CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES. ITOP - INGENIERÍA CIVIL

5/10/2018 CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES. ITOP - INGENIERÍA CIVIL - slidepdf.com

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Calculo en varias variables

Asignatura “Analisis Matematico” de 1o I.T.O.P.Memoria de la segunda parte - segundo parcial- de la asignatura.

Departamento de Matematicas de la Escuela Politecnica.Ricardo del Campo Acosta y Ricardo Garcıa Gonzalez.



A mis alumnos,por querer aprender algo nuevo



Indice

Introduccion v

Capıtulo 1. TOPOLOGIA DE RN 1

1.1. Producto escalar, norma y distancia euclıdeas 11.2. Bolas, entornos, abiertos y cerrados de RN 2

1.3. Convergencia de sucesiones enRN

5Capıtulo 2. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE

VARIAS VARIABLES 72.1. Lımite de una funcion de varias variables 82.2. Algunas tecnicas y metodos para el calculo de lımites 92.3. Lımites en el infinito y funciones divergentes 112.4. Continuidad de una funcion de varias variables 11

Capıtulo 3. DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE VARIASVARIABLES 15

3.1. Derivadas parciales y derivadas direccionales 15

3.2. Diferencial y gradiente de una funcion real de variasvariables. Relacion e interpretacion geometrica 17

3.3. Diferencial y matriz jacobiana de una funcion vectorial devarias variables. Regla de la cadena 21

3.4. Funciones definidas de forma implıcita. El teorema de lafuncion implıcita 24

3.5. Derivadas parciales y diferencial de orden superior. Matrizhessiana de una funcion real de varias variables 26

3.6. El teorema de Taylor en varias variables 283.7. Extremos relativos de una funcion real de varias variables 303.8. Extremos condicionados de una funcion real de varias

variables. El teorema de los multiplicadores de Lagrange 323.9. Extremos absolutos de una funcion real de varias variables 34

iii



Introduccion

El estudio de las aplicaciones o funciones de varias variables es unode los objetivos fundamentales de las matematicas, ya que la mayorıade los fenomenos de cualquier tipo (fısicos, quımicos, economicos, etc.)se pueden modelizar mediante una funcion de este tipo.

Cuando la aplicacion es lineal , conocemos tecnicas algebraicas que

me permiten manejarla y estudiarla facilmente, pues tales aplicacionesse pueden caracterizar mediante una matriz de coeficientes y ası tra-bajar con aplicaciones lineales se reduce a trabajar con matrices:

f (x,y,z) = (8x + y − z, x + 2y + 3z) =

8 1 −11 2 3

xyz

f (x,y,z) = (x − z, 4y + 6z, x − y − z) =

1 0 −1

0 4 61 −1 −1

x

yz

Obviamente la cantidad de aplicaciones con las que podemos tra-

bajar ası es bastante limitada, pues cuando la aplicacion no es lineal yano podemos estudiar su comportamiento global a traves de una matriz,pero a menudo si vamos a poder estudiar su comportamiento local atraves de ciertas matrices.

De hecho, en esencia, el objetivo del c´ alculo diferencial que vamosa presentar en esta memoria es ese: Estudiar una clase de funciones(las funciones diferenciables) que se parecen mucho a una aplicacionafın (esto es, su incremento se parece mucho a una aplicacion lineal)en un entorno de cada punto. De este modo las tecnicas algebraicasque ya conocemos nos permitiran obtener consecuencias locales sobretales funciones a partir de las propiedades (globales) de las aplicaciones

lineales a las que se parecen en cada punto.Se trata por tanto de explotar tanto como podamos las tecnicas

algebraicas para estudiar funciones que no tienen por que ser lineales.De este modo estamos ampliando enormemente la cantidad de fun-ciones con las que podemos trabajar, pues disponemos de herramientasmatematicas para extraer informacion util sobre ellas.

v



CAPıTULO 1

TOPOLOGIA DE RN

En el estudio de las funciones reales de variable real los intervalos de-sempenan un papel crucial pues algunas propiedades de tales funcionessolo se dan en un determinado tipo de intervalos. La importancia delos intervalos se debe a que nos permiten manejar (de un modo sencilloy riguroso) los numeros reales que se encuentran entorno a un numero

real dado a, en concreto, los numeros reales que estan a una distancia menor (o menor o igual) que ε de a, pues

]a − ε, a + ε[= {x ∈ R : |x − a| < ε}[a − ε, a + ε] = {x ∈ R : |x − a| ≤ ε}

Si ahora pretendemos estudiar funciones de varias variables nece-sitaremos una nocion que generalice la idea del valor absoluto comoherramienta para medir distancias entre puntos y unos conjuntos quehagan el papel de los intervalos como conjuntos de puntos entorno aun punto dado a.

1.1. Producto escalar, norma y distancia euclıdeas

Vamos a comenzar presentando de forma abstracta las nocionesbasicas con las que vamos a trabajar. Si X es un espacio vectorialsobre R se llama distancia a toda aplicacion d : X × X −→ R que∀x,y,z ∈ X verifica las siguientes propiedades:

• d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) = 0 ⇔ x = y• d(x, y) = d(y, x)• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Se llama norma a toda aplicacion · : X −→ R que ∀x,y,z ∈ X

y ∀λ ∈R

cumple lo siguiente:• x ≥ 0 y x = 0 ⇔ x = 0• λx = |λ|x• x + y ≤ x + y

Por ultimo, se llama producto escalar a toda forma bilineal simetricadefinida positiva de X , esto es a toda aplicacion < ·, · >: X × X −→ R

tal que ∀x, x, y ∈ X y ∀α, β ∈ R verifica que:

1



2 1. TOPOLOGIA DE RN

• < αx + βx, y >= α < x, y > +β < xy >• < x, y >=< y, x >

• < x, x > ≥ 0 y < x, x >= 0 ⇔ x = 0Intuitivamente una distancia es una funcion que mide el grado de

proximidad entre los puntos, una norma es una funcion que mide laslongitudes de los vectores y un producto escalar es una funcion que mepermite medir angulos y hablar de ortogonalidad entre vectores.

Ademas estas nociones no son independientes entre si, pues todoproducto escalar induce una norma , definida mediante la expresion

x :=√

< x, x >, ∀x ∈ X

y toda norma induce una distancia del siguiente modo:

d(x, y) :=

x

−y

,

∀x, y

∈X

es decir, que “si tengo un producto escalar en un espacio vectorial puedomedir longitudes de vectores sin m´ as que hacer la raız cuadrada del producto escalar de cada vector consigo mismo, y si tengo una nor-ma puedo medir distancias entre dos puntos cualesquiera midiendo la longitud de su diferencia como vectores”.

Como RN es un espacio vectorial con un producto escalar canonica-mente asociado, el producto escalar euclıdeo, dado por

x · y = < x, y > := x1y1 + · · · + xN yN

para todo x = (x1, . . . , xN ) e y = (y1, . . . , yN ) de RN , en particulartenemos una norma y una distancia inducidas, que reciben el nombrede norma y distancia euclıdeas y vienen dadas por

x =

x21 + · · · + x2

N

d(x, y) =

(x1 − y1)2 + · · · + (xN − yN )2

Estas son las nociones de producto escalar, norma y distancia quevamos a consideras canonicamente asociadas a RN . Notese que paraN = 1 la norma euclıdea no es otra cosa que el valor absoluto de unnumero real.

1.2. Bolas, entornos, abiertos y cerrados de RN

Definicion 1.2.1. Sea a ∈ RN y ε > 0. Se define la bola (abierta)de centro a y radio ε como el siguiente conjunto:

Bε(a) := {x ∈ RN : x − a < ε}Analogamente, se define la bola cerrada de centro a y radio ε como

Bε(a) := {x ∈ RN : x − a ≤ ε}



1.2. BOLAS, ENTORNOS, ABIERTOS Y CERRADOS DE RN 3

Observese que para N = 1 las bolas vuelven a ser intervalos, puesBε(a) =]a

−ε, a + ε[ y Bε(a) = [a

−ε, a + ε], para N = 2 lo que quedan

son cırculos (con o sin su circunferencia) y para N = 3 las bolas sonesferas.

Podemos considerar a las bolas centradas en un punto a como losentornos del punto a, pero conviene mas pensar en los entornos de acomo cualquier conjunto que contenga una bola centrada en a.

Definicion 1.2.2. Un conjunto V de RN se dice que es un entornodel punto a si existe ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ V .

Ya tenemos unos conjuntos, las bolas, que extienden la definicionde los intervalos a RN . Sin embargo, dada la riqueza de conjuntos quehay en RN , las bolas son unos conjuntos demasiados restrictivos para

nuestros fines: En R es suficiente con limitarnos a estudiar las funcionesdefinidas en un intervalo ya que la mayorıa de las funciones suelen estardefinidas de un modo natural sobre uno (o varios) intervalos, pero enRN los conjuntos en los que estan definidas las funciones pueden tener

una geometrıa muy diversa y no serıa muy interesante limitarnos soloa estudiar las funciones definidas en una (o varias) bolas.

Por este motivo vamos a usar las bolas para introducir un par defamilias de conjuntos de RN muchos mas amplia que las propias bolas,que seran la familia de los conjuntos abiertos y la de los conjuntoscerrados de RN .

Definicion 1.2.3. Sea A ⊆ RN y x ∈ RN . Se dice que• x es un punto interior de A si ∃ε > 0 tal que Bε(x) ⊆ A• x es un punto adherente de A si ∀ε > 0, Bε(x) ∩ A = ∅

Al conjunto A◦ de todos los puntos interiores de A lo llamaremosinterior de A y al conjunto A de todos los puntos adherentes de A lollamaremos clausura, cierre o adherencia de A.

Es claro que todo punto interior de un conjunto A es forzosamenteun punto de A y que todo punto de A es un punto adherente de A.En sımbolos, para todo A ⊆ R

N se tiene que A◦ ⊆ A ⊆ A. Pongamosnombre a los conjuntos que de hecho coinciden con su interior o con su

adherencia:

Definicion 1.2.4. Sea A un conjunto cualquiera de RN .Se dice que A es abierto si A = A◦ (todos los puntos de A son

interiores o, expresado de otro modo, A es entorno de todos sus puntos).Se dice que A es cerrado si A = A (todos los puntos adherentes de

A estan de hecho en A).



4 1. TOPOLOGIA DE RN

Ejemplo 1.2.5. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos y lasbolas cerradas son conjuntos cerrados de RN .

Intuitivamente, los conjuntos abiertos son aquellos que no tienenfrontera o borde alguno y los conjuntos cerrados son lo que contienen atoda su frontera o borde. Esto se puede expresar de un modo rigurosodefiniendo la frontera de un conjunto del siguiente modo:

Definicion 1.2.6. Se dice que x es un punto frontera de A si

∀ε > 0, Bε(x) ∩ A = ∅ y Bε(x) ∩ (RN \A) = ∅Denotaremos por F r(A) al conjunto de todos los puntos frontera de A.

Como F r(A) = A \A◦, es evidente que un conjunto A es abierto

si y solo si no contiene ningun punto frontera y es cerrado si y solo sicontiene a toda su frontera. En la practica no se suele trabajar muchocon la frontera de un conjunto: Es mejor trabajar directamente con losconjuntos abiertos y cerrados ya que verifican unas propiedades facilesde formular como vemos a continuacion.

Proposicion 1.2.7. Los abiertos de RN cumplen estas propiedades:

(i) ∅ y RN son abiertos(ii) La uni´ on arbitraria de abiertos es un abierto(ii) La intersecci´ on finita de abiertos es un abierto

Adem´ as, un conjunto A es cerrado si y s´ olo si RN

\A es abierto.

Por tanto, los cerrados de RN verifican las siguientes propiedades:(i) ∅ y RN son cerrados

(ii) La uni´ on finita de cerrados es un cerrado(ii) La intersecci´ on finita de cerrados es un cerrado

Definicion 1.2.8. La familia T de todos los conjuntos abiertos deRN recibe el nombre de topologıa (usual ) de RN .

Muchas de las propiedades de los conjuntos y de las funciones deRN dependen en gran medida de la topologıa de RN . Por este motivo,

la topologıa de RN estara presente de uno u otro modo en la mayorıa delos resultados que vamos a obtener para funciones de varias variables.En este sentido, hay un tipo particular de cerrados que merecen especialatencion, pues (como veremos posteriormente) van a conservar algunade las propiedades que poseıan los intervalos cerrados y acotados de R.

Definicion 1.2.9. Sea A un conjunto cualquiera de RN

Se dice que A esta acotado si ∃M > 0 tal que x ≤ M , ∀x ∈ A.Se dice que A es compacto si es cerrado y acotado.



1.3. CONVERGENCIA DE SUCESIONES EN RN 5

Para terminar esta seccion vamos a presentar dos tipos distintos depuntos adherentes que es interesante distinguir.

Definicion 1.2.10. Sea A ⊆ RN y x ∈ RN . Se dice que

• x es un punto aislado de A si ∃ε > 0 tal que Bε(x) ∩ A = {x}• x es un punto de acumulaci´ on de A si ∀ε > 0 Bε(x)∩A\{x} = ∅

El conjunto de todos los puntos de acumulacion de A se llama conjuntoderivado de A y se denota por A.

1.3. Convergencia de sucesiones en RN

Definicion 1.3.1 (Convergencia de una sucesi´ on en RN ). Se diceque una sucesion {xn} ⊆ R

N converge a l ∈ RN , y notaremos xn → lsi

∀ε > 0,

∃m

∈N :

∀n

≥m,

xn

−l

< ε.

Pero una sucesion {xn} de RN esta formada realmente por N suce-siones de numeros reales, pues cada termino xn es un vector con N com-ponentes, xn = (x1

n, . . . , xN n ), por lo que cabe preguntarse si podemos

caracterizar su convergencia mediante la convergencia tales sucesionesde numeros reales xi

n, ∀i = 1, . . . , N . La respuesta es afirmativa: la con-vergencia en RN se puede calcular coordenada a coordenada , como ponede manifiesto el siguiente resultado:

Proposicion 1.3.2. xn → l ⇔ xin → li, ∀i = 1, . . . , N .

Esto simplifica mucho la situacion ya que reduce la nueva nocionde convergencia a la ya conocida y ampliamente estudiada convergen-cia de sucesiones de numeros reales (luego no necesitamos introducirninguna tecnica nueva para estudiar la convergencia de las sucesionesde vectores).

Ejemplo 1.3.3. ( 1n

, nn+1

) → (0, 1) en R2 porque 1n

→ 0 y nn+1

→ 1.

La principal utilidad de la nocion de convergencia de sucesioneses que permite caracterizar la topologıa de RN y por tanto todos losconceptos que se pueden definir a partir de ella. A modo de ejemplo,veamos como podemos caracterizar (de un modo sencillo y elegante)los puntos adherentes y los puntos de acumulacion mediante sucesiones

convergentes:Proposicion 1.3.4. Dados A ⊆ R

N y x ∈ RN , se cumple que:

(i) x ∈ A ⇔ ∃{xn} ⊆ A, xn → x.(ii) x ∈ A ⇔ ∃{xn} ⊆ A, xn = x, ∀n ∈ N, xn → x.

En particular, A es cerrado si y solo si contiene el lımite de cualquier sucesi´ on convergente de elementos de A.



CAPıTULO 2

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

DE VARIAS VARIABLES

El objetivo de los dos proximos capıtulos consiste en definir y estu-diar las principales propiedades de las funciones f : A ⊆ R

N −→ RM .

Para ello, procederemos del siguiente modo:Vamos a trabajar principalmente con funciones f : A

⊆RN

−→R,

definiendo los distintos conceptos o propiedades para ellas, ya que lasfunciones F : A ⊆ R

N −→ RM estan caracterizadas por sus M fun-

ciones coordenadas o componentes f i : A ⊆ RN −→ R, ∀i = 1, . . . , M

que verifican que F (x) = (f 1(x), . . . , f M (x)), ∀x ∈ RN , por lo que no-taremos F = (f 1, . . . , f M ).

Por lo tanto, podremos extender la mayorıa de los conceptos ypropiedades a funciones F : A ⊆ R

N −→ RM a traves de sus fun-

ciones coordenadas o componentes: Diremos que F presenta una ciertacondicion o propiedad si y solo si todas sus funciones coordenadas f i,con i = 1, . . . , M , la cumplen.

Observacion 2.0.5. El dominio de una funcion f : A ⊆ RN −→RM es el conjunto A donde esta definida la funcion. Siempre podremos

restringirnos a un dominio B mas pequeno (en el sentido de contenidoen A) sin mas que considerar que la funcion f actua tan solo sobrelos puntos de B (en tal caso, se suele decir que trabajamos con larestricci´ on de f a B o que f esta restringida al conjunto B y se denotapor f |B).

Ahora bien, si no se expresa un dominio A de manera explıcita, seentiende que este es el mas grande posible, esto es, el conjunto A deRN donde la expresion f (x) tiene sentido

Ejemplo 2.0.6. Calcular el dominio de f (x, y) = ln(xy) 1 − x2 − y2

Observacion 2.0.7. El rango o la imagen de una funcion f : A ⊆RN −→ R

M es el conjunto f (A) de los valores que toma la funcion,esto es, los puntos del espacio de llegada, y ∈ RM , que son la imageny = f (x) de algun x ∈ A.

7



8 2. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

2.1. Lımite de una funcion de varias variables

Definicion 2.1.1. Sean A

⊆RN , a

∈A, l

∈R, L = (l1, . . . , lM ),

f : A ⊆ RN −→ R y F : A ⊆ RN −→ RM con F = (f 1, . . . , f M ).

Se dice que f tiene lımite l en el punto a, y se nota lımx→a

f (x) = l, si

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < x − a < δ ⇒ |f (x) − l| < ε.

Se dice que F tiene lımite L en el punto a, y notaremos igualmentelımx→a

F (x) = L, si f i tiene lımite li en el punto a, o sea, que el lımite de

una funcion vectorial se calcula componente a componente:

lımx→a

F (x) =

lımx→a

f 1(x), . . . , lımx→a

f M (x)

.

Observacion 2.1.2. Para hablar de lımite de una funcion f en unpunto a no es necesario que la funcion f este definida en tal punto:basta con que a sea un punto de acumulacion del dominio A de f (esdecir que podamos acercarnos al punto mediante una sucesion de otrospuntos de A que no sean el propio a).

De hecho se puede dar una definicion equivalente del concepto delımite de una funcion f en a mediante sucesiones del siguiente modo:

lımx→a

f (x) = l ⇔ ∀{xn} ⊆ A con xn = a, ∀n ∈ N y xn → a, f (xn) → l.

la cual deja mucho mas claro la necesidad de que a sea un punto deacumulacion de A para que la definicion de lımite no sea vacıa.

Observacion 2.1.3. La notacion lımx→a f (x) = l encierra realmentedos afirmaciones: que ese lımite realmente existe, o sea, que es unnumero real, y que tal lımite es, en concreto, el valor l. Para enfatizareste hecho a menudo escribiremos ∃ lım

x→af (x) = l, o solo ∃ lım

x→af (x) si

no sabemos o no los interesa el valor de ese lımite.

Observacion 2.1.4 (unicidad del lımite). Se puede probarfacilmente que, el lımite de una funci´ on en un punto a, si existe, es´ unico. En sımbolos: Si lım

x→af (x) = l y lım

x→af (x) = l entonces l = l.

Proposicion 2.1.5 (algebra de lımites). Sean f y g dos fun-

ciones de A ⊆ RN en RM y a ∈ A

.(i) lım

x→a(f +g)(x) = lım

x→af (x)+ lım

x→ag(x), si ∃ lım

x→af (x) y ∃ lım

x→ag(x)

(ii) lımx→a

(f g)(x) = lımx→a

f (x) lımx→a

g(x), si ∃ lımx→a

f (x) y ∃ lımx→a

g(x)

(iii) lımx→a

f

g(x)

lımx→a

f (x)

lımx→a

g(x), si ∃ lım

x→af (x) y ∃ lım

x→ag(x) = 0



2.2. ALGUNAS TECNICAS Y METODOS PARA EL CALCULO DE LIMITES 9

2.2. Algunas tecnicas y metodos para el calculo de lımites

2.2.1. Lımites por caminos y lımites direccionales: En R,para acercarnos a un punto a podemos hacerlo de tres maneras: Pode-mos movernos solo por puntos situados a la izquierda de a, hacerlo solopor puntos situados a la derecha de a o hacerlo por ambos lados delpunto a. Cuando calculamos el lımite de una funcion real de variablereal, estas distintas formas de acercarse a un punto conducen a los con-ceptos de lımite por la izquierda, por la derecha y lımite (global) de lafuncion en a y sabemos que la existencia del lımite de la funcion en unpunto a es equivalente a que ambos lımites laterales existan y tomenel mismo valor real.

En RN podemos acercarnos a un punto a de muchas mas formas.En general, si f : A

⊆RN

−→RM y a

∈A, podemos acercarnos al

punto a a traves de cualquier subconjunto B ⊆ A tal que a ∈ B. Enestas condiciones vamos a denotar por

lımx→a

x∈B

f (x) := lımx→a

f |B(x)

esto es, al lımite de f cuando x tiende a a pero moviendonos solo atraves de los puntos de B. Con esta notacion es claro que

lımx→a

f (x) = l ⇒ lımx→a

x∈B

f (x) = l

o sea, que “si existe el lımite de f cuando x tiende a a existe entoncesexiste el lımite de f cuando x tiende a a a traves de cualquier subconjunto suyo y adem´ as coincide con el”.

Esta ingenua afirmacion es una herramienta muy util para compro-bar que ciertas funciones no tienen lımite en un punto o para obtenerel unico candidato a lımite posible.

Los lımites a traves de subconjuntos se usan sobre todo tomandocomo conjunto B ciertos caminos en RN que conducen hacia el punto a,como por ejemplo las rectas que pasan por a. Estos ultimos reciben elnombre de lımites direccionales de f en a y para funciones de dos vari-ables son especialmente faciles de calcular ya que se reducen a lımites

de funciones reales de variable real. Su doble uso se resume brevementede la siguiente manera:

(1o) Si existen los lımites direccionales de f en a y no son todosiguales, entonces f no tiene lımite en a

(2o) Si todos los lımites direccionales de f en a son iguales a l,entonces l es el unico candidato admisible a lımite (o sea, ellımite de f en a, si existe, es a la fuerza l)




El siguiente ejemplo muestra la utilidad de los lımites direccionalespara probar la no existencia de lımite de una funcion en un punto.

Ejemplo 2.2.1. La funcion f (x, y) := xyx2+y2 no tiene lımite en (0, 0)

Sin embargo, el que todos los lımites direccionales de f en un puntoa sean iguales no significa que la funcion tenga lımite (global) comopone de manifiesto el siguiente ejemplo

Ejemplo 2.2.2. Todos los lımites direccionales en (0, 0) de la fun-

cion f (x, y) = x3

x2−yvalen 0 y sin embargo f no tiene lımite en (0, 0).

2.2.2. Lımites reiterados: Se llaman lımites reiterados de unafuncion f de dos variables en un punto (a, b) a los limites dobles

lımx→alımx→b

f (x, y) y lımx→b lımx→a

f (x, y)donde se entiende que en el lımite interior solo se mueve una variabley la otra se trata como si fuese constante.

Cabe preguntarse ¿que relacion existe entre el lımite (global) dela funcion f en (a, b) y sus lımites reiterados? El siguiente resultadoestablece la unica relacion general entre esos valores.

Proposicion 2.2.3. Si existe lım(x,y)→(a,b)

f (x, y) = l y existen los

lımites reiterados, entonces lımx→a

lımx→b

f (x, y) = lımx→b

lımx→a

f (x, y) = l.

Por tanto, podemos usar los lımites reiterados de este modo:

(1o

) Si lımx→a lımx→b f (x, y) = lımx→b lımx→a f (x, y) ⇒ f no tiene lımite en a(2o) Si lım

x→alımx→b

f (x, y) = lımx→b

lımx→a

f (x, y) = l ⇒ l es el unico can-

didato admisible a lımite

Un ejemplo de uso tıpico del primer caso es el siguiente:

Ejemplo 2.2.4. La funcion f (x, y) := x2−y2

x2+y2no tiene lımite en (0, 0)

No obstante, ejemplos sencillos ponen de manifiesto que la igualdadde los lımites reiterados no garantiza la existencia de lımite (global) dela funcion:

Ejemplo 2.2.5. La funcion f (x, y) := xy

x2+y2no tiene lımite en (0, 0)

como ya sabemos y sin embargo sus limites reiterados valen ambos 0.Por otra parte tambien es importante senalar que si no existe alguno

(o ninguno) de los lımites reiterados tampoco podemos asegurar nada:

Ejemplo 2.2.6. La funcion f (x, y) :=

y x ≥ 0

−y x < 0tiene lımite 0

cuando (x, y) → (0, 0) pero no existe el lımx→0

f (x, y) para ningun y = 0.



2.4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES 11

Ejemplo 2.2.7. La funcion f (x, y) := x sen(1y

) + y cos( 1x

) tiene

lımite 0 cuando (x, y)

→(0, 0) y sin embargo no existen ninguno de los

dos lımites reiterados en (0, 0).2.2.3. Lımites en polares: Podemos calcular el lımite de una

funcion f (x, y) de dos variables en el punto (0, 0) haciendo el cambio acoordenadas a polares

x = r cos θy = r sen θ

Teniendo en cuenta que (x, y) → (0, 0) equivale a r → 0, ∀θ ∈]0, 2π[,

lım(x,y)→(0,0)

f (x, y) = lımr→0

f (r cos θ, r sen θ), ∀θ ∈]0, 2π[

luego para que ese lımite exista no puede depender de θ.

Ejemplo 2.2.8. Calcular mediante el cambio a coordenadas polares

lım(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2y lım

(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2

2.3. Lımites en el infinito y funciones divergentes

Si f : RN −→ R, a ∈ RN y l ∈ R tambien se pueden definir los

lımites en el infinito y las funciones divergentes en un punto a o elinfinito del siguiente modo:

• lımx→∞

f (x) = l ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ |f (x) − l| < ε.

•lımx→a

f (x) =∞ ⇔ ∀

K > 0,∃

δ > 0 :

x−

a

< δ⇒ |

f (x)|

> K .

• lımx→∞

f (x) = ∞ ⇔ ∀K > 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ |f (x)| > K .

Observacion 2.3.1. Notese que para x ∈ RN , la expresion x →

∞ significa realmente que ||x|| → ∞ (o sea que cubrimos todas lasdirecciones posibles de RN ).

2.4. Continuidad de una funcion de varias variables

Definicion 2.4.1. Sean A ⊆ RN , a ∈ A, f : A ⊆ R

N −→ R yF : A ⊆ R

N −→ RM con F = (f 1, . . . , f M ).

Se dice que f es continua en el punto a si verifica lo siguiente:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − a < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε

Se dice que F es continua en el punto a si f i es continua en el puntoa, ∀i = 1, . . . , M (equivalentemente: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − a < δ ⇒f (x) − f (a) < ε).

Ademas, diremos que f (o F ) es continua en A si y solo si lo espara todo punto a ∈ A.




Observacion 2.4.2. La continuidad de f (y de F ) se puede definirtambien equivalentemente mediante sucesiones del siguiente modo:

f es continua en a ⇔ ∀{xn} ⊆ A con xn → a, f (xn) → f (a).

Ejemplo 2.4.3. Demuestre, haciendo uso de la definicion de con-tinuidad, que la norma es una aplicacion continua de RN en R (pruebeque | x − y | ≤ x − y, ∀x, y ∈ RN ) y que toda aplicacion linealde RN en RM es continua.

A la vista de esta definicion, la relacion entre los conceptos de con-tinuidad y lımite es casi inmediata:

Proposicion 2.4.4. Sean A ⊆ RN , a ∈ A y f : A ⊆ R

N −→ RM .

(i) Si a es un punto aislado de A entonces f es continua en a.(ii) Si a ∈ A, f es continua en a si y solo si ∃ lım

x→af (x) = f (a).

Puesto que ya sabemos que los lımites (cuando existen) se compor-tan bien con las operaciones algebraicas tenemos, en particular que lassumas, productos y cocientes (por funciones no nulas) de funcionescontinuas son funciones continuas. Ademas la composicion de fun-ciones continuas es tambien una funcion continua. Por tanto, todas lassumas, productos, exponenciales y logaritmos de funciones polinomi-cas en varias variables (por ejemplo, x,xy,x3y + 2x2, cos x, sin(x +y), exp(2x + y), ln(x2 + y2), . . .) son funciones continuas.

El unico problema que se nos puede presentar es cuando una funcionf esta definida de distinta forma en distintas regiones del dominio.En esta situacion f puede coincidir con una continua en una de talesregiones, pero eso solo nos dice que f , restringida a ese subconjuntodel dominio, es continua. El siguiente resultado puede sernos muy utilpara garantizar la continuidad de f en esa situacion, pues afirma quela continuidad de una funcion en un punto es una propiedad local: la continuidad en un punto a s´ olo depende de los puntos que hay en un entorno de a.

Proposicion 2.4.5 (caracter local de la continuidad).

Sean A ⊆ RN , a ∈ A◦

y f : A ⊆ RN −→ RM .(i) Si f |Ba(ε) es continua en a, entonces f es continua en a.

(ii) Si B ⊆ A, B abierto, f |B es continua en B, entonces f escontinua en B.

Ejemplo 2.4.6. f (x, y) :=

x2y

x2+y2(x, y) = (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)es continua



2.4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES 13

Recordemos que para funciones f reales de variable real sabemosque la imagen mediante una funcion continua de un intervalo com-

pacto es un intervalo compacto. Para funciones de varias variables lapropiedad que se verifica, en general, es que la imagen mediante una

funci´ on continua de una conjunto compacto es un compacto, esto es,

Teorema 2.4.7 (propiedad de compacidad). Sea A ⊆ RN . Si

f : A −→ RM es una funci´ on continua y A es compacto, entonces f (A)

es compacto.

Este resultado nos dice, en particular, que las funciones reales devarias variables sobre compactos siguen teniendo maximo y mınimoabsoluto.

Corolario 2.4.8 (teorema de Weierstrass). Sea A⊆RN .

Si f : A −→ R es continua y A es compacto, entonces f alcanza su m´ aximo y su mınimo en A.

Acabamos de asegurar que las funciones continuas transformancompactos en compactos. No ocurre lo mismo con los abiertos ni con loscerrados: Una funcion continua puede trasformar abiertos en conjun-tos que no sean abiertos y cerrados en conjuntos que no sean cerrados(incluso una funcion real de variable real).

Lo que ocurre en realidad es que es la imagen inversa de una funcioncontinua la que se comporta bien con los abiertos y con los cerrados.De hecho podemos caracterizar las funciones continuas mediante esa

propiedad del siguiente modo:

Teorema 2.4.9. Sea f : A ⊆ RN −→ R

M .

(i) f es continua si y solo si f −1(E ) es un abierto de RN cortadocon A para todo E abierto de RM .

(ii) f es continua si y solo si f −1(F ) es un cerrado de RN cortadocon A para todo F cerrado de RM .

Sin embargo esta caracterizacion de la continuidad se suele usar masen el sentido contrario que para estudiar la continuidad de una funciondada: Se suele emplear para probar que ciertos conjuntos (definidosmediante una funcion continua de sus coordenadas) son abiertos o cer-

rados. Por ejemplo, se puede ver de este modo que las bolas abiertasson conjuntos abiertos, pues se pueden expresar como

Ba(ε) = {x ∈ RM : x − a < ε} = f −1( ] − ∞, ε[ ),

siendo f la funcion f : RN −→ R dada por f (x) := x − a que esclaramente continua.



CAPıTULO 3

DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE

VARIAS VARIABLES

3.1. Derivadas parciales y derivadas direccionales

Pretendemos extender la nocion de derivabilidad de una funcion f :R −→ R a funciones de varias variables. Recordemos que f es derivable

en un punto a si existe el siguiente lımite (expresado de cualquiera deestas dos formas equivalentes):

f (a) = lımh→0

f (a + h) − f (a)

h= lım

x→a

f (x) − f (a)

x − a.

Si tenemos ahora una funcion f : A ⊆ RN −→ R, el modo mas

sencillo de proceder es intentar reducirnos al caso unidimensional, con-siderando la funcion f como si fuese una funcion de una unica variable,es decir, manteniendo fijas todas las variables menos una. Esto nos con-duce al concepto de derivada parcial de una funcion de varias variables

Definicion 3.1.1. Sea f : A

⊆RN

−→R, a

∈A, a = (a1, . . . , aN ).

Se dice que f es derivable (parcialmente) en a con respecto a la variable xi, para i = 1, . . . , N , si existe el siguiente lımite

∂f

∂xi

(a) := lımh→0

f (a1, . . . , ai + h , . . . , aN ) − f (a1, . . . , a2)

h

que llamaremos derivada parcial de f en a respecto a xi.

Si no se expresa un punto a concreto se entiende que ∂f

∂xies la

funcion de varias variables ∂f

∂xi(x) definida en todos los puntos x ∈ R

en los cuales f es derivable con respecto a xi.

Para N = 2, las derivadas parciales de f en a = (a1, a2) quedan ası:

∂f ∂x

(a1, a2) = lımh→0

f (a1 + h, a2) − f (a1, a2)h

∂f

∂y(a1, a2) = lım

h→0

f (a1, a2 + h) − f (a1, a2)

h

Observacion 3.1.2. Si definimos las funciones reales de variablereal u y v como u(x) := f (x, a2) y v(y) := f (a1, y), es claro que las

15



16 3. DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

parciales de f no son otra cosa que las derivadas de u y v en a2 y a1,respectivamente, pues

∂f ∂x

(a1, a2) = lımh→0

u(a1 + h) − u(a1)h

= u(a1)

∂f

∂x(a1, a2) = lım

h→0

v(a2 + h) − v(a2)

h= v(a2)

Por lo tanto, podemos calcular las derivadas parciales de f derivan-do las funciones reales de variable real u y v. Pero u y v no son otracosa que f cuando se fija una de sus variables, luego lo que estamosdiciendo es que podemos calcular las parciales de f derivando f comosi s´ olo dependiese de una variable y la otra fuese constante. Lo buenode este procedimiento es que nos permite usar todos las tecnicas queya conocemos para derivar funciones reales de variable real a la horade calcular derivadas parciales, lo que facilita enormemente su calculo.

Ejemplo 3.1.3. Para f (x, y) = x2y + 2xy3 + 4x, se tiene que∂f

∂x(x, y) = 2xy + 2y3 + 4 y ∂f

∂y(x, y) = x2 + 6xy2, ∀(x, y) ∈ R2

El problema que presenta el concepto de derivada parcial es quela existencia de todas las derivadas parciales de una funci´ on f en un punto no garantiza la continuidad de f en tal punto, luego el conceptode derivada parcial no generaliza adecuadamente al de derivabilidadde funciones reales de variable real ya que no conserva una de susprincipales propiedades.

Ejemplo 3.1.4. f (x, y) :=

1 si x = 0 o y = 00 si x = 0 e y = 0

en (0, 0).

Este mal comportamiento de las derivadas parciales de una fun-cion f se debe a que las derivadas parciales nos dan s olo una visionparcial de la funcion. En concreto, las derivadas parciales de f en anos proporcionan la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en las direcciones de las variables y eso, en general, no nos dice nada delcomportamiento global de la funcion en un entorno del punto a.

Esta idea de derivar en la direccion de las variables se puede gen-eralizar a cualquier vector de RN del siguiente modo:

Definicion 3.1.5. f : A ⊆ RN

−→ R, a ∈ A

, v ∈ RN

(v = 1).Se dice que f es derivable en a seg´ un el vector v si existe el siguiente

lımite

Dvf (a) =∂f

∂v(a) := lım

h→0

f (a + hv) − f (a)

hque llamaremos derivada (direccional) de f en a seg´ un (la direcci´ on del vector) v.



3.2. DIFERENCIAL Y GRADIENTE 17

3.2. Diferencial y gradiente de una funcion real de varias

variables. Relacion e interpretacion geometrica

Como la existencia de todas las derivadas direccionales de una fun-cion en un punto no implica la continuidad de la funcion en dicho pun-to, el concepto de derivada direccional no extiende satisfactoriamenteel caso real.

Por ello vamos a introducir un nuevo concepto, el de diferencial deuna funcion de varias variables, que si extiende el concepto de derivadaadecuadamente, esto es, conservando sus principales propiedades.

La nocion de diferenciabilidad surge de manera natural a partir dela siguiente reformulacion de la derivabilidad de funciones de realesde variable real f : A ⊆ R −→ R: f es derivable en a ⇔ f (a) =

lımh→0

f (a + h)−

f (a)

h ⇔ lımh→0

f (a + h)−

f (a)−

f (a)h

h = 0 ⇔ existeuna aplicacion lineal D : R −→ R, dada por D(h) = f (a)h, tal que

lımh→0

f (a + h) − f (a) − D(h)

h0.

Definicion 3.2.1. Sea A ⊆ RN abierto, f : A ⊆ R

N −→ R, a ∈ A.

Se dice que f es diferenciable en el punto a si existe una aplicacionlineal (necesariamente unica por ser A abierto) que denotaremos pordf (a) o Df (a) y llamaremos diferencial de f en a , tal que

lımh→0

f (a + h) − f (a) − df (a)(h)

h

= 0.

Observacion 3.2.2. Notese que aquı h = (h1, h2, . . . , hN ) es unincremento para cada una de las variables de f , es decir, que estamosmoviendo todas las variables de f (a diferencia de lo que hemos estadohaciendo hasta ahora, donde la h era un numero real).

En primer lugar veamos que la diferenciabilidad es un concepto masfuerte, mas restrictivo, que el de la derivabilidad segun cualquier vectory por tanto que la derivabilidad parcial.

Teorema 3.2.3 (conds. necesarias de diferenciabilidad).Si f es diferenciable en a entonces f es derivable en a seg´ un cualquier vector v

∈RN con

Dvf (a) = df (a)(v).

En particular, si f es diferenciable en a entonces existen todas lasderivadas parciales de f en a y

∂f

∂xi

(a) = df (a)(ei), ∀i = 1, . . . , N ,

siendo {e1, . . . , eN } la base can´ onica de RN .




El resultado anterior nos dice en particular que la existencia dederivadas parciales (y en general, de cualquier derivada direccional) de

una funci´ on en un punto es una condici´ on necesaria para que la funci´ on pueda ser diferenciable en ese punto.

Pero aun podemos extraer mas informacion del resultado anterior:Como la diferencial de una funcion f sobre la base canonica este dadapor las parciales de de f se deduce inmediatamente que las derivadasparciales de f determinan a la diferencial de f de la siguiente manera

Corolario 3.2.4. Si f es diferenciable en a entonces la diferencial de f en a es la aplicaci´ on lineal de RN en R dada por

df (a)(x1, . . . , xN ) =∂f

∂x1(a) x1 + · · · +

∂f

∂xN

(a) xN .

Observacion 3.2.5. A menudo (sobre todo, cuando la diferencialse calcula en un punto arbitrario x de RN ) se usa como variable dedf (x) el vector dx = (dx1, . . . , d xN ) pues se entiende que la diferencialde f en x actua sobre un incremento dx de la variable x. Con estanotacion la diferencial quedarıa expresada del siguiente modo:

df (x)(dx1, . . . , d xN ) =∂f

∂x1(x) dx1 + · · · +

∂f

∂xN

(x) dxN

o mas abreviadamente (omitiendo todas las variables para simplificarla notacion),

df =∂f

∂x1

dx1 +

· · ·+

∂f

∂xN

dxN .

Definicion 3.2.6. Sea A ⊆ RN abierto, a ∈ A y f : A ⊆ R

N −→ R

parcialmente derivable en a con respecto a xi, ∀i = 1, . . . , N .Se llama vector gradiente de f en a al siguiente vector de RN

f (a) :=

∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xN

(a)

Corolario 3.2.7. El vector gradiente de una funci´ on f diferen-

ciable en un punto a es la matriz asociada a la diferencial de f en arespecto de las bases can´ onicas de RN y R. Por tanto, la diferencial def en a act´ ua ası

df (a)(x1, . . . , xN ) =

∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xN

(a)

x1...

xN

lo cual tambien se puede interpretar como el producto escalar del vector gradiente f (a) por el vector (x1, . . . , xN ), esto es

df (a)(x) = f (a) · x, ∀x ∈ RN .



3.2. DIFERENCIAL Y GRADIENTE 19

Por tanto, las derivadas parciales de una funcion f me dan todala informacion que necesito para poder estudiar la diferenciabilidad de

tal funcion, ya que(1o) Si no existe alguna derivada parcial de f en un punto a en-

tonces f no es diferenciable en ese punto.(2o) Si existen todas las derivadas parciales de f en a entonces

tenemos la unica aplicacion lineal D candidata a ser la df (a):la dada por D(x1, . . . , xN ) = ∂f

∂x1(a) x1 + · · · + ∂f

∂xN (a) xN .

Ademas, las derivadas direccionales permiten dar una interesanteinterpretacion geometrica del vector gradiente: Como

Dvf (a) = df (a)(v) = f (a) · v, ∀v ∈ RN ,

tenemos que Dvf (a) = f (a)v cos θ,

siendo θ el angulo entre f (a) y v, de lo que se deducen las siguientesconsecuencias:

Corolario 3.2.8. Sea A ⊆ RN abierto, f : A ⊆ R

N −→ R, a ∈ A.∀v ∈ R

N con v = 1 se tiene que −f (a) ≤ Dvf (a) ≤ f (a)(las derivadas direccionales de la funci´ on est´ an acotadas por la norma del gradiente). Adem´ as,

(i) Dvf (a) = f (a) ⇔ v =f (a)

f (a) (La derivada direccional

m´ axima se alcanza s´ olo en la direcci´ on del gradiente).(ii) Dvf (a) = −f (a) ⇔ v − f (a)

f (a) (La derivada direc-

cional mınima se alcanza s´ olo en la direcci´ on opuesta).(iii) Dvf (a) = 0 ⇔ v ⊥ f (a) (La derivada direccional se anula

´ unicamente en la direcci´ on perpendicular a la del gradiente).

Por lo tanto,

(1o) El vector gradiente los proporciona la direccion de maximocrecimiento del la funcion.

(2o) La direccion opuesta a la del gradiente es la direccion de maxi-

mo decrecimiento de la funcion.(3o) La direccion perpendicular a la del gradiente es la de mınimavariacion de la funcion. (De hecho, el gradiente es un vectorperpendicular a las curvas de nivel de la funcion).

Ejemplo 3.2.9. Sea T (x, y) = 100 − x2 − y2 la temperatura deuna placa con un foco de calor en el punto (0, 0) y supongamos queuna partıcula se encuentra en le punto (1, 1). ¿En que direccion debe




moverse la partıcula sobra la placa para hacerlo sobre la mayor tem-peratura posible?, ¿y la menor?, ¿y para que su temperatura varıa lo

menos posible?

Por otra parte, la diferenciabilidad de una funcion si conserva unapropiedad fundamental de la derivabilidad de funciones reales de vari-able real, pues la continuidad de una funcion es tambien una condicionnecesaria para la diferenciabilidad de tal funcion.

Teorema 3.2.10 (2a cond. necesaria de diferenciabilidad).Si una funci´ on f es diferenciable en a entonces f es continua en a.

De hecho, lo unico que le falta a una funcion continua en un puntoa para ser diferenciable es que se pueda aproximar en un entorno del

punto a mediante una funcion afın. Esto es lo que afirma el siguienteresultado, el cual nos proporciona la interpretacion geometrica de ladiferenciacion de funciones de varias variables.

Teorema 3.2.11. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) f es diferenciable en a.(ii) f es continua en a y existe una aplicaci´ on afın g : RN −→ R

tal que lımx→a

f (x) − f (a)

x − a= 0.

Adem´ as, en tal caso, g es forzosamente la aplicaci´ on dada por

g(x) := f (a) + f (a) · (x − a), ∀x ∈ RN

.Corolario 3.2.12 (interpretacion geometrica de la dif.).

Sea A ⊆ RN abierto, f : A −→ R y a ∈ A con a = (a1, . . . , aN ).

La gr´ afica de la aplicaci´ on g del teorema anterior, esto es el conjunto{(x1, . . . , xN , xN +1) : xN +1 = g(x1, . . . , xN )}, es el hiperplano de RN +1

dado por la ecuaci´ on

xN +1 = f (a) +∂f

∂x1(a) (x1 − a1) + · · · +

∂f

∂xN

(a) (xN − aN )

que, evidentemente, pasa por el punto (a1, . . . , an, f (a)) de RN +1.

Si f es diferenciable en a este hiperplano recibe el nombre de hiper-plano tangente a la grafica de f en a, ya que es el que mejor aproxima a la gr´ afica de f en un entorno de a.

Para N = 1, se trata de la (ya conocida) recta tangente a la gr´ afica y = f (x) en a:

y = f (a) + f (a)(x − a)



3.3. DIFERENCIAL Y MATRIZ JACOBIANA 21

Para N = 2, lo que nos queda es la ecuaci´ on del plano tangente a la gr´ afica z = f (x, y) en (a1, a2):

z = f (a) +∂f

∂x(a) (x − a1) +

∂f

∂y(a) (y − a2)

Ejemplo 3.2.13. Determinar el plano tangente a la grafica def (x, y) = x2 + y2 en el punto (1, 1).

Hasta ahora hemos estado viendo condiciones necesarias para ladiferenciabilidad de una funcion que se pueden usar para probar queuna funcion no es diferenciable en un punto pero no para comprobarque sea diferenciable.

A continuacion vamos a presentar una sencilla condicion suficiente

para la diferenciabilidad que evita tener que recurrir a la definici on dediferenciabilidad en muchos casos.

Definicion 3.2.14. Sea A ⊆ RN abierto y f : A −→ R. Se dice

que f es de clase C 1 en A, y se nota f ∈ C 1(A), si existen todas lasderivadas parciales de f en A y son continuas.

Teorema 3.2.15 (cond. suficiente de diferenciabilidad).Si f es de clase C 1 en A entonces f es diferenciable en A.

Sin embargo el recıproco del teorema anterior no es cierto en gen-eral, es decir que no todas las funciones diferenciables son de clase C 1,como pone de manifiesto el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.2.16. La funcion f definida por

f (x, y) =

(x2 + y2)sin 1√

x2+y2(x, y) = (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

es diferenciable en todo R2 y sin embargo sus derivadas parciales noson continuas en el punto (0, 0).

3.3. Diferencial y matriz jacobiana de una funcion vectorial

de varias variables. Regla de la cadena

Definicion 3.3.1. Sea A ⊆ RN abierto, a ∈ A y F : A −→ R

M ,F = (f 1, . . . , f M ). Se dice que F es diferenciable en a si todas susfunciones coordenadas f i lo son y, en tal caso, la diferencial de F en aes la aplicacion lineal dF (a) : (df 1, . . . , df M ).




Definicion 3.3.2. Sea A ⊆ RN abierto, a ∈ A y F : A −→ R

M ,F = (f 1, . . . , f M ). Se llama matriz jacobiana de f en a a la matriz

JF (a) :=

∂F 1∂x1 (a) · · · ∂F 1

∂xN (a)...

...∂F M

∂x1(a) · · · ∂F M

∂xN (a)

y su determinante se denomina determinante jacobiano de f en a.

Observacion 3.3.3. Tambien se emplea la notacion F (a) para lamatriz jacobiana de F en a, ya que si f es una funcion real de variablereal (esto es M = N = 1) la matriz jacobiana f (a) queda la matriz deorden 1, (f (a)).

Teorema 3.3.4. La matriz Jacobiana de F en a es la matriz aso-

ciada a la diferencial de F en a respecto de las bases can´ onicas de RN

y RM . Por tanto, dF (a)(x) = F (a) · x, esto es, la dF (a) act´ ua ası:

dF (a)(x1, . . . , xM ) =

∂F 1∂x1

(a) · · · ∂F 1∂xN

(a)...

...∂F M

∂x1(a) · · · ∂F M

∂xN (a)

x1

...xN

Ejemplo 3.3.5. La matriz jacobiana de F (x, y) = (x2 + y, exy) es

JF (x, y) =

2x 1

yexy xexy

Teorema 3.3.6 (regla de la cadena). Sean A

⊆RN , B

⊆RM

abiertos, f : A −→ RM , g : B −→ RP con f (A) ⊆ B y a ∈ A.

Si f es diferenciable en a y g es diferenciable en f (a) entoncesh := g ◦ f es diferenciable en a con dh(a)dg(f (a)) ◦ df (a).

Por tanto, matricialmente, Jh(a) = Jg(f (a)) · Jf (a), esto es

∂h1∂x1

· · · ∂h1∂xN

......

∂hP ∂x1

· · · ∂hP ∂xN

=

∂g1∂y1

· · · ∂g1∂yM

......

∂gP ∂y1

· · · ∂gP ∂yM

∂f 1∂x1

· · · ∂f 1∂xN

......

∂f M

∂x1· · · ∂f M

∂xN

donde la primera y la ´ ultima de esas matrices est´ an evaluadas en el punto a mientras que la de en medio se eval´ ua en f (a).

Ası pues, para todo i = 1, . . . , P y para todo j = 1, . . . , N , se tienela siguiente relaci´ on entre las derivadas parciales de la composici´ on y las de las funciones que se componen:

∂hi

∂x j(a) =

M k=1

∂gi

∂yk

(f (a))∂f k

∂x j(a)



3.3. DIFERENCIAL Y MATRIZ JACOBIANA 23

Cuando la regla de la cadena se aplica en todo el dominio de las fun-ciones involucradas se puede interpretar del siguiente modo: Estamos

realizando un cambio de variables y = f (x), esto es

y1 = f 1(x1, . . . , xN )...

...yM = f M (x1, . . . , xN )

en la funcion g(y1, . . . yM ), de manera que al sustituir se obtiene unanueva funcion g(f 1(x), . . . , f M (x)) que ya solo depende de las variablesx = (x1, . . . , xN ), y queremos calcular las derivadas parciales de estaultima funcion a partir de las parciales de la funcion original g y lasparciales de la funcion del cambio de variable f .

Por este motivo se suelen hacer las siguientes simplificaciones que

facilitan mucho su expresion y comprension:(1o) Se omiten los puntos a y f (a) donde se aplican las parciales.(2o) Las funciones coordenadas f k del cambio de variable f se de-

notan igual que las variables de g, esto es se entiende que f esel cambio de variables

y1 = y1(x1, . . . , xN )...

...yM = yM (x1, . . . , xN )

(3o) La composicion h se sigue denotando como la funcion g peroahora directamente como funcion de las variables (x1, . . . , xN )

despues de haber realizado el cambio de variables. Es decirque la funcion g(y) de las variables y = (y1, . . . , yM ) (antesdel cambio de variables) se puede ver tambien como funciong(x) de las variables x = (x1, . . . , xN ) directamente (despuesde cambio de variables) entendiendo que

g(x) := g (y1(x1, . . . , xN ), . . . , yM (x1, . . . , xN ))

Con esta nueva notacion la regla de la cadena queda ası:

∂gi

∂x j= x j + · · · +

∂gi

∂yM

∂yM

∂x j

y se puede interpretar de la siguiente manera: “cuando en una funci ong(y1 . . . , yM ) se realiza un cambio de variables, yk = yk(x1, . . . , xN ),∀k = 1, . . . M , podemos calcular la derivada de la componente gi dela funcion resultante con respecto de una de las variables x j sumandotodas las derivadas de gi con respecto a todas sus variables yk pero,como a su vez estas variables son funciones de x j, hay que multiplicarcada una de ellas por su derivada con respecto a x j”.




3.4. Funciones definidas de forma implıcita. El teorema de

la funcion implıcita

Hasta ahora hemos tratado con funciones dadas forma explıcita,esto es, definidas por medio de una expresion explıcita f : RN −→ R

M

de la funcion que me permite calcular directamente su vector ima-gen y = (y1, . . . , yM ) en cualquier punto x = (x1, . . . , xN ) mediante laformula y = f (x).

Sin embargo, a menudo encontraremos funciones definidas de formaimplıcita por medio de una ecuacion F (x, y) = 0 siendo F : D ⊆RN +M −→ R

M , en el sentido de que existe una unica funcion f : A ⊆RN −→ R

M tal que F (x, y) = 0 ⇔ y = f (x), ∀(x, y) ∈ D.

Ejemplo 3.4.1. 2x3 + y + yx2 + 3 = 0⇔

y =−

2x3

−3

1 + x2

Obviamente toda funcion dada de forma explıcita y = f (x) sepuede dar tambien de forma implıcita F (x, y) = 0, sin mas que definirF (x, y) := y − f (x), pero no siempre podremos obtener la forma ex-plıcita a partir de una ecuacion implıcita F (x, y) = 0 ya que para ellotendrıamos que poder despejar las variables y = (y1, . . . , yM ) en fun-cion de las variables x = (x1, . . . , xN ) y eso no siempre sera posible osencillo

Ejemplo 3.4.2. y3 + y2 − 5y − x2 + 4 = 0 ⇔ ¿ y = f (x) ?

Ademas, aun en el caso de que tal despeje se pudiese realizar, nosiempre se va a poder hacer de forma unica, como se pone de manifiestocon este sencillo ejemplo.

Ejemplo 3.4.3. x2 + y2 = 1 ⇔ y =√

1 − x2 o y = −√1 − x2

No obstante, si planteamos el problema de despejar ciertas variablesde la ecuacion F (x, y) = 0 desde un punto de vista local (es decir, enun entorno de cada punto que verifica esa ecuacion) la situacion mejoranotablemente. El Teorema de la Funcion Implıcita (T.F.I.) proporcionaunas condiciones que garantizan que, localmente, se pueden despejarlas variables y de una ecuacion F (x, y) = 0 en funcion de las x.

Comencemos analizando los casos mas sencillos en los que se puedeplantear este problema, que es cuando x e y representan unicamente unpar de variables reales o cuando queremos despejar una variable real zen funcion de otras dos (x, y). En ambos casos la regla de la cadena nosproporciona una sencilla formula para calcular las derivadas parcialesde la funcion explıcita f a partir de las derivadas parciales de la funcionimplıcita F de la que partimos, F : D ⊆: RN −→ R.



3.4. FUNCIONES DEFINIDAS DE FORMA IMPLICITA 25

Teorema 3.4.4 (N=2). Sea F : D ⊆: R2 −→ R, F ∈ C 1(D), D

abierto, a = (a1, a2) ∈ D con F (a1, a2) = 0 y ∂F ∂y

(a1, a2) = 0.

Entonces F define a y implıcitamente como funci´ on de x en un entorno de (a1, a2), esto es, existen A1, A2 ⊆ R, abiertos con a1 ∈ A1

y a2 ∈ A2 y existe una ´ unica funci´ on f : A1 −→ A2 tal que F (x, y) =0 ⇔ y = f (x), ∀(x, y) ∈ A1 × A2.

Adem´ as f ∈ C 1(A1) y ∂f

∂x= −

∂F ∂x∂F ∂y

en todo A1.

Teorema 3.4.5 (N=3). Sea F : D ⊆: R3 −→ R, F ∈ C 1(D), D

abierto, a = (a1, a2, a3) ∈ D con F (a1, a2, a3) = 0 y ∂F ∂z

(a1, a2, a3) = 0.Entonces F define a y implıcitamente como funci´ on de (x, y) en

un entorno de a, esto es, existen A1

⊆R2, A2

⊆R abiertos con

(a1, a2) ∈ A1 y a3 ∈ A2 y existe una ´ unica funci´ on f : A1 → A2

tal que F (x,y,z) = 0 ⇔ z = f (x, y), ∀(x,y,z) ∈ A1 × A2.

Adem´ as f ∈ C 1(A1) y ∂f

∂x= −

∂F ∂x∂F ∂z

y ∂f

∂y= −

∂F ∂y

∂F ∂z

en A1.

Por tanto la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie dada por la ecuaci´ on F (x,y,z) = 0 en el punto a es

∂F

∂x(a)(x − a1) +

∂F

∂y(a)(y − a2) +

∂F

∂z(a)(z − a3) = 0

esto es, F (a) es el vector normal tal superficie.

En su forma mas general, esto es cuando tenemos una funcion F conN + M variables igualada a cero y queremos despejar de esa ecuacionM de tales variables, el teorema quedarıa de la siguiente manera:

Teorema 3.4.6 (el teorema de la funcion implıcita). Sea F : D ⊆: RN +M −→ R

M , F ∈ C 1(D), D abierto, (a, b) ∈ RN +M

(a ∈ RN , b ∈ RM ) con F (a, b) = 0 y det J (F, y1, . . . , yM ) = 0, siendo

J (F, y1, . . . , yM ) :=

∂F 1∂y1

(a, b) · · · ∂F 1∂yM

(a, b)...

...∂F M

∂y1(a, b) · · · ∂F M

∂yM (a, b)

Entonces F define a y = (y1

, . . . , yM

) implıcitamente como funci´ on de x = (x1, . . . , xN ) en un entorno de (a, b), esto es, existen A ⊆ R

N ,B ⊆ R

M abiertos con a ∈ A y b ∈ B y existe una ´ unica funci´ on f : A −→ B tal que F (x, y) = 0 ⇔ y = f (x), ∀(x, y) ∈ A × B.

Adem´ as f ∈ C 1(A) y sus derivadas parciales se pueden calcular resolviendo el sistema lineal

J (F, y1, . . . , yM ) · Jf (a, b) = −J (F, x1, . . . , yN )




3.5. Derivadas parciales y diferencial de orden superior.

Matriz hessiana de una funcion real de varias variables

Si tenemos una funcion f : A −→ R la funciones ∂f ∂xi

, ∀i = 1, . . . , N

reciben el nombre generico de derivadas parciales de orden 1 de f (yse notan tambien por f xi).

Al igual que para funciones reales de variable real, el proceso dederivacion parcial tambien se puede reiterar solo que ahora cada unade las derivadas parciales de f la podremos derivar de nuevo (donde sepueda) con respecto a cada una de las N variables que tiene. De estemodo se obtienen las N 2 derivadas parciales de orden 2 de f :

Definicion 3.5.1. Sea f : A −→ R, A abierto, a ∈ A. Se llamaderivada parcial segunda (o de orden 2) de f en a respecto de xi y x j

al valor

∂ 2f

∂xi∂x j(a) :

∂

∂f

∂xi

∂x j

(a) ( o bien, f xixj = (f xi)xj )

En particular, una funcion f de dos variables tiene 4 funcionesderivadas parciales segundas,

∂ 2f

∂x2,

∂ 2f

∂x∂y,

∂ 2f

∂y∂x,

∂ 2f

∂y2

A las parciales de en medio se les llama derivadas parciales cruzadas

def

.Ejemplo 3.5.2. Si f (x, y) = 3xy2 − 2y + 5x2y2 se tiene que

f x(x, y) = 3y2 + 10xy2 f y(x, y) = 6xy − 2 + 10x2y

f xx(x, y) = 20y2 f xy(x, y) = 6y + 20xyf yx(x, y) = 6y + 20xy f yy(x, y) = 6 + 20x2

Se observa en el ejemplo anterior que las parciales cruzadas de f

coinciden. Aunque esto se verifica frecuentemente no ocurre en generalcomo pone de manifesto el siguiente ejemplo

Ejemplo 3.5.3. La funcion f dada por

f (x, y) =

xy x2−y2

x2+y2(x, y) = (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

verifica que f xy(0, 0) = −1 y f yx(0, 0) = 1.

El siguiente teorema proporciona una condicion suficiente para quelas derivadas parciales cruzadas coincidan.



3.5. DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIAL DE ORDEN SUPERIOR 27

Teorema 3.5.4 (de schwartz). Si f x, f y, f xy, f yx son continuasen un abierto R de R2 entonces f xy = f yx en todo R.

Las definiciones anteriores se pueden extender por recurrencia a unorden cualquiera n + 1. Ası pues, supuestas ya definidas las derivadasparciales de orden n de f , se define la derivada parcial de orden n + 1de f en a respecto de las variables xi1 , . . . , xin+1 (con i1, . . . , in+1 ∈{1, . . . , N }) del siguiente modo:

∂ (n+1)f

∂xi1 · · · ∂xin+1

(a) :=∂

∂ nf

∂xi1 ···xin

∂xin+1

(a)

Definicion 3.5.5. Se dice que f es de clase C n en A, y se notaf ∈ C n(A), si todas las derivadas parciales de orden n existen y son

continuas en ACorolario 3.5.6. Si f es de clase C n en A las derivadas parciales

de cualquier orden r ≤ n no dependen del orden en que derivemos

Del mismo modo que hemos introducido las derivadas parciales deorden n se puede hacer algo similar con el concepto de diferencial, puespodemos definir el diferencial de orden n de una funcion real de variasvariables. Empecemos con el caso n = 2, que es el mas importante.

Observemos que el diferencial de una funcion f : A ⊆ RN −→ R

se puede ver como una aplicacion df que depende tanto del punto xdonde la calculamos como del vector h donde se evalua:

df (x)(h) =N

j=1

∂f ∂x j

(x)h j, ∀x = (x1, . . . , xN ) ∈ R

N

∀h = (h1, . . . , hN ) ∈ RN

Si variamos solo el vector h, h → df (x)(h) es una aplicacion linealde RN en R, pero si variamos solo el punto x tenemos una aplicacionx → df (x)(h) (continua, si f es de clase C 1 en A) de RN en R a la quepodemos calcular de nuevo su diferencial, y que denotaremos por df (h)(la diferencial de f pero como funcion de x)

Definicion 3.5.7. Se define el diferencial de orden 2 como la apli-cacion d2f que a cada punto a (tal que df (h) exista en un entornosuyo para todo h) le hace corresponder la aplicacion d2f (a) dada por

d2f (a)(h) = d(df (h))(a) (abreviadamente d2f = d(df )).Definicion 3.5.8. Se llama matriz hessiana de f en a a la matriz

Hf (a) =

∂ 2f

∂x21

(a) · · · ∂ 2f

∂x1∂xN (a)

......

∂ 2f

∂xN ∂x1(a) · · · ∂ 2f

∂x2N

(a)




Teorema 3.5.9. El diferencial de orden dos d2f en un punto a esuna forma cuadr´ atica cuya matriz asociada respecto de la base can´ onica

de RN

es la matriz hessiana Hf en el punto a, o sea que, para cada h = (h1, . . . , hN ) ∈ RN , d2f act´ ua ası:

d2f (a)(h) = (h1, . . . , hN ) · Hf (a) · h1

...hN

En particular, para N = 2 tenemos que

d2f (a)(h1, h2) =∂ 2f

∂x2(a)h2

1 + 2∂ 2f

∂x∂y(a)h1h2 +

∂ 2f

∂y2(a)h2

2

o, usando la notaci´ on (h1, h2) = (dx, dy) y omitiendo el punto a,

d2f =∂ 2f

∂x2dx2 + 2

∂ 2f

∂x∂ydxdy +

∂ 2f

∂y2dy2

Reiterando este proceso se pueden definir de forma analoga el difer-encial de orden 3 de f , d3f , el de orden 4, d4f , y, en general, el difer-encial de orden n, dnf . Por ejemplo, d3f actuarıa ası:

d3f (a)(h1, h2, h3) =N i=1

N j=1

N k=1

∂ 3f

∂xi∂x j∂xk

(a)h1h2h3

3.6. El teorema de Taylor en varias variablesHasta ahora sabemos que las funciones diferenciables se pueden

aproximar por medio funciones afines (cuyas ecuaciones no son otracosa que polinomios de grado 1). El teorema de Taylor trata de mejoraresta aproximacion utilizando para ello polinomios en varias variables degrado superior, para lo cual necesitaremos que la funcion posea diferen-ciales de orden superior. Ademas el teorema de Taylor nos dara tambienuna expresion para el error que se comete al aproximar un valor de unafuncion por el valor correspondiente de los polinomios de Taylor.

Recordemos que para una funcion f : I ⊆ R −→ R, f ∈ C n(I )siendo I un intervalo de R y para todo x, a

∈I el teorema de Taylor

para funciones reales de variable real nos garantiza la existencia de unc en el intervalo de extremos a y x tal que f (x) = P n(x)+Rn(x), siendo

P n(x) := f (a) + f (a)(x − a) +1

2!f (a)(x − a)2 + · · · +

1

n!f (n)(a)(x − a)n

Rn(x) :=1

(n + 1)!f (n+1)(c)(x − a)n+1



3.6. EL TEOREMA DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES 29

En el caso general, para una funcion de N variables, esas funcionesse definen de la siguiente manera:

Definicion 3.6.1. Sea f : A ⊆ RN −→ R. Se llama polinomio deTaylor de orden n de f en a al polinomio T n(f, a) = P n dado por

P n(x) := f (a) + df (a)(x − a) +1

2!df 2(a)(x − a) + · · · +

1

n!df n(a)(x − a)

y se llama resto de Taylor de orden n de f en a a la funcion

R(x) := f (x) − P n(x)

Ademas, para funciones de varias variables, el papel que despena elintervalo de extremos a y x va a ser llevado a cabo por el segmento deextremos a y x. Dados un par de puntos a y b de RN , el segmento de

extremosa

y b

se puede definir, de un modo riguroso, como el conjunto[a, b] := {ta + (1 − t)b : 0 ≤ t ≤ 1}

donde los puntos a y b se obtienen para los valores t = 1 y t = 0respectivamente, por lo que tambien es coherente denotar por

]a, b[:= {ta + (1 − t)b : 0 < t < 1}al segmento [a, b] sin sus correspondientes extremos a y b.

Ya estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Taylor envarias variables, el cual me dice que puedo usar T n(f, a) para aproximarel valor exacto de f (x) para puntos proximos al punto a y me da unaexpresion del resto de Taylor que me permite acotar el error cometido

al realizar tal aproximacion.Teorema 3.6.2 (de taylor en varias variables). Si tenemos

una funci´ on f : A ⊆ RN −→ R, f ∈ C n+1(A), A abierto, entonces

para todo x, a ∈ A con [a, x] ⊆ A existe un c ∈]a, x[ tal que

f (x) = T n(f, a)(x) +1

(n + 1)!df n+1(c)(x − a)

Merece la pena observar que, en particular, el teorema de Taylorcon resto de orden 1 (esto es, para n = 0 con la notacion anterior) noes mas que la siguiente generalizacion del Teorema del Valor Medio avarias variables (pues para N = 1 se vuelve a obtener dicho teorema):

Teorema 3.6.3 (del valor medio en varias variables). Si f : A ⊆ R

N −→ R, f ∈ C n(A), A abierto, entonces para todo a, b ∈ A

con [a, b] ⊆ A existe un c ∈]a, b[ tal que f (b) − f (a) = df (c)(b − a)

Ademas, la formula del resto que nos proporciona el Teorema deTaylor, nos permite deducir el siguiente resultado de manera inmedia-ta, el cual nos dice que “a medida que aumente el orden n del polinomio




de Taylor usado para aproximar f , aumenta tambien el grado de aprox-imacion entre ambas funciones en un entorno del punto considerado”

Corolario 3.6.4 (formula infinitesimal del resto). Si f :A ⊆ R

N −→ R, f ∈ C n+1(A), A abierto, entonces se verifica que

lımx→a

f (x) − P n(x)

x − an = 0

∀n ∈ N, siendo P n el polinomio de Taylor de orden n de f en a.

Notese que para n = 1 volvemos a obtener que el polinomio (degrado 1) P 1(x) = f (a) + df (a)(x − a) es la funcion afın que mejor

aproxima a f en un entorno del punto a, pues lımx→a

f (x) − P 1(x)

x

−a

= 0.

Y para n = 2, el polinomio de Taylor P 2 = T 2(f, a) es

P 2(x) = f (a) + df (a)(x − a) +1

2d2f (a)(x − a)

que para una funcion de N = 2 variables y un punto a = (a1, a2) queda

P 2(x, y) = f (a) + ∂f

∂x(a)(x − a1) + ∂f

∂y(a)(y − a2) +

+ 12

∂ 2f

∂x2(a)(x − a1)2 + 2 ∂ 2f

∂x∂y(a)(x − a1)(y − a2) + ∂ 2f

∂y2(a)(y − a2)

Ejemplo 3.6.5. Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de la

funcion f (x, y) = exp xy en el punto (0, 0).

3.7. Extremos relativos de una funcion real de varias

variables

Definicion 3.7.1. Sea f : A ⊆ RN −→ R, A abierto, a ∈ A.

• f alcanza un m´ aximo relativo (o local) en a si ∃δ > 0 tal queBδ(a) ⊆ A y f (x) ≤ f (a), ∀x ∈ A.

• f alcanza un mınimo relativo (o local) en a si ∃δ > 0 tal queBδ(a) ⊆ A y f (a) ≤ f (x), ∀x ∈ A.

• f alcanza un extremo relativo en a si alcanza un maximo o unmınimo relativo en a

•f presenta un punto de silla en a si

∀ε > 0 existen x

1, x

2 ∈Bε(a) ∩ A tal que f (x1) ≤ f (a) ≤ f (x2).• a es un punto crıtico de f si df (a) = 0, esto es, si f (a) = 0.

Geometricamente es evidente que si una funcion f de dos variablesalcanza un extremo relativo en un punto a, el plano tangente de f endicho punto tiene que ser paralelo al plano z = 0. El siguiente resultadoexpresa esta idea de un modo riguroso.



3.7. EXTREMOS RELATIVOS 31

Proposicion 3.7.2 (cond. necesaria de extremo relativo).Sea A ⊆ R

N abierto, a ∈ A y f : A −→ R diferenciable en a. Si f

alcanza un extremo relativo en a entonces a es un punto crıtico de f .Por lo tanto, los posibles extremos relativos de f se encuentran entre

los puntos crıticos de f , pero no en todo punto crıtico la funcion alcanzaun extremo relativo, como ponen de manifiesto ejemplos sencillos comoeste

Ejemplo 3.7.3. La funcion f (x, y) := x2 − y2 es diferenciable en elpunto (0, 0) con f (0, 0) = 0 y sin embargo no tiene extremo relativoen (0, 0).

Como acabamos de ver, entre los puntos crıticos de una funcion f

puede haber tambien puntos de silla. En el caso real, era la derivadasegunda de la funcion la que permitıa decidir si en tales puntos sealcanzaba o no un extremo relativo. En el caso de funciones reales devarias variable este papel le va a corresponder a la matriz hessiana (lamatriz con todas las derivadas parciales de orden 2 de f ), realmente asu forma cuadratica asociada d2f :

Teorema 3.7.4 (conds. suficientes de extremo relativo).Sea A ⊆ R

N abierto, f : A −→ R, f ∈ C 2(A), a un punto crıtico de f .

(i) Si d2f (a) es definida positiva entonces f alcanza un mınimorelativo en el punto a

(ii)Si

d2f (a)es definida negativa entonces

f alcanza un m´ aximorelativo en el punto a

(iii) Si d2f (a) es indefinida entonces a es un punto de silla de f .

Corolario 3.7.5 (N=2). Sea f ∈ C 2, a un punto crıtico de f ,

Hf (a) =

α β β γ

, ∆1 := α, ∆2 := αγ − β 2

• ∆1 > 0, ∆2 > 0 ⇒ f alcanza un mınimo relativo en a• ∆1 < 0, ∆2 > 0 ⇒ f alcanza un maximo relativo en a• ∆2 < 0 ⇒ f tiene un punto de silla en a

•Si ∆2 = 0 este criterio no da informacion

Corolario 3.7.6 (N=3). Sean f ∈ C 2, a un punto crıtico de f , y sean ∆1, ∆2, ∆3 los menores principales de Hf (a).

• ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0 ⇒ mınimo relativo de f en a• ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0 ⇒ maximo relativo de f en a• ∆3 = 0 y no (i) ni (ii) ⇒ punto de silla de f en a• Si ∆3 = 0 este criterio no da informacion




3.8. Extremos condicionados de una funcion real de varias

variables. El teorema de los multiplicadores de

Lagrange

Muchos problemas de optimizacion tiene condiciones (restriccioneso ligaduras) que limitan los valores que pueden usarse para lograr lasolucion optima. Esto tiende a complicar los problemas de optimizacionya que dicha solucion optima puede encontrarse facilmente en un puntode la frontera del dominio.

Ejemplo 3.8.1. Hallar el rectangulo de area maxima que puede

inscribirse en la elipse x2

32+ y2

42= 1. Se trata, por tanto, de maximizar

la funcion A(x, y) := 4xy restringida a los puntos de esa elipse.

En general queremos hallar los puntos x ∈ A ⊆ RN tal que unacierta funcion f : A −→ R (llamada funci´ on objetivo) sea maxima omınima, de entre todos los que verifican una cierta ecuacion (o ligadura )g(x) = 0. A tales puntos les llamaremos extremos de f condicionadosa g (o sujetos a la ligadura g(x) = 0).

Vamos a empezar considerando el caso mas sencillo, cuando f y g

son funciones reales de dos variables. En este caso, el conjunto de puntosdonde buscamos los extremos de f es una curva del plano, dada por laecuacion (implıcita) g(x, y) = 0. Por tanto, si consideramos las curvasde nivel f (x, y) = k de la funcion objetivo f , es claro (graficamente) quelas curvas de esa familia que corten a la curva g(x, y) = 0 corresponden

a aquellos valores k de la funcion f para los cuales hay puntos quecumplen la ligadura.

La idea ingeniosa que permite hallar los extremos de f condiciona-dos a g consiste en darse cuenta que (si f es continua) el mayor omenor valor de k que cumple lo anterior correspondera, precisamente,a la curva (o curvas) de nivel k que sea tangente a la curva g(x, y) = 0.

Como dos curvas son tangentes si y solo si sus vectores normalesson paralelos y los vectores normales a las curvas de nivel f (x, y) = ky g(x, y) = 0 son sus gradientes f y g, los extremos de f condi-cionados a g se encontraran entre aquellos puntos donde exista un λ(llamado multiplicador de Lagrange) tal que

f = λ

g.

En el siguiente teorema precisamos las condiciones bajo las cualesse puede garantizar la existencia de tales multiplicadores.

Teorema 3.8.2 (de los multiplicadores de lagrange, N=2).Sea A ⊆ R

2 abierto, f, g : A −→ R de clase C 1(A), y a ∈ A.Si f alcanza en a un extremo condicionado a la curva g(x, y) = 0

y g(a) = 0, entonces ∃λ ∈ R tal que f (a) = λg(a).



3.8. EXTREMOS CONDICIONADOS 33

En la practica, como (f − λg) = f − λg, los puntos para losque existe multiplicador de Lagrange se suelen hallar de la siguiente

manera:

Corolario 3.8.3 (metodo de los multiplicadores, N=2).Sea A ⊆ R

N abierto, f, g : A −→ R de clase C 1(A), y a ∈ A.Si f alcanza un extremo condicionado a g(x, y) = 0 en un punto

a entonces a es un punto crıtico de la funci´ on F (llamada funci´ on auxiliar de Lagrange) dada por F (x,y,λ) := f (x, y) − λg(x, y).

En general, si tenemos una funcion f de N variables con M restric-ciones para ellas g1(x1, . . . , xN ) = 0, . . . , gM (x1, . . . , xN ) = 0 tambiense puede emplear el metodo anterior, pero ahora usaremos tantos mul-

tiplicadores como restricciones tengamos.

Teorema 3.8.4 (metodo de los multiplicadores). Sea A ⊆RN abierto, f : A −→ R, g : A −→ R

M de clase C 1(A), y a ∈ A.Si f tiene un extremo condicionado a g(x1, . . . , xN ) = 0 en un punto

a entonces a es un punto crıtico de la funci´ on (auxiliar de Lagrange)F : RN +M −→ R dada por

F (x, λ1, . . . , λM ) := f (x) − λ1g1(x) − · · · − λM gM (x).

Observacion 3.8.5. El sistema de ecuaciones que surge en el meto-

do de los multiplicadores de Lagrange no es, en general, un sistemalineal y resolverlo requiere frecuentemente algo de ingenio.

Observacion 3.8.6. Para averiguar si los puntos crıticos de la fun-cion auxiliar de la Lagrange F son extremos de f se puede usar el crite-rio de la matriz hessiana sobre dicha funcion auxiliar F pero solo comocondicion suficiente, esto es del siguiente modo:

(i) Si HF (a) es definida positiva entonces f alcanza un mınimorelativo condicionado a g

(ii) Si HF (a) es definida negativa entonces f alcanza un maximorelativo condicionado a g

De hecho, se puede probar que realmente basta con estudiar el caracterde la forma cuadratica dF (a) restringida al Kerg(a). Pero a menudono necesitaremos recurrir a esto ya que podremos garantizar su existen-cia a priori y por tanto simplemente tendremos que evaluar la funci onen los puntos crıticos de la funcion auxiliar de Lagrange para ver encual de ellos la funcion toma su mayor y su menor valor.




3.9. Extremos absolutos de una funcion real de varias

variables

A menudo, los metodos dados anteriormente para el calculo de ex-tremos relativos y para el calculo de extremos condicionados se puedencombinar para encontrar los extremos absolutos de una funcion en cier-tos conjuntos.

En concreto, supongamos que f : A ⊆ RN −→ R es una funcion

continua y K ⊆ A es un conjunto compacto con frontera F r(K ) ={x ∈ RN : g(x) = 0}, siendo g una funcion de RN en RM de clase C 1.

El Teorema de Weierstrass garantiza entonces que f alcanza susextremos absolutos en algunos puntos de K . Podemos localizar esospuntos x0 pues en ellos tiene que ocurrir una de estas tres cosas:

(1

o

) f no es diferenciable en x0(2o) f es diferenciable en x0 y x0 ∈ K ◦

(3o) f es diferenciable en x0 y x0 ∈ F r(K )

En el segundo caso f alcanza un extremo relativo en x0 y en eltercer caso f alcanza un extremo condicionado a g en x0. Por tanto,para determinar los extremos absolutos de f sobre K tenemos que

(1o) Localizar los puntos en los que f no es diferenciable(2o) Calcular los puntos crıticos de f que pertenecen a K ◦

(3o) Hallar los puntos crıticos de f condicionados a g

y entre todos esos puntos se encuentran forzosamente aquellos en losque f alcanza sus extremos, con lo cual solamente tenemos que estudiar

en cual de ellos toma f toma el mayor y el menor valor.

CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES. ITOP - INGENIERÍA CIVIL

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