Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.Arquitectura. U.P.M. Calculo. Integrales triples. Aplicaciones.

CALCULO

Hoja 11. Integrales triples. Aplicaciones.

1. Calcular las siguientes integrales triples en los recintos indicados:

(a)

∫∫∫Dx+zy+x2yzdxdydz, D =

{(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ z ≤ 2

}.

Sol.:-1

3

(b)

∫∫∫Dzxy

√1 + y2dxdydz,D =

{(x, y, z) ∈ R3 : −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

}.Sol.:

√2

2−

1

4

(c)

∫∫∫D

z2y − zx2 − zx4

1 + x2dxdydz, con D el cubo unidad [0, 1]× [0, 1]× [0, 1]. Solucion:

π−424 .

(d)∫∫∫

D dxdydz, siendo D el tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano

x+ y + z = 1. (El valor de la integral es el volumen del tetraedro). Sol.:1

6

(e)

∫∫∫De(x

2+y2+z2)3/2

dxdydz, D la esfera unidad centrada en el origen. Indicacion:

Cambiar a variables esfericas. Solucion: 43π(e− 1).

(f)

∫∫∫D

dxdydz

(x2 + y2 + z2)3/2, siendo D el recinto limitado por las esferas x2+y2+z2 = a2

y x2 + y2 + z2 = b2 con 0 < b < a. Sol.:4π lna

b

(g)∫∫∫

D yzdxdydz, siendoD la region limitada por el elipsoide de ecuacion x2

a2+ y2

b2+ z2

c2=

1 y los semiespacios x ≥ 0, y ≥ 0 y z ≥ 0. Solucion: ab2c2

15 .

2. Expresar en la forma D ={(x, y, z) ∈ R3 : . . .

}y hacer un esbozo de los recintos sobre los

cuales se estan calculando las siguientes integrales:

(a)

∫ √π2

0

∫ √π2

x

∫ 3

1sen y2dzdydx, (b)

∫ 1

0

∫ y

0

∫ √1−y2

0dzdxdy, (c)

∫ 4

0

∫ 4−x2

0

∫ 12−3x−6y4

0dzdydx.

Finalmente plantear alguna otra de las integrales iteradas y hallar el valor de dicha integral.(Nota: en este ejercicio el orden de integracion dado por dx, dy y dz juega un papel

fundamental). Sol.:(a) 1; (b)1

3; (c) 4.

3. Sea el solido limitado inferiormente por el paraboloide z = x2 + y2 y superiormente por laesfera x2 + y2 + z2 = 6. Se pide:

(a) Expresar mediante una integral triple en coordenadas cartesianas el volumen de dichosolido.

(b) Mediante un cambio de coordenadas apropiado calcular dicho volumen.

Sol.: 2π(−11

3 + 2√6).

1

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4. Hallar el volumen limitado entre las superficies{x2 + y2 = z2

x2 + y2 = 8ypara x ≥ 0.

Sol.: 20489 .

5. Calcula el volumen interior a la superficie 4x2+9y2+ z2− 36 = 0 y exterior a la superficie4x2 + 9y2 − 9 = 0.

Sol.: 18π√3.

6. Hallar el volumen de la region

D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 + 4 ≤ 0, 8− x2 − y2 ≥ z, z ≥ 0}.

Sol.: 89π6 .

7. Hallar el volumen limitado por los paraboloides de ecuaciones z = x2+y2 y z = 2−x2−y2.Solucion: Vol= π.

8. Hallar el volumen del cuerpo definido como D =

{(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ x2

4+

y2

9≤ 1

}.

Sol.:3π.

9. Hallar el volumen comprendido entre x2 + y2 + z2 = 100 y x2 + y2 = z2, z ≥ 0. Sol.:1000π

3

(2−

√2).

10. Sea W la region acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie z = x2 + y2,

x ≥ 0, y ≥ 0. Calcular∫W xdxdydz. Sol.:

8√2

15.

11. Hallar el volumen limitado entre las superficies{z2 − 4 = x2 + 2y2

x2 + 2y2 = 5

Sol.: 38π√2.

12. Calcular el volumen del recinto interior al elipsoide 4x2 + y2 + z2 − 338 = 0 al que se lehan quitado los dos casquetes cortados en el por el hiperboloide 4x2 + y2 − z2 + 50 = 0.

13. Hallar el volumen limitado entre las superficies{x2 + y2 + 3z = 4x2 + y2 = z2

Sol.: 11712 + 4π

3 .

14. Calcula el volumen interior a la superficie 4x2+9y2+ z2− 36 = 0 y exterior a la superficie4x2 + 9y2 − 9 = 0.

15. Hallar el volumen de la region

D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 + 4 ≤ 0, 8− x2 − y2 ≥ z, z ≥ 0}.

Sol.: 89π6 .

16. Calcular la masa del solido

D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≥ 2x, x2 + y2 ≤ 4x, z2 ≤ x2 + y2}

situado en el primer octante (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), siendo la densidad m(x, y, z) = y

Sol.: 12.2

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17. Calcular el centro de gravedad de un cilindro circular recto de radio de la base R, de alturah y cuya densidad varıa proporcionalmente a su distancia a la base. Sol::

(0, 0, 2h3

).

18. Calcular la masa del solido de densidad d(x, y, z) = 1 + 2z limitado por las superficiesz = 0, (x− 1)2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 2− z.

Indicacion:

∫ π2

π4

cos6 t dt =5π

64− 11

48y

∫ π2

π4

cos4 t dt =3π

32− 1

4

Sol.: 25π12 − 8

9 .

19. Calcular el momento de inercia con respecto al eje OZ del volumen del paraboloide derevolucion z = x2 + y2, limitado por el plano z = a. Sol.: πa3

6 .

20. Calcular el momento de inercia del solido interior al cono z2 = x2 + y2 para −4 ≤ z ≤ 4respecto de los ejes coordenados y respecto al origen (densidad µ =constante). Sol.:Ix = Iy = 512πµ, Iz =

10245 πµ, Io =

30725 πµ.

21. Calcular la masa del solido limitado por el hiperboloide x2 +4y2 − z2 +4 = 0 y el cilindro

x2 + 4y2 − 9 = 0, y cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = 1− z

4.

Sol.: π(26

√13

3 − 163

).

22. Calcular la masa M del solido definido por

{z =

√4− x2 − y2

z ≥√

x2 + y2siendo la densidad en

cada punto el cuadrado de la distancia de su proyeccion sobre el plano OXY al origen decoordenadas. (Se recomienda pasar a coordenadas esfericas).

Sol.: 2π(−8

√2

3 + 6415

).

23. Dado el elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = abc−|xyz|,

calcular su masa.

Sol.: a2b2c2(8π6 − 1

6

).

24. Hallar el volumen del solido acotado superiormente por el paraboloide z = 5− x2 − y2, einferiormente por el paraboloide z = 4x2 + 4y2. Hallar tambien su masa y su centro degravedad siendo la densidad en cada punto m(x, y, z) = 8− z.

25. Se considera el solido interior al cilindro x2 + y2 = 1, limitado superiormente por lasuperficie z2 = 2+ x2 + y2, e inferiormente por z = x2 + y2. Hallar su masa sabiendo quela densidad en cada punto es m(x, y, z) = 6− (x2 + y2)z.

Sol.: 2π(6√3− 4

√2− 85

48

).

26. Hallar la masa del solido D ={(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ x, z ≥ 0

}que

tiene como funcion de densidad en cada punto m(x, y, z) = z.

Sol.: 5π64 .

27. Calcular la masa y los momentos de inercia respecto de los ejes X e Y del solido limitadopor la superficie z =

√4− x2 − y2 y el plano z = 0 si la densidad en (x, y, z) es proporcional

a la distancia de (x, y, z) al plano z = 0.

Sol.: Masa= 4kπ, Ix = Iy = 8kπ.

28. Se considera el solido D limitado por el cilindro x2 + y2 − 2y = 0 en la region 0 ≤ z ≤√x2 + y2; hallar la masa de D suponiendo que la funcion densidad es f(x, y, z) = |x|.

Sol.: 85 . 3

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29. Hallar la masa de la dovela

D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +y2

4≥ 1,

x2

4+

y2

16≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1}

siendo la funcion de densidad m(x, y, z) = xy + 1.

Sol.: 32π + 15

2 .

30. Se considera el solido

S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x− 1)2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y, 0 ≤ z ≤ 2}

con funcion densidad δ(x, y, z) = y + 2. Hallar el momento de inercia de S respecto delplano coordenado z = 0.

Sol.: 89 + 8π

6 .

31. Calcular la masa del solido S = {(x, y, z) ∈ R3 :√

x2 + y2 ≤ z, 0 ≤ z ≤ 4} siendola densidad en cada punto m(x, y, z) =

√x2 + y2 + z2.

Sol.: 1283 π(2

√2− 1).

32. Calcular la masa del solido S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z, z2 ≤ 3− x2

4 − y2

9 , z2 ≥ 1+ x2

4 + y2

9 }siendo la densidad en cada punto m(x, y, z) = z.

Sol.: 3π.

33. Dado el elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = abc−|xyz|,

calcular su masa

34. Calcular la masa y el centro de gravedad del solido limitado por el hiperboloide de doshojas x2 + y2 − z2 + 4 = 0 y el cilindro x2 + y2 − 9 = 0, y cuya densidad en cada punto es

m(x, y, z) =5− z

2. (Maple). .

35. Calcular la masa del solido limitado por el hiperboloide de dos hojas x2 + y2 − z2 + 1 = 0y la esfera x2 + y2 + z2 − 9 = 0 en el semiespacio z ≥ 0, y cuya densidad en cada punto esm(x, y, z) = z2.

Sol.: 2π3

(−10

√5 + 244

5

).

36. Calcula la masa del solido D definido porD ={(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 ≤ 6, z2 − x2 − y2 ≥ 2

}que tiene como funcion de densidad en cada punto m(x, y, z) = |z|x2 + |z|y2. Sol: 8π

3 .

37. Se pretende instalar un equipo de aire acondicionado en un estadio de deporte de plantaelıptica de semiejes a = 2 y b = 1 y paredes planas perpendiculares al suelo (es decir, el

recinto limitado por el cilindro de ecuacionx2

4 +y2 = 1, z ≥ 0). Ademas, la cubierta es una

porcion del elipsoide 4z2 + x2

4 + y2 = 4 Se utilizaran compresores y evaporizadores de airesegun ciertas caraterısticas tecnicas. Para determinar el numero de dichos aparatos, seprecisa conocer el volumen de aire que habrıa que enfriar. Calcular, por tanto, el volumendel estadio. (Sol: V = 2π

(83 −

√3)).

38. Hallar la masa del solido

D ={(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, x2 + y2 ≤ z2 − 1, z ≥ 0

}que tiene como funcion de densidad en cada punto m(x, y, z) = z3 + 1.

(Sol.:2π

(88

3− 10

√5

3

)).

4

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39. Un edificio tiene forma de hiperboloide reglado, de planta circular y cubierta plana (similara la catedral de Brasilia). La ecuacion de dicho hiperboloide es

25

54x2 +

25

54y2 − (z − 20)2 =

50

3.

Calcular el volumen que encierra el edificio.

5