Aquesta obra compta amb el suport de la Generalitat de CatalunyaEn collaboraci amb el Servei de Llenges i Terminologia de la UPCDisseny de la coberta: Ernest CastelltortDisseny de collecci: Tono CristfolMaquetaci: Merc AicartPrimera edici: mar de 2009 Els autors, 2009 Edicions UPC, 2009 Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 1-3, 08034 Barcelona Tel.: 934 137 540 Fax: 934 137 541 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: edicions-upc@upc.ed ISBN: 978-84-9880-356-3Qualsevol forma de reproducci, distribuci, comunicaci pblica o transformaci daquesta obra noms es pot fer amb lautoritzaci dels seus titulars, llevat de lexcepci prevista a la llei. Si necessiteu fotocopi-ar o escanejar algun fragment daquesta obra, us he dadrear al Centre Espanyol de Drets Reprogrfcs (CEDRO), .Page (PS/TeX): 1 / 5, COMPOSITEIndexIntroducci o 91 Els nombres1 01.1 Diferents classes de nombres 111 01.2 Els nombres reals 121 01.2 Representaci o dels nombres sobre una recta 121 01.2 Propietat de densitat de Q i R\Q en R 121 01.2 Ordenaci o dels nombres reals 131 01.2 Intervals i semirectes 131 01.2 Inequacions 141 01.2 Suprem, nm, m` axim i mnim 151 01.2 Expressi o decimal dels nombres reals 161 01.2 Valor absolut i dist ` ancia 161 01.3 Els nombres complexos 181 01.2 Operacions amb complexos en forma bin` omica 201 01.2 Representaci o gr ` aca 201 01.2 M` odul i argument. Diferents maneres dexpressar un nombre complex 211 01.2 Operacions amb complexos en forma polar 241 01.2 Producte i quocient 241 01.2 Potenciaci o. F ormula de De Moivre 251 01.2 Radicaci o 261 01.2 Arrels en` esimes i polgons 271 01.2 Descomposici o dun polinomi en factors primers 28Problemes resolts 30Problemes proposats 352 Funcions1 02.1 Conceptes b` asics 371 02.2 Les funcions elementals 411 02.2 Funcions polin` omiques 411 02.2 Funcions racionals 421 02.2 Funcions exponencials 421 02.2 Funcions logartmiques 43Index15 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 2 / 6, COMPOSITE1 02.2 Funcions trigonom` etriques 441 02.2 Funcions hiperb` oliques 461 02.3 Operacions algebraiques amb funcions 481 02.4 Composici o 491 02.5 Funci o inversa 511 02.6 Esb os de gr ` aques de funcions a partir de funcions donades 551 02.7 Gr ` aques de corbes en coordenades polars 571 02.7 Rectes 601 02.7 Circumfer ` encies 611 02.7 Cargols 611 02.7 Lemniscates 621 02.7 Roses 64Problemes resolts 65Problemes proposats 713 Continutat1 03.1 Lmit duna funci o en un punt 751 03.1 Lmits innits i lmits en linnit 771 03.1 Operacions amb innits 781 03.2 Continutat duna funci o 801 03.1 Discontinutat 811 03.1 Propietats locals de les funcions contnues 841 03.1 Propietats de la continutat global 84Problemes resolts 88Problemes proposats 914 Derivaci o1 04.1 Denici o i interpretaci o del concepte de derivada 931 04.1 Interpretaci o fsica. El problema de la velocitat instant ` ania 941 04.1 Interpretaci o geom` etrica. El problema de la recta tangent 951 04.1 Derivades laterals 981 04.1 Idea gr ` aca de la derivabilitat 1001 04.1 Aproximaci o per la tangent 1011 04.1 Derivada com a coecient de variaci o o ra o de canvi 1021 04.2 Angle dintersecci o entre corbes 1031 04.3 Derivabilitat i continutat 1051 04.4 Derivada i operacions algebraiques. Derivades dordre superior 1061 04.4 Propietats algebraiques de les funcions derivables 1061 04.4 Derivades dordre superior 1061 04.5 Regla de la cadena 1071 04.6 Derivada de la funci o inversa 1091 04.7 Derivades de les principals funcions elementals 1121 04.8 Derivaci o implcita 1121 04.8 Aplicaci o. Derivada logartmica 1141 04.8 Derivades dordre superior implcitament 1151 04.9 Teoremes del valor mitj ` a i aplicacions 1161 4.10 Extrems absoluts 1191 4.10 Extrems absoluts duna funci o contnua f en un interval tancat 11961C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 3 / 7, COMPOSITE1 4.10 Extrems absoluts duna funci o f (contnua o no) en un interval, semirecta... 1201 4.11 Regles de LH opital 1211 4.10 Aplicaci o reiterada de la regla de LH opital 1231 4.10 Aplicaci o a les indeterminacions 0 , , 00, 0i 11241 4.12 La f ormula de Taylor. Aplicacions 1261 4.12 Aproximaci o de funcions mitjanc ant polinomis 1261 4.12 Alguns desenvolupaments de Taylor 1301 4.12 Innit ` esims. Aplicacions 1321 4.13 Estudi local duna corba 135Problemes resolts 138Problemes proposats 1435 Integraci o1 05.1 La integral de Riemann. Propietats 1471 05.1 Construcci o de la integral de Riemann 1471 05.1 Propietats de la integral 1501 05.2 Integraci o i derivaci o 1521 05.1 Funci o integral 1521 05.1 Teorema fonamental del c ` alcul 1541 05.1 Corollaris del teorema fonamental del c ` alcul 1561 05.3 C` alcul de primitives de funcions 1581 05.1 Integrals immediates usuals 1581 05.1 Integraci o per descomposici o 1591 05.1 Integraci o per canvi de variable 1591 05.1 Integraci o per parts 1601 05.1 Integraci o de funcions racionals 1611 05.1 Integraci o de funcions trigonom` etriques i hiperb` oliques 1661 05.1 Integrals irracionals senzilles 1701 05.4 Integrals impr ` opies 1711 05.5 Aplicacions de la integral denida 1751 05.5 `Arees planes 1751 05.5 `Arees planes en coordenades cartesianes 1751 05.5 `Arees planes en coordenades polars 1771 05.5 Volums de revoluci o 1781 05.5 M` etode dels discos 1781 05.5 M` etode de les capes o tubs 1801 05.5 Volums de secci o donada 182Problemes resolts 183Problemes proposats 1886 Successions i s ` eries1 06.1 Principi dinducci o matem` atica 1911 06.2 Successions de nombres reals 1931 06.2 Operacions amb successions 1941 06.2 Lmit duna successi o 1951 06.2 Successions mon` otones 1991 06.2 Innits i innit ` esims 2041 06.2 Altres criteris de converg` encia per a successions 206Index17 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 4 / 8, COMPOSITE1 06.3 S` eries num` eriques reals 2071 06.3 S` eries de termes no negatius. Criteris de converg` encia 2111 06.3 Converg` encia absoluta i condicional 2141 06.4 S` eries num` eriques complexes 2151 06.5 S` eries de pot ` encies reals 2161 06.5 Continutat i derivabilitat duna s ` erie de pot ` encies 2191 06.5 Integrabilitat duna s ` erie de pot ` encies 2201 06.5 Operacions amb s ` eries de pot ` encies 2211 06.5 S` erie de Taylor 2211 06.6 S` eries de pot ` encies complexes 224Problemes resolts 225Problemes proposats 2327 Conceptes previs1 07.1 Test inicial 2361 07.2 Polinomis i equacions 2381 07.2 Breu resum te ` oric 2381 07.2 Problemes resolts 2401 07.2 Problemes proposats 2431 07.3 Geometria elemental 2481 07.2 Breu resum te ` oric 2481 07.2 Problemes resolts 2501 07.2 Problemes proposats 2511 07.4 Trigonometria plana 2531 07.2 Breu resum te ` oric 2531 07.2 Problemes resolts 2551 07.2 Problemes proposats 2561 07.5 Geometria analtica plana 2581 07.2 Breu resum te ` oric 2581 07.2 Problemes resolts 2661 07.2 Problemes proposats 2691 07.6 Derivades i integrals 2711 07.2 Breu resum te ` oric 2711 07.2 Problemes resolts 2721 07.2 Problemes proposats 274Solucions dels problemes 277Bibliograa 299Index alfab` etic 30181C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 1 / 9, COMPOSITE1 Introducci oPer cursar qualsevol carrera denginyeria es necessari tenir uns bons fonaments en les disciplines cientquesb` asiques, com es el c ` alcul. Aquest llibre, fruit de la nostra experi ` encia docent durant els darrers anys, pret enposar a labast de lestudiantat de les assignatures C` alcul I i C` alcul Innitesimal I de lEscola T` ecnica SuperiordEnginyeries Industrial i Aeron` autica de Terrassa (ETSEIAT) un resum complet de la teoria que simparteix enambdues assignatures. Aquest resum te ` oric va acompanyat duna extensa col.lecci o de problemes resolts,que creiem que pot ajudar la persona interessada a entendre millor i consolidar els conceptes te ` orics.Alhora, els problemes resolts es poden utilitzar com a model en el moment que lalumnat hagi de resoldrealtres problemes de forma aut ` onoma. Per afavorir aquest aprenentatge aut ` onom, sha incl ` os un recull deproblemes per resoldre (amb les seves solucions respectives).El llibre est ` a dividit en vuit captols. Als sis primers, es tracten els temes cl ` assics dun curs de c ` alcul dunavariable. El primer est ` a dedicat als nombres reals i complexos. El segon, als conceptes b` asics de les funcionsduna variable real, com les operacions amb funcions o lesb os de la gr ` aca duna funci o en coordenadespolars. Al tercer captol, sestudia el concepte de lmit duna funci o en un punt, la noci o de funci o contnua iles seves propietats. El captol quart est ` a dedicat a la derivaci o de funcions i les seves aplicacions. Al cinqu` e,sintrodueix la integral de Riemann per a funcions duna variable, es veuen m` etodes per determinarprimitives i sestudien aplicacions de la integral al c ` alcul d ` arees planes, de volums de cossos de revoluci oi de volums de cossos de secci o donada. Al captol sis ` e, sestudien les successions i les s ` eries, comenc antpel principi dinducci o matem` atica i acabant amb les s ` eries de pot ` encies, tant reals com complexes, queseran dutilitat en assignatures posteriors.La mat ` eria del captol set ` e, que hem titulat Conceptes previs, no forma part, estrictament parlant, delprograma de les assignatures de c ` alcul que shan mencionat anteriorment. Tanmateix, ens ha semblatoport u incloure en aquest captol un breu resum de resultats te ` orics i pr ` actics que, suposadament, jahaurien dhaver estat explicats en assignatures pr ` evies. Com que sovint aquesta suposici o no es del totcerta, es recorden les beceroles del c ` alcul. Per exemple, es repassen propietats dels polinomis o conceptesb` asics de geometria, com ara les f ormules per calcular ` arees dalgunes gures planes o volums de s ` olidsregulars. Tamb e hi ha un resum de trigonometria plana i de geometria analtica. Es recorda com esresolen equacions de diversos tipus (polin` omiques, irracionals, trigonom` etriques...) i es repassa el c ` alcul dederivades i el de primitives. Cal destacar que aquest captol comenc a amb un test que serveix per mesurarels coneixements inicials de lalumne o lalumna. Daquesta manera, cada estudiant pot decidir en quinsaspectes ha daprofundir m es o menys. Finalment, el captol vuit ` e cont e les solucions del test i de tots elsproblemes proposats al llarg del text. Tamb e sha incl ` os un ndex alfab` etic per facilitar la localitzaci o delsconceptes.Introducci o19 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 1 / 10, COMPOSITEPer acabar, volem agrair la col.laboraci o dels companys i les companyes de la Secci o de Terrassa delDepartament de Matem` atica Aplicada II; alguns dells han aportat desinteressadament problemes que araformen part daquest recull; daltres han contribut amb els seus comentaris a congurar el material quenalment shi ha incl ` os. Tamb e volem donar les gr ` acies a Edicions UPC, que sencarrega de ledici o i ladifusi o daquest llibre.Terrassa, marc de 2008M. C. Leseduarte, M. D. Llongueras i A. Maga na101C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 1 / 299, COMPOSITE8 BibliograaApostol, T.M. Calculus. Vol. I. Barcelona: Revert e, 1982.Bartle, R.G.; Sherbert, D. R. Introducci on al an alisis matem atico de una variable. M exico: Limusa, 1984.Berman, G.N. Problemas y ejercicios de an alisis matem atico. Moscou: Mir, 1977.Bombal, F.; Marn, L.R.; Vera, G. Problemas de an alisis matem atico. Madrid: AC, 1988.Burgos, J. de. C alculo innitesimal (teora y problemas). Madrid: Alhambra, 1984.Castellnuovo, E. La matem` atica. La geometra. Barcelona: Ketres, 1981.Clemens, Stanley R. Geometra. Addison Wesley, 1989.Coquillat, F. C alculo integral. Metodologa y problemas. Madrid: Tebar Flores, 1986.Danko, P.; Popov, A. Ejercicios y problemas de matem aticas superiores. Vol. I i II. Madrid: Paraninfo, 1982.Demidovich, B. P. 5.000 Problemas de an alisis matem atico. Madrid: Paraninfo, 1985.Diego, B. de. Ejercicios de an alisis. Sevilla: Deimos, 1984.Kletenik, D. Problemas de geometra analtica. 5a ed. Moscou: Mir, 1981.Lang, S. Basic Mathematics. Nova York: SpringerVerlag, 1988.Larson, R.E.; Hostetler, R.P.; Edwards, B.H. C alculo. Vol. 1. 5a ed. Madrid: McGrawHill, 1999.Leseduarte, M.C. [et al.] C` alcul I. Problemes i exercicis. Terrassa, 2007. Ex ` amens de c ` alcul resolts. Terrassa, 2003.Lubary, J.A.; Maga na, A. C` alcul I i II. Problemes. Barcelona: Edicions UPC, 1996.Ortega, J.M. Introducci o a lan` alisi matem` atica. Bellaterra: Manuals de la UAB, 1990.Salas, S.L.; Hille, E. Calculus. Vol. 1 i 2. 4a ed. Barcelona: Revert e, 2002.Spivak, M. Calculus. Barcelona: Revert e, 1986.Tebar, E. Problemas de c alculo innitesimal. Madrid: Tebar Flores, 1978.Bibliograa1299 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 2 / 300, COMPOSITE Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 3 / 301, COMPOSITE8 Index alfab` eticAx, 20Angle entre corbes, 103Aproximaci ode funcions per polinomis, 126, 127, 129de primer ordre, 134per la tangent, 101, 102, 126`Areadun sector circular, 177plana, 175en coordenades cartesianes, 175en coordenades polars, 177Argument dun complex, 21Arreldun polinomi, 28duna funci o, 86en` esima dun complex, 26m ultiple, 28Binomi de Newton, 239C` alcul algebraic, 238Canvi de variable, 157, 159Car ` acterduna s ` erie de pot ` encies, 218duna s ` erie num` erica, 208Coecient de variaci o, 102Composici o de funcions, 49, 50, 84Conjunttat, 15tat inferiorment, 15tat superiorment, 15Contacte dordre n, 128Continutatglobal, 84local, 80, 84Coordenadespolars, 57, 58cargol, 61cicumfer ` encia, 61ors, 64gr ` aca duna corba, 59lemniscata, 62recta, 60Criteride comparaci o ordinari, 212de comparaci o per pas al lmit o generalitzat,212de condensaci o de Cauchy, 213de larrel en` esima, 206de larrel o de Cauchy, 212de la mitjana aritm` etica, 207de la mitjana geom` etrica, 207de la primera derivada per a extrems, 119de Leibniz, 215de les s ` eries harm` oniques, 212de Pringsheim, 214de Raabe, 214de Stolz, 206del logaritme, 213del n umero e, 206del quocient, 206del quocient o de DAlembert, 213innit ` esim per tada (per a successions), 198integral, 213zero per tada (per a funcions), 80Derivadadordre superior, 106duna funci o en un conjunt, 94duna funci o en un punt, 93de la funci o inversa, 109idea gr ` aca, 100implcita, 112dordre superior, 115innita, 93, 98interpretaci o fsica, 94interpretaci o geom` etrica, 95lateral, 98logartmica, 114per lesquerra, 98per la dreta, 98Index alfab` etic1301 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 4 / 302, COMPOSITEDesenvolupamentde MacLaurin, 130, 133de Taylor, 126, 130en s ` erie de Taylor, 222, 223Desigualtat, 13Difer ` enciade funcions, 48de successions, 194Disc de converg` encia duna s ` erie de pot ` enciescomplexa, 224Discontinutat, 81de salt, 82essencial, 81, 82evitable, 81oscillat ` oria, 82Dist ` ancia entre dos nombres reals, 17Domini, 37Eixdabscisses, 38dordenades, 38imaginari, 20real, 20Equaci o, 238biquadrada, 240de segon grau, 240exponencial, 43irracional, 240logartmica, 44trigonom` etrica, 46Error, 127de Lagrange, 129Extremabsolut, 85, 119, 120relatiu, 85, 118, 119, 137Fitainferior dun conjunt, 15inferior duna funci o, 40inferior duna successi o, 197superior dun conjunt, 15superior duna funci o, 40superior duna successi o, 197F ormulade De Moivre, 25de Lagrange del residu, 129de Taylor, 126Fracci oequivalent, 11irreductible, 11Funci o, 37analtica, 222, 224arcsinus, 110c ` oncava, 135c ` oncava amunt, 135c ` oncava avall, 135contnua, 80, 150en un conjunt, 80en un punt, 80convexa, 135creixent, 38, 117decreixent, 38, 117derivable, 93, 150derivada, 94diferenciable, 93discontnua, 81estrictament creixent, 38, 117estrictament decreixent, 38, 117estrictament mon ` otona, 38, 117exponencial, 42tada, 40inferiorment, 40superiorment, 40hiperb ` olica, 46imparella, 38injectiva, 51integrable, 148, 150Riemann, 148integral, 152inversa, 51, 53logartmica, 43mon` otona, 38, 117parella, 38peri ` odica, 38polin ` omica, 41racional, 42real, 37senar, 38trigonom` etrica, 44Geometria elemental, 248Hip ` otesi dinducci o, 191Identitathiperb ` olica, 47trigonom` etrica, 45Imatge, 37Indeterminacions (lmits), 124Inducci o matem` atica, 191Inequacions, 14Inm dun conjunt, 15Innit, 204Innit ` esim, 132, 204Innitesimal, 132, 204Innit ` esims equivalents, 132, 133, 2043021C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 5 / 303, COMPOSITEIntegraci o, 158de funcions hiperb ` oliques, 158, 166de funcions immediates, 158de funcions irracionals, 158, 170de funcions racionals, 158, 161de funcions trigonom` etriques, 158, 166per canvi de variable, 159per descomposici o, 159per parts, 156, 158, 160Integral, 148de Riemann, 147denida, 152impr ` opia, 171, 172convergent, 172divergent, 172indenida, 152inferior, 148, 149superior, 148, 149Interval, 13de converg` encia duna s ` erie de pot ` enciesreal, 218mixt, 14no tat, 13obert, 13tancat, 14Lmitduna funci oen linnit, 77, 78en un punt, 75duna successi o, 195innit, 77lateral, 76per lesquerra, 76per la dreta, 76M` aximabsolut, 85, 119, 120dun conjunt, 15relatiu, 85, 118, 119Mnimabsolut, 85, 119, 120dun conjunt, 15relatiu, 85, 118, 119M` odul dun complex, 21Nombre, 11combinatori, 239complex, 19conjugat, 20forma bin ` omica, 22forma cartesiana, 22forma exponencial, 22forma polar, 22forma trigonom` etrica, 22oposat, 20part imagin` aria, 19part real, 19enter, 11imaginari, 18irracional, 12, 16natural, 11racional, 11, 16real, 12expressi o decimal, 16N umero e, 200Ordenaci o dels reals, 13Partimagin` aria duna s ` erie, 216real duna s ` erie, 216Partici o dun interval, 147Pla complex, 20Polinomi, 238de MacLaurin, 128de Taylor, 128aplicaci o, 136Pot ` encies, 238Primitiva, 156c ` alcul de, 158hiperb ` olica, 158immediata, 158irracional, 158per canvi de variable, 159per parts, 158racional, 158trigonom` etrica, 158Principi dinducci o, 191Productede funcions, 48de successions, 194Propietatdadditivitat respecte de linterval, 151de densitat dels irracionals, 12de densitat dels racionals, 12de linealitat de la integral, 150Punt dinexi o, 135Quocientde funcions, 48de successions, 194Quocient incremental, 94Radi de converg` encia duna s ` erie de pot ` enciescomplexa, 224real, 218Ra o de canvi, 102Index alfab` etic1303 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 6 / 304, COMPOSITERectanormal a una corba, 96tangent a una corba, 95Recta real, 12Reglade Barrow, 156de lH opital, 121123de la cadena, 108, 154Residu de Lagrange, 129Resta de Lagrange, 129Saltduna funci o, 82nit, 82innit, 82Semirecta, 13oberta, 14tancada, 14S` erieabsolutament convergent, 214alternada, 215condicionalment convergent, 214convergent, 208de pot ` enciescomplexa, 224convergent, 217divergent, 217real, 217de Taylor, 222divergent, 208num` ericaassociativitat, 211complexa, 216real, 207, 208oscillant, 209Successi oconvergent, 195, 197creixent, 199de les sumes parcials, 208de nombres reals, 193decreixent, 199divergent, 195estrictament creixent, 199estrictament decreixent, 199estrictament mon ` otona, 199tada, 197inferiorment, 197superiorment, 197mon` otona, 199pr ` opiament divergent, 196Sumaduna s ` erie, 208de funcions, 48de successions, 194inferior, 147superior, 147Sumes parcials, 208Suprem dun conjunt, 15Teoremade Rolle, 116del valor mitj ` a de Lagrange, 116de Bolzano, 86, 87de compressi o, 198de lentrep` a, 198de lextrem interior, 118de la converg` encia mon ` otona, 200de la inversa contnua, 84de Taylor, 127de Weierstrass, 85del valor mitj ` a per a integrals, 151dels valors intermedis de Bolzano, 88fonamental de l ` algebra, 28fonamental del c ` alcul, 154Terme complementari de Lagrange, 129Termes dordre superior, 129Triangle de Tartaglia-Pascal, 239Valor absolut, 16Variabledependent, 37independent, 37Velocitatinstant ` ania, 94mitjana, 94Volumde revoluci o, 178per capes o tubs, 180, 181per discos, 178, 179de secci o donada, 182Zero duna funci o, 863041C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 3 / 11, COMPOSITE1 Els nombres1.1 Diferents classes de nombresEls primers nombres que vam con` eixer, ja de petits, van ser els nombres naturals. Sorgeixen de la necessitatde comptar: N = {1, 2, 3, 4, . . .}. Aquests, per ` o, no s on sucients per descriure moltes situacions quoti-dianes elementals, com ara una quantitat de diners que devem a alg u, una temperatura sota zero... Desdun punt de vista estrictament matem` atic, la insuci ` encia de Nes manifesta en intentar resoldre lequaci ox +b = a, que nom es t e soluci o en N si a es m es gran que b.Per tal de resoldre aquest tipus de situacions i daltres de semblants, es construeix el conjunt dels nombresenters: Z = {. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Tanmateix, si volem repartir equitativament un litre de sucde taronja entre 3 persones, la quantitat exacta que correspon a cadascuna delles no es pot expressarmitjanc ant un nombre enter. Com abans, des dun punt de vista matem` atic, equacions del tipus q x = p(amb q = 0) no sempre tenen soluci o en Z.Necessitem, doncs, un altre conjunt m es gran que Z, on les q uestions anteriors tinguin resposta. Aquestconjunt es el dels nombres racionals: Q=_x = pq : p, q Z, q = 0_. Daquests quocients entre dos nom-bres enters, en diem fraccions. Hi ha innites fraccions que representen el mateix nombre racional; penseu,per exemple, en 12, 24, 36... Es diu que dues fraccions s on equivalents si representen el mateix nombre racio-nal. De totes les fraccions equivalents a una donada, sanomena fracci o irreductible aquella tal que el m` aximcom u divisor (m.c.d.) del denominador i el numerador es 1 ( es a dir, pq es irreductible si m.c.d.(p, q) = 1).Observem que tots els nombres naturals s on enters i que tots els enters s on nombres racionals. Notemtamb e que hemconsiderat el 0 coma nombre enter per ` o no natural. Malauradament, tots aquests nombress on insucients per mesurar exactament determinades longituds.11xFig. 1.1 Diagonal2Per exemple, donat un triangle rectangle amb catetsduna unitat, quant fa exactament la hipotenusa? Sidesignemper x la hipotenusa i apliquemel teoremade Pit ` agores (gura 1.1), tindrem x2= 1 +1, donx =2. Per ` o resulta que2 no es racional. Comampliem ara el conjunt de nombres?Els nombres111 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 4 / 12, COMPOSITE1.2 Els nombres realsEls nombres reals constituiran el suport del nostre curs. En aquesta secci o, veurem com es representen iquines propietats tenen.Representaci o dels nombres sobre una rectaConsiderem una recta i, en un punt arbitrari, hi col.loquem el n umero 0 (aquest punt lanomenaremlorigen). A la dreta del 0, a una dist ` ancia indeterminada que podem triar com vulguem, hi col.loquem eln umero 1, la unitat. Els altres nombres queden xats sobre la recta: els naturals ordenats cap a la dreta del 0separats un del seg uent per una unitat. An` alogament, per ` o cap a lesquerra, hi afegim els enters negatius.Per dibuixar els racionals, dividim la unitat en parts iguals, tantes com indica el denominador, i nagafemles que indica el numerador partint del 0 i tenint en compte el signe. Entre dos racionals qualssevol, hi haun altre racional (sabreu dir-ne cap?). Amb tot aix ` o queden a la recta molts forats, com ara,2, , e...Aquests forats representen els nombres irracionals i els designarem per R\ Q. Finalment, la reuni o detots els nombres que hem exposat constitueixen el conjunt dels nombres reals i els designarem per R. Lagura 1.2 esbossa aquest conjunt. Tenim R =Q(R\Q).1_2_3_4_3 / 1 2 /0 1 2 3e . . . . . .origen unitatFig. 1.2 Els nombres realsEls irracionals es designen R\Qperqu` e representen el complementari de Qdins R. Clarament, les relacionsdinclusi o entre els conjunts num` erics que hem descrit s onN Z Q RR\Q RA cada nombre real, li correspon un unic punt de la recta i, a cada punt de la recta, li correspon un unicnombre real. Aix, la recta sanomena recta real. Daquesta manera, parlarem indistintament de nombres ide punts (gura 1.3).Fig. 1.3 Equival ` encia entre nombres reals i punts Fig. 1.4 Densitat dels racionals i els irracionals dins RPropietat de densitat de Q i R\Q en REntre dos reals diferents qualssevol hi ha innits racionals i tamb e innits irracionals. Per tant, no podemagafar cap segment de la recta real que estigui format nom es per racionals, o nom es per irracionals (comil.lustra la gura 1.4). Daix ` o, sen diu propietat de densitat de Q i de R\Q en R.121C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 5 / 13, COMPOSITEOrdenaci o dels nombres reals0 b anegatius positiusFig. 1.5 Orientaci o dels nombres realsEls nombres situats a la dreta de lorigen s on elspositius i els de lesquerra, els negatius (gura 1.5).Utilitzem els smbols , = per establir la posi-ci o relativa entre dos punts en la recta. Els podemcombinar i obtenim els nous smbols , .Lexpressi o a b signica que a es m es petit oigual que b, i, an` alogament, a b signica que a es m es gran o igual que b. Aleshores, s on certes lesexpressions5 < 7, 4 9, 7 7, 7 = 7, 6 > 2, 8 3, 1 1;en canvi, s on falses les expressions 7 < 7, 5 > 5, 3 5.A lhora de manipular expressions amb desigualtats, hem de tenir en compte les regles seg uents.Propietats de les desigualtats. Per a qualssevol nombres reals a, b, c, es compleix:

a < b i b < c = a < c.

a < b = a+c < b+c i ac < bc.

a < b i c < d = a+c < b+d.

a < b =_ ac < bc si c > 0.ac > bc si c < 0.En particular, a < b =b 1b > 0.

a < 0 < b = 1a < 0 < 1b.

a < b < 0 = 0 > 1a > 1b.Intervals i semirectesEls intervals i les semirectes (o intervals no tats) s on subconjunts notables de R. Per comoditat, a lhora dedesignar-los (i per altres avantatges), introduirem els smbols + i . Conv e insistir especialment en elfet que + i no s on nombres. M es endavant tamb e es far ` a palesa la seva utilitat en lestudi dels lmits.

Interval obert(a, b) ={x R : a < x < b}b aEls nombres113 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 6 / 14, COMPOSITE

Interval tancat[a, b] ={x R : a x b}b a

Intervals mixtos[a, b) ={x R : a x < b}b a(a, b] ={x R : a < x b}b a

Semirectes obertes(a, +) ={x R : x > a}a(, b) ={x R : x < b}b

Semirectes tancades[a, +) ={x R : x a}a(, b] ={x R : x b}bInequacionsSanomena inequaci o tota desigualtat algebraica en qu` e apareixen nombres iinc ` ognites. El conjunt de nombres que compleixen la desigualtat sanomena so-luci o de la inequaci o.En el proc es de resoluci o de les inequacions, cal tenir en compte les propietats de les desigualtats.Exemple 1.1Resolem la inequaci o 2x 1x +1 1. Es compleix que2x 1x +1 1 2x 1x +1 1 0 x 2x +1 0Per tant, cal considerar els casos en qu` e el numerador sigui positiu o 0 i el denominador negatiu, o b e queel numerador sigui negatiu o 0 i el denominador positiu:_ x 2 0x +1 < 0 o b e_ x 2 0x +1 > 0i aix,_ x 2x 1Finalment, el conjunt soluci o es: x (1, 2].141C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 7 / 15, COMPOSITESuprem, nm, m` axim i mnimSovint ens interessar ` a situar un conjunt determinat dins la recta real, en el sentit de con` eixer nombres queen limitin labast; per exemple, nombres que siguin m es grans o iguals que tots els elements del conjunt.Denici o 1.2 Sigui A un conjunt de nombres reals.

Un nombre k R es una ta superior de A, si x k, x A.

Un nombre k R es una ta inferior de A, si x k, x A.`Obviament, si k R es una ta superior (resp. inferior) de A, aleshores qualsevol nombre real m es gran(resp. petit) o igual que k tamb e n es ta superior (resp. inferior).Denici o 1.3 Sigui A un conjunt de nombres reals.

Si A t e alguna ta superior, sanomena conjunt tat superiorment.

Si A t e alguna ta inferior, sanomena conjunt tat inferiorment.Un conjunt tat superior i inferiorment es diu conjunt tat.Exemples 1.4Estudiem uns quants conjunts de nombres reals.a) Els intervals [0, 1] i (0, 1) s on conjunts tats. En efecte, qualsevol nombre m es gran o igual que 1 n esta superior, i qualsevol nombre negatiu o 0 n es ta inferior. Aix, el conjunt de les tes superiors es[1, +), i el de les tes inferiors, (, 0].b) El conjunt dels nombres naturals es tat inferiorment, per ` o no superiorment, en R. Es evident que1 n, n N. Per tant, l1 i qualsevol nombre real menor que 1 s on tes inferiors de N. En canvi, noexisteix cap nombre real m es gran o igual que tots els nombres naturals a la vegada.c) El conjunt dels nombres racionals no es tat, ni superiorment ni inferiorment.Denici o 1.5 Sigui A un conjunt de nombres reals.

Si A es tat superiorment, la m es petita de les tes superiors de A sanomena el suprem del conjunt Ai es designa per supA. Quan supA A, aquest nombre sanomena el m` axim del conjunt A i sescrium` axA.

Si A es tat inferiorment, la m es gran de les tes inferiors de A sanomena lnm del conjunt A ies designa per inf A. En cas que inf A A, aquest nombre sanomena el mnim del conjunt A i esdesigna per mnA.Els conjunts tats superiorment tenen suprem, per ` o no sempre tenen m` axim. El m` axim dun conjunt, quanexisteix, es lelement m es gran del conjunt. An` alogament, els conjunts tats inferiorment tenen nm; encanvi, lexist ` encia del mnim dep` en de cada cas.Els nombres115 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 8 / 16, COMPOSITEExemples 1.6Vegem-ne un parell dexemples concrets.a) Considerem el conjunt A = (0, 1]. El seu suprem es 1. At ` es que 1 A, aquest suprem tamb e es elm` axim. Aix ` o signica que l1 es lelement m es gran de linterval (0, 1]. Daltra banda, la ta inferior m esgran de A es 0; aleshores, inf A = 0. En aquest cas, per ` o, 0 / A; per tant, el conjunt A no t e mnim.Intutivament, no hi ha cap nombre real dins linterval (0, 1] que sigui el m es petit de tots dins el propiinterval.b) El conjunt N no t e suprem i, per tant, no t e m` axim perqu` e no es tat superiorment. Com que N estat inferiorment, t e nm i val 1. A m es a m es, 1 N i, per tant, mnN = 1 (l1 es el nombre naturalm es petit).Expressi o decimal dels nombres realsEls nombres reals admeten una representaci o decimal de la forma a0

a1a2a3. . . Aquesta representaci o esnita o innita peri ` odica ( es a dir, es repeteix a partir dun lloc determinat) quan el nombre es racional, i esinnita no peri ` odica quan el nombre es irracional, com es el cas de o de e. Aqu teniu, per exemple, les100 primeres xifres decimals del n umero : =3

141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068...Lexpressi o decimal dun nombre irracional es unica. Tanmateix, hi ha nombres racionals que admetendues expressions decimals diferents: s on aquells que, a partir dun lloc determinat, tenen totes les xifresiguals a 9 o totes les xifres iguals a 0. Vegem-ne un exemple: el n umero 1

23999... tamb e es pot escriurecom 1

24000... Per comprovar que aquestes dues representacions decimals corresponen al mateix nombreracional, nhi ha prou a buscar-ne la fracci o generatriu, que es 31/25.Valor absolut i dist` anciaDenici o 1.7 El valor absolut dun nombre real x es|x| =_ x, si x 0.x, si x < 0.Fig. 1.6 Funci o valor absolutLa funci o valor absolut t e dues branques (gura1.6). Observem que|x| = m` ax{x, x}.|x| =x2.161C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 9 / 17, COMPOSITELa noci o de valor absolut ens permet denir una dist ` ancia molt intutiva sobre R. Geom` etricament, |x|representa la dist ` ancia de x a 0, com podem veure a la gura 1.7.Fig. 1.7 Valor absolut. Dist ` ancia dun nombre real a lorigenAn` alogament, per a tot x, y R, la dist ` ancia entre x i y esd(x, y) =|x y| =|y x|.Propietats del valor absolut. Per a tot x, y R, es compleix:

|x| 0, |x| = 0 x = 0.

|x| =| x|.

Si c > 0, |x| < c c < x < c.Si c 0, |x| c c x c.Si c 0, |x| c x c o x c (gura 1.8).

|x| x |x|.

|xy| =|x||y|.

|x +y| |x| +|y| (desigualtat triangular).

|x y| |x| +|y|.

|x y| ||x| |y||.

xy= |x||y| si y = 0.

|xn| =|x|n.Fig. 1.8 Propietats del valor absolutEls nombres117 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 10 / 18, COMPOSITE1.3 Els nombres complexosLequaci o x2+1 = 0 no t e cap soluci o real ja que no es possible trobar cap nombre real tal que el seuquadrat sigui 1. En aquest cas, una soluci o de lequaci o anterior es un nombre imaginari, designat per i,tal que i2=1 (laltra soluci o ser ` a i). Repassem una mica la hist ` oria. De fet, els nombres imaginaris sin-troduren en la matem` atica com una eina per resoldre equacions de tercer grau, no nom es de segon grau.Situem-nos a Mil ` a al segle XVI, concretament a lany 1545. En la seva obra Ars Magna, Gerolamo Cardano(1501-1576) d ona un m` etode per resoldre lequaci o c ubica mitjanc ant arrels. Ell parteix de lequaci o c ubicaax3+bx2+cx = d.Fent la substituci o x = y b3a i dividint per a, obt ey3+_3ac b23a2_. .my = 27a2d +9abc 2b327a3. .nEs a dir,y3+my = n. (1.1)Per resoldre lequaci o (1.1), considera dues variables arbitr ` aries, t i u, de manera quey =t u.Elevant al cub, obt ey3=t33t2u+3tu2u3=t33tu(t u) u3=t33tuy u3 es a dir,y3+3tuy =t3u3. (1.2)Com que t i u s on arbitr ` aries, comparant les equacions (1.1) i (1.2), considera ara_ m = 3tun =t3u3i aconsegueix lequaci o t6m327 nt3= 0, que es una equaci o de segon grau de la variable t3_t3_2m_t3_m327 = 0.Per tant, utilitzant nom es larrel quadrada positiva, obt e1t = 3n2 +_n24 + m327 i u = 3n2 +_n24 + m327.11Substituint la t a n =t3u3i allant la u.181C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 11 / 19, COMPOSITEFent y =t u,y = 3n2 +_n24 + m327 3n2 +_n24 + m327.Finalment, substitueix m i n en funci o de a, b i c:m = 3ac b23a2 i n = 27ad+9abc 2b327a3 ,desf ` a el canvi, x = y b3a, i determina la soluci o x.Apliquem, per exemple, el proc es anterior a lequaci o 2x330x2+162x = 350. En aquest cas, el canviens d ona y3+6y 20 = 0 i tenim2y = 3_10+108 3_10+108 = 2, es a dir, x = 7.I, per a x315x = 4, resultax = 3_2+121 3_2+121.Qu` e signica121 ? Sembla f ` acil dir que lequaci o anterior no t e soluci o, per ` o a simple vista es comprovaque x = 4 n es una.Davant daquesta situaci o, Cardano abandon` a la recerca. Posteriorment, Rafael Bombelli (1526-1573)decid treballar amb les arrels quadrades de nombres negatius aplicant les mateixes regles que sapliquenals nombres reals. Sobserva que(2+1)3= 2+111 = 2+121An` alogament,(2+1)3=2+121I llavors, Bombelli va arribar a la soluci ox = 3_2+121 3_2+121 = (2+1) (2+1) = 4.Denici o 1.8 Anomenem nombre complex, de part real a i part imagin` aria b, una expressi o de laformaz = a+bi, on a, b R amb i2=1.Designem per C el conjunt dels nombres complexos.12No es immediat comprovar que, efectivament, aquesta expressi o es 2; cal elevar al cub la igualtat dues vegades.Els nombres119 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 12 / 20, COMPOSITEDos nombres complexos s on iguals si i nom es si tenen la mateixa part real i la mateixa part imagin` aria. Sia tot nombre real a li associem el complex a+0i, aleshores podem dir que el conjunt dels nombres realsest ` a contingut dins el conjunt dels nombres complexos:N Z Q R C.Operacions amb complexos en forma bin` omicaAmb els nombres complexos, tamb e es poden fer les operacions aritm` etiques usuals. La suma i el productede nombres complexos es deneixen de manera que respectin la suma i el producte dels nombres reals.Denici o 1.9 Donats els nombres complexos z1 = a+bi i z2 = c +d i, denim

la suma: z1 +z2 = (a+bi) +(c +d i) = a+c +(b+d)i

el producte: z1 z2 = (a+bi) (c +d i) = ac bd +(ad +bc)i

el quocient, si el denominador no es nul:z1z2= a+bic +d i = (a+bi)(c d i)(c +d i)(c d i) = ac +bdc2+d2 + bc adc2+d2 isi z2 = 0, es a dir, si c2+d2= 0.Representaci o gr` acaPodem establir una relaci o bijectiva (un a un) entre els nombres complexos i els punts del pla queanomenarem pla complex an` aloga a la correspond` encia entre els punts duna recta i els nombres reals.Leix dabscisses es diu eix real, ja que correspon als nombres reals, i leix dordenades es leix imaginari.(x, y)0 xyFig. 1.9 Representaci o dun complexNhi ha prou a interpretar el nombre complex x+yicom un parell ordenat de nombres reals (x, y):x +yi (x, y)Tamb e representem un nombre complex com unvector dirigit des de lorigen ns al punt (x, y) (gu-ra 1.9). Lextrem (x, y) sanomena ax del complex.Aquest enfocament permet aplicar als nombres complexos les mateixes lleis que sapliquen a les quantitatsvectorials utilitzades en la fsica i en la mec ` anica: forces, velocitats, acceleracions... Per exemple, la sumade complexos es pot obtenir geom` etricament amb la regla del paral.lelogram.Sigui z = x +yi, aleshores

z = x yi sanomena conjugat de z.

z =x yi sanomena oposat de z.201C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 13 / 21, COMPOSITE_zzcomplexconjugat oposatx_yy_xzFig. 1.10 Conjugat i oposat dun complexLa representaci o gr ` aca es molt aclaridora (gu-ra 1.10).Propietats de la conjugaci o. Per a tot z, w C, es compleix

z +w = z +w.

z w = z w.

z = z.

z = z z R.

z =z z es imaginari pur.

Re(z) = z +z2 , Im(z) = z z2 .M` odul i argument. Diferents maneres dexpressar un nombre complexDenici o 1.10 Donat el nombre complex z = x +yi, anomenem m` odul de z la longitud del vectorassociat i el designem per |z|, es a dir,|z| =_x2+y2=z z.Si z = 0, langle , format per la direcci o positiva de leix real i el vector OZ (mesurat en sentit positiu, es a dir, en sentit contrari al de les agulles del rellotge) sanomena argument de z.Fig. 1.11 M` odul i argument dun complexGeom` etricament, |z| representa la dist ` ancia de la-x (x, y) a lorigen, o la longitud del vector corres-ponent. Quan y = 0, el m` odul es redueix al valorabsolut dels nombres reals.Notem que no es unic, ja que +2, +3,2... tamb e s on v ` alids per representar-ne lar-gument. En endavant, considerarem [0, 2)com a determinaci o principal de largument (gura1.11).Els nombres121 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 14 / 22, COMPOSITEA partir del gr ` ac anterior, observem que, si z = 0, aleshorescos = x|z|, sin = y|z|.Llavors, escrivim z = x +yi = |z|(cos+i sin), expressi o anomenada forma trigonom` etrica de z. Defet, tot nombre complex z es pot expressar en les formes:bin` omica z = x +yicartesiana z = (x, y)trigonom` etrica z =|z|(cos+i sin)polar z =|z|exponencial z =|z|eiEl pas de forma cartesiana a forma polar (x, y) (|z|, ) ve donat per les relacions seg uents:el m` odul es |z| = +_x2+y2i largument, =_ arctg yx si x > 0.arctg yx + si x < 0. =_ 2 si y > 032 si y < 0 quan x = 0, y = 0.Aquests ultims nombres, els que corresponen a x = 0, y = 0, estan situats sobre leix imaginari. Podemveurels a la gura 1.12.Fig. 1.12 Nombres complexos imaginaris purs, a leix imaginariEs convenient representar gr ` acament el nombre complex per determinar-ne largument amb facilitat.El pas de forma polar a forma cartesiana (|z|, ) (x, y) es immediatx =|z| cos, y =|z| sin.221C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 15 / 23, COMPOSITEPropietats del m` odul dun nombre complex. Per a tot z, w C, es compleix

|z| 0, |z| = 0 z = 0.

|zw| =|z||w|.

|z +w| |z| +|w| (desigualtat triangular).

|z| =|z| =| z| =| z|.

|Rez| |z|, |Imz| |z|.

|z| =z z.

z z =|z|2.

1z = z|z|2, si z = 0.

z|z| t e m` odul 1.Exemples 1.11a) Donat z =2+2i, expressat en forma bin` omica, passem-lo a forma polar.Cal determinar-ne el m` odul i largument. Clarament, el m` odul es 2 i largument = arctg (1) + =34 ; per tantz = 2_cos 34 +i sin 34_= 234.b) Donat el nombre z =_12_56, en forma polar, escrivim-lo en forma bin ` omica.Directament, tenimz =_12_56= 12_cos 56 +i sin 56_= 12_32 + 12 i_=34 + 14 i .El concepte de m` odul ens permet denir una dist ` ancia en C. Per a tot z, w C, la dist ` ancia entre z i w es d(z, w) =|z w| =|wz|. En particular, si z, w R, la dist ` ancia entre ells coincideix amb la dist ` anciaentre nombres reals.Exemples 1.12a) Els complexos que satisfan |z2| =3 es troben situats a dist ` ancia 3 del n umero z =2. Per tant, formenla circumfer ` encia de centre z = 2 i radi 3.b) El conjunt {z C : |z| 1} es el disc unitat, es a dir, els nombres del pla complex que disten de lorigenuna unitat o menys.Els nombres123 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 16 / 24, COMPOSITEVal a dir que el conjunt dels nombres complexos no admet una ordenaci o recordem que R s que esordenat; nom es podem ordenar els m` oduls dels complexos (perqu` e s on nombres reals).Operacions amb complexos en forma polarHem vist com sumar, restar, multiplicar i dividir nombres complexos en forma bin ` omica. At ` es que es senzill,sovint es m es convenient fer el producte i el quocient en forma polar.Producte i quocientConsiderem els complexos z =|z| i w =|w| en forma polar. Aleshoresz =|z|(cos+i sin), w =|w|(cos+i sin).

El producte dels complexos esz w =_|z|(cos+i sin)__|w|(cos+i sin)_= . . . =|z| |w|_cos(+) +i sin(+)_per tant,z w = (|z| |w|)+ .Es a dir, el m` odul del producte es el producte dels m` oduls i largument del producte es la sumadarguments.

Si w = 0, el quocient dels complexos eszw = |z|(cos+i sin)|w|(cos+i sin) = . . . (multiplicant i dividint pel conjugat)= |z||w|[cos() +i sin()]per tant,zw =_|z||w|_sempre que w = 0.Es a dir, el m` odul del quocient es el quocient dels m` oduls i largument del quocient es la difer ` enciadarguments.Exemple 1.13Donats els nombres complexos z =2 2i i z

= 1232 i calculem en forma polar el productez z

i el quocient zz

.Un esquema gr ` ac ens ajuda a no equivocar-nos a lhora de determinar largument. Observem que z estroba al quart quadrant i z

al tercer (gura 1.13). Aix,241C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 17 / 25, COMPOSITEz2 1z

z z

z/z

Fig. 1.13 Operacions amb complexos|z| =2+2 = 2; tg = 22 ; = 74 ,|z

| =_14 + 34 = 1; tg = 3212; = 43 .Per tant, z = 274, z

= 143. Obtenim, doncs,z z

= 274 143= 21312, zz

= 234143= 2512.Potenciaci o. F ormula de De MoivreCom a cas particular del producte, podem calcular les pot ` encies de complexos. Aix,zn= (|z|)n= (|z|n)n , on n Z.Aleshores,_|z|(cos+i sin)n=|z|n(cosn+i sinn)En particular, si z t e m` odul 1, obtenim(cos+i sin)n= cosn+i sinnigualtat coneguda com a f ormula de De Moivre.Exemple 1.14Calculem i94.Resoldrem lexercici de dues maneres.a) La primera, expressant i en forma polar i determinant-ne la pot ` encia. Escrivim i = 0 +1i; per tant,|i| = +1 = 1. Largument es, doncs, = 2. Aleshores,i94=_12_94= 1942= 147 =1.b) La segona, directament. Observem quei1= ii2=1i3= i2 i =ii4= i3 i =i i = 1Els nombres125 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 18 / 26, COMPOSITE(a partir daqu es repeteixen)i5= i4 i = ii6= i5 i =1i7= i6 i =ii8= i7 i = 1...Llavors, qualsevol pot ` encia de i es sempre i, 1, i o 1. Al nostre cas,i94= i234+2= i234 i2= 1 (1) =1.Radicaci oDenici o 1.15 Donats z C, z =0 i n N, anomenemarrel en` esima de z qualsevol nombre complexw tal que wn= z. Representarem per nz totes les arrels en` esimes de z.Cada complex z = 0 t e n arrels en` esimes diferents. En efecte, suposem que w es una arrel en` esima dez =|z|. Escrivim w =|w|. Aleshores, elevant larrel en` esima a n, obtenimwn= z =_|w|_n=|z| =_|w|n_n =|z|.Aquests complexos, per ser iguals, han de tenir el mateix m` odul i els arguments han de coincidir, llevatdun m ultiple enter de 2 ( es a dir, els arguments poden diferir en un nombre enter de voltes). Aix ` o vol dirque|w|n=|z|, n = +2k.La primera equaci o, |w|n= |z|, es una igualtat entre nombres reals; la soluci o es |w| = n_|z|. Es a dir, elm` odul de les arrels es larrel en` esima del m` odul, com a unic nombre real positiu que ho satisf ` a. Per tant,totes les arrels en` esimes de z tenen el mateix m` odul.Pel que fa a largument, n = +2k implica que = +2kn . Aquesta expressi o pren exactament nvalors diferents entre [0, 2) (que corresponen a n valors consecutius de k). Aleshores, obtenimn argumentsdiferents per a les arrels en` esimes de z, que s on = +2kn = n + 2kn , k = 0, 1, 2, . . . , n1.Es clar que, per a k =n, n+1, n+2, . . . obtenim arguments equivalents als que ja tenim. Observem, doncs,que hi ha n arrels en` esimes de z diferents, totes situades sobre la circumfer ` encia de centre lorigen i radin_|z|, i equiespaiades per un angle 2kn . Resumint,si z =|z|, aleshores nz =_ n_|z|_+2kn, per a k = 0, 1, 2, . . . , n1.261C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 19 / 27, COMPOSITEExemple 1.16Donat el nombre complex z =8+83i, obtinguem 4z.Hem de ser conscients que calcularem un total de quatre nombres complexos diferents. En primer lloc,calculem el m` odul de z, |z| = 64+64 3 = 16 . Despr es largument, = arctg _3_= 23 . El m` odulde les quatre arrels quartes es 416 = 2, ja que 2 es l unic real positiu a tal que a4= 16. Els arguments deles arrels quartes s on23 +2k4 = 16 + 2 k, k = 0, 1, 2, 3.Aix, doncs, les arrels quartes s on: k = 0 w0 = 26 = 2(cos 6 +i sin 6) =3+ik = 1 w1 = 223= 2(cos 23 +i sin 23 ) =1+3ik = 2 w2 = 276= 2(cos 76 +i sin 76 ) =3ik = 3 w3 = 2106= 2(cos 106 +i sin 106 ) =13i .0xy2w0w3w2w1/2/6Fig. 1.14 Les 4 arrels quartesGr ` acament, tenim les quatre arrels w0, w1, w2 i w3sobre la circumfer ` encia de centre lorigen i radi 2(el seu m` odul). Les arrels s on equiespaiades per unangle de /2 radiants, es a dir, la quarta part de lacircumfer ` encia sencera (gura 1.14).Arrels en` esimes i polgonsEls axos de les arrels en` esimes dun nombre com-plex z =0 s on els v ` ertexs dun polgon regular inscriten la circumfer ` encia de centre lorigen i radi n_|z|.Les gures 1.15 i 1.16 il.lustren aquesta propietat.xy0xy02/3 /2Fig. 1.15 Arrels terceres i quartesEls nombres127 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 20 / 28, COMPOSITExy0xy02/5/3Fig. 1.16 Arrels cinquenes i sisenesDescomposici o dun polinomi en factors primersEn aquesta secci o, utilitzem el teorema fonamental de l ` algebra per descompondre els polinomis en factorsprimers.Recordem que un n umero es una arrel dun polinomi P(z) si es soluci o de lequaci o P(z) = 0, es a dir, sicompleix P() = 0.Teorema 1.17 Teorema fonamental de l ` algebra. Tot polinomi de grau n 1 amb coecientscomplexos, P(z) = a0 +a1z +a2z2+. . . +anzn, an = 0, t e alguna arrel en C.Considerem Pn(z) un polinomi de grau n. Pel teorema fonamental de l ` algebra, existeix 1, una arrel dePn(z); aleshores, podem descompondrel com:Pn(z) = a0 +a1z +a2z2+. . . +anzn= (z 1)Pn1(z),on Pn1(z) es un polinomi de grau n 1. Si ara apliquem de nou el teorema fonamental de l ` algebra alpolinomi Pn1(z), trobem una altra arrel 2 i, per tant, podem escriureP(z) = (x 1)(x 2) Pn2(z).Repetint el proc es n vegades, arribarem nalment al resultat seg uent.Corollari 1.18 Una altra versi o del teorema fonamental de l ` algebra. Sigui Pn(z) un polinomide grau n 1. AleshoresP(z) = an(z 1)(z 2). . . (z n),on 1, 2, . . . , n s on les n arrels del polinomi P(z) i an es el coecient de zn.Les arrels 1, 2, . . . , n no han de ser necess ` ariament diferents. Una arrel que apareix m es duna vegadasanomena m ultiple i les que ho fan nom es un cop, simples.281C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 21 / 29, COMPOSITEObservaci o 1.19 Els polinomis irreductibles o primers en C s on de grau 1, mentre que en R s on els degrau 1 i els de grau 2 que no tenen arrels reals.Per exemple, donat el polinomi P(z) = 3(z 1)2(z +2i)(z 2i)(z +4)3(que ja est ` a descompost enfactors), tenim1 es una arrel m ultiple amb multiplicitat 2 (o doble),2i es una arrel simple (o b e amb multiplicitat 1),2i es una arrel simple,4 es una arrel m ultiple amb multiplicitat 3 (o triple).Es f ` acil comprovar la propietat seg uent:Si un polinomi amb coecients reals t e una arrel complexa = a+bi amb mul-tiplicitat s, aleshores el n umero = a bi tamb e es arrel del polinomi i t e lamateixa multiplicitat.Es a dir, les arrels complexes apareixen a parells. Aquesta propietat no es necess ` ariament certa si elscoecients del polinomi s on complexos, com araP(z) = z2(2+3i)z 5+i =_z (i 1)__z (3i +3)_.Exemple 1.20Donat el polinomi P(z) = z41, en determinema) les arrels,b) la descomposici o en factors primers amb coecients complexos,c) la descomposici o en factors primers amb coecients reals.En primer lloc, observem que es tracta dun polinomi amb coecients reals.a) Les arrels del nostre polinomi s on les arrels quartes del complex 1, es a dir, z = 41 = 410. Calculantaquestes arrels quartes, obtenim els quatre complexos 1k2, per a k = 0, 1, 2, 3, que s on 1, i, 1, i .b) La descomposici o en factors primers o irreductibles a coecients complexos es, doncs,z41 = (z 1)(z +1)(z i)(z +i).Nhi ha quatre polinomis irreductibles en C, tots de grau 1, es clar.c) La descomposici o en factors primers o irreductibles amb coecients reals sobt e a partir de ladescomposici o en C: z41 = (z 1)(z +1)(z i)(z +i). .(), i quedaz41 = (z 1)(z +1)(z2+1).Els nombres129 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 22 / 30, COMPOSITEAqu tenim tres polinomis irreductibles en R, dos de grau 1 i un de grau 2. Fixem-nos que a lexpressi o() consten dues arrels conjugades: i, i; per tant, el producte () es una expressi o amb coecientsreals.Problemes resoltsProblema 1Resoleu les inequacions seg uents:a) x25x +4 0 b) x2> 49c) x +42x 1 0[Soluci o]a) Tenim que x25x +4 = 0 x1 = 1, x2 = 4. Observem, daltra banda, que la gr ` aca de y = x25x +4 esuna par ` abola convexa que talla leix dabscisses als punts x1 =1 i x2 =4 (la primera par ` abola de la gura 1.17).Per tant,x25x +4 0 x [1, 4].b) Observem que x2> 49 x249 > 0. A m es, x249 = 0 x1 =7 i x2 = 7. Daltra banda, la gr ` acade y = x249 correspon a una par ` abola convexa que talla a leix dabscisses en x1 = 7 i x2 = 7 (el segondibuix de la gura 1.17).4 1 7 7Fig. 1.17 Interpretacions gr ` aques de les solucionsFinalment,x249 > 0 x (, 7) (7, +).c) En aquest cas,x +42x 1 0 si_ x +4 02x 1 > 0 x 4 i x > 12 (aix ` o es impossible),o b ex +42x 1 0 si_ x +4 02x 1 < 0 x 4 i x < 12 x _4, 12_.La soluci o es la reuni o dambdues solucions anteriors, es a dir, el conjunt_4, 12_.301C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 23 / 31, COMPOSITEProblema 2Trobeu els nombres reals x que satisfan la inequaci o x +21x > 1.[Soluci o]Resoldrem el problema de dues maneres. En primer lloc, observem quex +21x > 1 x +21x1 > 0 2x +11x > 0.Per tal que aquest quocient sigui positiu, el numerador i el denominador han de tenir el mateix signe, es a dir,{2x +1 > 0 i 1x > 0} o b e {2x +1 < 0 i 1x < 0}.La soluci o de la primera opci o es linterval_12, 1_. At ` es que no hi ha cap nombre que satisfaci la segona opci o, elresultat es el conjunt_12, 1_.Una altra forma de resoldre lexercici es la seg uent. Clarament x = 1; aleshores, podem estudiar els dos casos: x > 1 ix < 1.Si x > 1, el denominador de x +21x es negatiu, el numerador positiu i el quocient resulta, doncs, negatiu. En aquestcas, la inequaci o no t e soluci o perqu` e un nombre negatiu no pot ser mai m es gran que un de positiu.Si x < 1, aleshores 1x > 0 i podem multiplicar les dues bandes de la desigualtat per 1x sense que canvi el sentitde la desigualtat. Daquesta forma, obtenimx +2 > 1x 2x >1 x >12que, juntament amb la condici o x < 1, ens d ona 12 < x < 1. Per tant, el conjunt soluci o es linterval_12, 1_.Problema 3Resoleu la inequaci o |x27x +8| < 2.[Soluci o]Per les propietats del valor absolut, la desigualtat es equivalent a 2 1.Problema 6Calculeu la suma100n=1in. Expresseu-ne el resultat de forma bin` omica.[Soluci o]Sabem que i1= i, i2=1, i3=i, i4= 1 i que les pot ` encies successives de i es tornen a repetir. Es clar, doncs, quela suma de cada grup de quatre sumands seguits d ona zero. A la suma proposada hi ha exactament vint-i-cinc grupsde quatre sumands que sanul.len. Per tant,100n=1in= 0.Problema 7Quins nombres complexos satisfan lequaci o z5+3i =1?[Soluci o]Lequaci o donada es equivalent a z5=13i . Per tant, z = 5_13i. Les solucions s on les cinc arrels cinquenesde 1 3i. El m` odul daquest nombre complex es 2 i largument val = arctg3 = 43 , ja que est ` a situat altercer quadrant. Aix,z = 5_243 .Obtenim el m` odul de les arrels: |z| = 52, i els arguments:k = 415 + 2k5 per a k = 0, . . . , 4.Els nombres133 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 26 / 34, COMPOSITELes cinc solucions s onz0 = 52415, z1 = 521015 , z2 = 521615 , z3 = 522215 , z4 = 522815 .Problema 8Una arrel quarta dun nombre complex z val24 +i24 . Trobeu aquest nombre complex i les altres tres arrelsquartes.[Soluci o]De lenunciat es dedueix que z =_24 +i24_4. En forma polar, ser ` a z =_12 4_4= 116 . Per tant, el nombre z es 116.Per trobar-ne les altres tres arrels quartes, nom es hem de calcular 4_ 116 = 4_ 116 . El m` odul de totes les arrels quartesval 4_ 116 = 12. Els arguments es determinen a partir de la relaci ok = +2k4 per a k = 0, 1, 2 i 3.Les arrels quartes s on, doncs,12 4=24 +24 i, 12 34=24 +24 i, 12 54=24 24 i, 12 74=24 24 i.Problema 9Calculeu totes les solucions de lequaci o z6= (z 1)6.[Soluci o]Lequaci o proposada es equivalent a z6(z1)6=0. Podemdescompondre aquesta expressi o en suma per difer ` encia:_z3+(z 1)3__z3(z 1)3_= 0.Desenvolupant els cubs i simplicant lexpressi o, obtenim lequaci o polin ` omica de grau 5(2z33z2+3z 1)(3z23z +1) = 0.Les arrels del polinomi de segon grau s onz1 = 3+3i6 i z2 = 33i6 .El polinomi de tercer grau t e almenys una arrel real. Aquesta arrel no es entera ja que els unics divisors de 1 (el termeindependent) s on 1 i 1 i cap dells no es arrel del polinomi. Assagem les possibles arrels racionals (terme independentdividit pel coecient que acompanya la indeterminada de grau m` axim): 12. Efectivament, z3 = 12 n es una soluci o. Ara,aplicant la regla de Rufni, obtenim2z33z2+3z 1 =_z 12_(2z22z +2).341C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 27 / 35, COMPOSITELes solucions daquest darrer polinomi de segon grau s onz4 = 1+3i2 i z5 = 13i2 .Per tant, lequaci o del comenc ament t e exactament cinc solucions, una de les quals es real:33i6 , 13i2 i 12.Problema 10Determineu el valor de q R+de manera que les solucions de lequaci oz(z +4)(z2+4z +4+4q2) = 0formin un quadrat en el pla complex. Calculeu-ne l ` area.[Soluci o]2+2qi22qi2 4 0Fig. 1.20 El quadrat format per les solucionsEs clar que dues de les solucions s on z = 0 i z =4. Pertrobar-ne les altres dues, resolem lequaci o de segon grauz2+4z +4+4q2= 0:z = 416q22 =22qi.Si volem que els axos dels quatre nombres complexos0, 4, 2+2qi, 2+2qi formin un quadrat com a lagura 1.20, la dist ` ancia entre 2 +2qi i 2 2qi(la diagonal vertical del quadrat) ha de ser 4 (com laltradiagonal, lhoritzontal). Per tant, 4|q| = 4, don q =1.Aleshores q = 1 ja que lenunciat demana q positiva.Per acabar, tenint en compte novament que les diagonalsdel quadrat valen 4, aquest t e ` area 8.Problemes proposatsProblema 1Resoleu les inequacions seg uents:a) (x +2)(x 3) > 0b) 9x23x +2 0c) 5x2+2x +1 < 0d) x39x2+11x +21 < 0Els nombres135 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 28 / 36, COMPOSITEProblema 2Calculeu els nombres reals x que compleixen aquestes inequacions:a) x 1x +1 3b) 1x + 11x > 0Problema 3Determineu els conjunts de punts que satisfan les desigualtats seg uents:a) |x25x +5| 1b) |x +4| 0 tal que| f (x)| M, per a tot x D.Exemple 2.8La funci o f (x) = x2 es tada inferiorment perqu` e, per exemple, f (x) 0, per a tot x R. En canvi, no estada superiorment ja que, per a qualsevol constant K R, existeix un nombre real x tal que x2> K.2.2 Les funcions elementalsEn aquesta secci o, repassarem les funcions m es usuals i nintroduirem algunes de noves.Funcions polin` omiquesUna funci o polin` omica es del tipusf (x) = a0 +a1x +a2x2+ +anxnamb ai R, an = 0 i n un nombre enter m es gran o igual que zero. Evidentment, el domini duna funci opolin` omica es R.-4 -3 -2 -1 1 2 3 X-20-15-10-55101520Y-1 1 2 3 X-20-15-10-55101520Yy = x4+3x3x2+x +2y =x5+2x4+x3x2+xFig. 2.8 Polinomi de grau 4 amb un sol extrem i polinomi de grau 5 amb dos extremsSi n = 0, sobtenen les funcions constants: f (x) = k. Les gr ` aques daquestes funcions s on rectes horit-zontals.Si n = 1, sobtenen les funcions ans: f (x) = ax +b. La gr ` aca duna funci o af es una recta inclinada dependent a. Quan a > 0, la funci o es estrictament creixent i, quan a < 0, estrictament decreixent.Si n = 2, sobtenen les funcions quadr ` atiques: f (x) = ax2+bx +c. La gr ` aca duna funci o quadr ` atica esuna par ` abola. Quan a > 0, la par ` abola decreix ns al seu v ` ertex i a partir dell creix. Quan a < 0, primercreix i despr es decreix.A mesura que n augmenta, tamb e augmenta la complexitat de les funcions polin` omiques. De vegades,per fer lesb os de la gr ` aca duna funci o polin` omica, pot ser util con` eixer el nombre dextrems que t e.Funcions141 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 6 / 42, COMPOSITEEn general, el nombre dextrems duna funci o polin` omica de grau n es:n1 , o n1 2, o n1 4, o n1 6, o . . .Efectivament, les rectes (grau 1 o b e 0) no tenen cap extrem, les par ` aboles (grau 2) tenen 1 extrem, lesc ubiques (grau 3) en tenen 1 o cap, les qu` artiques (grau 4) poden tenir 3 extrems o 1 de sol, etc. A lagura 2.8, en tenim dos exemples: f (x) = x4+3x3x2+x +2 i g(x) =x5+2x4+x3x2+x.Funcions racionalsUna funci o racional es de la forma f (x) = P(x)Q(x), en qu` e P i Q s on polinomis.El domini duna funci o racional es tot R excepte els nombres que anul.len el denominador ( es a dir, aquellsnombres que fan Q(x) = 0)._6 _4 _2 2 4 6 X0.51.01.5Y_6 _4 _2 2 4 6 X_2_11Yx2x2+1xx24Fig. 2.9 Funcions racionalsPer dibuixar la gr ` aca duna funci o racional, cal fer-ne un estudi detallat: trobar-ne les asmptotes, els puntsde tall amb els eixos... A la gura 2.9, nhem representat dos exemples: f (x) = x2x2+1 i g(x) = xx24.Funcions exponencialsLes funcions exponencials s on del tipus f (x) = ax, amb a > 0.Fig. 2.10 Funci o exponencial421C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 7 / 43, COMPOSITEEl seu domini es tot R. La gr ` aca, segons si a es m es gran o m es petita que 1, lhem esbossada a lagura 2.10.Observem que la imatge es el conjunt de nombres reals positius (excepte en el cas a = 1, que es un punt).Lexponencial es estrictament creixent si a > 1 i estrictament decreixent si 0 < a < 1.Propietats de la funci o exponencial

ax ay= ax+y

axay = axy

a0= 1

(ax)y= axySanomenen equacions exponencials aquelles en qu` ela inc ` ognita apareix com a exponent en algun delsseus termes. Per resoldre-les, cal tenir en compte lespropietats de les pot ` encies i la injectivitat de la funci oexponencial, es a dir,ax1= ax2=x1 = x2.Funcions logartmiquesAnomenem logaritme en base a dun nombre x la pot ` encia a la qual sha delevar a per obtenir el nombrex. Es a dir,logax = y ay= xFig. 2.11 Funci o logartmicaLa gr ` aca, segons si a es m es gran o m es petita que 1, es la que es veu a la gura 2.11.Observem que y = logax es estrictament creixent si a > 1 i estrictament decreixent si 0 < a < 1. La funci ologartmica passa pel punt (1, 0). Si la base es el nombre e (dEuler), la funci o sanomena logaritme neperi ` ao natural i sescriu y = lnx.Propietats de la funci o logartmica

loga(x y) = logax +logay logaxn= n logax

logaxy = logax logay loga1 = 0Funcions143 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 8 / 44, COMPOSITESi a i b s on dos nombres positius, es compleixlogbx = logaxlogabi amb aquesta relaci o podem trobar el logaritme en base b de x, si coneixem els logaritmes en base a.Les equacions logartmiques s on aquelles en qu` e la inc ` ognita forma part dalgunaexpressi o logartmica. Per resoldre-les, cal tenir en compte tant les propietats comla injectivitat de la funci o logartmica, es a dir,logax1 = logax2 =x1 = x2Funcions trigonom` etriquesConsiderem un cercle de radi 1. A cada punt P del cercle, se li assignen un angle x [0, 2) i unescoordenades, de manera que labscissa es el cosinus que designem per cosx, i lordenada es el sinus quedesignem per sinx (gura 2.12).xP x x = (cos , si n )1cos xsi n xFig. 2.12 Sinus i cosinus dun angleFig. 2.13 Funcions sinus i cosinus441C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 9 / 45, COMPOSITEPodem veure les gr ` aques de les funcions sinx i cosx a la gura 2.13. S on contnues, amb domini R,recorregut [1, 1], i peri ` odiques amb perode 2.Fig. 2.14 Funcions tangent i cotangentDaltra banda, la funci otgx = sinxcosx es una funci o peri ` odica, amb perode , que enels punts de la forma x = 2 +k no est ` a denida.El seu recorregut es R. La seva gr ` aca es veu a lagura 2.14.Tamb e podem denir les inverses algebraiques delsinus, el cosinus i la tangent, que anomenem cose-cant, secant i cotangent, respectivament:cosecx = 1sinx, secx = 1cosx, cotgx = 1tgx.Hem il.lustrat les seves gr ` aques a les gures 2.14 i 2.15.Fig. 2.15 Funcions cosecant i secantRecordem algunes de les identitats trigonom` etriques m es rellevants, que utilitzarem al llarg del curs.Identitats trigonom` etriques

cos2+sin2 = 1. sin() = sin cossincos.

cos() = cos cossin sin. tg() = tgtg1tg tg.

sin2 = 2 sin cos. cos2 = cos2sin2.

tg2 = 2tg1tg2.Funcions145 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 10 / 46, COMPOSITELes equacions trigonom` etriques s on aquelles en qu` e les inc ` ognites apareixen coma variables dalguna funci o trigonom` etrica.Funcions hiperb` oliquesAlgunes combinacions de les funcions exponencials exi exs on forc a freq uents en les aplicacions ma-tem` atiques i, per aix ` o, reben noms especials. El sinus hiperb` olic i el cosinus hiperb` olic es deneixen de lamanera seg uent:sinhx = exex2 , coshx = ex+ex2 .La tangent hiperb` olica es deneix comtghx = sinhxcoshx = exexex+ex.A partir daquestes, es deneixen altres funcions hiperb` oliques com la cotangent hiperb` olica, la cosecanthiperb` olica i la secant hiperb` olica:cotghx = 1tghx = coshxsinh x, cosechx = 1sinh x, sechx = 1coshx.Les gr ` aques de les funcions hiperb` oliques saconsegueixen a partir de les gr ` aques de les funcions exiex. A la gura 2.16 observem com sobtenen les gr ` aques del sinus hiperb` olic i del cosinus hiperb` olic(tamb e anomenada caten` aria) a partir de lexponencial.Fig. 2.16 Obtenci o de les gr ` aques de sinhx i coshx (caten` aria) a partir de lexponencialDaltra banda, la gura 2.17 mostra la gr ` aca de la tangent hiperb` olica.Les funcions hiperb` oliques compleixen unes propietats semblants a les trigonom` etriques.461C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 11 / 47, COMPOSITEFig. 2.17 Gr ` aca de la tangent hiperb` olicaIdentitats hiperb` oliques

cosh2asinh2a = 1. sech2x +tgh2x = 1.

sinh(ab) = sinha coshbcosha sinhb. cosh(ab) = cosha coshbsinha sinhb.

tgh (ab) = tgh atgh1tgh a tgh b. sinh2a = 2 sinha cosha.

cosh2a = cosh2a+sinh2a. tgh 2a = 2tgh a1+tgh2a.Origen del nom de les funcions hiperb` oliquesEl nom de funcions hiperb` oliques prov e de comparar l ` area duna regi o circular amb l ` areaduna regi o hiperb` olica. A la gura 2.18, veiem els punts de la forma (cost, sint), que estansobre la circumfer ` encia x2+y2=1 i els de la forma (cosht, sinht), que estan sobre la hip` erbolax2y2= 1. En ambd os casos, l ` area del sector ombrejat es t2.Fig. 2.18 Sinus i cosinus circulars i hiperb` olicsFuncions147 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 12 / 48, COMPOSITE2.3 Operacions algebraiques amb funcionsEn moltes situacions, hem de combinar dues funcions o m es per obtenir la que necessitem. Vegem-nealguns exemples.

Si C(x) es el cost de produir x unitats dun article determinat i I(x) es lingr es obtingut en la venda de xunitats, el beneci U(x) obtingut de produir i vendre x unitats ve donat perU(x) = I(x) C(x)(obtenim una difer ` encia de dues funcions)

Si P(t) indica la poblaci o de Catalunya i I(t) es lingr es per c ` apita en el moment t, lingr es total deCatalunya esCat(t) = P(t) I(t)(obtenim un producte de dues funcions)

Si el que coneixem es lingr es total i la poblaci o en qualsevol instant t, lingr es per c ` apita de Catalunyaser ` aI(t) = Cat(t)P(t)(obtenim un quocient de dues funcions)Denici o 2.9 Donades dues funcions f i g, la suma, la difer ` encia, el producte i el quocient daquestesfuncions es deneixen com

suma: ( f +g)(x) = f (x) +g(x)

difer ` encia: ( f g)(x) = f (x) g(x)

producte: ( f g)(x) = f (x) g(x)

quocient:_fg_(x) = f (x)g(x) per a x tal que g(x) = 0.Els dominis daquestes noves funcions s onDom( f g) = Dom( f g) = Dom( f ) Dom(g),Dom_fg_= Dom( f ) Dom(g) \{x | g(x) = 0}.Exemple 2.10Siguin f (x) = 2x29 i g(x) =x +1. Calculem f +g, f g, fg i determinem el domini en cada cas.481C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 13 / 49, COMPOSITEa) Tenim que( f +g)(x) = 2x29 +x +1, ( f g)(x) = 2x +1x29 ,_fg_(x) = 2(x29)x +1.b) Observem que f (x) = 2x29 tindr ` a sentit sempre que x29 = 0, es a dir,Dom( f ) ={x R : x =3}, o b e x R\{3}.c) Daltra banda, per tal que g(x) =x +1 tingui sentit, cal que x +1 0, es a dir,Dom(g) ={x R tals que x 1}, o b e x [1, +).d) Finalment,Dom( f +g) = Dom( f g) = Dom( f ) Dom(g) = [1, 3) (3, +),Dom_fg_= Dom( f ) Dom(g) \{x | g(x) = 0} = (1, 3) (3, +).2.4 Composici oConsideremlexemple duna empresa de calc at esportiu. Sha observat que el preu p dun article determinatest ` a en funci o de la demanda x:p = f (x) = 200x15 .Els ingressos mensuals I obtinguts per les vendes daquest article s onI(p) = 20000015p2.Fig. 2.19 Composici o de funcionsEns podem preguntar quins s on els ingressos enfunci o de la demanda. Com podem veure a les-quema de la gura 2.19, determinar els ingressosen funci o de x equival a encabir la funci o f dins dela I, es a dir, compondre les funcions f i I.Aix,(I f )(x) = I_f (x)_= 200.000(200x)215Funcions149 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 14 / 50, COMPOSITEDenici o 2.11 Siguin f i g dues funcions tals que la imatge de f est ` a dins del domini de g. Llavors,la composici o g f ( f composta amb g) es deneix com(g f )(x) = g_f (x)_amb Dom(g f ) ={x Dom( f ) | f (x) Dom(g)}Exemple 2.12Donades f (x) = x29 i g(x) = x +5, determinem f g i g f , com tamb e els dominis on estandenides.Fig. 2.20 Gr ` aques de f (x) = x29 i g(x) =x +5En primer lloc, observem queDom( f ) =R, Im( f ) = [9, +), Dom(g) = [5, +) i Im(g) = [0, +).a) Estudiem lexist ` encia de g f . Fent un cop dull a les gr ` aques de les funcions f i g (gura 2.20), ensadonem que Im( f ) Dom(g) i, per tant, cal retallar el Dom( f ) perqu` e la composici o f g tinguisentit. Aix, tindr ` a sentit si f (x) 5 x29 5, es a dir, si x (, 2] [2, +). Llavors,(g f )(x) = g_f (x)_=x24,amb Dom(g f ) = x (, 2] [2, +). Tenim un esquema a la gura 2.21.b) Estudiem ara lexist ` encia de f g. Com que Im(g) Dom( f ), t e sentit trobar la funci o compostaf g. Aix,( f g)(x) = f_g(x)_= x 4,amb Dom( f g) = Dom(g) = [5, +). Podem veure la gura 2.21.501C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 15 / 51, COMPOSITEFig. 2.21 Gr ` aques de les funcions compostes g f i f g2.5 Funci o inversaDenici o 2.13 Una funci o y = f (x) es injectiva en A sif (x1) = f (x2) x1 = x2, per a tota parella x1, x2 A,o, equivalentment, six1 = x2 f (x1) = f (x2), per a tota parella x1, x2 A.Notem que, si f es estrictament mon` otona, llavors f es injectiva. Aix, cada element de la imatge t e una unica antiimatge. La funci o inversa de f , que designarem per f1, es aquella que fa correspondre a cadavalor de y l unic valor de x tal que y = f (x) (gura 2.22).Fig. 2.22 Esquema duna funci o f i la seva inversa f1Denici o 2.14 Una funci o f1 es la inversa de f si_f1 f_(x) = x, per a tot x Dom( f ), i_f f1_(y) = y, per a tot y Dom_f1_.Es clar que Dom( f ) = Im ( f1) i Im( f ) = Dom ( f1).Funcions151 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 16 / 52, COMPOSITEEn general, donada y = f (x), en quines condicions podem considerar x en funci o de y? El teorema 2.15respon a aquesta pregunta.Teorema 2.15a) Una funci o t e inversa si i nom es si es injectiva.b) Si f es estrictament mon` otona a tot el seu domini, aleshores es injectiva i, per tant, t e inversa.Les gures 2.23 i 2.24 mostren exemples de funcions injectives i funcions no injectives.Fig. 2.23 Exemples de funcions injectivesFig. 2.24 Exemples de funcions no injectivesFig. 2.25 Simetria, respecte la recta y = x, duna funci o i la seva inversa521C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 17 / 53, COMPOSITELa gr ` aca de f cont e el punt (a, b) si i nom es si la gr ` aca de f1cont e el punt(b, a). Per tant, la gr ` aca de f1sobt e trac ant la gr ` aca sim` etrica de f respectede la recta y = x, com il.lustra la gura 2.25.Exemple 2.16Trobem, si es que existeixen, les funcions inverses de les funcions seg uents:f (x) =4x 7, i g(x) = 2x 3x +6 .Es f ` acil veure que totes dues funcions s on injectives (de fet, estrictament creixents). A la gura 2.26, nhemrepresentat les gr ` aques.Fig. 2.26 Gr ` aques de les funcions f i g i les seves inversesPer trobar la inversa de f (x), fem y =4x 7 i allem x en funci o de y:y2= 4x 7 x = y2+74 .La inversa ser ` a f1(x) = x2+74 (hem canviat y per x perqu` e seguim el conveni de representar la variableindependent per x).A continuaci o, calculem la inversa de g(x). Escrivim y = 2x 3x +6 i posem x en funci o de y:y(x +6) = 2x 3 yx 2x =36y x = 3+6y2y .La inversa es, doncs, g1(x) = 3+6x2x .Funcions153 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 18 / 54, COMPOSITEA les gures 2.25, 2.27, 2.28, 2.29 i 2.30, hi ha m es exemples de gr ` aques duna funci o, juntamentamb la seva inversa. A totes les gr ` aques, sha considerat nom es un interval o semirecta en qu` e la funci ocorresponent es injectiva.Fig. 2.27 Les funcions sinus i cosinus i les seves inversesFig. 2.28 La funci o tangent i la seva inversaFig. 2.29 La funci o coshx i la seva inversa541C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 19 / 55, COMPOSITEFig. 2.30 Les funcions sinh x i tgh x i les seves inverses2.6 Esb os de gr` aques de funcions a partir de funcions donadesConsiderem la funci o y = f (x) i R. A partir de la gr ` aca de f (x), sobt elesb os de la gr ` aca de

y = f (x), multiplicant, punt a punt, per cada imatge.La gr ` aca sestira o sencongeix en sentit vertical.

y = f ( x), estirant o encongint la gr ` aca en sentit horitzontal.

y = f (x) +, fent una translaci o unitats al llarg de leix dordenadescap amunt si > 0,cap avall si < 0.

y = f (x +), fent una translaci o unitats al llarg de leix dabscissescap a lesquerra si > 0,cap a la dreta si < 0.

y = 1f (x), tenint en compte els punts on f (x) = 0 i on f (x) .

y =| f (x)|, canviant a positius tots els valors negatius de f i deixant igual els altres.Vegem-ne uns quants exemples a les gures 2.31, 2.32, 2.33, 2.34, 2.35 i 2.36.Funcions155 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 20 / 56, COMPOSITEFig. 2.31 Variaci o de la imatge. La gr ` aca sestira o sencongeixFig. 2.32 Variaci o de la velocitat en la gr ` acaFig. 2.33 Translaci o al llarg de leix dordenadesFig. 2.34 Translaci o al llarg de leix dabscisses561C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 21 / 57, COMPOSITEFig. 2.35 Les funcions sinus i tangent hiperb` oliques i les seves inverses algebraiquesFig. 2.36 Una funci o trigonom` etrica i una polin` omica amb els seus valors absoluts2.7 Gr` aques de corbes en coordenades polarsEn les coordenades polars, el sistema de refer ` encia ve donat per un punt O (pol) i una semirecta (eix polar).Cada semirecta que surt de O sanomena un raig dangle (gura 2.37).Fig. 2.37 Coordenades polars del punt PDenici o 2.17 Un punt P est ` a representat en coordenades polars per (r, ) si es troba a una dist ` ancia|r| del pol sobre el raig dangle quan r 0 i sobre el raig dangle + quan r < 0.Notem que (r, +) (r, ) s on dues maneres de representar el mateix punt de R2. Les coordenadespolars no s on uniques. Tot i que, en general, acostumem a considerar r > 0 per comoditat, xada lar, nhi ha moltes parelles (r, ) que poden representar un mateix punt (gura 2.38). En efecte, nom es calprendre un concret i sumar-hi un nombre enter de voltes (positives o negatives).Funcions157 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 22 / 58, COMPOSITEFig. 2.38 Diferents representacions en coordenades polarsAix,

r = 0, (0, ) representa lorigen, per a tot .

(r, ) (r, +2k), per a tot k Z.El pas de cartesianes a polars es f ` acil:r =_x2+y2 =_ arctg yx si x > 0arctg yx + si x < 0 =_ 2 si y > 032 si y < 0. quan x = 0, y = 0.Fig. 2.39 Punts amb x = 0, y = 0, es a dir, sobre el raig = 2o = 32Aquests ultims punts, els que corresponen a x = 0,y = 0, estan situats sobre el raig dangle =/2 o = 3/2, que es correspon amb leix dordenadesen coordenades cartesianes. Els tenim a la gura2.39.El pas de polars a cartesianes es immediat:x = r cos, y = r sin.Exemple 2.18Passem a coordenades polars un parell dequacions de corbes.a) x = 2. Es una recta vertical. Directament, obtenim r cos = 2, don, r = 2cos.b) x2+(y2)2=4. Es tracta duna circumfer ` encia centrada a leix OY. Primer lescrivimcomx2+y24y =0, i despr es substitum x per r cos i y per r sin. Daqu,r24r sin = 0 r(r 4sin) = 0.Notem que r = 0 nom es representa lorigen. Simplicant, obtenim r = 4sin.581C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 23 / 59, COMPOSITEExemple 2.19Passem a coordenades cartesianes unes corbes donades en polars. Es convenient tenir present que r2=x2+y2.a) r = 2acos. Multipliquem ambdues bandes per r:r2= 2ar cos x2+y2= 2ax.Ara completem quadrats i obtenimx2+y22ax = 0 x22ax +a2+y2= a2 (x a)2+y2= a2.Es la circumfer ` encia de centre (a, 0) i radi |a|.b) r2= 2sin2. Posem lequaci o en la forma r2sin2 = 2. A partir de la f ormula del sinus de langledoble, sin2 = 2sincos, dedum que2r2sincos = 2 r sin r cos = 1 xy = 1.Aquesta es lequaci o duna hip` erbola coneguda, que molt sovint escrivim com y = 1x.En general, per dibuixar una corba donada en coordenades polars, r = f (),utilitzarem una taula de valors completa a partir de la gr ` aca de f (x) en coorde-nades cartesianes, tenint en compte tamb e les simetries.Per taula de valors completa entenem una taula que ens proporcioni una informaci o tant qualitativa comquantitativa.Exemple 2.20A la gura 2.40, els valors que pren x a leix dabscisses s on les nostres i les imatges de la funci of (x) = 2sinx corresponen als valors de r = f () = 2sin. La gr ` aca en coordenades cartesianes,doncs, fa el paper de taula de valors. Aix, sabem que r(0) =0, r() =0, r(2) =0, r(2) =2, r(32 ) =2.Aquesta informaci o es de tipus quantitatiu.Fig. 2.40 Taula de valors completa i gr ` aca de r =2sinFuncions159 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 24 / 60, COMPOSITEA m es a m es, podem observar que entre 0 i 2 els valors de r van decreixent des de 0 ns a 2. En denitiva,la r sallunya del valor 0 ns a assolir una dist ` ancia |2| = 2. Per tant, en la representaci o dels punts de lacorba en coordenades polars, la dist ` ancia al pol creix des de 0 ns a | 2| = 2, quan variem langle entre0 i 2. Gr ` acament, aix ` o vol dir que els punts de la corba sallunyen del pol. Aquesta informaci o es de tipusm es aviat qualitatiu. Tanmateix, si necessitem el valor exacte de r per a una concreta, nom es cal quenavaluem la funci o r = f (). Seguint el comportament de la funci o f (x) =2sinx per als altres valorsde x, podem acabar de dibuixar la corba en polars. A lexemple considerat ens apareix una circumfer ` encia.Resumint, per fer un esb os de la gr ` aca de r =2sin, seguim els passos seg uents:a) fem un esb os de la gr ` aca de y =2sinx en coordenades cartesianes,b) utilitzem lesb os anterior com una taula de valors per a la gr ` aca en polars,c) dibuixem la corba en polars a partir de la informaci o anterior (gura 2.40).A continuaci o, presentem les gr ` aques dalgunes corbes en coordenades polars. Es un recull forc a rellevanti il.lustratiu. Els primers exemples corresponen a rectes i circumfer ` encies. Al segon grup mostrem altresfamlies de corbes menys conegudes cargols, lemniscates i ors dn p` etals. Gaireb e cada gr ` aca en polarsva acompanyada de la seva taula de valors per tal de seguir-ne lestudi amb tot detall.RectesLes rectes que passen per lorigen s on de la forma =k (dibuix de lesquerra de la gura 2.43); les verticalstenen equaci o r = kcos (gura 2.41) i les horitzontals, r = ksin (gura 2.42).Fig. 2.41 Rectes verticals r = kcos en coordenades polarsFig. 2.42 Rectes horitzontals r = ksin en coordenades polars601C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 25 / 61, COMPOSITEFig. 2.43 Gr ` aques en polars de la recta = k i la circumfer ` encia r = kCircumfer` enciesLes circumfer ` encies centrades a lorigen i radi k tenen lequaci o r = k (dibuix de la dreta de la gura 2.43);les centrades en algun dels eixos coordenats tamb e presenten una equaci o molt simple: r = ksin per aleix vertical (gura 2.44) i r = kcos per a lhoritzontal (gura 2.45).Fig. 2.44 Circumfer ` encies centrades en leix dordenades: r = ksinFig. 2.45 Circumfer ` encies centrades en leix dabscisses: r = kcosCargolsLes equacions dels cargols s on de la forma r = abcos i r = absin, on a, b > 0. Les gures 2.46,2.47, 2.48 i 2.49 ens en mostren uns exemples concrets.Funcions161 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 26 / 62, COMPOSITEFig. 2.46 Taula de valors i gr ` aca de r = 1+2cosFig. 2.47 Taula de valors i gr ` aca de r = 1+2sinFig. 2.48 Taula de valors i gr ` aca de la cardioide r = 1sinLemniscatesLes equacions de les lemniscates s on de la forma r2=a2sin2i r2=a2cos2, on a R. A les gures 2.50i 2.51 podem observar-ne dos exemples concrets.621C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 27 / 63, COMPOSITEFig. 2.49 Taula de valors i gr ` aca de r = 32cosFig. 2.50 Taula de valors i gr ` aca de r2= 2cos2Fig. 2.51 Taula de valors i gr ` aca de r2= 2sin2Funcions163 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 28 / 64, COMPOSITERosesLes equacions de les roses o ors en coordenades polars s on dels tipus r = acosn i r = asinn i tenen

n p` etals si n es senar,

2n p` etals si n es parell (n 2).A les gures 2.52 i 2.53 en tenim dos exemples: una rosa de tres p` etals i una de quatre, respectivament.Fig. 2.52 Taula de valors i gr ` aca de r =2cos3Fig. 2.53 Taula de valors i gr ` aca de r = 3sin2641C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 29 / 65, COMPOSITEProblemes resoltsProblema 1Determineu el domini de la funci o f (x) =_4|2x 2|(x 1)2 .[Soluci o]Hem de demanar que el denominador no sigui 0 i que dins de larrel quadrada del numerador hi hagi un nombresuperior o igual a 0. Es clar que el denominador sanul.la nom es quan x = 1. Per tant, aquest punt no es del dominide la funci o.Pel que fa al numerador, hem de resoldre la inequaci o 4 |2x 2| 0 o, equivalentment, |2x 2| 4. De lespropietats del valor absolut, en resulta la cadena de desigualtats4 2x 2 4.Tenim, doncs, dues inequacions que shan de satisfer conjuntament. De la primera, traiem que x 1, i de la segona,que x 3. Resumint, el domini daquesta funci o es [1, 3] \{1} o, escrit duna altra manera, [1, 1) (1, 3].Problema 2Estudieu la paritat de les funcions seg uents:a) f (x) = xcoshxx2+1b) f (x) = sin(x2) +cosx +3c) f (x) = x +3 [Soluci o]a) De les propietats del cosinus hiperb ` olic, es clar que coshx = cosh(x). Aleshores,f (x) = xcoshxx2+1 =f (x),per a tot x. Per tant, es tracta duna funci o senar.b) Aquesta funci o es parella ja que f (x) = sin(x2) +cosx +3 = f (x), per a tot x.c) En aquest cas, f (x) = x +3 i f (x) =x +3. No tenim cap de les relacionsni f (x) = f (x), x ni f (x) =f (x), x.Llavors, la funci o no es ni senar ni parella.Problema 3Resoleu les equacions exponencial i logartmica seg uents:a) 3x26x= 16.561b) 2ln_2x_+3lnx2= 0Funcions165 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 30 / 66, COMPOSITE[Soluci o]a) Lequaci o 3x26x= 16.561 t e 2 i 4 com a solucions ja que3x26x= 16.561 3x26x= 38x26x =8 x1 = 2, x2 = 4b) Aplicant les propietats de la funci o logartmica, tenim que2ln_2x_+3lnx2= 0 2ln22lnx +6lnx = 0 = lnx4= ln22Per tant, de la injectivitat dedum que la soluci o es x = 12.Problema 4Resoleu lequaci o trigonom` etrica sinx +cosx = 1.[Soluci o]Tenim una equaci o amb dues raons trigonom` etriques diferents del mateix angle. Utilitzarem la igualtat auxiliar cos2x+sin2x = 1 per obtenir una relaci o entre ambdues:_ cos2x +sin2x = 1sinx +cosx = 1 (1sinx)2+sin2x = 1 2sinx(sinx 1) = 0 es a dir,sinx = 0 =x = 2ksinx = 1 =x = 2 +k, k ZProblema 5A partir de la gr ` aca de y = sinx, feu un esb os de les gr ` aques de les funcions:a) 1+sinxb) 2+sinxc) 2sinxd) sin_x + 4_e) sin_x 4_f) 1sinx661C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 31 / 67, COMPOSITE[Soluci o]Seguint les indicacions de la secci o 2.6, obtenim els apartats a) i b) a la gura 2.54, el c) i el d) a la gura 2.55 i,nalment, els apartats e) i f) a la gura 2.56.Fig. 2.54 Gr ` aques de y = 1+sinx i y =2+sinx a partir de y = sinxFig. 2.55 Gr ` aques de y =2sinx i y = sin_x + 4_a partir de y = sinxFig. 2.56 Gr ` aques de y = sin_x 4_i y = 1sinx a partir de y = sinxFuncions167 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 32 / 68, COMPOSITEProblema 6Considereu la funci of (x) =x1x si x 0,arctg x si x > 0.Trobeu lexpressi o analtica de f1i indiqueu el domini i la imatge daquesta inversa.[Soluci o]Primer estudiem la injectivitat de la funci o f (x). Si x >0, aleshores f es injectiva perqu` e la funci o arctg x es estrictamentcreixent. Daltra banda, per a x 0, la funci o tamb e es injectiva. En efecte,f (x1) = f (x2) = x11x1= x21x2= x1x1x2 = x2x1x2 = x1 = x2.Ara b e, per tal que f (x) sigui injectiva en R, no es sucient que ho sigui en cadascuna de les semirectes on est ` adenida a trossos, (, 0] i (0, +). A m es a m es, cal que la imatge de x1x en (, 0] i la de arctg x en (0, +)tinguin intersecci o buida. Observem que, per a x > 0, f (x) (0, 2). Pel que fa a x 0, vegem que la imatge esnegativa. Tenimx 0 = x 0 = 1x 0 = x1x 0,Fig. 2.57 Gr ` aca de la funci o f (x) denida a trossos correspo-nent al problema 6perqu` e es un quocient amb numerador i denominadorde signes diferents, es a dir, f (x) 0 per a x 0. Ara sque queda demostrat que la funci o f (x) es injectiva en Ri, en conseq u` encia, t e inversa. Concretem m es la imatgequan x 0. Ja hem vist que, en aquest cas,x1x 0.Trobem una ta inferior de la funci o: si x 0, aleshoresx 0 i1x >x = x1x < 1 = x1x >1.Per tant, si x 01 < x1x 0A la gura 2.57, tenim la gr ` aca de la funci o f (x). Calculem lexpressi o de la inversa de f (x). Si x > 0, tenimy = arctg x x = tgy.Si x 0, aleshoresy = x1x y(1x) = x x(1+y) = y x = y1+y.681C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 33 / 69, COMPOSITEFinalment, la inversa de f (x) es f1(y) =y1+y si y (1, 0],tgy si y _0, 2_ ambDom( f1) = Im( f ) =_1, 2_ i Im( f1) = Dom( f ) =R.Problema 7Comproveu que 2sinh2x = cosh(2x) 1 per a tot real x.[Soluci o]A partir de la denici o de sinhx i coshx en termes de la funci o exponencial, tenim2sinh2x = 2_exex2_2= e2x+e2x22icosh(2x) 1 = e2x+e2x2 1 = e2x+e2x22 .Per tant, hem demostrat la igualtat que volem.Problema 8Identiqueu i dibuixeu les corbes de R3denides per les equacions seg uents:a) x2+y24 = 0b) x2+y2= 0c) x2y = yd) x2y = 1[Soluci o]a) Escrivim la corba com x2+y2= 22. Daquesta manera, la identiquem: es la circumfer ` encia de centre lorigeni radi 2 ( es el primer dibuix de la gura 2.58).Fig. 2.58 Dibuixos corresponents a x2+y24 = 0 i x2+y2= 0Funcions169 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 34 / 70, COMPOSITEb) At ` es que x20 i y20, l unica possibilitat de tenir x2+y2= 0 es x2= 0 i y2= 0, ambdues condicions a lavegada. Es a dir, x = 0 i y = 0, que vol dir el punt (0, 0) ( es el segon dibuix de la gura 2.58).c) Lequaci o es equivalent a y(x21) = 0. Per tant, y = 0 o b e x21 = 0. Aix, la soluci o est ` a formada per tresrectes: y = 0, x = 1 i x =1 (primer dibuix de la gura 2.59).d) Allem la y en funci o de la x i obtenim lexpressi o y = x21, que correspon a una par ` abola (segon dibuix dela gura 2.59).Fig. 2.59 Dibuixos corresponents a les corbes x2y = y i x2y = 1Problema 9Dibuixeu els conjunts de punts (x, y) R2tals quea) x2+y2> 1b) x2+y21[Soluci o]a) Sabem que els punts (x, y) que satisfan x2+y2= 1 formen la circumfer ` encia unitat (disten una unitat delorigen). Aix, x2+y2> 1 correspon als punts que disten m es duna unitat de lorigen (primer dibuix de lagura 2.60)b) Tenint en compte lapartat anterior, la desigualtat x2+y2 1 representa els punts del pla tals que la sevadist ` ancia a lorigen es inferior o igual a 1: el disc unitat (segon dibuix de la gura 2.60).Fig. 2.60 Els conjunts x2+y2> 1 i x2+y21Problema 10Dibuixeu la corba r =|1+2cos| en coordenades polars.701C` alcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009Page (PS/TeX): 35 / 71, COMPOSITE[Soluci o]La gr ` aca en coord