1. C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Francisco Javier Prez Gonzlez Departamento de Anlisis Matemtico Universidad de Granada

2. ILicencia. Este texto se distribuye bajo una licencia Creative Commons en virtud de la cual se permite: Copiar, distribuir y comunicar pblicamente la obra. Hacer obras derivadas.Bajo las condiciones siguientes: BY: Reconocimiento. Debe reconocer los crditos de la obra de la manera especicada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra). $No comercial. No puede utilizar esta obra para nes comerciales.C Compartir bajo la misma licencia. Si altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada, slo puede distribuir la obra generada bajo una licencia idntica a sta.Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 3. Indice general Prlogo XVI Guas de lecturaXX1. Axiomas de . Principio de induccin1 1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Axiomas, deniciones, teoremas, lemas, corolarios. . . . . . . . . . . .1 1.2. Axiomas de los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2.2.1. Relacin de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Desigualdades y valor absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3.1. La forma correcta de leer las matemticas . . . . . . . . . . 71.2.3.2. Una funcin aparentemente caprichosa . . . . . . . . . . . .81.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Principio de induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1. Nmeros y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. . . . 26II 4. ndice generalIII 1.4.1.1. La razn urea y el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1.2. Medimos con nmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.2. Hacer matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.3. Algunas razones para estudiar matemticas . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Captulo. Lecturas adicionales . . 322. Funciones elementales33 2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1. Funciones polinmicas y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2. Races de un nmero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5.1. Inters compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5.2. Crecimiento demogrco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.6. Funcin potencia de exponente real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.7. Funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.7.1. Medida de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.7.2. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno . . . . . . . . . 45 2.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante . . . 46 2.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente . . . . . 46 2.2.8. Las funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.8.1. Las funciones hiperblicas inversas . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3. Sobre el concepto de funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.1. El desarrollo del lgebra y la invencin de los logaritmos . . . . . . . 61 2.4. Lo que debes haber aprendido en este captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633. Nmeros complejos. Exponencial compleja64Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 5. ndice general IV 3.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2. Operaciones bsicas con nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.1. Comentarios a la denicin de nmero complejo . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2. Forma cartesiana de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.3. Comentarios a la denicin usual . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.4. No hay un orden encompatible con la estructura algebraica . . . . . 68 3.3. Representacin grca. Complejo conjugado y mdulo . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.1. Forma polar y argumentos de un nmero complejo . . . . . . . . . . . 70 3.3.2. Observaciones a la denicin de argumento principal . . . . . . . . . . 72 3.3.2.1. Frmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.3. Races de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.3.1. Notacin de las races complejas . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.3.2. La igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4.1. La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.5. Aplicaciones de los nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5.1. Movimiento armnico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5.2. Circuitos elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.5.3. Procesamiento digital de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014. Funciones Continuas y lmite funcional102 4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.1. Propiedades bsicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 104 4.2.2. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3. Teorema de Bolzano. Supremo e nmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3.1. La propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3.2. Propiedad de extremo inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 6. ndice general V 4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3.3.1. Continuidad y monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4. Continuidad en intervalos cerrados y acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.4.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5. Lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5.1. Lmites laterales de una funcin en un punto . . . . . . . . . . . . . . 134 4.5.2. Lmites innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.2.1. Funciones divergentes en un punto . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.2.2. Lmites en innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.5.2.3. Funciones divergentes en innito . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.6. lgebra de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.6.1. Lmites y discontinuidades de funciones montonas . . . . . . . . . . . 139 4.6.2. Comportamientos asintticos de las funciones elementales . . . . . . . 140 4.6.2.1. Lmites de exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . 140 4.7. Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445. Nmeros y lmites. El innito matemtico 150 5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.2. Evolucin del concepto de nmero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2.1. Nmeros y cantidades en la antigua Grecia . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2.2. De la antigua Grecia a la invencin del Clculo . . . . . . . . . . . . . 153 5.2.3. Innitsimos y el continuo numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.2.4. El triunfo de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2.4.1. Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.2.4.2. Mtodos axiomticos y mtodos constructivos . . . . . . . . 164 5.2.4.3. El regreso de los pequeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3. Evolucin del concepto de lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3.1. La teora de las razones ltimas de Newton . . . . . . . . . . . . . . 166Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 7. ndice generalVI 5.3.2. La metafsica del Clculo en DAlembert y Lagrange . . . . . . . . . . 167 5.3.3. El premio de la Academia de Berln de 1784 . . . . . . . . . . . . . . 169 5.3.4. Cauchy y su Cours DAnalyse de 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.3.5. El innovador trabajo de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.3.6. Weierstrass nos dio los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.3.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4. Breve historia del innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4.1. La idea de innito en la losofa y la matemtica Griegas . . . . . . . . 178 5.4.1.1. Las aporas de Zenn de Elea . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4.1.2. Atomismo y divisibilidad innita . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.4.1.3. La rueda de Aristteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.4.2. El innito desde la Edad Media hasta el siglo XIX . . . . . . . . . . . 184 5.4.2.1. El innito en la Escolstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.4.2.2. Galileo y el innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.4.2.3. El Clculo y el innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.4.3. El innito matemtico y el nacimiento de la teora de conjuntos . . . . 188 5.4.3.1. La no numerabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996. Derivadas 201 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.2. Concepto de derivada. Interpretacin fsica y geomtrica . . . . . . . . . . . . 202 6.2.1. Tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2.2. Razn de cambio puntual y velocidad instantnea . . . . . . . . . . . . 202 6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada . . . . 205 6.2.3. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivacin . . . . . 206 6.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.2.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio deequivalencia logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonomtricas . . . . . . . . 221 6.2.7.3. Derivabilidad de las funciones hiperblicas . . . . . . . . . . 221Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 8. ndice general VII 6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.3.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.3.2. Reglas de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.4.1. Notacin de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . . . . . 235 6.5. Tcnicas para calcular lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.5.1. Lmites que debes saberte de memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.5.2. Sobre el mal uso de las reglas de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.5.3. Sobre el uso de la notacin lm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 6.7. Funciones convexas y funciones cncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.8. Orgenes y desarrollo del concepto de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 6.8.1. Las matemticas en Europa en el siglo XVII . . . . . . . . . . . . . . . 306 6.8.2. Clculo de tangentes y de valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . 307 6.8.2.1. El mtodo de mximos y mnimos de Fermat . . . . . . . . . 307 6.8.2.2. El mtodo de las tangentes de Fermat . . . . . . . . . . . . . 308 6.8.2.3. El mtodo de Roberval y de Torricelli para las tangentes . . . 311 6.8.2.4. El tringulo diferencial de Barrow . . . . . . . . . . . . . . 312 6.8.3. Los inventores del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 6.8.4. Newton y el clculo de uxiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 6.8.5. Leibniz y el clculo de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.8.6. Desarrollo del clculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3227. Sucesiones325 7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 7.2. Sucesiones de nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.2.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.2.2. Sucesiones convergentes y estructura de orden de . . . . . . . . . . 330 7.2.3. Sucesiones montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 7.2.3.1. El nmero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura algebraica de . . . . . . . . . . 334Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 9. ndice generalVIII 7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de BolzanoWeierstrass . . . . . . . . . 335 7.2.6. Condicin de Cauchy. Teorema de completitud de . . . . . . . . . . 338 7.2.7. Lmites superior e inferior de una sucesin . . . . . . . . . . . . . . . 339 7.2.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 7.2.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 7.3. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . . . . 360 7.3.1. Sucesiones y lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 7.3.2. Sucesiones asintticamente equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 7.3.3. Sucesiones de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 7.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 7.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 7.4. Sucesiones de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 7.4.1. Denicin de la exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 7.4.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass . . . 382 7.6. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3848. Integral de Riemann386 8.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 8.2. Aproximaciones al rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 8.2.1. Denicin y propiedades bsicas de la integral . . . . . . . . . . . . . 391 8.2.2. El Teorema Fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . 400 8.3. Integrales impropias de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 8.3.1. Criterios de convergencia para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 404 8.4. Teoremas del valor medio para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 8.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real . . . . . . . . . 409 8.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 8.5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 8.6. Tcnicas de clculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 8.6.1. Calcular una primitiva...Para qu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 8.6.2. Observaciones sobre la notacin y terminologa usuales . . . . . . . . . 428Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 10. ndice general IX 8.6.3. Primitivas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 8.6.4. Integracin por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 8.6.4.1. Integracin por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 8.6.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 8.6.6. Integracin por sustitucin o cambio de variable . . . . . . . . . . . . 436 8.6.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 8.6.8. Integracin de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 8.6.8.1. Mtodo de los coecientes indeterminados . . . . . . . . . . 438 8.6.8.2. Mtodo de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 8.6.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 8.6.10. Integracin por racionalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 8.6.10.1. Integracin de funciones del tipo sen cos . . . . . . . 443 8.6.10.2. Integrales del tipo d . . . . . 445 8.6.10.3. Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.6.10.4. Integrales del tipo e d . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.6.10.5. Integracin de funciones del tipo . . 447 8.6.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 8.6.12. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 8.7. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 8.7.1. Clculo de reas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 8.7.1.1. Regiones de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 8.7.1.2. Regiones de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 8.7.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 8.7.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 8.7.4. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 8.7.4.1. rea encerrada por una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.7.4.2. reas planas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 476 8.7.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.7.6. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.7.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 8.7.8. Volmenes de slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolucin . . . . . . . . . . . . . 481 8.7.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 11. ndice general X 8.7.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 8.7.11. rea de una supercie de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 8.7.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 8.7.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 8.8. Evolucin de la idea de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemticas griegas . . . . . . . . . . 499 8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parbola por Arqumedes . . . 500 8.8.1.2. El Mtodo de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 8.8.1.3. rea de una espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 8.8.2. La integracin antes del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 8.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval . . . . . . . . . . . . 507 8.8.2.3. Parbolas e hiprbolas de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . 508 8.8.2.4. La integracin aritmtica de Wallis . . . . . . . . . . . . . . 509 8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow . . . . . . . . . . . . . 512 8.8.3. La relacin fundamental entre cuadraturas y tangentes . . . . . . . . . 513 8.8.3.1. El Teorema Fundamental del Clculo segn Newton . . . . . 513 8.8.3.2. La invencin del calculus summatorius por Leibniz . . . . . 5149. Series numricas518 9.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 9.1.1. La particularidad del estudio de las series . . . . . . . . . . . . . . . . 522 9.1.2. Propiedades bsicas de las series convergentes . . . . . . . . . . . . . 525 9.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 9.1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 9.1.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 9.2. Criterios de convergencia para series de trminos positivos . . . . . . . . . . . 533 9.2.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 9.2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 9.3. Criterios de convergencia no absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 9.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 9.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta . . . . . . . . . . . 563 9.4.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 12. ndice general XI 9.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 9.5. Expresin de un nmero real en base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 9.6. Series de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 9.6.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 9.6.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 9.7. Clculo elemental de sen d y de . . . . . . . . . . . . . . . 578 10. Sucesiones y series de funciones581 10.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 10.2. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 10.2.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 10.2.2. Convergencia Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 10.2.3. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 10.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 10.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias . . . . . . . . . . . . 599 10.3.1.1. Clculo del radio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 600 10.4. Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales . . . . . . . . . 604 10.4.1. Las funciones trascendentes elementales denidas por series . . . . . . 611 10.4.1.1. La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 10.4.1.2. Las funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 10.5. Teorema de aproximacin de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 10.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 10.5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 10.6. Los primeros desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 10.6.1. Newton y las series innitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 13. Indice de guras1.1. El pentagrama pitagrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1. La funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2. Funcin logaritmo de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3. Funcin exponencial de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4. La circunferencia unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5. La funcin seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6. La funcin seno en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7. La funcin arcoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.8. La funcin coseno en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.9. La funcin arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.10. La funcin tangente en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.11. La funcin arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.12. La funcin seno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.13. La funcin coseno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.14. La funcin tangente hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.15. La funcin argumento seno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.16. La funcin argumento coseno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.17. La funcin argumento tangente hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.18. Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.19. Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59XII 14. ndice de guras XIII 2.20. John Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1. Representacin de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2. Suma de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3. Forma polar de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.4. Argumento principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.5. Races novenas de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.6. Igualdad del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.7. rea de un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.8. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.9. Composicin de movimientos armnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.10. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1. Funcin parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2. La funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.3. Visualizacin de la demostracin del teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . 130 4.4. La funcin sen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.1. Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.2. al-Jwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.3. Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.4. Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.5. Vite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.6. Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.7. Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.8. Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.9. DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.10. Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.11. Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.12. Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.13. Rueda de Aristteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.14. Exgonos de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.15. Paradoja circunferencia-punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.16. Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.17. Contando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 15. ndice de gurasXIV 5.18. Unin numerable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.1. Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2. Elementos de una curva relacionados con la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.3. Depsito cnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.4. Cruce de barcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.5. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.6. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.7. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.8. Regla de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.9. Funcin cncava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.10. Funcin convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.11. Clculo de la subtangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 6.12. Clculo de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 6.13. Tangente a la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 6.14. Tringulo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 6.15. Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 6.16. Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.17. Tringulo caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 6.18. Aproximacin de una cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 7.1. Puntos de sol y de sombra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 8.1. Conjunto ordenado de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 8.2. Partes positiva y negativa de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 8.3. Aproximacin por sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 8.4. Aproximacin del rea por sumas inferiores y superiores . . . . . . . . . . . . 391 8.5. Funcin montona con innitas discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . 396 8.6. Logaritmo de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 8.7. Aproximacin al rea de una regin de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 8.8. Ejemplo de regin de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 8.9. Aproximacin al rea de una regin de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 8.10. Ejemplo de regin de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 8.11. Simtrica de la gura 8.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 8.12. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 16. ndice de guras XV 8.13. Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 8.14. Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 8.15. Espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 8.16. Una curva de Lissajoux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.17. Una curva cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.18. Aproximacin por sectores circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 8.19. Rosa de 8 ptalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.20. Aproximacin por poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 8.21. Clculo del volumen por secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 8.22. Mtodo de los discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 8.23. Mtodo de las lminas o tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 8.24. Supercie de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 8.25. rea de una regin limitada por dos elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 8.26. Cuadratura de un rectngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.27. Cuadratura de un segmento de parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 8.28. El Mtodo de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 8.29. Cuadratura de una espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 8.30. Cuadratura de la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 8.31. Cuadratura de la hiprbola de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 8.32. Comparando indivisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 8.33. Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 8.34. rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 8.35. reas complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 10.1. Es ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 10.2. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 10.3. Interpretacin grca de la convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 587 10.4. Cuadratura d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 17. PrologoEste libro est escrito pensando en un estudiante real que tambin es, en algunos aspectos,un estudiante ideal. Es un estudiante llegado hace poco a la Universidad, quiz recin llegado,que cursa estudios en alguna ingeniera o licenciatura cientco tcnica y debe enfrentarse auna difcil asignatura de clculo diferencial e integral. Debe ser difcil, porque son muy pocosquienes logran aprobarla en un slo ao y es muy alto el porcentaje de abandono. Con estelibro quiero ayudarle en sus estudios de Clculo o Anlisis Matemtico, no solamente para quelogre una buena calicacin sino para que saque de ellos el mayor provecho e incluso aprendaa disfrutarlos.Se trata, digo, de un estudiante real porque llega a la Universidad con importantes carenciasde las que l puede no ser consciente y de las que no es del todo responsable. Es muy posibleque nunca haya visto una demostracin matemtica, que no sepa distinguir entre hiptesis ytesis, que no entienda el signicado de que las matemticas son una ciencia deductiva. Tienepoca agilidad en los clculos con las operaciones bsicas y comete frecuentes errores al in-tentar simplicarlos, puede calcular derivadas pero lo hace con dicultad porque tiene que irpensando cada paso y no ha automatizado el proceso, por eso solamente sabe calcular algunasprimitivas muy sencillas. Est acostumbrado a realizar ejercicios muy elementales en los que sedebe aplicar de forma mecnica una regla recin aprendida. No est acostumbrado a relacionarconceptos y clasica sus conocimientos en reas disjuntas: clculo, lgebra, probabilidad Pero estas carencias, con ser graves, no son las peores porque son especcas de una ma-teria y podran solucionarse con facilidad si no vinieran acompaadas por otras mucho msperjudiciales porque afectan a todo el proceso de aprendizaje. Me reero a la falta de hbitosde estudio, a la pobreza y muy deciente uso del lenguaje hablado y escrito con la consiguientedicultad para pensar y expresarse correctamente, a la poca prctica de la lectura comprensi-va, a la escasa capacidad de concentracin, al poco valor que se da a la memorizacin de loestudiado.Si a este cuadro aadimos que vivimos en una sociedad que valora ms el xito, identica-do casi exclusivamente con el xito econmico, que el esfuerzo; el apresuramiento compulsivo,hay que ir a toda velocidad aunque so sepamos a dnde, que la constancia y la dedicacin; elXVI 18. Prlogo XVIIgregarismo unnime que el pensamiento crtico e independiente, la autocomplacencia que laexigencia La conclusin es que no son buenos tiempos para el estudio. Adems, los jvenesestn permanente solicitados por todo tipo de reclamos publicitarios, adulados hasta la desver-genza por polticos y pedagogos que les venden un mensaje falso que en su esencia viene adecir que no son responsables de sus actos: si suspenden, les dicen que es porque el profesorno ha sabido motivarlos para que estudien; si despus de un botelln de n de semana, o de unaesta de la primavera o de un da de la cruz, las calles amanecen convertidas en un albaal porla suciedad acumulada durante la noche, el argumente apropiado para disculpar tan incvicocomportamiento es el de un supuesto derecho a la diversin. Estos polticos y pedagogos pare-cen haberse puesto de acuerdo para propiciar que los jvenes vivan en una permanente niez,acreedora de todos los derechos pero sin obligaciones ni responsabilidades. Y, para acabar, labazoa, mezquindad, zaedad y mal gusto de algunos programas de televisin contribuyen deforma notable a difundir el mensaje de que todo vale: puedes vender tus entraas en uno deesos programas o demostrar tu absoluta ignorancia sin temor a hacer el ridculo porque as lohacen la mayora de quienes participan en ellos. Qu aoranza de aquellos programas en losque el saber ocupaba lugar! El estudiante al que me dirijo es real porque es vctima de este sistema y tambin, puedeque sin tener clara conciencia de ello, porque contribuye a su mantenimiento. Cada vez esms difcil conjugar juventud y lucidez. Pero tambin es un estudiante ideal porque valora elestudio, quiere prepararse para ejercer ecazmente una profesin y ser til a los dems y tieneganas de aprender. Lector, si este no es tu caso, si lo que quieres es solamente aprobar y notienes curiosidad ni ests interesado en aprender, mejor que no sigas leyendo, este libro noes lo que buscas. Pero si no es as, confo en que las pginas que siguen sean tiles para queprogreses adecuadamente en tus estudios de clculo, porque lo nico que se necesita para elloes, adems del inters y las ganas de aprender, una capacidad bsica lgico deductiva que sinduda tienes. El contenido de este libro no ofrece sorpresa alguna y responde a un acuerdo general tcitode lo que debe constituir un curso bsico de Clculo de funciones de una variable. La novedad,si la hay, habr que buscarla en el estilo, en la exposicin, en la gran cantidad de ejemplos yde ejercicios, en la minuciosa presentacin de los conceptos y de sus relaciones. Comentarseguidamente algunos de estos aspectos.Este libro est escrito en un estilo deliberadamente sencillo, he querido huir del estilo pe-dante que se impuso hace algunos aos y que todava perdura en casos aislados. Escribir mate-mticas es un arte que se va aprendiendo poco a poco y, aunque no es ajeno a las modas, tieneunas reglas bsicas que deben ser respetadas en cualquier circunstancia. Realmente se trata deuna sola regla debida a Nicols Boileau (1636 - 1711) que dice as lo que bien se concibebien se expresa con palabras que acuden con presteza. Que las palabras acudan con mayor omenor presteza es algo anecdtico, pero lo que es indudable es que si algo no se concibe bienes imposible expresarlo con claridad. La primera condicin necesaria para escribir matemticases entender con todo detalle, a ser posible desde varios puntos de vista diferentes y con distintogrado de generalidad, la gnesis y evolucin de los conceptos que se exponen, las sutilezas ydicultades de comprensin que encierran, los errores ms frecuentes en su interpretacin. Esacondicin necesaria no es suciente. Hay que exponer esos conceptos con palabras comprensi-bles para el lector a quien se dirigen, evitando tecnicismos innecesarios, y ello sin dejar de serclaro y preciso.Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 19. Prlogo XVIIIEste libro est escrito un poco igual que se explica en clase delante de la pizarra, me hepuesto en el lugar de un hipottico estudiante medio algo despistado y me hago eco de suspresumibles dudas, preguntas y confusiones, e intento explicar esas dudas, responder a las pre-guntas y aclarar las confusiones. Confo en que los muchos aos que he dedicado a la docenciaen el primer curso de distintas licenciaturas e ingenieras me hayan permitido saber ponermeen tu lugar y cumplir este empeo con decoro. Por todo eso creo que este libro te permitirestudiar por ti mismo y te ayudar a comprender de forma correcta los conceptos principalesdel Clculo.Este libro incluye una coleccin de ejercicios muchsimo ms amplia que lo que suele serusual en un libro de texto. De hecho este libro es tambin un libro de problemas de Clculoy, se me disculpar la inmodestia, creo que hay muy pocos libros de ejercicios de Clculo queincluyan una coleccin tan variada de ejercicios y, sobre todo, que propongan tantos ejerciciosno triviales y desarrollen las soluciones con detalle. Los libros de ejercicios de Clculo danmuchas veces la impresin de que la teora solamente sirve para proporcionar un conjunto derecetas que despus hay que aplicar, sin acabar nunca de entender bien por qu se elige unareceta y no otra y sin entender el fundamento que hace que la receta funcione.Mi intencin ha sido escribir un libro de Clculo que sea til tanto para el futuro matemticocomo para el futuro ingeniero, pero cada uno debe leer el libro de la forma adecuada a susintereses y necesidades. Para ambos ser de gran utilidad la extensa coleccin de ejerciciosy de ejemplos, pero uno habr de prestar mayor atencin a los fundamentos tericos y a lasdemostraciones y otro a las tcnicas de clculo y de resolucin de diversos tipos de ejercicios.Al nal de este prlogo propongo dos posibles guas de lectura.Digamos algo sobre las demostraciones. Claro est que razonar y demostrar son aspectosfundamentales de las matemticas, pero s que el valor que las demostraciones tienen paralos estudiantes es muy relativo. El empeo en demostrarlo todo puede ser contraproducente yconstituir un freno en el progreso de muchos estudiantes. Las demostraciones interesantes sonlas que contienen ideas que se repiten en otras situaciones semejantes, no deben ser extensas,deben ser elegantes y demostrar resultados importantes que se van a usar con frecuencia. Cuan-do empec este libro mi intencin era incluir muy pocas demostraciones, al nal, para lograrla autonoma del texto he incluido muchas ms de lo que inicialmente pensaba. Mi deseo eraequilibrar un desarrollo intuitivo con uno lgico deductivo, confo en no haberme desviado mu-cho de este objetivo. Toda ayuda a la intuicin me parece loable, en este sentido, siempre que lohe credo conveniente, no he dudado en incluir una gura para facilitar la comprensin de unadenicin o de una demostracin. Pero tambin quiero decir respecto de algunas demostracio-nes que pueden parecer muy complicadas (como los teoremas 4.13 y 4.29 de los que tambindoy versiones ms sencillas 7.54 y 7.55), que las cosas complicadas son complicadas, que nose debe renunciar al razonamiento correcto por el hecho de que sea complicado, los detallesson importantes, en matemticas no todo vale.He concedido toda la importancia que merece al desarrollo y evolucin histrica de los prin-cipales conceptos del Clculo. He incluido apuntes histricos, mucho ms amplios de lo usualen textos de estas caractersticas, sobre la evolucin de los conceptos de nmero y magnitud,lmite y funcin, derivadas e integrales, as como al concepto de innito y a la algebraizacindel Anlisis llevada a cabo en el ltimo tercio del siglo XIX. Incluso hay un captulo, el quinto,cuyo ttulo Nmeros y lmites. El innito matemtico deja bien claro cul es su contenido.Naturalmente, nada de original hay en dichas notas histricas pues no he consultado fuentesUniversidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 20. PrlogoXIXoriginales, y su posible valor est en la particular ordenacin y exposicin que he llevado acabo. Mi propsito al escribirlas ha sido presentar la gnesis de los conceptos matemticos ensu contexto, su titubeante y confusa evolucin, las discrepancias sobre el signicado de losmismos... En una palabra, proporcionar al estudiante una visin de la matemtica viva. Con frecuencia los estudiantes tienen la idea de que las matemticas son algo cerrado yacabado, un conjunto de verdades eternas e inmutables de una fra perfeccin que se transmi-ten dogmticamente de generacin en generacin y donde no hay lugar para la sorpresa ni lapasin. Nada ms lejos de la realidad. La historia de las matemticas demuestra que el queha-cer matemtico, la creacin matemtica, est muy lejos de esa fra perfeccin formal lgico deductiva, que la intuicin, la induccin, los procedimientos heursticos son quiz ms im-portantes para el avance de las matemticas que el razonamiento deductivo. La historia de lasmatemticas muestra cmo los conceptos nacen para responder a problemas concretos de cadapoca, cmo esos mismos conceptos llevan a reformular posteriormente los problemas des-de perspectivas ms generales, en un avance que no siempre es una lnea recta, con intentosfallidos, con controversias y desacuerdos.La historia pone tambin muy claramente de maniesto que las matemticas son un saberacumulativo. Esto tiene una particular importancia para el aprendizaje, quiere decir que paraestudiar y avanzar en matemticas la memoria es mucho ms importante de lo que usualmentese cree. La efmera memoria de los estudiantes que llegan a la Universidad, que con frecuenciahan olvidado lo que alguna vez aprendieron de matemticas, es una de las grandes dicultadesque debemos afrontar los profesores. Un aspecto notable del libro es la atencin que dedico a los persistentes errores en matem-ticas que suelen tener casi todos los estudiantes al llegar a la Universidad. Confo en que misobservaciones al respecto sean tiles no slo para los estudiantes sino tambin para los pro-fesores de matemticas de las Enseanzas Medias. Tambin expongo algunas opiniones muycrticas con la forma en que tradicionalmente se explican algunos temas en la Universidad, estoafecta muy especialmente al estudio de los nmeros complejos y de las funciones elementalescomplejas y de las series, para los que hago propuestas que creo que deben ser tenidas muy encuenta.Granada, septiembre de 2008Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 21. Guas de lectura XXGuas de lectura El Captulo 5 y los diversos complementos de contenido histrico solamente debes leerlossi te gustan. La nica forma de saber si te gustan es que empieces a leerlos, y si cuando llevesdos pginas sigues interesado en la lectura seguramente llegars hasta el nal.Los captulos 1 y 2 deben ser ledos con detenimiento. No hay en ellos demostracionesque merezcan ese nombre. En el Captulo 1 se dan deniciones bsicas cuyo conocimiento esimprescindible para leer todo lo dems. En el Captulo 2 se dene el importantsimo conceptode funcin y se estudian, desde un punto de vista descriptivo, las funciones elementales. Elconocimiento de dichas funciones es absolutamente necesario para leer el resto del libro yrealizar ejercicios.Para estudiantes orientados hacia ingenieras cuyo inters por las matemticas esde tipo instrumentalEl Captulo 3 est dedicado a los nmeros complejos y a las funciones complejas elemen-tales. Solamente t puedes saber si necesitas estudiarlo. Si decides omitirlo puedes hacerlo contranquilidad.El Captulo 4 est dedicado a dos importantes conceptos: el de continuidad y el de lmi-te funcional. Son conceptos de importancia terica y necesarios para hacer ejercicios. Debesestudiar y entender las deniciones y resultados pero no es necesario que leas las demostra-ciones. El concepto de extremo superior tiene inters desde un punto de vista formativo, paraque comprendas que se precisa alguna herramienta que permita probar ciertas armaciones deapariencia evidente (o no tan evidente). Muchos libros de Clculo orientados hacia la ingenie-ra omiten este concepto. No es un concepto imprescindible para un futuro ingeniero, pero esbueno que sepas de su existencia y tengas una idea de su utilidad y lo que signica.El Captulo 6 estudia las derivadas y sus aplicaciones. Creo que debes leerlo todo incluidaslas demostraciones de los resultados principales porque son cortas y fciles de entender, con laexcepcin, quizs, de las demostraciones de las Reglas de LHpital, no porque sean difcilessino porque son algo largas. Pero debes leer la explicacin de por qu dichas reglas funcionan.Son muy tiles y mi impresin es que se usan como un recurso casi mgico, sin entender bienlo que se est haciendo. La seccin en la que se explican tcnicas para calcular lmites defunciones debes leerla hasta que memorices los lmites bsicos que all se indican y entiendasbien los procedimientos que se exponen.El Captulo 7 est dedicado al estudio de las sucesiones. Debes aprender y comprenderbien las deniciones y lo que dicen los principales teoremas pero, salvo la demostracin deque toda sucesin montona acotada es convergente, no es necesario que leas ninguna otrademostracin. Los resultados relativos a la condicin de Cauchy son una herramienta tericafundamental, pero quizs un ingeniero puede prescindir de ellos. La seccin en la que se ex-plican tcnicas para calcular lmites de sucesiones y para resolver las indeterminaciones msusuales, debes leerla hasta que memorices los lmites bsicos que all se indican y entiendasbien los procedimientos que se exponen. Las sucesiones que denen al nmero e y las de-sigualdades asociadas con dichas sucesiones son muy tiles, debes memorizarlas y aprender areconocerlas all donde aparezcan. La continuidad uniforme es algo de lo que puedes prescindirUniversidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 22. Guas de lectura XXIcon tranquilidad.El Captulo 8 es muy extenso, en l se estudia la integral de Riemann que es la integral usualdel Clculo, las integrales impropias, el clculo de primitivas y las aplicaciones del clculointegral. Con la excepcin de las demostraciones del Teorema Fundamental del Clculo y dela Regla de Barrow, no es necesario que leas otras demostraciones. Procura entender bien ladenicin de integral y sus propiedades as como el signicado del Teorema Fundamental delClculo. Todo el tiempo que dediques, y tendrs que dedicar muchas horas, a practicar lastcnicas de clculo de primitivas ser ampliamente recompensado. Calcular primitivas es algoque hay que hacer con muchsima frecuencia: en todas las aplicaciones de la integral tienes quecalcular una primitiva.El Captulo 9 est dedicado al estudio de las series numricas. Es importante que aprendasy comprendas bien las deniciones principales. Hay muchsima confusin en este tema y loslibros que conozco sirven de poca ayuda. Las demostraciones de este captulo puedes omitirlassalvo las de los criterios de convergencia para series de trminos positivos que son cortas yfciles de entender. Las tcnicas para sumar algunos tipos de serie debes estudiarlas, as comoel criterio de Leibniz para las series alternadas. El apartado dedicado a la expresin de unnmero real en una base merece que lo leas, aunque solamente sea un poco por encima,para saber lo que dice y para aclararte de una vez con eso de los decimales innitos con innitascifras que no se repiten. El Captulo 10 estudia la convergencia puntual y uniforme de sucesiones y series de fun-ciones. El concepto de convergencia puntual es muy sencillo, no lo es tanto el de convergenciauniforme y puede que un ingeniero no necesite estudiarlo con detenimiento. Es bueno que se-pas para qu sirve y que muchas operaciones que consisten en permutar el lmite funcional conla integracin o con la derivacin requieren para su plena justicacin un tipo de convergenciamejor que la puntual. Las series de potencias debes estudiarlas con detalle, omitiendo quizsalgunas demostraciones. Su estudio es importante y muy til a efectos de clculo. Los desarro-llos en serie de potencias de las funciones elementales, y la denicin por series de potenciasde las funciones exponencial y trigonomtricas debes estudiarlos bien. Lo que dice el teoremade aproximacin de Weierstrass es muy fcil de entender, pero puedes omitir su demostracin.La parte ms importante para el aprendizaje es el tiempo que dediques a la realizacinde ejercicios. He incluido una extensa coleccin de ejercicios resueltos que te servir de ayu-da para aprender a resolver ejercicios t solo. Siempre debes intentar resolver algunos de losejercicios propuestos empezando por los que te parezcan ms fciles, antes de consultar las so-luciones. Se aprende ms de un ejercicio que al principio se resiste hasta que damos con la ideapara resolverlo, que del ejercicio que resolvemos al primer golpe de vista. Los ejercicios quepropongo tiene un grado medio de dicultad: no son triviales para no ofender a tu inteligen-cia ni demasiado difciles para evitar que puedas desalentarte. Con frecuencia los ms difcilesestn resueltos. En cualquier caso, siempre debes leer la teora y comprender los conceptos eideas bsicas, as como el signicado preciso de los teoremas, antes de hacer los ejercicios.Para estudiantes de matemticas y fsicaTodo lo dicho arriba se mantiene con algunos aadidos:El Captulo 3 debes estudiarlo y entenderlo bien. Los conceptos bsicos de los nmerosUniversidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 23. Guas de lectura XXIIcomplejos estn muy confusamente expuestos en gran nmero de textos y las funciones com-plejas elementales son denidas con frecuencia de una forma poco correcta.En el Captulo 4 debes estudiar y comprender bien las deniciones de extremo superiore inferior. Debes hacer ejercicios hasta que te convenzas de que sabes usarlas con soltura. Ladiferencia entre un curso de Clculo y uno de Anlisis Matemtico est en los conceptos desupremo e nmo. Los libros de Anlisis Matemtico siempre los incluyen, los de Clculo casinunca. No es preciso, al menos en una primera lectura, que estudies la demostracin del teo-rema de valores mximos y mnimos de Weierstrass, en el Captulo 7 hay otra demostracinalternativa de dicho teorema que es mucho ms fcil. Debes estudiar y comprender la demos-tracin del teorema de Bolzano y sus consecuencias, as como las relaciones entre monotonae inyectividad.Para el Captulo 6 te doy los mismos consejos que arriba. En una segunda lectura debesestudiar la demostracin de las reglas de LHpital.El Captulo 7 estudia las sucesiones numricas. Mantengo los mismos consejos de arri-ba pero, adems, en una segunda lectura debes estudiar las demostraciones de los resultadosprincipales, especialmente el teorema de completitud de . Por supuesto, debes estudiar lacontinuidad uniforme.Para el Captulo 8 mantengo los mismos consejos de arriba con el aadido de que estudieslas demostraciones de integrabilidad de funciones continuas y de funciones montonas.En el Captulo 9 puedes omitir la demostracin de la segunda parte del teorema 9.14 perodebes entender lo que se arma en el mismo. Lo dems debes estudiarlo todo. El tema de lasseries es muy importante para matemticos y fsicos.El Captulo 10 es de estudio obligado para matemticos y fsicos. La convergencia uniformees tu primer encuentro con algunos conceptos que sern ampliamente generalizados en otroscursos, el tiempo que dediques a su estudio y a la comprensin de sus sutilezas estar bienempleado. Todos los teoremas de este Captulo tiene demostraciones sencillas y cortas quedebes estudiar. El teorema de aproximacin de Weierstrass es tambin uno de esos resultadoscuya generalizacin se estudia en cursos ms avanzados, debes entender bien lo que dice y noest de ms que leas la demostracin. Por lo dems, mantengo los consejos dados arriba.La parte ms importante para el aprendizaje es el tiempo que dediques a la realizacinde ejercicios. He incluido una extensa coleccin de ejercicios resueltos que te servir de ayu-da para aprender a resolver ejercicios t solo. Siempre debes intentar resolver algunos de losejercicios propuestos empezando por los que te parezcan ms fciles, antes de consultar las so-luciones. Se aprende ms de un ejercicio que al principio se resiste hasta que damos con la ideapara resolverlo, que del ejercicio que resolvemos al primer golpe de vista. Los ejercicios quepropongo tiene un grado medio de dicultad: no son triviales para no ofender a tu inteligen-cia ni demasiado difciles para evitar que puedas desalentarte. Con frecuencia los ms difcilesestn resueltos. En cualquier caso, siempre debes leer la teora y comprender los conceptos eideas bsicas, as como el signicado preciso de los teoremas, antes de hacer los ejercicios.Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 24. Captulo 1 Axiomas de . Principio de induccion Dios cre los nmeros naturales, lo dems es obra de los hombres.L. Kronecker1.1. IntroduccinLos temas tradicionales del Clculo son el estudio de las funciones continuas, las derivadase integrales, las sucesiones y las series. T ya debes saber algo de todo eso. En principio, pare-cen cosas bastante diferentes pero todas ellas tienen una base comn, que es, precisamente, delo que nos vamos a ocupar en este Captulo. Me estoy reriendo a los nmeros reales que repre-sentamos por . Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los nmeros reales. Sabes quese pueden sumar y multiplicar y que hay nmeros reales positivos y negativos. Tambin puedesextraer races de nmeros reales positivos y elevar un nmero real positivo a otro nmero real.Lo que quizs no sepas es que todo lo que puedes hacer con los nmeros reales es consecuenciade unas pocas propiedades que dichos nmeros tienen que, adems, son muy elementales. Eneste Captulo estableceremos dichas propiedades. Sern nuestro punto de partida para todo loque sigue; constituyen los axiomas del Clculo. Te advierto que no voy a decrtelo todo,voy a guardarme una carta en la manga que te mostrar ms adelante cuando su necesidad seamaniesta (si echas algo en falta, ve al Captulo 4).1.1.1. Axiomas, deniciones, teoremas, lemas, corolarios. Al terminar este apartado, entenders el signicado de la frase de Bertrand Russell que fueuno de los ms grandes matemticos y lsofos del siglo XX.La matemtica pura es aquella ciencia en la que uno no sabe de qu est hablandoni si lo que est diciendo es verdad.1 25. Axiomas, deniciones, teoremas, lemas, corolarios.2Siempre que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sites en su contexto apro-piado. Esto ya lo haces de forma automtica en muchas ocasiones. Por ejemplo, sabes que unproblema de lgebra y otro de probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lositas en lgebra y al segundo en Clculo de Probabilidades. Pero no siempre las cosasson tan claras, no siempre tienes un marco de referencia tan explcito. Para que sientas lo quequiero decirte, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se suponeque son nmeros reales. 1. Prueba que . 2. Prueba que . 3. Prueba que si entonces . Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los nmeros quehas olvidado cundo las aprendiste. Y ahora te pido que las demuestres! Puedo imaginar tureaccin que demuestre que ?, pero si eso es evidente! siempre me han dicho que esas! cmo se puede demostrar tal cosa?.Pienso que muchas veces la dicultad de un ejercicio est en que no sabes qu es exacta-mente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situacioneslo ms frecuente es quedarse colgado con la mente en blanco sin saber qu hacer.Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que vaa consistir en unas propiedades de los nmeros axiomas, si quieres llamarlas as que vamosa aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglasde inferencia lgica usuales y con deniciones apropiadas nos permitirn demostrar resultados(teoremas) que podremos usar para seguir avanzando.Simplicando un poco, puede decirse que en matemticas no hay nada ms que axiomasy teoremas (bueno, tambin hay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que sedemuestra es un teorema; por ejemplo es un teorema. Ocurre que el nombre teoremase reserva para resultados que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzollegar a probarlos. Se usan tambin los trminos: corolario, lema, proposicin y otros. Perola estructura de una teora matemtica elaborada se resume en un conjunto de axiomas y deteoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lgica.Los axiomas de una teora matemtica proporcionan el marco de referencia ms general dedicha teora. Son, por tanto, muy importantes. Al principio, cuando la teora empieza a caminary se demuestran los primeros resultados ms bsicos, es frecuente recurrir de forma explcitaa los axiomas. Ms adelante, cuando la teora va avanzando, los axiomas no suelen citarse contanta frecuencia porque nos apoyamos en resultados ms elaborados previamente demostrados.Pero los axiomas siempre estn presentes aunque sea de forma discreta y no ostensible.Entre las particularidades que distinguen a las Matemticas de las dems ciencias hay unamuy especial: las Matemticas avanzan dando deniciones. Las deniciones no son nuevosaxiomas. Una denicin lo que hace es introducir un trmino nuevo y establece cmo dichotrmino se expresa en funcin de los axiomas de la teora. Por ejemplo, la denicin de con-tinuidad se expresa mediante desigualdades y las desigualdades se reducen a los axiomas deorden de .Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 26. Axiomas, deniciones, teoremas, lemas, corolarios.3 Quiero tambin decirte algo sobre lo que se entiende por reglas de inferencia lgicas usua-les. Me limitar a la ms importante: la implicacin lgica. Los teoremas matemticos tienencasi siempre la siguiente estructura: se parte de una hiptesis y de ella se deduce una tesis.Entremos en detalles. La hiptesis es siempre alguna propiedad matemtica; por ejemplo, es una funcin continua en un intervalo. La tesis tambin es una propiedad matemtica; porejemplo, la imagen de es un intervalo. Representemos por la hiptesis y por la tesis.Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por la veracidad de la hi-ptesis . No es ni verdadera ni falsa. Para que sea verdadera o falsa debemos particularizarla funcin . Un error muy frecuente consiste en pensar que en Matemticas las hiptesis son verdade-ras.Ahora te preguntars, si no es verdadera ni falsa, qu quiere decir que implica o, equivalentemente, que se deduce o es consecuencia de ? La respuesta es: implica quiere decir que siempre que sea verdadera tambin es verdadera. Observa que noestamos armando (no tiene sentido) que o sean verdaderas sino que cuando es verda-dera tambin lo es . Con ms precisin, demostrar que implica consiste en probar que laproposicin es cierta. Teniendo en cuenta que la proposicin es la disyuncinlgica (no ) , resulta que si es falsa entonces es verdadera (por eso se dice quede una hiptesis falsa puede deducirse cualquier cosa) y si es verdadera entonces para que sea verdadera tiene que ocurrir que sea verdadera. En consecuencia, si sabemos que es verdadera y que es verdadera, deducimos que es verdadera. Ahora puedes entender el signicado de la frase de C. P. Steinmetz. La matemtica es la ciencia ms exacta, y sus conclusiones son susceptibles de demostracin absoluta. Pero eso se debe exclusivamente a que la matemtica no intenta obtener conclusiones absolutas. Todas las verdades matemticas son rela- tivas, condicionales.Tambin comprendes ya el signicado de una parte de la enigmtica frase de Bertrand Russelldel principio: en matemticas no sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de dichafrase queda por aclarar.Recuerdas los axiomas de la geometra elemental? En dichos axiomas se establecen pro-piedades que se supone satisfacen ciertos objetos llamados punto,recta y plano. Pero nose dice nunca lo que es un punto ni una recta ni un plano. De la misma forma, en la seccinsiguiente estableceremos los axiomas de los nmeros reales, pero no diremos lo que es un n-mero real. En matemticas nunca decimos cul es la naturaleza concreta de los objetos conlos que trabajamos! Sucede que la intuicin nos lleva muchas veces a una interpretacin na-tural de dichos objetos, pero otras veces dicha interpretacin natural no est disponible. Y, loms interesante, puede haber interpretaciones muy diferentes de una misma teora matemtica.Precisamente, las matemticas son una ciencia abstracta porque trabaja con cosas abstractascuya naturaleza no se precisa ni es necesario saber, solamente interesan las relaciones que hayentre ellas tal y como se establecen en los axiomas. Ahora ya entiendes por qu arma BertrandRussell que en matemticas no sabemos de lo que hablamos.Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 27. Axiomas de los nmeros reales41.2.Axiomas de los nmeros reales1.2.1. Axiomas algebraicosComo ya sabes, se distinguen distintas clases de nmeros:Los nmeros naturales . El conjunto de todos ellos se representa por .Los nmeros enteros . cuyo conjunto se representa por . Los nmeros racionales que son cocientes de la forma donde , cuyoconjunto representamos por .Tambin conoces otros nmeros como , , o el nmero e que no son nmeros racionalesy que se llaman, con una expresin no demasiado afortunada, nmeros irracionales. Puesbien, el conjunto formado por todos los nmeros racionales e irracionales se llama conjunto delos nmeros reales y se representa por .Es claro que .Aunque los nmeros que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece lapena, al menos por ahora, preocuparse por cmo son estos nmeros;sino que lo realmenteinteresante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del nmero es que su cuadradoes igual a 1 .Pues bien, una de las cosas ms llamativas de los nmeros es que a partir de un pequeogrupo de propiedades pueden deducirse casi todas las dems. Vamos a destacar estas propie-dades bsicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que sepueden hacer con los nmeros: la suma y el producto. La suma de dos nmeros reales seescribe , representndose el producto por . Las propiedades bsicas a que nos referimosson las siguientes.P1 Propiedades asociativas. Para todos en : P2 Propiedades conmutativas. Para todos en : P3 Elementos neutros. Hay dos nmeros reales distintos que representamos por y tales que para todo se verica que: P4 Elementos opuesto e inverso. Para cada nmero real hay un nmero real llamado opuesto de , que representamos por , tal que Para cada nmero real distinto de , , hay un nmero real llamado inverso de ,que representamos por , tal que 1 La seccin Nmeros y medida de magnitudes trata de la aparicin de los nmeros irracionales y su relacincon la medida de magnitudesUniversidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 28. Axiomas de orden 5P5 Propiedad distributiva. para todos en .Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque son muy sencillas, a partir de ellaspueden probarse cosas tan familiares como que , o que . Vamos a hacerlo.1.1 Proposicin. Se verican las siguientes igualdades Demostracin. Probaremos primero que . Por P5 . Como con-secuencia de P3 es . Obtenemos as que . Usando P4, sumamos elopuesto de a ambos lados de la igualdad y, usando tambin P1 (la propiedadasociativa), obtenemos que .Probaremos ahora que . Tenemos que .Donde hemos usado P4, P5 y el apartado anterior. La igualdad nos dice, porP4, que es el opuesto de . Eso es justamente lo que queramos probar.Finalmente, la igualdad es consecuencia inmediata de la anterior. El smbolo debe leerse siempre el opuesto de y no menos . La razn es quela palabra menos remite a una idea de orden (si hay menos es porque hay ms) y elsignicado de es puramente algebraico y nada tiene que ver con la idea de orden de la queni siquiera hemos hablado an. No cometas el error de pensar que es negativo!Notacin. Suele escribirse en vez de . Tambin, supuesto, se escribe o en vez de .1.2.2. Axiomas de ordenLos nmeros tienen, adems de las propiedades algebraicas, otras propiedades que suelenllamarse propiedades de orden. Como sabes, los nmeros suelen representarse como puntos deuna recta en la que se ja un origen, el , de forma arbitraria. Los nmeros que hay a la derechade , se llaman positivos y el conjunto de todos ellos se representa por . Las propiedadesbsicas del orden son las siguientes.P6 Ley de tricotoma. Para cada nmero real se verica una sola de las siguientes tres armaciones: , es positivo, es positivo.P7 Estabilidad de . La suma y el producto de nmeros positivos es tambin un nmero positivo.1.2.2.1. Relacin de ordenObserva que en P6 se dice, en particular, que el no es positivo, el es el ! Por otra parte,si es un nmero positivo, entonces como y el no es positivo, concluimos,por P7, que no es positivo. Los elementos del conjunto , es decir,los opuestos de los nmeros positivos, se llaman nmeros negativos. Observa que si entonces .Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 29. Desigualdades y valor absoluto61.2 Denicin. Para escribimos (lase es menor que ) o (lase es mayor que ) para indicar que , y escribimos o para indicar que .Notacin. En adelante usaremos las notaciones: o , o y .1.3 Proposicin. Para todo se verica que . En particular, .Demostracin. Probaremos que si entonces . En efecto, si entonces, porP6, o bien es positivo o bien es positivo. Teniendo en cuenta que, como consecuencia de(1.1), es , concluimos que es positivo. En particular, tenemos que . Acabamos de probar que !.Tenemos ahora dos tipos de propiedades en , las algebraicas P1-P5 y las de orden P6 yP7. En la siguiente seccin estudiamos cmo se relacionan entre s.1.2.3. Desigualdades y valor absolutoLas propiedades del orden de los nmeros reales son las que nos permiten trabajar condesigualdades. Es muy fcil equivocarse al trabajar con desigualdades. Yo creo que en el ba-chillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fjate que algunos de los conceptosms importantes del Clculo se denen mediante desigualdades (por ejemplo, la denicin desucesin convergente o de lmite de una funcin en un punto). Por ello, tan importante co-mo saber realizar clculos ms o menos complicados, es aprender a manejar correctamentedesigualdades, y la nica manera de hacerlo es con la prctica mediante numerosos ejemplosconcretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamente las reglas generales quegobiernan las desigualdades entre nmeros y asegurarse de que se usan correctamente. Apartede tales reglas no hay otros mtodos generales que nos digan cmo tenemos que proceder encada caso particular.En el siguiente resultado el primer teorema de este curso! se enuncian las propiedadesprincipales del orden de . Son las que debers usar para trabajar con desigualdades.1.4 Teorema (Reglas para trabajar con desigualdades). Sean nmeros reales. 1. e implican que . 2. e implican que . 3. Se verica exactamente una de las tres relaciones: , ,o 4. implica que . 5. , implican que . 6. , implican que . 7. si, y slo si, e son los dos positivos o los dos negativos. En consecuenciasi es y, en particular, .Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 30. Desigualdades y valor absoluto78. implica que 9. Supuesto que e son los dos positivos o los dos negativos, se verica que implica que Todas estas propiedades son fciles de probar. Por ejemplo, para probar el punto 5), si se tiene que . Si ahora es , tambin ser , es decir, o, sea, . Lo nico que hemos usado aqu ha sido la denicin de lossmbolos y y algunas de las propiedades P1-P8. Un estupendo ejercicio para quecompruebes tus habilidades es que demuestres todas las armaciones del teorema anterior.1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemticasLa forma en que estn escritos los apartados del teorema anterior no me gusta mucho. Voya decirte por qu y para eso voy a tratar aqu un defecto en el que solemos caer al leer o estudiarmatemticas. Se trata de algo que realizamos de una manera mecnica, y por ello no es fcil deevitar, y que limita y condiciona mucho el alcance de lo que entendemos y aprendemos. Paraponerlo de maniesto vamos a considerar un ejemplo. En uno de los ejercicios al nal de estaseccin te propongo que pruebes que la igualdad (1.1) nunca es cierta. Bien, supongamos que ya lo has probado. Seguidamente te pido que me digascundo es cierta la igualdad (1.2) Tienes 15 segundos para contestar (y sobran 13). Si? No? Son la misma igualdad! Y, aques a dnde yo quera llegar, si no te parecen la misma igualdad es porque ests leyendo lossmbolos y no los conceptos, es porque ests leyendo las letras! Claro, me dirs, las letrasestn para leerse. De acuerdo, pero hay que ir siempre al signicado de lo que se lee y noquedarse en la supercie de los smbolos. Los smbolos proporcionan mucha comodidad paraexpresar las ideas matemticas, pero con frecuencia, si no sabemos leer bien su signicado,los smbolos pueden ocultar los conceptos. En el ejemplo anterior, el hecho de que la igualdad(1.1) sea falsa, se expresa de forma correcta diciendo que la suma de dos inversos nunca esigual al inverso de la suma. Por tanto, la igualdad (1.2) jams puede darse pues es la mismaigualdad (1.1) en la que se ha sustituido por e por . Pero tanto como son nmeros reales cualesquiera e igual ocurre con e . Te das cuenta del problema? No esigual retener la idea de que 1 dividido por ms 1 dividido por nunca es igual a 1 divididopor que asimilar que la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de la suma.En el primer caso los smbolos e tienen un protagonismo que no les corresponde, ocultanel concepto: si te jas demasiado en ellos no sabrs reconocer que (1.2) y (1.1) son la mismacosa.Esto que acabamos de ver ocurre en muchas situaciones. Por ejemplo, la mayora de loslibros de texto enuncian el teorema de Bolzano como sigue.Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 31. Desigualdades y valor absoluto8 Sea continua y vericando que . Entonces hay algn tal que .Demasiadas letras , , ,, demasiadas precisiones que lo que hacen es confundir y ocultarel resultado. La forma correcta de leer el enunciado anterior es: toda funcin continua en unintervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algn punto de dicho intervalo.Los teoremas deben enunciarse as, a ser posible sin smbolos. Yo procuro hacerlo siempreque el resultado lo permite. No lo he hecho en el teorema (1.4) porque quiero que lo hagast. Por ejemplo, la propiedad 5) de dicho teorema debe leerse (y escribirse) en la forma: unadesigualdad se conserva al multiplicarla por un nmero positivo.1.5 Estrategia. Traduce los smbolos en conceptos. Cuando leas matemticas presta atencina los conceptos y no retengas smbolos concretos.1.6 Denicin. Se dice que un conjunto no vaco de nmeros reales,, tiene mximosi hay un nmero que es el mayor de todos los elementos de , es decir, paratodo . Cuando esto ocurre, escribimos max . Se dice que un conjunto no vacode nmeros reales, , tiene mnimo si hay un nmero que es el menor de todos loselementos de , es decir, para todo . Cuando esto ocurre, escribimos mn .Valor absolutoEl valor absoluto de un nmero se dene como el nmero: si si Para trabajar con valores absolutos es til recordar la siguiente denicin.1.7 Denicin. 2 . Para cada nmero o , representamos por al nico nmero mayor oigual que cero cuyo cuadrado es igual a .1.2.3.2. Una funcin aparentemente caprichosaAcabamos de denir la funcin raz cuadrada. Ahora te propongo un juego: voy a ha- certe una pregunta que t vas a responder de forma inmediata diciendo lo primero que se teocurre. La pregunta es la siguiente: dime el valor de . Por experiencia s que la mayorade las veces la respuesta es . Pues si esa ha sido tu respuesta te equivocas. Vuelve a leer la denicin anterior y responde ahora de forma meditada. Confo en que ya tengas la respuestacorrecta que es . En efecto, se tiene que y, adems, , por tanto .S por experiencia que muchos estudiantes tienen la idea de que la raz cuadrada de unnmero real positivo es unas veces positiva y otras veces negativa y muchos creen que pue-de tomar los dos valores y, en este caso, deben pensar que . Cosas ms ra-ras se han visto. Toda esta magia lleva a situaciones bastante extraas. Por ejemplo, essabido que la distancia eucldea entre dos puntos y del plano viene dada por . En particular, la distancia entre los puntos y 2 Con las herramientas que ahora tenemos no podemos probar la existencia de races cuadradasUniversidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 32. Desigualdades y valor absoluto 9 es . Una distancia negativa? No, la raz cuadra-da no es una funcin caprichosa y su denicin no deja lugar a dudas: la raz cuadrada de unnmero positivo es tambin un nmero positivo.Sabes de dnde procede esta confusin tan extendida? Pues viene de muy atrs, de cuandoen la escuela se aprende (realmente se aprende?) a resolver la ecuacin de segundo grado cuyas soluciones son los nmeros (1.3) Ah est el problema: en el confuso smbolo delante de la raz. Es eso lo que lleva a muchosa pensar que las races cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a laeleccin del sigo , y otro negativo que corresponde a la eleccin del signo en la expresin(1.3). Lo ms lamentable es que toda esta confusin no es ms que producto de la pereza. Vers,cuando se aprende a resolver la ecuacin de segundo grado (realmente seaprende?) se obtienen las soluciones Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores, por pereza, resumen las soluciones obtenidas en la expresin nica (1.3). Eso explica cosas bastante incomprensibles como, porejemplo, escribir acaso escribes +7? No, sabes que 7 es un nmero positivo y parecetotalmente improcedente escribir. Entonces, por qu escribir? Respuesta, porque es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se le llama magia matemtica, est bastante ms extendida de lo que puedes creer y no solamenteentre estudiantes. Confo en que te haya quedado claro sin lugar a dudas que y quela raz cuadrada no es una funcin caprichosa.La utilidad de la raz cuadrada para trabajar con valores absolutos procede de la siguienteestrategia de procedimiento.1.8 Estrategia.a) Para probar que dos nmeros positivos son iguales es suciente probarque sus cuadrados son iguales.b) Para probar una desigualdad entre dos nmero positivos es suciente probar dicha de- sigualdad para sus cuadrados.El enunciado anterior est hecho como a mi me gusta: con palabras y sin smbolos. Ponien-do smbolos, lo que se dice en el enunciado es que:Dados o para probar que es suciente probar que y paraprobar quees suciente probar que .Todo lo dicho es consecuencia de que y se tiene que.Geomtricamente, representa la distancia de al origen, , en la recta real. De manera msgeneral: distancia entre e representa la longitud del segmento de extremos e .Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 33. Ejercicios propuestos101.9 Teorema (Propiedades del valor absoluto). Para se verica que: i) es equivalente a .ii) .iii) y la igualdad se da si, y slo si, desigualdad triangular.iv) y la igualdad se da si, y slo si, .Demostracin. La primera armacin es consecuencia inmediata de la denicin de valorabsoluto. Para probar ii), iii) y iv) usaremos la estrategia (1.8).ii) Tenemos que .iii) Tenemos que La igualdad se da si, y slo si, , es decir, . iv) Tenemos que La igualdad se da si, y slo si, , es decir, . Te recuerdo que debes leer de forma correcta las propiedades anteriores: no te jes en las letrassino en los conceptos. La propiedad ii) debes leerla el valor absoluto de un producto es igualal producto de los valores absolutos. Por su parte, la desigualdad triangular dice dos cosas: i) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos.ii) El valor absoluto de una suma es igual a la suma de los valores absolutos si, y slo si,todos los sumandos son positivos o todos todos los sumandos son negativos.1.2.4. Ejercicios propuestos 1. Sabes por qu no se puede dividir por ? 2. Qu quiere decir que un nmero no es racional? Demuestra que no es racional. 3. Sabiendo que se verica necesariamente alguna de lasdesigualdades: o? Dar una prueba o un contraejemplo encada caso.Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 34. Ejercicios propuestos11 4. Sea un nmero real. Estudia si cada una de las desigualdades y es consecuencia de la otra. 5. Calcula para qu valores de se verican las desigualdades siguientes.i) ii) iii) iv) v) vi) 6. Prueba las siguientes desigualdades:a) siempre que b)siempre que 7. Prueba que cualesquiera sean los nmeros reales positivos y se verica que 8. Calcula para qu valores de se verican las siguientes desigualdades. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) 9. Supuesto que donde , prueba que .Generaliza este resultado. 10. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso, cundo se da la igualdad. a) b) c) d) donde . Sugerencia. Para probar a) considrese . Las dems desigualdades pueden de-ducirse de a). 11. Demuestra todos los apartados del teorema (1.4) y enncialos con palabras.Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 35. Ejercicios resueltos 12 12. Sean e nmeros distintos de cero. Prueba que las igualdades son falsas. 13. Comprueba que . Por tanto, extrayendo races cuadradas, se deduce que , esto es y, por tanto, . Dnde est el error? 14. Calcula los nmeros reales que verican cada una de las igualdades Comprueba las soluciones obtenidas. 15. Prueba que . 16. Sean , ynmeros positivos. Prueba que 17. Prueba que si es un nmeros natural que no es el cuadrado de ningn nmero natural, es decir, para todo , entonces se verica que es un nmero real no racional.Sugerencia. Usa la descomposicin de en factores primos. 18. Justica las siguientes armaciones.a) La suma de un nmero racional y un nmero irracional es un nmero irracional.b) El producto de un nmero racional no cero por un nmero irracional es un nmero irracional.c) La suma y el producto de dos nmeros irracionales puede ser racional o irracional. d) Los nmeros , y son irracionales. 1.2.5. Ejercicios resueltosAntes de ver la solucin de un ejercicio debes intentar resolverlo!Ejercicio resuelto 1 Sabes por qu no se puede dividir por ?Solucin. Si se pudiera dividir por , es decir, si hubiera un nmero que fuera el inversodel , su producto por habra de ser igual a 1, pero ya sabemos que al multiplicar por el resultado es siempre . Conclusin: si se pudiera dividir por cero habra de ser ,lo cual es falso.Universidad de Granada Prof. Javier PrezDpto. de Anlisis MatemticoClculo diferencial e integral 36. Ejercicios resueltos13Ejercicio resuelto 2 Qu quiere decir que un nmero no es racional? Demuestra que noes racional.Solucin. Que un nmero no es racional quiere decir que no puede escribirse comocociente de nmeros enteros. Para probar que un nmero es irracional suele razonarse porcontradiccin: se supone que el nmero en cuestin es racional y se llega a una situacincontradictoria. Una prueba clsica de que es irracional es como sigue. Supongamos que fuera racional. Entonces existirn nmeros naturales y sin factores comunes,en particular y no podrn ser ambos pares, tales que , esto es, . La igualdad nos dice que es par lo cual implica que tambin tiene que serlo. As podemos escribir . Sustituyendo en la igualdad anterior y simplicandotenemos que , y de aqu se sigue, al igual que antes, que tiene que ser par ysta es la contradiccin anunciada.Ejercicio resuelto 3 Calcula para qu valores de se verica que . Solucin. Claro est, (recuerda, no se puede dividir por ). Como al multiplicaruna desigualdad por un nmero positivo la desigualdad se conserva, deducimos que si , la desigualdad dada equivale a , es decir, . Luegopara la desigualdad es cierta. Veamos ahora qu pasa si . En talcaso, al multiplicar por la desigualdad equivale a , es decir, condicin que no puede darse si . En resumen, la desigualdad escierta para .Otra forma de proceder consiste en utilizar el hecho de que una desigualdad es equivalen-te a la obtenida al multiplicarla por una cantidad positiva. Multiplicando la desigualdaddada por obtenemos que dicha desigualdad equivale a la siguiente Haciendo las operaciones indicadas obtenemos que esta desigualdad es lo mismo que son y . Las soluciones de la ecuacin . Por tanto, . Resulta as que la desigualdaddada equivale a . Teniendo en cuenta que para que un productode dos nmeros sea negativo dichos nmeros deben ser uno positivo y otro negativo,concluimos que debe ser y , es decir (la otraposibilidad y no puede darse).Ejercicio resuelto 4 Calcula para qu valores de se verica que Solucin. La desigualdad del enunciado equivale a las siguientes dos desigualdades: Teniendo en cuenta que , resulta Universidad de GranadaProf. Javier PrezDpto. de Anlisis Matemtico Clculo diferencial e integral 37. Ejercicios resueltos 14 Deducimos que la desigualdad del enunciado se verica si, y slo si, , ,y .Si entonces y la desigualdad se cumple si, y slo si, y .Si entonces y la desigualdad se cumple si, y slo si, .Ejercicio resuelto 5 Sabiendo que; se verica necesariamentealguna de las desigualdades: o ? Dar una prueba o uncontraejemplo en cada caso.Solucin. Que las letras no te de