ESCUELA : INGENIERA GEOGRFICACICLO : IIIPROFESOR : REAO PANTOJA, AGUSTINALUMNOS : MOLINA PERALES, JOHED ASWILL WILLIAMS VELARDE CAYETANO, INDIRA GANDHI

LIMITESVECINDADES:Se llama vecindad de centro y radio al intervalo abierto de centro y extremos y , y se denota por :

Graficamente:

Si Demostrando:

L.Q.Q.D. Ejm 1: Hallar la vecindad de centro y radio .Solucin:

Graficando: 3.432.6

Ejm 2:Hallar la vecindad de centro y radio .Solucin:

Graficando:

1284

VECINDAD REDUCIDA:Se llama vecindad reducida de centro y radio al conjunto que resulta al quitarle el punto centro y se le denota :

Graficamente:

Si Demostrando:

L.Q.Q.D.LIMITES:Consideremos un intervalo cualquiera que contiene al punto , sea adems una funcin definida para todos los puntos .Adems est contenida en el intervalo y es diferente de . Por lo tanto diremos que L es el lmite de la funcin cuando se aproxime a , lo cual se denota:

EJEMPLOS:EJEMPLO 1: Demostrar por definicin de lmite:

Demostracin:

Paso 1:Hiptesis: Paso 2: EJEMPLO 2: Demostrar por definicin de lmite:

Demostracin:

Paso 1:Hiptesis :

Paso 2:

Paso 3: Usamos la hiptesis :

Paso 4:

EJEMPLO 3: Resolver el siguiente lmite:

Solucin: Paso 1: Evaluamos (Valor indeterminado)Paso 2: Factorizamos EJEMPLO 4:Resolver el siguiente lmite:

Solucin:Paso 1: Evaluamos (Valor indeterminado)Paso 2: Racionalizamos

PROPIEDADES DE LIMITES DE FUNCIONES:Sean dos funciones tales que: , y K=cte. , entonces:a)

Demostrando:

Paso 1:Hiptesis : Paso 2:

b)

Demostrando:

i) Si K=0 : Sale 0 (trivial)ii) Si K0 : Por hiptesis, dado y , L.Q.Q.D

c)

Demostrando:Hipotesis, sea , entonces para existen , tales que para : (1)

Ahora tomando , para se verifica (1) y si sumamos + resultara lo siguiente:

Es decir: entonces lo que resulta lo que queramos demostrar:

d)

e)

f)

g)

h)

i)

EJEMPLOS:EJEMPLO 01:Calcular aplicando las propiedades de lmite: Solucin: = = Evaluando con x=2 = = = Rpta.

EJEMPLO 02:Calcular aplicando las propiedades de lmite: Solucin: = = Evaluando con x=3 = = = Rpta.

EJEMPLO 03:Calcular aplicando las propiedades de lmite: Solucin: = Evaluando con x=1 =

= No determinadoPara evitar lo anterior tenemos que realizar distintas operacin ya sea racionalizando, factorizando, etc.Racionalizando: = = = = = = = Rpta.EJERCICIOS DESARROLLADOSEJERCICIO 01:Por definicin de lmites demostrar: Demostracin:

Paso 1:Hiptesis: Paso 2:

EJERCICIO 02:Por definicin de lmites demostrar:

Demostracin:

Paso 1:Hiptesis: Paso 2:

Paso 3:Usando la hiptesis:

Paso 4: . (1) . (2)De 1 y 2:

EJERCICIO 03:Por definicin de lmites demostrar:

Demostracin:

Paso 1:Hiptesis: Paso 2:

. (1)

Paso 3:

Paso 4: Por definicin de raz: Sumamos (+4)Invertimos Multiplicamos ()Usamos (1)

EJERCICIO 04:Por definicin de lmites demostrar:

Demostracin:

Paso 1:Hiptesis: Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

EJERCICIO 05:Calcular el lmite de la funcin:

Solucin: = = = =

EJERCICIO 06:Calcular el lmite de la funcin:

Solucin:Paso 1: = = = .. No determinadoPaso 2: = = = =

EJERCICIO 07:Calcular el lmite de la funcin:

Solucin:Paso 1: =

= .. No determinadoPaso 2: EJERCICIO 08:Calcular el lmite de la funcin:

Solucin:Paso 1: = = .. No determinadoPaso 2: = = = = = = 6

EJERCICIO 09:Calcular el lmite de la funcin, haciendo uso de las propiedades:

Solucin:Paso 1: = = .. No determinadoPaso 2: =

=

EJERCICIOS PROPUESTOS Mediante la definicin de lmites , demostrar los siguientes lmites:1. 2. 3. 4. 5. Calcular los siguientes lmites:a. b. c. d. e. Calcular los siguientes lmites ,usando propiedades:i. ii. iii.

A) Hallar los valores de a ,b y L si se sabe que: L = R B) Si = L 0 , Calcular el valor de a+b C) Hallar el valor de a, a>0 , sabiendo que:

Claves de ejercicios propuestos:EjercicioRespuestaEjercicioRespuesta

a.7/3i.(3/2)10

b.13/12ii.11/3

c.19/24iii.

d.3/2A)a=-8, b=1 ,L=5

e.1/12B)a+b= -2

C)a = 2