CÀLCULO DIFERENCIAL E INTENGRAL

CAPÌTULO 2

VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITES

+ VARIABLES Y CONSTANTES

Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de anàlisis, un número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las ultimas letras del alfabeto. Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante.

Constantes numéricas o absolutas: Son las que conservan los mismos valores en todos los problemas, como 2,5 etc.

Constantes arbitrarias o parámetros: Son aquellas a las que se pueden asignar valores numéricos, y que durante todo el proceso conservan valores asignados.

INTERVALO DE UNA VARIABLE

A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por ejemplo podemos restringir nuestra variable de manera que tome únicamente valores comprendidos entre a y b. También puede ser que a y b sean incluidos o que:

+ VARIABLES CONTINUA Puede tomar un valor fijo dentro de un intervalo determinado. Y siempre entre dos valores observables va a existir un tercer valor intermedio que también podría tomar la variable continua. Una variable continua toma valores a lo largo de un continuo, esto es, en todo un intervalo de valores. Un atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de una variable discreta, nunca puede ser medida con exactitud; el valor observado depende en gran medida de la precisión de los instrumentos de medición.

+ FUNCIONES

Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda, determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de la segunda.Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en las que intervienen magnitudes dependientes unas a otras.

VARIALBES INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES

La segunda variable, a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de limites que dependen del problema particular, se llama la variable independiente o el argumento. La primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente se llama la variable dependiente o la función. Cuando se consideran dos variables ligadas entre si, queda a nuestro arbitrio el elegir a una de ellas como variable independiente; pero una vez hecha esta elección o es permitido cambiar de variable independiente sin tomar ciertas precauciones y hacer las transformaciones pertinentes.

NOTACIÒN DE FUNCIONES

El símbolo f (x) se emplea para designar una función de x y se lee f de x. Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial como f(x), etc.Durante todo el curso de un proceso un mismo símbolo de funcionalidad indicará una misma ley de dependencia entre una función y su variable.

LA DIVISIÒN POR CERO, EXCLUIDA

El cociente de dos números a y b es un numero x tal que a = bx. Evidentemente, con esta definición la división por cero que excluida. En efecto si b = 0 y recordando que cero tomado cualquier numero de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = 0. si a = 0 entonces x puede ser cualquier numero.

GRÀFICA DE UNA FUNCIÒN; CONTINUIDAD.

Esta relación de un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unívocamente a y para todos los valores de la variable independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola y se llama la grafica de la función si x varia continuamente desde x = a hasta x = b. En este caso decimos que la función es continua para todos los valores de x.

LÌMITE DE UNA VARIABLE

La noción de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en la geometría elemental al establecer o deducir la formula que da el área del circulo. Se considera el área de un polígono regular inscrito con un numero n cualquiera de lados, y se supone, después, que n crece infinitamente.El área variable tiende así hasta un limite y este límite se define como área del circulo.

DEFINICION: Se dice que la variable v tiende a la constante l como límite cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v – l puede llegar a ser, finalmente menor que cualquier numero positivo predeterminado tan pequeño como se quiera

LÌMITE DE UNA FUNCIÒN

En las aplicaciones de la definición de límite se presentan usualmente casos como el siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v y se supone que la variable v recibe valores tales que v l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e investigar particularmente si z tiende también a un limite.

TEOREMAS SOBRE LÌMITES En el cálculo del límite de una función tiene aplicación los teoremas siguientes. Las demostraciones se darán en el Artículo 20.

FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la función cuando x tiende a a, es igual al valor de la función x = a .

Se dice que la función es discontinua para x = a si no se satisface esta condición.

INFINITO

Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier número positivo asignado de antemano por grande que este sea decimos que v se vuelve infinita. Si v toma solamente alores positivos se hace infinita positivamente.La notación que se emplea para los tres casos es:

INFINITÈSIMOS

Una variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser y permanece menor que cualquier número positivo asignado de antemano, por pequeño que sea.

TEOREMAS RELATIVOS A INFINITÈSIMOS Y LÌMITES

En la siguiente consideraciones todas las variables se suponen funciones de la misma variable independiente y además que tienden a sus límites respectivos cuando esta variable tiende a un valor fijo a. La constante e es un numero positivo asignado de antemano tan pequeño como se quiera pero no cero.

CREADO POR : VARGAS GURUMENDI YADIRA ESTEFANIA

PROFESOR: M.S.A ING. JOFFRE VÀSQUEZ DEL ROSARIO

CARRERA: INFORMÀTICA EN MENCIÒN NETWORKING

JORNADA: VESPERTINA

MATERIA: CÀLCULO I