Calculo de Potencial Electrico Para Distribuciones Continuas de Carga

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INDUCCIÓN ELECTROMAGNETICA Chuyacama Zarate Benjamin Universidad Católica de Santa María 950353260 [email protected] Resumen En este trabajo obtenemos la expresión analítica exacta del potencial eléctrico que producen: Potencial en el eje de un anillo cargado Potencial en el eje de un disco uniformemente cargado Potencial de un plano infinitamente cargado Potencial en el interior y exterior de una corteza esférica Potencial debido a una carga lineal infinita Como resultado particular, deducimos el potencial para puntos a tratar, que es un ejemplo empleado en muchos libros de Física elemental como el Sears Zemansky y el Serway. Mostramos gráficamente como es el campo eléctrico generado por esas distribuciones de carga eléctrica Abstract In this paper we obtain the exact analytical expression of electric potential produced: • Potential in the axis of a charged ring • Potential in the axis of a uniformly charged disk • Potential for a plane infinitely loaded Potential inside and outside of a spherical shell potential due to an infinite linear load As a particular result, we deduce the potential for talking points, which is an example used in many elementary physics books like Sears and Zemansky Serway. Is shown graphically as the electric field generated by electric charge distributions such INTRODUCCIÓN Docente: Ing. Rebeca Linares Guillen

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INDUCCIÓN ELECTROMAGNETICA

Chuyacama Zarate BenjaminUniversidad Católica de Santa María

[email protected]

Resumen

En este trabajo obtenemos la expresión analítica exacta del potencial eléctrico que producen:

Potencial en el eje de un anillo cargado

Potencial en el eje de un disco uniformemente cargado

Potencial de un plano infinitamente cargado

Potencial en el interior y exterior de una corteza esférica

Potencial debido a una carga lineal infinita

Como resultado particular, deducimos el potencial para puntos a tratar, que es un ejemplo empleado en muchos libros de Física elemental como el Sears Zemansky y el Serway. Mostramos gráficamente como es el campo eléctrico generado por esas distribuciones de carga eléctrica

Abstract

In this paper we obtain the exact analytical expression of electric potential produced:

• Potential in the axis of a charged ring• Potential in the axis of a uniformly charged disk• Potential for a plane infinitely loaded• Potential inside and outside of a spherical shell• potential due to an infinite linear load

As a particular result, we deduce the potential for talking points, which is an example used in many elementary physics books like Sears and Zemansky Serway. Is shown graphically as the electric field generated by electric charge distributions such

INTRODUCCIÓNSabemos que las corrientes eléctricas están

constituidas por cargas eléctricas en movimiento, y que para que estas cargas se

muevan, sobre ellas deberá actuar una fuerza que, de forma invariante para v<<c,

viene dada por la Ley de Lorentz:

En lecciones previas hemos analizado cómo se produce una corriente eléctrica como consecuencia de campos electrostáticos coulombianos, EC, cuya fuente son las cargas eléctricas en reposo. A lo largo de esta lección trataremos de comprobar si existen otras maneras de generar corriente eléctrica.

Inducción térmica Cuando movemos un imán permanente por el interior de las espiras de una bobina solenoide (A), formada por espiras de alambre de cobre, se genera de inmediato una fuerza electromotriz (FEM), es decir, aparece una corriente eléctrica fluyendo por las espiras de la bobina, producida por la “inducción magnética” del imán en movimiento.

Si al circuito de esa bobina (A) le conectamos una segunda bobina (B) a

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modo de carga eléctrica, la corriente al circular por esta otra bobina crea a su alrededor un “campo electromagnético”, capaz de inducir, a su vez, corriente eléctrica en una tercera bobina.

Por ejemplo, si colocamos una tercera bobina solenoide (C) junto a la bobina (B), sin que exista entre ambas ningún tipo de conexión ni física, ni eléctrica y conectemos al circuito de esta última un galvanómetro (G), observaremos que cuando movemos el imán por el interior de (A), la aguja del galvanómetro se moverá indicando que por las espiras de (C), fluye corriente eléctrica provocada, en este caso, por la “inducción electromagnética” que produce la bobina (B). Es decir, que el “campo magnético” del imán en movimiento produce “inducción magnética” en el enrollado de la bobina (B), mientras que el “campo electromagnético” que crea la corriente eléctrica que fluye por el enrollado de esa segunda bobina produce “inducción electromagnética” en una tercera bobina que se coloque a su lado.

El campo magnético del imán en movimiento dentro de la bobina solenoide (A), provoca que, por.“inducción magnética”, se genere

una corriente eléctrica o fuerza electromotriz (FEM) en esa bobina. Si.instalamos al circuito de (A) una segunda bobina (B), la corriente eléctrica que comenzará a circular por.sus espiras, creará un “campo electromagnético” a su alrededor, capaz de inducir, a su vez, pero ahora.por “inducción electromagnética”, una corriente eléctrica o fuerza electromotriz en otra bobina (C). La.existencia de la corriente eléctrica que circulará por esa tercera bobina se podrá comprobar con la ayuda.de un galvanómetro (G) conectado al circuito de esa última bobina

LEY DE FARADAY

Michael Faraday comunicó en 1831 sus primeras observaciones cuantitativas sobre fenómenos relacionados con campos eléctricos y magnéticos dependientes del tiempo. Observó la aparición de corrientes transitorias en circuitos en las tres situaciones siguientes: (i) cuando se establecía o se suspendía una corriente estacionaria en otro circuito próximo; (ii) si un circuito cercano por el que circulaba una corriente estacionaria se movía respecto del primero; y (iii) si se introducía o retiraba del circuito un imán permanenteFaraday tuvo el mérito de comprender las características comunes de estos tres experimentos y atribuyó el origen de las corrientes transitorias a las variaciones del flujo magnético que atravesaba el circuito. El cambio común en los tres experimentos citados es la variación del número de líneas de campo magnético que atraviesa el circuito donde se producen las corrientes transitorias. En la interpretación de Faraday, la variación del flujo magnético1 a

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través del circuito origina una fuerza electromotriz (f.e.m.) inducida responsable de la aparición de la corriente transitoria (desde ahora, corriente inducida). Recordemos que la definición de flujo magnético a través de una superficie es:

Esa es la definición de flujo magnético (1)

Cuantitativamente la f.e.m. inducida depende del ritmo de cambio del flujo: no importa el número concreto de líneas de campo atravesando el circuito, sino su variación por unidad de tiempo. La relación entre f.e.m. inducida y variación de flujo constituye la Ley de Faraday:

Ley de Faraday Donde ΦB es el flujo magnético que atraviesa el área delimitada por el circuitoLa característica esencial de la variación de flujo magnético a través de cualquier superficie es que induce un campo eléctrico no electrostático en el contorno que delimita esta área. Las líneas de campo son cerradas y el campo eléctrico inducido es un campo no conservativo; la f.e.m. inducida está definida como la circulación de este campo a lo largo del contorno:

Definición f.e.m.El subíndice C en la integral indica que el producto escalar del integrando se realiza en los puntos pertenecientes al contorno, y el círculo que rodea la integral simboliza que ésta se calcula sobre el contorno completo. En la figura 1 se esquematiza la situación para un circuito formado por una única espira (no necesariamente formada

por material conductor) situada dentro de un campo magnético variable

Figura 1. Campo eléctrico inducido por un campo magnético variableEl significado físico de la f.e.m. se deduce de la ecuación (3) si consideramos una carga arbitraria que se mueve en un circuito conductor por la acción del campo inducido: la integral del segundo miembro de la ecuación representa el trabajo por unidad de carga a lo largo del circuito completo, porque se está integrando la componente tangencial de la fuerza por unidad de carga. El movimiento de cargas debido al campo inducido en los circuitos conductores origina las corrientes transitorias que observó Faraday. Debe observarse que la f.e.m. inducida está distribuida a través del circuito, a diferencia de las fuentes de f.e.m. de los circuitos eléctricos, que están situadas en lugares específicos de los mismos.

La ley de Faraday puede escribirse como una relación integral entre los campos eléctrico y magnético a partir de las definiciones de flujo y f.e.m. (ecuación (4)). La superficie S a través de la que calculamos el flujo es una superficie delimitada por el contorno C donde se calcula la f.e.m..

LEY DE LENZ

En 1834 Heinrich F. Lenz enunció una regla que permite determinar el sentido de la corriente inducida en un circuito cerrado. Esta regla se conoce como Ley de Lenz, y se enuncia del modo siguiente:

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“Una corriente inducida en un circuito cerrado tiene tal sentido que se opone al cambio que la produce.”El signo negativo de la ley de Faraday está íntimamente relacionado con esta noción de oposición. Es importante puntualizar que la ley de Lenz se refiere a corrientes inducidas, y no a fuerzas electromotrices inducidas. Esto significa que sólo puede aplicarse directamente a circuitos cerrados; si el circuito no está cerrado, debemos razonar en términos de qué sucedería si lo estuviese, para de esta forma predecir el sentido de la f.e.mPara ilustrar el significado de la ley de Lenz nos referiremos de nuevo al ejemplo de la barra imantada cuyo acercamiento o alejamiento produce variaciones de flujo a través de una espira. Ahora supondremos que la espira es conductora, de modo que la f.e.m. inducida origina una corriente. Interpretaremos la ley de Lenz aplicandola a este experimento de dos maneras distintas pero equivalentes.

1. Puesto que la corriente inducida en la espira produce un campo magnético, la espira se comporta como un pequeño imán orientado al contrario que el imán externo (figura 5). Si la barra imantada se acerca con el polo norte por delante, la cara de la espira enfrentada con ella es también un polo norte. Ambos polos se repelen mutuamente, y la regla de la mano derecha nos dice que para producir en la espira el efecto de un imán con esta orientación es necesario que la corriente inducida circule en sentido contrario a las agujas del reloj.

La espira se comporta como un pequeño imán que se opone a la aproximación.

En caso de que la barra se aleje de la espira, ésta se comporta como un pequeño imán cuyo polo sur estuviese enfrentado al polo norte (se invertiría el imán dentro de la espira). Ahora la aplicación de la regla de la mano derecha nos dice que esta orientación de los polos en la espira requiere una corriente inducida circulando en el sentido de las agujas del reloj. En la interpretación de la ley de Lenz, el movimiento de la barra imantada es el cambio que produce la corriente inducida. La corriente actúa en sentido opuesto al movimiento.

2.Interpretaremos ahora la situación de un modo diferente, en términos de las líneas de campo magnético. En la figura 6 se muestran las líneas del campo del imán y las que la corriente inducida origina en la espira. El cambio a que se refiere la ley de Lenz es ahora la variación de flujo magnético a través de la espira. Cuando la barra imantada se acerca a la espira, la densidad de líneas de campo se incrementa porque la espira intercepta un mayorNúmero de ellas (líneas discontinuas en la figura 6) ; en consecuencia se incrementa el flujo magnético, y la corriente inducida se opondrá a este cambio a través del campo magnético asociado con ella (líneas continuas de la figura 6). La aplicación de la

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regla de la mano derecha nos dice ahora que para producir un campo magnético de esta orientación la corriente inducida debe tener sentido antihorario.

Las líneas discontinuas representan el campo magnético del imán. Las líneas continuas son las del campo magnético inducido.

Puntualicemos que el campo magnético inducido no es intrínsecamente opuesto al campo magnético de la barra imantada; el campo inducido se opone a los cambios del campo de la barra que se traducen en cambios en el flujo a través de la espira, y existen cuatro posibilidades, según acerquemos o alejemos la barra imantada con su polo norte o polo sur enfrentado a la espira.

FUERZA ELECTROMAGNÉTICA DE MOVIMIENTO

Hasta aquí hemos considerado variaciones de flujo debidas a variaciones del campo magnético. A partir de este momento trataremos otras situaciones en las que no es el campo magnético quien sufre el cambio que origina la fuerza electromotriz. Veremos que el movimiento de cuerpos conductores dentro de campos magnéticos origina la denominada f.e.m. de movimiento. Supongamos que una varilla conductora rectilínea viaja con velocidad constante a través de una región donde existe un campo magnético uniforme B La varilla de longitud L se mueve perpendicularmente a las líneas del campo magnético y el origen del movimiento se toma a conveniencia en la posición

marcada como t = 0. La varilla corta en su movimiento las líneas de campo, barriendo en un tiempo dado un área rectangular tanto mayor cuanto mayor sea su velocidad. Así, en un instante cualquiera t

el área barrida es:

F.e.m. de movimientoObsérvese que a través de esta superficie, limitada por líneas punteadas en la figura 7, existe flujo magnético. Pero la causa de la f.e.m. inducida no es el flujo, sino su variación. Por tanto centremos nuestra atención en el área rectangular dS que representa la variación de superficie en el intervalo dt. Fácilmente se ve que su módulo es dS = L dx = Lv dt. Como los vectores B y dS son antiparalelos, la variación de flujo en el intervalo dt es:

Y la f.e.m. inducida es:

Interpretemos ahora el resultado. De la primera ecuación resulta que la variación de flujo con el tiempo es negativa; por tanto la f.e.m. es positiva de acuerdo con la ley de Faraday. Este signo debe atribuirse al sentido positivo asociado con dS. En la figura 6 se representa la f.e.m. a lo largo de la varilla por medio de una flecha que apunta en el sentido del campo eléctrico inducido, del extremo 1 al extremo 2.

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Puede comprobarse fácilmente que si en la descripción de la misma situación física hubiésemos elegido como sentido positivo de dS el paralelo y no el antiparalelo al campo magnético, el resultado para la f.e.m. hubiera sido el mismo. Hay una interpretación alternativa para la aparición de la f.e.m. inducida en la varilla en el sentido 1→2. Las cargas libres situadas dentro de la varilla se mueven con respecto a las líneas de campo magnético con la misma velocidad que ésta. La fuerza magnética por unidad de carga originada por este movimiento es:

Circuito cerrado para el cálculo de la f.e.m. inducida. El tramo L representa la varilla móvil. Los tres restantes (R), son fijos.

1. Potencial eléctrico en el eje d2. e un anillo

Dividimos el aro en elementos de línea, cada uno con la carga dq. El potencial creado en un punto Pdel eje por cada uno de estos elementos de línea es

siendo r la distancia desde el elemento de línea al punto P del eje. Como es una circunferencia, todos sus puntos están a la misma distancia del punto. La magnitud k es la constante de Coulomb.

El potencial en el punto P creado por cada elemento de línea es

El potencial total es la integral del potencial creado por cada elemento de línea

Al recorrer el aro, todas las magnitudes que aparecen son constantes. Por tanto

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El resultado de la integral es la carga completa del aro. Por tanto la solución es

3. Potencial eléctrico en un Disco cargado.

Determinar el potencial eléctrico en un punto P situado sobre el eje de un disco de radioR cargado uniformemente con densidad superficial de cargaσ, si el punto se encuentra auna distancia x de su centro.

a) A partir directamente de la distribución de carga

b) A partir del campo eléctrico

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4. Potencial eléctrico generado por un plano infinito

Un plano infinito con densidad de carga de superficie crea un potencial eléctrico saliente en la dirección σ perpendicular al plano de valor constante

Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se encuentra en x=0 el potencial eléctrico en todo punto x es igual a:

Donde se ha considerado como condición de contorno V(x)=0 en x=0

5. Esfera conductora cargada

Sea Q la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un material conductor las cargas están situadas en la superficie de la esfera siendo neutro su interior.

Potencial en el exterior de la corteza: El potencial en el exterior de la corteza es equivalente al creado por una carga puntual de carga Q en el centro de la esfera.

Donde es la distancia entre el centro de la corteza y el punto en el que medimos el potencial eléctrico.

Potencial en el interior de la corteza: El campo eléctrico en el interior de una esfera conductora es cero, de modo que el potencial permanece constante al valor que alcanza en su superficie.

Donde es el radio de la esfera.

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6. Potencial debido a una carga lineal infinita

A partir del campo debido a un hilo infinito

o podemos escoger V0 para r=", pero tomamos a como el punto donde V=0, o sea

ConclusionesHemos mostrado, detalladamente, como se obtiene las expresiónes del potencial eléctrico en

Potencial en el eje de un anillo cargado

Potencial en el eje de un disco uniformemente cargado

Potencial de un plano infinitamente cargado

Potencial en el interior y exterior de una corteza esférica

Potencial debido a una carga lineal infinita

, Como resultado particular, hemos obtenido la expresión del potencial eléctrico en diversos, la cual esta expresada en términos de funciones elementales. En este trabajo, también hemos mostrado una gráficas de los distintos casos de estudio del potencial eléctrico que genera estas distribuciones de carga. Esta manera de abordar este tipo de problemas en clase resulta muy estimulante para los estudiantes que cursan la asignatura de electricidad y magnetismo (FISICA 2), pues ofrece la oportunidad de entender el desarrollo matemático para obtener esta expresiones y aplicar lo aprendido a situaciones semejantes

REFERENCIAS:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/anillo/anillo.htm

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_y_potencial_en_el_eje_de_un_anillo_cargado_Primera_Convocatoria_Ordinaria_2010/11_%28F2GIA%29

http://dafunica.galeon.com/cursos/fisica3/potencial.pdf

http://plataforma.edu.pe/pluginfile.php/287925/mod_resource/content/1/fisica-ii.pdf

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http://www.izt.uam.mx/newpage/contactos/anterior/n78ne/potencial.pdf

http://quegrande.org/apuntes/EI/1/FMC/teoria/08-09/ejemplos_resueltos_de_los_apuntes.pdf

http://www.nebrija.es/~cmalagon/Fisica_II/transparencias/01-Electricidad/04-Potencial_electrico.pdf

http://webs.ono.com/mariadoloresmarin/PDF/F2b_31_IEM_CE.pdf

http://plataforma.edu.pe/pluginfile.php/287955/mod_resource/content/1/DIAPOSITIVAS.pdf

http://charma.uprm.edu/~angel/3172/cap25.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctrico#Potencial_el.C3.A9ctrico_generado_por_un_plano_infinito

https://fisica2brisa.files.wordpress.com/2007/12/potencial.pdf

cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/tecnicas/electromagnetismo/contenidos/potencial-electrico/potencial.pdf

http://www.izt.uam.mx/newpage/contactos/anterior/n78ne/potencial.pdf

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