Calculo ii alberto perozo

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Objetivo Terminal Precisar el concepto de la integral definida mediante el desarrollo del Teorema Fundamental del Cálculo en la aplicación de ejercicios inherentes al área de ingeniería. Objetivos Específicos 1. Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y propiedades. 2. Encontrar el área de una región plana, mediante el desarrollo de la suma inferior y superior. 3. Establecer la integral definida de una función estableciendo como límite de la suma de Riemann. 4. Demostrar las propiedades de la integral definida e interpretarlas geométricamente. 5. Aplicar e interpretar geométricamente el T.V.M. para integrales. 6. Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos de sustitución y cambios de variables. Integral definida: dada una función f(x) y un intervalo [a,b] la integral definida es igual al area limitada entre la grafica f(x), el eje de las abscisas y las rectas verticales x=a y x=b. Cabe destacar que otro de concepto de la integral definida es que la función F que este limitada

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Objetivo Terminal

     Precisar el concepto de la integral definida mediante el desarrollo del Teorema Fundamental del Cálculo en la aplicación de ejercicios inherentes al área de ingeniería.

Objetivos Específicos

1. Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y propiedades.

2. Encontrar el área de una región plana, mediante el desarrollo de la suma inferior y superior.

3. Establecer la integral definida de una función estableciendo como límite de la suma de Riemann.

4. Demostrar las propiedades de la integral definida e interpretarlas geométricamente.

5. Aplicar e interpretar geométricamente el T.V.M. para integrales.

6. Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos de sustitución y cambios de variables.

Integral definida: dada una función f(x) y un intervalo [a,b] la integral definida es igual al area limitada entre la grafica f(x), el eje de las abscisas y las rectas verticales x=a y x=b.

Cabe destacar que otro de concepto de la integral definida es que la función F que este limitada desde a hasta b por donde “a” represente el límite inferior y “b” el limite superior de la integral.

.

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Teorema fundamental del calculo

Si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y f(x) es una antiderivada de f(a). entonces:

= F(x) ]ba = f(b) – f(a)

Ejemplo:

Usos de la integral indefinida en la ingenieria

Ejemplo 1:En el odómetro del carro integra la velocidad del carro y obtiene entonces la distancia recorrida x= int(0,t, v dt).

Ejemplo 2 : En el campo de las construcciones , los arquitectos , ingenieros y profesionales de estas áreas usualmente emplean la integral para obtener el área de superficies irregulares.

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Ejemplo 3: También la utilizan los administradores cuando trabajan con los costos de una empresa. al tener el costo marginal de producción de un producto, pueden obtener la formula de costo total a través de integrales

Notación sigma:

Definición: dado un conjunto de los números reales {a1,a2,a3,….an}. se define la suma o sumatoria como:

K: llama índice de la sumatoria y recorre los enteros desde “1” hasta “n”.

La letra griega sigma simboliza la sumatoria.

Ejemplo:

Exprese cada suma en notacion sigma:

(a) 

Solucion:

Propiedades de la sumatoria: dados dos conjuntos de números reales {a1,a2,a3,….an} y {b1,b2,b3,…..bn}

Las propiedades son la asociativa y conmutativa.

Si una suma contiene demasiados términos, no resulta práctico escribirlos a todos individualmente, así que se usan tres puntos suspensivos para indicar los términos que faltan. Ejemplo:

La suma de los primeros naturales del 1 al 50 es:

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Objetivo 3:

La suma superior e inferior es un método de integración numérica que

nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área

bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar

el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del

matemático Alemán Bernhard Riemann.

La suma superior o inferior o suma de Riemann consiste básicamente en

trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular,

calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema

de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se

obtiene un margen de error muy grande.

Ejemplo:

una función 

donde D es un subconjunto de los números reales 

I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2... < xn = b

crean una partición de I

P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma

de Riemannde f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.

Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

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Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

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Objetivo 4:

Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es

Riemann integrable en [a, b] si existe un número I en los reales tal que,

para todo número real positivo ε existe una δ positiva tal que si P es una

partición de [a, b] con ||P|| < δ y S(P,f) es cualquier suma de Riemann

entonces |S(P, f) - I| < ε.

Usualmente para funciones conocidas que sabemos integrables se toma

una partición regular del intervalo y se toman los tk como alguno de los

puntos extremos de cada intervalo(notar que si no supiéramos que la

función es integrable entonces no podríamos tomar cualquier punto del

intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores

extremos, tendríamos que revisar que para cualquier valor tk que

tomáramos en cada intervalo [xk - 1, xk] la suma de Riemann menos algún

número real I es menor en valor absoluto que cualquier ε que hubiéramos

tomado, en caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es

integrable según Riemann en [a, b] y habríamos hallado su valor; en caso

de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto), cuando

llevamos al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el

valor de la integral:

Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos

que son integrables como por ejemplo las continuas, podemos

demostrar que toda función que es continua en un intervalo [a, b], es

integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor

de la integral, por supuesto si ya estamos familiarizados con

el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo entonces basta hallar

una función F(x) (denominada "una primitiva" de f(x)) cuya derivada

nos dé nuestra función original f(x) y entonces el valor de la integral

es F(b)-F(a). No siempre podemos hallar una función primitiva de la

que estamos integrando, en esos casos se recurre a una expresión

como la anterior o a métodos de aproximación.

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Condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de Riemann

En este apartado nos referiremos a funciones acotadas en un

intervalo cerrado [a,b] (igual que en los apartados anteriores).

Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann

(no obstante esta es una condición suficiente); de hecho una función

continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de

Riemann, incluso una función con un número numerable de

discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones

con un número no numerable de discontinuidades pueden ser

integrables. El siguiente teorema establece que una función es

integrable si y solo si su conjunto de discontinuidades se puede

recubrir por conjuntos abiertos tales que la suma de sus anchuras

puede hacerse arbitrariamente pequeña.

Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann

Sea f una función definida y acotada en [a,b] y sea D el conjunto de las discontinuidades de f en [a,b]. Entonces f   (con   el conjunto de las funciones Riemann integrables) en [a,b] si, y solo si, D tiene medida cero

De este modo, cualquier función continua o con un conjunto

numerable de discontinuidades es integrable.

Como ejemplo de función con un conjunto no numerable de

discontinuidades e integrable tenemos por ejemplo:

siendo C el conjunto de Cantor.

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Objetivo 5:Propiedades de la integral definida

a)    Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

b)   El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

c)  La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la

integral de la función.

d)    La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales

(Propiedad de linealidad)·

  

e)     Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como

una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

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Objetivo 6:

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Objetivo 7: