calculo III

Working Adult Cajamarca Facultad De Ingeniera

SEMANA N 1

CURSO: CALCULO III

Tema :

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Las funciones de dos variables se pueden visualizar por medio de curvas de nivel, que

enlazan puntos donde la funcin toma un valor determinado. La presin atmosfrica a una

hora dada es una funcin de longitud y latitud y se mide en milibares. Aqu las curvas de

nivel se llaman isobaras y las que se presentan unen puntos que tenan la misma presin. Las

curvas marcadas 1028, por ejemplo, conectan puntos con presin de 1028mb.

EJEMPLOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En muchos casos, encontramos funciones que dependen de dos variables.

1. El volumen de un cilindro circular recto est dada por la siguiente formula 2. .r h donde

h es su altura y r es el radio de la base circular, es decir para determinar el volumen de

un cilindro debemos conocer los valores de su altura y radio, por eso podemos decir que

el volumen de un cilindro depende de los valores de su altura y radio. En otras palabras

podemos expresar el volumen del cilindro como una funcin de dos variables h y r , a

las cuales llamaremos variables independientes. Dicha funcin puede quedar

representada como hrhrV ..),( 2 .

FUNCIONES Y DERIVADAS DE VARIAS VARIABLES


2. Para determinar el rea de un rectngulo es necesario conocer su largo )( l y ancho )( a ,

es decir el rea del rectngulo depende del largo y ancho. Es decir podemos representar

el rea de un rectngulo mediante la siguiente funcin alalA .),(

3. Dados dos nmeros cualesquiera, x e y su media aritmtica es el nmero intermedio

entre ambos, es decir:

2

x y

En general, dados n nmeros 1 2, , , nx x x , su media aritmtica es el nmero:

1 2

1 2( , , , )n

n

x x xM x x x

n

La media aritmtica es, pues, una funcin 1 2( , , , )nM x x x de n variables.

4. Dados dos nmeros positivos x e y , su media geomtrica es :

( , )g x y x y .

En general, dados n nmeros positivos 1 2, , , nx x x , su media geomtrica se define

como: 1

1 2 1 2 1 2( , , , ) ( ) .n

n n nG x x x x x x x x x

5. Supongamos que tenemos una placa metlica de grandes dimensiones. La

temperatura(en grados centgrados) de placa es funcin de las coordenadas dcada uno

de sus puntos y viene dada por (Figura 1):

2 2( , ) 500 0.6 1.5T x y x y

6. La media de tiempo que un cliente espera en una cola para ser atendido viene dada por :

1( , ) ,g x y y x

x y

,

donde y es la razn media de llegada, expresada como el nmero de clientes por unidad

de tiempo y x es la razn media de servicio, expresada en las mismas unidades. (Figura

2)


Figura 1 Figura 2

Empezaremos nuestro estudio con las funciones de dos variables.

Definicin Una funcin f de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a

cada par ordenado de nmeros reales ( , )x y de un conjunto D un nmero real nico que se

denota por ( , )f x y . El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores

que toma f , es decir, ( , ) ( , )f x y x y D .

A menudo, se escribe ( , )z f x y para hacer explcito el valor que toma f en el punto

( , )x y . Las variables x e y son variables independientes y z es la variable dependiente

GRFICAS

Un modo de representar el comportamiento de una funcin de dos variables es considerar su

grfica.


A continuacin se ilustran algunas funciones de varias variables hechas por computador con

sus respectivos dominios.

2 2( , ) 1 ( )f x y x y

Figura

2 2 2 2( , ) 1 ( )f x y x y x y

Figura

Las grficas presentadas a continuacin tienen como dominio 2R .


Para el caso de las funciones con ( 3)n n variables, el concepto de dominio se mantiene pero

la grfica de las funciones ya no se puede visualizar.

La formalizacin de lo dicho anteriormente, se describe a continuacin

),...,,( ),...,,(

:

2121 nn

n

xxxfzxxx

RRDf

A los nmeros reales nxxxx ,...,,, 321 se les llama variables independientes y forman lo que

se llama la n ada 1 2 3( , , ,..., )nx x x x , que es un punto que pertenece al dominio de f ,

mientras que la imagen correspondiente 1 2 3( , , ,..., )nz f x x x x se le llama variable

dependiente y pertenece al rango de f .

El dominio y rango tambin se pueden describir como sigue:

Para el dominio )},...,,( /,...,,{ 2121 nn

nf xxxfzRzRxxxxD

y para el rango )}( ),...,,( /{ 21 xfzRxxxxRzRn

nf

Nota.- Para el caso 3n , solo se puede visualizar su dominio.

Valor de una funcin de varias variables

Para determinar el valor de una funcin ),...,,,( 321 nxxxxfz sustituimos los valores de

las variables independientes nxxxx ,...,,, 321 en la regla de correspondencia de la funcin.


Ejemplo:

Dada la funcin hrhrV ..),( 2 ; deseamos calcular el valor del volumen del cilindro

cuando su altura es 5 y su radio es 9; entonces debemos sustituir en la regla de

correspondencia 4055.)9(.)5,9( 2 V . Obteniendo un volumen de 3405 u

OBTENCIN DEL DOMINIO DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES:

Empezaremos nuestro estudio recordando para el caso de una funcin de una variable y

despus generalizaremos al caso de varias variables.

1. Si )(xf es un cociente, este no existe si el denominador se hace cero, por lo que se

deben eliminar del dominio aquellos valores x en lo que esto sucede.

2. Si )(xf es una raz cuadrada, est existir slo si el radicando es mayor o igual que

cero.

3. Si )(xf es un logaritmo natural, est existir si su argumento es mayor que cero.

Ejemplos:

1. Hallar el dominio de la funcin: ( )f xx

1

2

Solucin:Cundo existe ( )y f x ?

y existe si 2x . Por lo tanto }2{,22, RD f

2. Hallar el dominio de la funcin: 1)( xxf

Solucin:Cundo existe ( )y f x ?

Si 01x , es decir, 1x . Por lo tanto [1,fD


3. Hallar el dominio de la funcin: )1ln()( xxf

Solucin: Cundo existe ( )y f x ?

Si 01x es decir: 1x .Por lo tanto 1,fD

Ahora, para determinar el dominio de una funcin real de varias variables, utilizamos los

mismos criterios de las funciones de una variable; es decir excluyendo los valores que

conducen a nmeros complejos o a la divisin entre cero.

EJEMPLOS

1. Hallar el dominio de la funcin: ( , )f x yx y

2 21

Solucin:

Cundo existe ( , )z f x y ?; z existe s 022 yx . Por lo tanto )}0,0{(2 RD f

Grfica del dominio


2. Hallar el dominio de la funcin: )ln(),( yxyxf

Solucin

Como la funcin es un logaritmo natural, entonces 0 yx . Por lo tanto el dominio de

la funcin es }0/),{( 2 yxRyxD f y su grfica es

3. Hallar el dominio de la funcin: ( , )f x y y x 2

Solucin:

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 02 xy . Por lo tanto el dominio de la

funcin es }0/),{( 22 xyRyxD f

Grfica del dominio


4. Hallar el dominio de la funcin: 221),( yxyxf

Solucin:

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 01 22 yx . Por lo tanto el dominio

de la funcin es }1/),{( 222 yxRyxD f y su grfica es

5. Hallar el dominio de la funcin: yxyxf .ln),(

Solucin:

Como la funcin es un logaritmo, entonces 0. yx . Por lo tanto el dominio de la

funcin es }0./),{( 2 yxRyxD f y su grfica es

6. Hallar el dominio de la funcin: 2 2( , , ) ln 1f x y z x y z

Solucin:

Como la funcin es un logaritmo, entonces 01 22 zyx . Por lo tanto el dominio

de la funcin es 3 2 2( , , ) / 1 0fD x y z R x y z

Grfica del dominio:


7. Hallar el dominio de la funcin: 2221),,( zyxzyxf

Solucin:

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 01 222 zyx . Por lo tanto el

dominio de la funcin es }01/),,{( 2223 zyxRzyxD f

Grfica del dominio: esfera unitaria

8. Hallar el dominio de la 2 2( , , ) 1f x y z x y .

Solucin

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 2 21 0x y . Por lo tanto el dominio

de la funcin es }01/),,{( 223 yxRzyxD f el cual es un cilindro de radio 1.

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


SEMINARIO DE PROBLEMAS

I. Hallar y Representar grficamente el dominio de las siguientes funciones

1. 1

( , ).

f x yx y

2. 2( , ) ln( )f x y x y

3. 1

( , )f x yy x

4. 2

2 2( , )

16

x yf x y

x y

5. 2 2

1( , )

1f x y

x y

6. 2( , )f x y x y

7. 2 2( , ) ln(36 4 9 )f x y x y

8. 2( , ) ln ( 4 )f x y xy y x

9. ( , ) ln( ln( ))f x y x x y

10. ln( 2 )

( , )2

x yf x y

y x

11. ( , , ) ln ln lnf x y z x y z

12. 2

( , , )z

f x y zx y

13. 2 2 2

1( , , )

ln(1 )f x y z

x y z

14. ( , , ) ln( )f x y z xyz

15. ( , , ) ( ) 2f x y z x y z

16. 2 2( , , ) ln(4 )f x y z x y z

17. ( , , )x y z

f x y zx y z


II. PROBLEMAS DE APLICACIN

1. Una lata de refresco se construye con un costado lateral de estao y una tapa y

fondo de aluminio. Dado que el costo es de 1.8 centavos por unidad cuadrada de la

tapa, 1 centavo por unidad cuadrada del fondo y 2.3 centavos por unidad cuadrada

del costado, determine la funcin de costo ( , )C r h donde r es el radio de la lata y

h es su altura

2. Costo de produccin. Una caja rectangular abierta por arriba tiene x pies de

longitud, y pies de ancho y z pies de alto. Construir la base cuesta $0.75por pie

cuadrado y construir los lados $0.40por pie cuadrado. Expresar el costo C de

construccin de la caja en funcin de , ,x y z .

3. Modelo de construccin. Se elabora una caja rectangular cerrada con tres tipos de

materiales de modo que contenga un volumen de 16 pies3. El material para la tapa y

el fondo cuesta $0.18 por pie cuadrado, el material para las partes delantera y

trasera cuesta $0.16 por pie cuadrado, y el material para las otras dos caras cuesta

$0.12 por pie cuadrado. (a) Obtenga un modelo matemtico que exprese el costo

total del material como una funcin de las dimensiones, las partes delanteras y

trasera. a) Determine el dominio de la funcin. b) Cul es el costo del material si

las dimensiones de las partes delantera y trasera son 2 pie y 4 pie, donde 4 pie es la

altura de la caja?

4. Un slido rectangular del primer octante, con tres caras en los ejes planos

coordenados, tiene un vrtice en el origen y el vrtice opuesto en el punto ( , , )x y z

en el plano 3 2 6x y z . a) Obtenga un modelo matemtico que exprese el

volumen de la caja como una funcin de las dimensiones de la base. Determine el

dominio de la funcin. b) Cul es el volumen si la base es un cuadrado de lado

1.25 unidades?

5. a) Obtenga un modelo matemtico que exprese el rea total de la superficie del

slido del ejercicio 3, como una funcin de las dimensiones de la base. Determine

el dominio de la funcin. b) Cul es el rea total de la superficie si la base es un

cuadrado de lado 1.25 unidades?


6. Volumen. Un tanque de propano se construye soldando hemisferios a los extremos

de un cilindro circular recto. Expresar el volumen V del tanque en funcin de r y

h , donde r es el radio del cilindro y de los hemisferios, y h es la longitud del

cilindro.

7. Un cono circular recto de base r cm se encuentra inscrito en una esfera de R cm de

radio. Calcular el volumen del cono en funcin de los radios mencionados.

8. Una tapa cnica descansa sobre la parte superior de un cilindro circular. Si la altura

de la tapa es dos tercios de la altura del cilindro, exprese el volumen del slido

como una funcin de las variables indicadas.


DERIVACIN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta Cmo afectara al

valor de una funcin un cambio en una de sus variables independientes?

Se puede contestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes por

separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un

qumico podra repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador,

mientras mantiene constante las otras variables como temperatura y presin. Para

determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funcin f respecto a una de sus variables

independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este proceso se le llama

derivacin parcial y el resultado se llama derivada parcial de f con respecto a la variable

elegida.

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Definicin Se llama derivada parcial de una funcin z f ( x, y ) con respecto a la variable

independiente x al siguiente lmite, si existe y es finito:

( , ) ( , )

limx

z f x x y f x y

x x

0 (1)

el cual se calcula suponiendo y constante.

Se llama derivada parcial de una funcin z f ( x, y ) con respecto a la variable independiente

y al siguiente lmite, si existe y es finito:

( , ) ( , )limy

z f x y y f x y

y y

0 (2)

el cual se calcula suponiendo x constante.

Notacin de las derivadas parciales

Si z f ( x, y ), entonces sus derivadas parciales respecto a x y y se expresan, se

respectivamente, en las formas siguientes:

1

x x

z ff ( x, y ) f ( x, y ) D [ f ( x, y )] D f ( x, y )

x x x

2

y y

z ff ( x, y ) f ( x, y ) D [ f ( x, y )] D f ( x, y )

y y y

Ejemplo 1.- Aplique la definicin de derivada parcial para calcular 1D f ( x, y ) y 2D f ( x, y )

si 2 23 2f ( x, y ) x xy y .


Solucin

10

2 2 2 2

0

2 2 2 2 2

0

2

0 0

3 2 3 2

3 6 3 2 2 3 2

6 3 26 3 2

6 2

x

x

x

x x

f ( x x, y ) f ( x, y )D f ( x, y ) lim

x

( x x ) ( x x )y y ( x xy y )lim

x

x x x ( x ) xy y x y x xy ylim

x

x x ( x ) y xlim lim x x y

x

x y

20

2 2 2 2

0

2 2 2 2 2

0

2

0

0

3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

2 2

2 2 2 2

y

y

y

y

y

f ( x, y y ) f ( x, y )D f ( x, y ) lim

y

x x( y y ) ( y y ) ( x xy y )lim

y

x xy x y y y y ( y ) x xy ylim

y

x y y y ( y )lim

y

lim( x y y ) x y

Ejemplo 2.- Calcular 1D f ( x, y ) y 2D f ( x, y ) si 2 22 5f ( x, y ) x y xy x y

Solucin

10

2 2 2 2

0

2 22

0 0

2

2 5 2 5

4 24 2 1

4 1

x

x

x x

f ( x x, y ) f ( x, y )D f ( x, y ) lim

x

( ( x x ) y ( x x )y ( x x ) y ) ( x y xy x y )lim

x

xy x ( x ) y x xlim lim xy x y

x

xy y

En forma similar que 22 2 2 5D f ( x, y ) x xy .

Nota Para calcular las derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que segn la

ecuacin (1) la derivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de f

con respecto a x manteniendo fija la variable y . Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente.


REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE ( , )z f x y

1. Para determinar x

f , conservar a y constante y derivar ( , )f x y con respecto a x .

2. Para determinar y

f , conservar a x constante y derivar ( , )f x y con respecto a y .

Ejemplo 1 Dada la funcin z definida por ( )x y

z x y e

2 2

. Hallar zy

y z

x

.

Solucin

( )( ) ( )x y 2 2 x y 2 3 x yz

2xe x y ye 2x x y y ex

( )( ) ( )x y 2 2 x y 3 2 x yz

2 ye x y xe 2 y x xy ey

Ejemplo 2 Hallar y evaluar las derivadas parciales de ( , )2

x y

f x y xe . Hallar ,x y

f f y evaluar

a cada en el punto (1,ln 2) .

Solucin

Como ( , ) ( )2 2

2 x y x y

xf x y xe xy e . La derivada parcial de f con respecto a x en (1,ln 2) es

ln2 ln2(1,ln 2) (2ln 2) 4ln 2 2

xf e e .

Como ( , ) ( )2 2

2 3

x y x y

yf x y xe x x e . La derivada parcial de f con respecto a y en (1,ln 2) es

ln2(1,ln 2) 2

yf e .

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Para dar una interpretacin geomtrica de las derivadas parciales, recuerde que la ecuacin

( , )z f x y representa una superficie S (que es la grfica de f ). S ( , )f a b c , entonces el

punto ( , , )P a b c est definido sobre S. Si hace y b entonces ( , )z f x b representa la curva

interseccin C1(en otras palabras la curva C

1es la traza de S en el plano y b ). Por

consiguiente

0

( , ) ( , )( , ) lim

x x

f a x b f a bf a b

x

representa la pendiente de la curva interseccin C2(en otras palabras la curva C

2es la traza de

S en el plano x a ). Ver figura


Ejemplo 1 Si 2 2

( , ) 4 2f x y x y , determine (1,1) y (1,1)x y

f f , e intrprete estos valores.

Solucin

Las derivadas parciales de f con respecto a e x y son

( , ) 2 ( , ) 4

(1,1) 2 (1,1) 4

x y

x y

f x y x f x y y

f f

La grfica de f es el paraboloide 2 2

( , ) 4 2f x y x y y el plano vertical 1y lo corta en la

parbola 2

2 , 1z x y (al igual que en el anlisis anterior, es 1C en la figura 2 ).

La pendiente de la tangente de esta parbola en el punto (1,1,1) es (1,1) 2xf . De la misma

manera, la curva 2C que se forma cuando el plano 1x corta al paraboloide es la parbola

23 2 , 1z y x y la pendiente de la tangente de esta parbola en el punto (1,1,1) es

(1,1) 4y

f (ver figura 3).


Derivadas parciales de una funcin de tres o ms variables

Tambin se puede definir las derivadas parciales mediante funciones de tres o ms variables.

Por ejemplo, si f es una funcin de tres variables y x y z, , entonces su derivada parcial con

respecto a x se define como

0

( , , ) ( , , )( , , ) lim

xh

f x h y z f x y zf x y z

h

y se determina considerando a y a y z como constantes y derivando ( , , )f x y z con respecto a x

. Si ( , , )w f x y z , entonces ( , , )xf x y z w x se puede interpretar como la razn de cambio

de w con respecto a x cuando y y z se mantiene constantes.

En general, si u es una funcin de n variables, 1 2( , , , )nu f x x x , su derivada parcial con

respecto a la i -sima variable ix es

1 2 1 1 1

0

( , , , , , , , ) ( , , , , )lim i i i n i nh

i

f x x x x h x x f x x xu

x h

y tambin

i

x i

i i

u ff f

x x

Ejemplo 2 Dada la funcin f definida por ( , , )x y z

f x y z e3 4 5

. Hallar sus derivadas parciales

en el punto 1,1,1 .P

Solucin

3 4 5x y z 2 4 5

( 1,1,1 ) ( 1,1,1 )

fe ( 3x y z ) 3e

x

3 4 5x y z 3 3 5

( 1,1,1 )( 1,1,1 )

fe ( 4 x y z ) 4e

y

( , , )( , , )

( )x y zf

e x y z ez

3 4 53 4 4

1 1 11 1 1

5 5

Figura 2 Figura 3


PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE

Se llama plano tangente a una superficie en un punto ( , , )0 0 0

P x y z de la misma, al plano que

contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto ( , , )0 0 0

P x y z .

Si la superficie est definida de manera implcita por la ecuacin z f x, y , entonces la ecuacin del plano tangente en un punto ( , , )

0 0 0P x y z de la superficie viene definido por la

ecuacin:

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( ) ( ) 0

f fx y x x x y y y z z

x y

Ejemplo 1 Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin 2 2

z 5 2x y en el punto

1 1 2P , , .

Solucin

Hallamos las derivadas parciales: (1,1,2) (1,1,2)

(1,1,2) (1,1,2)

4 4; 2 2z z

x yx y

Luego la ecuacin del plano tangente en el punto P(1,1,2) es: z 8 4x 2 y .

Ejemplo 2 Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin 2 2

z 3x y 2 en el punto

1 2 9P , , .

Solucin

Hallamos las derivadas parciales: ( 1,2,9) ( 1,2,9)

( 1,2,9) ( 1,2,9)

6 6; 2 4z z

x yx y

Luego la ecuacin del plano tangente en el punto P(-1,2,9) es: z 4 y 6x 5 .


Nota Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio

de ecuaciones de la forma z f x, y . Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente utilizar la representacin ms general ( , , ) 0F x y z . Una superficie S dada por

z f x, y , se puede convertir a la forma general definiendo F como

( , , ) ( , )F x y z f x y z

Puesto que ( , ) 0f x y z , se puede considerar S como la superficie de nivel de F dada por

( , , ) 0F x y z (Ecuacin alternativa de la superficie S )

Es as, que enunciamos el siguiente teorema

TEOREMA Ecuacin del plano tangente

Si F es diferenciable en 0 0 0( , , )x y z , entonces una ecuacin del plano tangente a la superficie

dada por ( , , ) 0F x y z en 0 0 0( , , )x y z es

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0

x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z

Ejemplo 3 Hallar una ecuacin del plano tangente al hiperboloide 2 2 2

2 2 12z x y en el

punto (1, 1,4)

Solucin

Empezamos expresando la ecuacin de la superficie como 2 2 2

2 2 12 0z x y . Despus,

considerando 2 2 2

( , , ) 2 2 12F x y z z x y

Se tiene

( , , ) 4 , ( , , ) 4 , ( , , ) 2x y z

F x y z x F x y z y F x y z z .

En el punto (1, 1,4) las derivadas parciales son


(1, 1,4) 4 , (1, 1,4) 4 , (1, 1,4) 8.x y z

F F F

Por tanto, la ecuacin del plano tangente en (1, 1,4) es

4( 1) 4( 1) 8( 4) 0 2 6 0x y z x y z

RECTA NORMAL

Definicin La recta normal a la superficie : ( , , ) 0S F x y z en el punto 0 0 0 0( , , )p x y z S

es la

recta que pasa a travs del punto 0

p y sigue la direccin del vector normal

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )

F x y z F x y z F x y zN F x y z

x y z al plano tangente a la

superficie S en el punto 0

p y su ecuacin simtrica de la recta normal a S en 0

0 0 0( , , )p x y z es

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ):

( , , ) ( , , ) ( , , )n

x y z

x x y y z zL

F x y z F x y z F x y z

.

Ejemplo 4 Hallar la ecuacin del plano tangente y de la normal a la superficie 3/2 3/2 3/2

17x y z en el punto (4,4,1) .

Solucin

Sea 3/2 3/2 3/2

( , , ) 17F x y z x y z donde la normal del plano tangente a la superficie es

33 3( , , ) ( , , )

2 2 2

yF F F x zN

x y z

en el punto (4,4,1) se tiene 3

(2,2,1)2

N . Luego la ecuacin del plano tangente es

: 2 2 17P x y z y la recta normal es RttLN /)1,2,2()1,4,4(: .

Ejemplo 5 Hallar una ecuacin del plano tangente y la recta en el punto dado 3 3 3

6x y z xyz en el punto (1,2, 1)


Solucin

Sea 3 3 3

( , , ) 6F x y z x y z xyz . Entonces la normal del plano tangente a la superficie es:

2 2 2( , , ) (3 ,3 ,3 )

F F FN x yz y xz z xy

x y z

la cual evaluado en el punto (1,2, 1) es (1,11,5) . Luego, la ecuacin del plano es

1( 1) 11( 2) 5( 1) 0x x z y la recta normal RttLN /)5,11,1()1,2,1(: .

DERIVADAS PARCIALES DE RDENES SUPERIORES

Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la funcin ;z f x y a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden.

Se usan las siguientes notaciones:

2

2

z z

x x x

;

2z z

y x y x

;

2z z

x y x y

;

2

2

z z

y y y

A continuacin se presenta un resultado muy importante sobre las derivadas parciales mixtas.

TEOREMA DE CLAIRUT Suponga que f se define en un disco D que contiene el punto

( , )a b . Si tanto la funcin y xy yxf f son continuas en D entonces

( , ) ( , )xy yx

f a b f a b

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de rdenes superiores.

Ejemplo.- Calcular las derivadas parciales de segundo orden de la funcin: 2

f ( x, y ) sen( x y )

Solucin

Hallamos las derivadas parciales de primer orden:

2 2 22 cos( ) ; cos( )f f

xy x y x x yx y

As las segundas derivadas son:

22 2 2 2

22 cos( ) 4 sin( )

fy x y x y x y

x

;

24 2

2sin( )

fx x y

y

22 3 22 cos( ) 2 sin( )

fx x y x y x y

x y

;

22 3 22 cos( ) 2 sin( )

fx x y x y x y

y x

.


SEMINARIO DE PROBLEMAS

I. Calcula todas las derivadas parciales de primer orden de las funciones siguientes:

a) ( , ) sin(3 )cos(3 )f x y x y

b) ( , ) ln(1 )f x y xy

c) 4 3 2 2 3 4( , )f x y x x y x y xy y

d) 2( , ) xyf x y e e

e) 2 2

( , )xy

f x yx y

f) 2 2( , ) ( )f x y Ln x y

g) cos( )

( , )x x y

f x y e

h) 2 2 2 2( , ) ( )ln( )f x y x y x y

i) 2 2 2 2( , ) (2 3 )exp( )f u v u v u v

j) 2 2 2( , , ) (1 ) rstf r s t r s t e

k) 22 1053),,( yzxyzyxzyxf

l) )32(),,( zyxsenzyxf

m) 2 2 2w x y z

II. Calcula, todas las derivadas parciales de segundo orden de las funciones siguientes

a) xyyxyxf ),(

b) )(),( xysenyxf

c) ysenxyyxyxf cos),( 2

d) 1),( yxeyxf y

e) )ln(),( yxyxf

f) )/arctan(),( xyyxf

g) xyyxeyxf x lnln),(

h) xyeyxyxf cos),(

III. Calcular el plano tangente y la recta normal en los puntos que se indican:

a) 2 2exp( ) ; (0,0,1)z x y P

b) 2sin( )

x yz e x y ; P(0, 0,1)

c) 2 2

2xyz

x y

en el punto (1, 0,0)

d) sin( )z xy en el punto (1,2

,1)

e) 4

( ) ; (1,1,1)z arctg xy P

f) 3 3 4z x x y en el punto (1, 1,0)

g) 2 2 250 ; (4, 3,5)z x y P

h) 2 23 2 z x y

; ( 1,2,9)P

i) 2 24 16 0 x y z ; (2,4,2)P

j) 2 21 z x y el punto ( , , )a b c , donde 2 21c a b .

k) 3 2 3 2 3 2 17 x y z en el punto (4,4,1) .

l) 2 2 z x y xy en el punto (3,4, 7) .

m) 3 3 3 6 x y z xyz ; (1,2, 1)P .

n) 4 3 2 33 4 4 4 1 0x y z xyz xz ; (1,1,1)P .

o) 2 2 24 x y z x y z en el punto (2,3,6) .

p) 2 2 5( ) 5z x xyz y en el punto (1,1,2) .

calculo III

Documents

Transcript of calculo III