco Teo-

Si el numero de observacioiies en el conjunto es impar? la mediana es el valor de la observación que se encuentra a la mitad del conjiinto ordenado. Si el numero es par se considera la mediana como el promí:dio aritmético de los valores de las dos observaciones que se encuentran a la mitad del conjunto ordenado.

MODA : Si xi, x2, ........., s n representan una muestra aleatoria de tamaño n, la inoda es aquel valor que ocurre con la ffecuencia inas grande, esto es, aquel con el valor mas común. La inoda puede no existir y aun de existir puede no ser (mica.

VARIABILIDAD DE UN C'ONJüNTO DE DATOS

Es la dispersión de la5 obsen7aciones en el conjunto, y una de: las medidas mas útiles de dispersión o variación es la varianza.

VARIANZA : Si xi, x2, . . . . . ., xn representan una muestra aleatoriii de tamaño n y X es la media, entonces la varianza muestral (s2) se define por el estadístico:

Desarrollando la ecuación anterior se obtiene la expresión sisuiente.

DESVIACION ESTANDAR: La desviación estándar ~n~iestral, representada por "S", es la raíz cuadrada positiva de la var-ianza muestral (s2) y se obtiene de la forma siguiente:

3.1.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE \'ARIABI,ES ALEATORIAS CONTINLJAS

Se lian definido dos filnciones de distribución de probabilidad para las variables aleatorias continuas, filnción de densidad de probabilidad y fi~nción de distribución acumulat iva

FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

La distribución de probabilidad de ima variable aleatoria continua "X" esta caracterizada por una función f(x) que recibe el nombre de filnción de densidad de probabilidad (Canavos, 1988). Como existe la probabilidad de que X tome el valor especifico x es cero, la filncióii de densidad de probabilidad no representa la probabilidad de que X = x. Mas bien, esta proporciona un medio para determinar la probabilidaci de que el valor de ~m intervalo a 5 X _< b.

Tal que

Un ejemplo de esta distribución es presentado en la figura siguiente.

l

I a b x Figura 3.1. Probabilidad ilustrada como el área bajo la curva de densidad.

9

M m o 7 et im

FUNClON DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA

La fimción de distibiición acumulativa (Canavos, 1988) de una variable aleatoria continua "X" es la probabilidad de que X tome un kalor menor o igual a algún x especifico. Esto es,

Donde t es una variable artificial de integración, dado que para cualquier variable aleatoria continua X,

P ( X = x) = ~t.f (t)dt = O

Entonces

La distribución aciunulativa F(x), es una función continua no decreciente de los valores de la variable aleatoria con las sig~icmtes propiedades.

1) F(-m) = O 2) F( m) = 1 3) P( a < X < b ) = F(b) - F(a) 4) dF(x) / dx = f (x)

Un ejemplo de esta distnbución es presentado en la figura siguiente.

Figura 3.2. La distribución acumulativa ilustrada como iin área bajo la curva de densidad. 1 0

Algunas de las distribuciones de probabilidad mas usadas son: Distribución Normal, Distribución Uniforme, Distribución Gama y Distribución Beta. A continuación describiremos cada uno de ellas.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución Normal o Gausiana, (Canavos, 1988)l es indudablemente una de las mas importantes y de mayor uso en todas las distribuciones continuas de probabilidad. Puesto que las distribiicionc:~ de muchas estadística muéstrales tienden hacia la distribución Normal conforme crece el tamaño de la muestra. La apariencia grafica (le la distribución Normal es una curva simétrica en forma de campana, que se extiende sin limite tanto en la dirección positiva coino la negativa.

Se dice que una variable aleatoria "x" se encuentra normalmente distribuida si su función de densidad de probabilidad esta dada por:

Donde :

p = media - m < p < o ' > x = Valor aleatorio, - m < x < m o = desviación estándar o > O

Un ejemplo de esta distribución es presentado en la figura siguiente.

x Figura 3.3. Distribución Normal o Gausiana

DISTRIBUCION UNIFORME

La distribución Uniforme, (Canavos, 1988) ocurre cuando un evento de una variable aleatoria toma valores de intervalo finito, de manera que estos se encuentran distribuidos igualmente sobre el intervalo. Esto es, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cada subintervalo de igual longihid es la misma. Se dice entonces que la variable aleatoria se encuentra distribuida iiniformerente sobre el intervalo.

Se dice que una variable aleatoria "x" esta distribuida uniformemente sobre el intervalo (a,b) si su forma de densidad de probabilidad esta dada por:

f ' (x; a, h ) = O para cualquier otro valor 1 Un ejemplo de esta distribución es presentado en la figura siguiente.

X

Figura 3.4. Distribución Uniforme

Otra distribución de gran uso es la distribución Gama, (Canavos, 1988). Se dice que la variable aleatoria "x" tiene una distribución Gama, si su filnción de densidad de probabiliclad esta cada por la siguiente relación:

f ( x , a, 8) = O para cualqier otro valor i C

Donde : x = Variable aleatoria, x > O a = Factor de forina de la función Gaina, a > O 8 = Factor de escala de la filnción Gaina, 8 > O

r (n) = función Gama del argumento n

Un ejemplo de esta distribución es presentado en la figura siguiente.

Figura 3.5. Distribución Gaina a diferentes valores de a y P 13

Marco lecir-

Se dice que una variable aleatoria "x" posee una distribución Beta (Canavos, 1988) si la fiinción de densidad de probabilidad esta dada por la siguiente relación:

. f '(x,a,P) = { O para czta/quier otro vdor

Donde :

x = Variable aleatotia, O < x < l a, p = Parámetros de perfil de la distribución beta, a, P > O

Un ejeinplo de esta distribución es presentado en la figura sipiente.

Figura 3.6. Distribución Beta a diferentes valores de a y f3

Marco T e o m

La función Beta es controlada para cuatro paráinetros: v;ilor máximo, valor mínimo, moda y varianza.

La expresión para la función de distribución Beta (Rinarnan y colaboradores, 1 996) es

Donde

X* = (X - Xmin) 1 (Xrnax - Xmin), O< X* < 1

R, S = Paráinetros de distribución, R,S > '

r(R), T(S) y T(S-R) = Son las funciones Gana para los valores R, S y. S-R . respectivamente.

La moda y la varianza pueden ser relacionadas con los parámetros R y S usando las expresiones siguientes:

R(S- K ) varianza = m

La funciones Gama son calculadas usando formula cuadrática de Gauss-Laguen-e (Carnahan, 1969):

Donde wi son los factores de peso para la formula cuadrái-ica Gauss-Laguerre, zi son las raíces del polino~nio Laguerre, y n es el nuinero de puntos usados.

Para un parámetro dado, el procedimiento para determina1 el parámetro R y S requiere de la especificación de la varianza ( o d(: la desviación estándar) y de la moda. En orden para calcular la distribución de los parámetros, R es tomada de la expresión moda y siistituida e71 la expresión de la varianza. Para este paso, la siguiente ecuación cúl~ica puede ser obtenida:

m = moda normalizada y

u = varianza normalizada.

Si la distribución es simétrica, m es igual a 0.5 y el coeficiente de S y el termino independiente son cero. Luego desmollando la ecuación cúbica se tiene doble raíz cero y la tercera raíz es

Una vez calculado S, R puede ser calculada usando la expresiibn de moda o varianza.

Para distribuciones asimétricas, la ecuación cúbica daría tres raíces reales. Dos de estas raíces serán menores que uno y no serán tomadss en cuenta por que ambos parámetros deben ser mayores que uno.

Así, la tercera raíz mayor que uno será solamente la pclsible solución para S, de la cual R puede ser obtenida de la expresión de moda o varianza.

Marco Teor&

3.1.2. MUESTRA ALEATORLA

El aspecto mas importante de la estadística es la obtención de conclusiones basadas en los datos experimentales. Este proceso se conoce como inferencia estadística (Canavos, 2988).

Para comprender la naturaleza de la inferencia estadística, es necesario entender nociones de población y muestreo. La población es la colección de toda la posible información que caracteriza a un fenómeno. En este sentido, una población es cualquier colección ya sea de un numero finito de mediciones o una colección grande, virtua1mí:nte irifíriita, de datos acerca de algo de interés. Por otro lado, la muestra e:; un subconjunto representativo seleccionado de una población. La palabra "representativa" es la clave de esta idea. Una buena muestra es aquella que refleja las características esenciales de la población de la cual se obtuvo.

Si las inferencias de la muestra para la poblacibn han de ser validas, es importante obtener muestras representativas de la poblacibn.

Con mucha frecuencia se esta tentado a elegir una mu2stra seleccionando a los miembros mas convenientes de la población. Tal procedimiento puede conducir a inferencias erróneas respecto a la misma.

Cualquier procedimiento de muestreo que produce inferencie. que en fonna consistente sobreestiman o subestiman alguna característic;a de la población es un procedimiento sesgado. Para eliminar cualquier posibilidad de sesgo en el procedimiento muestral, 1:s conveniente seleccionar una muestra aleatoria en el sentido que las observaciories se realicen independientemente y al azar.

Una manera de obtener una buena muestra resulta cuando el proceso de muestreo proporciona, a cada objeto en la población, una oportunidad igual e independiente de ser incluida en la. muestra. Si la población consiste en N objetos y de estos se selecciona una muestra de tamaño n, el proceso de muestreo debe asegurar que cada muesixa de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser seleccionada. Este procedimiento conduce a lo que comúninente se corioce como una muestra aleatoria simple.

En este contexto, la palabra "aleatoria" sugiere una total imparcialidad en la selección de la muestra.

Las observaciones de las muestras aleatorias se usan para calciilar ciertas características de la muestra denominadas estadísticas. Las estadísticas se usan como base para hacer inferencias acerca de ciei-tas características de la población, que recibe el nombre de parámetros.

Así, muchas veces se analiza la infoimación que contiene ima muestra aleatoria con el propósito principal de hacer inferencias sobrc: la naturaleza de la población de la cual se obtuvo la muestra.

En estadística la inferencia es inductiva porque se proyecta de lo especifico (muestra) hacia lo general (población). En un procedimiento de esta naturaleza siempre existe la posibilidad de error. Nunca pcdrá obtenerse el 100% de seguridad sobre la proposición que se base eii la inferencia estadística.

En estadística la confiabilidad se mide en términos de probabilidad. En otras palabras. para cada inferencia estadística se identifica la probabilidad de que la inferencia sea correcta.

Los problemas estadísticos se caracterizan por los siguientes cuatro elementos.

])La población de interés y el procedimiento científico que se empleo para muestrear la población.

2) La muestra y el análisis matemático de su infoimación.

3) Las inferencias estadísticas que resultan del análisis de la muestra.

4) La probabilidad de que las inferencias sean correctas.

El enfoque precedente para las inferencias estadísticas descíuisa únicamente en la evidencia muestral. Este es denomina-do teoría del inuestreo.

METODO DE MUESTRE0

Los métodos de inuestreo puede efectuarse tanto en una función de distiibución de probabilidad coino en una función de frecuencia acumulativa, para un particular parámetro X considerado estadístico. A continuación de describe cada uno de ellos.

MIIJESTREO EN UNA FUNCION DE DISTRTBUCIOIV DE PROBABILIDAD

Para seleccionar una muestra en la superficie encerrada de una distribución Beta, por ejemplo, se debe de cumplir lo siguiente:

a) El valor de la muestra en el eje vertical (YCOR) debe de ser menor al valor máximo de la función Beta (BETAMX) y.

b) El valor de la muestra en el eje horizontal (XCOR) clebe encoritrarse entre cero y uno ó entre el máximo y el mínimo.

Cumpliendo estas dos condiciones se puede decir que la muestra es buena, caso contrario si una de ellas no se cumple se puede decir que es una mala muestra

La figura siguiente presenta un ejemplo de la selección de la muestra.

BETAMX t

Figura 3.7. Selección de una muestra dentro de una función de prol~abilidad Beta

Marco 'redrico

MUESTRE0 EN UNA FRECUENCIA ACUMULADA

Para seleccionar una muestra utilizando una fiecueiicia acumulada, se debe de cumplir lo siguiente:

a) El valor de la frecuencia acumulada seleccionada eii el eje vertical debe de ser menor a la unidad.

b) Luego este valor se proyecta hasta interceptar la cuna, para dc:spués descender en forma veitical, interceptando el eje horizontal doride se seleccionara la muestra.

La figura siguiente presenta un ejemplo de la selección de la muestr.3.

Mín. Máx . Parámetro X

Figura 3.8. Muestreo en una fi-ecuencia acumulada

TECNlCAS DE MUESTREO

El objetivo de las técnicas de muestreo es asegurar que cada observación en la población tiene una oportunidad igual e independiente de ser incluida en la muestra.

En el presente trabajo se emplearan dos tipos de muestreo para seleccionar una muestra dentro de una población:

Muestreo Monte Carlo (Walstrom y colaboradores, 1967) y

Muestreo Hipercubo Latino (McKay, 1979)

MUESTREO MONTE CARLO

Este método de muestreo emplea la generación de un niiinero aleatorio entre cero y uno para seleccionar una muestni dentro de una distribución de probabilidad. Permitiendo seleccionar N muestras cle una población según el numero de muestras necesarias.

La desventaja que presenta este método, es qiie las muestras aleatorias pueden volverse a agrupar en un aparente prejuicio has:a que un gran numero ha sido seleccionado.

En este trabajo se empleara la función de distribución Beta para un paráinetro X, donde se seleccionaran las muestras.

A continuación se presenta un ejemplo de como se selecciona un determinado numero de muestras:

Figura A : Se muestrea una sola vez del total de la población.

Figura B : Se muestrea tres veces, el orden de muestreo no tiene un orden determinado.

Figura C : Se muestrea cinco veces, el orden de muestre0 no time un orden determinado.

Marco 1 eórico

O Parámetro X

O Parámetro X 1

O Paráinetro X 1

Figura 3.9. Ejemplos de cómo se selecciona una o varias muestras de un muestre0 Monte Carlo.

M UESTREO HIPERCURO LATINO

Este método de muestreo particiorla la distribución de probab;lidad, (6 estratos) para evitar el sobre 1 bajo fenómeno de agiupamierito de muestreo coino en el caso del inétodo Monte Carlo. Un inuestreo Hipercubo Latino divide el rango del parámetro en partes iguales (estratos), en orden para obtener una coinpleta extensión cle inuestreo. Las muestras son seleccioriad,is aleatoriainerite en cualquier estrato, rio pcnnitiendo seleccionar 2 veces consecutivainente en el inismo estrato. Seleccionando N muestras de una población según el numero de muestras riecesarias.

A continuación se presenta unos ejemplos de coino se se1ecc:ionan unos determinados números de muestras:

Figura A : Se rnuestrea una sola vez en cualquier estrato (6 estratos).

Figura B. : Para muestrear dos veces, se inuestrea una sola vez eri cada estrato (6 estratos).

Figura C: Para muestrear tres veces, se rnuestrea una sola vez eri cada estrato. No teniendo un orden de tnuestreo.

Paráinetro X

Parámetro X

Parámetro X

Figura 3.10. Ejemplos de cOmo se selecciona una o varias muestras de un inuestreo Hiper-cubo Latino.

TAMAÑO DE LA MUESTRA

Para seleccionar el tainaño de la muestra iníniina necesaria para un iniiestreo, será aquella que permita conocer las características esenciales de la población. Por lo cual es importante determinar la tendencia clzntral de la muestra, en ella se podrá estimar el numero de muestras míiiimas necesarias a utilizarse en u11 inuestreo, y esta será cuando el promecio de numero de inuestras utilizadas converge con el promedio verdadero de la iniiestra.

Es importante coriocer la fonna de la distribución de probabilidad. si es sesgada hacia la izquierda (moda menor que el proinedio), si no es sesgada (moda igual que el pioinedio) y sesgada hacia la derecha ( moda mayor que el promedio) porque esto influye sobre el promedio (le las inuestras.

Parametro "X"

O 200 400 600 800 1 O00 Numero de muestras

Figura 3.1 1 . Tamaño iní~iiino de la muestra.

Como se observa, en un inicio el promedio de las muest-as se encuentran muy dispersas con respecto al verdadero valor promedio,

Cuando se tiene api-oxiinadarnente 200 inuestras la dispersiijn del pi-oinedio de las inuestras disminuye, esta dispersión debe disminuir a medida que se tenga mayor numero de inuestras, como ocurre con 500 y 600 muestras.

Cuando se tiene 700 muestras, se obsei-va que prácticamente el proinedio de las muestras converge con el verdadero valor prome~lio, al igual que 800, 900 y 1000 inuestras, por lo tanto 700 inuestras es un valor

Mm:o Teórico

mínimo para el tamaño de las muestras que pemiita conocer las características esenciales de la población.

3.2. METODOS PARA LA ESTIMACI~N DE RESERVA DE PETROLEO

L,as reservas son los volíimenes de hidrocarburos presente!; en los yacimientos que pueden ser recuperados. Este valor representa una de las referencias mas utilizadas al momento de clasificar yacimientos (Caracterización Energética de los Yacimientos, CIED).

Cuando se relaciona con los volúmenes de liidrocarburos producidos, este ofrece iin indicador del grado de agotamiento del qacimientc y de la eficiencia del o los mecanismos de empuje activos.

Los métodos para la estimación de las reservas de uii yacimieiito son:

a) Método volumétrico. b) Ciu-vas de Declinación de Producción. c) Balance de Materiales.

En este capitulo se presentara el método volimétrico (aplicación detenninistica) y curvas de declinación exponencial (aplicación detenninistica). Las aplicaciones probabilísticas serán presentadas en el capitulo de metodología.

3.2.1 METODO VOLUMETRICO

El método voliunétrico permite la estimación de petróleo original en sitio (POES) a partir de la determinación del voltunen de roca que conforma el yacimiento, la capacidad de almacenamiento de la roca y la kicción de Iiidrocarbiu-os presentes en los poros de dicha roca.

Debido a que estos parámetros son determinados a partir de la infonnación obtenida de los pozos de yacimiento, ya que estos representan solo iina pequeña parte del mismo, los promedios obtenidos presentan una cierta dosis de incertidumbre. Esta es la razón por la cual hablamos de "estiinación" de reservas.

APLICACIÓN DEL METODO VOLUMETRICO

Basándose en las consideraciones anteriores, el inktodo voliiinétsico puede ser aplicado usando valores promedios de los paráinetros reclueridos, en cuyo caso es referido como aplicación deterministica o con la utilizacióii de distribuciones de probabilidad para dicl~os parámetros: de esta mimera, se le conoce como la aplicación probabilística del método volii.métrico.

APLICACIÓN DETERMINISTICA DEL METODO \.'OLUME,TRICO

En esta aplicación, el reconocimiento de la incertidumbre en los datos del yacimiento se expresa a través del calculo de valores prometlios para estos datos. De acuerdo con la información que se tenga, estos pi-oinedios pueden ser ponderados por espesor, área o volumen relacionados al petróleo que aporta los datos.

El resultado de esta aplicación permite obtener iin valor íinico del POES (N).

La ecuación del método volumétrico en su aplicación deterministica es la siguiente:

V T x x (1 - ,Srfr ) N = 7758 Hoi

Donde :

VT == Volumen de roca, Acres-pie 0 = Porosidad promedio, Fracción S , = Saturación promedio de agua connata, Fracción Boi == Factor volumétrico de petróleo a la presión inicial, BY/BN N =. Petróleo Original En Sitio (POES), BN

El factor 7758 permite obtener el valor de N en barriles no?males de petróleo (BN) y el símbolo '' = " representa una aproximación del valor calculado.

MECANISMO DE PRODUCCIÓN DE LOS YACIMIENTOS

El proceso de entender el comportamiento de LUI yacimiento requiere la identificación de los mecanismos que impulsan los fluidos hacia los pozos del yacimiento.

La existencia de estos inecanismos se debe al proceso de formación de la roca y de acumulación de los hidrocarburos, y las condiciones de presión y temperatura existente en el yacimiento.

Normalmente existe mas de un mecanismo responsable de la producción de los fluidos del yacimiento, pero solo uno será domilante en un intervalo de tiempo. Durante la vida productiva del yacimiento, vanos mecanismos pueden alcanzar la condición dominante.

Los mecanismos de producción son los siguientes:

Empuje por expansión de los fluidos. Empuje por gas en solución. Empuje por capa de gas. Empuie Iiidráulico. Empuje por gravedad.

A continuación de describirá cada uno de los empujes que pueden existir en un yacimiento.

EMPUJE POR EXPANSION DE LOS FLUIDOS

Dadas las condiciones de presión y temperatura existentes en los yacimientos, cualquier reducción de la presión causara una expansiljn de los fluidos en el mismo y una reducción del volumen poroso. A este efecto se le conoce como mecanismo de empuje por expansión de los fluidos y reducción del volumen poroso.

El factor de recobro estimado esta en el orden del 5 "/o del POIZS.

EMPUJE POR GAS EN SOLUCION

Debido a las condiciones de presión y temperatura existente en los yacimientos, los componentes livianos de los hidrocarburos pasan a la fase gaseosa y se mantienen en la zona de hidrocarbiiros líquidos lo cual produce el empuje por gas en solución.

El factor de recobro característico de yaciniientos baso este mecanismo esta entre 5 y 30 % del POES.

EMPUJE POR CAPA DE GAS

En el empuje por capa de gas, los componentes liviancts de los hidrocarbiu-os que pasan a la fase gaseosa se desplazan hacia la pm:e alta del yaciiriiento lo cual conforma una zona de alta saturación de gas o capa de gas.

El factor de recobro se estima entre un 20 al 40 % dlrl POES.

EMPUJE HIDRÁULICO

La presencia del a p a durante el proceso de formación de las rocas que almacenan liidrocarburos, pennite identificar la expansión del agua como iin mecanismo de empuje que es conocido como empuje hidrailico

El factor de recobro se estima entre 35 al 75 % del POES.

EMPUJE POR GRAVEDAD

Cuando los yacimientos presentan im alto grado de incliriación, se genera un mecanismo de empiije por considerar, conocido colno einpiije por gravedad.

El factor de recobro se estima entre 40 al 80 % del I'OES.

A continiiación se presentan los diferentes factores de recobro para mi yacimiento.

mniiie nnr aoiiri

Petróleo producido (% POES)

Figura 3.12. Factores de recobro para diferentes mecanismos de empuje en un yacimiento.

Asumiendo un mecanismo de empuje para el yacimiento y un factor de recobro se podrá estiinar las reservas recuperables de petróleo.

3.2.2 CURVAS DE DECLlNACION DE PRODUCCION

Las curvas de declinación de producción representan uri método dinámico para la estimación de las reservas recuperables de un yacimiento.

Su característica dinámica proviene del liecho de que utiliza la historia de producción de los fluidos, concretamente del petróleo, poi- pozo o yacimiento, para la estimación de sus reservas recuperables.

La aplicación del inetodo parte de que existe suficiente historia de producción como para establecer una tendencia de comportainiento y, entonces, la predicción del yacimiento se hace a partir de la extrapolación de dicha tendencia.

En general, se busca un tipo de grafico donde la tendencia se presenta en forma lineal para facilitar sil extrapolación.

Este procedimiento lleva implícito una suposición básica: "l'odos los factores que han afectado al yacimiento en el pasado, lo seguirán afectando en el futuro".

A continuación describiremos los factores que afec~an a las curvas de declinación de producción.

FACTORES QUE AFECTAN LAS CURVAS DE DECLINACIÓN DE PRODUCCION

Dado que la aplicación de este método requiere el establecimiento de una tendencia de comportamiento para el pozo o yacimiento, cualquier factor que altere o modifique esta tendencia, limitara la aplic:rción del método.

Entre estos factores tenemos:

Periodos desiguales de tiempo en las medidas de produccihn. Cambio en la productividad de los pozos. Coinpletación de nuevos pozos. intemipción de los programas de producción. Veracidad de la información disponible. Prorrateo.

PERIODOS DESIGUALES DE TIEMPO EN LAS MEDIDAS

Algunas mediciones heclias en los pozos, a intenralos desiguales de tiempo, dificultan la definición de la tendencia de su comportamiento.

Habrán, entonces, periodos de tiempo donde se tendrá que interpolar para completar la tendencia, con los riesgos que esto implica.

Este factor es de cierta importancia cuando se usa la presión del pozo o del yacimiento como variable independiente, pero el efecto será menor cuando se usen las tasas de producción, porque estas se asignan mensualmente.

CAMBIO EN LA PRODUCTIVIDAD DE LOS POZOS

Ciiando los niveles de producción de un pozo 1lega.n a valores bajos, son sometidos a ciertas reparaciones con el objeto de incrementar nuevamente su producción. Esto por supuesto afectar2 la tendencia de prodiicción del pozo.

Cuando el cambio de productividad en un pozo es significatilyro o inás de un pozo del yacimiento experimenta cambios similares, tarnbién se afectara la tendencia del comportamiento de producción del yacimiento.

COMPLETACION DE NUEVOS POZOS

Cada vez que se completa un nuevo pozo, la tasa de producción del yacimiento se incrementara, lo cual altera la tendencia del compoi-tarniento anterior a dicl-ia completacion.

En este caso, habrá que esperar hasta que se observe Liiia nueva tendencia para proceder a la aplicación de este método.

Sin embargo, si se necesitara iina tendencia, podría trazarse iina paralela a la tendencia anterior por el nuevo valor de la tasa de pr.oducción del yacimiento.

Esporádicamente ociu-reri cierres de producción en los pl3zos que alteran la tendencia del comportamiento de producción del yacimiento.

Estos cierres pueden ser debido a varias razones, entre ellas carencias de mercado, caída de fluido eléctrico, etc.

Una vez que se produce la apertura del yacimiento, se obtendrán, iniiy probablemente, nuevos niveles de producción, la que limita la aplicación del método.

Marco 7eórico

Este factor tendrá im efecto importante cuando rio se coriozca la metodología usada para asignar los valores de producción a los pozos y, por ende, al yacimiento de estudio.

PRORRATEO

En países donde existe restricción en las tasa.s de prodiicción (prorrateo), los yacimientos no producen a su potencial y por lo tanto el método no podrá aplicarse. Este es iin factor poco importante en países donde la restricción a la prodiicción es insignificante.

APLICACIÓN DETERMINISTICA DE LA CURV.4 DE DECLINACION EXPONENCIAL

Se dice que ocurre una declinación exponencial de la tasa de producción cuando la variación de la tasa de producción con e l tiempo expresada como una fracción de ella misma es una constante.

Este tipo de declinación se expresa de la siguiente manera:

-D=- (dq l dl) 4

Donde:

q = tasa de producción, blsldia t = tiempo de producción, anos

D = Constante de declinacióii exponencial, años-'

Al desarrollar la ecuación qiie define la declinación exponencial podre~nos encontrar expresiones para la tasa de producción y podiiccióri acutnulada de petróleo, las ciiales permitirán identificar este tipo de declinación y calcular las reservas recuperables del pozo o yacimiento.

Tasa de Producción

La ecuación para la tasa de producción bajo este tipo de declinación se obtendrá a partir de su definición. De esta definición se obtiene:

Si integramos la expresión anterior entre la tasa de prod~lcción q, obtenida a un tiempo ti y una tasa q obtenida en un tiempo t: tendrerros

Al resolver esta integral tenemos que:

Y si despejamos la tasa q, resultara:

Si suponemos que el tiempo inicial ti es cero, tendremos finalmente la ecuación de la tasa de producción en forma exponencial:

La fimción de la ecuación de la tasa de produccibn es identificar el tipo de declinación exponencial, predecir el comportamiento de la tasa de producción de petróleo del pozo o yacimiento.

Producción Acumulada de Petróleo

Por definición la producción acumulada de petróleo en forma diferencial puede obtenerse de la siguiente manera:

dNp = qdt

Al despejar q, tendremos:

Si sustituimos la expresión de la tasa de producción para este tipo de declinación, en la ecuación anterior tendremos:

Esta ecuación diferencial puede resolverse por separación de variables e integración de ainbos lados del signo igual. La integración se hará entre un tiempo inicial cero (Np = 0) y un tiempo "t" al cual se Iiabrá producido un Np:

Que después de resolver las integrales tendremos:

Obsérvese que el numerador del primer factor de la ecuacióii anterior es la eciiación de la tasa de producción, su sustitución pennitirá obtener la eciiación de la producción acumulada:

CAPITULO IV

METODOLOG~A

En este capitiilo se presentara la metodología a usar para el calculo de POES y la estiinación de reservas de petróleo por métoclos probal~ilisticos. donde se tiene una incertidumbre sobre un único valor.

Los metodos einpleados para la estiinacion de reservas de petroleo de un yacimiento son:

a) Aplicación probabilística del inétodo volumétrico

b) Aplicación probabilística de la cirrva de declinación exponencial

En la aplicación probabilística del método vol~imétrico, se utilizaran el inuestreo Monte Carlo y muestreo Hipercubo Latino, donde se cal(:ularan el petróleo original en sitio para cada inuestreo, luego se estimaran las reservas de petróleo a diferentes probabilidades

Para calcular las reservas recuperables de petróleo se tendrá qiie asuinir iin mecanismo de producción del yacimiento, la ci.ial esta asociado a iin factor de recobro.

Por lo tanto la estiinación de reservas recuperables de petróleo será igual al petróleo original en sitio por un factor de recobro.

En la aplicación probabilística de la curva de declinación exponencial, se iitilizara un iniiestreo siinple, la cual permitirá estimar las tasas de producción de petróleo del pozo o yaciiniento I-iasta una tasa de abandono, einpleando una constante de declinación exponencial, permitiendo estimar las reservas de petróleo recuperable Iiasta un determinado tiempo.

4.1. APLICACIÓN PROBABILISTICA DEL M ETODO VOLUMÉTRICO

En esta aplicación, el reconocimiento de la incertidumbre se encuentra en los parámetros involucrados en el calculo del Petróleo Original En Sitio (POES) esto se realiza bajo un tratamiento probabilistico. Bajo esta visión, estos parámetros se representan como distribuciones de pro1)abilidad definidas en términos de un tipo de distribución y los parámetrc~s que la definen (media y desviación estándar).

La ecuación del método volumétrico en su aplicación probabilística es la misma que se utiliza en la aplicación deterministica.

Donde

A - Área del yacimiento, Acres H -= Espesor promedio de la formación, Pies - Porosidad promedio de la formación, Fracción Sw = Saturación promedio de agua inicial, Fracción Bo = Factor voluinétrico de petróleo a la presión inicial. BY/BN N - Petróleo Original En Sitio (POES), BN

El factor 7758 permite obtener el valor de N en barriles noimales de petróleo (BN).

En esta aplicación, en liigar de obtener un valor iinico de POES, se obtendrá, mediante la aplicación del método de inuestr-eo Montt: Carlo o inuestreo Hipercubo Latino, varios valores con la cual se podrá construir una función de distribución acumulada de POES.

4.1.1. DESCRIPCI~N DE LA A P L I C A C I ~ N PROBABIL~ISTICA DEL METODO VOLUMETRICO

Para calciilar la función de distribución probabilística de cada uno de los parámetros estadísticos que intervienen en el calciilo del Petróleo Origiiial En Sitio, es necesario suponer sus valores máximos, inínimos, inedia y desviaciones estándar.

Una vez definidas las distribuciones de probabilidacl de los parámetros estadísticos como son: Area del yacimiento, Espesor promed-io de la formación, Porosidad promedio de la formación, Satura.ción promedio de agua inicial y Factor volumétrico de petróleo a la presión inicial, se procede a muestrear cada una de ellas por Monte Carlo o Hipercubo Latino.

La muestra seleccionada de cada parámetro estadístico, es reemplazada en la ecuación volumétrica para obtener un kalor de N.

Este mismo procedimiento se repite un determinado numero de veces, con el propósito de tener una gran cantidad de N, que permita tener un rango de variaciones para poder construir tina frecuencia acumulada.

Los valores de N son ordenados en sentido creciente asigriándole a cada uno un valor de frecuencia acumulada igual a iln, donde n es el numero de valores de N obtenidos.

Una vez obtenido la función de distribución acumuladci para el Petróleo Original En Sitio, se podrá asumir una o varias probabilitlades que permita estimar POES a esa probabilidad..

A continuación se presenta el diagrama de flii-10, donde permite visualizar los pasos a seguir para poder construir una fhc ión de distribución acum dada para el POES.

La figura siguiente muestra una representación graf~ca para un tipo de inuestreo, aplicando el método probabilistico.

A, H, cD, Sw, Bo 1- 7758 x Área x Espesor x Porosidad x (1-Saturación de Agua)

N =

Factor Volumétrico de Petróleo

Repetir M veces

M valores de N . Figura 4.1 3. Diagrama de fliijo para constnlir una función de distribución

acumulada de POES - Método Voliimétrico.

4.1.2. FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

Diclio grafico puede interpretarse como la probabilidad dc que el valor de POES para el yacimiento considerado sea menor o igual a N, de esta manera, el POES correspondiente a iina frecuencia de 50% seria el valor promedio del yacimiento.

Por otra parte, el riesgo en la determinación de POES de un yacimiento se expresaría por la diferencia entre el valor de 1\J a una probabilidad

Por ejemplo cuando se considera un caso optimista del 90% o iin caso pesimista de 10% de probabilidad para la frecuencia de distribucióil acumulada, se procedería a trazar iina línea recta en forma horizorital hasta interceptar la curva y descender en forma vertical e interceptar el valor del POES, este valor correspondería a una cierta probabilidad cle poder encontrar un Petróleo Original En Sito para un yacimiento.

La figura siguiente muestra una función de distribución acumulada del POES:

Petróleo Original en Sitio, (N)

Figura 4.14. Valores de POES a diferentes probabilidades en una fiinción de distribución acuiniilada

4.2. APLICACIÓN PROBABILÍSTICA DE LA CURjlA DE DECLINACIÓN EXPONENCIAL

En esta aplicación, el reconocimiento de la incertidumbre esta sobre la extrapolación de la tendencia de comportamiento (cons:ante de declinación exponencial) del pozo o yacimiento.

Debido a que se puede extrapolar en forma eirada la cilrva de declinación del pozo o yacimiento, provocando una mala estimación de tasa de producción y reservas reciiperables de petróleo.

La ecuación de la curva de declinación exponencial en su aplicación proba.bilística es la inisrna que se utiliza en la aplicación determinisi-ica.

Donde

q = Tasa de producción, BblsIDias qi - Tasa de producción actual, BblsIDias t = Tiempo de producción, Años D = Constante de declinación exponencial, Años-' Np = Producción aciiinulada de petróleo, Bbls

En esta aplicación, en lugar de obtener una sola cilrva de declinación exponencial del pozo o yacimiento, se obtendrá varias curvas posibles permitiendo estimar la producción acumulada de petróleo hasta uria tasa de abandono.

4.2.1. DESCRIPCI~N DE LA A P L I C A C I ~ N PROBABILIS'I'ICA DE LA CURVA DE DECLINACION EXPONENCIAL

Para calcular la función de distribución probabilística de la constante de declinación exponencial del pozo o yacimiento, es necesario suponer un valor máximo, iníniino, inedia y desviación estándar.

Una vez calculado la distribución de probabilidad, mecliante un muestre0 simple se selecciona im valor de la constante de declinación (D) y luego es reemplazada en la ecuación de la curva de declinación exponencial.

Seguidamente se calcula la tasa de producción del pozo o yacimiento hasta una tasa de abandono, estimando una producción de petróleo recuperable (Np).

Este mismo procedimiento se repite un detenninado numero de veces, con el propósito de tener una gran cantidad de Np, que permita tener un rango de variaciones para poder constniir una frecuencia acumu1ad;r.

Los valores de Np son ordenados en sentido decreciente asignándole a cada uno un valor de frecuencia acumulada igual a i/(ni-l), dondlz n es el numero de valores de Np obtenidos.

Una vez obtenido la fiinción de distribución acumuladcci para el Petróleo Original En Sitio, se podrá asumir una o varias probabiliciades que permita estimar POES a esa probabilidad..

A continuación se presenta la siguiente representación grafica, donde permite visualizar los pasos a seguir para poder constnlir una filnción de distribución acumulada.

La figura siguiente muestra una representación grafica para iin inuestreo simple, aplicando el método probabilistico.

? V,

9 a ' \ k . a, f

--- =t E z" \

\ \ '. . -.

D (año-') Np (Bbls)

Figura 4.15. Diagrama de flujo para construir una función de distribución acumulada de POES - Declinación Exponencial

CAPITULO V

APLICACIÓN DE LA METODOLOGIA

En este capitulo en la aplicación probabilística del inétodo volumétrico se generara la distribución Beta para cada uno de los parimetros e:;tadísticos que intervienen en el Petróleo Original En Sitio, para luego ser niiiestreada (esto se realizara mediante un programa en FORTRAN, la cual se en,zuentra en anexos) por muestre0 Monte Carlo e Hipercubo Latino im tleterminatlo niunero de veces, permitiendo estimar varios POES con la ciial se constniirá tina distribución de fiecuencia acumulada.

Se seleccionara una probabilidad en la distribiición de filnción ;icumiilada para obtener el POES a esa probabilidad, liiego asumiendo un mecanismo de produccióii para el yacimiento, se podrá determinar sil factor de recobro, la estimación de reservas recuperables se obtendrá de multiplicar el POES por el factor de recobro.

En la aplicación probabilística de la curva de declinación expcmencial se generara la distribución Beta para la constante de declinacibn exponencial y por u11 inuestreo simple (esto se realizara mediante iin programa en FOR.TRAN, la cual se encuentra en anexos) se seleccionara un valor, que será reem.3lazada en la eciiación de la ciiwa de declinación exponencial pennitiendo obtener la posible tendencia de producción del pozo o yacimiento hasta uria tasa de abandono, permitiendo estiinar las reservas recuperables.

Este proceso se repite iin numero de veces para conocer qiie relación existe entre la constante de decliriación exponencial y prodiicción aciimulada de petróleo, y la forma que presenta la frecuencia acumulada.

5.1.1. GENERACION DE LAS DISTRIBUCIONES BETAS

Cinco fiinciones de distribución Beta son empleadas para estimar el Petróleo Orignal En Sitio (POES), como son:

Área del yacimiento, Acres. Espesor promedio de la formación, Pies. Porosidad promedio de la fonnación, Fracción Saturación promedio de agua inicial, Fracción Factor voliimétrico de petróleo a la presión inicial, BYh3N

AREA DEL YACIMIENTO

Debido a tina incertidoinbre sobre la verdadera Área del yacimiento, es necesario cuantificar entre qiie valores se pueda encontrar, por lo cual se necesita suponer los valores ininiino, máximo, media y desviación estáridar.

Moda Normalizada

Valor Mínimo

50 Acres

Moda - Valor minimo nl = - --

500 - 50 m = ----- m = O 6429 Valor maximo - Valor minimo 750 - 50

Desviación Estándar Normalizada

Valor Máximo

750 Acres

Desviacion Estandar D.N = - -- B.N. =

150 I1.N. = 0.2143

Valor maximo - Valor minimo 750 - 50

Desviación est indar

500

Varianza Normalizada

u = (Desviacion Estandar N0rmalizada)~2 u = (0.2143)"Z u = 0.045

Calculo de los parámetros S, R y S-R de la distribución Betii

Reemplazando en la ecuación cúbica

3 2 7 0s +(m2 -ni + 0 ) S +(-4111- +41?i -1)S+(4,?i2 -4m+1) :=O

Resolviendo la ecuación

Eligiendo la S2 (Raíz > 1 )

S2 = 4.3 157

S = S2 = 4.3157 S = 4.32

R = in (S -2) +1

Calculando las Funciones Gamas utilizando la fonnula ciiaclrática de Gaiiss-Lagierre

Donde:

wi = Factor de peso zi = Raíces del polinomio

Tabla 5.1. Factores de peso y raíces del polinoinio Gaiiss-Lagueme.

Calculando los valores de T(S), T(R) y r (S - R)

Cuando a = S = 4.32

Cuando a = R = 2.49

Cuando a = S -R = 1.83

Donde:

X* = (X - Xmin) 1 (Xmax - Xinin) X* = (X - 50) / (750 - 50)

Sabiendo que 50 X 5 750 y O I X* 5 1, Se c;ilcula la flinción de distribución Beta para el Área del yacimiento.

Tabla 5.2. Función de Distribiición Beta para el Área del Y;icimiento

O 100 200 300 400 500 600 700 800

Area (Acres)

Figura 5.16. Fimción de Distribución Beta para el Área del Yacimiento

De igual modo se realiza para el Espesor, Porosidad, Saturación de a p a inicial y Factor volurnétrico de petróleo, para poder construir las fi~rcciones de distribución Beta:

Tabla 5.3. Valores de los paráinetros necesarios para estimar el POES

Luego se procede a calcular la moda normalizada, desviaciói~ estándar normalizada y la varianza normalizada.

Dt:sv. Est.

' 50.00

50.00

0.028

0.065

0.025

Paráinetros

A, Acres

H, Ft

m, Fraccióii

Swc, Fracción

Boi, Fracción

I 1

A, Acres 0.6429 0.2143 70.04601

I

Valor Máximo

750.00

300.00

0.240

0.500

1.250

Valor Mínimo

50.00

50.00

0.100

0.200

1.150

Moda Nonnalizada

I

Media

500.00

200.00

0.190

0.260

1.210

Desv. Est. 7"inl.l Normalizada Normalizada

H, Ft

0, Fracción

Tabla 5.4. Valores de las modas normalizados, desviación estándar normalizada y varianza normalizada

Sw, Fracción

Boi, Fracción

0.6000

0.6429 0.2000

O. 2000

O .6000 0.2167 1 :::l:: 1 0.2500

Valores de S, R y S-R para los diferentes parámetros iiecesarios para la fiinción de distribución Gama

Parámetros S R 7 s - R

m, Fracción

Area, Acres 4.32

I 1 1

Tabla 5.5. Valores de S, R y S-R para calcular la fiinción Gama

Boi, Fracción

Valores de las fi~nciones Gama para S, R y S-R necesarias para la fiincióri de distribución Beta

2.49

2.50 Sw, Fracción

1 Parámetros I m ) - 1 1 - R)

1.83

5.16

1 A, Acres 1 9.095 1 1.319 i O .904

3.87

2.89 7 2.26

1 @, Fracción 1 26.680 1 1.945 I 1 .O46

1.37

1 Sw, Fracción 1 5.108 1 0.893 I 1 3 2 9

Tabla 5.6. Valores de las fiinciones Gama para los diferentes parámetros

Boi, Fracción 30.620 1.81 1 1 1 3 9

A continuación se presentan las siguientes funcioiies de distribución Beta, para Espesor, Porosidad, Satiiración de agua inicial y Factor vcilumetrico de petróleo.

Figura 5.17. Función de Distribiición Beta para el Espesor de la Formación.

O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Porosidad

Figura 5.18. Función de Distribiicióii Beta para la Porosidad de la Fon-nación.

Saturacion del Agua

Figiira 5.19. Función de Distribución Beta para la Saturación de Agua Inicial.

Factor Volumetrico de Petroleo

Figura 5.20. Función de Distribución Beta para el Factor Voluinétrico de Petrólec

5.1.2. FORMAS DE MUESTREO

MUESTREO MONTE CARLO

Una vez generada las distribuciones Betas para los paráinetros estadísticos, se procede a hacer un miiestreo Monte Carlo en cada uno de ellos, para luego reeinplazarlo en la ecuación voliimétrica para obtener ei valor de POES.

A continuación se presenta los siguientes ejemplos:

Niiinero de muestras: 5 Muestras A H @ Swc Boi F'OES

Niiinero de miiestras: 10 Milestras A H @ Swc Boi POES

Este mismo procediiniento se realiza para 20, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 y 1000 muestras, en cada uno de los parámetros estadísticos para luego reemplazarlo en la ecuación voliiinétrica para obtener varios valores de POES.

MUESTRE0 HIPERCURO LATINO

De igual modo tina vez generada las distribuciones Betas para los paráinetros estadísticos, se procede a hacer un muestreo Hipercubo Latino eii cada lino de ellos, para luego reemplazarlo en la ecuacióq voluinéi-rica para obtener el valor de POES.

A continuación se presenta los siguientes ejemplos.

Numero de muestras: 5 Milestras A H 0 Swc Boi POES ..............................................................................................

1 653.483 278.940 .15 1 .391 1.197 108942600.00 2 498.937 136.968 .124 . 453 1.173 30570030.00 3 66.94 1 128.154 .177 .339 1.231 6327 119.00 4 446.842 180.0 14 .163 .240 1.179 65734850.00 5 25 1 .O67 85.448 . 139 . 484 1.219 981 1559.00

Numero de muestras: 10 Muestras A H 0 Swc Boi F'OES ..............................................................................................

1 87.867 219.145 .137 .217 1.234 12973360.00 2 682.325 124.284 .166 .322 1.156 641 32 340.00 3 539.568 233.585 . 133 .267 1.234 77481 380.00 4 695.1 O0 70.720 .224 ,357 1.210 45390880.00 5 407.500 274.742 .128 .437 1.244 5041 5700.00 6 658.426 100.089 .161 .488 1.173 35897 790.00 7 61 7.864 166.583 .141 .332 1.225 61606900.00 8 405 .O76 209.43 1 .234 .227 1.249 95 1555 10.00 9 188.209 79.225 1 0 7 .272 1.1 57 7763069.00 10 464.305 241.941 .193 . 401 1.183 85188750.00

Este misino procedimiento se realiza para 20, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 y 1000 muestras, en cada uno de los parámetros estadísticos para liiego reemplazarlo en la ecuación volumétrica pai-a obtener varios valores de POES.

S. 1.3. FRECUENCIA ACUMtJLADA

Despiiés de repetir el proceso anterior, un niiinero de veces, tanto para muestre0 Monte Carlo y miiestreo Hipercubo Latino se elige la (le mayor numero de muestras (1000 muestras) la cual permitirá conocer la tendencia de la curva de POES, estos valores son ordenados en sentido creciente asignándole a cada iino un valor de freciiencia acumiilada igual a i/(n+ 1 ), donde n es nilmero de valores de POES.

A) MUESTRE0 MONTE CARLO (1000 Muestras)

Muestras POES Frec. Acum. Ord. Crec. POES --------..----------------------------- --------------------------------------.------

I 20514280 0.0009 9.51 0.91 1 2 25139180 0.00 19 11.640.300 3 79009460 0.0029 1 1.330.824

B) MLJESTREO HIPERCURO LATINO (1000 Muestras)

Mi1esh.a~ POES Frec. Aciim. Ord. Crec. F'OES

A continriación se muestra la siguiente grafica de las frc:ciiencias aciunuladas tanto para el muestreo Monte Carlo y muestreo I-iipercubo Latino.

Petroleo Original En Sitio

Figura 5.21. Frecuencias acuinuladas del Petróleo Original En S i t i ~ (POES) iisando miiestreo Monte Carlo y inuestreo Hiperciibo Latino.

5.1.4. ESTIMACIÓN DE RESERVAS DE PETROLEO

Estimando la reserva de petróleo usando una ciiantificación de incertidumbre en términos de probabilidad.

USANDO MUESTRE0 MONTE CARLO

Usando la figira anterior para iin caso promedio (50 % probabilidad de POES]i: 65736240 Bbls

USANDO MUESTRE0 HIPERCUBO LATINO

IJsando la figura anterior para un caso promedio (50 % probal~ilidad de POES) 65062000 Bbls

5.1.4.1. MECANISMO DE PRODUCCIÓN DEL YACIMIENTC)

Existen varios mecanismos de producción en el yacimiento los cuales tienen sus propios factores de recobro, por lo cual suponer iino dc: ellos es importante en la estimación de reservas de petróleo recuperables

Suponiendo lo siguiente:

A) Einpiije por Gas en Solucióti y B) Factor de Recobro: 20%

5.1.4.2. ESTIMACIÓN DE RESERVAS DE PETROLEO RECL PERABLES

Para calciilar las reservas reciiperables de petróleo se tendrá que multiplicar el POES por el factor de recobro del yacimiento.

Estiinación de reservas de petróleo = POES x factor de recobro del yacimiento. recuperable

A) Estimación de reserva de petróleo usando muestreo Monte Cairlo

Caso protnedio(50 % de probabilidad) = 65736240 Bbls x 0.2

= 13 147248 Bbls

B) Estimación de reserva de petróleo usando muestreo Hipercuba Latino

Caso proinedio(50 % de probabilidad) = 650620000 Bbls x 0.2

= 130 12400 Bbls

5.2.1. GENERACION DE LA DISTRIBUCION BETA

lJna fimción de distribución Beta es empleada para la dcclinacióii exponencial del pozo o yacimiento.

Declinación exponencial del pozo o yacimiento.

DECLINACIÓN EXPONENCIAL DEL POZO O YACIMIENTO

Debido a iina incertidiimbr-e sobre la verdadera declinación exponencial del pozo o yacimiento, es necesario cuantificar entre que valores se piieda encontrar la declinación exponencial por lo cual se necesita sirponer 111s valores iníriiino, máximo, media y desviación estándar. 1 Valor 1 Valor 1 :;:a 1 Desxi;rón 1

hlíniino Máxiino Estiindar

0.1 0 ~ ñ o s - ' 0.20 Aiios-'

Moda Nonnalizada

m = -- Moda - Valor minimo 0.15-0.10

m = m = 0.50 Valor maximo - Valor miniino 0.20 - o. 1 o

Desvia.ción Estándar Nonnalizada

]).N = - - Desviacion Estandar

-- 0.02

D.N. = D.N. = 0.20 Valor maximo - Valor minimo 0.20 - o. 10

Varianza Nonnalizada

u = (Desviacion Estandar Normalizada)"2 u = (0.20)"2 u = 0.04

Calciilo de los paráinetros S, R y S-R de la distribiición beta

Reeinplazando en la ecuación cúbica

Resolviendo la ecuación

Eligiendo la SI (Raíz > 1 )

Calculando las Fiinciones Gainas utilizando la fonnula cuadrática de Gauss- Lagtierre

Donde:

wi = Factor de peso zi = Raíces del poliiioinio

Factores de peso y raíces del poliiiomio Gauss-Laalerre.

Cuando a = S = 5.25

Cuando a = R = 2.63

Cuando a = S - R = 2.62

Donde

X* = (X - Xinin) 1 (Xmax - Xmin)

Sabiendo que 0.10 5 X 5 0.20 y O _< X* 5 1, Se calcula la función de distribución Beta para la declinación exponencial del pozo o yaciinien:~.

Tabla fi .7. Función de Distribiición Beta para la Declinación Exponencia1 del pozo o yacimiento.

DECLINACI~N EXPONENCIAL Función Beta Datos X

0.100 0.00 0.00 l X*

Declinacion Exponencial

Figura 5.22. Función de distribución Beta para la Declinación exponericial del pozo o yacimiento.

5.2.2. MUESTRE0 SIMPLE

Una vez generada la distribución Beta para la declinación exponencial del pozo o yacimiento, se procede a Iiacer un muestreo Simplc:, la cual seleccioiiara un solo valor dentro de la distribución Beta, para la coiistante de declinación exponencial.

iiiego este valor es reemplazado en la ecuación de la curva de declinación exponencial, siipoiiietido una tasa de producción de petróleo actiial de 1000 BblIDia, y estimando iina producción de petróleo recuperable (Np) Iiasta tina tasa de abandono de 20 Bbl/Dia.

A continuación se presenta iin ejemplo del valor obtenido por un inuestreo Simple, las tasas de producción y petróleo recuperable.

-~ p.--.pp. ~ Aplicación de la Mt!/odolon.io

-------------------------------------------------------------------------------------..-

Q (BblID) Constante de Decliiiación exponencial (Año-') 1000.00 O. 1575

-------------------------------------------------------------------------------------.--

TIEMPO(Años) Qo (BblID) N ~ ( B ~ ~ / D ) / ( A ~ O - ' ) NP(B b l S) --------------------------------------------------------------------------------------.--

Utilizando una constante de declinación exponencial de pozo o yacimiento D = 0.1575 ~ i í o s - ' , estimando una tasa de producción recuperable

de petróleo Np = 2271 110.30 Bbls, empleando iin tiempo de prodiicción de 24.83 años.

r'l. continiiación se muestra el siguiente grafico de dc:clinacióii exponencial del pozo o yacimiento.

Declinacion Exponencial del Pozo o Yacimiento

T (Años)

Figy~ra 5.23. Declinación Exponencial del pozo o yacimiento a una coiistante de declinación.

La presente figu-a representa la tendencia de la declinación exponencial de prodiicción de un pozo o yacimiento cuando se considera una colistante de declinación de 0.1575 ~ ñ o s - ' .

Esta tendencia del coinportamiento del pozo cambiara cuando se considera otra constante de declinación exponencial (D), pudiéndose estimar diferentes producciones aciiinuladas de petróleo (Np) para una tasa de abandono fija.

5.2.3. Comportamiento de la Constante de Declinación Exponencial (D) versus Producción Acumulada de Petróleo (Np) y FI-ecuencia Acumulada versus Producción Acumulada de Petróleo

Se hicieron varios muestreos simples en la distribiición Beta de la declinación exponencial del pozo o yacimiento, para coriocer qiic: relación existe con respecto a la producción acumulada de petróleo a un;x tasa de abandono así como también la forma de su frecuencia acumi~lada

,\ continuación se muestra como influye la constante de d(:clinación exponencial con respecto a la producción acumulada de petróleo.

Constante de Declinación Frecuencia Produc~ción Acuinulada Exponencial

.4fios-' Acumulada de Petróleo

Bbls

O. 1955 O. 904 1.829.668 0.2000 0.952 1.788.500

--------------------------------------------------------------------------.-----------.---------

r l continiiación se miiestra los siguientes gráficos de dt:clinacióri exponencial del pozo o yacimiento versus producción acuinulada de petróleo, y fieciiencia acumulada versus prodiicción acumulada.

Constante de Declinacion Exponencial Vs. Produccion Acumulada de Petroleo

Figura 5.24. Comportamiento de la Constante de Declinación Exponencial versus Prodiicción Acumulada de Petróleo.

Frecuencia Acumulada Vs. Produccion Acumulada de Petroleo

Np (Bbls)

Figura 5 2 5 . Frecuencia Aciimiilada versus Producción Aciimulada de Petróleo.

CAPITULO VI

ANÁLISIS Y RESULTADOS

ANALISIS Y RESULTADOS

1% este capitulo se analizara los resultados de la estimación di: reservas recuperables de petróleo en dos partes, en la primera parte tratara sobre la aplicación probabilística del inétodo voliimétrico y en la segunda parte sobre la aplicación probabilística de la curva de declinación exponencial.

Análisis de los paráinetros estadísticos usados en el calculo de POES, ciiando se usa un inétodo de inuestreo, inriestreo Monte Carlo o inuestreo Hiperciibo Latino, para conocer cual es el tamaño 1-nínisno de la inuestra a usar. Análisis de POES para detenniliar el promedio y desviación estándar de las inuestras Análisis de POES cuando se usa un método de muestreo ( Monte Carlo o HiperCubo Latino), a uria detenninada probabilidad en la función de distribución acuinulada. Análisis en la estimación de reservas reciiperables, asuniiendo iiii

inecanisino de prodiicción del yacimiento.

6.2. ANÁLISIS SOBRE 1,A APLICACIÓN PROBABILISTIC~ DE LA CURVA DE DECLINACIQN EXPONENCIAL

Análisis de la producción aciirniilada de petróleo liasta ura tasa de abandono, iisando diferentes constantes de declinación exponeiicial. Estimación de reservas reciiperables asumiendo iina freciiencia acumulada.

6.1. ANÁLISIS SOBRE LA A P L I C A C I ~ N PROBAIJILISTI<;A DEL METODO VOLUMETRICO

Análisis de los parámetros estadísticos usados en el POES

Ilna vez muestreado un numero significativo de veces las fiinviones de distribución Beta del Area del yacimiento, Espesor de la formación, I'orosidad de la formación, Saturación de agua y Factor voliimétrico de petróleo, utilizando el método de inuestreo Monte Carlo o inuestreo Hipercubo Latino, se procede a detenninar su promedio y desviación estándar de caca uno de ellos para diferentes tamaño de muestras.

IJna manera de inedir la exactitud, es comparar el promedio de la rnuestr;~ (Monte Carlo e 1-Iipercubo Latino) con el verdadero prometlio de los parainetros estadísticos. Después de u11 numero suficiente de muestras (tamaño iníniino de muestras), el error entre el promedio de la muestra y el verdadzro promedio debería aproximarse a cero.

l-iaciendo un análisis para los parainetros estadísticos usatios en el calculo del POES:

1 Area (Acres) l 50 I 750 1 500 l Valormínimo Valor ~ á r 7 Media -7

1 Porosidad (Fracción) 1 1 Espesor (Ft) l

Tabla3.8. Valores de los paráinetros estadísticos iisados en el (:alculo de POES.

)O0 l 200 '

A continuación se procedió a encontrar la media o proinedio de las muestras para 5, 10, 20, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 y 1000 iniiestras, tanto para el iniiestreo Monte Carlo e Hiperciibo Latiiio, en los paráinetros estadísticos involiicrados en el calculo del "OES y luego se procedió a gafícarlos.

Eln ella nos indicara ciial es el numero necesario de muestras requeridas o tainaiio inínimo de iniiestreo, para que converge el proinedio de las muestras con el verdadero valor promedio.

AREA

400 -1- -y---.-- -- 7-- T-

-,

O 200 400 600 800 '1 O00 NUMERO DE MUESTRAS

Fig~ira.6.26. Promedio de las inoestras para el Área del Y aciinien to usando iniiestreo Monte Carlo y muestre0 Hipercubo Latino.

ESPESOR

NUMERO DE MUESTRAS

Figura.6.27. Promedio de las niuestras para el Espesor de la Fonnacion usando inuestreo Monte Carlo y muestreo Hiperciibo Latino.

POROSIDAD

NUMERO DE MUESTRAS

Figira.6.28. Promedio de las muestras para la Porosidad de la formación iisando muestreo Monte Carlo y miiestreo Hiperciibo Latino.

SATURACION DE AGUA

0 20 1 I -

O 200 400 600 800 ' O00 NUMERO DE MUESTRAS

Figura.6.29. Promedio de las muestras para la Saturación de Agua usando muestre0 Motite Cado y inuestreo Hiperciibo Latino.

FACTOR VOLUMETRICO DEL PETROLEO

1-20 & - 7 - 7 ,

O 200 400 600 800 1 O00 NUMERO DE MUESTRAS

Figira.6.30. Proinedio de las iniiestras para el Factor voluinétrico c.e petróleo iisando inuestreo Monte Carlo y iniiestreo Hiperciibo Latino

E3n las figuras de los parámetros se detennino el tamaíio ininiino de las inuestnis para cada parainetro, cuando se uso el muestreo Monte Carlo, el tamaño ininimo de las miiestras para el Area es superior a 1000 iniiestras, el Espesor 900 muestras, Porosidad 800 inuestras, Saturación de agua 200 iniiestras y Factor voliiinétrico del petroleo 500 inuestras. Por lo qiie se concluye que se necesita mas de 1000 iniiestras, por la tecnica de inuestreo Monte Carlo, para conocer las características esenciales de la poblacion.

I<n cambio cuando se irso un muestreo Hiperciibo Latino, e1 tamaño ininirno de las muestras para el Area es 500 inuestras, el Es~esor 600 inuestras, Porosidad 500 muestras, Saturación de agiia 200 muestrac3 y Factor volumi:trico 500 mirestras, por lo que se concluye qiie se necesita 600 iniiestras, por la técnica de iniiestreo HiperCubo Latino, para conocer las características esenciales de la población.

'También se procedió a encontrar la desviación estándar de las muestras, tanto para el muestreo Monte Carlo e Hipercubo I,atino, en los parámetros estadísticos involiicrados en el calculo de POES y Iiiego se procedió a gsaficarlos.

A continiiación se presenta los siguientes gráficos:

AREA

O 200 400 600 800 1 O00 NUMERO DE MUESTRAS

Figiira.6.3 1 . Desviación estándar de las muestras para el Area del Yacimiento usando muestreo Monte Carlo y inuestreo Hipercubo Latino.

ESPESOR

NUMERO DE MUESTRAS

Figiira.6.32. Desviación estándar de las muestras para el Espesor de la Formación usando inuestreo Monte Carlo y inuestreo Hipercubo Latino.

POROSIDAD

NUMERO DE MUESTRAS

Fipra.6.33. Desviación estándar de las inuestras para la Porositlad de la formación iisando niuestreo Monte Carlo y niiiestreo 1-Iipercul~o Latino.

SATURACION DE AGUA

, . 0 o5 - r-- -- 7-- I

O 200 400 600 800 1000 NUMERO DE MUESTRAS

Figira.6.34. Desviación estándar de las muestras para la Satiiració~i de Agua usando inuestreo Monte Carlo y muestre0 Hiperciibo Lti:ino.

FACTOR VOLUMETRICO

NUMERO DE MUESTRAS

Fibwre.6.35 Desviación estándar de las muestras para el Factor Volutnétrico de Petróleo usando inuestreo Monte Carlo y iniiestreo Hipercubo Latino.

Idas figuras muestran que para un inuestreo Monte Carlo los \-alores de la desviación estándar son muy variables cuando se tiene diferentes t.amaño de inuestr;is, en cambio para un muestreo Hipercubo Latino los valores de la desviación estándar permanecen constante para diferentes tamaño de inuestras.

IZsto nos puede indicar que el muestreo Monte Carlo necesita mayor numero de muestras que el iniiestreo Hiperciibo Latino para llegar a converger .

Análisis de POES para determinar el promedio y desviación estándar de las muestras

De igual modo se analizara para el muestreo Monte Carlo y muestreo Hipercubo Latino como se coinporta el promedio y la desviación estándar de POES con respecto al numero de muestras

Se procede a encontrar el promedio de POES para 5, 10, 20, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 y 1000 inuestras, tanto para el muestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino. A continuación se presenta la siguiente figura.

NUMERO DE MUESTRAS ,~

LHS -MC i -.-- -- -1 Figura.6.36. Promedio de las iniiestras para el POES usando muestreo Monte

Carlo y inuestreo Hipercubo versus el ntiinero de milestras.

Como se observa en la figura, el promedio de las muestras para el POES con respecto al numero de muestras cuando se usa el muestreo Monte Carlo es 70 MM Bbls y para el muestreo Hipercubo Latino es 70 MM Elbls. Esta tendencia del promedio del POES permanece casi constante desde niuy pocas inuestr;is hasta un gran niimero de muestras.

Ile igual modo se procedib a encontrar la desviación estándar de POES para 5, 10, 20, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700. 800, 903 y 1000 muestras, tanto para el muestreo Monte Carlo e Hipercubo L,atino

Luego se procedieron a b~aficar los valores de la desviación estándar de POES, tanto para el muestreo MonteCarlo e Hipercubo Latino versus el nuinero de inuestras. La cual mostrara coino es su coinportamieiito con respecto al niimero de muestras

NUMERO DE MUESTRAS

Fi~ira.6.37. Desviación estándar de las muestras para el POES usando miiestreo Monte Carlo y muestreo Hiperciibo Latino versus el numero de iniiestras.

(zaino se observa en la figura, la desviación estándar de las muestras para el POES con respecto al numero de muestras cuando se usa el rnuestreo Monte Carlo es aproxiinadameiite 32 MM Bbls y para el niuestreo IIipercubo Latino es aproximadamente 36 MM Bbls. La tendencia de la desviacióii estándar de POES permanece casi constante desde muy pocas muestras hasta un gran numero de rniiestras

Análisis de POES cuando se usa un método de muestreo a una determinada probabilidad

Se considero un tainaiio de muestreo de 1000 muestras para los parárnetros estadísticos involiicrados en el calculo de POES, con la cual se construyo la frecuencia aciimulada de POES, tanto para el rnuestt-:o Monte Carlo e Hipercubo Latino.

PETROLEO ORIGINAL EN SITIO

1 -+ MC LHS

Figlra.6.38. Petróleo Original En Sitio (POES) a diferentes casos de incertidiiinbre

Como se observa en la figyra las curvas son muy parecidas .ina de la otra, debido a la forma de muestreo que emplea cada uno de ellas. a) Cuaiido se emplea un muestreo Monte Carlo y asumiendo:

Caso optimista ( 90 % probabilidad de POES): 1 1 16341 00 Bhls

Caso promedio (50 % probabilidad de POES): 65736240 Bbls

Caso pesimista (1 0 % probabilidad de POES): 28780740 Bbls

b) Cuando se emplea 1111 inuestreo Hipercubo Latino y asumiendo:

Caso optimista ( 90 % probabilidad de POES): 1 16690500 Bbls

Caso promedio (50 % probabilidad de POES) 65062000 Bbls

Caso pesimista (1 0 % probabilidad de POES): 29 1732 10 B bls

Análisis en la estimación de reservas recuperables, asumliendo un mecanismo de producción del yacimiento.

La estimación de reservas recuperables esta asociado al vcbliimen de Petróleo Original En Sitio por un Factor de Recobro, este factor dependerá del mecanismo de producción del yaciiniento.

Asuiniendo lo siguiente:

A) Empuje por Gas en Soliicióii y B) Factor de Recobro: 20%

Para calcular las reservas reciiperables de petróleo se tendrá qiie inultiplicar el POES por el factor- de recobro del yacimiento.

Estiiniición de reservas reciiperables = POES x factor de recobro del yacimiento.

Muestreo MC Caso Optimista E 22326820 Bbls

1 301 2400

- 5834642 Bhls

6.2. Análisis de la producción acumulada de petróleo hasta uníi tasa de abandono usando diferentes constantes de declinación exponencial.

I,a tasa de prodricción del pozo o yacimiento dependerá de la constante de declinación exponencial usada para calcular la tendencia de la curva de declinación de producción del pozo, y la producción acumulada se estimaría hasta una tasa de abandono.

Declinacion Exponencial del Pozo o Yacimiento

O 10 20 30 40 50 60

T (Anos)

Figira.6.39. Rango de variación de la posible declinación exponencial del pozo o yacimiento

Sabiendo que la constante de declinación exponencial asumida varia entre 0 .1 ~ ñ o s - ' a 0.2 A ~ O B ' . y la tasa de abandono es de 20 BblsDia, la estimación de producción acumulada estaría entre 3577000 Bbls y 1788500 Bbls

Por lo cual asumir una constante de declinación exponencial errónea provocaría una mala estimación a fiituro de las reservas recupc:rables de petróleo.

Estimación de reservas de petróleo recuperable asumierido una frecuencia acumulada

Se considero un tamaño de inuestreo de 20 muestras para el c:alculo de la proclucción aciitnulada de petróleo con la cual se construyo la fi-ecuencia acumulada.

Frecuencia Acumulada Vs. Produccion Acumulada de Petroleo

O.E+OO 1 .E+06 2. E+06 3.E+06 4.Ef+06 Np (Bbls)

Figura.6.40. Estimación de petróleo recuperable a diferentes casos de incertidiimbre

Como se observa en la figrira la ciirva presenta una forma irregiilar, debido al poco numero de miiestras qiie se empleo, aumentando el i1umero de inuesti-as la frecuencia acumulada tendrá una fonna mas regiilar.

Sabiendo que cada petróleo acumulado (Np) esta asociado a una constante de declinación exponencial (D), se estimara a diferente:; casos de incertidumbre.

a) Casos de incertidumbre:

Caso optimista ( 90 % probabilidad): Np = 1859660 Bbls

D = 0.1923 Año-'

Caso proinedio (50 % probabilidad): Np = 2474086 Bbls

D = 0.1446 ~ ñ o - '

Caso pesimista ( 1 0 % probabilidad): Np = 3279867 Bbls

D = 0.1090 ~ ñ o - '

CAPITULO VI1

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Ell uso de una distribución de probabilidad para un parámetro X, se debe al descoriocimiento real del verdadero valor. Por lo cual asi.iinir una distribución de probabilidad para dicho parámetro, permite tener un rango de valores posibles, debido a la falta de ima completa infoni~ación, como es el caso de la heterogeneidad de la roca reservorio y la distribución de los fluidos con posición espacial. Es el caso de la porosidad, la saturación de petróleo y el espesor de formación en el calculo de POES por el método voliimc:trico. Así como también la constante de declinación exponencial del pozo o yacimiento en la tendencia de la tasa de producción de petróleo Iiasta una tasa de abandono, por lo cual es recomendable saber elegir la distrit~ución de probabilidad a ser usada y la forina en qiie es inuestreada.

Las principales conclusiories de este trabajo son las siguientes:

Eii este t~abajo se presenta una nueva metodología para calciilar el petróleo en sitio y estimación de reservas por métodos probabilístic~~s cuando se usa técnicas de muestreo Monte Carlo e Hipercubo Latino.

El método de inuestreo Hipercubo Latino ofrece mayor ventaja sobre el muestreo Monte Carlo debido a las siguientes razones:

1. Permite una mejor distribución de las muestras, a través del muestreo espaciado no agrupado, caso que no ocurre con el miiestreo Monte Carlo, donde las inuestras pueden agruparse alrededor de iin solo 1 ligar.

2. Permite conocer las características esenciales de la poblacióri en fonna rápida al iitilizar un menor numero de miiestras, porque converge el

promedio de las muestras con el verdadero valor promedio mucho mas rapido, reduciendo el tiempo de muestre0 (costo en la siinulaciOn), caso que no ocurre con el iniiestreo Monte Carlo, donde utiliza inayor nuinero de muestras para poder converger, por lo tanto empleando mayor tiempo de inuesti-eo.

E:n este trabajo dejamos un programa en FORTRAN que permite evaluar procesos de incertidumbre, un manual para el usuario, cód-gos, etc. Para los casos de:

I .- Petróleo Original En Sitio (POES) y

2.-Curva de Declinación de Producción.

La principal recomendación de este trabajo es la siguiente:

Ils recomendable tratar de iitilizar este programa de FORTRAN, para aquellas situaciones donde exista iina incertidiimbre de iin valor fijo, ya que permite tener un rango de posibles valores en vez de un solo valor, este prograina puede ser modificado y adaptado a diferentes situaciones de trabajo.