Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Área de regiones en coordenadas Polares

47 Integrales.

2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades

1. Calcular áreas en coordenadas polares

3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

En esta sección deduciremos una expresión para calcular el área de una región determinada por una ecuación en coordenadas polares. Para ello recordemos el área de un sector circular de radio r y ángulo

Donde r es el radio y es el ángulo central en radianes.

r22

1 rA 1

Introducción:

4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Sea R la región que vemos en la figura, limitada por la curva de ecuación r = f() y los rayos = a y = b, donde f es positiva y continua.

Rb

a

r = f()

O

= a

= b

5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

= a

= b

r = f()

Dividimos la región R en n regiones mas pequeñas con ángulo central .

6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Por lo tanto, el área de la i-ésima región se aproxima como un sector circular de radio f() y ángulo . Así, de la fórmula 1 tendremos:

2

21 )(fA

i

7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

= a

= b

r = f()

Una aproximación al área total de R estará dada por la suma de áreas de sectores circulares...

8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Es decir....

n

i

fA1

2

21 )(

Según se observa en la figura anterior, la aproximación mejora cuando n . Ya que estas sumas son Sumas de Riemann, resulta...

n

i

b

andfflímA

1

2

212

21 )()( 2

9Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Con frecuencia esta fórmula se escribe...

b

adrA 2

21 3

Observe la similitud entre las fórmulas 1 y 3.

NOTA:Al aplicar la fórmula 3 es necesario imaginar que el área está barrida por un rayo que sale de O y gira desde a hasta b.

10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Calcule el área encerrada por uno de los cuatro pétalos de la curva r = cos (2)

x

y

Ejercicio 1

11Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

x

y

Calcule el área de la región dentro del círculo r = 3 sen y fuera de la cardioide r = 1 + sen

Ejercicio 2:

12Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Sexta ediciónJames Stewart

Ejercicios 10.4 Pág. 653 - 654: