CALCULO Examen Final 3 Julio 2012

Primer Parcial Primera Parte (45 min) Curso 2011ndash2012

1ndash Hallar el modulo y el argumento del numero complejo(radic

2 +radic2i)5

(1 punto)

2ndash a)Hallar el polinomio de MacLaurin de grado 2 de la funcion f(x) = ln(1 + x) dandouna expresion del resto

b) Hallar una cota del error cometido al calcular ln(1 1) con la aproximacion anteriorde la funcion f(x) = ln(1 + x)

(2 puntos)

3ndash Utilizando la definicion de derivada encontrar la expresion de la derivada de la funcionf(x) = x2

(2 puntos)

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An h ~D

CAacuteLCULO Examen Final 3 Julio

Primer Parcial Segunda Parte (45 min) Curso 2011-2012

1- Expresar como unioacuten de intervalos el subconjunto de IR formado por los elementos x que verifican

1 3 -- gt -- x -iexcl - 1 1 x-1 x+1

(2 puntos)

2- Calcular el siguiente liacutemite

sen(a) + 4sen(~) + 9sen(J) + + n2sen(~)bm 2 a -iexcl O

n--too n

(15 puntos)

3--Sea corijuumliito A el dominio de la funcioacuten f De R2 -+ IR siendo

Se pide

a) Dibujar el conjunto A o

b) Determinar A A A 8A Ais(A)

(15 puntos)

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An h ~D

CAacuteLCULO Examen Final 3 Julio

Primer Parcial Segunda Parte (45 min) Curso 2011-2012

1- Expresar como unioacuten de intervalos el subconjunto de IR formado por los elementos x que verifican

1 3 -- gt -- x -iexcl - 1 1 x-1 x+1

(2 puntos)

2- Calcular el siguiente liacutemite

sen(a) + 4sen(~) + 9sen(J) + + n2sen(~)bm 2 a -iexcl O

n--too n

(15 puntos)

3--Sea corijuumliito A el dominio de la funcioacuten f De R2 -+ IR siendo

Se pide

a) Dibujar el conjunto A o

b) Determinar A A A 8A Ais(A)

(15 puntos)

CAacuteLCULO Examen Final 3 Julio

Primer Parcial Segunda Parte (45 min) Curso 2011-2012

1- Expresar como unioacuten de intervalos el subconjunto de IR formado por los elementos x que verifican

1 3 -- gt -- x -iexcl - 1 1 x-1 x+1

(2 puntos)

2- Calcular el siguiente liacutemite

sen(a) + 4sen(~) + 9sen(J) + + n2sen(~)bm 2 a -iexcl O

n--too n

(15 puntos)

3--Sea corijuumliito A el dominio de la funcioacuten f De R2 -+ IR siendo

Se pide

a) Dibujar el conjunto A o

b) Determinar A A A 8A Ais(A)

(15 puntos)

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A =- (x~raquoE-R Xi-~~o

Fr A = l (x~ J) eacute-J( l 1)(N0

k~ A- = 1gt A ~ (1laquo 1) E-il L J xt- ~ () 1

CALCULO Examen Final 3 de Julio

Segundo Parcial Primera Parte (45 min) Curso 2011ndash2012

1ndash Sea la funcion z = arctg

(x

y

) con x = r cos t y = r sin t Obtener la expresion mas

simplificada posible de partzpartr

y partzpartt

(15 puntos)

2ndash Justificar la veracidad o fasedad de las siguientes afirmaciones

a) La funcion f(x) es integrable en un intervalo [a b] si y solo si es continua en [ab]

b) Si f(x) y g(x) son dos funciones integrables en [a b] entonces f(x)g(x) es integrableen [a b] y ademas se cumple que

int b

af(x)g(x)dx =

int b

af(x)dx

int b

ag(x)dx

c) Si f(x) es integrable en [a b] |f(x)| tambien lo es y se cumple que∣∣∣∣∣int b

af(x)dx

∣∣∣∣∣ =int b

a|f(x)|dx

(15 puntos)

3ndash Se considera la funcion

f(x y) =

xy

x2 + y2 (x y) = (0 0)

0 (x y) = (0 0)

a) Estudiar la continuidad de f(x y) en todo su dominio

b) Estudiar la diferenciabilidad de f(x y) en el origen

c) Calcular las derivadas parciales de f(x y) en el origen

(2 puntos)

- ~- _h_-_~_(_r-O) _ J~ _Yl__-_~_ ~y - d v a

t amp UV1-tc~A

le- lt9 lt9

h) A=l ()( l) ) eacute~ L I x-t ~ ~e )

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Fr A = l (x~ J) eacute-J( l 1)(N0

k~ A- = 1gt A ~ (1laquo 1) E-il L J xt- ~ () 1

CALCULO Examen Final 3 de Julio

Segundo Parcial Primera Parte (45 min) Curso 2011ndash2012

1ndash Sea la funcion z = arctg

(x

y

) con x = r cos t y = r sin t Obtener la expresion mas

simplificada posible de partzpartr

y partzpartt

(15 puntos)

2ndash Justificar la veracidad o fasedad de las siguientes afirmaciones

a) La funcion f(x) es integrable en un intervalo [a b] si y solo si es continua en [ab]

b) Si f(x) y g(x) son dos funciones integrables en [a b] entonces f(x)g(x) es integrableen [a b] y ademas se cumple que

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c) Si f(x) es integrable en [a b] |f(x)| tambien lo es y se cumple que∣∣∣∣∣int b

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(15 puntos)

3ndash Se considera la funcion

f(x y) =

xy

x2 + y2 (x y) = (0 0)

0 (x y) = (0 0)

a) Estudiar la continuidad de f(x y) en todo su dominio

b) Estudiar la diferenciabilidad de f(x y) en el origen

c) Calcular las derivadas parciales de f(x y) en el origen

(2 puntos)

CALCULO Examen Final 3 de Julio

Segundo Parcial Primera Parte (45 min) Curso 2011ndash2012

1ndash Sea la funcion z = arctg

(x

y

) con x = r cos t y = r sin t Obtener la expresion mas

simplificada posible de partzpartr

y partzpartt

(15 puntos)

2ndash Justificar la veracidad o fasedad de las siguientes afirmaciones

a) La funcion f(x) es integrable en un intervalo [a b] si y solo si es continua en [ab]

b) Si f(x) y g(x) son dos funciones integrables en [a b] entonces f(x)g(x) es integrableen [a b] y ademas se cumple que

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c) Si f(x) es integrable en [a b] |f(x)| tambien lo es y se cumple que∣∣∣∣∣int b

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(15 puntos)

3ndash Se considera la funcion

f(x y) =

xy

x2 + y2 (x y) = (0 0)

0 (x y) = (0 0)

a) Estudiar la continuidad de f(x y) en todo su dominio

b) Estudiar la diferenciabilidad de f(x y) en el origen

c) Calcular las derivadas parciales de f(x y) en el origen

(2 puntos)

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CAacuteLCULO Examen Final 3 Julio 2012

Segundo Parcial Segunda Parte (45 min) Curso 2011-2012

1- Calcular el volumen del soacutelido engendrado al girar la regioacuten limitada por y2 = 4x y la recta x = 4 alrededor de dicha recta

(2 puntos)

2- Estudiar la convergencia de la siguiente serie

(2 puntos)

3- Indicar en relacioacuten a la serie ~2n Ln n=l

y razonando la respuesta si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

o Es absolutamente convergente pero no convergente

o Es convergente pero no absolutamente convergente

o Es convergente

o Es divergente

(1 punto)

CAacuteLCULO Examen Final 3 Julio 2012

Segundo Parcial Segunda Parte (45 min) Curso 2011-2012

1- Calcular el volumen del soacutelido engendrado al girar la regioacuten limitada por y2 = 4x y la recta x = 4 alrededor de dicha recta

(2 puntos)

2- Estudiar la convergencia de la siguiente serie

(2 puntos)

3- Indicar en relacioacuten a la serie ~2n Ln n=l

y razonando la respuesta si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

o Es absolutamente convergente pero no convergente

o Es convergente pero no absolutamente convergente

o Es convergente

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