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EJEMPLO DE CÁLCULO PARA EL DISEÑO GEOMÉTRICO DE UN PAR DE ENGRANES

HELICOIDALES CON EJES A 90 GRADOS QUE SERÁN CONSTRUIDOS EN EL TALLER DE

MÁQUINAS HERRAMIENTAS

Diseñar un par de engranajes helicoidales con ejes a 90° que cumplan con las siguientes

condiciones:

Relación de Transmisión R = 1

Distancia entre centros C = 61.325 mm

Módulo Normal 2 mm/diente

Ángulo de presión 20°

Hélices derecha

La solución a este problema no es única, es decir existe más de una pareja de engranes que cumple

con las condiciones anteriores, pero con el fin de resolver el problema más adecuadamente se deben

seguir las siguientes recomendaciones:

Como la solución no es única, se debe buscar que los engranes sean los más pequeños que se

permita (por economía)

El ángulo de mayor magnitud debe corresponder al engrane de mayor diámetro exterior (por

razones de empuje que se generan en engranajes helicoidales)

El ángulo real del engranaje de mayor diámetro debe ser mayor de 45 grados (para mirar cómo

influye en la geometría de los engranajes el ángulo de inclinación de la hélice)

Como los engranes deben ser lo más pequeño posible, debemos hallar, para las condiciones

establecidas, el número menor de dientes que pueden tener los mismos. Esto se halla determinando

inicialmente el ángulo que hace mínima la función1:

Ysen

R

zm

C

n

)cos(

1

)(

2

222 (1)

Donde:

C: Es la distancia entre centros de los engranajes en mm.

1 Ver la teoría de engranajes helicoidales con ejes a 90 grados, donde se estudian todas las expresiones tratadas en éste

documento.

2

Mn: Es el módulo normal o real de los engranajes.

z2: Es el número de dientes del engranaje mayor.

R: La relación de transmisión.

α2: Ángulo de inclinación de la hélice del engranaje mayor.

En la gráfica siguiente podemos observar la representación de la ecuación (1), para diferentes valores

de R.

Gráfica 1. Representación gráfica de la expresión (1), para diferentes valores de R.

se sabe que el ángulo que hace mínima la función (1) está dado por: )(tan 31 Rm

,con este

ángulo hallamos z2, generalmente este número de dientes no da entero por lo tanto debemos hallar

un nuevo z2 cercano al anterior, que sea entero y menor y que cumpla con la relación R (El nuevo z2,

tiene que ser menor, porque si no lo es, no existiría solución de la ecuación, ver gráfica 1).Para este

nuevo z2 se recalcula un ángulo, que va a ser el ángulo real del engranaje que se va a fabricar. Se

y = 6E-05x3 - 0,0034x2 + 0,0968x + 0,189R² = 0,9985

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50 60 70

2*C

/mn

*Z2

Grados

R = 1

R = 0,9

R = 0,8

R = 0,7

R = 0,6

R = 0,5

R = 0,4

R = 0,3

R = 0,2

R = 0,1

R = 0,05

Valores de mínima

Polinómica (Valores de mínima)

3

debe buscar que el nuevo ángulo sea el que corresponda al mayor de los dos engranajes, debido a

que z2 es el número de dientes del engranaje mayor (cundo R es diferente de 1, cuando R es 1

corresponde al engranaje de mayor diámetro), y el engranaje mayor es el que debe tener el mayor

ángulo entre los dos engranajes (esto debido a que hay dos ángulos que son solución; esto para un

ángulo diferente al ángulo que hace mínima la función, ver gráfica 1).

Calculemos el ángulo que hace mínima la función:

45)1(tan)(tan 131 Rm

45m

Con este ángulo, vamos a la expresión )cos(

1

)(

2

222

sen

R

zm

C

n

y hallamos z2, así:

Previamente hacemos unos arreglos para facilitar la solución de la misma.

)(

))cos(

1

)((

2

2

2

222

sen

sen

sen

R

zm

C

n

)())cos(

1

)((

)(22

222

2

sen

sen

R

zm

senC

n

)tan()(2

2

2

2

R

zm

senC

n

))tan((

)(2

2

22

Rm

senCz

n

Reemplazando αm = 45 en la expresión anterior se tiene que:

dientes

diente

mm

mmz 68.21

)45tan(12

325.6122

z2 = 21.68 dientes

4

Como el número de dientes tiene que ser entero, aproximamos z2 = 21.68 dientes, a un entero, menor

que este valor (si el número de dientes es mayor, la función no existe. Ver la función y su gráfica en la

figura 1) y que cumpla con la relación R = 1, por tanto z2 puede ser igual a 20 dientes.

Nota: Se pudo haber seleccionado un número de dientes igual a 21, pues es entero, menor que 21.68

dientes y cumple con la relación de transmisión. Se seleccionó un número de dientes de 20, por ser

par y como se van a construir los engranajes se pueden medir sus diámetros exteriores con un pie de

rey común o un micrómetro permitiendo un control fácil de los engranajes pues si los números de

dientes de los engranajes son impares es difícil medir sus diámetros exteriores (ver métodos para

medir los diámetros exteriores de engranajes helicoidales). Recuérdese que el problema no tiene

solución única.

Con z2 = 20 dientes, recalculamos α en la expresión:

22 cos

1106625.3

sen (Resolviendo por error y ensayo)

α2 =58o

Nota: existe otra solución para α2, que es 32 grados (no es que los ángulos tengan que ser

complementarios, solo es que hay dos soluciones y cuando la relación de transmisión es de 1 los

ángulos solución son complementarios, es un caso particular para esta relación; ver Gráfica 1), pero

seleccionamos 58 grados, por ser éste ángulo mayor de 45 grados y que debe corresponder al

engranaje mayor que es el que debe absorber más empuje.

Con z2 y α2 conocidos, podemos calcular los dos engranes helicoidales.

ENGRANAJE DE MENOR NÚMERO DE DIENTES

Angulo de la hélice del engranaje α1

5

o

oo

o

32

5890

90

1

1

21

Número de dientes z1

z1 = R x z2

z1 = 1 x 20 dientes

z1 = 20 dientes

Diámetro Primitivo: d1

mm 47.167

32cos

dientes

mm2dientes20

1αcos

nm1

z

1d

d1 = 47.167 mm

Diámetro Exterior: de1

mm 51.167e1

d

mm 51.167mm2 2mm 47.167nm21

de1

d

Paso de hélice: H1

mm237.140 tan(32)

3.1416mm 47.167

1tan(

π1

d

1h

)

h1=237.140 mm

Número de dientes ideal o ficticio zi1

dientes 32.79z

dientes 32.79(32)cos

dientes20

αcos

zz

i1

3

1

3

11i

6

Altura total o profundidad total del Diente: h1

mmh

mmmmmh n

5.4

5.4225.225.2

1

1

Plato divisor

220

40

1z

40en

El número de vueltas que hay que darle al plato divisor es: 2 vueltas por cada diente, utilizando

cualquier plato de orificios del divisor.

Ruedas para la lira de la fresadora (si el paso del tornillo de la fresadora pm es de 5 mm)

24

32

8

84

72

64

8

8

9

8

200

237

MZ

CZ

mm 540

mm237.140

pm40

1h

MZ

CZ

ricesruedas_Mote_dientes_producto_d

ducidasruedas_Cone_dientes_producto_d

3

3

4

9

8

27

32

Ruedas conducidas de 64 y 32 dientes

Ruedas Motrices de 72 y 24 dientes

ENGRANAJE DE MAYOR NÚMERO DE DIENTES

Angulo de la hélice del engranaje α2

α2 = 58º

Número de dientes z2

z2 = 20 dientes

7

Diámetro Primitivo: d2

mm75.483

58cos

dientes

mm2dientes20

2αcos

nm2

z

2d

d1 = 75.483 mm

Diámetro Exterior: de2

mm79.483 e2

d

mm79.483 mm2 2mm75.483 nm22

de2

d

Paso de hélice: h2

mm 148.181tan(58)

3.1416mm75.483

2αtan

π2

d

2h

h2 = 148.181 mm

Número de dientes ideal o ficticio zi2

dientes134.4 z

dientes134.4 (58)cos

dientes20

αcos

zz

i2

3

2

3

22i

Altura total o profundidad total del Diente: h2

mmh

mmmmmh n

5.4

5.4225.225.2

2

2

Plato divisor

220

40

2z

40en

8

El número de vueltas que hay que darle al plato divisor es: 2 vueltas por cada diente, utilizando

cualquier plato de orificios del divisor.

Ruedas para la lira de la fresadora (si el paso del tornillo de la fresadora pm es de 5 mm)

243

4

72

40

8

8

9

5

3

4

9

5

200

148

MZ

CZ

mm 540

mm 148.181

pm40

2h

MZ

CZ

Motricesruedas dientes de producto

Conducidasruedas dientes de producto

32

8

8

27

20

Ruedas conducidas de 40 y 32 dientes

Ruedas Motrices de 72 y 24 dientes