Cálculo I Instituto de Matemática UERJ

8/18/2019 Cálculo I Instituto de Matemática UERJ

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CÁLCULO: VOLUME I

MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA

Departamento de Análise - IMEUERJ


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Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados

Proibida a reprodução parcial ou total


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PREFÁCIO

"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?Isso depende bastante de até onde você quer chegar."Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas

Através dos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva ferramenta para a com-

preensão das leis que regem a Natureza e o Universo.Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se, inicialmente, dos problemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaram impulsionados pela curiosidadehumana de entender e explicar os fenônemos que regem a natureza.Historicamente, o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois tipos de proble-mas: os associados à noção de derivada, antigamente chamados de tangências e os problemasde integração, antigamente chamados de quadraturas. Os relativos à derivação envolvem va-riações ou mudanças, como por exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentoseconômicos ou a propagação de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplos deproblemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de regiões delimitadas porcurvas, do volume de sólidos e do trabalho realizado por uma partícula.

Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século XVIII por IsaacNewton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproximadamente na mesma época,Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente de Newton, também desenvolveu considerá-vel parte do assunto. Devemos a Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entrederivada e integral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibnizsão as universalmente usadas.O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo Diferencial e Integralde uma variável com simplicidade, através de exemplos, mas sem descuidar do aspecto formalda disciplina, dando ênfase à interpretação geométrica e intuitiva dos conteúdos.O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados e problemas. Asprovas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados que não foram provados no apêndice,foram ilustrados através de exemplos, aplicações e indicações bibliográficas adequadas e estãoincluidos como referência ou leitura adicional para os leitores interessados.Os conceitos centrais do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável são relativamente pro-fundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o importante éque o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensão intuitiva dos proble-mas. As expressões do tipo "é facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, não devem serencaradas de forma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugar aapresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão ser preenchidos.Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cálculo Diferenciale Integral de uma variável. Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, cri-


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teriosa, dos softwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil aoaprendizado da disciplina.Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do IME-UERJ que, de

algum modo, nos motivaram e deram condições para escrever estas notas e à Sra. Sonia M.Alves pela digitação. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dosautores.

Mauricio A. Vilches - Maria Luiza CorrêaRio de Janeiro


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Conteúdo

1 INTRODUÇÃO 91.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Equação Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2 Equação Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Equações das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 312.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Função Modular ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1 Função Polinomial do Primeiro Grau ou Afim . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.2 Função Polinomial de Segundo Grau ou Quadrática . . . . . . . . . . . . . 472.4.3 Função Polinomial de Grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4.4 Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5 Interseção de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Álgebra de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6.1 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7 Composta de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.8 Inversa de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8.1 Método para Determinar a Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.9 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.10 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.10.1 Economia: Cálculo de Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.10.2 Crescimento e Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.10.3 Função Logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

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6 CONTEÚDO

2.11 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.11.1 Desintegração Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.12 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.12.1 Função Seno e Função Co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.12.2 Função Tangente e Função Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.12.3 Função Co-tangente e Função Co-secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.13 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.13.1 Função Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.13.2 Função Arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.13.3 Função Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.13.4 Funções Arco co-tangente, Arco secante e Arco co-secante . . . . . . . . . 86

2.14 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.15 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3 LIMITE E CONTINUIDADE 993.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.5 Símbolos de Indeterminação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.7 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.7.1 Esboço Aproximado de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.8 Continuidade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 DERIVADA 1414.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.4 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.5 Derivada da Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.6 Derivadas das Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.6.1 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.6.2 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.6.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.6.4 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.6.5 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.6.6 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.7 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.8 Famílias de Curvas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.9 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.10 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.11 Velocidade e Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176


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CONTEÚDO 7

4.12 A Derivada como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5 APLICAÇÕES DA DERIVADA 1915.1 Variação de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.2 Funções Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.3 Determinação de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.4 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.5 Esboço do Gráfico de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.6 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.7 Teorema de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.7.1 Outros tipos de indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.8 Diferencial de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 2396.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.2 Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.3 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.3.1 Outros Tipos de Substituições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.4 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . 2456.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.6 Método de Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.7 Método para Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.8 Mudança: Tangente do Ângulo Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.9 Aplicações da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

6.9.1 Obtenção de Famílias de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.9.2 Outras aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7 INTEGRAÇÃO DEFINIDA 2717.1 Intodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.2 Definição e Cálculo da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2767.3 Métodos para Calcular Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2807.4 Construção de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2847.5 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.5.1 Aceleração, velocidade e posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.6 Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.7 Volume de Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

7.7.1 Cálculo do Volume dos Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3067.7.2 Outros Eixos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3117.7.3 Método das Arruelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

7.8 Cálculo do Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3177.9 Definição de Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

7.9.1 Logaritmo como Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3207.10 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321


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8 CONTEÚDO

7.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

8 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 333

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3338.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3338.2.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

8.3 Integrais de Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3398.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

9 EXEMPLOS DIVERSOS 3479.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3509.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3569.4 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

10 APÊNDICE 37310.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37310.2 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37410.3 Funções Integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

11 RESPOSTAS 38111.1 Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38111.2 Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38111.3 Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38411.4 Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38511.5 Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

11.6 Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38811.7 Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38911.8 Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Bibliografia Básica 392


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Capítulo 1

INTRODUÇÃO

Neste capítulo apresentaremos uma breve revisão de alguns tópicos do

grau essenciais para

o estudo do Cálculo de uma Variável Real. Admitiremos a familiaridade do leitor com o conjunto dos números reais, denotado por , com as operações fundamentais e suas respectivaspropriedades, bem como com a visualização geométrica de como uma reta e dos númerosreais como pontos dessa reta.

1.1 Desigualdades

A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados. Usandoos símbolos usuais para maior ( ), maior ou igual ( ), menor ( ), menor ou igual ( ), podemosver, por exemplo, que se

e

, então

; no eixo coordenado temos que está

à esquerda de . Para todo

temos: ou , ou

, ou

.

1.2 Intervalos

Muitos subconjuntos de são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são osintervalos.

Sejam tais que .

Intervalo aberto de extremidades e , denotado por

é definido por:

a b( )

Figura 1.1: Intervalo aberto.

Intervalo fechado de extremidades e , denotado por é definido por:

9


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10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

a b][

Figura 1.2: Intervalo fechado.

Intervalo semi-aberto e intervalo semi-fechado, são denotados e definidos, respectivamente,por:

e

a b[ )

a( ]

b

Figura 1.3: Intervalos semi-abertos e semi-fechados.

Os quatro intervalos assim definidos são ditos limitados. Introduzindo os símbolos e ,os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:

e

e

Note que

. Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequa-ções, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.

Desigualdades Lineares:

Determinemos o conjunto-solução de:

é equivalente a

; logo, se ,

; o conjunto-solução é

. Se

,

; o conjunto-solução é

Desigualdades Quadráticas:Seja

a equação de segundo grau. Denotemos por

o discri-minante da equação e

,

as raízes reais da equação (

). O conjunto-solução

de umadesigualdade quadrática depende do sinal de e de

.

Para

. Se , a desigualdade

tem conjunto-solução

e


Se , a desigualdade


e

temconjunto-solução

.


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1.3. VALOR ABSOLUTO 11

Para


tem conjunto-solução e


.

Se , a desigualdade


e

tem

conjunto-solução .

Para


tem conjunto-solução e




e

tem conjunto-solução .

Exemplo 1.1.

[1] Ache a solução de:

. Fatorando

; então,

éequivalente a

, da qual obtemos

ou

. O conjunto-soluçãoé:


Note que a desigualdade não é equivalente a

. Se

, isto é

;então,

, de onde obtemos

. Se

, isto é

; então,

, de onde obtemos

. Logo, o conjunto-solução é:


Resolvemos

, que é equivalente a

, da qual obtemos

ou . Logo, o conjunto-solução é:

1.3 Valor Absoluto

O valor absoluto ou módulo de um número real , denotado por é definido como o maiornúmero do conjunto

, ou equivalentemente:

se

se

Observe que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo e possui as seguintespropriedades imediatas. Sejam

; então:


12/392


1.

, para todo

2.

se e somente se

,

3.

4.

se e somente se

ou

5.

, se

6.

.

Exemplo 1.2.

[1] Achar a solução de:

.

Pelas propriedades anteriores,

é equivalente a:

ou

.

Se

, então

e ou

; se

, então

,

o que é impossível. O conjunto-solução é:

[2] Achar a solução de:

.

Pela propriedades anteriores,

é equivalente a:

ou

;Se

, então

; logo,

Se

, então

, que não possui solução. O conjunto-solução é:

1.3.1 Distância

Usando o valor absoluto podemos definir a distância entre dois números reais. A distânciaentre os números reais e

é

. Então

é a distância de à origem.

Exemplo 1.3.

[1] A distância entre os números e é

.

[2] A distância entre os números

e

é

e a distância entre osnúmeros

e é

.

[3] A distância entre os números

e

é:


13/392

1.4. PLANO COORDENADO 13

1.4 Plano Coordenado

Um par ordenado de números reais é uma dupla de números reais

, tais que

se e somente se . O elemento do par ordenado é chamado primeira coordenada dopar e

é chamado a segunda coordenada do par. De forma análoga à representação geo-

métrica dos reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados. Para isto con-sideramos duas retas, que por conveniência impomos que se intersectem perpendicularmen-te. A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo dos e a reta vertical é chamadaeixo das ordenadas ou eixo dos

. A interseção das retas é chamada origem, à qual asso-

ciamos o par

e atribuimos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamadoplano coordenado. As quatros regiões determinadas no plano por estas retas são chamadasquadrantes. A representação de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciproca-mente), é feita de forma análoga a do eixo coordenado. Por exemplo, os seguintes pontos

, tem a seguinte representação no plano

coordenado:

D

A2

1

-1

-2

-2 10x

y

B

C

Figura 1.4:

Usando o teorema de Pitágoras podemos definir a distância entre dois pontos do plano coor-denado.

B

x

y

x

y

1 2

1

2

A

d

y

x

Figura 1.5:


14/392


Sejam

e

pontos do plano. A distância

entre

e é:

A distância possui as seguintes propriedades imediatas.

Proposição 1.1. Sejam

, e pontos do plano, então:

1.

e

se e somente se

.

2.

.

3.

.

Exemplo 1.4.

[1] Calcule a distância entre os pontos

e

. Aplicando a fórmula:

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

Figura 1.6:

[2] Determine o ponto , que divide na razão o segmento de reta que liga os pontos

e

.

Sejam

,

ospontosdadose

o ponto procurado e

,

pontos auxiliares como no desenho:


15/392

1.5. EQUAÇÃO DA RETA 15

P

Q

S T

R

Figura 1.7:

Os triângulos

e

são semelhantes; logo:

e

Por outro lado,

e

Aplicando a fórmula da distância, temos que:

,

e

.Obtemos o sistema:

que tem como solução:

; logo

.

1.5 Equação da Reta

1.5.1 Equação Geral da Reta

Sejam

e

dois pontos distintos no plano:

x1 2

2

1

P

P

1

2y

y

x x

y

Figura 1.8:

A equação da reta que passa pelos pontos

e

é:


16/392


onde

,

e

. Veja [TA], [LB].

Se

a reta é horizontal; se a reta é vertical. O ponto

pertence à reta

se

.

Exemplo 1.5.

[1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos

e

.

Neste caso:

,

e

; logo, a equação é:

.

1 1 2 3 x

4

2

2

4

y

Figura 1.9: A reta

.

[2] Determine

tal que o ponto

pertença à reta

.

O ponto

pertence à reta

se, e somente se

; logo,

.

1 1 2 3 4 5 x

1

1

2

3

4

y

Figura 1.10: A reta

e o ponto

.

1.5.2 Equação Reduzida da Reta

Se uma reta não é paralela ao eixo dos , então

. Fazendo:

e


17/392

1.5. EQUAÇÃO DA RETA 17

obtemos a equação reduzida da reta:

é chamado coeficiente angular da reta e

coeficiente linear da reta. É fácil ver que a equaçãoda reta que passa pelo ponto

e tem coeficiente angular é:

Exemplo 1.6.

[1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos

e

.

Neste caso:

e fazemos

ou

; então, se

e

, temos,

ou

.

1 1 2 3 x

2

1

1

2

y

Figura 1.11: A reta

.

[2] Escreva na forma reduzida a equação:

.

A forma reduzida é do tipo

; então,

1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas

Sejam

e

as equações de duas retas. As retas são paralelas se, esomente se:

As retas são perpendiculares se, e somente se:

Logo, as retas de equações

e

são perpendiculares, se, e

somente se:


18/392


Exemplo 1.7.

[1] Ache o valor de

tal que as retas::

(a)

e

sejam paralelas.

(b)

e

sejam perpendiculares.

(a) As retas são paralelas se os coeficientes angulares são iguais; logo,

; donde

.

(b) As retas são perpendiculares se:

, donde

.

0.4 0.2 0.2 0.4 x

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

y

1.0 0.5 0.5 1.0 x

0.5

1.0

1.5

2.0

y

Figura 1.12: As retas do exemplo (a) e (b), respectivamente.

[2] Determine a reta que passa pelo ponto de interseção das retas

e

e é perpendicular a

.

Primeiramente, determinemos o ponto de interseção das retas, resolvendo o sistema:

Obtemos o ponto

. A reta que procuramos tem equação

tal que

,

onde

é o coeficiente angular da reta

; logo,

e

. Como

a reta passa por

, a reta procurada é

.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 1.13: As retas do exemplo [2].


19/392

1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS 19

1.6 Equações das Cônicas

A equação do segundo grau em duas variáveis:

sendo

e não simultanemente nulas representa, em geral, uma curva no plano chamada

cônica, cuja natureza depende dos coeficientes

, ,

, e . Podemos considerar dois casos:

e

e

.

Caso1: Se

e

, completando quadrados dos binômios nas variáveis e

, a equação

acima pode ser escrita como:

onde

,

e

. Se , o lugar geométrico é um ponto.

Se

e

ou

tem sinais opostos, não existe lugar geométrico. Se

, a equação pode serescrita como:

Se

(

e

tem o mesmo sinal) e tem o mesmo sinal de

ou

, a equação

pode

ser escrita como:

onde

e

. A equação

representa uma elipse centrada em

e eixosparalelos aos eixos coordenados; no caso particular

, a equação representa um círculo deraio , centrado em

:

Se

(

e tem sinais opostos). Se

e

(ou

e

), a equação podeser escrita como:

onde

e

.

Se e

(ou

e

), a equação pode ser escrita como:

onde

e

. As equações

e

representam uma hipérbole de eixos paralelosaos eixos coordenados.

Se , a equação pode ser escrita como:

, que representa duasretas que se intersectam.

Caso 2: Se

ou

. Supondo

e

, a equação é:


20/392


que representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos .

Se

e

a equação é:

que é a equação de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos . Se

, a equação

representa uma reta.

Exemplo 1.8.

Diga o que representam as seguintes equações:

[1]

.

[2]

.[3]

.

[4]

.

[5]

.

[6]

.

[7]

.

Soluções:

[1]

,

,

;

,

e

; logo, ,

,

,

e

. A equação representa uma elipse centrada no ponto

de equação:

[2]

,

;

,

e

; logo, ,

,

e . Aequação representa um círculo centrado em

, de raio

e tem a forma:

.

1 2 3 4 5 6 x

2

4

6

8

10

y

1 1 2 3 x

2

1

1

2

y

Figura 1.14: Desenhos do exemplo [1] e [2], respectivamente.

[3] Como

,

,

e

, temos:

,

,

,

e

. A equação representa uma hipérbole e pode ser escrita como:


21/392

1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS 21

[4] Como

,

,

, e

, temos:,

,

,

,

,

e

. A equação representa uma hipérbole:

4 2 2 4 x

3

2

1

1

2

3

y

2 2 4 x

4

2

2

4

y


[5] Como

e

, a equação representa duas retas concorrentes; de fato:

. Logo,

; então,

ou

.

[6] Como

, , a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos .

4 2 2 4 x

4

3

2

1

1

2

3

y

1 1 2 3 4 5 x

2

1

1

2

y


[7] Como

, a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos .


22/392


3 2 1 1 2 3 x

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

y

Figura 1.17: Desenho do exemplo [7].

1.7 Trigonometria

Inicialmente faremos uma revisão do conceito de radiano. Sabemos que arcos de círculos quesubtendem o mesmo ângulo central são semelhantes e que a razão da semelhança é a razãoentre os raios. Num círculo de centro

e raio

, seja

o comprimento do arco

subtendido

pelo ângulo central .

A

B

l

rα

O

Figura 1.18:

é diretamente proporcional a

e à medida do ângulo . Admitindo que o arco e o raio sejam

medidos com a mesma unidade e denotando por

a medida do ângulo , temos

, onde a constante

depende da unidade de medida de ângulos escolhida. Radianoé a unidade de medida de ângulos para a qual

, ou seja, tal que

. Emresumo, a medida do ângulo

em radianos é dada pela razão:

, onde

é o comprimentodo arco subtendido no círculo cujo centro é o vértice do ângulo e

é o raio do círculo. Como ocomprimento de um semi-círculo ou arco de

é , então

radianos; logo,

Note que a medida de um ângulo em radianos não depende da unidade de comprimento consi-derada. No plano coordenado consideremos um círculo orientado no sentido anti-horário,centrado na origem e de raio igual a . Este círculo é denominado círculo trigonométrico. Oponto

, interseção do círculo com o semi-eixo positivo das abscissas é chamado origem. Ospontos

, ,

,

, interseções do círculo com os eixos coordenados o dividem em quatro partes

congruentes.


23/392

1.7. TRIGONOMETRIA 23

B

C A

D

III

II I

IV

Figura 1.19:

Como a equação do círculo é

, seu comprimento é

. Portanto, a medida dequalquer arco deste círculo é igual a sua medida em radianos.Considere o ângulo

que determina sobre o círculo de raio , o arco de origem

e

extremidade

tais que

e

, como no desenho:

M

Oα

P A

Figura 1.20:

O seno do ângulo é denotado por e definido por:

O co-seno do ângulo

é denotado por

e definido por:

A tangente do ângulo é denotada por

e definida por:

se

; equivalente-

mente,

se

A co-tangente do ângulo

é denotada por

e definida por

se

; equiva-lentemente,

se

Identidade Fundamental : Do triângulo

e como

, tem-se:

As definições de seno, co-seno, tangente e co-tangente de um ângulo agudo são coerentes comnossa definição. Por simetria, podemos obter os valores para os arcos maiores que

. Como


24/392


dois arcos são congruentes se suas medidas diferirem por um múltiplo de

, temos que doisarcos congruentes tem a mesma origem e a mesma extremidade, portanto o mesmo seno, co-seno, etc. É comum representar todos os arcos congruentes ao arco por

, onde

é um

número inteiro. A partir das relações anteriores, definimos a secante e a co-secante do ângulo

por:

e

onde e , respectivamente. A seguir apresentamos algumas propriedades:

Se

:

Se

:

Se

:

Observamos que para qualquer ângulo tem-se:

e

Adição dos arcos :

A verificação destas propriedades pode ser considerada como exercício. Usando as definiçõesé possível deduzir muitas outras propriedades ou identidades trigonométricas. Por exemplo:

1.

2.

3.

4.

A seguir os valores mais utilizados de seno e co-seno:

1.7.1 Aplicações

Lei dos Senos Para qualquer triângulo

verifica-se:

onde

,

,

são os lados opostos aos ângulos

,

e

, respectivamente. Considere o seguinte desenho:


25/392

1.8. EXERCÍCIOS 25

C

B

α

β

D

b

a

A

c

γ

Figura 1.21:

Seja o ponto obtido pela interseção da reta que passa por

e é perpendicular ao lado

.

Logo:

o que implica:

. Portanto:

. Analogamente,obtemos:

Área de um triângulo : Como aplicação direta da lei dos senos, obtemos a área do triângulo

:

1.8 Exercícios

1. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjuntosolução:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

(o)


26/392


(p)

(q)

(r)

2. Determine os valores de tais que:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

3. Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de serem falso:

(a) Para todo , e

:

e

(b) para todo e :

.

4. Marque os seguintes pontos no plano coordenado e calcule a distância entre eles:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

5. Utilize a fórmula da distância para verificar que os pontos

,

,

são coli-neares.

6. Utilize a fórmula da distância para verificar que os comprimentos das diagonais de umretângulo são iguais.

7. Verificar que os seguintes pontos:

,

e

são os vértices de umtriângulo equilátero.

8. Determine os pontos equidistantes dos pontos

e

.

9. Verifique que a distância do ponto à reta é

10. Determine a distância entre as retas

e

.

11. Ache a equação da reta que passa pelos pontos:


27/392

1.8. EXERCÍCIOS 27

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f) f)

12. Obtenha a equação da reta paralela à reta

e que passa pelo ponto

.

13. Ache a equação da reta perpendicular à reta

e que passa pelo ponto

.

14. Verifique que as retas

e

são perpendiculares.

15. Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

16. Seja

um ponto numa parábola ou numa elipse. Uma reta que passe por

é dita tangen-te à parábola ou à elipse no ponto

se a parábola ou a elipse estão contidas inteiramente

num dos semi-planos determinado pela reta. Verifique que a a reta

é tangenteà parabola

no ponto

.

17. Dada a reta

e o círculo

, determine

tal que:

(a) sejam secantes;

(b) sejam tangentes.

18. Para que valores de

a reta

é tangente ao círculo

?

19. Obter o valor simplificado de:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)


28/392


20. Verifique as seguintes identidades trigonométricas:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

21. Prove as seguintes propriedades:

(a)

(b)

(c)

(d)

22. Num triângulo de ângulos

e

e lados e tal que

, verifique:

(a)

e

(b)

(c) A área do triângulo é

. Esta expressão é chamada Fórmulade Herón.

23. Lei dos Co-senos: Para qualquer triângulo

, verifique:

(a)

(b)

(c)

onde

,

,

são os lados opostos aos ângulos

,

e

, respectivamente.

24. Determine a área do triângulo

, se:(a)

(b)

(c)

(d)

25. Sejam a reta

e

o ângulo formado pela reta e o eixo positivo dos . Verifique

que

. Determine a equação da reta que passa pelo ponto indicado e forme como eixo dos o ângulo dado.


29/392

1.8. EXERCÍCIOS 29

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

26. Dada a equação

, sendo :

(a) Para que valores de a equação tem soluções reais?

(b) Para que valores de a equação admite raízes reais negativas?

27. Resolva as inequações:

(a)

(b)

(c)

(d)

se

28. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a

de umaparede plana e vertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede. Saben-do que esta sombra tem

e que a altura do poste é

, determine a inclinação dosraios solares em relação ao plano horizontal.

29. Um retângulo com lados adjacentes medindo e

com

tem períme-tro igual a

Calcule a área do retângulo.

30. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos

, e

. O

comandante, quando o navio está em

, observa um farol e calcula o ângulo

. Após navegar

milhas até

, verifica o ângulo

. Quantas milhas separao farol do ponto

?


30/392



31/392

Capítulo 2

FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

2.1 Definições e Exemplos

Neste capítulo estudaremos uma das noções fundamentais da Matemática, o conceito de fun-ção. Uma função de uma variável real é uma regra que descreve como uma quantidade édeterminada por outra quantidade, de maneira única. Existem várias alternativas para definirformalmente uma função. Escolhemos a seguinte:

Definição 2.1. Sejam

. Uma função

definida em

e com valores em é uma regra que

associa a cada elemento

um único elemento

.

As notações usuais são:

tal que

ou

O número é chamado variável independente da função e variável dependente da função.

Exemplo 2.1.

[1] A seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de água de uma represa, representa umafunção:

Dia 2 3 4 5 6 7

870 870 950 497 510

De fato, a tabela representa uma função, pois a cada dia fica associada uma única quantidade devazão. Note que, possivelmente, não existe uma fórmula matemática para expressar a funçãodo exemplo, mas, a definição de função é satisfeita.

[2] Foi feita uma pesquisa de preços (em R$) de produtos da cesta básica em três supermercados

31


32/392

32 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

de um determinado bairro, obtendo-se a seguinte tabela:

Produto Sup. A Sup. B Sup. C

Esta tabela não representa uma função, pois a cada produto corresponde mais de um preço.

[3] A área de qualquer círculo é função de seu raio.

Se o raio do círculo é denotado por

, então,

. Um círculo de raio igual a

,tem área

; um círculo de raio igual a

, tem área

.(

=unidades de comprimento) e (

=unidades de área).

[4] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma de um cilin-dro circular reto de ( metros) de altura, com um hemisfério em cada extremidade. Ovolume do tanque é descrito em função do raio

.

r

Figura 2.1: Tanque de raio

.

O volume do cilindro é

e o dos dois hemisférios é

; logo, o volume total é:

Por exemplo, se o raio for

, o volume é

.

[5] Dois satélites artificiais estão circulando ao redor do Equador em uma órbita de raio igual a

. O comprimento que separa os satélites, se eles tiverem uma separação angularde

(em radianos), é , onde

é o raio.


33/392

2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 33

sθ

Figura 2.2: Satélites em órbita.

Logo, podemos descrever o comprimento em função da separação angular:

[6] Lei de Boyle: O volume de uma massa gasosa é inversamente proporcional à pressão a queela está submetida, isto é, o produto da pressão pelo volume é constante, se a temperatura dogás é constante. Denotamos a pressão por

, o volume por

e a temperatura constante por ;

então,

. Podemos escrever a pressão em função do volume:

ou o volume em função da pressão:

[7] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: (Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artériasou veias). Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos considerar que vasos temformato cilíndrico não elástico.

R

Figura 2.3: Vaso de raio .

Denotemos por

o raio e

o comprimento. Devido a fricção nas paredes do vaso, a velocidade do sangue é maior ao longo do eixo central do vaso e decresce se a distância

do eixo à

parede cresce e é zero na parede. A relação entre a velocidade da circulação e

é dada por:

onde

é a viscocidade do sangue e a diferença entre a pressão de entrada e a da saída do

sangue no vaso. Experimentalmente, para o sangue humano numa veia:

,

,

e

, logo:


34/392


[8] Temos metros de arame para fazer um curral de formato retangular. Podemos escrever

a área do curral em função de um dos lados. De fato, se e são os lados do curral, seu

perímetro é

e a área do retângulo é

; logo:

[9] Fisiologistas desenvolveram uma fórmula para determinar a superfície corporal de animaisem função de seu peso. Se denotamos por

a superfície corporal, então:

onde

é o peso em quilos do animal e

é uma constante que depende do animal. Experi-

mentalmente, é conhecido que

para humanos e

para primatas. Por exemplo,um homem de

quilos tem uma superfície corporal aproximada de:

uma criança de

quilos tem uma superfície corporal aproximada de:

20

54

70

86

90

120

[10] Considere

e

a regra que associa a cada número real

, o seu cubo, isto é:

Por exemplo, ao número associamos o número

; ao número

associa-mos o número

; ao número

associamos o número

, ao número


, etc.

-1

2


35/392


[11] Seja

e

a regra que associa a cada número real sua raiz quadrada, isto é:

Por exemplo, ao número associamos o número

; ao número


e ao número

não podemos associar nenhum número

real, pois, não é um número real.

0 2

4

-4 indefinido

[12] Seja

e

a seguinte função :

se

se

Ao número associamos o número

; ao número


; ao número


, etc.

-1 -3 2

[13] Seja

e

a seguinte função :

se

se

Por exemplo, ao número associamos o número ; ao número

associamos o núme-ro

; ao número


, pois

é irracional;

;

.

-1 2

Nos exemplos [3], [4], [5], [6],[7], [8], [9], [10], [11] e [12] as funções são definidas por equações(que fornecem

quando são atribuidos valores a ). No exemplo [13], a função não é dada

por uma equação, mas, a definição de função é satisfeita. Em geral, nem todas as funções sãonecessariamente, definidas de maneira explícita. Por exemplo:

[14] Se, durante o verão de 2006, no Rio de Janeiro, registrássemos a temperatura máximaocorrida em cada dia, obteríamos uma função. De fato, a cada dia, está associado uma única


36/392


temperatura máxima, isto é, a temperatura é função do dia. Embora não exista uma fórmulaexplícita para expressar a função do exemplo, a definição de função é satisfeita.

Em geral, a maioria das funções usadas nas aplicações são dadas por fórmulas ou equações.Mas é preciso ter um pouco de cuidado, pois nem toda equação de duas variáveis define umafunção. Por exemplo, a equação

não define uma função, pois para

temos doisvalores para

, a saber:

; mas

dá origem a duas funções:

e

Podemos imaginar uma função como uma máquina que utiliza uma certa

matéria prima (input) para elaborar algum produto final (output) e o conjunto dos númerosreais como um depósito de matérias primas. Fica evidente que é fundamental determinar,exatamente, neste depósito, qual matéria prima faz funcionar nossa máquina; caso contrário,com certeza, a estragaremos; esta analogia nos leva às seguintes definições:

x f(x)

Figura 2.4:

Definição 2.2.

1. O conjunto de todos os

que satisfazem a definição de função é chamado domínio da função

e é denotado por

2. O conjunto de todos os

tais que

, onde

é chamado imagem dafunção

e é denotado por

.

É claro que

, , e que

é o conjunto dos valores da variável in-dependente para os quais

é definida;

é o conjunto dos valores da variável dependentecalculados a partir dos elementos do domínio. Duas funções

e são ditas idênticas se tem omesmo domínio e , para todo ; por exemplo as funções

e

são diferentes pois seus domínios são diferentes. Antes de ver alguns exem-plos, voltamos a insistir que para estudar qualquer função, devemos sempre determinar osconjuntos

e

Exemplo 2.2.

[1] A área de um círculo de raio é

; sendo o raio, temos: ; logo,

[2] Considere a função

; é claro que não existem restrições para o número real ;logo, temos que:

e

, para todo ; então

, então:


37/392



. Uma raiz quadrada existe somente se ; então:

Como todo número real possui raiz quadrada:


. Como no caso anterior,

existe somente se

; resolvendo a inequação temos:

e, novamente, temos:


; é claro que

é definida se e somente se

; logo temosque:

por outro lado, uma fração é nula se e somente se o numerador é nulo; então


; como no caso anterior o denominador da fração não

pode ser nulo; logo

; então,

e:


; como a raiz cúbica de um número positivo ou negativoé positiva ou negativa,


. A função é definida se e

simultaneamente. Resolvendo as inequações, obtemos

; logo,

e

Agora que determinamos nos exemplos os domínios e imagens das funções, podemos avaliar,sem perigo, estas funções.

[9] Se

, então

,

e

, pois

é semprepositivo.

[10] Se

, calculamos

, se e

.


38/392


2.2 Gráficos de Funções

A representação geométrica de uma função de uma variável real é dada por seu gráfico no

plano coordenado

.

Definição 2.3. O gráfico de uma função

é o seguinte subconjunto do plano:

Geometricamente

é, em geral, uma curva no plano. Nos exemplos [1], [13] e [14] da seção2.1,

não é uma curva. Nos casos em que

é uma curva, intuitivamente podemospensar que os conjuntos

e representam a “largura” e “altura” máxima da curva,respectivamente. Inicialmente, a construção dos gráficos será realizada fazendo uma tabela,onde as entradas da tabela são os elementos do domínio e as saídas, as respectivas imagens.Este processo é demorado e ineficiente e será abandonado nos capítulos seguintes, quando

serão dadas técnicas mais eficientes para fazer o gráfico. É importante não confundir a funçãocom seu gráfico, pois o gráfico é um subconjunto do plano.

Exemplo 2.3.

[1] Esboce o gráfico da função dada pela seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de águade uma represa:

Dia

O gráfico desta função não representa uma curva. A primeira coluna da tabela representa aabscissa e a segunda coluna as respectivas ordenadas; logo, obtemos:

1 2 3 4 5

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