Calculo II

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA UNIDAD ACADÉMICA DE SANTA CRUZ FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA Ingeniería de Telecomunicaciones SEGUNDO SEMESTRE SYLLABUS DE LA ASIGNATURA CALCULO II Elaborado por: Ing. José Jaime Barrancos Quiroz Gestión Académica II/2007 U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 1
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SYLLABUS GENERICO

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

UNIDAD ACADMICA DE SANTA CRUZ

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIAIngeniera de TelecomunicacionesSEGUNDO SEMESTRE

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA

CALCULO II

Elaborado por:Ing. Jos Jaime Barrancos QuirozGestin Acadmica II/2007

UDABOL

UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISION DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad lder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educacin Superior Universitaria con calidad y

Competitividad al servicio de la sociedad.

.

Estimado (a) estudiante;

El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeos en la planificacin de los procesos de enseanza para brindarte una educacin de la ms alta calidad. Este documento te servir de gua para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho ms productivos.

Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.

Aprobado por: Fecha: julio de 2007

SYLLABUS I.- DETALLE DE LA ASIGNATURAAsignatura:CALCULO II

Cdigo:MAT 112A

Requisito:MAT 102A

Carga Horaria:100 horas

Horas tericas80 horas

Horas practicas20 horas

Crditos:10

II. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

El objetivo de la materia es estudiar las funciones reales de n-variables, sus propiedades bsicas y los fundamentos de derivacin, diferenciacin e integracin, as como sus aplicaciones en el problema de optimizacin.

Aplicar las definiciones y propiedades de la geometra analtica, funciones, lmites, derivadas e integrales en la solucin de problemas.

Aplicar mtodos y tcnicas de derivacin e integracin en la solucin de funciones reales de variable real.

Analizar y utilizar tcnicas de Clculo de varias variables para resolver problemas en diferentes reas aplicados a la ingeniera.

III.- PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD I: GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIOTEMA 1. Geometra Analtica.

1.1. Vectores: Operaciones, Producto Escalar y Vectorial, Aplicaciones.

1.2. Coordenadas Cartesianas. Distancia entre Dos Puntos, Divisin de un Segmento.

1.3. Cosenos Directores.

1.4. La recta: Ecuacin Vectorial, Paramtrica, Cartesiana y Simtrica.

1.5. El plano: Ecuacin Vectorial y Punto - Normal.

1.6. Ecuacin General y Reducida del Plano.

1.7. Nociones de Cudricas.

UNIDAD II: DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2. Funciones de Varias Variables.

2.1. Funciones de varias variables.

2.1.1. Dominio.

2.1.2. Lmite.

TEMA 3. Derivadas.

3.1. Derivadas Parciales, Definicin analtica y geomtrica.

3.2. Derivacin Implcita.

3.3. Derivadas Totales, Regla de la Cadena.

3.4. Derivadas Parciales de Orden Superior.

3.5. Diferenciales.

3.6. Jacobianos, Propiedades, Aplicacin.

3.7. Aplicaciones de las Derivadas Parciales: Mximos y Mnimos de Funciones de dos Variables.

3.8. Mximos y Mnimos de Funciones de Tres Variables.

3.9. Aplicaciones de Mximos y Mnimos.

UNIDAD III: INTEGRALES MULTIPLES, SUCESIONES Y SERIES

TEMA 4. Integrales.

4.1. Integrales Mltiples, Definicin, Teoremas.

4.2. Integrales Dobles, Teoremas.

4.3. Clculo de Integrales Dobles.

4.4. Integrales Triples, Teoremas.

4.5. Clculo de Integrales Triples.

4.6. Aplicaciones de Integrales Dobles en Clculo de reas.

4.7. Aplicaciones de Integrales Dobles en Fsica.

4.8. Clculo de Volmenes por Integrales dobles.

4.9. Clculo de Volmenes por Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas.

4.10. Clculo de Volmenes por Integrales Triples en Coordenadas Cilndricas.

4.11. Clculo de Volmenes por Integrales Triples en Coordenadas Esfricas.

TEMA 5. Series numricas y funcionales

Sucesiones, Lmites de sucesiones.

5.1. Series, Teoremas, Criterios de convergencia.

5.2. Serie P, Serie Geomtrica.

5.3. Series de Potencias: Series de Taylor y Mc Laurin.IV.- ACTIVIDADES A REALIZAR EN LA COMUNIDAD.Consideramos que la formacin de nuestros estudiantes esta basada en tres pilares: Acadmico, Investigativo y la Interaccin con la comunidad, denominando a esta triada el aprendizaje productivo, que implica el desarrollo de procesos cognitivos superiores y complejos que son superiores a los meramente de repeticin memorstica (conductivista), aplicacin de formulas y algoritmos prefabrica-dos para la solucin del problema.El enfoque que daremos es la construccin (constructivismo) del conocimiento combinando el trabajo de aula y laboratorio (Universidad) con el trabajo de campo (comunidad) en condiciones que estarn estructuradas por la naturaleza y caractersticas de cada proyecto y materia.El trabajo social comunitario de la Universidad esta dirigido a los sectores ms deprimidos de la sociedad y esta destinado a la: Investigacin e identificacin de los problemas ms acuciantes de las comunidades ms pobres.

Elaboracin de proyectos de desarrollo comunitario para dar solucin a los problemas detectados, considerando una gestin financiera con instituciones nacionales e internacionales que apoyan con recursos. Implementacin de los respectivos proyectos.

La ejecucin de diferentes programas de interaccin social y la elaboracin e implementacin de proyectos de desarrollo comunitario derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son, sin dudas, los ms beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:

Desarrollar sus prcticas pre-profesionales en condiciones reales y tutorados por sus docentes con procesos acadmicos de enseanza y aprendizaje de verdadera aula abierta. Trabajar en equipos, habitundose a ser parte integral de un todo que funciona como unidad, desarrollando un lenguaje comn, criterios y opiniones comunes y plantendose metas y objetivos comunes para dar soluciones en comn a los problemas.

Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histrico en que la ciencia atraviesa una etapa de diferenciacin y en que los avances tecnolgicos conllevan la aparicin de nuevas y ms delimitadas especialidades.

Desarrollar una mentalidad, crtica y solidaria, con plena conciencia de nuestra realidad nacional.

El trabajo a realizar en esta asignatura es de apoyo a iniciativas que requieran mayor compromiso con las sociedades deprimidas, donde la relacin materia problema social sea ms directo y un desempeo mas visible .

i.- Tipo de asignatura para el trabajo socialDirectamente vinculada

ii.- Resumen de los resultados del diagnstico realizado para la deteccin de los problemas a resolver en la comunidad.

De acuerdo a informacin obtenida por los estudiantes de nuestra Universidad, las unidades educativas pblicas en colegios secundarios del departamento tienen un dficit en la enseanza de las matemticas y un ndice alto de reprobacin, especialmente reflejado en el ingreso a la universidad.iii.- Nombre del proyecto

Elaborar una base de datos con los proyectos de desarrollo sostenible requeridos por los sectores mas deprimidos.iv.- Contribucin de la asignatura al proyecto

Se realizara el levantamiento de la informacin, considerando grupos focales, de funcionarios de la Prefectura del Dpto., Alcaldas, Organizaciones Sociales para recuperar las necesidades de la poblacin mas necesitada y traducirlo en un proyecto de grado, que aportara a la Base de Datos que la universidad tendr para orientar los proyectos de las diferentes carreras.

v.- Actividades a realizar durante el semestre para la implementacin de los proyectos. Detallamos en el cuadro adjunto

Trabajo a realizar por los estudiantesLocalidad, aula o laboratorioIncidencia socialFecha

Directamente vinculadoColegios secunda-rios fiscales (est.)Investigacin grupo focalAntes del 1er parcial

Directamente vinculadoColegios secunda-rios fiscales. (prof)Investigacin grupo focalAntes del 2do parcial

Directamente vinculadoAulaInforme de conclusionesAntes del Ex. Final

V.- EVALUACIN DE LA ASIGNATURA.

PROCESUAL O FORMATIVA.

En todo el semestre se realizarn preguntas escritas, exposiciones de temas, trabajos prcticos, Work Papers, DIFs, adems las actividades planeadas para los respectivos trabajos sociales. Estas evaluaciones tendrn una calificacin entre 0 - 50 puntos.

PROCESO DE APRENDIZAJE O SUMATIVA.

Se realizarn dos evaluaciones parciales con contenidos tericos y prcticos.

El examen final consistir en la defensa de un proyecto que se realizar a lo largo de todo el semestre.

Cada uno de estos exmenes tendr una calificacin entre 0 - 50 puntos.

1 evaluacin parcial

Fecha7ma semana

Nota 33.3%2 evaluacin parcial

Fecha14va semana

Nota 33.3%

Examen final

Fecha21mo semana

Nota 33.3%VI.- BIBLIOGRAFIA.

BIBLIOGRAFA BASICA.

AYRES, FRANK Y ELLIOT MENDELSON. Schaum. Clculo Diferencial e Integral. Editorial McGraw Hill. Mxico 1997. (515.33 Ay74, 515.33 Ay74 c.2) CHUNGARA CASTRO, VCTOR. Apuntes y problemas de Clculo II. Bolivia 2005. (515.35 C47 t.2) DEMIDOVICH, 5000 problemas de anlisis matemtico, Mosc, Editorial MIR, 1980. (515 D39) LARSON, ROLAND E. Clculo. Editorial McGraw-Hill Interamericana. Mxico, 1999. (515.15 L32, 515.15 L32 c.2)BIBLIOGRAFA COMPLEMENTARIA

Piskunov, Calculo diferencial e integral, Editorial Mir, Mosc, 1983.Apuntes

VII. PLAN CALENDARIO

SEMANAACTIVIDADES ACADMICASOBSERVACIONES

30 de julio al 4 de agostoAvance de materiaTema 1: 1.1 a 1.2

6 al 11 de agostoAvance de materiaTema 1: 1.3 a 1.4

13 al 18 de agostoAvance de materiaTema 1: 1.5 a 1.6

20 al 25 de agostoAvance de materiaTema 1: 1.7

27 de agosto al 1 de septAvance de materiaTema 2: 2.1

3 al 8 de septiembreAvance de materiaTema 2: 3.1 a 3.3

10 al 15 de septiembreAvance de materiaTema 3: 3.4

10 al 15 de septiembrePrimera Evaluacin

17 al 22 de septiembreAvance de materiaTema 3: 3.5 a 3.6

24 al 29 de septiembreAvance de materiaTema 3: 3.7 a 3.8

1 al 6 de octubreAvance de materiaTema 3: 3.9

8 al 13 de octubreAvance de materiaTema 4: 4.1 a 4:2

15 al 20 de octubreAvance de materiaTema 4: 4.3 a 4:4

22 al 27 de octubreAvance de materiaTema 4: 4.5 a 4.6

29 de oct al 3 de novAvance de materiaTema 4: 4.7 a 4.8

29 de oct al 3 de novSegunda Evaluacin

5 al 10 de noviembreAvance de materiaTema 4: 4.9 a 4.10

12 al 17 de noviembreAvance de materiaTema 4: 4.11

19 al 24 de noviembreAvance de materiaTema 5: 5.1 a 5.2

26 de nov al 1 de dicAvance de materiaTema 5: 5.3

3 al 8 de diciembreAvance de materiaTema 5: 5.4

10 al 15 de diciembreEvaluacin final

17 al 21 de diciembreEvaluacin del 2do turno

17 al 21 de diciembrePresentacin de Notas

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 1

UNIDAD O TEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

TITULO: Funciones y Limites de Varias Variables

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Primera Etapa

Una manera de visualizar una funcin es por medio de una grfica. La grfica de una funcin de una variable, por lo general, es una curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representacin de una funcin. Para que una curva represente una funcin no puede tener dos puntos en la misma vertical (criterio de la recta vertical), ya que para que una correspondencia entre dos magnitudes sea funcin, la imagen tiene que ser nica.

FUNCIN DE VARIAS VARIABLES: Una funcin de varias variables es una correspondencia entre ms de dos magnitudes. En este caso, las imgenes tambin serian nmeros reales, pero los originales no serian nmeros individuales, sino parejas o ternas de nmeros reales. Es decir, para poder dar el resultado de la funcin necesitamos tener varios datos. En consecuencia, los valores de la funcin (las imgenes), que serian nmeros reales, dependen (son funcin) de mas de una variable.

Ejemplo: Si expresamos el rea de un triangulo en funcin de la base y de la altura, tendremos una funcin de dos variables.

En general ser:

El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir

V(r,h) = r2h.

Es decir, como una funcin de dos variables r y h.V : (r,h) r2 h

DEFINICIN DE FUNCION: Sea D un conjunto de pares ordenados de nmeros reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un numero real f(x, y), entonces se dice que f es funcin de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x, y) es el recorrido de f. Para la funcin dada por z = f(x, y), a x e y se les llaman variables independientes, y a z variable dependiente.

Ejemplo. La ecuacin de la esfera x2 + y2 + z2 = r2 no representa (globalmente) una funcin, ya que si le damos valores a dos de las variables obtenemos dos valores de la tercera, lo que viola el concepto de funcin.

No es funcin pero si separamos en dos funciones

Si es funcin

Si es funcin

FUNCIONES VECTORIALES. Una funcin se dice que es vectorial cuando el resultado no es un nmero, sino un vector, es decir, una pareja de nmeros o una terna de nmeros.

Ejemplo. Si las ecuaciones paramtricas de una recta son las siguientes:

para cada valor del parmetro tiempo t, obtenemos las tres coordenadas del punto de situacin (x, y, z).

En general, tendremos

DOMINIO DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES: El dominio de una funcin se define como el conjunto de puntos que tienen imagen. En la prctica el dominio de una funcin de varias variables, normalmente, viene determinado por el contexto del problema. Por eso, para definir las funciones es usual dar simplemente la frmula z = f(x,y), sin especificar el dominio D.

DOMINIO IMPLCITO EN LA FRMULA: Cuando no se dispone de un contexto de aplicacin, tambin es usual definir las funciones dando simplemente la regla z = f(x), sin especificar el dominio D. En tal caso se entiende que el dominio viene implcito en la propia formula, y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la frmula que define la funcin. O sea, el dominio esta formado por todos aquellos valores tales que al sustituirlos en la frmula y realizadas las operaciones indicadas se obtiene un valor numrico y no una operacin imposible. Es decir, se entiende que el dominio de la funcin f es el mayor subconjunto D de Rn para el cual la regla f(x) tiene sentido (si el dominio es mas pequeo hay que indicarlo).

El dominio de una funcin de dos variables f(x, y) ser una regin del plano, y el dominio de una funcin de tres variables f(x, y, z) una regin del espacio. Y vendra determinado por la propia formula (dominio implcito), o bien, por una restriccin arbitraria que nosotros impongamos.

Se llama Rango o Recorrido de una funcin al conjunto de elementos que son imagen. En general, nos ocuparemos del Dominio y slo en casos particulares nos ocuparemos del Recorrido.

Ejemplos: definir grficamente el dominio de funcin de las siguientes funciones:

Es interesante sealar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar tambin los mtodos del Clculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.

LIMITES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

Para calcular lim f (x, y) cuando (x, y) --> (xo, yo) se calculan: 1. Lmites sucesivos o reiterados (primero calculamos el lmite cuando x tiende a xo y despus cuando y tiende a yo o al revs) 2. Lmites direccionales a travs de las rectas que pasan por el punto (xo, yo). y = yo + m (x - xo) Estos lmites direccionales deben ser independientes del valor de m (y coincidir con los lmites sucesivos o reiterados calculados anteriormente) 3. Comprobamos el resultado mediante el cambio a polares: x = xo + r cos , y = yo + r sen

CUESTIONARIO WORK PAPER # 2

1. Calcular el dominio de las siguientes funciones y representarlo geomtricamente.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Graficar las siguientes Funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

3. Calcular los siguientes lmites de varias variables.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

d)

i)

j)

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 2

UNIDAD O TEMA: DERIVADAS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

TITULO: Funciones en Varias Variables

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDA ETAPA

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO.- Es un sistema de coordenadas de tres dimensiones formado por la interseccin de tres rectas perpendiculares entre s, donde cada recta pertenece a los nmeros reales.

Un sistema de coordenadas en el espacio est formado por ocho octantes y cada octante se forma por 3 planos que son

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.- La distancia formada por una lnea de segmentos entre dos puntos se calcula a partir del teorema de Pitgoras.

PUNTO MEDIO DE DIVISION.- Sea una lnea de segmentos formada por dos puntos cualquiera, para encontrar los puntos medios de divisin mediante una relacin de distancias r dada por las siguientes ecuaciones:

La relacin r depender de cuantas partas iguales se va a dividir la lnea de segmentos.

La recta.- Es el lugar geomtrico de puntos que satisfacen simultneamente a dos ecuaciones lineales en tres variables de la forma:

Ecuacin General de la recta en el espacio.

Ecuacin Cartesiana de la recta

Ecuacin Vectorial de recta

Ecuacin Parametrica de la rectaDistancia de un punto hacia una recta: La distancia mnima que existe desde un punto hacia una recta cualquiera es igual a la distancia de la lnea de segmento perpendicular a la recta y el punto, esta distancia esta definida por la siguiente ecuacin:

El plano.- Es el lugar geomtrico de puntos que satisfacen a una ecuacin lineal en tres variables de la forma:

Ecuacin general del plano en el espacio.

Ecuacin Punto Normal.

Ecuacin Vectorial del plano.

Distancia de un punto hacia un plano: La distancia mnima que existe desde un punto hacia una plano cualquiera es igual a la distancia de la lnea de segmento perpendicular al plano y el punto, esta distancia esta definida por la siguiente ecuacin:

SUPERFICIES CUADRICAS: Son figuras geomtricas ubicadas en el espacio las cuales estn representadas por la siguiente ecuacin general:

Entre estas figuras geomtricas tenemos: la esfera, el elipsoide, Hiperboloide de una hoja, Hiperboloide de dos hojas, paraboloide circular, paraboloide elptico, paraboloide hiperblico, cono, cilindro elptico, cilindro circular cilindro hiperblico, etc.

LA ESFERA: Es el lugar geomtrico de puntos en el espacio que se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es siempre constante. El punto fijo se llama centro y la distancia radio. Su ecuacin es muy parecida a la de la circunferencia, esta es: , donde R es el radio y (h, k, j) es el centro del cual hablamos, la forma general de la ecuacin de la esfera es : , en donde A = B = C = 1.

EL ELIPSOIDE: Es el lugar geomtrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuacin:

Donde a, b c son los semiejes del elipsoide y (h, k, j) es el centro, la forma general de la ecuacin del elipsoide es:

, en donde .

HIPRBOLOIDE DE UNA HOJA: Es el lugar geomtrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuacin:

Se proyecta en el eje X

Se proyecta en el eje Y

Se proyecta en el eje Z

Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el centro, la forma general de la ecuacin del hiperboloide de una hoja es:

En donde .

HIPRBOLOIDE DE DOS HOJA: Es el lugar geomtrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuacin:

Se proyecta en el eje X

Se proyecta en el eje Y

Se proyecta en el eje Z

Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el vrtice, la forma general de la ecuacin del hiperboloide de dos hojas es :

En donde .

PARABOLOIDE CIRCULAR O ELIPTICO: Es el lugar geomtrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuacin:

Se proyecta en el eje X; b=c circular, bc elptico

Se proyecta en el eje Y; a=c circular, ac elptico

Se proyecta en el eje Z; a=b circular, ab elptico

Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el vrtice del paraboloide, la forma general de la ecuacin del paraboloide circular o elptico es:

En donde .

PARABOLOIDE HIPERBOLICO: Es el lugar geomtrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuacin:

Se proyecta en el eje X

Se proyecta en el eje Y

Se proyecta en el eje Z

Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el vrtice del paraboloide, la forma general de la ecuacin del paraboloide hiperblico es:

En donde .

CONO CIRCULAR O ELIPTICO: Es el lugar geomtrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuacin:

Se proyecta en el eje X; b=c circular, bc elptico

Se proyecta en el eje Y; b=c circular, bc elptico

Se proyecta en el eje Z; b=c circular, bc elptico

CILINDRO CIRCULAR O ELIPTICO: Es el lugar geomtrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuacin:

Se proyecta en el eje X; b=c circular, bc elptico

Se proyecta en el eje Y; a=c circular, ac elptico

Se proyecta en el eje Z; a=b circular, ab elptico

CILINDRO HIPERBOLICO: Es el lugar geomtrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuacin:

Se proyecta en el eje X

Se proyecta en el eje Y

Se proyecta en el eje Z

CILINDRO PARABOLICO: Es el lugar geomtrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuacin:

Se proyecta en el eje X

Se proyecta en el eje Y

Se proyecta en el eje Z.CUESTIONARIO WORK PAPERS # 11) Vectores: Dado los siguientes vectores:

A = (2, 4, 5)

B = (-5, -4, 3)

C = (1, 2, -4)D = (4, -3, -5)

Realizar las siguientes operaciones vectoriales y graficarlas:

a) A + B

C + D

b) B C

A D

c) A B

C D

d) B x C

A x D

2) Geometra Analtica: Encontrar la distancia que existe en los siguientes puntos y graficarlos

a) P0(3, -3, 6); P1(5, -4, 2)

b) P0(-2, 4, 5); P1(-4, -3, 1)

3) Si los puntos dados son vrtices de un triangulo, demostrar que:

a) P0(4, 2, 4); P1(10, 2, -2); P2 (2, 0, -4); determinan un triangulo equiltero.

b) P0(3, -1, 2); P1(0, -4, 2); P2 (-3, 2, 1); determinan a un triangulo issceles

4) Una lnea de segmento esta formado por los puntos:

a) P0(-1, 8, 5); P1(9, -7, 0); dividir la lnea de segmento en 3 partes

b) P0(-2, -1, 3); P1(7, 6, -3); dividir la lnea de segmento en 3 partes

5) La recta, graficar:

a) Dado el punto P0 (4, -2, 5) y la direccin el vector A = (3, 1, 2); hallar la ecuacin vectorial, parametrica y cartesiana.

b) Dado los puntos P0 (5, -2, 1); P1(3, 1, -4); encontrar la ecuacin cartesiana, el vector direccin, la ecuacin paramtrica y vectorial.

c) Calcular la ecuacin general de la recta L1, que pasa poel punto Po(4, -5, 2) y es perpendicular a la recta L2: P0(5, 3, 1); P1(-3, 1, 4)

d) El punto Pe(1, -2, 4) hacia la recta

e) La recta L1: y L2:

6) El Plano, graficar:

a) Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto P0(4, -2, 3) y su normal es N(2, -4, 3)

b) Pasa por el punto P0(-5,2,4) y el paralela al plano 5x - 3y + 6z 2 =0

c) El plano esta sobre las dos rectas L1:

L2:

d) Calcular la distancia que existe del punto Pe(2, -1,4) al plano 3x - 2y + 5z 4 =0

e) Calcular la distancia que existe del plano 3x -2y + 5z -4=0 al otro plano 3x -2y + 5z + 6=0

7) Cudricas, graficar:

a) Hallar la ecuacin de la esfera que tiene su centro (4,-3, 5) y su radio es 3

b) Hallar la ecuacin de la esfera que tiene dimetro en los puntos P0(2, 4, -1); P1(-4, 2, 3)

c) Hallar la ecuacin de la esfera que tiene su centro (1,-4, 5) y tangente a 5y -3x + 2z - 4=0

d) Hallar la ecuacin del elipsoide que tiene su centro en (3, -1, 4) y los semiejes: 4; 2; 1.e) Hallar la ecuacin de la superficie cnica, y efectuar su representacin grafica.

8) Reconocer y graficar las siguientes superficies:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) 4x2 - y + 9z2 36 = 0

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 3

UNIDAD O TEMA: DERIVADAS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

TITULO: Derivadas

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Segunda Etapa

DERIVADAS PARCIALES: Las derivadas parciales de funciones de varias variables se denotan y define analticamente por el siguiente lmite:

Sea la funcin:

Derivada parcial de la funcin con respecto a x

Derivada parcial de la funcin con respecto a yINTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERVADAS PARCIALES: geomtricamente las derivadas parciales son las pendientes de las rectas tangentes en los planos XZ, YZ, estas rectas tangentes permiten encontrar el plano tangente a la funcin en el punto P(x0,y0,z0).

;

REGLA DE LA CADENA: Esta regla se utiliza cuando las funciones son compuestas y sus derivadas parciales estn definidas por el siguiente anlisis:

Sea y entonces las derivadas parciales sern:

DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIALES DE RDENES SUPERIORES.

Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la funcin z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden.Se usan las siguientes notaciones:

(se empieza derivando por la variable que est ms cerca de la funcin)

Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.

Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de rdenes superiores.

Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del nmero de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el clculo puede resultar ms complicado en un orden que en otro).

Se llama diferencial de segundo orden de una funcin a la diferencial de su diferencial total:

Anlogamente se define la diferencial de tercer orden.

Se siguen unas reglas parecidas a las potencias:

DERIVADA DE FUNCIONES IMPLCITAS. La derivada de la funcin implcitadefinida mediante la ecuacin puede calcularse: o bien despejando la y, o bien, mediante la siguiente frmula:, siempre que Las derivadas de orden superior de una funcin implcita se pueden calcular mediante la derivacin sucesiva de la frmula anterior, considerando y como funcin de x.Las derivadas parciales de una funcin implcita de dos variables definida mediante la ecuacin puede calcularse mediante las frmulas:

; , siempre que Dada la ecuacin Si el punto cumple la ecuacin , la funcin F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuacin define una funcin explcita en un entorno deconDada la ecuacin Si el punto cumple la ecuacin , la funcin F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuacin define una funcin explcita en un entorno de dicho punto.

Calcula y', siendoTenemos: Por lo tanto:CUESTIONARIO WORK PAPER # 31. Hallar las derivadas parcialesa)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Demostrar las siguientes ecuaciones:

a) ; si:

b)

Si la funcin es:

c) ; si :

d)

Si la funcin es:

3. Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones implcitas:a)

b)

c)

d)

e)

4. Calcular las derivadas parciales de orden superior:

a)

EMBED Equation.3 si b) si

c) si d) si

e) si

f) si

5. Demostrar las siguientes ecuaciones:

a)

si:

b)

si:

c)

Si la funcin es:

d)

Si la funcin es:

e) += 0 Si la funcin es:

f) si:

g)

Si la funcin es:

6. Calcular las derivadas parciales de las funciones compuestas:

a) ; para la funcin

Donde

b) ; para la funcin

Donde

c) ; para la funcin

Donde

d) ; si: donde t = x + y

e) ; si: donde

f) ; si:

g) ; si:

h) ; si:

7. Demostrar las siguientes ecuaciones:

a) si:

b)

Si la funcin es:

c)

Si la funcin es:

d) y si:

e) si

f)

Si 8. Determinar los diferenciales totales de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d) Hallar , si:

e) Cuanto variara la diagonal y el rea de un rectngulo de lados x = 6m e y = 8m, si el primer lado se aumenta en 2 mm y el segundo se disminuye en 5 mm?

f) El ngulo central de un sector aumento cuanto hay que disminuir el radio del sector R=20 cm, para que su rea no vari?

9. Calcular los puntos extremos de la funcin:

a) si

b) si

c)

d)

e)

f)

g)

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 4

UNIDAD O TEMA: INTEGRALES MULTIPLES

TITULO: Aplicacin de las Integrales Simples

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa

INTEGRALES SIMPLES: Estas integrales se subdividen en integrales definidas, curvilneas, de revolucin, etc.

INTEGRALES DEFINIDAS: Sea una funcin continua definida en [a,b] .Supongamos que dividimos este intervalo en n subintervalos : [a,x1] , [x1,x2] , [x2,x3] ..........., [xn-2,xn-1] , [xn-1,b]

Podramos calcular la suma de todas las reas de los rectngulos superiores e inferiores y obtendramos:

Ssup(f) = M1(x1-x0)+ M2(x2-x1)+ M3(x3-x2)+................... Mn(xn-xn-1) siendo M1 , M2 , etc los mximos de f en cada uno de los intervalos .

Sinf(f) = m1(x1-x0)+ m2(x2-x1)+ m3(x3-x2)+................... mn(xn-xn-1) siendo m1 , m2 , etc los mnimos de f en cada uno de los intervalos .

Lgicamente Sinf < rea de f(x) < Ssup Cuando n tiende a infinito es decir , cuando aumenta el nmero de subintervalos entonces :

La funcin est por debajo del eje x la amplitud de los intervalos sigue siendo + pero las Mi y las mi son por lo que la suma dar una cantidad negativa y por tanto el rea ser negativa.

En este caso se debe tomar el valor absoluto, si una curva cruza el eje x tendr una parte positiva y otra negativa. Si queremos calcular el rea total debemos de calcular los puntos de corte con el eje X y calcular el rea de la parte de arriba y la de abajo. El rea total ser la suma de todas las reas en valor absoluto.

Regla de Barrow: Sea S(x) y F(x) dos primitivas de f(x) que se diferencian lgicamente en una constante. S(x) = =F(x)+C

Si x=a entonces S(a) = 0 = F(a) +C luego F(a) = -C por lo tanto:S(x) = =F(x) + C = F(x) -F(a) ( =F(x)-F(a)

Si calculamos toda el rea encerrada en el intervalo [a,b] : =F(b)-F(a)

INTEGRALES CURVILNEAS: Son integrales que permiten calcular la longitud de curva que sigue una funcin, entre las aplicaciones de estas integrales tenemos el calculo de permetros de figuras geomtricas.

INTEGRALES DE REVOLUCIN: Son integrales cuyas funciones giran alrededor del eje x o y, al girar sobre estos ejes siguiendo el permetro de una circunferencia generan figuras slidas las cuales podemos calcular su superficie o volumen de dichos cuerpos.

CUESTIONARIO WORK PAPERS # 4

1. Calcular, en unidades cuadradas, las reas de las regiones , limitados por las curvas que se indican :

a)

b)

c)

2. Calcular las siguientes integrales curvilneas:

a) Calcular el permetro formado por la circunferencia

b) Calcular la lnea formado por la curva en el intervalo

c) Calcular la lnea formado por la parbola entre el rango

3. Calcular, en unidades cuadradas, las reas de las regiones:

a. Calcular el rea formado por la elipse

b. Calcular el rea formado por las curvas ; ;

c. Calcular el rea formado por las curvas ;

4. Calcular, en unidades cuadradas, las superficies y volumen de revolucin:

a) Calcular el rea de la superficie del cilindro generado por la recta al girar alrededor del eje x entre los rangos

b) Calcular el rea de la superficie del cono generado por la recta al girar alrededor del eje x entre los rangos .

c) Calcular el rea de la superficie del elipsoide generado por la elipse al girar alrededor del eje x.

d) Calcular el volumen elipsoide del slido de revolucin que forma la elipse cuando gira alrededor del eje x

e) Calcular el volumen cono del slido de revolucin que forma la recta cuando gira alrededor del eje x entre los rangos .

f) Calcular el volumen generado al girar alrededor del eje x la parbola cuando gira entre los rangos

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 5

UNIDAD O TEMA: INTEGRALES MULTIPLES

TITULO: Integrales Dobles

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa

INTEGRALES DOBLES: Son integrales cuyas funciones dependen de dos variables independientes, estas integrales permiten realzar el calculo de aras, volmenes, centro de masa, momento de inercia, etc.

Para resolver una integral doble se resuelve por medio del clculo de dos integrales simples reiteradas.

Teorema 1: Sea . Si f(x,y) es integrable en , entonces:

La demostracin de este teorema se apoya en las definiciones de las integrales simple y doble que aparecen, como lmites de las correspondientes sumas de Riemann.

Una vez deducida la ecuacin se tendr la siguiente ecuacin: , para resolver esta integral doble recurrimos a las integrales reiteradas: es decir que la integral ser:

Teorema 2: Sea

Se trata de una regin R como la mostrada en la figura, siendo rectificables las curvas . Se supone por tanto que la regin es tal, que cualquier recta x = cte, con , corta a la frontera de R nicamente en dos puntos, o en un segmento.Entonces si f(x,y) es continua en R, se verifica:

Teorema 3: Sea:

Ahora se trata de una regin R como la mostrada en la figura prxima, donde son rectificables. Cualquier recta y = cte con , corta a la frontera de R nicamente en dos puntos, o en un segmento.

Entonces si f(x,y) es continua en R, se verifica:

COORDENADAS POLARES: Las coordenadas polares se utilizan para facilitar la integracin de aquellas funciones circulares, elpticas, parablicas o hiperblicas. Para utilizar las coordenadas polares se debe realizar n cambio de variable en la funcin y la regin R utilizando las siguientes relaciones. En este caso es

Entonces es biyeccin entre y siendo adems continuamente diferenciable y cumpliendo:

No hay biyeccin si se aade el (0,0), que corresponde a r = 0 y cualquier . Pero no influye en la integracin. Por tanto:

Si R es una regin del plano XY, y f(x,y) es continua en R entonces :

CLCULO DE REAS DE REGIONES PLANAS: Para realizar el calculo de areas utilizando las integrales dobles se debe considerar la definicin de la integral doble de la funcin z = f(x,y) = 1 en la regin R acotada, es : , en efecto, basta reducir este problema a calcular el valor numrico ( y expresarlo luego en unidades de rea, no de volumen ) del volumen del slido comprendido entre la superficie de ecuacin z = f(x,y) = 1 y la regin R.

CALCULO DE VOLMENES: Se inici el estudio de la integral doble con un ejemplo que motivaba dicho concepto. De lo visto en el ejemplo y de la posterior definicin de integral doble, se deduce que si R es una regin cerrada y acotada en el plano XY y f(x,y) es no negativa en R e integrable en R, entonces la representa el volumen del slido cilndrico W limitado por R, la superficie del espacio de ecuacin z = f(x,y) y la superficie cilndrica de generatrices paralelas al eje OZ y directriz la frontera de R.

De manera anloga, si f(x,y) no cumple en R, pero es integrable sobre R, entonces el volumen de W es :

O, si se trata de un slido W, como el mostrado en la Figura ms prxima, entonces:

APLICACIONES A LA FISICA: Se considera una regin plana R, en la cual est distribuida de manera continua una masa con densidad superficial . En la realidad fsica se tratara de una lmina L delgada, que ocupa la regin R y en la que no se considera su grosor.

Masa de la lmina: Se efecta una particin de R en subregiones . En cada Rk , se escoge un punto . Considerando la densidad en Rk, como constante e igual a , una aproximacin a la masa de la lmina L sera : .

Se trata de una suma de Riemann de la funcin continua en R.

La masa de la lmina L ser el lmite de las sumas de Riemann, cuando tiende a cero el dimetro d(P) de la particin P, es decir : . Luego:

Momentos de inercia de L: El momento de inercia de un punto material P de masa m, respecto a una recta r, o un punto es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de P a la recta o al punto. Y el momento de inercia de un conjunto de puntos materiales respecto a r o , es la suma de los momentos de inercia de los diversos puntos del conjunto.

Por tanto, con un razonamiento anlogo al utilizado para la masa de la lmina L, se tendra para los momentos de inercia I(L) de L:

Momento de Inercia respecto al eje OX:

Momento de Inercia respecto al eje OY:

Momento de Inercia respecto al origen:

Momentos estticos respecto a los ejes: El momento esttico (respectivamente ) de un punto material P(x,y) de una masa m , respecto al eje OX (respecto OY) es el producto de la masa por su distancia al eje OX (respecto OY) , es decir : Mx (P) = my , My (P) = mx.

Con un razonamiento como los anteriores se obtendra para los momentos estticos de la lmina L :

Centro de gravedad: Partiendo de la expresin de las coordenadas del centro de gravedad de un sistema S de puntos materiales ( i = 1,...,n ) , con masa respectivas :

CUESTIONARIO WORK PAPER # 51. Utilizando integrales dobles calcular el rea representada por:a)

b)

c)

d)

e) Calcular el rea de una parte del plano que esta cortada por el cilindro y el plano .

f) Calcular el rea de una parte de la superficie del cilindro que esta cortado por el cilindro .

g) Calcular el rea de una parte de la esfera que esta dentro del cono .

2. Hallar el valor numrico de las siguientes integrales

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

3. Aplicaciones de las integrales dobles:

a) Una placa delgada de espesor uniforme y densidad = k cubre la regin limitada por la elipse . Hallar el momento de inercia de la placa, respecto al origen.

b) Se tiene una lamina cuyo rea esta acotada por las funciones cuya densidad es 2. Calcular el centro de masa y momento de inercia.

c) Hllese la masa y la densidad media de un cuerpo limitado por las superficies , , . , si la densidad en cada punto es proporcional a la coordenada z y en el plano z = a es igual a .

d) Calcular el centro de masas de un cuerpo homogneo limitados por las superficies, , z = 0 , y = 0

e) Hllese las coordenadas del centro de masa de un cuerpo homogneo, limitado por las superficies , , z = 0. .

f) Volumen del slido acotado W, limitado por el paraboloide y el plano XY.

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 6

UNIDAD O TEMA: INTEGRALES MULTIPLES

TITULO: Integrales Triples

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa

INTEGRAL TRIPLE

Es una generalizacin del concepto de integral doble.

( Se considera ahora una funcin f(x,y,z) definida y acotada en una regin R cerrada y acotada del espacio. Se efecta una particin P de R en las subregiones elementalesRk (k = 1,.......N) cubicables, tal como antes se ha indicado. Sea P el conjunto de tales particiones de R.

( Actuando de forma anloga a la vista para las integrales dobles, tras la eleccin de un punto Pk(xk,yk,zk) en cada Rk, se consideran las sumas de Riemann de f(x,y,z) en R, correspondientes a las diversas particiones P de R y a las funciones de eleccin e:

( Se dice entonces que f(x,y,z) es integrable en R si existe el limite dirigido de las sumas de Riemann anteriores. En este caso, dicho limite recibe el nombre de integral triple de f(x,y,z) en R.

Se escribe:

Si se hubiese considerado la particin en intervalos se escribira:

Y el lmite antes citado suele designarse como:

Puede demostrarse que, de forma anloga al caso de las integrales dobles, se verifica:

a) Si f(x,y,z) es continua en una regin R del espacio, cerrada y acotada, entonces f es integrable en R.

b) Tambin es f(x,y,z) integrable en R si, siendo acotada en tal regin, es continua en la misma excepto a lo sumo en un conjunto A de puntos de medida nula, por ejemplo el conjunto de puntos de una superficie de rea finita (Un conjunto A del espacio se dice de medida nula, si puede ser recubierto con un conjunto finito o numerable de intervalos del espacio, cuya suma de volmenes sea tan pequea como se quiera).

CUESTIONARIO WORK PAPER # 61. Calcular las siguientes integrales triples:

a) b)

c)

2. Calcular el volumen del slido limitado por arriba por el paraboloide y por debajo por el plano

3. Determine el volumen que forma la superficie: sobre la regin del plano xy.

4. Calcular el rea de la regin limitado por:

5y-3x-25=0, 5y+3x-25=0; y=x2+2.

5. Calcular el volumen limitado por las siguientes superficie x2+y2=a2, x2+z2=a2 ; en coordenadas cartesianos.

6. Calcular el volumen limitado por las siguientes superficie x2+y2=25, x+y+z=8; en coordinas rectangular y graficar.

7. Hllese el volumen del solid en el primer octante limitado por el paraboloide , el cilindro y los plano coordenados.

8. Volumen de la regin acotada en el primer octante por los planos e .

9. Volumen de la regin limitada por la superficie cilndrica y los planos x = 0 , .

10. Volumen del slido limitado superiormente por la esfera e inferiormente por el paraboloide .

11. Volumen de la regin W determinada por :

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

DIFS # 1

UNIDAD OTEMA: GEOMETRA ANALTICA

TITULO: La Recta y El plano

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Primera Etapa

La Recta se forma por la interseccin de dos planos en el espacio tridimensional.

Para esto tome como puntos de anlisis los siguientes:

Definicin de cada uno

Ecuaciones

Caso de Rectas paralelas y perpendiculares

Caso de Planos paralelos y perpendiculares

Aplicaciones.

CONCLUSIONES

(Debern sintetizar la opinin del grupo):

COMENTARIOS (debern sintetizar la opinin del grupo):

GRUPO (mximo cinco integrantes):

AP. PATERNOAP. MATERNO

NOMBRES

FIRMA

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

DIFS # 2

UNIDAD OTEMA: GEOMETRA ANALTICA

TITULO: Superficies Cuadricas

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Segunda Etapa

Las ecuaciones F (x, y, z ) = 0 que son de grado superior a uno y por consiguiente son superficies no planas, se llaman superficies cuadricas.

Investigue lo siguiente: Ejemplo de cada una de las superficies cuadricas describiendo sus ecuaciones, sus aplicaciones y graficas.

Adems de la bibliografa de la materia puede usar:http://www.biologia.edu.ar/matematica/cuadricas_archivos/frame.htm#slide0001.htm

CONCLUSIONES

(Debern sintetizar la opinin del grupo):

COMENTARIOS (debern sintetizar la opinin del grupo):

GRUPO (mximo cinco integrantes):

AP. PATERNOAP. MATERNO

NOMBRES

FIRMA

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

DIFS # 3

UNIDAD OTEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

TITULO: Funciones

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Segunda Etapa

Usando bibliografa y/o internet responda las siguientes preguntas:

a) Como se realiza la composicin de funciones en le espacio tridimensional. De dos ejemplos resueltos.

b) Como se efecta el clculo del dominio de una funcin primitiva con varias variables.

c) Como se resuelve o calcula un lmite de funciones en varias variables.

CONCLUSIONES

(debern sintetizar la opinin del grupo):

COMENTARIOS (debern sintetizar la opinin del grupo):

GRUPO (mximo cinco integrantes):

AP. PATERNOAP. MATERNO

NOMBRES

FIRMA

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

DIFS # 4

UNIDAD OTEMA: INTEGRALES

TITULO: Integrales

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa

Usando bibliografa y/o internet responda las siguientes preguntas:

a) Porque estudiamos a la integral triple y no solamente la integral doble.

b) Que aplicaciones podemos efectuar con la integral triple.

c) Desde el punto de vista geomtrico que diferencia existe entre la integral doble y tripleCONCLUSIONES

(Debern sintetizar la opinin del grupo):

COMENTARIOS (debern sintetizar la opinin del grupo):

GRUPO (mximo cinco integrantes):

AP. PATERNOAP. MATERNO

NOMBRES

FIRMA

Nombre del proyecto: Apoyo a iniciativas de la carrera

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X

y

P0

P1

z

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X

y

z

P0

P1

P.

P.

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X

y

z

P0

P

.

.

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X

y

z

P0

Pe

.

.

d

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X

y

N

z

P0

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X

y

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z

P0

d

Pe

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EMBED Equation.3

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EMBED PBrush

PAGE

UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

11

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