Calculo Diferencial e Integral II

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Cálculo Diferencial e Integral II

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Cálculo Diferencial e

Integral II

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Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2009. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 1,209 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Eusebio Pillado Hernández Director Académico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administración y Finanzas Lic. Oscar Rascón Acuña Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2009 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Segunda edición 2010. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Librada Cárdenas Esquer María Elena Conde Hernández Revisor de Contenido: María Elena Conde Hernández Hermenegildo Rivera Martínez Corrección de Estilo: Jesús Alfonso Velasco Núñez Supervisión Académica: Nancy Vianey Morales Luna

Edición: Ana Isabel Ramírez Vásquez Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar

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3

COMPONENTE:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

QUÍMICO–BIOLÓGICO

Esta asignatura se imparte en el 6 semestre; tiene como antecedente

Cálculo Diferencial e Integral I, no tiene asignatura consecuente es

____________________________ y se relaciona con

____________________________________________________.

HORAS SEMANALES: 3

CRÉDITOS: 6

DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________

Plantel: _________________________________________________________

Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________

Domicilio: _____________________________________________________

______________________________________________________________

Ubicación Curricular

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Mapa Conceptual de la Asignatura

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Recomendaciones para el alumno ......................................................................6 Presentación .........................................................................................................6 UNIDAD 1. DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA ......................... 9 1.1. La diferencial .................................................................................................11 Sección de tareas ................................................................................................31 Autoevaluación .....................................................................................................39 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................43 UNIDAD 2. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. ..................................................................................... 45 2.1. Integral Indefinida .........................................................................................47 2.2. Métodos de integración ................................................................................55 Sección de tareas ................................................................................................65 Autoevaluación .....................................................................................................71 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................75 UNIDAD 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA .................................. 77 3.1. Integral definida ............................................................................................79 3.2. Teorema fundamental del Cálculo ...............................................................83 3.3 Aplicaciones de la Integral Definida ..............................................................89 Sección de tareas ................................................................................................95 Autoevaluación .....................................................................................................99 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................101 Claves de respuestas ...........................................................................................103 Glosario ................................................................................................................104 Bibliografía ............................................................................................................105

Índice

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6

El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones:

Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase.

Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.

Al término de cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de

medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.

Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.

Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en

cada unidad.

Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo.

Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de

aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx

Deberá incluirse el enfoque del campo y de la asignatura, (sin ser necesaria la identificación). Enfoque del campo: justifica la ubicación de la asignatura en determinado campo de conocimiento; es decir, responde a la pregunta, ¿por qué pertenece esta asignatura al campo de _________? Enfoque de la asignatura: describe la importancia e intencionalidad de la asignatura dentro del plan de estudios, su pertinencia social en la formación de los estudiantes de bachillerato, se responde a las preguntas ¿por qué es importante conocer acerca de lo planteado en el programa? ¿dónde reside la relevancia de los contenidos seleccionados para los estudiantes a este nivel?

Recomendaciones para el alumno

Presentación

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7

RIEMS

Introducción El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora, en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en el primer semestre.

Competencias Genéricas

CATEGORIAS COMPETENCIAS GENÉRICA I. Se autodetermina y cuida de sí.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables.

II. Se expresa y comunica

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

III. Piensa crítica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

IV. Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

V. Trabaja en forma colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

VI. Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

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Competencias Disciplinares Básicas Matemáticas 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,

gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias docentes: 1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje

significativo. 3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque

por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios.

4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.

5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.

6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. 7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e

integral de los estudiantes. 8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la

gestión institucional.

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UUnniiddaadd 11 DDiiffeerreenncciiaalleess

ee iinntteeggrraall IInnddeeffiinniiddaa

Objetivos: El alumno: Aplicará los conceptos de diferencial, para resolver valores aproximados de funciones; además de problemas prácticos, tras conocer las reglas de diferenciación; mostrando una actitud analítica y participativa.

Temario:

La diferencial.

Isaac Newton (1642-1727), fue el inventor del Cálculo Diferencial e Integral, que también fue inventado de manera paralela por Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716). Utilizando el Cálculo, encontró sus tres Leyes del Movimiento que describen el movimiento de los objetos en la Tierra.

Organizador anticipado: ¿Por qué el Cálculo Diferencial e Integral ha sido un curso obligado de la formación matemática que se requiere en las universidades para seguir diferentes carreras que van desde la ingeniería, la economía, las ciencias de la salud, hasta las ciencias naturales en general? La razón a fondo es que el Cálculo constituye el segundo gran avance o gran resultado de la historia de las matemáticas después de la geometría euclidiana, desarrollada en la Grecia Antigua. Así, el Cálculo diferencial e Integral conforman a la matemática moderna, la cual nace precisamente entre los siglos XVII y XVIII en el marco de aquella revolución científica que generó una nueva visión del mundo, y constituyó una visión moderna de la que somos parte.

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Cálculo diferencial e integral II

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Mapa Conceptual de Unidad

DIFERENCIALES

Definición de Diferencial

Nos permite enunciar

Reglas de diferenciación

Para resolver problemas

De aproximación al incremento y de

errores de aproximación

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Diferenciales e Integral Indefinida

Evaluación Diagnóstica: Ejemplo: Antes de iniciar esta unidad sobre la diferencial, elabora un mapa conceptual utilizando los conceptos que aparecen en la siguiente lista y muéstrala a tu profesor cuando te lo solicite. Razón de cambio. Derivadas explícitas.

LLAA DDIIFFEERREENNCCIIAALL

1.1.1. Concepto geométrico de la diferencial de una función (“ dy ”). Existen muchas situaciones, en las cuales necesitamos estimar una diferencia, algunos ejemplos de esto son:

a) Aproximar valores de funciones. b) Cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor

Aproximado). c) Cálculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable

independiente varía “un poco”. Para el caso de aproximar funciones podemos utilizar la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función alrededor del punto de tangencia.

Sea )(xfy = una función cualquiera y sean los puntos

))(,()),(,( xxfxxxfx ∆+∆+ dos puntos sobre la función como se

muestra en la siguiente figura:

11..11..

x xx ∆+

)( xxf ∆+

)(xf

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Cálculo diferencial e integral II

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x∆ , representa el incremento que sufre la variable independiente, y definiremos el incremento real que sufre la función que lo denotaremos como y∆ como la

diferencia que existe entre )(xf y )( xxf ∆+ , es decir:

)()( xfxxfy −∆+=∆

Al cual se le conoce como el nombre de Valor Real o cambio total y lo podemos apreciar en la siguiente figura:

)()( xfxxfy −∆+=∆

x∆

x xx ∆+

)( xxf ∆+

)(xf

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Diferenciales e Integral Indefinida

Tracemos la recta tangente a la función )(xf en el punto x , llamaremos dy al

incremento aproximado a través de la recta tangente como lo podemos observar en la siguiente figura: Si observamos la figura podemos darnos cuenta que la tangente del ángulo de inclinación de la recta, equivale a la razón que existe entre dy y x∆ , además si

recordamos lo que se estuvo estudiando en el curso anterior la tangente del ángulo de inclinación de la recta corresponde a la pendiente de la recta tangente la cuál esta representada por la derivada de la función, en otras palabras y resumiendo lo anterior podemos decir que:

)´(xfx

dy=

Ahora bien si denotamos a x∆ como dx tendremos que )´(xfdxdy

= , o bien

si despejamos dy se obtiene:

dxxfdy )´(=

A la que llamaremos LA DIFERENCIAL DE f en el punto x , con respecto al

incremento x∆ =dx , conocido también con el nombre de Valor Aproximado del cambio total y∆ .

)()( xfxxfy −∆+=∆

x∆

x xx ∆+

)( xxf ∆+

)(xf

dy

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Cálculo diferencial e integral II

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A la diferencia que existe entre el Valor real ( y∆ ) y el Valor Aproximado ( dy ), le llamaremos ERROR DE APROXIMACIÓN y lo denotaremos como (E.A), es decir:

E.A = dyy −∆

EJEMPLO 1.- Sea 2)( xxf = . Hallar dyy,∆ y E.A cuando 1=x y

01.0==∆ dxx . SOLUCIÓN:

Como 2)( xxfy == , entonces como )()( xfxxfy −∆+=∆ , calculamos:

2)()( xxxxf ∆+=∆+ = (1 + 0.01)2 = (1.01)2 = 1.0201

2)( xxf = = (1)2 = 1

Sustituyendo estos valores en: )()( xfxxfy −∆+=∆ , obtenemos:

0201.010201.1 =−=∆y

Que corresponde al incremento real que sufre la función 2)( xxf = cuando la x se incrementa de 1 a 1.01.

Ahora bien como 2)( xxf = , entonces, xxf 2)(' = de tal forma que:

dxxdxxfdy 2)´( == , sustituyendo los valores de 1=x y 01.0=dx obtenemos:

)01.0()1(22 == dxxdy

02.0=dy

Que corresponde al Valor Aproximado de la función 2)( xxf = a través de la recta tangente a ella cuando la x se incrementa de 1 a 1.01. Si calculamos E.A.

E.A = dyy−∆

Es decir:

E.A = 02.00201.0 −

E.A = 0001.0

E.A = 0.0001

Lo que nos permite observar que es una muy buena aproximación pues tenemos un error de una millonésima.

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Diferenciales e Integral Indefinida

EJEMPLO 2.- Sea 32)( 2 −−= xxxf . Hallar dyy,∆ y E.A cuando 1=x y

001.0,01.0,1.0,5.0,1==∆ dxx . SOLUCIÓN:

Como 32)( 2 −−= xxxf , entonces como )()( xfxxfy −∆+=∆ , calculamos:

322)())((23)(2)()( 222 −∆−−∆+∆+=−∆+−∆+=∆+ xxxxxxxxxxxxf 32)( 2 −−= xxxf Sustituyendo estos valores en: )()( xfxxfy −∆+=∆ , obtenemos:

)32(322)())((2 222 −−−−∆−−∆+∆+=∆ xxxxxxxxy

32322)())((2 222 ++−−∆−−∆+∆+=∆ xxxxxxxxy

xxxxy ∆−∆+∆=∆ 2)())((2 2 si sustituimos por ejemplo los valores de

1=x y 1=∆x tendremos que:

xxxxy ∆−∆+∆=∆ 2)())((2 2

)1(2)1()1)(1(2 2 −+=∆y

212 −+=∆y

1=∆y Otra manera de resolverse es utilizando el procedimiento del ejemplo 1, es decir: Para 1=x y 1=∆x tendremos que:

3)(344)(

3)2(2)2()(3)11(2)11()(

3)(2)()(

2

2

2

−=∆+=−−=∆+

=−−=∆+

=−+−+=∆+

=−∆+−∆+=∆+

xxfxxfxxfxxf

xxxxxxf

32)( 2 −−= xxxf

4)(321)(

3)1(2)1()( 2

−=−−=

−−=

xfxfxf

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Cálculo diferencial e integral II

16

Por lo tanto, si sustituimos estos valores en: )()( xfxxfy −∆+=∆ , obtenemos:

143

)4(3

=∆+−=∆−−−=∆

yyy

Como 32)( 2 −−= xxxf entonces:

dxxdxxfdy )22()´( −== sustituyendo los valores de 1=x y 1=dx , se obtiene:

0)1)(0(

)1)(22()1)(2)1(2()22(

==

−=−=−=

dydydy

dxxdy

De tal manera que:

E.A = dyy −∆

Es decir:

E.A = 01−

E.A = 1

E.A = 1

Utilizando cualquiera de los dos procedimientos para calcular y∆ podemos

terminar de resolver el ejemplo para el valor de 1=x y 001.0,01.0,1.0,5.0=∆x utilizando la siguiente tabla:

x x∆ )( xxf ∆+ )(xf y∆ dy E.A

1 1 -3 -4 1 0 1 1 0.5 1 0.1 1 0.01 1 0.001

EJERCICIO 1 EN EQUIPO: Hallar y∆ y dy , y E.A para las funciones y los valores dados:

5.01)()501.02342)()4

1.01)()3

1.03

)()2

2.0,8)()1

2

2

3

=====+−=

−===

===

==∆==

dxyxparaxLnxfdxyxparaxxxf

dxyxparaxxf

dxyxparaxSenxf

dxxxparaxxfπ

TAREA 1

Página 31.

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Diferenciales e Integral Indefinida

1.1.2. Teoremas sobre Diferenciales. Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fórmula de derivación que se vio en la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I, le corresponde una diferenciación que detallaremos a continuación.

FÓRMULAS DIFERENCIALES GENERALES Para )()( xgyxf , funciones derivables de x :

1. CONSTANTE: [ ] 0=cd

2. MULTIPLO CONSTANTE: [ ] dxxgcxcgd )(')( =

3. POTENCIA: [ ] dxxnxd nn 1−=

4. SUMA O DIFERENCIA: [ ]

dxxgdxxfxgdxfdxgxfd

)(')('))(())(()()(

±=±=±

5. PRODUCTO: [ ] [ ] [ ]

dxxfxgdxxgxfxfdxgxgdxfxgxfd

)(')()(')()()()()()()(

⋅+⋅=⋅+⋅=⋅

6. COCIENTE:

[ ] [ ][ ]

[ ]2

2

)()(')()(')(

)()()()()(

)()(

xgdxxgxfdxxfxg

xgxgdxfxfdxg

xgxfd

⋅−⋅=

⋅−⋅=⎥

⎤⎢⎣

7. REGLA DE LA CADENA:

( )[ ] ( )[ ] dxxgxgfxgfdxgfd )('))((')(()( ⋅==o

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Cálculo diferencial e integral II

18

EJEMPLOS: Utilizando las reglas de diferenciación, Calcula la diferencial de las siguientes funciones.

EJEMPLO 1. Sea 425 2 +−= xxy Calcula dy Aquí se aplica la regla de suma o resta de funciones. SOLUCIÓN:

)4()2()5( 2 dxdxddy +−=

dxxdxdy 210 −=

Factorizando dx obtenemos la diferencial de la función 425 2 +−= xxy

dxxdy )210( −= Conclusión: La diferencial es dxx )210( −

EJEMPLO 2. Sea x

y 1= , Calcula dy

Hacemos a la función 1−= xy y utilizamos la regla de las potencias. SOLUCIÓN:

dxxdy 2−−= y para no dejar exponentes negativos hacemos lo siguiente:

dxx

dy 2

1−=

Conclusión: la diferencial es 2xdxdy −=

EJEMPLO 3. Sea )24)(92( 25 +−= xxy , Calcula dy SOLUCIÓN:

[ ][ ][ ]dxxxx

dxxxxxdxxxxxdy

72205620407216

)10)(24()8)(92(

46

466

425

−+=

++−=

++−=

Conclusión: la diferencial es

Aquí se aplica la regla de la suma de funciones.

Aquí se aplica la regla de potencias de funciones.

[ ]dxxxxdy 722056 46 −+=

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Diferenciales e Integral Indefinida

EJEMPLO 4. Sea 57

2

3

++

=xx

y , Calcula dy

SOLUCIÓN:

dxx

xxx

dxx

xxxx

dxx

xxxxdy

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+−+

=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+−−+

=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

++−+

=

22

24

22

424

22

322

)5(1415

)5(142153

)5()2)(7()3)(5(

Conclusión: la diferencial es dxx

xxxdy

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+−+

= 22

24

)5(1415

EJEMPLO 5. Sea ( )76 95 −= xy , Calcula dy SOLUCIÓN:

( )dxxx

dxxxdy665

566

)95(210)30(957

−=

−=

Conclusión: la diferencial es dxxxdy 665 )95(210 −=

Aquí se aplica la regla del cociente de funciones.

Aquí se aplica la regla de la cadena.

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Cálculo diferencial e integral II

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EJERCICIO 2

INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1) 34 2 −= xy 13) 2)23(2−

=x

y

2) 31

2xy =

3) 5 2

2

xy = 14)

352+

=x

y

4) 121−+

=xxy 15)

21

+−

=xx

y

5) 865 4 +−= xxy

6) 35 )129( +−= xxy

7) )25)(92( 2 −+−= xxy

8) 3

2 728x

xxy +−=

9) 11153 52 +−+−+=

xx

xxxy

10) 2)72( += xy

11) 19 += xy

12) 3 2

1−

=x

y

TAREA 2

Página 33.

Page 21: Calculo Diferencial e Integral II

21

Diferenciales e Integral Indefinida

FÓRMULAS DIFERENCIALES DE FUNCIONES TRASCEDENTALES. I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1) [ ] dxxgCosxgxgSend ))(()´())(( ⋅=

2) [ ] dxxgSenxgxgCosd ))(()´())(( ⋅−=

3) [ ] dxxgSecxgxgTand ))(()´())(( 2⋅=

4) [ ] dxxgCscxgxgCotd ))(()´())(( 2⋅−=

5) [ ] dxxgTanxgSecxgxgSecd ))(())(()´())(( ⋅⋅=

6) [ ] dxxgCotxgCscxgxgCscd ))(())(()´())(( ⋅⋅−=

II. FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

1) [ ] dxexged xgxg )()( )(' ⋅=

III. FUNCION LOGARITMO NATURAL

1) [ ] 0)()()(')(( ≠⋅= xgcondx

xgxgxgLnd

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Cálculo diferencial e integral II

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EJEMPLO 1. Sea )73( 2 −= xSeny , Calcula dy SOLUCIÓN:

dxxCosxdy )73(6 2 −⋅=

Conclusión: la diferencial es dxxCosxdy )73(6 2 −⋅=

EJEMPLO 2 . Sea 392 −+= xxey , Calcula dy SOLUCIÓN:

dxexdy xx 392)92( −+⋅+=

Conclusión: la diferencial es dxexdy xx 392)92( −+⋅+=

EJEMPLO 3 . Sea )835( 23 +++= xxxLny , Calcula dy SOLUCIÓN:

dxxxx

xxdy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+++++

=835

161523

2

Conclusión: la diferencial es dxxxx

xxdy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+++++

=835

161523

2

EJEMPLO 4 . Sea ))5(( 3 −= xTanLny , Calcula dy SOLUCIÓN:

dxxSecxCscxdxxTan

xSecxdy )5()5(3)5(

)5(3 3323

322

−⋅−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−−⋅

=

Conclusión: la diferencial es dxxSecxCscxdy )5()5(3 332 −⋅−⋅=

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Diferenciales e Integral Indefinida

TAREA 3

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EJERCICIO 3

INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1) )34( 2 −= xSeny 13) 2)23(2−

=xSec

y

2) )2( 31

xLny =

3) ⎟⎟

⎜⎜

⎛=

5 2

2

xTany 14)

)35(2+

=xCsc

y

4) 121−+

= xx

ey 15) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+−

=21

xxLny

5) )865( 4 +−= xxSecy

6) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= 35 )129( xxCscy

7) [ ])25)(92( 2 −+−= xxCosy

8) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

3

2 728x

xxLny

9) 11

51523 +−+−+

= xx

xxx

ey

10) 2)72( += xSeny

11) )19( += xCosy

12) 3 2

1−

=Tanx

y

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Cálculo diferencial e integral II

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1.1.3. Aplicaciones de la diferencial. Trataremos algunos problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función. PROBLEMA 1. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5m, si éste recibe un aumento de 0.002m.

SOLUCIÓN: Datos:

2lA = Fórmula del área de un cuadrado. ml 5=

mldl 002.0=∆= Calcular: =dA

Entonces: Como 2lA = su diferencial es: dlldA .2= y sustituyendo los datos

tenemos: )002.0)(5(2 mmdA = por lo tanto 2020.0 mdA = Conclusión: El incremento es de 0.020 metros cuadrados.

PROBLEMA 2. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a 4.25 SOLUCIÓN: Como vimos anteriormente dy nos representa una muy buena

aproximación a la función )(xfy = alrededor del punto de tangencia 0x , lo que

nos permite afirmar que:

dyxfxf +≅ )()( 0 donde dxxfdy )(' 0=

Como el problema consiste en aproximar 4.25 , entonces, podemos definir una función que nos permita aproximar dicho valor, para esto tomaríamos la función

xxf =)( de igual manera escogeríamos un punto 0x donde podamos conocer

con exactitud el valor de la función evaluada en ese punto, para este caso es conveniente tomar 250 =x , entonces si sabemos que:

dxxfxfxfdyxfxf

)(')()()()(

00

0

+≅+≅

5m

Page 25: Calculo Diferencial e Integral II

25

Diferenciales e Integral Indefinida

Haciendo:

1) xxf =)(

Como xxf =)( entonces 21

)( xxf = por lo tanto x

xxf2

121

)(' 21

==−

2) x

xf2

1)(' =

3) 4.25=x 4) 250 =x

5)

4.0254.25

0

=−=

−=

dxdx

xxdx

Entonces:

04.54.25

04.05)4.0)(1.0(5

)4.0(1015

)4.0()5)(2(

15

)4.0(252

1254.25

)(')()( 00

+≅+≅

+≅

+≅

+≅

+≅ dxxfxfxf

El valor real de 039841.54.25 = lo podemos obtener haciendo uso de la calculadora. De tal manera que el error de aproximación sería:

E.A = aproximadoValorrealValor −

E.A

000159.0

000159.0

04.5039841.5

=

−=

−=

Page 26: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo diferencial e integral II

26

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente una diezmilésima. PROBLEMA 3. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a 1.1Ln SOLUCIÓN: Hagamos: 1) xLnxf =)(

Como xLnxf =)( entonces x

xf 1)(' =

2) x

xf 1)(' =

3) 1.1=x 4) 10 =x

5)

1.011.10

=−=−=

dxdx

xxdx

Entonces:

1.01.11.00

)1.0(10

)1.0(1111.1

)(')()( 00

≅+≅+≅

+≅

+≅

Ln

LnLn

dxxfxfxf

El valor real de 0953.01.1 =Ln lo podemos obtener haciendo uso de la calculadora. De tal manera que el error de aproximación sería:

E.A = aproximadoValorrealValor −

E.A

00047.0

00047.0

1.00953.0

=

−=

−=

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente cuatro diezmilésimas. `

Page 27: Calculo Diferencial e Integral II

27

Diferenciales e Integral Indefinida

PROBLEMA 4. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere? SOLUCIÓN: La cantidad de concreto requerida es la diferencia V∆ entre el volumen del cilindro exterior y el cilindro interior como lo podemos observar en la siguiente figura: Calcularemos V∆ a través de dV recordando que la fórmula para calcular el volumen del cilindro es:

hrV 2π=

Como cmmh 1001 == entonces tenemos una función para el volumen del cilindro que depende únicamente del radio la cuál escribimos de la siguiente manera:

2100)( rrV π=

Por lo tanto:

drrdV π200=

Si sustituimos 50=r y 3=dr , en dV , obtenemos:

377961.94247)3)(50(200cm

dV=

= π

Lo que representa la cantidad de concreto que se necesita para revestir el depósito cilíndrico.

V∆

Page 28: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo diferencial e integral II

28

PROBLEMA 5. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a º5.30Cos SOLUCIÓN: Hagamos: 1) xCosxf =)(

Como xCosxf =)( entonces xSenxf −=)(' 2) xSenxf −=)(' 3) º5.30=x 4) º300 =x

5)

º5.0º30º5.30

0

=−=

−=

dxdx

xxdx

Para poder aproximar correctamente el valor de º5.30Cos es importante que el

º5.0=dx lo expresemos en radianes, es decir, raddx360π

= .

Entonces:

87038.0720

3360º5.30

72023

36021

23

360º30º30º5.30

)(')()( 00

=+

+≅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≅

+≅

π

π

π

π

Cos

SenCosCos

dxxfxfxf

El valor real de 86162.0º5.30 =Cos lo podemos obtener haciendo uso de la calculadora. De tal manera que el error de aproximación sería:

E.A = aproximadoValorrealValor −

E.A

00876.0

00876.0

87038.086162.0

=

−=

−=

Recuerda que:

180º= radπ

Page 29: Calculo Diferencial e Integral II

29

Diferenciales e Integral Indefinida

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente ocho milésimas.

EN EQUIPO DE DOS: Detalla por escrito el proceso de solución analíticatípica de problemas de aproximación al incremento, utilizando ladiferencial y compara el proceso de solución con tu compañero. 1) obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de

lado de 2m al aumentar el lado 0.003m. 2) Hallar el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de

200mm de diámetro exterior y 1mm de espesor. 3) Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a

100m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, estaúltima se ve con un ángulo de elevación de 30º. Encuentreaproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura,sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º.

4) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm. de longitud, su lado

aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área? 5) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. de longitud, su lado

disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? 6) Aproximar utilizando diferenciales los siguientes valores:

A) 5.9

B) 5 1.32

C) 5.0e

D) 3 01.64 E) º5.45Sen F) º25.60Cos G) º75.30Tan H) 3.1Ln

I) 37

J) 5.4

1

EJERCICIO 4

TAREA 4

Página 37

Page 30: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo diferencial e integral II

30

Page 31: Calculo Diferencial e Integral II

31

Diferenciales e Integral Indefinida

INSTRUCCIONES: Hallar y∆ y dy , y E.A para las funciones y los valores dados; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.

001.0,01.0,1.0,5.0,1,11)()10

001.0,01.0,1.0,5.0,1,1)()9

001.0,01.0,1.0,5.0,1012)()8

001.0,01.0,1.0,5.0,14

)()7

001.0,01.0,1.0,5.0,10)()6001.0,01.0,1.0,5.0,11)()5

001.0,01.0,1.0,5.0,1134)()4001.0,01.0,1.0,5.0,111)()3

001.0,01.0,1.0,5.0,13

)()2

001.0,01.0,1.0,5.0,1,64)()1

2

2

2

3

==∆==

==∆==

==−+=

===

===

=====+−=

==−=

===

==∆==

dxxxparax

xf

dxxxparaxxf

dxyxparaxxxf

dxyxparaxTanxf

dxyxparaexfdxyxparaxLnxf

dxyxparaxxxfdxyxparaxxf

dxyxparaxCosxf

dxxxparaxxf

x

π

π

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 1

Page 32: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo diferencial e integral II

32

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Page 33: Calculo Diferencial e Integral II

33

Diferenciales e Integral Indefinida

INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy ,de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.

1025)1 23 −+−= xxxy

121)11−

=x

y

211)25 2

5 −−+=x

xx

y 3

2 95)12x

xxy +−=

)12)(94()3 37 +−= xxy 8 52 )13()13 −= xy

532)4 2

6

++−

=x

xxy )5)(13()14 310 +−= xxy

428)5 2

3

++−

=xx

xy 5 2 24

1)15+

=x

y

5152)6

2

−−−

=x

xxy 8

7)164 +

=x

y

32 )53()7 −= xy 346)17 23 +−−= xxxy

3 2)8 −= xy

4

3

)18x

xxy +=

71)9+

=x

y 6

52)19 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=xxy

62 )9(3)10+

=x

y 37 )12()63()20 −+= xxy

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 2

Page 34: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo diferencial e integral II

34

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Page 35: Calculo Diferencial e Integral II

35

Diferenciales e Integral Indefinida

INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.

)1()1 3 += xSeny

7 5 9)11 −= xLny

)72()2 5 += xCosy )3(

)3()12−−

=xCosxSeny

)94()3 7 −= xTany

)1()1()13 22 −+−= xCosxSeny

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=52)4

xxCoty

)(1)14 5xSec

y =

)]1)(23[()5 −+= xxSecy

9

2

3

215)15 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−+−

=x

xxLny

55 )112()6 −= xCscy

3)16 −= xey

32 )53()7 −= xLny 2

8

)17 ++

= xx

ey

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=43)8

xxLny

22

2523)18

−−

++=

xx

xx

e

ey

)6)(2()9 +−= xxLny

5)19 xSeney =

))(()10 3xSenLny =

))3(()20 −= xLnCosey

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 3

Page 36: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo diferencial e integral II

36

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Page 37: Calculo Diferencial e Integral II

37

Diferenciales e Integral Indefinida

INSTRUCCIONES: Plantea y resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1) Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas, con un posible error de 0.03 pulgadas, estimar mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular:

a) El volumen del cubo. b) El área superficial del cubo.

2) Calcular el incremento del área de un cuadrado de lado 7m. al aumentar el lado 3mm.

3) Calcular el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 7.3m al aumentar el lado

0.007m.

4) Obtener el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8cm de radio cuando el radio aumenta 3cm.

5) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta en 0.04 cm.

¿Cuánto aumento aproximadamente su área?

6) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?

7) La pared lateral de un depósito cilíndrico con radio de 60 cm y altura de 1.20m, debe revestirse con

una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?

8) Pruebe que si al calentar(enfriar) una placa cuadrada metálica de lado L, su lado

incrementa(disminuye) un p %, entonces el área se incrementa(diminuye) un 2p %.

9) Al calcular la altura de un cerro, se encuentra que desde un punto situado a 100 m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, esta última se ve con un ángulo de elevación de 30º. Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º.

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 4

Page 38: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo diferencial e integral II

38

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Page 39: Calculo Diferencial e Integral II

39

Diferenciales e Integral Indefinida

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. La diferencial de la siguiente función 1453 24 −+−= xxxy es:

dxxxdy )41012( 3 +−=

dxxxxdy )141012( 3 −+−=

dxxxdy )31012( 3 +−=

dxxxdy )41012( 23 +−= 2. El incremento aproximado del volumen de un cubo con lado de 5.3m al aumentar el lado 0.007m es:

0.698

0.725

0.589

0.456

3. La diferencial de la siguiente función )7( 4 += xSeny es:

dxxCosdy )7( 4 +=

dxxCosxdy )7(4 43 +=

dxxCosxdy )7(4 43 +−=

dxxCosdy )7( 4 +−=

4. El valor aproximado de 3 5.8 es:

2.041

2.083

2.416

2.004

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

AUTOEVALUACIÓN

Page 40: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo diferencial e integral II

40

5. La diferencial de la siguiente función )12( += xLny es:

dxx

xdy12

2+

=

0=dy

dxx

dy12

2+

=

dxxLn

dy)12(

2+

=

6. La diferencial de la siguiente función 5−= xey es:

dxedy x 5−=

dxexdy x 5)5( −−=

dxdy =

dxedy x 5−−=

7. La diferencial de la siguiente función )9( 7 += xy es:

dxxdy 7=

dxxdy )9( 7 +=

dxxdy 7=

dxxdy 67=

8. El valor del incremento real y∆ de la función:

01.00,5)( 2 ==∆=−= dxxyxparaxxf es:

1.0=∆y

01.0=∆y

001.0=∆y

0001.0=∆y

Page 41: Calculo Diferencial e Integral II

41

Diferenciales e Integral Indefinida

9. El valor del error de aproximación (E.A) de la función

5.04,5)3()( 2 ==∆=+−= dxxyxparaxxf es:

0025.0. =AE

0025.0. =AE

025.0. =AE

25.0. =AE 10. Al calentar una placa metálica cuadrad de 25 cm de lado, su lado se incrementa un 2 %, el porcentaje en el que se incrementa su área es:

2 %

3 %

4 %

8 %

Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es

necesario que nuevamente repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.

Consulta las claves de

respuestas en la página 103.

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE

Page 42: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo diferencial e integral II

42

Page 43: Calculo Diferencial e Integral II

43

Diferenciales e Integral Indefinida

INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1. Completa la siguiente tabla para la función: x

y 1=

x xdx ∆= y∆ dy dyy −∆

2

2

2

2

1

0.5

0.1

0.01

2. Utiliza el concepto de diferencial para encontrar el valor aproximado de los siguientes valores:

a) 37

b) ( )58.1

c) 5 5.32

d) º5.60Sen

e) 25.1Ln

3. Resuelve el siguiente problema de aplicación de las diferenciales:

Un tanque de almacenamiento de aceite en forma de cilindro circular vertical tiene una altura de 5m. el radio mide 8m, con un error posible de ±0.25m.Utilice diferenciales para calcular el error máximo en el volumen. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado de error.

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

Page 44: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo diferencial e integral II

44

4. Hallar dy utilizando los teoremas:

( ) x

x

eyjxyixx

yhxSecyg

eyfxx

LnyexSenyd

xycx

xxxybxxya

2tan1084

722

72

3

232

)53)11

))()

)22

))84()

67)72

)5113)

=+=−+==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+−

=−=

+=++−

=+−=

+

Page 45: Calculo Diferencial e Integral II

http://integrals.wolfram.com

La presa Hoover en E. U. tiene uno de los diques de arco de concreto más altos del mundo . Ésta contiene las aguas del Río Colorado, la estructura depende tanto de las paredes del Black Canyon como de su propia masa. Este diseño de arco presenta una curva hacia el agua que contiene y casi siempre se construye en cañones angostos. Para determinar el área y el volumen de concreto para la construcción de la obra se requiere de conocimientos matemáticos, como los de integración que en este capítulo te presentaremos. Si quieres investigar más acerca de esta monumental obra, consulta en Internet bajo el nombre de la “presa Hoover”.

UUnniiddaadd 22 IInntteeggrraall iinnddeeffiinniiddaa

yy aallgguunnooss mmééttooddooss ddee iinntteeggrraacciióónn..

Objetivos: El alumno: Aplicará el concepto de integral indefinida, integrando diferenciales cuya forma no sea susceptible de integrarse de manera inmediata, a partir del conocimiento de algunos métodos de integración (cambio de variable, integración por partes); mostrando una actitud analítica y participativa.

Temario:

• Integral indefinida • Métodos de integración

Page 46: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

46

Mapa Conceptual de Unidad

Integrales

Integral Indefiinida

Métodos de integración

Cambio de variable o por sustitución

Integración por partes

Para integrarlas se usan

Page 47: Calculo Diferencial e Integral II

47

Integral definida

LLAA IINNTTEEGGRRAALL IINNDDEEFFIINNIIDDAA..

2.1. La integral indefinida (Antiderivada). Si me pongo los zapatos, puedo quitármelos otra vez. La segunda operación anula a la primera, regresando los zapatos a la posición original. Decimos que las dos son operaciones inversas. Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas: La Suma y la resta; al igual que la división y la multiplicación; lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente, productos notables y la factorización. En el Cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivada )´(xf de una función )(xf . Ahora nos

ocuparemos del problema inverso, es decir, dada una función )(xf buscaremos obtener la función )(xF , tal

que al derivar F obtengamos la función )(xf . A )(xF se le conoce como la antiderivada de )(xf . Veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Encuentra la antiderivada de xxf 2)( = y represéntala gráficamente. Solución: Buscamos una función )(xF que satisfaga la igualdad xxF 2)(' = . Recordando los conocimientos

de cálculo diferenciaI I, sabemos que la función cuya derivada es x2 , es:

2)( xxF = ;

ya que la derivada de 2)( xxF = es xxF 2)(' = . Sin embargo, sabemos que no es la única, pues también si derivamos las siguientes funciones:

,2)(

,23

)(

,3)(

2

2

2

π−=

+=

−=

xxF

xxF

xxF

obtenemos la misma derivada. Generalizando lo anterior podemos escribir CxxF += 2)( , donde C es

cualquier constante, dichas funciones representan la antiderivada de la función xxf 2)( = . Si representamos gráficamente cada una de las antiderivadas obtenemos:

22..11..

Observa que la diferencia entre las parábolas se da en el corte de éstas con el eje y . Los valores de las

ordenadas en dicho corte representan los valores que puede tomar la constante C .

Page 48: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

48

Ejemplo 2: Encuentra la antiderivada de 23)( xxf = . Solución: Al igual que en el ejemplo anterior, buscamos una función )(xF que satisfaga la igualdad

23)(' xxF = . Ésta es:

CxxF += 3)( ,

ya que si derivamos )(xF , obtenemos 23)(' xxF = , recuerda que la derivada de la constante C es igual a cero.

Por lo tanto la antiderivada de 23)( xxf = es CxxF += 3)( . Encontrar la función que tiene cierta derivada es más que un simple ejercicio mental. Más adelante se verá que hay aplicaciones reales e interpretaciones físicas de esta idea. 2.1.1. Definición formal de integral indefinida. Una definición formal del concepto de antiderivada es la siguiente:

Sea )(xF una función tal que )()´( xfxF = , la cual llamaremos la antiderivada de f , y la denotaremos como

∫= dxxfxF )()( ;

Al término ∫ dxxf )( también se le conoce como integral indefinida.

F es una antiderivada de

)(xf .

“Integral indefinida” y “función primitiva” son sinónimos de la palabra “antiderivada”. El símbolo ∫ es la inicial

de la palabra suma.

Page 49: Calculo Diferencial e Integral II

49

Integral definida

Ejemplos: Encuentra la integral indefinida o la antiderivada de las siguientes funciones.

1) ∫ dxx23 es una función )(xF tal que 23)(' xxF = , es decir, CxxF += 3)( .

Por lo tanto: ∫ += Cxdxx 323 .

2) Cxdxx +=∫ 434 .

3) Cxdxx +=∫ 201920 .

4) Cxdx +=∫ 55 .

5) Cxdx +−=−∫ 33 .

6) Cxxdxx ++=+∫ 5)54( 43 .

7) Cxxxdxxx ++−=+−∫ 3)3320( 320219 .

8) Cxsendxx +=∫cos .

9) Cedxe xx +=∫ .

10) Cxexxxsendxexxsenx xx +−+++=−++−∫ 5tancos)5sec(cos 2 .

EJERCICIO 1 EN EQUIPO: Encuentra la integral indefinida (antiderivada) de las siguientes funciones y compara tus resultados con tus compañeros:

1) dxx∫ 45 6) ∫ dxπ

2) ∫ dxx67 7) ∫− dxx2csc

3) dxxx )123( 2 +−∫ 8) ∫ ⋅ dxxx tansec

4) dxx )42( −∫ 9) ∫ +++ dxxxx )1234( 23

5) ∫ dx4 10) dxxxxxex )cotcsctansec( ⋅−⋅+∫

Page 50: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

50

Page 51: Calculo Diferencial e Integral II

51

Integral definida

2.1.2. Reglas básicas de integración.

DEFINICIÓN DE LA NOTACION INTEGRAL PARA LAS ANTIDERIVADAS: Si )(xF es una integral indefinida de )(xf se expresa:

∫ +== CxFdxxfy )()( Si y solo si )()´( xfCxF =+

Donde:

=C Constante arbitraria.

REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACION:

1) CONSTANTE: ∫ += Ckxkdx

2) MULTIPLO CONSTANTE: ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()(

3) SUMA O DIFERENCIA: [ ] ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

4) POTENCIAS: ∫ ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

, 1≠n

5) EXPONENCIALES: ∫ += Cedxe xx

6) LOGARITMICA: Cxdxxdxx

+==∫ ∫ − ln1 1

7) TRIGONOMETRICAS:

Csenxxdx∫ +=cos

∫ +−= Cxsenxdx cos

∫ += Cxxdx tansec2

∫ += Cxxdxx sectansec

∫ +−= Cxxdx cotcsc2

∫ +−= Cxxdxx csccotcsc

Page 52: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

52

Ejemplos: Calcular la integral de las siguientes funciones utilizando las reglas de integración.

1) ∫ =dx5

Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla de la constante así:

∫∫ +== Cxdxdx 555

Cx += 5 .

2) ∫ =dxx34

Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla del múltiplo constante así:

∫ ∫ ++

==+

Cxdxxdxx13

44413

33

Por lo tanto:

Cxdxx +=∫ 434

Cx += 4 .

3) ∫ =+− dxxx )323( 2

Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla de la suma o resta:

∫ ∫ ∫∫ =+−=+− dxxdxdxxdxxx 323)323( 22

CxxxCxxx++−=++−= 33

22

33 23

23

Cxxx ++−= 323 .

4) ∫ =+ dxx 2)32(

Solución: Aplicando el álgebra tenemos:

∫ ∫ ∫∫ ++=++ dxxdxdxxdxxx 9124)9124( 22

CxxxCxxx+++=+++= 96

349

212

34 2

323

Cxxx+++= 96

34 2

3

.

Page 53: Calculo Diferencial e Integral II

53

Integral definida

5) ∫ =xdxsen2

Solución: Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos:

∫ +−= Cxxdxsen )cos(22

Simplificando tenemos: Cx +−= cos2 .

6) ∫ =xdx2sec8

Solución: Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos:

Cxdxx +=∫ )(tan8sec8 2

Simplificando tenemos: Cx += tan8 .

7) ∫ =−+ dxxx )23)(32( 2

Solución:

∫ ∫ ∫∫∫ −+−=−+− dxdxxdxxdxxdxxxx 6946)6946( 2323

Cxxxx+−+−= 6

29

34

46 234

Cxxxx+−+−= 6

29

34

23 234

.

8) ∫ =dxx

Solución: Aplicando la regla de potencias tenemos:

CxCx

dxx +=+=∫ 232

3

21

32

23

)( ;

simplificando nos quedaría de la siguiente manera:

Cx += 3

32

.

Page 54: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

54

9) ∫ =+ dxxex )cos(

Solución: Esto quedaría de la siguiente forma:

Cxsenexdxdxe xx ++=+ ∫∫ cos

Cxsenex ++= .

10) ∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ dx

xx

x 42 325

Solución: Aquí se aplica la regla de potencias y la de logaritmos:

∫ ∫∫ =−+ − dxxdxxdxx

42 3215

Cxxx +−

−+=−

33

32ln5

33

;

simplificando tenemos la solución:

Cx

xx +++= 33 1

32

ln5 .

EJERCICIO 2 INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones y entrégaselas atu profesor para su revisión.

1) ( )∫ =−+− dxxxx 23 10852

2) ∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− dxx

xx

x8

62

13

4

3) ∫ =−+ dxxx )27(

4) ∫ =⎟⎟

⎜⎜

⎛dx

x5

1

5) ∫ =+− dxxx )52)(34( 2

6) ( )∫ =− dxx 223

7) ( )∫ =+−+ dxxxxex 32 3seccos6

8) ∫ =+−

dxxx

242

9) ( )∫ =− dxx 32

10) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−∫ dx

xxxx

2

53 8764

TAREA 1

Pág. 65

Page 55: Calculo Diferencial e Integral II

55

Integral definida

MMÉÉTTOODDOOSS DDEE IINNTTEEGGRRAACCIIÓÓNN..

2.2.1. Integración por cambio de variable o sustitución. En esta sección se estudiarán métodos para la integración de funciones compuestas, es decir, producto de funciones, cociente de funciones, potencias de suma de funciones, etc. La técnica de cambio de variable o sustitución es el más frecuente. Consiste en hacer una expresión igual a una nueva variable (por ejemplo u), calcular el diferencial de esta nueva variable y sustituir estos cambios en la expresión que queremos integrar. En muchas ocasiones la integral que se obtiene con el cambio de variable es más sencilla que la original y así podemos integrarla. Evidentemente después tenemos que deshacer el cambio de variable. La importancia de la sustitución en la integración es comparable con la de la regla de la cadena en la derivación. Recuerda que para funciones derivables dadas por

)(uFy = y )(xgu = , la regla de la cadena expresa que

[ ] )('))(('))(( xgxgFxgFdxd

= .

De la definición de una antiderivada, se deduce que

∫ += CxgFdxxgxgF ))(()('))(('

.)( CuF +=

Con un cambio de variable formal, se escribe de nuevo toda la integral en términos de u y du (o de cualquier otra variable conveniente). La técnica de cambio de variables usa la notación de Leibniz para la derivada. Es decir, si F es la antiderivada de f y )(xgu = , entonces dxxgdu )('= , y la integral anterior toma la forma

.)()()('))((∫ ∫ +== CuFduufdxxgxgf

En los siguientes ejemplos se muestra cómo aplicar el teorema de integración por sustitución, reconociendo la presencia de ))(( xgf y )(' xg . Observa que la función compuesta en el integrando tiene una función externa

f y una función interna g. Además, la derivada )(' xg está presente como un factor del integrando.

22..22..

Función interna

Función externa

Derivada de la función interna

∫ += .))(()('))(( CxgFdxxgxgf321 El teorema no indica

cómo distinguir entre ))(( xgf y )(' xg en el

integrando. A medida que adquieras más experiencia en la integración, tu habilidad para hacer esto se incrementará. Por supuesto, una parte clave es la familiaridad que tengas con derivadas.

Page 56: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

56

EJEMPLO 1: Encuentra ∫ + .)2()1( 22 dxxx

Solución: Primero, haz que u sea la función interna, 12 += xu . Después, calcula el diferencial de u que es xdxdu 2= , despejando dx de la expresión de du , tienes xdudx 2/= . Ahora, usando 222 )()1( ux =+ ,

sustituye el cambio de variable para obtener lo siguiente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+ ∫∫ x

duxudxxx2

2.)2()1( 222

duu∫= 2

Cu+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3

3

( ) .131 32 Cx ++=

Si te fijas la intención del cambio de variable es expresar la integral, que es un producto de funciones, en una integral más sencilla, de tal manera que puedas utilizar los teoremas básicos de integración. En este ejemplo con el cambio de variable sugerido se logró expresar el producto de funciones dxxx )2()1( 22 +

como una potencia de funciones duu 2 con la finalidad de utilizar el teorema de integración básico correspondiente. EJEMPLO 2: Encuentra ∫ − .12 dxxx

Solución: Como en el ejemplo anterior, hacemos que u sea la función interna, 12 −= xu , el diferencial de u es dxdu 2= y obtenemos 2/dudx = . Como el integrando contiene un factor de x que no se va a poder cancelar al sustituir dx , también debemos despejar x en términos de u , como sigue:

21

12+

=⇒−=u

xxu .

Ahora, haciendo la sustitución del cambio de variable, obtienes lo siguiente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=− ∫∫ 22

112 2

1 duu

udxxx

x43421

∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += duuu 2

12

3

41

Cuu

+⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+=

23

254

1 23

25

( ) ( ) .1261

12101

23

25

Cxx +−+−=

EJEMPLO 3: Encuentra ∫ dxx

xsen .

Solución: Como el integrando involucra la función trigonométrica xsen el cambio de variable adecuado es

21

uxu == , ya que el denominador del integrando contiene la misma forma del argumento de la función

trigonométrica. De modo que dxxdu 21

21 −= , despejando dx tenemos:

duxduxxdudx 222 2

1

21 ===

−.

Integral en términos de u

Antiderivada en términos de u

Antiderivada en términos de x

Page 57: Calculo Diferencial e Integral II

57

Integral definida

Sustituyendo el cambio de variable obtenemos:

( )duxx

senudxx

xsen∫∫ = 2 ,

duusen∫= 2 ,

Cu+−= cos2 ,

Cx +−= cos2 .

EJEMPLO 4: Encuentra .3cos32 xdxxsen∫

Solución: Como ,)3(3 22 xsenxsen = haz xsenu 3= . Entonces .)3)(3(cos dxxdu = .

Ahora, despejamos dx , obteniendo x

dudx3cos3

= , se sustituyen u y xdu

3cos3 en la integral dada

produciendo lo siguiente:

x

duxuxdxxsen3cos3

3cos3cos3 22 ∫∫ = ,

duu∫= 2

31

,

Cu+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

331 3

,

Cxsen += 391 3 .

EJEMPLO 5: Encuentra ∫ +++ dxex xx 622

)1( .

Solución: En el caso de las funciones exponenciales es recomendable considerar el argumento de la función

exponencial (es decir, todo el exponente) como el cambio de variable u . Así 622 ++= xxu , diferenciando u obtienes: dxxdu )22( += , despeja dx y no olvides considerar el factor común con la finalidad de obtener

un factor igual al factor que tienes en el integrando para que logres la cancelación del mismo, )1(2 +

=xdudx .

Sustituye el cambio de variable en la integral para proceder a integrar bajo algún teorema básico:

.21

,21

,21

;)1(2

)1()1(

62

62

2

2

Ce

Ce

due

xduexdxex

xx

u

u

uxx

+=

+=

=

++=+

++

++

∫∫

Page 58: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

58

EJEMPLO 6: Encuentra ∫ +−+− .

)1644(423

223

2

dxxxx

xx

Solución: En este ejemplo el integrando es un cociente de polinomios específicamente, observa que el denominador del cociente es una potencia, por lo que la sugerencia para el cambio de variable de acuerdo a

los ejemplos anteriores es precisamente xxxu 1644 23 +−= , diferenciando obtienes

dxxxdu )16812( 2 +−= , observa que el diferencial de u es parecido al numerador del cociente del integrando, por lo que al momento de despejar te sugiero que consideres nuevamente el factor común con el objetivo de eliminar ese factor al momento de aplicar la sustitución del cambio de variable. Ahora despejamos

dx de du , )423(4 2 +−

=xx

dudx y sustituimos en la integral:

.)1644(4

1

;41

141

;41

41

;)423(4

423)1644(

423

23

1

22

22

2

223

2

Cxxx

Cu

Cu

duuudu

xxdu

uxxdx

xxxxx

++−

−=

+−=+−

⋅=

==

+−+−

=+−+−

−∫∫

∫ ∫

Con todos estos ejemplos pudiste darte cuenta ya, de los pasos a seguir para llevar a cabo la integración por sustitución. Enseguida te presentamos un resumen de estos pasos. 1.- Elige un cambio de variable )(xgu = . Casi siempre es mejor elegir la parte interna de una función compuesta; digamos, una cantidad elevada a una potencia, una función radical, el argumento de una función trigonométrica o una exponencial cuando éste no es una simple x , etc. 2.- Calcula dxxgdu )('= y despeja de ella dx . 3.- Escribe de nuevo la integral en términos de la variable u sustituyendo el cambio de variable. 4.- Evalúa la integral resultante en términos de .u 5.- De nuevo sustituye u por )(xg para obtener una antiderivada en términos de .x 6.- Si quieres comprobar tu respuesta puedes hacerlo mediante derivación o mediante el uso de la tecnología. (Busca “The Integrator” en el Google).

TAREA 2

Pág. 67

Page 59: Calculo Diferencial e Integral II

59

Integral definida

2.2.2 Integración por partes. Si una integral no puede resolverse por cambio de variable, puedes intentarlo por integración por partes. Este método puede aplicarse a una gran variedad de funciones, es muy útil particularmente para integrandos que incluyen productos de funciones algebraicas o logaritmos que no pueden evaluarse directamente por medio de los teoremas básicos de integración. Por ejemplo, la integración por partes funciona bien para integrales similares a

∫ ,ln xdxx ∫ dxex x2 y ∫ xdxsenex ,

ya que puede transformarlas en una forma estándar. La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto

[ ] '' vuuvdxduv

dxdvuuv

dxd

+=+= ,

donde u y v son funciones diferenciables de x . Si 'u y 'v son continuas, es posible integrar ambos miembros de esta ecuación para obtener

∫ ∫+= vdxudxuvuv ''

∫ ∫+= .vduudv

Al volver a escribir esta ecuación, se obtiene el siguiente teorema:

TEOREMA: Integración por partes. Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces

∫ ∫−= .vduuvudv

EJERCICIO 3 INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando latécnica de cambio de variable y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1 ( )∫ =−−−+− dxxxxxx )5206(10852 2323 6) ∫ =−−

dxxx

x21

2

2) ∫ =dxx

xsen2cos

22

7) ∫ =dtte t

2

1

3) ∫ =+ dxxx 543 8) ∫ =−

dxx

senxcos2

4) ∫ =−− dxxxx 532 )82)(43( 9) ∫ =dxxx

cos1

5) ∫ =− dxxe x22 10) ∫ =dttsent 2

Page 60: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

60

Esta es la fórmula de integración por partes. En esta fórmula se expresa la integral original en términos de otra integral. Con base en las selecciones de u y dv , puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la original. Como la selección de u y dv es importante en el proceso de integración por partes, se proporciona las siguientes recomendaciones: 1. dx siempre forma parte de dv . 2. dv tiene que ser integrable. 3.- Intenta hacer que dv sea la parte más complicada del integrando y que se ajuste a una regla básica de integración. Entonces u será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando. 4.- Intenta hacer que u sea la parte del integrando cuya derivada sea una función más sencilla que u . Entonces dv será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando. En algunos casos puede necesitarse la aplicación de la fórmula de integración por partes más de una vez, como en el ejemplo que se planteará más adelante. EJEMPLO 1: Integración por partes que contiene producto de una función exponencial.

Encuentra ∫ .dxxex

Solución: Para aplicar la integración por partes, es necesario escribir la integral en la forma ∫ .udv Hay

varias formas de hacerlo.

{ ,)()(321

dv

x

u

dxex∫ { ,)()(321

dvu

x xdxe∫ { ,)(143421

dv

x

udxxe∫ {.)()(

dvu

x dxxe∫ 321

De acuerdo con las recomendaciones anteriores, la primera opción parece ser la adecuada, ya que la

derivada de xu = es más sencilla que x , y dxedv x= es la parte más complicada del integrando que se ajusta a una regla básica de integración.

.dxduxu =⇒=

.

tenemosintegrando

x

x

x

ev

dxedv

dxedv

=

=

=

∫ ∫

Ahora la integración por partes produce:

∫ ∫−= vduuvudv

∫ ∫−= dxexedxxe xxx

Cexe xx +−=

.)1( Cxex +−= Factorizamos

Para comprobar el resultado, trata de derivar Cxex +− )1( para ver si obtienes el integrando original. Busca “The Integrator” en el Google si quieres comprobarlo de una manera más rápida. EJEMPLO 2: Integración por partes que contiene producto de una función logarítmica.

Encuentra ∫ .ln2 xdxx

Solución: En este caso es más fácil integrar 2x que xln . Además, la derivada de xln es más simple que

xln . Por consiguiente, debes hacer .2dxxdv =

.1ln dxx

duxu =⇒=

Fórmula de integración por partes

Sustituimos

Integramos

Page 61: Calculo Diferencial e Integral II

61

Integral definida

,3

322 ∫ ==⇒=

xdxxvdxxdv

la integración por partes produce:

∫ ∫−= vduuvudv

∫∫ −= dxx

xxxxdxx 131ln

3ln 3

32

∫−= dxxxx 23

31ln

3

.9

ln3

33

Cxxx+−=

Puedes comprobar este resultado derivando o a través del uso de la tecnología. Si derivas te queda:

.ln3

))((ln139

ln3

22

2333

xxxxxx

xxxxdxd

=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎤⎢⎣

⎡−

EJEMPLO 3: Integración por partes de la función logaritmo natural.

Encuentra .ln dxx∫

Solución: Considera

dxx

duxu 1ln =⇒= ,

.∫ ==⇒= xdxvdxdv

Por tanto, la integración por partes produce:

∫ ∫−= vduuvudv

dxx

xxxdxx ∫∫ −=1lnln

dxxx ∫−= ln

Cxxx +−= ln Cxx +−= )1ln( .

EJEMPLO 4: Uso repetido de la integración por partes.

Encuentra .2 xdxsenx∫

Solución: Los factores 2x y xsen son igualmente fáciles de integrar. Sin embargo, la derivada de 2x es

más sencilla que la de xsen . Por consiguiente, haz 2xu = .

.22 xdxduxu =⇒=

∫ −==⇒= xxdxsenvxdxsendv cos .

Y la integración por partes ∫ ∫−= vduuvudv produce:

∫∫ ++−= 122 cos2cos Cxdxxxxxdxsenx

Fórmula de integración por partes

Sustituimos

Integramos

Simplificamos

Fórmula de integración por partes

Sustituimos

Integramos

Reescribimos

Primera integración por partes

Page 62: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

62

Esta primera aplicación de la integración por partes ha simplificado la integral original, pero la integral del miembro derecho aún no se ajusta a la regla básica de integración. Entonces, para evaluar esa integral puedes aplicar nuevamente la integración por partes. En esta ocasión, haz .2xu =

,22 dxduxu =⇒=

.coscos ∫ ==⇒= xsendxxvdxxdv

La integración por partes produce ahora:

∫ ∫−= senxdxxsenxxdxx 22cos2

.cos22 2Cxxsenx ++= Al combinar estos dos resultados escribimos

.cos22cos22 Cxxsenxxxsenxdxx +++−=∫

Donde C es la suma de 21 CC + .

EJEMPLO 5: Encuentra ∫ dxxex cos .

Solución: Haz xeu = .

,dxedueu xx =⇒=

∫ ==⇒= xsendxxvdxxdv coscos .

Y la integración por partes ∫ ∫−= vduuvudv produce:

1cos Cdxxsenexsenedxxe xxx +−= ∫∫

Aplicando nuevamente la integración por partes:

,dxedueu xx =⇒=

∫ −==⇒= xdxxsenvdxxsendv cos .

[ ],coscos

coscoscos

Cdxxexexsene

Cdxxexexsenedxxexxx

xxxx

+−+=

++−−=

∫∫∫

pasando la integral del miembro derecho de la igualdad hacia el lado izquierdo y factorizando tenemos:

.)cos(

21

)cos(cos2

Cxxsene

Cxxsenedxxe

x

xx

++=

++=∫

EJEMPLO 6: Encuentra ∫ ++ .

1)1ln( dx

xx

Solución:

,1

1)1ln( dxx

duxu+

=⇒+=

∫ +=+=⇒+= −− 21

21

21

)1(2)1()1( xdxxvdxxdv

Segunda integración por partes

Page 63: Calculo Diferencial e Integral II

63

Integral definida

Aplicando el teorema de integración por partes ∫ ∫−= vduuvudv obtienes:

∫ ∫

++−++=

+++

−++=+

+

− ,)1(2)1ln()1(2

,)1(1

12)1ln()1(2

1)1ln(

21

21

21

21

Cxxx

Cxx

xxdxxx

Integrando ésta última integral por cambio de variable obtienes:

.)2)1(ln()1(2

)1(4)1ln()1(22

1

21

21

Cxx

Cxxx

+−++=

++−++=

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TAREA 3

Pág. 69

EJERCICIO 4 INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando latécnica de integración por partes y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1 ∫ =dxxe x2 6) ∫ =− dxex x6

2) ∫ =dxxex cos 7) ∫ =dxx3sec

3) ∫ =dxex x32 8) ∫ =dxxx ln2

4) ∫ =dttt ln 9) ∫ =+ dxxx 1

5) ∫ =dxx 2)3ln( 10) ∫ =dttsen2

Page 64: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

64

¡Ojo! Recuerda que

debes resolver la

autoevaluación y los

ejercicios de

reforzamiento; esto te

ayudará a enriquecer

los temas vistos en

clase.

Page 65: Calculo Diferencial e Integral II

65

Integral definida

INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida de las siguientes funciones usando los teoremas básicos.

1) ∫ =+− dxxx )836( 3

2) ∫ =−− dxxx )4)(45( 2

3) ∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+− dxxx

xx449

312

4) ∫ =− dxx 2)73(

5) ∫ =− dxx 3)15(

6) ∫ =+ dxxex )csc5( 2

7) ∫ =+ dxx )1(

8) ∫ =−++ dxxxxxxsen )cotcscseccos( 2

9) ∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−dx

xxxx

3

45 3254

10) ∫ =++−++−−− dxxxxxxx )123( 3

22

1123

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 1

Page 66: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

66

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Page 67: Calculo Diferencial e Integral II

67

Integral definida

INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida usando la técnica de cambio de variable y verifica el

resultado por diferenciación.

1.- ∫ + dxx )2()21( 4

2.- dxxx )2(9 2 −−∫

3.- ∫ + dxxx 243 )3(

4.- ∫ − dxxx 432 )1(

5.- ∫ + dttt 22

6.- dxxx∫ −3 215

7.- dxxx

∫ − 32 )1(

8.- dxxx

∫ + 23

2

)1(

9.- dxx

x∫

− 21

10.- dttt ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∫ 2

311

1

11.- dxx

senx∫ 3cos

12.- dxxx

∫ 3

2

cotcsc

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 2

Page 68: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

68

13.- ∫ xdxsenππ

14.- ∫ dxsenxx 434

15.- ∫ −− dxxx )1tan()1sec(

16.- dxx

x∫ 2cos

17.- ∫ ++ xxsendx

cos1

18.- ∫ + xsendx

2

19.- ∫ − xxsendx

cos34

20.- ∫ +− xxsendx

cos345

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Page 69: Calculo Diferencial e Integral II

69

Integral definida

INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida usando la técnica de integración por partes y verifica el resultado por diferenciación.

1.- ∫ − dxxe x2

2.- ∫ dttt )ln(

3.- ∫ − dxex x3

4.- ∫ − dxex x)1( 2

5.- ∫ xdxsenx3

6.- ∫ xdxx cos2

7.- dtte t

∫ 2

1

8.- ∫ xdxx 2sec

9.- dxxx∫ − 23)2(2

10.- ∫ xdxx 2cos3

11.- ∫ dxex x22

12.- ∫ − xdxsene x 32

13.- ∫ xdxsenx π4

14.- ∫ xdxx ln3

15.- ∫ + dxxx 4

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 3

Page 70: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

70

16.- ∫ − dxex x2

17.- ∫ − xdx1tan

18.- ∫ + dxxxsen )13(

19.- ∫ dxxsen )(ln

20.- ∫ +dx

xxe x

2

2

)12(

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Page 71: Calculo Diferencial e Integral II

71

Integral definida

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. El resultado de la integral ∫ +− dxxx )135( 2es:

Cxx++− 1

23

35 23

.

Cxxx++−

23

35 23

.

Cxxx++−

23

35 3

.

.35 23 Cxxx ++−

2. El resultado de la integral ∫ =− dxx

x 12

es:

Cx

xx+

−2

3

.

Cx +2 .

Cxx +− ln21 2 .

Cx

xx

+−

2

32

3

.

3. El resultado de la integral ∫ − dxxx )csc(sec 22 es:

Cxxxx ++ cotcsc2tansec2 . Cxx ++ cottan . Cxx +− cottan .

.3

csc3

sec 33

Cxx+−

4. El resultado de la integral ∫ =+ dxx

x 1es:

Cxx ++ 2 .

Cxn + .

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

AUTOEVALUACIÓN

Page 72: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

72

Cx

xx+

+

3

3

32

32

.

.32 3 Cxx ++

5. El resultado de la integral ∫ +++ dxxxx )1234( 23 es:

Cxx +++ 2612 2 . Cxxxx ++++ 234 234 . Cxxx +++ 234 2612 . .234 Cxxxx +++−

6. Para resolver la integral ∫ dxxe x2 es necesario utilizar:

Teoremas básicos de integración directa. Diferenciación. Método de integración por partes. Método de cambio de variable.

7. Para resolver la integral ∫ dxxex2

es necesario utilizar:

Teoremas básicos de integración directa. Diferenciación. Método de integración por partes. Método de cambio de variable.

8. El resultado de la integral ∫ + dxxx 543 por cambio de variable es:

( ) Cx ++ 23

561 4 .

( ) Cx +2334

61

.

( ) Cxx ++ 23

561 43 .

( ) Cxx ++ 23

53 42 .

9. El resultado de la integral ∫ dxxx ln6 por el método de integración por partes es:

Cxxx +− 67

421ln

71

.

Cxx ++ 65

4216 .

Cxxx +− 77

491ln

71

.

Cxxx ++ 77

491ln

71

.

Page 73: Calculo Diferencial e Integral II

73

Integral definida

10. Resultado de la integral ∫ − dxxe x 65 por el método de integración por partes es:

Cexe xx +− −− 6565

251

51

.

Cex x +−652

25

.

Cex x +−552

2.

Cexe xx ++ −− 6565

51

51

.

Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es

necesario que nuevamente repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.

Consulta las claves de

respuestas en la página 103.

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE

Page 74: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

74

Page 75: Calculo Diferencial e Integral II

75

Integral definida

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios. I) Encuentra el resultado de las siguientes integrales mediante el uso de teoremas básicos.

1. ∫ − .)2( 2 dxxxsen

2. ∫ −+ .)1(sec2 dxxx

3. ∫ .6dx

4. ∫ +−

.9812

dxx

x

5. ∫−+−

.752

3

23

dxx

xxx

II) Encuentra las siguientes integrales por partes, verifica tu respuesta a través de diferenciación.

1. ∫ .32 xdxsenx

2. ∫ .2cos2 xdxx

3. ∫ + .)( 2 dxex x

4. ∫ .)cos(ln dxx

5. ∫ − .2 dxxx

III) Encuentra las siguientes integrales por cambio de variable, verifica tu respuesta a través de diferenciación.

1. ∫ .cos3 32 dxxx

2. ∫ − .)4( 72 dxxx

3. .)3( 103

2

dtt

t∫ −−

4. ∫−

.41

dxx

5. ∫ − .2 dxxx

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

Page 76: Calculo Diferencial e Integral II

Cálculo integral II

76

Page 77: Calculo Diferencial e Integral II

UUnniiddaadd 33 TTeeoorreemmaa

ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass

aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall

ddeeffiinniiddaa.. Objetivos:

El alumno: Aplicará la integral definida y el teorema fundamental del cálculo a la solución de problemas de área bajo una gráfica en situaciones de aplicación de las ciencias naturales y sociales; a partir del conocimiento de las propiedades de la integral definida; mostrando una actitud analítica, reflexiva y colaborativa.

Temario: • La integral definida y sus

propiedades. • El teorema fundamental del

cálculo y sus aplicaciones. • Aplicaciones de la integral

definida.

Page 78: Calculo Diferencial e Integral II

78

Cálculo integral II

Mapa Conceptual de Unidad

Integral definida y el teorema

fundamental del cálculo

Aplicaciones

Cálculo de áreas Ciencias naturales, sociales y

administrativas

Se usan para

En problemas de

Page 79: Calculo Diferencial e Integral II

TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa

79

IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA..

3.1.1. Integral definida como el área bajo una curva.

Dos problemas, ambos geométricos, motivaron las dos más grandes ideas del cálculo. El problema de la tangente nos condujo a la derivada. El problema del área nos llevará a la integral definida.

Por ejemplo si queremos calcular el área bajo la función 3)( =xf en el intervalo

comprendido entre 0=x y 4=x como se muestra en la siguiente figura: Como te puedes dar cuenta el área a la que se hace referencia, es el área de un rectángulo de largo 4 unidades y ancho 3 unidades, por lo que su área entonces es de 12 u2 .

De la misma manera el área bajo la función xxf =)( en el intervalo

comprendido entre 0=x y 6=x de acuerdo a la figura.

33..11..

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Page 80: Calculo Diferencial e Integral II

80

Cálculo integral II

El área correspondiente del triángulo es 218

2)6)(6(

2))(( uhbA === .

En el caso de estos ejemplos surgieron figuras de polígonos cuya fórmula para calcular el área de cada uno de ellos es conocida. Sin embargo si queremos

calcular el área bajo la función 2)( xxf = entre 0=x y 2=x ,

Como puedes observar el área sombreada bajo la curva ya no es un polígono conocido del cual conozcas su fórmula para calcular el área. El problema de asignar el área bajo una curva como en la figura anterior requiere de otras herramientas, tales como aproximar el área bajo la curva mediante rectángulos. Dicha aproximación puede ser considerada por rectángulos circunscritos (es decir, rectángulos por encima de la curva) o por rectángulos inscritos (rectángulos por debajo de la curva). Por ejemplo si consideramos el rectángulo por encima de la curva de base 2 y altura 4 como se observa en la figura: El área aproximada sería de 8 u2, que obviamente no es una buena aproximación al área sombreada debido a que es mayor. Ahora si dividimos el intervalo de 0 a 2 en dos subintervalos de longitud 1, entonces tendríamos dos rectángulos de base 1 cada uno, pero ahora consideremos también alturas diferentes para cada uno tales

como )1(f y )2(f , es decir, como 2)( xxf = entonces las alturas de los

rectángulos son 1)1()1( 2 ==f y 4)2()2( 2 ==f respectivamente.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

Page 81: Calculo Diferencial e Integral II

TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa

81

Observa que las alturas de los rectángulos que están por encima de la curva corresponde a la función evaluada en el extremo derecho de cada subintervalo. Por lo tanto el área correspondiente es la suma de las áreas de ambos rectángulos, esto es,

25)1)(4()1)(1(

)1)(2()1)(1(

u

ffA

=

+=+=

Como te puedes dar cuenta la aproximación del área es mejor que en el caso anterior. Luego entonces, si este procedimiento lo continuamos haciendo la aproximación al área va a ser cada vez mejor, es decir, si dividimos el intervalo de 0 a 2 en n (donde n puede tomar cualquier entero positivo) subintervalos, entonces

el área del i-ésimo rectángulo (cuya base es el subintervalo con extremos ii xx ,1− ,

con longitud 1−−=∆ ii xxx y altura )( ixf ), está dada por:

xxfA i ∆= )( . De tal manera que el área aproximada es la suma (que

denotaremos con la letra griega sigma, ∑ ) de las áreas de los n rectángulos, y la expresamos por:

∑ =∆= n

i i xxfA1

)( .

Por ejemplo si el intervalo de 0 a 2 lo dividimos en 6=n subintervalos, entonces

cada rectángulo tendría base de longitud igual a 31

, (ya que el intervalo es de

longitud 2, dividido en 6 partes resultan 6 subintervalos de longitud un tercio) como lo muestra la Figura 3.2.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

Fig. 3.2 Aproximación del área bajo la curva por rectángulos circunscritos.

Page 82: Calculo Diferencial e Integral II

82

Cálculo integral II

Entonces el área aproximada de acuerdo a la expresión anterior es:

.3703.32791

2736

2725

2716

279

274

271

31

936

31

925

31

916

31

99

31

94

31

91

31

36

31

35

31

34

31

33

31

32

31

31

2u

ffffffA

==+++++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Como se esperaba la aproximación es mejor que las anteriores. Ahora imagínate que podemos dividir el intervalo en una infinidad de subintervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes, e inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la altura sería ahora la función evaluada en el extremo izquierdo de cada subintervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el contexto de límite, tal como se hizo con la derivada. Es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva (ver Fig. 3.2) como por encima de la misma es:

∑=∞→∆=

n

i inxxfÁrea

1.)(lim

Esto es, cuando aproximamos un área por rectángulos inscritos y circunscritos las sumas de las áreas de los rectángulos tanto por debajo de la curva como por encima de la misma, coinciden en un valor. Pero obviamente este procedimiento es muy engorroso llevarlo a cabo cada vez que quieras calcular el área bajo una curva. Por tal razón es preciso introducir una definición que nos facilitará el cálculo, dicha definición es la de integral definida.

Es preciso aclarar que la definición anterior es hasta cierto punto muy intuitiva, si tienes oportunidad de consultar un libro de cálculo de nivel superior te darás cuenta que para comprender bien el concepto de integral definida, se requiere de definiciones más elaborados tales como sumas de Riemann, particiones irregulares, etc. Para nuestro fin es suficiente la anterior definición. Es importante notar que las integrales definidas y las indefinidas son identidades diferentes. Una integral definida es un número mientras que una integral indefinida es una familia de funciones.

Definición de una integral definida Si f está definida en el intervalo cerrado [a,b] y existe el límite

∑=→∆∆

n

i ii xcf10

)(lim

entonces f es integrable en [a,b] y el límite se denota por

.)()(lim10 ∫∑ =∆=→∆

b

a

n

i ii dxxfxcf

El límite se llama integral definida de f de a a b. El número a es el límite inferior de integración; el b es el límite superior.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

Fig. 3.2 Área por debajo de la curva mediante rectángulos inscritos.

Page 83: Calculo Diferencial e Integral II

TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa

83

De la misma forma que en las derivadas, existen teoremas que nos permiten calcularla de manera práctica y sencilla, en el caso de la integral definida también se cuenta con herramientas que facilitan su cálculo, tal es el caso del teorema Fundamental del Cálculo integral, el cual enunciamos a continuación.

TTEEOORREEMMAA FFUUNNDDAAMMEENNTTAALL DDEELL CCÁÁLLCCUULLOO..

En el semestre pasado estudiaste cálculo diferencial, introducido con el problema de la recta tangente, y hasta ahora el cálculo integral, introducido con el problema del área. En este punto, ambos problemas parecen no estar relacionados, pero existe una conexión muy cercana. Esa conexión se expresa en un teorema que con toda propiedad se llama Teorema Fundamental del Cálculo. De modo informal, el teorema señala que la derivación e integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación.

Cuando se define la pendiente de una recta tangente se usa el cociente xy∆

∆ (la

pendiente de la recta secante). De igual modo, cuando se define el área de una región bajo una curva se utiliza el producto

xy∆∆ (el área de un rectángulo). El teorema fundamental del cálculo expresa que los procesos para hallar límites (usados para definir la derivada y la integral definida) conservan esta reacción inversa. Las siguientes directrices pueden ayudarte a entender el uso del teorema fundamental del cálculo. 1.- Asegúrate de que sea posible encontrar una antiderivada de f; entonces tiene una forma de evaluar una integral definida sin tener que usar el límite de una suma. 2.- Cunado apliques el Teorema Fundamental del Cálculo, es conveniente usar la siguiente notación:

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==∫

Por ejemplo, para evaluar ,3

13dxx∫ puedes escribir

.20480

41

481

41

43

4

443

1

43

13 ==−=−==∫

xdxx

3.- No es necesario incluir una constante de integración C en la antiderivada, ya que

[ ]∫ +=b

a

b

aCxFdxxf )()(

[ ] [ ]CaFCbF +−+= )()(

)()( aFbF −= .

33..22..

TEOREMA: Teorema Fundamental del Cálculo. Si una función f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y F es una antiderivada de f sobre el intervalo [a,b], entonces

∫ −=b

aaFbFdxxf ).()()(

Si quieres saber acerca de la demostración de este teorema consulta en Internet la página http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/

Page 84: Calculo Diferencial e Integral II

84

Cálculo integral II

EJEMPLO 1: Evaluación de una integral definida. Evalúa cada integral definida utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

a) ∫ −2

12 )3( dxx b) dxx∫

4

13 c) xdx∫ 4

02sec

π

Solución:

a) .323

316

38)1(3

31)2(3

323

3)3(

332

1

2

1

32 −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−=−∫ xxdxx

b) .14)1(2)4(22

3333 2

32

3

4

1

23

4

12

14

1=−=

⎥⎥

⎢⎢

⎡== ∫∫

xdxxdxx

c) .101tansec 40

40

2 =−==∫ππ

xxdx

d) [ ] .77.12277.14)(2)(2222 0220

2

0

2

0=−=−=== ∫∫ eeedxedxe xxx

e) ( ) .08.2208.4101

11

1ln

111

1

11 1 22

2

=−=++−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−+∫ ∫

ee

xxxdx

xxdx

xxx

ee e

En el ejemplo (c) es importante aclarar que al momento de evaluar la integral, debes verificar que tu calculadora esté programada en radianes. En los ejemplos subsecuentes haremos uso del Teorema Fundamental del Cálculo a la solución de problemas de cálculo de áreas. EJEMPLO 2: Para encontrar el área que comprende un valor absoluto.

Evalúa ∫ −2

0,12 dxx utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

Solución: Si usas la figura y la definición de valor absoluto, puedes escribir de nuevo el integrando como sigue:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<−−=−

21,12

21),12(

12xx

xxx .

Ahora puedes escribir de nuevo la integral en dos partes.

∫ ∫ ∫ −+−−=−2

02

1

0

2

21 )12()12(12 dxxdxxdxx

[ ] [ ] 2

21

22

1

0

2 xxxx −++−=

( ) ( ) ⎟⎟

⎜⎜

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−++−⎟

⎜⎜

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

21

21

)22()00(21

21

222

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−++−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

21

41

)24()00(21

41

.25

=

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

Fig. 3.3 La integral definida de y=|2x-1| sobre [0,2] es 5/2.

Page 85: Calculo Diferencial e Integral II

TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa

85

La Figura 3.3 muestra el área determinada por la función y las rectas verticales que es de 5/2. EJEMPLO 3: Para encontrar área comprendida por una función polinomial.

Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de ,232 2 +−= xxy el

eje x y las rectas verticales 0=x y 2=x , como se muestra en la Figura 3.4. Solución: Observe que y>0 sobre el intervalo [0,2].

∫ +−=2

0

2 )232( dxxxÁrea

2

0

23

22

33

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= xxx

( )000463

16+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

.3

10=

EJEMPLO 4: Para encontrar área comprendida por una función lineal. Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de xy = el eje x y las rectas verticales 2−=x y 0=x , como se muestra en la Figura:

Solución: Observa que 0<y (es decir, está por debajo del eje de las x ) sobre el intervalo [-2,0].

∫−=0

2dxxÁrea

0

2

2

2−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

x

( ) .2220

−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Como te puedes dar cuenta el resultado de la integral es negativo, esto se debe a que el área sombreada se encuentra por debajo del eje x . Evidentemente el área de una región no puede ser negativa, el signo (-) resultante de una integral definida, nos indicará gráficamente que el área bajo la curva se encuentra por debajo del eje x .

Integra entre 0 y 2

Encuentra la antiderivada

Aplica el teor. fundamental

Simplifica

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

Fig. 3.4 El área de la región acotada por la gráfica de y, el eje x, x=0 y x=2, es 10/3.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Integra entre -2 y 0

Encuentra la antiderivada

Aplica el Teor. Fundamental

Page 86: Calculo Diferencial e Integral II

86

Cálculo integral II

EJEMPLO 5: Para encontrar área comprendida por una función lineal. Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de xy = el eje x y las rectas verticales 2−=x y 2=x . Solución:

∫−=2

2dxxÁrea

2

2

2

2−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

x

( ) ( ) .022 =−= Elabora la gráfica correspondiente para que te des cuenta de por qué el resultado del área es cero. Como pudiste observar en los ejemplos anteriores las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o cero. Para que una integral definida pueda interpretarse como un área, la función f debe ser continua y no negativa sobre [a,b], como se indica en el siguiente teorema. (La demostración de este teorema no se hará aquí, pero es muy clara, simplemente hay que usar la definición de área que se dio en la subsección anterior). Como un ejemplo del teorema anterior, considera la región acotada por la gráfica

de 24)( xxxf −= y el eje x , como se muestra en la Figura 3.5. En virtud de que

f es continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [0,4], el área de la región es

∫ −=4

0

2 .)4( dxxxÁrea

En la siguiente sección estudiaremos una técnica directa para evaluar una integral definida como ésta. Sin embargo, ahora puedes evaluar la integral definida en dos formas: puedes usar la definición de límite o puedes comprobar si la integral definida representa el área de una región geométrica común, digamos, de un rectángulo, un triángulo o un semicírculo. EJEMPLO 8: Áreas de figuras comunes y la integral definida. Traza la región correspondiente a cada integral definida. Después evalúe cada una de las integrales usando una fórmula geométrica.

∫3

14) dxa ∫ +

3

0)2() dxxb dxxc ∫− −

2

2

24)

TEOREMA: La integral definida como el área de una región. Si f es continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales ax = y bx = está dada por

∫=b

adxxfÁrea .)(

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

ic

Fig. 3.5. El área de la región acotada está dada por �

Page 87: Calculo Diferencial e Integral II

TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa

87

Solución: En la Figura 3.6 se muestran los dibujos de cada región. a) Esta región es un rectángulo de alto 4 y ancho 2.

.8)2(443

1∫ ==×= hbdx

b) Esta región es un trapecio de alto 3 y bases paralelas de longitudes 2 y 5.

La fórmula del área de un trapecio es ).(21

21 bbh +

.221

)52)(3(21

)(21

)2( 21

3

0=+=+=+∫ bbhdxx

c) Esta región es un semicírculo de radio 2. La fórmula del área de un

semicírculo es 2

21 rπ

.2)2(21

21

4 2.22

22 πππ ===−∫− rdxx

Como ya mencionamos anteriormente, cada vez que quieras calcular un área mediante una integral definida, no es necesario hacer este tipo de procedimientos, basta con aplicar algunas de las técnicas de integración directa de la integral definida.

1. ∫1

02xdx

2. ∫− −0

1)2( dxx

3. ∫7

23dv

4. ∫− −1

12 )2( dtt

5. dvv∫−3

33

1

6. ∫ −3

032 dxx

EJERCICIO 1 INDIVIDUAL Evalúa la integral definida de la función algebraica. Emplea un instrumento graficador para verificar tu resultado.

Visita el sitio:

The Integrator, es el

sitio indicado para

resolver una integral en

cuestión de segundos,

es ideal para verificar si

nuestras respuestas

son correctas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

yy = 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

x

yy = x+2; 0.000000 <= x <= 3.000000

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Fig. 3.6. a) b) c)

Page 88: Calculo Diferencial e Integral II

88

Cálculo integral II

7. dxx∫

8

1

2

8. ∫ −3

02 4 dxx

9. duu

u∫−

− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

1

2 2

1

10. ∫ −2

0)2( dttt

TAREA 1

Página 95.

Page 89: Calculo Diferencial e Integral II

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89

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

Existen muchas situaciones donde la cantidad que queremos calcular puede ser expresada como una integral definida. Típicamente esto puede suceder cuando la cantidad a calcular puede ser aproximada mediante la división de pequeños rectángulos, resolviendo el problema aproximadamente para cada uno de esos rectángulos, y entonces sumar esas aproximaciones. Esto es lo que hemos visto a lo largo del desarrollo de este capítulo. Esta sección tiene como objetivo aplicar la teoría vista en relación a la integral definida en disciplinas como Física, Geometría, Economía, etc. EJEMPLO 1: Un problema de Ciencias Sociales. La densidad de población de Ringsburg está en función de la distancia del

centro de la ciudad: a r millas del centro, la densidad es )(rfP = gentes por milla cuadrada. Ringsburg tiene un radio de 5 millas. Escribe una integral definida que exprese el total de la población de Ringsburg. Solución: Queremos hacer la partición del poblado de Ringsburg y estimar la población en cada pieza resultante de la partición. Si tomamos la partición de la región en línea recta, la densidad de la población podría variar en cada una de las piezas resultantes, ya que ésta depende de la distancia del centro de la ciudad. Queremos que la densidad de la población sea lo más cercanamente constante en cada una de las piezas, tal que sea posible estimar la población multiplicando la densidad y el área juntas. Por lo tanto tomamos piezas que son anillos delgados alrededor del centro, a una distancia constante del mismo (ver Figura 3.7), ya que el anillo es muy delgado, podemos aproximar su área enderezando el anillo como si fuera un rectángulo delgado. (Ver Fig. 3.8) El ancho del rectángulo es r∆ millas, y su longitud es aproximadamente igual al anillo de la circunferencia, rπ2 millas, entonces su área es aproximadamente

rr∆π2 mi2. De esta manera, La densidad de población ≈Densidad∗Área.

Así Población del anillo

)(( rf≈ rrmigentes ∆π2)(/ 2 rrrfmi ∆⋅= π2)()2 .gentes Sumando sobre todos los anillos, tenemos

Población total ∑ ∆≈ rrrf )(2π .gentes Como la suma se aproxima a la integral, entonces

Población total ∫=5

0)(2 drrrfπ .gentes

EJEMPLO 2: Un problema de población. Encontrar la población total en Ringsburg del ejemplo 1 si la densidad de población en la milla r está dada por

.170)( 05.1 genteserfP r==

Solución: Usando el resultado del ejemplo previo, tenemos

33..33..

Fig. 3.7. Ringsburg. Cada pieza tiene un ancho de �y un largo de �

Fig. 3.8. Anillo de Ringsburg.

Page 90: Calculo Diferencial e Integral II

90

Cálculo integral II

Población total [ ]∫=5

005.11702 drer rπ .gentes

[ ][ ]

.90.294,969)838.9680()838.9684.5086(566.190

838.96828.1017

05.128.1017

05.1340

340

5

0

05.1

5

0

05.105.1

5

005.105.1

5

005.1

gentes

re

ere

drere

drre

r

rr

r

=−−−=

−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

=

∫π

π

EJEMPLO 3: Un problema de volumen. Calcula el volumen, en pies cúbicos, de la gran pirámide de Egipto, cuya base es un cuadrado de 755 pies y su altura es de 410 pies; cuyo volumen esta dado por la expresión

∑∑ ∆⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆= hhhsV

22 )410(

410755 .3pies

Solución: Primero determinaremos de donde salió esa expresión del volumen. La pirámide está construida de una serie de capas que inician desde la base de la misma. Cada capa tiene una base cuadrada con un alto que denotaremos como h∆ , por supuesto esta altura es muy pequeña para cada capa de la pirámide. La primera capa, la de la base, es una losa cuadrada de 755 pies por 755 pies por h∆ pies. Como nos movemos a lo alto de la pirámide, las capas tienden a ser más cortas en longitud. Sea s la longitud de la base, entonces el

volumen de cada capa es aproximadamente hs ∆2 3pies , donde s varía de 755 pies desde la capa de la base hasta 0 pies para la capa de la punta. El volumen total de la pirámide es la suma de todos los volúmenes de las losas,

hs ∆2. Ya que cada capa es tiene una altura diferente h , debemos expresar s

como una función de h tal que cada término de la suma dependa solamente de h . Si hacemos un corte de la pirámide a lo largo de su alto desde la base hasta la punta , obtenemos la sección triangular dada en la Figura 3.9. Por semejanza

de triángulos, tenemos 410)410(

755hs −= . De esta manera

)410)(410/755( hs −= , y el volumen total, V , es aproximadamente

∑∑ ∆⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆≈ hhhsV

22 )410(

410755 .3pies

Como el grosor de cada capa tiende a cero, la suma da la integral definida. Finalmente, ya que h varía de 0 a 140, la altura de la pirámide, tenemos

Fig. 3.9. Corte vertical de la pirámide donde se relaciona �y �. � es el grosor de una pieza horizontal de la pirámide.

Page 91: Calculo Diferencial e Integral II

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91

∫∫ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

410

0

222

410

0)410(

410755410(

410755 dhhdhh

h

h

)410()755(31)410(

410755

31

3)410(

410755 23

2410

0

32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎤⎢⎣

⎡ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

h

7867.416,903,77 ≈= millones 3pies . EJEMPLO 4: Calculando el trabajo hecho. Una cadena uniforme de 28 m de largo que tiene una masa de 20 kg está colgando del techo de un edificio. ¿Qué tanto trabajo se requiere aplicar para jalar la cadena hasta el techo del edificio? Solución: Ya que la masa de la cadena es 20 kg, su peso es (20 kg)(9.8 m/seg2) =196 newtons, puede parecer que la respuesta sería (196 newtons)( 28 m)=5488 joules. Pero recuerda que no toda la cadena se tiene que mover los 28 m, los eslabones que están cerca del techo se mueven menos.

Dividamos entonces la cadena en pequeñas secciones de longitud y∆ , cada

una de ellas pesa 7 y∆ newtons. (Una longitud de 28 m pesa 196 newtons, así 1

m pesa 7 newtons). Si y∆ es pequeña, todas las secciones de la cadena serán jaladas aproximadamente la misma distancia, llamemos y , a la fuerza de

gravedad que va en contra de la fuerza de 7 y∆ newtons. De esta manera, el trabajo hecho sobre una de las secciones pequeñas de la cadena es aproximadamente:

y∆7( ynewtons)( )metros yy∆= 7 .joules

Como y∆ tiende a cero, obtenemos la integral definida. Ya que y varía de 0 a 28 m, el trabajo total realizado es

274427)7(

28

0

228

0=== ∫ ydyyW .joules

EJEMPLO 5: Aplicando la integral definida en economía. Encontrar el valor presente y el futuro de una entrada constante de $100 dólares por año sobre un período de 20 años, asumiendo una tasa de interés del 10% compuesto continuamente. Solución: El valor presente, $P, de un pago futuro $B, es la cantidad que debería ser depositada al día de hoy en una cuenta bancaria para producir exactamente $B en la cuenta a un tiempo pertinente en el futuro. La expresión del valor presente cuando el interés es compuesto y continuo está expresado por

Valor ,)(0

dtetPpresente rtT −∫=

donde r es la tasa de interés compuesto, t es el tiempo y B es la cantidad depositada. Por otro lado el valor futuro, $B, de un pago $P, es la cantidad que debería crecer si es depositada en una cuenta bancaria a un cierto interés en un tiempo pertinente. La expresión del valor futuro cuando el interés es compuesto y continuo está expresado por

Valor .)( )(

0dtetPfuturo tTrT −∫=

Page 92: Calculo Diferencial e Integral II

92

Cálculo integral II

Valor presente .66.864$)1(10001.0

100100 220

0

20

0

1.01.0 ≈−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−== −

−−∫ eedte

tt

Valor futuro ∫ ∫ −− ==20

0

20

0

1.02)20(1.0 100100 dteedte t

.06.6389$)1(10001.0

100 2220

0

1.02 ≈−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

eeeet

EJEMPLO 6: Un problema en economía. ¿Cuál es la relación entre el valor presente y el valor futuro del ejemplo previo? Explica tu respuesta. Solución: Ya que

el valor 66.864$)1(1000 2 ≈−= −epresente y

el valor .06.6389$)1(1000 22 ≈−= −eefuturo Puedes ver que el valor futuro es

valor valorfuturo (= .) 2epresente La razón de esto es que el monto a pagar es equivalente a un pago inicial de $864.66 a un tiempo .0=t Con una tasa de interés del 10%, en 20 años ese monto habrá crecido a un valor futuro de

.02.6389$66.86466.864 2)20(1.0 ≈=== eePeB rt EJEMPLO 7: Un problema de fabricación. Un fabricante hace un orificio a través del centro de una esfera metálica de 5 pulgadas de radio. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del anillo metálico resultante? Solución: Puedes imaginar el anillo como si fuera generado por un segmento del

círculo cuya ecuación es 2522 =+ yx , como se ilustra en la Figura 3.10. En

virtud de que el radio del orificio es 3 pulgadas, puedes hacer 3=y y resolver la

ecuación 2522 =+ yx para determinar que los límites de integración son

4±=x . Por consiguiente, los radios interior y exterior son 3)( =xr y 225)( xxR −= y el volumen se obtiene por

( ) ( ) ( ) dxxdxxrxRVb

a ∫∫ − ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=−=

4

4

22222 )3(25])()([ ππ

∫− −=4

4

2 )16( dxxπ

4

4

3

316

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

xxπ

.lg3

256 3adaspuπ=

Fig. 3.10. Región plana que se hace girar sobre el eje x para formar el sólido que se va a retirar de la esfera.

Page 93: Calculo Diferencial e Integral II

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93

1.- Volumen de un tanque de combustible. Un tanque colocado en el ala de un avión jet se forma al hacer girar la región limitada por la gráfica de

xxy −= 281 2

y el eje x alrededor del mismo eje, (vea la Figura 3.11), donde

x y y están expresados en metros. Calcula el volumen del tanque. 2. Una cadena de 20 pies de longitud y peso de 5 libras por pie, yace enrollada en el piso. ¿Cuánto trabajo se necesita para levantar un extremo de la cadena a una altura de 20 pies de manera que quede extendida por completo?

3. Una función de costo marginal está definida por 483)(' 2 ++= xxxc , y el costo fijo es de $6.00. Determina:

a) La función costo total correspondiente.

b) El costo total dentro de los primero 3 años.

c) ¿Cuál es el costo total entre el segundo y quinto año?

4. para un artículo particular, la función de ingreso marginal es xxi 415)(' −= . Si x son las unidades demandadas. Determina:

a) La función ingreso total.

b) ¿Cuál es el ingreso total dentro de los primeros cinco años?

c) ¿Cuántas unidades demandadas se requieren para que el ingreso total sea máximo?

d) ¿Cuál es el máximo ingreso?

EJERCICIO 2 INDIVIDUAL Resuelve los siguientes problemas de aplicación de la integral definida.

Fig. 3.11 Tanque de combustible.

TAREA 2

Página 97.

Page 94: Calculo Diferencial e Integral II

94

Cálculo integral II

¡Ojo! Recuerda que

debes resolver la

autoevaluación y los

ejercicios de

reforzamiento; esto te

ayudará a enriquecer

los temas vistos en

clase.

Page 95: Calculo Diferencial e Integral II

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95

INSTRUCCIONES: Evalúa las siguientes integrales definidas mediante el teorema fundamental del cálculo.

Recuerda usar los diferentes métodos de integración. Entra a la página http://integrals.wolfram.com para comprobar tus respuestas.

1. ∫− +1

132 )1( dxxx

2. ∫ +2

132 12 dxxx

3. dxx∫+

4

0 121

4. dxxx∫

+

9

1 2)1(1

5. ∫ −−2

12)1( dxxx

6. dxx

∫ 20 3

2cos

π

7. ∫− +4

232 )8( dxxx

8. dxx∫− 2

2cos

π

π

9. dxxsenx∫− 2

2cos

π

π

10. dxxxsen∫2

02 2cos2

11. dxx

x∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

4

0 2)1(

12. ∫− −−−1

122 )]1()1[( dxxx

13. dxxx

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−6

03

6)2(4

14. dxx

xx

∫⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

3

2

3

33

15. ∫− +−++2

22 )]52()12[( dxxxx

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente Fecha

TAREA 1

Page 96: Calculo Diferencial e Integral II

96

Cálculo integral II

16. dxxx∫ −−−1

03 )]1()1[(

17. ∫ −−3

03 ]0)(3[ dxxx

18. ∫ ++−−+−6

022 )]32()34[( dxxxxx

19. dxxx∫ −1

032 ][

20. ∫ −−6

02 ]0)6[( dxxx

21. ∫ 40

3secπ

dxx

22. ∫ 2

4

π dxxsen

23. ∫e

dxxx

1

2)(ln

24. ∫−4

4cot

π

π dxx

25. ∫2ln

1dxxex

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Page 97: Calculo Diferencial e Integral II

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97

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicación.

1. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la

función )(xf describe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el

mercado por primera vez. Se sabe que 9002700)( += xxf si 50 ≤≤ x . Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro años.

2. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la

máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de )(xf pesos al año donde xxf 50001000)( += .

a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?

b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola?

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente Fecha

TAREA 2

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio http://dieumsnh.gfb.umich.mx/INTEGRAL/ http.//www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm

Page 98: Calculo Diferencial e Integral II

98

Cálculo integral II

Page 99: Calculo Diferencial e Integral II

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99

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo el valor de la integral definida ∫− +−3

1

2 )63( dxxx es:

54 48 45 84

2. El resultado de la integral definida ∫π

0cos dxx

0 1 existeNo 1−

3. Determina el área de región comprendida entre la función )()()( xgxfxh −= , donde 1)( 2 −= xxf y 23)( −−= xxg , y las rectas 30 == xyx .

6 57 5.25 18

4. La función de costo marginal de un fabricante es 26.0)( += qqCM . Si la producción actual es 80=q unidades por semana, ¿cuánto más costará (en dólares) incrementar la producción a 100 unidades por semana.

100,2$ 520,1$ 120,1$ 280,5$

5. Índice de severidad. En un análisis de la severidad en el tránsito, Shonle considera cuánta aceleración puede tolerar una persona en un choque sin que se presenten en ella lesiones serias. El índice de severidad se define como sigue:

dtseveridaddeíndiceT

∫=0

25

α ,

Donde α se considera una constante implicada con la aceleración media ponderada y T es la duración del choque. El índice de severidad es:

T25

α

Tα25

T52

α Tα

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

AUTOEVALUACIÓN

Page 100: Calculo Diferencial e Integral II

100

Cálculo integral II

6. El resultado de la integral definida ∫− −4

4dxx es:

0 16− 8 8−

7. Para que la integral definida pueda ser interpretada como un área, es decir, que el valor de la integral sea

positivo. La función f en el intervalo [a,b] debe ser:

negativayContinua .

positivayaDiscontinu .

negativayaDiscontinu .

positivayContinua .

8. Dentro de las propiedades de la integral definida, la integral ∫b

adxxf )( es igual a:

∫−b

adxxf )(

∫−a

bdxxf )(

∫−

b

adxxf )(

∫ −b

adxxf )(

9. Dentro de las propiedades de la integral definida, la integral ∫a

adxxf )( es igual a:

existeNo a 0 )(xf

10. El resultado de la integral definida ∫ +6

1

2 32 dxxx es:

338

03.157

338

370

Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.

Consulta las claves de

respuestas en la página 103.

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE

Page 101: Calculo Diferencial e Integral II

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101

INSTRUCCIONES: Resuelve las siguientes integrales y problemas, y preséntalos a tu profesor.

I. Evalúa las siguientes integrales.

1. ∫− +2

2)54( dxx

2. ∫− +π

π2

)(cos dxxsenx

3. ∫ −5

3 21

dxx

4. ∫e

dxx1

ln

5. ∫3

1 2

1

dxxe x

6. ∫ +2

0 cos1

πdx

xxsen

7. ∫ +6

322 )(cos dxxsenx

II. Resuelve los siguientes problemas.

1. Para cierta población supongamos que la función )(xl representa el número de personas que alcanzan la edad x en cualquier año. Esta función se llama función de la tabla de vida. Bajo

condiciones apropiadas, la integral ∫+nx

xdttl )( da el número esperado de gente en la población

que tiene exactamente nxyx + , inclusive. Si xxl −= 100000,10)( , determina el número de gente que tiene exactamente entre 36 y 64 años inclusive. Da tu respuesta al entero más cercano, ya que respuestas fraccionarias no tienen sentido.

2. En un estudio sobre mutación genética, aparece la siguiente integral dxx∫− −410

02

1. Evalúa la

integral. 3. El economista Pareto ha establecido una ley empírica de distribución de ingresos superiores que

da el número N de personas que reciben x o más dólares. Si BAx

dxdN −−= , donde A y B

son constantes, encuentra una expresión que te represente el número total de personas que reciben 100$ o más dólares.

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

Page 102: Calculo Diferencial e Integral II

102

Cálculo integral II

Page 103: Calculo Diferencial e Integral II

103

UNIDAD 1

UNIDAD 2

UNIDAD 3

1. A 2. C 3. A 4. B 5. A 6. D 7. A

1. B 2. C 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D 8. A 9. C 10. A

1. B 2. A 3. C 4. C 5. A 6. A 7. D 8. B 9. C 10. A

Claves de Respuestas

Page 104: Calculo Diferencial e Integral II

104

Recuerda que tienes que ordenar los conceptos alfabéticamente. (a...z)

Glosario

Page 105: Calculo Diferencial e Integral II

105

GONZALEZ Cabrera Víctor M. “Cálculo 4000”, Ed. Progreso, S.A. de C.V. 1997.

HAEUSSLER Ernest, JR.- PAUL Richard S. “Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida”, Ed. Prentice-Hall. 1997.

HOWARD Antón. “Calculus with analytic geometry”, John Wiley & Sons, Inc. 1980.

HUGHES-Hallet Deborah-GLEASON Andrew M. “Calculus”, John Wiley & Sons, Inc. 1994.

LARSON Ron - HOSTETLER Robert P. “Cálculo diferencial e integral”, McGraw-Hill Interamericna. 2002.

-http://www.tahc.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag1.htm -http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2 -http://www.matharticles.com

Bibliografía General