Calculo diferencial e integral, 9na edición purcell, varberg & rigdon

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Cálculo diferencial e integral Purcell Varberg Rigdon Purcell Varberg Rigdon NOVENA EDICIÓN

Transcript of Calculo diferencial e integral, 9na edición purcell, varberg & rigdon

  • Clculo diferencial e integral

    Purcell Varberg RigdonPurcell Varberg Rigdon

    NOVENA EDICIN

  • FORMAS HIPERBLICAS

    78 79 80

    81 82 83

    84 85 86

    87 88 89

    90 91

    FORMAS ALGEBRAICAS DIVERSAS

    92. 93

    94

    95

    96

    97

    98 99

    100a 100b

    101

    102 103

    104

    105 106

    107

    108

    109

    110

    INTEGRALES DEFINIDAS

    111 112

    113 Lp/2

    0senn u du = L

    p/2

    0 cosn u du = 1 3 5 (n - 1)2 4 6 n p2

    2 4 6 (n - 1)3 5 7 n

    Lq

    0e-au

    2 du =

    12

    Ap

    a (a 7 0)L

    q`

    0une-u du = (n + 1) = n! (n 0)

    Ldu

    (22au - u2)n =u - a

    (n - 2)a2 (22au - u2)2-n + n - 3(n - 2)a2L

    du

    (22au - u2)n-2L(22au - u2)n du =

    u - an + 1

    (2au - u2)n/2 +na2

    n + 1L(22au - u2)n-2 duL

    du

    un22au - u2 =22au - u2a(1 - 2n)un

    +n - 1

    (2n - 1)aL du

    un-122au - u2L22au - u2

    un du =

    (2au - u2)3/2

    (3 - 2n)aun+

    n - 3(2n - 3)aL

    22au - u2un-1

    du

    L 22au - u2

    u du = 22au - u2 + a sen-1 u - aa + CL

    un du

    22au - ug2 = - un-1

    n 22au - u2 + (2n - 1)an L un-1 du

    22au - u2Lu

    n22au - u2 du = -un-1(2au - u2)3/2n + 2 + (2n + 1)an + 2 Lun-122au - u2 duL

    du

    u22au - u2 = sen-1 u - aa

    + CL22au - u2 du =u - a

    2 22au - u2 + a2

    2 sen-1

    u - aa

    + C

    Ldu

    un2au + b = -2au + bb(n - 1)un-1

    -(2n - 3)a(2n - 2)bL

    du

    un-12au + b si n Z 1L

    du

    u2au + b =2

    2-b tan-1 A

    au + b-b

    + C si b 6 0L du

    u2au + b =1

    2b ln 22au + b - 2b2au + b + 2b 2 + C si b 7 0

    Lun du

    2au + b =2

    a(2n + 1) aun3au + b - nbL un-1 du2au + b bL u du2au + b = 23a2(au - 2b) 2au + b + C

    Lun 2au + b du = 2a(2n + 3) aun(au + b)3/2 - nbLun-1 2au + b dub

    Lu2au + b du =2

    15a2 (3au - 2b)(au + b)3/2 + C

    Ldu

    (a2 u2)n=

    1

    2a2(n - 1) a u

    (a2 u2)n-1+ (2n - 3)L

    du

    (a2 u2)n-1b si n Z 1L

    u(au + b)n du =u(au + b)n+1

    a(n + 1)-

    (au + b)n+2

    a2(n + 1)(n + 2)+ C si n Z -1, -2

    Lu(au + b)-2 du =

    1

    a2 c ln^ au + b + b

    au + bd + CLu(au + b)-1 du = ua - ba2 ln au + b + C

    Lcsc u coth u du = -csch u + CLsech u tanh u du = -sech u + CLcsch

    2 u du = -coth u + CLsech2 u du = tanh u + CLcoth

    2 u du = u - coth u + C

    Ltanh2 u du = u - tanh u + CLcosh

    2 u du =14

    senh 2u +u

    2+ CLsenh

    2 u du =14

    senh 2u -u

    2+ C

    Lcsch u du = ln 2 tanh u

    22 + CLsech u du = tan

    -1 senh u + CLcoth u du = ln senh u + CLtanh u du = ln(cosh u) + CLcosh u du = senh u + CL senh u du = cosh u + C

    si n es un entero par y n 2

    si n es un entero impar y n 3

  • 1600

    Kepler

    Descartes

    Newton Leibniz

    J. Kepler (1571-1630)R. Descartes (1596-1650)

    B. Pascal (1623-1662)I. Newton (1642-1727)

    G. Leibniz (1646-1716)LHpital (1661-1704)

    J. Bernoulli (1667-1748)

    1700

    Pascal

    LHpital

    Euler

    Bernoulli

    L. Euler (1707-1783)M. Agnesi (1718-1799)

    Leyes de Keplerdel movimiento

    planetario

    Geometraanaltica deDescartes

    1609

    Newton descubreel clculo

    1665

    Euler introduce e

    17281637

    Primer texto declculo (LHpital)

    1696

    Contribuidores del Clculo[El clculo es] el resultado de una dramtica lucha

    intelectual que ha durado los ltimos veinticinco siglos.

    Richard Courant

  • 1800 1900

    Lagrange

    Agnesi

    J. Lagrange (1736-1813)C. Gauss (1777-1855)A. Cauchy (1789-1857)

    GaussCauchy

    Riemann

    Otros contribuidoresPierre de Fermat (1601-1665)Michel Rolle (1652-1719)Brook Taylor (1685-1731)Colin Maclaurin (1698-1746)

    Thomas Simpson (1710-1761)Pierre-Simon de Laplace (1749-1827)George Green (1793-1841)George Gabriel Stokes (1819-1903)

    K. Weierstrass (1815-1897)G. Riemann (1826-1866)

    WeierstrassKovalevsky

    J. Gibbs (1839-1903)S. Kovalevsky (1850-1891)

    H. Lebesgue (1875-1941)

    Gibbs

    Lebesgue

    Gauss demuestrael teorema

    fundamentaldel lgebra

    1799

    Integral deRiemann

    1854

    Integral deLebesgue

    1902

    Lagrange iniciasu Mcanique

    analytique

    1756

    Nocin precisa delmite (Cauchy)

    1821

    e es trascendental(Hermite)

    1873

  • FRMULAS DE GEOMETRA

    a

    u

    h

    b

    Tringulo

    rea =12

    bh

    rea =12

    ab sen u

    rea =12

    r2u

    r

    Crculo

    b

    h

    Paralelogramo

    ru rad

    s

    Sector circular

    rea =R + r

    2` (R - r)u

    Ru rad

    r

    R r

    Rectngulo polar

    a

    b

    h

    Trapecio

    rea =a + b

    2 h

    r

    h

    Cilindro circular recto

    rea lateral = 2prh

    Volumen = pr2h

    r

    h s

    R

    Tronco de un cono circular recto

    r

    Esfera

    h

    B

    Cono general

    A

    Bu

    Cua

    r

    hs

    Cono circular recto

    rea = bh

    Circunferencia = 2pr

    Longitud de arco = ru

    rea = 2prrea lateral = ps(r + R)

    rea A = (rea B) sec u

    Volumen =43

    Pr3

    rea = 4pr2

    Volumen =13

    Pr2h

    Volumen =13

    P(r2 + rR + R2)h

    Volumen =13

    (rea B)h

    rea lateral = prs

  • Clculo diferenciale integralNOVENA EDICIN

    Edwin J. PurcellUniversity of Arizona

    Dale VarbergHamline University

    Steven E. RigdonSouthern Illinois University Edwardsville

    Traduccin:

    Vctor Hugo Ibarra MercadoEscuela de actuara, Universidad AnhuacESFM-IPN

    Revisin Tcnica:

    Linda Margarita Medina HerreraNatella AntonyanInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, campus Ciudad de Mxico

    Jorge Arturo Rodrguez ChaparroJefe del Departamento de MatemticasColegio San Jorge de InglaterraBogot Colombia

  • Authorized adaptation from the English language edition, entitled Calculus, 9e by Dale Varberg, Edwin J. Purcell and Steven E. Rigdonpublished by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright 2007. All rights reserved.ISBN 0131429248

    Adaptacin autorizada de la edicin en idioma ingls, Calculus, 9e por Dale Varberg, Edwin J. Purcell y Steven E. Rigdon publicada porPearson Education, Inc., publicada como PRENTICE-HALL INC., Copyright 2007. Todos los derechos reservados.

    Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

    Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duarte

    e-mail: [email protected] Editora de desarrollo: Claudia C. Martnez AmignSupervisor de produccin: Rodrigo Romero Villalobos

    Edicin en ingls

    NOVENA EDICIN, 2007

    D.R. 2007 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500-5to. pisoIndustrial Atoto53519 Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: [email protected]

    Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031

    Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

    Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un siste-ma de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o elec-troptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

    El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus re-presentantes.

    ISBN 10: 970-26-0989-5ISBN 13: 978-970-26-0989-6

    Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07

    Datos de catalogacin bibliogrfica

    PURCELL, EDWIN J., VARBERG, DALE; RIGDON, STEVEN E.

    Clculo diferencial e integral

    PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2007ISBN: 978-970-26-0989-6rea: Bachillerato

    Formato: 21 27 cm Pginas: 520

    Acquisitions Editor: Adam JaworskiEditor-in-Chief: Sally YaganProject Manager: Dawn MurrinProduction Editor: Debbie RyanAssistant Managing Editor: Bayani Mendoza de LeonSenior Managing Editor: Linda Mihatov BehrensExecutive Managing Editor: Kathleen SchiaparelliManufacturing Buyer: Lisa McDowellManufacturing Manager: Alexis Heydt-LongDirector of Marketing: Patrice JonesExecutive Marketing Manager: Halee DinseyMarketing Assistant: Joon Won MoonDevelopment Editor: Frank PurcellEditor-in-Chief, Development: Carol Trueheart

    Art Director: Heather ScottInterior Designer: Judith Matz-ConiglioCover Designer: Tamara NewnamArt Editor: Thomas BenfattiCreative Director: Juan R. LpezDirector of Creative Services: Paul BelfantiManager, Cover Visual Research & Permissions: Karen SanatarDirector, Image Resource Center: Melinda ReoManager, Rights and Permissions: Zina ArabiaManager, Visual Research: Beth BrenzelImage Permission: Vickie MenanteauxCover Photo: Massimo Listri/Corbis; Interior view of Burj Al ArabHotel, Dubai, United Arab Emirates

  • APat, Chris, Mary y Emily

  • vii

    Contenido

    Prefacio xi

    0 Preliminares 10.1 Nmeros reales, estimacin y lgica 10.2 Desigualdades y valor absoluto 80.3 El sistema de coordenadas rectangulares 160.4 Grficas de ecuaciones 240.5 Funciones y sus grficas 290.6 Operaciones con funciones 350.7 Funciones trigonomtricas 410.8 Repaso del captulo 51Problemas de repaso e introduccin 54

    1 Lmites 551.1 Introduccin a lmites 551.2 Estudio riguroso (formal) de lmites 611.3 Teoremas de lmites 681.4 Lmites que involucran funciones trigonomtricas 731.5 Lmites al infinito; lmites infinitos 771.6 Continuidad de funciones 821.7 Repaso del captulo 90Problemas de repaso e introduccin 92

    2 La derivada 932.1 Dos problemas con el mismo tema 932.2 La derivada 1002.3 Reglas para encontrar derivadas 1072.4 Derivadas de funciones trigonomtricas 1142.5 La regla de la cadena 1182.6 Derivadas de orden superior 1252.7 Derivacin implcita 1302.8 Razones de cambio relacionadas 1352.9 Diferenciales y aproximaciones 1422.10 Repaso del captulo 147Problemas de repaso e introduccin 150

    3 Aplicaciones de la derivada 1513.1 Mximos y mnimos 1513.2 Monotona y concavidad 1553.3 Extremos locales y extremos en intervalos abiertos 1623.4 Problemas prcticos 1673.5 Graficacin de funciones mediante clculo 1783.6 El teorema del valor medio para derivadas 1853.7 Solucin numrica de ecuaciones 1903.8 Antiderivadas 1973.9 Introduccin a ecuaciones diferenciales 2033.10 Repaso del captulo 209Problemas de repaso e introduccin 214

  • 4 La integral definida 2154.1 Introduccin al rea 2154.2 La integral definida 2244.3 El Primer Teorema Fundamental del Clculo 2324.4 El Segundo Teorema Fundamental del Clculo y el mtodo

    de sustitucin 2434.5 El teorema del valor medio para integrales y el uso

    de la simetra 2534.6 Integracin numrica 2604.7 Repaso del captulo 270Problemas de repaso e introduccin 274

    5 Aplicaciones de la integral 2755.1 El rea de una regin plana 2755.2 Volmenes de slidos: capas, discos, arandelas 2815.3 Volmenes de slidos de revolucin: cascarones 2885.4 Longitud de una curva plana 2945.5 Trabajo y fuerza de un fluido 3015.6 Momentos y centro de masa 3085.7 Probabilidad y variables aleatorias 3165.8 Repaso del captulo 322Problemas de repaso e introduccin 324

    6 Funciones trascendentales 3256.1 La funcin logaritmo natural 3256.2 Funciones inversas y sus derivadas 3316.3 La funcin exponencial natural 3376.4 Funciones exponencial y logartmica generales 3426.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 3476.6 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 3556.7 Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 3596.8 Funciones trigonomtricas inversas y sus derivadas 3656.9 Funciones hiperblicas y sus inversas 3746.10 Repaso del captulo 380Problemas de repaso e introduccin 382

    7 Tcnicas de integracin 3837.1 Reglas bsicas de integracin 3837.2 Integracin por partes 3877.3 Algunas integrales trigonomtricas 3937.4 Sustituciones para racionalizar 3997.5 Integracin de funciones racionales por medio de fracciones

    parciales 4047.6 Estrategias de integracin 4117.7 Repaso del captulo 419Problemas de repaso e introduccin 422

    viii Contenido

  • 8 Formas indeterminadas e integralesimpropias 4238.1 Formas indeterminadas del tipo 0/0 4238.2 Otras formas indeterminadas 4288.3 Integrales impropias: lmites de integracin infinitos 4338.4 Integrales impropias: integrandos infinitos 4428.5 Repaso del captulo 446Problemas de repaso e introduccin 448

    Apndice A-1A.1 Induccin matemtica A-1A.2 Demostracin de varios teoremas A-3

    Respuestas a problemascon nmero impar A-7

    ndice I-1

    Crditos de fotografas C-1

    Contenido ix

  • Agradecimientos

    Agradecemos a todos los profesores que han sido leales usuarios y han impartido la materia de Clculo en los pases dehabla hispana con el apoyo del reconocido libro de Purcell. Sus valiosos comentarios han servido para enriquecer el desa-rrollo de la actual edicin. Esperamos que con el uso de este texto cumplan satisfactoriamente los objetivos del programadel curso y preparen a sus alumnos para enfrentar los retos actuales dentro del mbito de las matemticas. En especial de-seamos agradecer el apoyo y retroalimentacin que nos han dado los siguientes profesores:

    COLOMBIA ClermontMauricio Roa

    Colegio Agustiniano Ciudad SalitreHugo Hernn Rubio

    Colegio Agustiniano de SubaJohn Jairo Surez

    Colegio Agustiniano NorteYazmn Castro

    Colegio BautistaLuis Hernando Lpez

    Colegio BerchmansArnaldo Ruiz

    Colegio CalasanzArmando Villamizar

    Colegio CalatravaFrancisco Valderrama

    Colegio Cervantes NorteJuan Lizrraga

    Colegio del Rosario Santo Domingo Rosalba Corredor

    Colegio El PinarFreddy Mondragn

    Colegio Emmanuel DalzonAlexis Valencia

    Colegio Franciscano De Pio XiiJos Luis Prez

    Colegio HispanoamericanoRal Vacca Marabely Ramrez

    Colegio Jordn de Sajonia Jos Romero

    Colegio Nuestra Seora del Rosario Gloria Aguilar

    Colegio San Antonio Mara ClaretPatricia Duarte

    Colegio San PatricioJorge Enrique Pea

    Colegio Santa ClaraLuis Villamizar

    Colegio Santa DoroteaOctavio Cambindo

    Gimnasio BritnicoJos Vicente Contreras John Jairo Estrada

    Gimnasio La ArboledaEsperanza Snchez

    Gimnasio La MontaaClaudia Rodrguez

    Gimnasio Los AndesMartn Tello

    Gimnasio ModernoHugo Hernn Chvez Lpez

    Inst. San Bernardo de La Salle Augusto Vivas

    Instituto Colsubsidio de Educacin Femenina ICEFYolanda Cruz

    Nuevo Colombo BritnicoAstrid Torregrosa

    PortalesZulema Len

    Rosario Quinta MutisWilson Alcntara

    San FaconAura Beatriz Garca

    San PatricioJorge Pea

    San TarsicioJorge Velasco

    MXICOCEBETIS # 225Uriel Garca Rico

    CECyT # 9Hermenegildo Barrera HernndezUbaldo Bonilla Jimnez

    CETI-Colomos Jess Salvador Escobedo Sols Asuncin Gonzlez Loza Francisco Javier Hernndez PatioPatricia Lamas Huerta scar Mesina Reyes ngel Villagrana Villa

    Colegio Anhuac Chapalita Humberto Contreras Prez

  • xi

    Prefacio

    De nuevo, la novena edicin de Clculo es una revisin modesta. Se han agregado al-gunos temas y otros se han reacomodado, pero el espritu del libro ha permanecido sinalteraciones. Los usuarios de las ediciones precedentes nos han informado del xitoque tuvieron y no tenemos la intencin de restarle ventajas a un texto bastante viable.

    Para muchos, este libro an ser considerado como un texto tradicional. En su ma-yora, se demuestran los teoremas, se dejan como ejercicio o se dejan sin demostrarcuando la comprobacin es demasiado difcil. Cuando esto ltimo sucede, tratamos dedar una explicacin intuitiva para que el resultado sea plausible, antes de pasar al temasiguiente. En algunos casos, damos un bosquejo de una demostracin, en cuyo caso ex-plicamos por qu es un bosquejo y no una demostracin rigurosa. El objetivo siguesiendo la comprensin de los conceptos de clculo.Aunque algunos ven al nfasis en lapresentacin clara y rigurosa como una distraccin para la comprensin del clculo,nosotros vemos que ambas son complementarias. Es ms probable que los estudiantescomprendan los conceptos si los trminos se definen con nitidez y los teoremas seenuncian y demuestran claramente.

    Un texto breve La novena edicin contina siendo la obra ms breve de los prin-cipales textos de clculo exitosos. Hemos tratado de no saturar el texto con temas nue-vos y enfoques alternativos. En menos de 800 pginas tratamos la mayor parte de lostemas de clculo; entre ellos, un captulo preliminar y el material de lmites a clculovectorial. En dcadas recientes, los estudiantes han desarrollado malos hbitos. Deseanencontrar el ejemplo resuelto de modo que coincida con el problema de su tarea. Nues-tro objetivo con este texto contina manteniendo al clculo como un curso centrado endeterminadas ideas bsicas en torno a palabras, frmulas y grficas. La resolucin delos conjuntos de problemas, crucial para el desarrollo de habilidades matemticas, nodebe eclipsar el objetivo de comprensin del clculo.

    Problemas de revisin de conceptos Para alentar a los estudiantes a leery entender el texto, a cada conjunto de problemas le preceden cuatro cuestiones paracompletar. stas prueban el dominio del vocabulario bsico, comprensin de los teoremasy la habilidad para aplicar los conceptos en contextos ms sencillos. Los estudiantes debenresponder estos cuestionamientos antes de pasar a los problemas siguientes. Fomentamosesto para dar una retroalimentacin inmediata; las respuestas correctas se proporcio-nan al final del conjunto de problemas. Estos puntos tambin hacen algunas preguntasde examen para ver si los estudiantes han hecho la lectura necesaria y estn preparadospara la clase.

    Problemas de repaso e introduccin Tambin hemos incluido un conjuntode problemas de repaso e introduccin entre el final de un captulo y el inicio del siguien-te. Muchos de estos problemas obligan a los estudiantes a repasar temas anteriores antesde iniciar el nuevo captulo. Por ejemplo.

    Captulo 3, Aplicaciones de la derivada: se les pide a los estudiantes resolver desi-gualdades como las que surgen cuando preguntamos en dnde una funcin es cre-ciente/decreciente o cncava hacia arriba/hacia abajo.

    Captulo 7, Tcnicas de integracin: se les pide a los estudiantes evaluar varias in-tegrales que incluyen el mtodo de sustitucin, la nica tcnica significativa quehan aprendido hasta ese momento. La falta de prctica en la aplicacin de esta tc-nica podra significar un desastre en el captulo 7.

    Otros problemas de repaso e introduccin piden a los estudiantes utilizar lo que ya co-nocen para obtener una ventaja en el captulo siguiente. Por ejemplo,

    Captulo 5, Aplicaciones de la integral: se les pide a los estudiantes determinar lalongitud de un segmento de lnea entre dos funciones, exactamente la habilidadque se requiere en el captulo para realizar lo que llamaremos rebanar, aproximar

  • e integrar. Adems, se les pide a los estudiantes determinar el volumen de un discopequeo, una arandela y un cascarn. Al haber resuelto esto antes de iniciar el ca-ptulo los estudiantes estarn mejor preparados para comprender la idea de reba-nar, aproximar e integrar, y su aplicacin para calcular volmenes de slidos derevolucin.

    Captulo 8, Formas indeterminadas e integrales impropias: se les pide a los estu-

    diantes calcular el valor de una integral como para a = 1, 2, 4, 8, 16.

    Esperamos que los estudiantes resuelvan un problema como ste y se den cuentade que conforme a crece, el valor de la integral se aproxima a 1; de este modo se es-tablece la idea de integrales impropias.Antes del captulo, hay problemas similaresque incluyen sumas sobre series infinitas.

    Sentido numrico El sentido numrico contina desempeando un papel im-portante en el texto. Todos los estudiantes de clculo cometen errores numricos al re-solver problemas, pero aquellos con sentido numrico reconocen una respuestaabsurda y tratan de resolver nuevamente el problema. Para impulsar y desarrollar estaimportante habilidad, hemos enfatizado el proceso de estimacin. Sugerimos cmo ha-cer estimaciones mentalmente y cmo llegar a las respuestas numricas aproximadas.

    En el texto hemos aumentado el uso de esta caracterstica mediante el smbolo , en

    donde se hace una aproximacin numrica. Esperamos que los estudiantes hagan lo

    mismo, en especial en los problemas con el icono .

    Uso de tecnologa Muchos problemas en la novena edicin estn marcados conuno de los siguientes smbolos:

    indica que sera til una calculadora cientfica ordinaria.

    indica que se requiere una calculadora grfica.

    indica que se necesita un sistema de lgebra computacional.

    Los proyectos de tecnologa que estaban al final de los captulos en la octava edicin,ahora estn disponibles en la Web en archivos PDF.

    Cambios en la novena edicin La estructura bsica y el espritu primordialdel texto han permanecido sin cambio. A continuacin estn los cambios ms impor-tantes en la novena edicin.

    Hay un conjunto de problemas de repaso e introduccin entre el final de un cap-tulo y el inicio del siguiente.

    El captulo preliminar, ahora denominado captulo 0, se ha condensado. Los temasde preclculo (que en la octava edicin estaban al inicio del captulo 2) se colo-caron ahora en el captulo 0. En la novena edicin, el captulo 1 inicia con lmites.Todo lo que se requiera estudiar del captulo 0 depende de los antecedentes de losestudiantes y variar de una institucin educativa a otra.

    Las secciones sobre antiderivadas y una introduccin a ecuaciones diferenciales sehan cambiado al captulo 3. Esto permite claridad entre los conceptos de tasa decambio y acumulacin, ya que ahora el captulo 4 inicia con rea, seguida de in-mediato con la integral definida y los teoremas fundamentales del clculo. La ex-periencia del autor ha sido que muchos estudiantes de primer ao se equivocan alhacer una distincin clara entre los diferentes conceptos de la integral indefinida(o antiderivada) y la integral definida como el lmite de una suma. Esto fue en laprimera edicin, publicada en 1965, y sigue siendo cierto ahora. Esperamos que alseparar estos temas se atraer la mirada a la distincin.

    Probabilidad y presin de fluidos se agreg al captulo 5, Aplicaciones de la inte-gral. Enfatizamos que los problemas de probabilidad son tratados como proble-mas de masa a lo largo de una recta. El centro de masa es la integral de x por la

    CAS GC C

    L

    L

    La

    0e-x dx,

    xii Prefacio

  • densidad, y la esperanza en probabilidad es la integral de x por la densidad (proba-bilidad).

    El material sobre secciones cnicas se ha resumido de cinco secciones a tres. Losestudiantes han visto mucho (si no es que todo) de este material en sus cursos depreclculo.

    Hay ejemplos y un ejercicio sobre las leyes de Kepler del movimiento planetario.El material sobre vectores termina en la deduccin de las leyes de Kepler a partirde la ley de Newton de la gravitacin. Deducimos la segunda y tercera leyes de Ke-pler en los ejemplos, y dejamos como ejercicio la primera ley. En esta prctica, segua a los estudiantes a travs de los pasos, (a) a (l), de la deduccin.

    Las secciones sobre mtodos numricos se han colocado en lugares apropiados alo largo del texto. Por ejemplo, la seccin sobre la resolucin de ecuaciones de for-ma numrica se ha convertido en la seccin 3.7, la integracin numrica es la sec-cin 4.6; las aproximaciones para ecuaciones diferenciales se convirtieron en laseccin 6.7.

    El nmero de preguntas de conceptos se ha incrementado de manera significativa.Muchos problemas ms preguntan al estudiante acerca de grficas. Tambin he-mos aumentado el uso de mtodos numricos, tal como el mtodo de Newton y laintegracin numrica, en problemas que no pueden tratarse de manera analtica.

    Agradecimientos Quisiera agradecer al equipo de Prentice Hall, incluyendo aAdam Jaworski, Eric Franck, Dawn Murrin, Debbie Ryan, Bayani deLeon, Sally Yagan,Halee Dinsey, Patrice Jones, Heather Scott y Thomas Benfatti por su apoyo y paciencia.Tambin deseo agradecer a quienes leyeron el manuscrito cuidadosamente, entreellos, Frank Purcell, Brad Davis, Pat Daly (compaa Paley) y Edith Baker (Writewith,Inc.).Tengo una gran deuda de gratitud con Kevin Bodden y Christopher Rigdon, quienestrabajaron sin descanso en la preparacin de los manuales de soluciones, y con BrbaraKniepkamp y Brian Rife por la preparacin de las respuestas del final del libro. Ade-ms, quiero agradecer a los profesores de la Southern Illinois University Edwardsville(y de otros lugares), en especial a George Pelekanos, Rahim Karimpour, KrzysztofJarosz, Alan Wheeler y Paul Phillips, por sus valiosos comentarios.

    Tambin agradezco a los siguientes profesores por su cuidadosa revisin y tilescomentarios durante la preparacin de la novena edicin.

    Fritz Keinert, Iowa State UniversityMichael Martin, Johnson County Community CollegeChristopher Johnston, University of Missouri-ColumbiaNakhle Asmar, University of Missouri-ColumbiaZhonghai Ding, University de Nevada Las VegasJoel Foisy, SUNY PotsdamWolfe Snow, Brooklyn CollegeIoana Mihaila, California State Polytechnic University, PomonaHasan Celik, California State Polytechnic UniversityJeffrey Stopple, University of California, Santa BarbaraJason Howell, Clemson UniversityJohn Goulet, Worcester Polytechnic InstituteRyan Berndt, The Ohio State UniversityDouglas Meade, University of South CarolinaElgin Johnston, Iowa State UniversityBrian Snyder, Lake Superior State UniversityBruce Wenner, University of Missouri-Kansas CityLinda Kilgariff, University of North Carolina en GreensboroJoel Robbin, University of Wisconsin-MadisonJohn Johnson, George Fox UniversityJulie Connolly, Wake Forest UniversityChris Peterson, Colorado State UniversityBlake Thornton, Washington University en Saint LouisSue Goodman, University of North Carolina-Chapel HillJohn Santomos, Villanova University

    Prefacio xiii

  • Por ltimo, agradezco a mi esposa Pat y a mis hijos Chris, Mary y Emily por tolerar to-das las noches y fines de semana que estuve en la oficina.

    S. E. [email protected] Illinois University Edwardsville

    xiv Prefacio

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    Todos los recursos para el profesor pueden descargarse delsitio web www.pearsoneducacion.net/purcell SeleccioneBrowse our catalog, luego d clic en Mathematics,seleccione su curso y elija su texto. En Resources, en ellado izquierdo, elija instructor y el complemento que nece-sita descargar. Se le pide que realice un registro antes deque pueda completar este proceso.

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    Prefacio xv

  • PreliminaresCAPTULO 00.1 Nmeros reales,

    estimacin y lgica

    0.2 Desigualdades yvalor absoluto

    0.3 El sistema decoordenadasrectangulares

    0.4 Grficas deecuaciones

    0.5 Funciones y susgrficas

    0.6 Operaciones confunciones

    0.7 Funcionestrigonomtricas

    0.8 Repaso del captulo

    0.1Nmeros reales, estimacin y lgicaEl clculo est basado en el sistema de los nmeros reales y sus propiedades. Pero,cules son los nmeros reales y cules son sus propiedades? Para responder, comen-zamos con algunos sistemas numricos ms sencillos.

    Los enteros y los nmeros racionales Los nmeros ms sencillos de todosson los nmeros naturales,

    Con ellos podemos contar nuestros libros, nuestros amigos y nuestro dinero. Si inclui-mos a sus negativos y al cero, obtenemos los enteros

    Cuando medimos longitud, peso o voltaje, los enteros son inadecuados. Estn se-parados muy lejos uno del otro para dar suficiente precisin. Esto nos lleva a conside-rar cocientes (razones) de enteros (vase la figura 1), nmeros tales como

    34

    , -78

    , 215

    , 19-2

    , 162

    , y -17

    1

    , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,

    1, 2, 3, 4, 5, 6,

    1

    23

    13

    34

    14

    Figura 1

    21

    1

    =22=

    Figura 2

    Observe que incluimos y aunque normalmente los escribiramos como 8 y -17,ya que son iguales a aqullos por el significado ordinario de la divisin. No incluimos

    o porque es imposible dar significado a estos smbolos (vase el problema 30). Re-cuerde siempre que la divisin entre 0 nunca est permitida. Los nmeros que puedenescribirse en la forma m/n, donde m y n son enteros con n Z 0 son llamados nmeros ra-cionales.

    Los nmeros racionales sirven para medir todas las longitudes? No. Este hechosorprendente fue descubierto por los antiguos griegos alrededor del siglo V a. C. Ellos de-mostraron que aunque la hipotenusa de un tringulo rectngulo con catetos de longitud 1mide (vase la figura 2), no puede escribirse como un cociente de dos enteros(vase el problema 77). Por lo tanto, es un nmero irracional (no racional). As,tambin lo son y una gran cantidad de nmeros ms.

    Los nmeros reales Considere todos los nmeros (racionales e irracionales) quepueden medir longitudes, junto con sus negativos y el cero.A stos les llamamos nme-ros reales.

    Los nmeros reales pueden verse como etiquetas para puntos a lo largo de unarecta horizontal.All miden la distancia, a la derecha o izquierda (la distancia dirigida),de un punto fijo llamado origen y marcado con 0 (vase la figura 3). Aunque quiz no

    23, 25, 23 7, p,222222

    - 90

    50

    - 171 ,

    162

  • 2 Captulo 0 Preliminares

    podamos mostrar todas las etiquetas, cada punto tiene un nmero real nico que loetiqueta. Este nmero se denomina coordenada del punto, y la recta coordenada resul-tante es llamada recta real. La figura 4 sugiere las relaciones entre las series de nme-ros analizadas hasta ahora.

    Recuerde usted que el sistema de nmeros reales puede ampliarse an ms a losnmeros complejos. stos son nmeros de la forma a + bi, donde a y b son nmeros realese En este libro rara vez se utilizarn los nmeros complejos. De hecho, si decimos o sugerimos nmero sin adjetivo calificativo alguno, se puede suponer quequeremos decir nmero real. Los nmeros reales son los personajes principales enclculo.

    i = 2- 1.

    3.000 13.0008

    = 0.375

    60 2 05640 90

    88400 20

    11

    119

    = 1.181818 . . .

    1 1

    112 4

    0.375 1.181

    38

    1311

    Figura 5

    Nmeros realesNmeros racionales

    Nmeros enteros

    Nmerosnaturales

    Figura 4

    3 12 3210 4

    3 2

    12

    732=22=

    Figura 3

    Decimales peridicos y no peridicos Cualquier nmero racional puede es-cribirse como decimal, ya que por definicin siempre puede expresarse como el cocien-te de dos enteros; si dividimos el denominador entre el numerador, obtenemos undecimal (vase la figura 5). Por ejemplo,

    Los nmeros irracionales tambin pueden expresarse en forma decimal. Porejemplo,

    La representacin decimal de un nmero racional o termina (como en ) o

    se repite hasta el infinito en ciclos regulares (como en ). Un poco deexperimentacin con el algoritmo de la divisin le mostrar el porqu. (Observeque slo puede haber un nmero finito de residuos diferentes). Un decimal que ter-mina puede considerarse como un decimal peridico con ceros que se repiten. Porejemplo,

    De esta manera, todo nmero racional puede escribirse como un decimal peridico. Enotras palabras, si x es un nmero racional, entonces x puede escribirse como un decimalperidico. Es notable el hecho de que el recproco tambin es verdadero, si x puede es-cribirse como un decimal peridico, entonces x es un nmero racional. Esto es obvio enel caso de decimales que terminan (por ejemplo, 3.137 = 3137>1000), y es fcil demostrarpara el caso de decimales no peridicos.

    EJEMPLO 1 (Los decimales peridicos son racionales). Demuestre quex = 0.136136136 . . . representa un nmero racional.

    SOLUCIN Restamos x de 1000x y luego despejamos x.

    x =136999

    999x = 136 x = 0.136136 1000x = 136.136136

    38

    = 0.375 = 0.3750000

    1311 = 1.181818

    38 = 0.375

    22 = 1.4142135623 , p = 3.1415926535 12

    = 0.5 38

    = 0.375 37

    = 0.428571428571428571

  • Seccin 0.1 Nmeros reales, estimacin y lgica 3

    Nmeros racionales(decimalesperidicos)

    Los nmeros reales

    Nmeros irracionales(decimales noperidicos)

    Figura 6

    a b

    x1x3x2

    a + b2

    Figura 7

    Las representaciones decimales de los nmeros irracionales no se repiten en ciclos.Recprocamente, un decimal no peridico debe representar un nmero irracional. As,por ejemplo,

    debe representar un nmero irracional (observe el patrn de ms y ms ceros entre losunos). El diagrama en la figura 6 resume lo que hemos dicho.

    Densidad Entre cualesquiera dos nmeros reales diferentes a y b, no importaqu tan cercanos se encuentren, existe otro nmero real. En particular, el nmero x1 =(a + b)>2 es un nmero real que est a la mitad entre a y b (vase la figura 7). Ya queexiste otro nmero real, x2, entre a y x1, y otro nmero real, x3, entre x1 y x2, y puestoque este argumento puede repetirse ad infinitum, concluimos que existe un nmero in-finito de nmeros reales entre a y b. Por lo tanto, no existe cosa como el menor nme-ro real, mayor que 3.

    En realidad, podemos decir ms. Entre cualesquiera dos nmeros reales distintosexiste tanto un nmero racional como uno irracional. (En el ejercicio 57 le pedimos demos-trar que existe un nmero racional entre cualesquiera dos nmeros reales). De aquque, por medio del argumento precedente, existe una infinidad de cada uno de ellos(racionales e irracionales).

    Una forma en que los matemticos describen la situacin que hemos expuestoes declarar que los nmeros racionales y los nmeros irracionales son densos en larecta real. Todo nmero tiene vecinos racionales e irracionales arbitrariamente cer-canos a l.

    Una consecuencia de la propiedad de densidad es que cualquier nmero irracio-nal puede aproximarse tanto como se quiera por medio de un nmero racional; dehecho, por medio de un nmero racional con una representacin decimal finita. Tomecomo ejemplo . La sucesin de nmeros racionales 1, 1.4, 1.41, 1414, 1.4142,1.41421, 1.414213, p avanza constante e inexorablemente hacia (vase la figura 8).Avanzando lo suficiente en esta sucesin, podemos estar tan cerca como queramosde .

    Calculadoras y computadoras Actualmente, muchas calculadoras son capacesde realizar operaciones numricas, grficas y simblicas. Durante dcadas, las calcula-doras han podido realizar operaciones numricas, como dar aproximaciones decimales a

    y 1.25 sen 22. A principios de los aos noventa del siglo pasado las calculadoraspodan mostrar la grfica de casi cualquier funcin algebraica, trigonomtrica, expo-nencial o logartmica. Los adelantos recientes permiten a las calculadoras realizar mu-chas operaciones, como desarrollar (x - 3y)12 o resolver x3 - 2x2 + x = 0. Programas decmputo como Mathematica o Maple pueden realizar operaciones simblicas comostas, as como una gran cantidad de otras.

    Nuestras recomendaciones acerca del uso de una calculadora son:

    1. Sepa reconocer cuando su calculadora o computadora le proporciona unarespuesta exacta y cuando le da una aproximacin. Por ejemplo, si pide sen 60, sucalculadora puede darle la respuesta exacta, o bien puede darle una apro-ximacin decimal, 0.8660254.

    2. Por lo regular, y si es posible, se prefiere una respuesta exacta. Esto es especial-mente cierto cuando usted debe utilizar el resultado para clculos posteriores. Porejemplo, si necesita elevar al cuadrado sen 60, es ms fcil y tambin ms exacto,calcular que calcular 0.86602542.

    3. Si es posible, en problemas de aplicacin proporcione una respuesta exacta, as co-mo una aproximacin. Puede verificar frecuentemente si su respuesta es razonableal relacionarla con la descripcin del problema, observando su aproximacin nu-mrica a la solucin.

    Estimacin Dado un problema aritmtico complicado, un estudiante descuidadopodra presionar algunas teclas en una calculadora y reportar la respuesta sin darsecuenta de que la falta de parntesis o un error de dedo han dado un resultado err-neo. Un estudiante cuidadoso, con un sentido de los nmeros, al presionar las mismas

    A23>2 B2 = 3>423>2,

    212.2

    222222

    0.101001000100001

    2=22=1.4

    1

    1.411.414

    Figura 8

    Muchos problemas en este libro estnmarcados con un smbolo especial.

    significa utilice una calculadora.

    significa utilice una calculadoragraficadora.

    significa utilice un sistema delgebra computacional.

    significa que el problema lepide explorar e ir ms all de las explicaciones dadas en el texto.

    EXPL

    CAS

    GC

    C

  • 4 Captulo 0 Preliminares

    teclas se dar cuenta inmediatamente de que la respuesta es equivocada si es demasia-do grande o demasiado pequea, y volver a calcularla de manera correcta. Es impor-tante saber cmo se realiza una estimacin mental.

    EJEMPLO 2 Calcular SOLUCIN Una estudiante juiciosa aproxim lo anterior como (20 + 72 + 2)>3 ydijo que la respuesta debera ser cercana a 30. As, cuando su calculadora dio93.448 como respuesta, ella desconfi (lo que en realidad haba calculado fue

    ).Al calcular otra vez obtuvo la respuesta correcta: 34.434.

    EJEMPLO 3 Suponga que la regin sombreada R, que se muestra en la figura 9,se hace girar alrededor del eje x. Estime el volumen del anillo slido, S, que resulta.

    SOLUCIN La regin R es de casi 3 unidades de largo y 0.9 unidades de altura. Esti-mamos su rea como 3(0.9) L 3 unidades cuadradas. Imagine que el anillo slido, S, seabre y se aplana para formar una caja de alrededor de 2pr L 2(3)(6) = 36 unidades delongitud. El volumen de una caja es el rea de su seccin transversal por su longitud.As, estimamos el volumen de la caja como 3(36) = 108 unidades cbicas. Si lo calcula yobtiene 1000 unidades cbicas, necesita verificar su trabajo.

    El proceso de estimacin es simplemente el sentido comn combinado con aproxima-ciones razonables de los nmeros. Lo exhortamos a utilizarlo con frecuencia, particular-mente en problemas. Antes de obtener una respuesta precisa, haga una estimacin. Sisu respuesta est cerca de su estimacin, no hay garanta de que su respuesta sea correcta.Por otra parte, si su respuesta y su estimacin son demasiado diferentes, debe verificarsu trabajo. Probablemente hay un error en su respuesta o en su aproximacin. Recuer-de que 210 L 1000, 1 pie L 10 pulgadas, 1 milla L 5000 pies, etctera.

    Un tema central en este texto es el sentido numrico. Por esto queremos decir lahabilidad de trabajar un problema y decir si su solucin es razonable para el problemaplanteado. Un estudiante con buen sentido numrico reconocer y corregir de forma in-mediata una respuesta que, obviamente, es poco razonable. Para muchos de los ejemplosdesarrollados en el texto, proporcionamos una estimacin inicial de la solucin, antesde proceder a determinar la solucin exacta.

    Un poco de lgica. En matemticas, a los resultados importantes se les llama teo-remas; en este texto usted encontrar muchos teoremas. Los ms importantes aparecencon la etiqueta Teorema y por lo regular se les dan nombres (por ejemplo, el Teoremade Pitgoras). Otros aparecen en los conjuntos de problemas y se introducen con laspalabras demuestre o pruebe que. En contraste con los axiomas o definiciones, que seadmiten, los teoremas requieren ser demostrados.

    Muchos teoremas son establecidos en la forma si P entonces Q, o bien puedenenunciarse otra vez en esta forma. Con frecuencia, abreviamos el enunciado si Pentonces Q por medio de P Q Q, que tambin se lee P implica Q. Llamamos a P lahiptesis y a Q la conclusin del teorema. Una prueba (demostracin) consiste en de-mostrar que Q debe ser verdadera siempre que P sea verdadera.

    Los estudiantes que inician (incluso, algunos maduros) pueden confundir P Q Qcon su recproco, Q Q P. Estas dos proposiciones no son equivalentes. Si Juan es deMissouri, entonces Juan es americano es una proposicin verdadera, pero su recpro-ca si Juan es americano, entonces es de Missouri podra no ser cierta.

    La negacin de la proposicin P se escribe . Por ejemplo, si P es la proposicinest lloviendo, entonces es la proposicin no est lloviendo. La proposicin

    se denomina contrapositiva (o contrarrecproca) de la proposicin P QQy es equivalente a P QQ. Por equivalente queremos decir que P QQ y son, ambas, verdaderas o ambas falsas. Para nuestro ejemplo acerca de Juan, la contra-positiva de si Juan es de Missouri, entonces Juan es americano es si Juan no es ame-ricano, entonces Juan no es de Missouri.

    Como consecuencia de que una proposicin y su contrapositiva sean equivalentes,podemos demostrar un teorema de la forma si P entonces Q demostrando su contra-

    ' QQ ' P

    ' QQ 'P

    'P'P

    p L 3, 22 L 1.4,

    2430 + 72 + 23 7.5>2.75A2430 + 72 + 23 7.5 B >2.75.

    Muchos problemas estn marcadoscon este smbolo.

    significa una estimacin de larespuesta antes de resolver elproblema; luego compruebe surespuesta contra esta estimacin.

    En el ejemplo 3 hemos utilizado para decir aproximadamente igual a. Utilice este smbolo cuandorealice una aproximacin. En un tra-bajo ms formal no use este smbolosin saber de qu tamao podra serel error.

    L

    R 0.9

    6

    3

    Figura 9

  • Seccin 0.1 Nmeros reales, estimacin y lgica 5

    La demostracin por contradiccintambin lleva el nombre de reduc-cin al absurdo. He aqu lo que elgran matemtico G. H. Hardy dijoacerca de ella:

    La reduccin al absurdo, queEuclides amaba tanto, es una delas armas ms finas del matemti-co. Es muchsimo ms fina quecualquier gambito en el ajedrez; unjugador de ajedrez puede ofrecerel sacrificio de un pen o hasta deuna pieza, pero un matemticoofrece el juego.

    Demostracin por contradiccin

    Decir que significa que x esta la izquierda de y en la recta real.

    x 6 y

    Orden en la recta real

    yx

    positiva si Q entonces P. As, para demostrar P QQ, podemos suponer Q e in-tentar deducir P. A continuacin est un ejemplo sencillo.

    EJEMPLO 4 Demuestre que si n2 es par, entonces n es par.Prueba La contrapositiva de este enunciado es si n no es par, entonces n2 no espar, que es equivalente a si n es impar, entonces n2 es impar. Demostraremos la con-trapositiva. Si n es impar, entonces existe un entero k tal que n = 2k + 1. Entonces,

    Por lo tanto, n2 es igual a uno ms que el doble de un entero. De aqu que n2 es impar.

    La ley del tercero excluido dice: sucede R o R, pero no ambos. Cualquier demos-tracin que inicia suponiendo que la conclusin de un teorema es falsa y procede parademostrar que esta suposicin conduce a una contradiccin se denomina demostracinpor contradiccin.

    En ocasiones, necesitaremos otro tipo de demostracin denominado induccinmatemtica. Nos alejaramos demasiado en estos momentos para describir esto, perohemos dado un estudio completo en el apndice A.1.

    Algunas veces, ambas proposiciones P Q Q (si P entonces Q) y Q Q P (si Q en-tonces P) son verdaderas. En este caso escribimos P 3 Q, que se lee P si y slo si Q.En el ejemplo 4 demostramos que si n2 es par, entonces n es par, pero el recproco sin es par, entonces n2 es par tambin es verdadero. Por lo tanto, diramos n es par si yslo si n2 es par.

    Orden Los nmeros reales diferentes de cero se separan, en forma adecuada, endos conjuntos disjuntos, los nmeros reales positivos y los nmeros reales negativos.Este hecho nos permite introducir la relacin de orden 6 (se lee es menor que) pormedio de

    es positivo

    Acordamos que x 6 y y y 7 x significarn lo mismo. As, 3 6 4, 4 7 3, -3 6 -2 y -2 7 -3.La relacin de orden (se lee es menor o igual a) es prima hermana de 6. Se

    define por medio de

    es positivo o cero

    Las propiedades de orden 2, 3 y 4, en el cuadro al margen, se cumplen al reemplazar lossmbolos 6 y 7 por y , respectivamente.

    Cuantificadores Muchas proposiciones matemticas incluyen una variable x,y la validez de un enunciado depende del valor de x. Por ejemplo, la proposicin es un nmero racional depende del valor de x; es verdadero para algunos

    valores de x, tal como x = 1, 4, 9, y y falso para otros valores

    de x, tales como x = 2, 3, 77 y p. Algunas proposiciones, tales como x2 0, son verda-deras para todo nmero real x, y otras proposiciones, tales como x es un entero parmayor que 2 y x es un nmero primo, siempre son falsas. Denotaremos con P(x) unenunciado cuyo valor de verdad depende del valor de x.

    Decimos para toda x, P(x) o para cada x, P(x), cuando la proposicin P(x) esverdadera para todo valor de x. Cuando al menos existe un valor de x para el cuales verdadera, decimos existe una x tal que P(x). Los dos importantes cuantificadoresson para todo y existe.

    EJEMPLO 5 Cul de las siguientes proposiciones son verdaderas?(a) Para toda (b) Para toda (c) Para cada x, existe una y tal que y 7 x.(d) Existe una y tal que, para toda x, y 7 x.

    x, x 6 0Q x2 7 0.x, x2 7 0.

    10,00049

    ,x = 1, 4, 9, 49

    ,

    1x

    x y3 y - x

    x 6 y3 y - x

    n2 = 12k + 122 = 4k2 + 4k + 1 = 212k2 + 2k2 + 1

    1. Tricotoma. Si x y y son nmeros,exactamente una de las siguientesafirmaciones se cumple:

    o o

    2. Transitividad. e

    3. Suma.4. Multiplicacin. Cuando z es posi-

    tiva Cuando zes negativa, x 6 y3 xz 7 yz.

    x 6 y3 xz 6 yz.

    x + z 6 y + z.x 6 y3Q x 6 z.

    y 6 zx 6 y

    x 7 yx = yx 6 y

    Las propiedades de orden

  • 6 Captulo 0 Preliminares

    SOLUCIN(a) Falsa. Si elegimos x = 0, entonces no es verdadero que x2 7 0.(b) Verdadera. Si x es negativa, entonces x2 ser positiva.(c) Verdadera. Esta proposicin contiene dos cuantificadores, para cada y existe.

    Para leer el enunciado de manera correcta, debemos aplicarlo en el orden correcto.La proposicin inicia para cada, de modo que si la proposicin es verdadera, en-tonces lo que sigue debe ser verdadero para todo valor de x que seleccionemos. Si noest seguro de que el enunciado completo sea verdadero, intente con algunos valo-res de x y vea si la segunda parte del enunciado es verdadero o falso. Por ejemplo,podramos elegir x = 100, dada esta eleccin; existe una y que sea mayor a x? Enotras palabras, existe un nmero mayor que 100? Por supuesto que s. El nmero101 lo es. Ahora, seleccionemos otro valor para x, digamos x = 1,000,000. Existeuna y que sea mayor que este valor de x? Nuevamente, s; en este caso el nmero1,000,001 lo sera. Ahora, pregntese: Si tengo que x es cualquier nmero real,podr encontrar una y que sea mayor a x? La respuesta es s. Basta con elegir ay como x + 1.

    (d) Falsa. El enunciado dice que existe un nmero real que es mayor que todos losdems nmeros reales. En otras palabras, existe un nmero real que es el mayor detodos. Esto es falso; aqu est una demostracin por contradiccin. Suponga queexiste un nmero real mayor que todos, y. Sea x = y + 1. Entonces x 7 y, lo cual escontrario a la suposicin de que y es el mayor nmero real.

    La negacin de la proposicin P es la proposicin no P. (La proposicin no Pes verdadera siempre que P sea falsa). Considere la negacin de la proposicin paratoda x, P(x). Si la negacin de esta proposicin es verdadera, entonces debe existir almenos un valor de x para el cual P(x) es falsa; en otras palabras, existe una x tal que noP(x). Ahora considere la negacin de la proposicin existe un x tal que P(x). Si lanegacin de esta proposicin es verdadera, entonces no existe una x para la cual P(x)sea verdadera. Esto significa que P(x) es falsa sin importar el valor de x. En otras pala-bras, para toda x, no P(x). En resumen,

    La negacin de para toda x, P(x) es existe una x tal que no P(x).

    La negacin de existe una x tal que P(x) es para toda x, no P(x).

    Revisin de conceptos1. Los nmeros que pueden escribirse como la razn (cociente)

    de dos enteros se denominan ________.

    2. Entre cualesquiera dos nmeros reales, existe otro nmeroreal. Esto significa que los nmeros reales son ________.

    3. La contrapositiva (contrarrecproca) de si P entonces Q es________.

    4. Los axiomas y las definiciones son tomados como ciertos,pero________ requieren de una demostracin.

    Conjunto de problemas 0.1En los problemas del 1 al 16 simplifique tanto como sea posible. Aseg-rese de eliminar todos los parntesis y reducir todas las fracciones.

    1. 2.

    3.

    4.

    5. 6.

    7. 8.

    9. 10. A27 - 5 B > A1 - 17 B1421 25 - 13 2-13 C25 - 12 A13 - 15 B D13 C12 A14 - 13 B + 16 D

    34 - 7 +

    321 -

    16

    57 -

    113

    5[-117 + 12 - 162 + 4] + 2-4[51-3 + 12 - 42 + 2113 - 72]3[2 - 417 - 122]4 - 218 - 112 + 6 11. 12.

    13. 14.

    15. 16.

    En los problemas del 17 al 28 realice las operaciones indicadas y sim-plifique.

    17. 18.

    19. 20.

    21. 22. 12t + 32313t2 - t + 122 14x - 11213x - 7213x - 9212x + 1212x - 32213x - 421x + 12A25 - 23 B2A25 + 23 B A25 -23 B 2 +

    3

    1 + 521 -

    1

    1 + 12

    12 -

    34 +

    78

    12 +

    34 -

    78

    117 -

    1221

    117 +

    1221

  • Seccin 0.1 Nmeros reales, estimacin y lgica 7

    23. 24.

    25. 26.

    27. 28.

    29. Determine el valor de cada una de las expresiones siguientes;si no est definida, indquelo

    (a) (b) (c)

    (d) (e) (f)

    30. Demuestre que la divisin entre 0 no tiene significado comosigue: Suponga que a Z 0. Si a>0 = b, entonces a = 0 b = 0, lo cual esuna contradiccin. Ahora determine una razn por la que 0>0 tam-bin carece de significado.

    En los problemas del 31 al 36 cambie cada nmero racional a uno de-cimal mediante una divisin larga.

    31. 32.

    33. 34.

    35. 36.

    En los problemas del 37 al 42 cambie cada decimal peridico por unarazn de dos enteros (vase el ejemplo 1).

    37. 38.

    39. 40.

    41. 42.

    43. Como y (vanse los problemas 41 y 42), vemos que ciertos nme-

    ros racionales tienen diferentes expansiones decimales. Cules sonlos nmeros racionales que tienen esta propiedad?

    44. Demuestre que cualquier nmero racional p>q, para el cualla factorizacin en primos de q consiste slo en nmeros 2 y nmeros5, tiene un desarrollo decimal finito.

    45. Encuentre un nmero racional positivo y un nmero irracio-nal positivo menores que 0.00001.

    46. Cul es el menor entero positivo? El menor racional posi-tivo? El menor nmero irracional positivo?

    47. Encuentre un nmero racional entre 3.14159 y p. Note quep = 3.141592....

    48. Existe un nmero entre 0.9999... (los 9 se repiten) y 1? Cmoconcilia esto con el enunciado de que entre cualesquiera dos nme-ros reales diferentes existe otro nmero real?

    49. El nmero 0.1234567891011121314... es racional o irracio-nal? (Debe observar un patrn en la sucesin de dgitos dada).

    50. Encuentre dos nmeros irracionales cuya suma sea racional.

    En los problemas del 51 al 56 determine la mejor aproximacindecimal que su calculadora permita. Inicie haciendo una estimacinmental.

    51. 52.

    53. 54.

    55. 56.

    57. Demuestre que entre cualesquiera dos nmeros reales dife-rentes existe un nmero racional. (Sugerencia: si a 6 b, entonces b a7 0, as que existe un nmero natural n tal que 1>n 6 b a. Considereel conjunto {k:k>n 7 b} y utilice el hecho de que un conjunto de en-teros que est acotado por abajo contiene un elemento menor).

    24 16p2 - 22p28.9p2 + 1 - 3p 13.14152-1/224 1.123 - 23 1.09A22 - 23 B4A23 + 1 B3

    0.400000 0.399999 =0.199999 = 0.200000

    0.399999 0.199999 3.929292 2.56565656 0.217171717 0.123123123

    1113

    113

    517

    321

    27

    112

    1700530

    017

    000 # 0

    26y - 2

    +y

    9y2 - 112

    x2 + 2x+

    4x

    +2

    x + 2

    2x - 2x2

    x3 - 2x2 + xt2 - 4t - 21t + 3

    x2 - x - 6x - 3

    x2 - 4x - 2

    Demuestre que entre cualesquiera dos nmeros reales diferentesexiste una infinidad de nmeros racionales.

    58. Estime el volumen de su cabeza, en pulgadas cbicas.

    59. Estime la longitud del ecuador, en pies. Suponga que el radiode la Tierra es de 4000 millas.

    60. Alrededor de cuntas veces habr latido su corazn en suvigsimo cumpleaos?

    61. El rbol llamado General Sherman, que est en California,tiene una altura de casi 270 pies y promedia alrededor de 16 pies dedimetro. Estime el nmero de tablones de madera de 1 pulgada por12 pulgadas por 12 pulgadas que podran fabricarse con este rbol,suponiendo que no haya desperdicio e ignorando las ramas.

    62. Suponga que cada ao, el rbol General Sherman (vaseel problema 61) produce un anillo de crecimiento de un grosor de0.004 pies. Estime el aumento anual resultante en el volumen de sutronco.

    63. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientesenunciados.

    (a) Si hoy llueve, entonces trabajar en casa.

    (b) Si la candidata satisface todos los requisitos, entonces ser con-tratada.

    64. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientesenunciados.

    (a) Si obtengo una A en el examen final, aprobar el curso.

    (b) Si termino mi artculo de investigacin para el viernes, entoncestomar un descanso la semana prxima.

    65. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientesenunciados.

    (a) (Sean a, b y c las longitudes de los lados de un tringulo.) Si a2 +b2 = c2, entonces el tringulo es un tringulo rectngulo.

    (b) Si el ngulo ABC es agudo, entonces su medida es mayor que 0y menor que 90.

    66. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientesenunciados.

    (a) Si la medida del ngulo ABC es 45, entonces el ngulo ABC esagudo.

    (b) Si a 6 b entonces a2 6 b2.

    67. Considere los enunciados del problema 65 junto con sus rec-procos y contrapositivos. Cules son verdaderos?

    68. Considere los enunciados del problema 66 junto con sus rec-procos y contrapositivos. Cules son verdaderos?

    69. Utilice las reglas acerca de la negacin de proposiciones queincluyen cuantificadores para escribir la negacin de las siguientesproposiciones. Cul es verdadera, la proposicin original o su ne-gacin?

    (a) Todo tringulo issceles es equiltero.

    (b) Existe un nmero real que no es entero.

    (c) Todo nmero natural es menor o igual a su cuadrado.

    70. Utilice las reglas acerca de la negacin de proposiciones queincluyen cuantificadores para escribir la negacin de las siguientesproposiciones. Cul es verdadera, la proposicin original o su nega-cin?

    (a) Todo nmero natural es racional.

    (b) Existe un crculo cuya rea es mayor que 9p.

    (c) Todo nmero real es mayor que su cuadrado.

    71. Cules de los enunciados siguientes son verdaderos? Su-ponga que x y y son nmeros reales.

    (a) Para toda x, x 7 0 Q x2 7 0.

  • 8 Captulo 0 Preliminares

    (b) Para toda

    (c) Para toda x, x2 7 x.(d) Para toda x, existe una y tal que y 7 x2.(e) Para todo nmero positivo y, existe otro nmero positivo x tal

    que 0 6 x 6 y.

    72. Cules de las proposiciones siguientes son verdaderas? Amenos que se diga lo contrario, suponga que x, y y son nmerosreales.

    (a) Para toda x, x 6 x + 1.(b) Existe un nmero natural N, tal que todos los nmeros primos

    son menores que N. (Un nmero primo es un nmero naturalmayor que 1 cuyos nicos factores son 1 y l mismo.)

    (c) Para cada x 7 0, existe una y tal que

    (d) Para toda x positiva, existe un nmero natural n tal que

    (e) Para cada e positiva, existe un nmero natural n tal que

    73. Demuestre las siguientes proposiciones.

    (a) Si n es impar, entonces n2 es impar. (Sugerencia: si n es impar,entonces existe un entero k, tal que n = 2k + 1).

    (b) Si n2 es impar, entonces n es impar. (Sugerencia: demuestre lacontrapositiva).

    74. Demuestre que n es impar si y slo si n2 es impar. (Vase elproblema 73).

    75. De acuerdo con el Teorema fundamental de la aritmtica, to-do nmero natural (distinto de 1) puede escribirse como el productode primos, de una forma nica, salvo por el orden de los factores. Porejemplo, 45 = 335. Escriba cada uno de los siguientes nmeros comoun producto de primos.

    (a) 243 (b) 124 (c) 5100

    76. Utilice el Teorema fundamental de la aritmtica (vase elproblema 75) para demostrar que el cuadrado de cualquier nme-ro natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de unconjunto nico de primos, excepto por el orden de los factores, ca-da uno de los cuales aparece un nmero par de veces. Por ejemplo,(45)2 = 3 3 3 3 5 5.

    77. Demuestre que es irracional. Sugerencia: intente una de-mostracin por contradiccin. Suponga que donde p y qson nmeros naturales (necesariamente distintos de 1). Entonces

    de modo que Ahora utilice el problema 76 pa-ra obtener una contradiccin.

    2q2 = p2.2 = p2>q2, 22 = p>q,22

    12n

    6 e.

    1n

    6 x.

    y 71x

    .

    e

    x, x 7 0 3 x2 7 0.

    La resolucin de ecuaciones (por ejemplo, 3x 17 = 6 o x2 x 6 = 0) es una de las ta-reas tradicionales de las matemticas; en este curso ser importante y suponemos queusted recordar cmo hacerlo. Pero, casi de igual importancia en clculo es la nocinde resolver una desigualdad (por ejemplo, 3x 17 6 6 o x2 x 6 0). Resolver una de-sigualdad es encontrar el conjunto de todos los nmeros reales que hace que la desi-gualdad sea verdadera. En contraste con una ecuacin, cuyo conjunto solucin por loregular consiste en un nmero o quiz en un conjunto finito de nmeros, el conjuntosolucin de una desigualdad por lo regular es un intervalo completo de nmeros o, enalgunos casos, la unin de tales intervalos.

    Intervalos Varias clases de intervalos surgirn en nuestro trabajo, para los cualesintroducimos una terminologa y notacin especial. La desigualdad a 6 x 6 b, que enrealidad son dos desigualdades, a6 x y x 6 b, describe un intervalo abierto que consisteen todos los nmeros entre a y b, pero que no incluye los puntos extremos a y b. Lo de-notamos por medio del smbolo (a, b) (vase la figura 1). En contraste, la desigualdad a x b describe el correspondiente intervalo cerrado, que incluye los extremos a y b.

    0.2Desigualdades

    y valor absoluto

    4((((

    3 71 2 5 6

    (1, 6) = x :x 1 < x 6

    )))6)

    2 1((

    0

    Figura 1

    78. Demuestre que es irracional (vase el problema 77).79. Demuestre que la suma de dos nmeros racionales es ra-

    cional.80. Demuestre que el producto de un nmero racional (distinto

    de 0) y un nmero irracional es irracional. Sugerencia: intente unademostracin por contradiccin.

    81. Cules de los siguientes nmeros son racionales y culesson irracionales?

    (a) (b) 0.375

    (c) (d)

    82. Un nmero b se denomina cota superior para un conjunto Sde nmeros, si x b para toda x en S. Por ejemplo, 5, 6.5 y 13 son co-tas superiores para el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5}. El nmero 5 es la m-nima cota superior para S (la ms pequea de las cotas superiores).De manera anloga, 1.6, 2 y 2.5 son cotas superiores para el conjuntoinfinito T = {1.4, 1.49, 1.499, 1.4999,...} mientras que 1.5 es la mnimacota superior. Encuentre la mnima cota superior para cada uno delos siguientes conjuntos,

    (a)(b)(c)

    (d)

    (e) S = {x|x = (-1)n + 1>n, n es un entero positivo}; esto es, S es elconjunto de todos los nmeros x que tienen la forma x = (-1)n +1>n, donde n es un entero positivo.

    (f) S = {x : x2 6 2, x es un nmero racional}.

    83. El axioma de completez para los nmeros reales dice: todoconjunto de nmeros reales que tiene una cota superior tiene una m-nima cota superior que es un nmero real.

    (a) Demuestre que la proposicin en cursivas es falsa si las palabrasreales y real se reemplazan por racionales y racional, respectiva-mente.

    (b) La proposicin en cursivas ser verdadera o falsa si las pala-bras reales y real fuesen reemplazadas por naturales y natural,respectivamente?

    Respuestas a la revisin de conceptos 1. nmeros racionales2. densos 3. Si no Q entonces no P. 4. teoremas

    EXPL

    S = E1 - 12, 1 - 13, 1 - 14, 1 - 15, FS = 52.4, 2.44, 2.444, 2.4444, 6S = 5-2, -2.1, -2.11, -2.111, -2.1111, 6S = 5-10, -8, -6, -4, -26

    A1 + 23 B2A322 B A522 B-29

    23

  • Seccin 0.2 Desigualdades y valor absoluto 9

    4[[[[

    3 71 2 5 6

    [1, 5] x 1 x 5

    ]]]]]2 1 0

    Figura 2 Notacin de conjuntos Notacin de intervalos Grfica

    0((

    1 33 2 1 2

    ( 52 = ( x :x x >x, 52 Figura 3

    Se denota como [a, b] (vase la figura 2). La tabla indica la amplia variedad de posibi-lidades e introduce nuestra notacin.

    4[[ ))))

    5 1))

    7 6 3 2 0 1

    =112x : x 1

    Figura 4

    Resolucin de desigualdades Como con las ecuaciones, el procedimiento pararesolver una desigualdad consiste en transformar la desigualdad un paso a la vez hastaque el conjunto solucin sea obvio. Podemos realizar ciertas operaciones en ambos la-dos de una desigualdad sin cambiar su conjunto solucin. En particular:

    1. Podemos sumar el mismo nmero a ambos lados de una desigualdad.2. Podemos multiplicar ambos lados de una desigualdad por el mismo nmero positi-

    vo.3. Podemos multiplicar ambos lados de una desigualdad por el mismo nmero nega-

    tivo, pero entonces debemos invertir el sentido del signo de la desigualdad.

    EJEMPLO 1 Resuelva la desigualdad 2x - 7 6 4x - 2 y muestre la grfica de su con-junto solucin.

    SOLUCIN

    2x - 7 6 4x - 2

    2x 6 4x + 5 (sume 7)

    -2x 6 5 (sume -4x)

    (multiplique por )

    La grfica aparece en la figura 3.

    EJEMPLO 2 Resuelva -5 2x + 6 6 4.SOLUCIN

    (sume -6)

    (multiplique por )

    La figura 4 muestra la grfica correspondiente.

    12 -

    112 x 6 -1

    -11 2x 6 -2

    -5 2x + 6 6 4

    - 12 x 7 -52

    ((b))

    a

    [[b]]

    a

    [[b))

    a

    ((b]]

    a

    b]]

    b))))

    [[a

    ((a

    x :x < < b

    x : b

    a, b

    a, b

    x : < b a, b

    x : < b a, b

    x :x b

    x : x a a,

    R , (- q , q )

    (a, q ){x : x 7 a}

    [a, q ){x : x a}

    (- q , b){x : x 6 b}

    (- q , b]{x : x b}

    (a, b]{x : a 6 x b}

    [a, b){x : a x 6 b}

    [a, b]{x : a x b}

    (a, b){x : a 6 x 6 b}

  • 10 Captulo 0 Preliminares

    Antes de abordar una desigualdad cuadrtica hacemos notar que un factor linealde la forma x a es positivo para x 7 a y negativo para x 6 a. Se deduce que un produc-to (x a)(x b) puede cambiar de positivo a negativo, y viceversa, slo en a o b. Estospuntos, en donde el factor es cero, se denominan puntos de separacin. Estos puntosson la clave para determinar los conjuntos solucin de desigualdades cuadrticas yotras desigualdades ms complicadas.

    EJEMPLO 3 Resuelva la desigualdad cuadrtica x2 x 6 6.SOLUCIN Como con las ecuaciones cuadrticas, pasamos todos los trminos distin-tos de cero a un lado y factorizamos.

    (sume )

    ( factorice)

    Vemos que 2 y 3 son los puntos de separacin; dividen la recta real en tres interva-los (-q, -2), (-2, 3) y (3, q). En cada uno de estos intervalos (x - 3)(x + 2) conser-va el signo; esto es, ah siempre es positivo o siempre negativo. Para determinar estesigno en cada intervalo, utilizamos los puntos de prueba -3, 0 y 5 (cualesquiera otrospuntos en estos intervalos sirven). Nuestros resultados se muestran en la tabla almargen.

    La informacin que hemos obtenido se resume en la parte superior de la figura 5.Concluimos que el conjunto solucin para (x - 3)(x + 2) 6 0 es el intervalo (-2, 3). Sugrfica se muestra en la parte inferior de la figura 5.

    EJEMPLO 4 Resuelva 3x2 - x - 2 7 0.SOLUCIN Ya que

    los puntos de separacin son y 1. Estos puntos, junto con los puntos de prueba -2, 0y 2, establecen la informacin que se muestra en la parte superior de la figura 6. Con-cluimos que el conjunto solucin de la desigualdad consiste en los puntos que se en-cuentran en o en (1, q). En el lenguaje de conjuntos es la unin (simbolizadacon ) de estos dos intervalos; esto es, es

    EJEMPLO 5 Resuelva SOLUCIN Nuestra inclinacin a multiplicar ambos lados por x + 2 conduce a undilema inmediato, dado que x + 2 puede ser positivo o negativo. Debemos invertir elsigno de la desigualdad o dejarlo como est? En lugar de tratar de desenredar este proble-ma (que requerira dividirlo en dos casos), observamos que el cociente (x - 1)>(x + 2)puede cambiar de signo en los puntos de separacin del numerador y del denomina-dor, esto es, en 1 y -2. Los puntos de prueba -3, 0 y 2 proporcionan la informacin dela parte superior de la figura 7. El smbolo n indica que el cociente no est definido en-2. Concluimos que el conjunto solucin es (-q, -2) [1, q). Observe que -2 no per-tenece al conjunto solucin ya que ah el cociente est indefinido. Por otra parte, 1 estincluido ya que la desigualdad se cumple cuando x = 1.

    EJEMPLO 6 Resuelva (x + 1)(x - 1)2(x - 3) 0.SOLUCIN Los puntos de separacin son -1, 1 y 3, los cuales dividen la recta realen cuatro intervalos, como se muestra en la figura 8. Despus de probar todos estosintervalos, concluimos que el conjunto solucin es [-1, 1] [1, 3] que es el intervalo[-1, 3].

    EJEMPLO 7 Resuelva 2.9 6 1x 6 3.1.

    x - 1x + 2

    0.

    A - q , - 23 B 11, q 2. A - q , - 23 B- 23

    3x2 - x - 2 = 13x + 221x - 12 = 31x - 12Ax + 23 B

    1x - 321x + 22 6 0 - 6 x2 - x - 6 6 0 x2 - x 6 6

    + 0 0 +

    1[[[[ ]]]

    1 3

    0

    [1, 3]

    Figura 8

    + 0 +

    1

    0

    1((())

    2 1((

    (, (1, )0 2

    23

    3

    Figura 6

    + n 0 +

    2 1

    [)2 1

    (, 2) [1, )

    Figura 7

    Punto de Signo de Signo deprueba

    05 +++

    -+-+---3

    1x - 321x + 221x + 221x - 32

    + +

    2 3

    ((( ))))2((

    3))

    3 0 5

    (2, 3)

    Puntos de separacin

    Puntos de prueba

    Figura 5

  • Seccin 0.2 Desigualdades y valor absoluto 11

    0.32 0.33 0.34 0.35

    1031

    1029

    311029( ),

    Figura 9

    a x

    4 2 1 0 2 33 1

    x a a x

    4

    4 0

    3 ( 2) 2 = 5

    4

    4 = 4 4 = 4

    Figura 10

    SOLUCIN Es tentador multiplicar por x, pero esto nuevamente lleva al dilema de

    que x puede ser positiva o negativa. Sin embargo, en este caso, debe estar entre 2.9 y

    3.1, lo cual garantiza que x es positivo. Por lo tanto, es vlido multiplicar por x y no in-vertir las desigualdades. As,

    En este punto debemos dividir esta desigualdad compuesta en dos desigualdades, queresolvemos de manera separada

    Cualquier valor de x que satisfaga la desigualdad original debe satisfacer ambas desigual-dades. Por lo tanto, el conjunto solucin consiste en aquellos valores de x que satisfacen

    Esta desigualdad puede escribirse como

    El intervalo se muestra en la figura 9.

    Valores absolutos El concepto de valor absoluto es extremadamente til enclculo, y el lector debe adquirir habilidad para trabajar con l. El valor absoluto de unnmero real x, denotado por est definido como

    Por ejemplo, 6 = 6, | 0 | = 0 y | -5 | = -(-5) = 5. Esta definicin dada en dos partes mere-ce un estudio cuidadoso. Observe que no dice que | -x | = x (para ver por qu, pruebecon -5). Es cierto que |x| siempre es no negativo; tambin es verdadero que | -x | = | x |.

    Una de las mejores formas de pensar en el valor absoluto de un nmero es comouna distancia no dirigida. En particular, | x | es la distancia entre x y el origen. De mane-ra anloga, | x - a | es la distancia entre x y a (vase la figura 10).

    Propiedades El valor absoluto se comporta de manera adecuada con la multiplica-cin y la divisin, pero no as con la suma y la resta.

    Propiedades del valor absoluto

    1. 2.

    3. (desigualdad del tringulo)

    4.

    Desigualdades que incluyen valores absolutos Si | x | 6 3, entonces la distancia en-tre x y el origen debe ser menor que 3. En otras palabras, x debe ser simultneamentemenor que 3 y mayor que -3; esto es, -3 6 x 6 3. Por otra parte, si | x | 7 3, entonces ladistancia entre x y el origen debe ser mayor que 3. Esto puede suceder cuando x 7 3 ox 6 -3 (vase la figura 11). stos son casos especiales de las siguientes proposicionesgenerales que se cumplen cuando a 7 0.

    (1)

    x 7 a3 x 6 -a o x 7 a

    x 6 a3 -a 6 x 6 a

    a - b a - b

    a + b a + b

    ` ab` = a

    b ab = a b

    x = -x si x 6 0 x = x si x 0x

    A1031, 1029 B1031

    6 x 61029

    13.1

    6 x 61

    2.9

    x 61

    2.9 y

    13.1

    6 x

    2.9x 6 1 y 1 6 3.1x2.9x 6 1 6 3.1x

    1x

    45 2 1 0 2 33 1))))3

    ((( x 3

    4

    4 2 1 0 2 33 1

    x 3

    45((())))

    3

    Figura 11

  • 12 Captulo 0 Preliminares

    Podemos utilizar estos hechos para resolver desigualdades que impliquen valoresabsolutos, ya que proporcionan una manera de quitar los signos de valor absoluto.

    EJEMPLO 8 Resuelva la desigualdad | x - 4 | 6 2 y muestre el conjunto solucinen la recta real. Interprete el valor absoluto como una distancia.

    SOLUCIN Con base en las proposiciones en (1), sustituyendo x por x - 4, vemos que

    Cuando sumamos 4 a los tres miembros de esta ltima desigualdad, obtenemos 2 6 x 6 6.La grfica se muestra en la figura 12.

    En trminos de distancia, el smbolo | x - 4 | representa la distancia entre x y 4. Porlo tanto, la desigualdad dice que la distancia entre x y 4 debe ser menor a 2. Los nme-ros x con esta propiedad son los nmeros entre 2 y 6; esto es, 2 6 x 6 6.

    Las proposiciones (1) dadas antes del ejemplo 8 son vlidas cuando 6 y 7 sonreemplazadas por y , respectivamente. Necesitamos la segunda proposicin en estaforma para nuestro ejemplo siguiente.

    EJEMPLO 9 Resuelva la desigualdad | 3x - 5 | 1 y muestre su conjunto solu-cin en la recta real.

    SOLUCIN La desigualdad dada puede escribirse de manera sucesiva como

    o

    o

    o

    El conjunto solucin es la unin de dos intervalos, y se muestra enla figura 13.

    En el captulo 1 necesitaremos hacer la clase de manipulaciones que se ilustran enlos dos ejemplos siguientes. Delta (d) y psilon (e) son la cuarta y quinta letras, respec-tivamente, del alfabeto griego y se utilizan de manera tradicional para representar n-meros positivos pequeos.

    EJEMPLO 10 Sea e (psilon) un nmero positivo. Demuestre que

    En trminos de distancia, esto dice que la distancia entre x y 2 es menor que e>5, si y s-lo si la distancia entre 5x y 10 es menor que e.

    SOLUCIN

    (multiplique por 5)

    EJEMPLO 11 Sea e un nmero positivo. Encuentre un nmero positivo d (delta)tal que

    SOLUCIN

    amultiplique por 16b6 e

    6x - 3 3

    1 ab = a b 26 e6 x - 3 3 6x - 18 6 e3 61x - 32 6 ex - 3 6 dQ 6x - 18 6 e

    6 e 5x - 10 3

    1 a b = ab 26 e 51x - 22 3 1 5 = 526 e 5 1x - 22 36 e5 x - 2 3 x - 2 6

    e

    5

    x - 2 6e

    53 5x - 10 6 e

    A - q , 43 D [2, q 2,x 2 x 433x 6 3x 4

    3x - 5 1 3x - 5 -1

    x - 4 6 2 3 -2 6 x - 4 6 2

    Observe dos hechos acerca de nues-tra solucin para el ejemplo 11.

    1. El nmero que encontramos parad debe depender de e. nuestraeleccin es d = e/6.

    2. Cualquier nmero positivo dmspequeo que e/6 es aceptable. Porejemplo d = e/7 o d = e/(2p) sonotras opciones correctas.

    Determinacin de delta

    0 2 3 4 6 71 5)))6

    ((((2

    x 4 2

    Figura 12

    1 1 2 3 5 60 4[[[[]]

    (, 43 2, )Figura 13

  • Seccin 0.2 Desigualdades y valor absoluto 13

    0.40.4

    0.30.3

    0.20.2

    0.10.1

    h

    L ITR O0.50.5

    Figura 14

    Todo nmero positivo tiene dos ra-ces cuadradas. Por ejemplo, las dosraces cuadradas de 9 son 3 y -3.En ocasiones, representamos estosdos nmeros como ;3. Para a 0, elsmbolo que se denomina razcuadrada principal de a, denota laraz cuadrada no negativa de a. Porlo tanto, y Esincorrecto escribir yaque significa la raz cuadradano negativa de 16; esto es, 4. El n-mero 7 tiene dos races cuadradas,que se escriben como pero

    representa un solo nmero real.Recuerde esto:

    tiene dos soluciones, a = -4 y a = 4,pero

    216 = 4

    a2 = 16

    27;27,

    216216 = ;42121 = 11.29 = 3

    1a,

    Notacin para las races cuadradas

    Por lo tanto, elegimos Siguiendo las implicaciones de regreso, vemos que

    A continuacin se presenta un problema prctico que utiliza el mismo tipo de ra-zonamiento.

    EJEMPLO 12 Un vaso de precipitados de litro (500 centmetros cbicos) tie-ne un radio interno de 4 centmetros. Con qu exactitud debemos medir la altura h delagua en el vaso para asegurar que tenemos litro de agua con un error de menos de1%, esto es, un error de menos de 5 centmetros cbicos? Vase la figura 14.

    SOLUCIN El volumen V de agua en el vaso est dado por la frmula V = 16ph.Queremos que | V - 500 | 6 5 o, de manera equivalente, | 16ph - 500 | 6 5. Ahora

    As, debemos medir la altura con una precisin de alrededor de 1 milmetro.

    Frmula cuadrtica La mayora de los estudiantes recordarn la Frmula cua-drtica. Las soluciones a la ecuacin cuadrtica ax2 + bx + c = 0 estn dadas por

    El nmero d = b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuacin cuadrtica. Esta ecuacintiene dos soluciones reales si d 7 0, una solucin real si d = 0 y soluciones no realessi d 6 0. Con la frmula cuadrtica, fcilmente podemos resolver desigualdades cuadrti-cas, incluso, si no se pueden factorizar por inspeccin.

    EJEMPLO 13 Resuelva SOLUCIN Las dos soluciones de x2 - 2x - 4 = 0 son

    y

    As,

    Los puntos de separacin y dividen a la recta real en tres intervalos(vase la figura 15). Cuando los comprobamos con los puntos de prueba -2, 0 y 4, con-cluimos que el conjunto solucin para x2 - 2x - 4 0 es

    Cuadrados Regresando a los cuadrados, notemos que

    x 2 = x2 y x = 2x2

    C1 - 25, 1 + 25 D .1 + 251 - 25x2 - 2x - 4 = 1x - x121x - x22 = Ax - 1 + 25 B Ax - 1 - 25 B

    x2 =-1-22 + 24 + 16

    2= 1 + 25 L 3.24

    x1 =-1-22 - 24 + 16

    2= 1 - 25 L -1.24

    x2 - 2x - 4 0.

    x =-b ; 2b2 - 4ac

    2a

    h - 9.947 6 0.09947 L 0.1 3

    ` h - 50016p

    ` 6 516p

    3

    16p ` h - 50016p

    ` 6 5 3 16ph - 500 6 5 3 ` 16pah - 500

    16pb ` 6 5

    12

    12

    x - 3 6 dQ x - 3 6 e6Q 6x - 18 6 e

    d = e>6.

    + 0 0 +

    2 0 1 2 4 5[[ ]]

    1 3

    5==1 5==1 +

    Figura 15

  • 14 Captulo 0 Preliminares

    Conjunto de problemas 0.21. Muestre cada uno de los intervalos siguientes en la recta real.

    (a) (b)

    (c) (d) [1, 4]

    (e) (f)

    2. Utilice la notacin del problema 1 para describir los interva-los siguientes.

    (a)

    (b)

    (c)

    (d)

    01 32 1 2 43]]]][[[[

    45 16 3 2 07]]]]

    10 41 2 3 523))))[[[[

    43 72 5 6 81((( ))))

    1- q , 0][-1, q21-4, 121-4, 1][-1, 1] En cada problema del 3 al 26 exprese el conjunto solucin de la desi-gualdad dada en notacin de intervalos y bosqueje su grfica.

    3. 4.

    5. 6.

    7. 8.

    9. 10.

    11. 12.

    13. 14.

    15. 16.

    17. 18.

    19. 20.3

    x + 57 2

    13x - 2

    4

    74x

    72x

    6 5

    3x - 2x - 1

    0x + 4x - 3

    0

    4x2 - 5x - 6 6 02x2 + 5x - 3 7 0

    x2 - 5x - 6 7 0x2 + 2x - 12 6 0

    4 6 5 - 3x 6 7-3 6 1 - 6x 4

    -3 6 4x - 9 6 11-4 6 3x + 2 6 5

    5x - 3 7 6x - 47x - 2 9x + 3

    3x - 5 6 4x - 6x - 7 6 2x - 5

    Revisin de conceptos1. El conjunto {x: -1 x 6 5} se escribe en notacin de interva-

    los como ________ y el conjunto {x: x -2} se escribe como ________.

    2. Si a>b 6 0, entonces a 6 0 y ________ o bien a 7 0 y ________.3. Cules de las ecuaciones siguientes siempre son verdaderas?

    (a) (b)(c) (d)

    4. La desigualdad | x - 2 | 3 es equivalente

    a ________ x ________.

    2x2 = xxy = x y x 2 = x2 -x = x

    Esto se deduce de la propiedad | a || b | = | ab |.La operacin de elevar al cuadrado preserva las desigualdades? En general, la

    respuesta es no. Por ejemplo, -3 6 2, pero (-3)2 7 22. Por otra parte, 2 6 3 y 22 6 32. Sitratamos con nmeros no negativos, entonces a 6 b 3 a2 6 b2. Una variante til de es-to (vase el problema 63) es

    EJEMPLO 14 Resuelva la desigualdad | 3x + 1 | 6 2 | x - 6 |.SOLUCIN Esta desigualdad es ms difcil de resolver que nuestros ejemplos ante-riores, debido a que hay dos signos de valor absoluto. Podemos eliminar ambos al usarel resultado del ltimo recuadro.

    Los puntos de separacin para esta desigualdad cuadrtica son -13 y ; estos puntosdividen la recta real en tres intervalos y Cuando utili-

    zamos los puntos de prueba -14, 0 y 3, descubrimos que slo los puntos en satisfacen la desigualdad.

    A - 13, 115 BA 115 , q B .1- q , - 132, A - 13, 115 B ,115

    3 1x + 13215x - 112 6 0 3 5x2 + 54x - 143 6 0 3 9x2 + 6x + 1 6 4x2 - 48x + 144 3 13x + 122 6 12x - 1222

    3x + 1 6 2 x - 6 3 3x + 1 6 2x - 12

    x 6 y 3 x2 6 y2

    Si n es nmero par y , el sm-bolo denota la raz n-sima nonegativa de a. Cuando n es impar,slo existe una raz n-sima real dea, denotada por el smbolo Por

    lo tanto, y 23 -8 = -2.

    23 27 = 3,24 16 = 2,1n a.

    1n aa 0

    Notacin para races

  • Seccin 0.2 Desigualdades y valor absoluto 15

    21.22.23.24.25. 26.

    27. Indique si cada una de las proposiciones siguientes es verda-dera o falsa.

    (a) (b) (c)

    28. Indique si cada una de las proposiciones siguientes es verda-dera o falsa.

    (a) (b) (c)

    29. Suponga que a 7 0, b 7 0. Demuestre cada proposicin. Suge-rencia: cada parte requiere de dos demostraciones: una para Q y otrapara

    (a) (b)

    30. Si a b, cules de las proposiciones siguientes son verdaderas?(a) (b)

    (c) (d)

    31. Encuentre todos los valores de x que satisfagan, de manerasimultnea, ambas desigualdades.(a) y (b) y (c) y

    32. Encuentre todos los valores de x que satisfacen al menos unade las dos desigualdades.

    (a) o bien (b) o bien (c) o bien

    33. Resuelva para x, exprese su respuesta en notacin de inter-valos.

    (a)(b)(c)

    34. Resuelva cada desigualdad. Exprese su solucin en notacinde intervalos.

    (a) (b)

    En los problemas del 35 al 44 determine los conjuntos solucin de lasdesigualdades dadas.

    35. 36.37. 38.

    39. 40.

    41. 42.

    43. 44.

    En los problemas del 45 al 48 resuelva la desigualdad cuadrtica pormedio de la frmula cuadrtica.

    45. 46.

    47. 48.

    En los problemas 49 al 52 muestre que la implicacin indicada es ver-dadera.

    49.

    50. x + 2 6 0.3Q 4x + 8 6 1.2x - 3 6 0.5Q 5x - 15 6 2.5

    14x2 + 11x - 15 03x2 + 17x - 6 7 0x2 - 4x + 4 0x2 - 3x - 4 0

    ` 2 + 5x` 7 1` 1

    x- 3 ` 7 6 2x - 7 7 3 5x - 6 7 1

    ` x4

    + 1 ` 6 1` 2x7

    - 5 ` 7 2x - 1 7 2 4x + 5 10x + 2 6 1x - 2 5

    2.99 61

    x + 26 3.011.99 6

    1x

    6 2.01

    1x2 + 122 - 71x2 + 12 + 10 6 0x4 - 2x2 81x + 121x2 + 2x - 72 x2 - 1

    2x + 1 7 32x - 7 12x + 1 6 32x - 7 12x + 1 6 32x - 7 7 1

    2x + 1 6 -43x + 7 7 12x + 1 7 -43x + 7 7 12x + 1 6 33x + 7 7 1

    -a -ba3 a2ba - 3 b - 3a2 ab

    a 6 b31a

    71b

    a 6 b3 a2 6 b2P .

    -57

    6 -4459

    67

    63439

    -5 7 -226

    -3 6 -227

    -1 7 -17-3 6 -7

    x3 - x2 - x + 1 7 0x3 - 5x2 - 6x 6 012x - 321x - 1221x - 32 7 012x - 321x - 1221x - 32 012x + 3213x - 121x - 22 6 01x + 221x - 121x - 32 7 0 51.

    52.

    En los problemas del 53 al 56 determine d (dependiente de e) de modoque la implicacin dada sea verdadera.

    53.

    54.

    55.

    56.

    57. En un torno, usted desea fabricar un disco (cilindro circularrecto delgado) con circunferencia de 10 pulgadas. Esto se realiza mi-diendo de manera continua el dimetro conforme se hace el discoms pequeo. Qu tan exacto debe medir el dimetro si puede tole-rar un error de, a lo sumo, 0.02 pulgadas en la circunferencia?

    58. Las temperaturas Fahrenheit y las temperaturas Celsius es-tn relacionadas por la frmula Un experimentorequiere mantener una solucin a 50C con un error de 3% (o 1.5),a lo sumo. Usted slo tiene un termmetro Fahrenheit. Qu error sele permite en el experimento?

    En los problemas del 59 al 62 resuelva las desigualdades.

    59. 60.

    61. 62.

    63. Demuestre que dando una razn paracada uno de los siguientes pasos.

    Recprocamente,

    64. Utilice el resultado del problema 63 para demostrar que

    65. Utilice las propiedades del valor absoluto para demostrarque cada una de las siguientes proposiciones son verdaderas.

    (a) (b)

    (c)

    66. Utilice la desigualdad del tringulo y el hecho de que 0 6 | a |6 | b | Q 1>| b | 6 1>| a |, para establecer la siguiente cadena de desi-gualdades.

    67. Demuestre que (vase el problema 66)

    68. Demuestre que

    x 2Q ` x2 + 2x + 7x2 + 1

    ` 15` x - 2x2 + 9

    ` x + 29

    ` 1x2 + 3

    -1

    x + 2` 1

    x2 + 3+

    1x + 2

    13

    +12

    a + b + c a + b + c a - b a - b a - b a + b

    0 6 a 6 bQ 1a 6 1b

    Q x 6 y Q x - y 6 0 Q 1 x - y 21 x + y 2 6 0 Q x 2 - y 2 6 0

    x2 6 y2Q x 2 6 y 2

    Q x2 6 y2 Q x 2 6 y 2

    x 6 y Q x x x y y x y 6 y y

    x 6 y 3 x2 6 y2 3x - 1 6 2 x + 6 2 2x - 3 6 x + 10

    2x - 1 x + 1 x - 1 6 2 x - 3

    C = 591F - 322.

    x + 5 6 dQ 5x + 25 6 ex + 6 6 dQ 6x + 36 6 ex - 2 6 dQ 4x - 8 6 ex - 5 6 dQ 3x - 15 6 e

    x + 4 6e

    2Q 2x + 8 6 e

    x - 2 6e

    6Q 6x - 12 6 e

  • 16 Captulo 0 Preliminares

    1 1

    1

    2

    2

    1

    by

    2 3 a

    (a, b)

    x23

    Figura 2

    En el plano, produzca dos copias de la recta real, una horizontal y la otra vertical, demodo que se intersecten en los puntos cero de las dos rectas. Las dos rectas se deno-minan ejes coordenados, su interseccin se etiqueta con O y se denomina origen. Porconvencin, la recta horizontal se llama eje x y la recta vertical se llama eje y. La mitadpositiva del eje x es hacia la derecha, la mitad positiva del eje y es hacia arriba. Los ejescoordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que llevan lasmarcas I, II, III y IV, como se muestra en la figura 1.

    Ahora, cada punto P en el plano puede asignarse a una pareja de nmeros, llamadoscoordenadas cartesianas. Si una lnea vertical y otra horizontal que pasan por P intersec-tan los ejes x y y en a y b, respectivamente, entonces P tiene coordenadas (a, b) (vasela figura 2). Llamamos a (a, b) un par ordenado de nmeros debido a que es importan-te saber cul nmero est primero. El primer nmero, a, es la coordenada x (o abscisa);el segundo nmero, b, es la coordenada y (u ordenada).

    La frmula de la distancia Con coordenadas a la mano, podemos introduciruna frmula sencilla para la distancia entre cualesquiera dos puntos en el plano. Tienecomo base el Teorema de Pitgoras, el cual dice que si a y b son las medidas de los doscatetos de un tringulo rectngulo y c es la medida de su hipotenusa (vase la figura 3),entonces

    Recprocamente, la relacin entre los tres lados de un tringulo se cumple slo para untringulo rectngulo.

    Ahora considrese cualesquiera dos puntos P y Q, con coordenadas (x1, y1) y (x2,y2), respectivamente. Junto con R, el punto de coordenadas (x2, y1), P y Q son los vrti-ces de un tringulo rectngulo (vase la figura 4). Las longitudes de PR y RQ son | x2 -x1 | y | y2 - y1 |, respectivamente. Cuando aplicamos el Teorema de Pitgoras y tomamosla raz cuadrada principal de ambos lados, obtenemos la expresin siguiente para lafrmula de la distancia

    d1P, Q2 = 21x2 - x122 + 1y2 - y122

    a2 + b2 = c2

    0.3El sistema decoordenadas

    rectangulares

    123 210

    3

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    I

    x

    II

    y

    III IV

    Figura 1

    69. Demuestre que

    70. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones:

    (a)

    (b)

    71. Demuestre que Sugerencia: consi-dere (a - 1>a)2.

    72. El nmero se le llama promedio, o media aritmti-ca, de a y b. Demuestre que la media aritmtica de dos nmeros estentre los dos nmeros; es decir, pruebe que

    73. El nmero se denomina media geomtrica de los dosnmeros positivos a y b. Pruebe que

    74. Para dos nmeros positivos a y b, pruebe que

    1ab 121a + b20 6 a 6 b Q a 6 1ab 6 b

    1aba 6 b Q a 6 a + b

    26 b

    121a + b2

    a Z 0Q a2 + 1/a2 2.x2 6 x para 0 6 x 6 1x 6 x2 para x 6 0 o x 7 1

    x 1Q x4 + 12 x3 + 14 x2 + 18 x + 116 6 2sta es la versin ms sencilla de una famosa desigualdad llamadadesigualdad de la media geomtrica - media aritmtica.

    75. Demuestre que, entre todos los rectngulos con un per-metro dado p, el cuadrado tiene la mayor rea. Sugerencia: si a y bdenotan las longitudes de los lados adyacentes de un rectngulo depermetro p, entonces el rea es ab, y para el cuadrado el rea es a2 =[(a + b)>2]2. Ahora vea el problema 74.

    76. Resuelva

    77. La frmula proporciona la resistencia

    total R en un circuito elctrico debida a tres resistencias, R1, R2 y R3,

    conectadas en paralelo. Si 10 R1 20, 20 R2 30 y 30 R3 40,

    determine el rango de valores de R.

    78. El radio de una esfera mide aproximadamente 10 pulgadas.Determine una tolerancia d en la medicin que asegure un error me-nor que 0.01 pulgadas cuadradas en el valor calculado del rea de lasuperficie de la esfera.

    Respuestas a la revisin de conceptos. 1.2. 3. (b) and (c) 4. -1 x 5b 7 0; b 6 0

    [-1, 52; 1- q , -2]

    1R

    =1R1

    +1R2

    +1R3

    1 + x + x2 + x3 + + x99 0.

  • Seccin 0.3 El sistema de coordenadas rectangulares 17

    a2 b2