Cálculo Infinitesimal. curso 2008-2009. Univ. Politéc. de Madrid. Mata - Reyes

Cálculo Infinitesimal

Curso 2008/2009

Águeda Mata - Miguel Reyes

Dpto. de Matemática Aplicada

Facultad de Informática

Universidad Politécnica de Madrid.

Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM.

Contenidos

1. Conjuntos de números

1.1. Números Reales

1.1.1. Recta real e intervalos 1.1.2. Acotación e inecuaciones 1.1.E. Ejercicios

1.2. Números Complejos

1.2.1. Forma binómica 1.2.2. Módulo y argumento 1.2.3. Formas polar y de Euler 1.2.4. Raíces y conjuntos 1.2.5. Polinomios complejos 1.2.E. Ejercicios

2. Funciones reales de una variable real

2.1. Conceptos básicos

2.1.1. Definiciones y propiedades 2.1.2. Operaciones 2.1.3. Funciones elementales 2.1.4. Funciones hiperbólicas 2.1.E. Ejercicios

2.2. Límites

2.2.1. Definiciones y propiedades 2.2.2. Cálculo elemental de límites 2.2.3. Regla del sandwich 2.2.4. Infinitésimos e infinitos 2.2.5. Asíntotas 2.2.E. Ejercicios

2.3. Continuidad

2.3.1. Definiciones y propiedades 2.3.2. Teoremas 2.3.E. Ejercicios


3. Derivación de funciones de una variable

3.1. La derivada

3.1.1. Definiciones y propiedades 3.1.2. Cálculo de derivadas 3.1.3. Derivación implícita y logarítmica 3.1.4. Interpretación geométrica y física 3.1.5. La diferencial 3.1.E. Ejercicios

3.2. Propiedades locales y optimización

3.2.1. Propiedades locales 3.2.2. Representación gráfica de funciones 3.2.3. Optimización 3.2.E. Ejercicios

3.3. Teoremas de valor medio y aplicaciones

3.3.1. Teoremas 3.3.2. Regla de L'Hôpital 3.3.3. Desarrollos en serie de Taylor y McLaurin 3.3.E. Ejercicios

4. Integración de funciones de una variable

4.1. La integral de Riemann

4.1.1. La integral de Riemann 4.1.2. Teorema fundamental del cálculo integral 4.1.3. Regla de Barrow 4.1.E. Ejercicios

4.2. Cálculo de primitivas

4.2.1. Primitivas elementales 4.2.2. Integrales racionales 4.2.3. Integrales trigonométricas 4.2.E. Ejercicios

4.3. Integrales impropias

4.3.1. Integrales impropias 4.3.2. Criterio de comparación 4.3.E. Ejercicios


4.4. Aplicaciones de la integral

4.4.1. Aplicaciones 4.4.E. Ejercicios

5. Curvas paramétricas y polares

5.1. Curvas paramétricas

5.1.1. Definiciones y propiedades 5.1.2. Curvas suaves 5.1.E. Ejercicios

5.2. Curvas polares

5.2.1. Definiciones y gráficas 5.2.2. Propiedades de tangencia 5.2.E. Ejercicios

6. Sucesiones y series numéricas

6.1. Sucesiones numéricas

6.1.1. Definiciones 6.1.2. Cálculo de límites I 6.1.3. Cálculo de límites II 6.1.4. Sucesiones recurrentes 6.1.E. Ejercicios

6.2. Series numéricas

6.2.1. Definiciones y propiedades 6.2.2. Series sumables 6.2.3. Criterios de comparación 6.2.4. Otros criterios de convergencia 6.2.5. Series alternadas y arbitrarias 6.2.E. Ejercicios

7. Sucesiones y series de funciones

7.1. Sucesiones de funciones

7.1.1. Convergencia puntual 7.1.2. Convergencia uniforme 7.1.E. Ejercicios

7.2. Series de funciones

7.2.1. Series de funciones 7.2.2. Series de potencias


7.2.3. Desarrollos en serie de potencias 7.2.E. Ejercicios

8. Funciones reales de varias variables reales

8.1. Funciones de varias variables

8.1.1. Definiciones 8.1.2. Representación gráfica 8.1.E. Ejercicios

8.2. Límites y continuidad

8.2.1. Límites 8.2.2. Relaciones entre límites 8.2.3. Continuidad 8.2.E. Ejercicios

9. Diferenciación de funciones reales de varias variables reales

9.1. Diferenciación

9.1.1. Derivadas parciales 9.1.2. La diferencial 9.1.3. Regla de la cadena 9.1.4. Derivada direccional y gradiente 9.1.5. Aplicaciones geométricas 9.1.E. Ejercicios

9.2. Extremos

9.2.1. Polinomios de Taylor 9.2.2. Extremos relativos y absolutos 9.2.3. Problemas de optimización 9.2.4. Extremos condicionados 9.2.E. Ejercicios

Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matematica Aplicada, FI-UPM.

1. Conjuntos de numeros

1.1. Numeros reales 1.1.1. RECTA REAL E INTERVALOS

Definiciones:

• Numeros racionales: Q =

pq : p, q ∈ Z y q 6= 0

= expresiones decimales finitas o periodicas

• Numeros irracionales: I = expresiones decimales infinitas no periodicas• Los numeros reales son los racionales y los irracionales: R = Q ∪ I.• La representacion grafica de los numeros sobre una recta es la recta real.

Intervalos en la recta real:

cerrado [a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b r ra b

abierto (a, b) = x ∈ R : a < x < b b ba b

semiabierto o semicerrado [a, b) = x ∈ R : a ≤ x < b r ba b

semiabierto o semicerrado (a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b b ra b

infinito cerrado [a,+∞) = x ∈ R : x ≥ a r -a

infinito abierto (a,+∞) = x ∈ R : x > a b -a

infinito cerrado (−∞, b] = x ∈ R : x ≤ b ¾ rb

infinito abierto (−∞, b) = x ∈ R : x < b ¾ bb

recta real (−∞, +∞) = R¾ -

Valor absoluto:El valor absoluto de un numero real a, que se representa |a|, es dicho numero cuando es mayor o igual quecero, y su opuesto cuando es negativo:

|a| =

a si a ≥ 0−a si a < 0

= max a,−a =√

a2 ¡ojo!:√

a2 = |a|

Geometricamente, sobre la recta real, la distancia de un numero al origen (cero) es su valor absoluto, y ladistancia entre dos numeros reales es el valor absoluto de su diferencia:

d(a, 0) = |a| d(a, b) = |b− a|Algunas propiedades importantes son las siguientes:

1. Si a ≥ 0: |x| = a ⇐⇒ x = ±a.

2. Si a ≥ 0: |x| < a ⇐⇒ −a < x < a ⇐⇒ x ∈ (−a, a)

3. Si a ≥ 0: |x| > a ⇐⇒ x > a o x < −a ⇐⇒ x ∈ (−∞,−a) ∪ (a,+∞)

4. Desigualdad triangular: |a± b| ≤ |a|+ |b|5. |a± b| ≥ ||a| − |b||

Ejercicios

1. Dos personas que andan a la misma velocidad parten en el mismo instante de un punto P de unacircunferencia de 1 km de diametro. Mientras que una de ellas recorre sin parar la circunferencia en elsentido contrario a las agujas del reloj, la otra recorre el diametro PQ en uno y otro sentidos. ¿Cuandovolveran a encontrarse?

2. Transforma las siguientes expresiones en otras equivalentes sin valores absolutos:

(a) x + |x + |x|| (b) |x + 2| − |x− 1|



1.1. Numeros reales 1.1.2. ACOTACION E INECUACIONES

Entornos

• Se llama entorno abierto de centro a ∈ R y radio r > 0 al intervalo abierto formado por todos losnumeros reales cuya distancia a a es menor que r:

(a− r, a + r) = x : a− r < x < a + r = x : −r < x− a < r = x : |x− a| < rb b

a− r a a + r

r

• Se llama entorno cerrado de centro a ∈ R y radio r > 0 al intervalo cerrado formado por todos losnumeros reales cuya distancia a a es menor o igual que r:

[a− r, a + r] = x : a− r ≤ x ≤ a + r = x : −r ≤ x− a ≤ r = x : |x− a| ≤ rr r

a− r a a + r

r

Propiedad de los intervalos encajadosCualquier familia de intervalos cerrados encajados cuyas longitudes tienden a cero intersecan en un unico punto:

[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . . ⊃ [an, bn] ⊃ . . .lim

n→∞ (bn − an) = 0 =⇒∞⋂

n=1

[an, bn] = x

Observacion: La propiedad de los intervalos encajados no es cierta, en general, para intervalos no cerrados.

Conjuntos acotados

• Un conjunto A ⊂ R esta acotado superiormente si existe un numero real M , llamado cota superior,tal que a ≤ M para cualquier a ∈ A. La menor de las cotas superiores se llama supremo y, si perteneceal conjunto A, maximo.

• Un conjunto A ⊂ R esta acotado inferiormente si existe un numero real m, llamado cota inferior,tal que a ≥ m para cualquier a ∈ A. La mayor de las cotas inferiores se llama ınfimo y, si pertenece alconjunto A, mınimo.

• Se dice que un conjunto A ⊂ R esta acotado cuando lo esta superior e inferiormente, es decir, cuandoexisten m y M tales que m ≤ a ≤ M para cualquier a ∈ A.

Conjuntos definidos por inecuaciones: La solucion de una inecuacion es un conjunto de numeros reales.En matematicas aparecen con frecuencia conjuntos de numeros reales definidos mediante inecuaciones o de-sigualdades.

Ejercicios

1. Calcula:

(a)∞⋃

n=2

[1 +

1n

, 2− 1n

](b)

∞⋂

n=1

[2− 1

n, 2 +

1n

](c)

∞⋂

n=1

(1 +

1n

, 2 +1n

)

2. Demuestra que para todo x ∈ R se cumple que:

0 <1

x2 + 1+

1x2 − x + 1

≤ 73

3. Estudia la acotacion de los conjuntos: (a) A = (−1, 3]; (b) B = (−∞, 2).

4. Resuelve las siguientes inecuaciones expresando sus soluciones mediante intervalos:

(a) x2 + 3x− 4 ≥ 0 (b)(x + 3)5(x− 4)2

x− 1< 0 (c) |2x + 3| > 5 (d)

∣∣x2 − 2∣∣ ≤ 1



1.1. Numeros reales EJERCICIOS

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

(a) No es posible encontrar un numero irracional del que se conozcan todas sus cifras decimales.(b) La suma de un numero racional con otro irracional es irracional.(c) La suma de dos numeros irracionales es irracional.(d) El producto de dos numeros irracionales es irracional.(e) Entre cada dos numeros reales distintos hay infinitos racionales e infinitos irracionales.

2. Encuentra un numero tal que su cuadrado sea irracional y su cubo racional. ¿Puede ser racional?

3. Sean x e y dos numeros reales positivos distintos tales que su producto y su cociente son racionales. ¿Hande ser x e y racionales?

4. Transforma las siguientes expresiones en otras equivalentes que no contengan valores absolutos:

(a) |x|+ |x− 1| (c)|x− 1||x + 8| (e)

∣∣x2 − 2∣∣ + x (g)

∣∣x2 − 3x− 4∣∣

(b) x− |x− |x|| (d) ||x| − 1| (f) |x| − |x|2 (h)∣∣x− 1− x2

∣∣

5. Calcula:

(a)∞⋂

n=1

(−n, n) (b)∞⋂

n=1

(2− 1

n, 2 +

1n

)(c)

∞⋃

n=1

[1 +

1n

, 2 +1n

)

6. Calcula, si existen, cotas superiores e inferiores, supremo e ınfimo, y maximo y mınimo, de los conjuntos:

(a) 2, 2.2, 2.22, 2.222, . . . (c)x ∈ R : x2 + x + 1 ≥ 0

(e)

1n

: n ∈ N

(b) ±0.9, ±0.99, ±0.999, . . . (d)x ∈ R : x2 + x− 1 ≤ 0

(f)

1n

: n ∈ Z \ 0

7. Demuestra que para todo x ∈ R se cumple que:∣∣∣∣

1x2 + 2

+1

2 + |x|

∣∣∣∣ ≤ 1

8. Demuestra que si |x| ≤ 1 entonces: ∣∣x3 + x2 − 3x + 5∣∣ ≤ 10

9. Resuelve las siguientes inecuaciones, representando su solucion en la recta real:

(a) 0 < |x− 3| < 5 (c) (x + 2)2 ≥ 9 (e) |x + 3|+ |x− 1| > 8 (g) ||x + 3| − |x− 1|| < 2

(b) |3x + 1| ≥ 1 (d) |2x + 5| > |3x + 1| (f) |x + 3|+ |x− 1| < 3 (h)∣∣x2 − 2x

∣∣− x ≤ 0

10. Prueba que, para cualesquiera a, b ∈ R, se cumple que:

ab ≤ a2 + b2

2

11. Usando la formula obtenida en el problema anterior, prueba que si 0 ≤ a ≤ b, entonces:

a ≤√

ab ≤ a + b

2≤ b

es decir, que la media aritmetica de dos numeros positivos es mayor o igual que su media geometrica, yque ambos valores estan comprendidos entre ellos.



1.2. Numeros complejos 1.2.1. FORMA BINOMICA

Numeros complejos en forma binomica

• Se llama numero complejo a cualquier expresion de la forma z = x+yi donde x e y son numeros realescualesquiera e i =

√−1 se llama unidad imaginaria. Se representa por: C = z = x + yi : x, y ∈ R.• En la expresion z = x+ yi, llamada forma binomica del complejo z, los numeros reales x e y se llaman,

respectivamente, parte real y parte imaginaria de z, y se representan por: Re(z) = x e Im(z) = y.

• Dos numeros complejos son iguales sı y solo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.

Observaciones

• Cuando la parte imaginaria es cero, el numero complejo x+0i = x es un numero real y, como consecuencia,el conjunto de los numeros reales esta contenido en el conjunto de los numeros complejos: R ⊂ C.

• Cuando la parte real es cero, el numero complejo 0 + yi = yi se llama imaginario puro.

• En el conjunto de los numeros complejos existen las raıces cuadradas de los numeros negativos y, comoconsecuencia, todas las ecuaciones de segundo grado tienen solucion.

El plano complejoLos numeros complejos tambien se pueden expresar como un par ordenado de numeros: z = x + yi = (x, y).Esta expresion se llama forma cartesiana y permite identificar el conjunto de los numeros complejos con elplano R2. El plano cartesiano en el que se representan los numeros complejos, se llama plano complejo.El numero complejo z = x + yi se representa en el plano complejo por el vector que va del origen al punto(x, y), que se llama afijo del numero complejo.

Oeje real

eje imaginario

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

x

y (x, y)

z = x + yi

Operaciones elementales en forma binomica

• Suma o diferencia: z1 ± z2 = (x1 + y1i)± (x2 + y2i) = (x1 ± x2) + (y1 ± y2)i

• Producto: z1z2 = (x1 + y1i)(x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i + y1x2i + y1y2i2 = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)i

• Division: se multiplican numerador y denominador por la expresion conjugada del denominador.

• Potencias de i: Puesto que i4 = 1, la potencia n de i coincide con la potencia de exponente igual alresto de la division de n por 4.

• Potencias: zn = (x + yi)n =∑n

k=0

(nk

)xn−k(yi)k =

∑nk=0

(nk

)xn−kykik

Complejo conjugadoSe llama complejo conjugado de z = x + yi al numero complejo z = x− yi.Obviamente: z = z ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ z ∈ R. Otras propiedades:

z = z z1 ± z2 = z1 ± z2 z1z2 = z1 z2 z1/z2 = z1/z2 Re(z) =z + z

2Im(z) =

z − z

2i

Ejercicios

1. Calcula: (a) (2− 3i)(1 + 2i)− (2− i)2; (b) (2−3i)i(1+2i)(3+i) ; (c) i3215; (d) (1− 2i)5.

2. Halla x, y ∈ R para que: 3+xi1+2i = y + 2i.



1.2. Numeros complejos 1.2.2. MODULO Y ARGUMENTO

Modulo de un numero complejoSe llama modulo del numero complejo z = x + yi al numero real: |z| = |x + yi| =

√x2 + y2.

El modulo de un numero complejo es la distancia que hay entre el origen y su afijo, ası como con la longitudel vector que lo representa. La distancia entre dos numeros complejos es: d (z1, z2) = |z1 − z2|.

1. |z| ≥ 0 ; y |z| = 0 si y solo si z = 0 4. zz = |z|2 , o tambien: |z| =√

zz

2. |z| = |z| = |−z| 5. |z1z2| = |z1| |z2| y |z1/z2| = |z1| / |z2|3. |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z| 6. ||z1| − |z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1|+ |z2|

Argumento de un numero complejoSe llama argumento del complejo z = x + yi 6= 0 a cualquier angulo θ que verifica: cos θ = x

|z| y sin θ = y|z| .

Se representa por arg(z). Cada numero complejo tiene infinitos argumentos, pero solo uno en la primeracircunferencia, θ ∈ [0, 2π), que se llama argumento principal y se representa por Arg(z).

O´

´´

´´

´´

´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

´´

´´

´´

´´3

x

y z = x + yi

|z|

θ x

y

arg(z) = Arg(z) + 2kπ , k ∈ ZEl argumento principal θ de z = x + iy se puede determinar,a partir del signo de x e y, con la condicion:

tan θ = yx

Ejercicios

1. Obten el modulo, el argumento y el argumento principal de los siguientes numeros complejos:

(a) z = 1 +√

3i (b) z = 3− 3i (c) z = −3 (d) z = i



1.2. Numeros complejos 1.2.3. FORMAS POLAR Y DE EULER

Formas trigonometrica y polar de un numero complejoCada numero complejo z = x + yi queda definido unıvocamente por su modulo |z| y cualquier argumento θ,pudiendose expresar en funcion de ellos en la llamada forma trigonometrica: z = |z| (cos θ + i sin θ).La expresion simbolica z = |z|θ se llama forma polar del numero complejo.En forma polar o trigonometrica, es decir, en funcion del modulo y del argumento, dos numeros complejos soniguales sı y solo si tienen el mismo modulo y sus argumentos difieren en un numero entero de circunferencias:

|z|θ = |w|ϕ ⇐⇒ |z| = |w| y θ − ϕ = 2kπ , k ∈ Z

Operaciones elementales en forma polar

|z1|θ1|z2|θ2

= (|z1| |z2|)θ1+θ2

|z1|θ1

|z2|θ2

=( |z1||z2|

)

θ1−θ2

(|z|θ)n = (|z|n)nθ

Observacion: Al multiplicar un numero complejo por otro de modulo unidad se obtiene el numero complejoresultante de girar el primero, con centro en el origen, un angulo igual al argumento del segundo:

|z|θ 1ϕ = |z|θ+ϕ

Forma exponencial de un numero complejoLas propiedades de las operaciones de los numeros complejos con respecto al modulo y argumento hacen quetenga sentido expresar los numeros complejos como:

z = |z| (cos θ + i sin θ) = |z| eiθ

que se llama forma exponencial o forma de Euler.

Propiedades

1. Operaciones:(r1e

iθ1) (

r2eiθ2

)= r1r2e

i(θ1+θ2); r1eiθ1

r2eiθ2= r1

r2ei(θ1−θ2);

(reiθ

)n = rneinθ.

2. Si z = reiθ entonces: −z = rei(θ+π); z = re−iθ y 1z = 1

re−iθ.

3. Los numeros complejos de modulo unidad son z = eiθ, donde θ ∈ R es uno de sus argumentos.

4. Para cualquier k ∈ Z, ei2kπ = 1 y, en consecuencia: ei(θ+2kπ) = eiθ.

5. Igualdad en forma exponencial: r1eiθ1 = r2e

iθ2 ⇐⇒

r1 = r2

θ1 − θ2 = 2kπ , k ∈ Z .

6. Usando la forma exponencial: cos θ = eiθ+e−iθ

2 y sin θ = eiθ−e−iθ

2i .

Ejercicios

1. Obten la forma polar de: (a) z = 1 +√

3i; (b) z = 3− 3i; (c) z = −3; (d) z = i.

2. A partir del modulo y argumento de z, obten la forma polar de −z, z y 1/z.

3. Dos vertices consecutivos de un cuadrado son A(−2, 1) y B(3, 3). Sabiendo que el cuadrado esta ensemiplano y ≥ 0, halla sus otros dos vertices.

4. Si z = −√3 + i y w = 1 +√

3i, usa la forma exponencial para calcular: (a) zw; (b) zw ; (c) z10.



1.2. Numeros complejos 1.2.4. RAICES Y CONJUNTOS

Raıces enesimas de numeros complejosSe llama raız enesima de z a cualquier numero complejo cuya potencia enesima es z. Cualquier numero complejono nulo tiene exactamente n raıces enesimas distintas que se hallan recurriendo a la forma exponencial:

z = reiθ =⇒ n√

z =n√

reiθ = n√

rei θ+2kπn = n

√rei( θ

n+ 2π

nk) = wk , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1

Observaciones

• Todas las raıces enesimas tienen el mismo modulo: |wk| = n√

r.

• La diferencia entre los argumentos de cada dos raıces consecutivas es constante: wk − wk−1 = 2πn .

• Los afijos de las n raıces enesimas de un numero complejo no nulo son los vertices de un polıgono regularde n lados centrado en el origen.

Conjuntos geometricos en forma complejaLa identificacion del plano complejo C con el cartesiano R2 permite expresar muchos conjuntos del plano enforma compleja que es, en muchos casos, mas sencilla. Algunos ejemplos son los siguientes:

• Circunferencia de centro z0 y radio r > 0: |z − z0| = r.

• Interior de la circunferencia de centro z0 y radio r > 0: |z − z0| < r (Exterior: |z − z0| > r).

• Mediatriz del segmento de extremos z1 y z2: |z − z1| = |z − z2|.• Elipse con focos en z1 y z2: |z − z1|+ |z − z2| = k, con k > |z1 − z2|.• Hiperbola con focos en z1 y z2: ||z − z1| − |z − z2|| = k, con 0 < k < |z1 − z2|.

La ecuacion cartesiana del conjunto se puede obtener sustituyendo z = x + iy y operando.

Ejercicios

1. Halla las siguientes raıces de numeros complejos: (a) 3√−i; (b) 4

√16; (c)

√−4i.

2. Halla los vertices de un hexagono regular.

3. ¿Que soluciones de la ecuacion z3 + 8 = 0 caen dentro del recinto del plano definido por |z + 1| < 2.



1.2. Numeros complejos 1.2.5. POLINOMIOS COMPLEJOS

PolinomiosUn polinomio de grado n es cualquier expresion de la forma:

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + . . . + a2z

2 + a1z + a0 , con an 6= 0

donde ai ∈ C, 0 ≤ i ≤ n, se llaman coeficientes.Se llama raız del polinomio a cualquier valor de z que lo anula, es decir:

z = z0 es raız de Pn(z) ⇐⇒ Pn(z0) = 0 ⇐⇒ Pn(z) = (z − z0)Pn−1(z)

Mientras el polinomio cociente se anule en z0, se puede seguir dividiendo por z − z0, y se dice que:

z = z0 es raız con multiplicidad m de Pn(z) ⇐⇒ Pn(z) = (z − z0)mPn−m(z) y Pn−m(z0) 6= 0

Tambien se llaman raıces simples a las de multiplicidad 1, dobles a las de multiplicidad 2, y ası sucesivamente.

Teorema fundamental del algebraSi cada raız se cuenta tantas veces como indica su multiplicidad, todo polinomio de grado n tiene exactamenten raıces reales o complejas, es decir:

Pn(z) = an (z − z1)m1 . . . (z − zp)

mp , conp∑

i=1

mi = n

Observaciones

• Si los coeficientes son todos reales, cuando hay una raız compleja tambien esta su conjugada con la mismamultiplicidad.

• Todo polinomio de coeficientes reales y grado impar tiene, al menos, una raız real.

Ejercicios

1. Sabiendo que z = i es solucion de z7 + z5 − z2 − 1 = 0, calcula todas sus raıces.



1.2. Numeros complejos EJERCICIOS


(a) Los numeros reales no son complejos.

(b) Los numeros complejos de modulo 1 son menores que los numeros complejos de modulo 2.

(c) El inverso de un numero real es complejo.

(d) Si |z| < |w| entonces z < w.

(e) Las raıces enesimas de un numero complejo tienen todas el mismo modulo.

(f) Las raıces de la ecuacion z5 + 2i = 0 son los vertices de un pentagono regular.

(g) Todo polinomio de grado impar tienen al menos una raız real.

2. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas:

(a) i2723 (c) (2− 3i)(1 + i)− (1 + 2i)2 (e)2i(3 + i) + (1− i)(2 + i)

i3(1 + 2i)(g) (2− i)5

(b) i−221 (d) (3− 2i)(1 + 3i)(2− i) (f)i + i2 + i3 + i4 + i5

1 + i(h)

(1 + i)3

(1− i)3

3. Calcula: (a)∑100

k=0 ik; (b)√

5 + 12i.

4. Resuelve en C las ecuaciones: (a)z

2 + i+

3z − i

2− i= 3; (b)

3− i

z= 4 + 2i; (c) x2 + 2x + 5 = 0.

5. Halla, en cada caso, el valor de a ∈ R para que el numero complejo z = a+3i1+i : (a) Sea imaginario puro;

(b) Este sobre la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes.

6. Encuentra dos numeros complejos tales que su suma es un numero real, su diferencia y cociente seanimaginarios puros, y su producto sea igual a 2.

7. Halla a ∈ R para que:∣∣∣a+2i

1−i

∣∣∣ = 2.

8. Expresa en forma polar y exponencial los numeros complejos: 3 + 3i, −1 +√

3i, −1, −2i y −2− 2√

3i.

9. Calcula: (a) (1 + i)20; (b) (√

3− i)30.

10. Dos vertices consecutivos de un cuadrado son O(0, 0) y A(4, 1). Halla sus otros dos vertices. ¿Es unico?

11. Halla todos los complejos z ∈ C tales que z3 − |z|2 = 0.

12. Halla las siguientes raıces: (a) 3√

1; (b) 3√

i; (c) 4√−1; (d)

√1− i; (e) 3

√1 + i; (f) 6

√1−√3i.

13. Halla la suma y el producto de las raıces enesimas de la unidad.

14. ¿Que curva o conjunto geometrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades?

(a) |z − 1 + 2i| = 3 (b) |z − i| < |z + i| (c) |z − i|+ |z + i| = 4 (d) ||z − 2| − |z + 2|| = 2

Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana.

15. Halla el lugar geometrico de todos los numeros complejos de la forma: z = a−i1+i , a ∈ R. Encuentra, si

existen, los que se encuentran sobre la recta x + 2y − 1 = 0.

16. Sabiendo que 1 + i es solucion de z4 − 4z3 + 5z2 − 2z − 2 = 0, calcula todas sus raıces.

17. Estudia si la ecuacion ax5 + bx4 + cx3 − ix2 − i = 0, con a, b, c ∈ R, tiene soluciones reales.



2.1. Funciones elementales 2.1.1. PROPIEDADES

Definiciones

• Se llama funcion real de una variable real a cualquier aplicacion f : D −→ R, D ⊂ R, que hacecorresponder a cada x ∈ D uno y solo un valor f(x) ∈ R. La funcion se suele representar por y = f(x)donde x se llama variable independiente e y se llama variable dependiente.

• Si f(x0) = y0, se suele decir que y0 es la imagen de x0 por la funcion f , o que x0 es un origen de y0.

• La representacion en el plano cartesiano de todos estos pares ordenados (x0, y0) se llama grafica de lafuncion f : G(f) = (x, f(x)) : x ∈ D.

• El conjunto D ⊂ R formado por todos los valores x ∈ R en los que la funcion f esta definida se llamadominio de f , y se representa por D(f). Cuando no se especifica el dominio de la funcion, se entiendeque es el conjunto de todos los numeros reales para los que la funcion esta bien definida.

CrecimientoSe dice que la funcion f en un intervalo es

• creciente, si x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2) • decreciente, si x1 < x2 =⇒ f(x1) > f(x2)

Si f(x1) = f(x2) para cualesquiera x1, x2, se dice que la funcion es constante en el intervalo.

Acotacion y extremos

• Una funcion f esta acotada superiormente si existe un numero real M , llamado cota superior, talque f(x) ≤ M para cualquier x ∈ D. La menor de las cotas superiores se llama supremo y, si se alcanzaen algun punto del dominio, maximo.

• Una funcion f esta acotada inferiormente si existe un numero real m, llamado cota inferior, tal quef(x) ≥ m para cualquier x ∈ D. La mayor de las cotas inferiores se llama ınfimo y, si se alcanza enalgun punto del dominio, mınimo.

• Una funcion f esta acotada cuando lo esta superior e inferiormente, es decir, cuando existen numerosreales m y M tales que m ≤ f(x) ≤ M para cualquier x ∈ D.

Funciones periodicasUna funcion y = f(x) se llama funcion periodica si existe T > 0, llamado periodo, tal que: f(x+T ) = f(x).

Funciones pares e imparesSea f : D −→ R una funcion definida sobre un dominio D ⊂ R que es simetrico respecto del origen, es decir,tal que si x ∈ D entonces −x ∈ D. Se dice que:

• f es par ⇐⇒ f(−x) = f(x) , ∀x ∈ D • f es impar ⇐⇒ f(−x) = −f(x) , ∀x ∈ D

La grafica de una funcion par es simetrica respecto del eje de abscisas, y la de una funcion impar es simetricarespecto del origen.

Ejercicios

1. Halla el dominio e imagen de las funciones: (a) y = x2 − 1; (b) y =√

x; (c) f(x) = 2x− 1, 0 < x ≤ 3.

2. Halla el dominio de: (a) y = 1|x|−x ; (b) y = x

√x+1x−1 ; (c) y =

√x(x2 − 1); (d) y =

3√x+12x(x2−1)

3. Decide cuales de las siguientes funciones son pares o impares:

(a) y = x2 − 1 (c) y =x4 + x2 − 1

x2 + 3(e) y =

x2

x− 1(g) y =

x3

x5 + x

(b) y = x3 (d) y = 2x (f) y = sin x (h) y = cosx



2.1. Funciones elementales 2.1.2. OPERACIONES

Operaciones algebraicas con funciones

Suma o diferencia: (f ± g) (x) = f(x)± g(x) Producto: (f · g) (x) = f(x)g(x)Producto por numero real: (αf) (x) = αf(x) Cociente: (f/g) (x) = f(x)/g(x)

siendo: D(f ± g) = D(f · g) = D(f) ∩D(g), D(αf) = D(f) y D(f/g) = D(f) ∩D(g)− x : g(x) = 0.Composicion de funcionesSe define la composicion g f , que se lee ”f compuesto con g”, como la funcion:

x - f(x)f - g (f(x))g

-g f (g f) (x) = g (f(x))

D(g f) = x : x ∈ D(f) y f(x) ∈ D(g)¡ojo!: f g 6= g f

Funciones inyectivasUna funcion y = f(x) se dice inyectiva o uno-a-uno si no hay dos orıgenes distintos con la misma imagen,es decir, si:

f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2

Test de la recta horizontal: Una funcion es inyectiva o uno-a-uno si cada recta horizontal corta a su graficaen a no mas de un punto.

Funcion inversaSi f : D −→ R es una funcion inyectiva con imagen I = f(D), se llama funcion inversa a f−1 : I −→ Rdefinida por:

f−1(x) = y si f(y) = x

Obviamente:

D(f−1

)= I(f) I

(f−1

)= D(f)

(f f−1

)(x) = x , ∀x ∈ I

(f−1 f

)(x) = x , ∀x ∈ D

Las graficas de una funcion inyectiva y de su funcion inversa son simetricas respecto de la bisectriz y = x.

Algoritmo para el calculo de la funcion inversa

1. Partiendo de y = f(x), se despeja x en funcion de y: x = f−1(y).

2. En la expresion obtenida, sustituir y por x y viceversa: y = f−1(x).

Es facil observar que la funcion inversa es una operacion involutiva:(f−1

)−1 = f .

Ejercicios

1. Si f(x) = x2−x+1 y g(x) = x+2, encuentra las expresiones algebraicas de f +g, f ·g y f/g, especificandoel dominio de cada una de ellas.

2. Encuentra las expresiones algebraicas de f − g y f · g, siendo:

f(x) =

1− x2 , si x ≤ 0x , si x > 0

g(x) =

−2x , si x < 11− x , si x ≥ 1

3. Si f(x) = x + 1, g(x) = x2 y h(x) = 1/x, encuentra las expresiones algebraicas de las siguientes composi-ciones: g f , f g, f f , g g, f g h y g h f .

4. Determina si existe, y halla en su caso, la funcion inversa de cada una de las siguientes funciones:

(a) f(x) = x3 (b) f(x) = x2 (c) f(x) = 2 + 5√

1− x3



2.1. Funciones elementales 2.1.3. FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones polinomicas: f(x) = Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0 , ai ∈ REl dominio de las funciones polinomicas es toda la recta real y no estan acotadas si su grado es distinto decero: las funciones polinomicas de grado impar no estan acotadas ni superior ni inferiormente, y las de gradopar o bien estan acotadas inferiormente y no superiormente, o viceversa.

Funciones racionales: Son cocientes entre dos funciones polinomicas.

f(x) =P (x)Q(x)

D(f) = R \ x : Q(x) = 0

Funciones exponenciales: f(x) = ax con a > 0 y a 6= 1. El dominio es D(f) = R y la imagen I(f) = (0,+∞)La funcion exponencial es creciente si a > 1, y es decreciente si 0 < a < 1.

Funciones logarıtmicas Son las funciones inversas de las funciones exponenciales:

f(x) = loga x con a > 0 y a 6= 1 D(f) = (0,+∞) I(f) = R

La funcion logarıtmica es creciente si a > 1, y es decreciente si 0 < a < 1.

Funciones trigonometricas o circulares

Seno: f(x) = sinx Tangente: f(x) = tanx =sinx

cosxSecante: f(x) = secx =

1cosx

Coseno: f(x) = cosx Cotangente: f(x) = cot x =cosx

sinxCosecante: f(x) = cscx =

1sinx

Algunas relaciones trigonometricas:

• Relaciones fundamentales: sin2 x + cos2 x = 1 1 + tan2 x = sec2 x

• Suma y diferencia de angulos:sin(x± y) = sinx cos y ± cosx sin ycos(x± y) = cosx cos y ∓ sinx sin y

tan(x± y) = tan x±tan y1∓tan x tan y

• Angulo doble: sin 2x = 2 sinx cosx cos 2x = cos2 x− sin2 x tan 2x = 2 tan x1−tan2 x

• Otras relaciones importantes: sin2 x = 1−cos 2x2 cos2 x = 1+cos 2x

2

Funciones trigonometricas inversas

y = sin x

D(sin) =[−π

2 , π2

], I(sin) = [−1, 1]

−→ −→Funcion inversa

−→

y = arcsinx

D(arcsin) = [−1, 1] , I(arcsin) =[−π

2 , π2

]

y = cosx

D(cos) = [0, π] , I(cos) = [−1, 1]−→ −→

Funcion inversa−→

y = arccosx

D(arccos) = [−1, 1] , I(arccos) = [0, π]

y = tanx

D(tan) =(−π

2 , π2

), I(tan) = R

−→ −→Funcion inversa

−→

y = arctanx

D(arctan) = R , I(arctan) =(−π

2 , π2

)

Otras funciones trigonometricas inversas: y = arccotx y = arcsecx y = arccscx

Ejercicios

1. Halla el valor de:

(a) arcsin−12

(c) arctan(−√

3) (e) cos(

arcsin12

)(g) arctan

(tan

5π

6

)

(b) arccos−12

(d) cos(

arccos12

)(f) sin

(arccos

12

)(h) arcsin

(sin

−7π

4

)

2. Simplifica las siguientes expresiones: (a) y = sin(arccosx); (b) y = sin(2 arccosx).



2.1. Funciones elementales 2.1.4. FUNCIONES HIPERBOLICAS

Funciones hiperbolicas

Expresion analıtica Dominio Imagen

Seno hiperbolico sinhx =ex − e−x

2R R

Coseno hiperbolico coshx =ex + e−x

2R [1, +∞)

Tangente hiperbolica tanhx =sinhx

coshx=

ex − e−x

ex + e−xR (−1, 1)

Cotangente hiperbolica cothx =1

tanhx=

ex + e−x

ex − e−xR \ 0 (−∞,−1) ∪ (1, +∞)

Secante hiperbolica sechx =1

coshx=

2ex + e−x

R (0, 1]

Cosecante hiperbolica cschx =1

sinhx=

2ex − e−x

R \ 0 R \ 0

Algunas relaciones importantes:

• Relaciones fundamentales: cosh2 x− sinh2 x = 1 1− tanh2 x = sech2 x

• Otras relaciones:sinh(x± y) = sinhx cosh y ± coshx sinh ycosh(x± y) = coshx cosh y ± sinhx sinh y

tanh(x± y) = tanh x±tanh y1±tanh x tanh y

y, en particular:sinh 2x = 2 sinhx coshxcosh 2x = cosh2 x + sinh2 x

tanh 2x = 2 tanh x1+tanh2 x

Funciones hiperbolicas inversas

Dominio Imagen

sinh−1 x = ln(x +

√x2 + 1

)R R

cosh−1 x = ln(x +

√x2 − 1

)[1, +∞) [0, +∞)

tanh−1 x =12

ln1 + x

1− x(−1, 1) R

coth−1 x =12

lnx + 1x− 1

(−∞,−1) ∪ (1,+∞) R \ 0

sech−1 x = ln1 +

√1− x2

x(0, 1] [0, +∞)

csch−1 x = ln

(1x

+√

1 + x2

|x|

)R \ 0 R \ 0

Ejercicios

1. A partir de las graficas de y = ex y de y = e−x, haz un esbozo de las graficas de y = sinhx e y = coshx.¿Cual es su imagen? ¿Estan acotadas?

2. Demuestra que:

cosh2 x− sinh2 x = 1 sinh 2x = 2 sinhx coshx cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x

3. Demuestra que las funciones inversas del seno, coseno y tangente hiperbolicos son los que aparecen arriba.



2.1. Funciones elementales EJERCICIOS


(a) El producto de dos funciones pares es una funcion par.

(b) El producto de dos funciones impares es una funcion impar.

(c) El producto de una funcion par por otra impar es una funcion impar.

(d) La suma de dos funciones impares es una funcion par.

(e) La suma de una funcion par con otra impar es una funcion impar.

(f) La funcion y = |f(x)| es siempre par.

2. Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones:

(a) y = lnx + 1x− 1

(b) y =√

1−√

4− x2 (c) y =

√ln

5x− x2

4(d) y = arcsin

x + 1x2 + 1

3. Halla el dominio y la imagen de cada una de las siguientes funciones. Estudia tambien su acotacion ycalcula, si existen, el supremo, el ınfimo y sus extremos absolutos.

(a) f(x) = 2x− 1 (b) f(x) = |x| (c) f(x) =1x2

(d) f(x) =√

1− x (e) f(x) = |sinx|

4. Halla el dominio, la imagen y la grafica de cada una de las siguientes funciones:

(a) Parte entera: E(x) = floor(x) = bxc = mayor entero menor o igual que x.

(b) Parte fraccionaria: frac(x) = x− bxc.(c) Techo: ceil(x) = dxe = menor entero mayor o igual que x.

5. Sea f una funcion tal que f(

1−x1+x

)= x2. Halla una expresion de f(x).

6. Estudia si son pares o impares: (a) f(x) = x+sin x1+cos x ; (b) f(x) = x sin x

x2+cos 2x; (c) f(x) = 1+x2

1+sin x .

7. Expresa las funciones F (x) = (x + 1)3 y G(x) = sin (1 + |x|) como composicion de funciones elementales.

8. Estudia cuales de las siguientes funciones son uno-a-uno y, en caso de que exista, calcula su inversa.

(a) f(x) =x

x2 + 1(b) f(x) =

1x3 + 1

(c) f(x) =x + 3x + 5

(d) f(x) =

x3 − 1 , si x < 0x2 , si x ≥ 0

9. Halla el valor de: (a) arccos 12 ; (b) arctan 0; (c) arcsin

(sin 7π

4

); (d) arctan(cos 0).

10. Simplifica las siguientes expresiones: (a) y = cos(arcsinx); (b) y = sin(2 arctanx).

11. Se considera un cırculo de radio r. Expresa:

(a) La longitud de una cuerda en funcion de la distancia desde su punto medio al centro del cırculo.

(b) El perımetro de un triangulo isosceles inscrito en el cırculo en funcion de la longitud del lado desigual(el triangulo debe contener al centro del cırculo en su interior).

Halla el dominio e imagen de cada una de las funciones obtenidas.

12. En su camino hacia la universidad, un estudiante que debe recorrer 25 kilometros se detiene unos minutosa echar gasolina, recordando despues que ha olvidado un trabajo que debe presentar ese dıa. Conduciendomas rapido que de costumbre regresa a casa, recoge el trabajo y continua hasta la universidad. Con elrecorrido realizado, construye una posible grafica de la distancia a casa del estudiante en funcion deltiempo.


13. Se dispone de una cartulina cuadrada de 20 cm de lado con la que se desea construir una caja abierta (sintapa) despues de quitar cuatro cuadrados en las esquinas de lado x y doblar adecuadamente. Expresa elvolumen de la caja obtenida en funcion de x. ¿Cual es el dominio de la funcion?

14. Una recta que pasa por el punto (3, 2) determina con los ejes coordenados un triangulo rectangulo.Expresa la hipotenusa del triangulo en funcion de la longitud del lado situado sobre el eje de abscisas.¿Cual es el dominio de la funcion?

15. El propietario de una finca pretende cercar un recinto rectangular que se encuentra junto al rıo. Disponede 100 metros de cerca y no es necesario cercar el lado que se encuentra a lo largo del rıo.

(a) Expresa el area del recinto en funcion de la longitud x del lado paralelo al rıo. ¿Cual es el dominiode la funcion obtenida?

(b) Representa graficamente la funcion obtenida y estima las dimensiones del recinto que producenmayor area.

16. El precio de cada bloque de cierta materia es proporcional al cuadrado de su peso. Se dispone de unbloque de 20 kg que cuesta 500 e.

(a) Demuestra que si el bloque se rompe en dos trozos, siempre se deprecia.

(b) Calcula para que particion se produce la maxima perdida de valor.

17. Una isla esta situada a 3 km del punto A mas cercano de la costa, que es recta. En la costa, a 10 km delpunto A, hay una central electrica. Se quiere comunicar la isla y la central electrica mediante un cableque conste de una parte submarina, entre la isla y un punto B de la costa (entre el punto A y la central),y una parte subterranea, entre el punto B y la central. El coste de cable submarino es de 20000 e/km,y el de cable subterraneo de 12000 e/km. Encuentra la funcion que da el coste del cable necesario enfuncion de la distancia entre los puntos A y B. ¿Cual es el dominio de dicha funcion?



2.2. Lımites 2.2.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Lımite de una funcion en un puntoSea y = f(x) definida en un entorno del punto a ∈ R (aunque no, necesariamente, en el punto). Se dice que ftiene lımite l en el punto a si f(x) tiende a l cuando x tiende a a, y se indica: f(x) −→

x→al o lim

x→af(x) = l

La existencia de lımite y su valor son independientes de que la funcion este definida en el punto y de su valoren dicho punto.

Lımites laterales

• Se dice que l− es el lımite por la izquierda de f en el punto a si f(x) tiende a l− cuando x tiende a apor su izquierda (con valores menores que a).

• Se dice que l+ es el lımite por la derecha de f en el punto a si f(x) tiende a l+ cuando x tiende a apor su derecha (con valores mayores que a).

Obviamente, existe el lımite de una funcion en un punto si y solo si existen los lımites laterales y coinciden.Cuando la funcion solo esta definida a uno de los lados del punto, se define el lımite como el lımite lateralcorrespondiente.

Lımites infinitos

• Se dice que f tiene lımite +∞ en el punto a si f(x) se hace mayor que cualquier numero positivo cuandox tiende a a.

• Se dice que f tiene lımite −∞ en el punto a si f(x) se hace menor que cualquier numero negativocuando x tiende a a.

Lımites en el infinito: Son los lımites anteriores cuando x tiende a +∞ o cuando x tiende a −∞.

Propiedades de los lımitesSi f y g son dos funciones definidas en un entorno de a (que puede ser un numero real, +∞ o −∞), entonces:

limx→a

(f(x)± g(x)) = limx→a

f(x)± limx→a

g(x) limx→a

kf(x) = k limx→a

f(x)

limx→a

(f(x) · g(x)) = limx→a

f(x) · limx→a

g(x) limx→a

f(x)g(x)

=limx→a f(x)limx→a g(x)

limx→a

(f(x))g(x) =(

limx→a

f(x)) lim

x→ag(x)

siempre que no se presente alguna de las siguientes indeterminaciones:

∞−∞ 0 · ∞ 00

∞∞ 1∞ 00 ∞0

No son indeterminaciones, siendo su valor el indicado en cada caso, las siguientes:

l +∞ = ∞ l · ∞ = ±∞ , si l 6= 0l

∞ = 0l

0= ±∞ , si l 6= 0 l∞ = 0 , si 0 ≤ l < 1

∞+∞ = ∞ ∞ ·∞ = ∞ ∞l

= ±∞ 0∞ = 0 l∞ = ∞ , si l > 1

Ejercicios

1. Calcula, intuitivamente, los siguientes lımites: (a) limx→2

(2x− 1); (b) limx→4

√x (c) lim

x→3x3.

2. Calcula, intuitivamente, los siguientes lımites: (a) limx→0

1x2

; (b) limx→0

1x

.

3. Calcula, intuitivamente, los siguientes lımites: (a) limx→+∞

2x

x + 1; (b) lim

x→−∞(x2 + 1).



2.2. Lımites 2.2.2. CALCULO ELEMENTAL DE LIMITES

Lımites elementales

1. Si P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 es un polinomio de grado n ≥ 1, entonces:

limx→a

P (x) = P (a) y limx→±∞P (x) = lim

x→±∞ anxn = ±∞

donde anxn es el sumando de mayor grado del polinomio, que se llama termino director.

2. El lımite de una funcion racional es:

limx→a

P (x)Q(x)

=P (a)Q(a)

, si Q(a) 6= 0

limx→±∞

P (x)Q(x)

= limx→±∞

anxn + . . . + a1x + a0

bmxm + . . . + b1x + b0= lim

x→±∞anxn

bmxm=

0 , si n < m

an/bm , si n = m

±∞ , si n > m

3. El lımite de una funcion exponencial es:

limx→c

ax = ac limx→+∞ ax =

+∞ , si a > 10 , si 0 < a < 1

limx→−∞ ax =

0 , si a > 1+∞ , si 0 < a < 1

4. El lımite de una funcion logarıtmica es:

limx→c

loga x = loga c , si c > 0

limx→+∞ loga x =

+∞ , si a > 1−∞ , si 0 < a < 1

limx→0

loga x =

−∞ , si a > 1+∞ , si 0 < a < 1

5. Lımites de la forma 1∞ y el numero e:

limx→±∞

(1 +

1x

)x

= e limx→a

(1 +

1α(x)

)α(x)

= e , si α(x) −→x→a

±∞

y como se justificara mas adelante:

limx→a

f(x)g(x) =(1±∞

)= eλ donde λ = lim

x→ag(x)[f(x)− 1]

Ejercicios

1. Calcula los siguientes lımites:

(a) limx→3

x2 − x− 6x− 3

(e) limx→−∞

(x2

x + 1− x3

x2 + 1

)(i) lim

x→+∞ tanhx

(b) limx→−1

x + 1(2x2 + 7x + 5)2

(f) limx→+∞

(√x2 − 1− x + 1

)(j) lim

x→+∞

(1− 1

x

)x

(c) limx→3

2−√x + 1x− 3

(g) limx→0

sinhx (k) limx→+∞

(3x + 23x + 1

)x

(d) limx→+∞

√3x4 − 3x + 1

1− x2(h) lim

x→−∞ coshx (l) limx→1

(x2 + 1x + 1

) 1x−1

2. Calcula los lımites:

(a) limx→0

e1/x (b) limx→0

e1/x2(c) lim

x→0(1 + x)1/x

recurriendo, si es necesario, a los lımites laterales correspondientes.



2.2. Lımites 2.2.3. REGLA DE SANDWICH

Tres teoremas sobre lımites

• Unicidad: Si existe el lımite de una funcion en un punto (finito o infinito), su valor es unico.

• Regla del sandwich:

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) en un entorno de a

limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = l=⇒ lim

x→ag(x) = l

• Teorema:

f acotada en un entorno de a

limx→a

g(x) = 0=⇒ lim

x→af(x)g(x) = 0

Lımites de funciones trigonometricas

limx→a

sinx = sin a limx→a

cosx = cos a limx→a

tanx =

tan a si a 6= π

2 + kπ

no existe si a = π2 + kπ

limx→0

sinx

x= 1 y, en general: lim

x→a

sinα(x)α(x)

= 1 , si α(x) −→x→a

0

Ejercicios


(a) limx→0

sin 2x

x(b) lim

x→0

tanx

x(c) lim

x→0

1− cosx

x(d) lim

x→0

1− cosx

x2

2. Estudia la existencia y calcula el valor, si existe, de los siguientes lımites:

(a) limx→0

cos1x

(b) limx→0

x cos1x

(c) limx→0

xp cos1x

, p > 0



2.2. Lımites 2.2.4. INFINITESIMOS E INFINITOS

Infinitesimos: Se dice que una funcion f es un infinitesimo en x = a si limx→a

f(x) = 0.Dos infinitesimos, f y g, en un mismo punto se dicen comparables cuando existe el lımite de su cociente, yentonces si:

limx→a

f(x)g(x)

=(

00

)=

0 , se dice que f es un infinitesimo de orden mayor que g en x = a

l 6= 0 , se dice que f y g son infinitesimos del mismo orden en x = a

±∞ , se dice que f es un infinitesimo de orden menor que g en x = a

Infinitesimos equivalentes: f y g son infinitesimos equivalentes en x = a ⇐⇒ limx→a

f(x)g(x)

=(

00

)= 1

Tabla de infinitesimos equivalentes

sinx ∼ x ∼ arcsinxtanx ∼ x ∼ arctanx

1− cosx ∼ x2

2ln(1 + x) ∼ x

en x = 0

sinα(x) ∼ α(x) ∼ arcsinα(x)tanα(x) ∼ α(x) ∼ arctanα(x)

1− cosα(x) ∼ α(x)2

2ln(1 + α(x)) ∼ α(x)

cuando α(x) → 0

ln x ∼ x− 1 en x = 1 lnα(x) ∼ α(x)− 1 cuando α(x) → 1

Hallando lımites, en productos y cocientes se pueden sustituir infinitesimos por otros equivalentes.

InfinitosUna funcion f es un infinito en x = a si lim

x→a|f(x)| = +∞, lo que equivale a que 1/f es un infinitesimo en

x = a.Los polinomios y las funciones exponenciales y logarıtmicas, de base mayor que uno, son infinitos en +∞. Alcompararlos, se obtiene:

limx→+∞

ax

P (x)= lim

x→+∞ax

logb x= lim

x→+∞P (x)logb x

= +∞ para cualesquiera a, b > 1

Ejercicios

1. Calcula, usando infinitesimos equivalentes, los siguientes lımites:

(a) limx→1

n√

x− 1m√

x− 1(c) lim

x→0

tan x− sinx

x3(e) lim

x→0

(2

sin2 x− 1

1− cosx

)

(b) limx→0

(cosx)1

sin x (d) limx→1

xα − 1arcsin(x− 1)

(f) limx→∞(x2 + x3) ln

(1 +

1x3

)

2. Demuestra que f(x) = x/2 y g(x) =√

1 + x− 1 son infinitesimos equivalentes cuando x → 0.



2.2. Lımites 2.2.5. ASINTOTAS

AsıntotasSe llama asıntota de una funcion a cualquier recta a la que se acerca indefinidamente su grafica en el infinito.Las asıntotas, como las rectas, pueden ser verticales, horizontales u oblicuas.

• La recta x = a es asıntota vertical de la funcion f si alguno de sus lımites laterales en x = a es +∞ o−∞, es decir, si:

limx→a−

f(x) = ±∞ o limx→a+

f(x) = ±∞

• La recta y = l es asıntota horizontal de la funcion f si alguno de sus lımites en el infinito es l, es decir,si:

limx→−∞ f(x) = l o lim

x→+∞ f(x) = l

• La recta y = mx + n, m 6= 0, es asıntota oblicua de la funcion f si:

limx→−∞ [f(x)− (mx + n)] = 0 o lim

x→+∞ [f(x)− (mx + n)] = 0

Obviamente, una funcion no puede tener en un mismo ”lado” (+∞ o −∞) asıntota horizontal y oblicua.Por tanto, solo se buscan asıntotas oblicuas cuando no las hay horizontales. Para hallar la asıntota oblicuay = mx + n en +∞ se procede como sigue:

m = limx→+∞

f(x)x

=⇒ n = limx→+∞ [f(x)−mx]

siendo necesario, para que exista, que m,n ∈ R y m 6= 0. Analogamente se procede en −∞.

Ejercicios

1. ¿Que condiciones se deben verificar para que una funcion racional tenga asıntotas horizontales u oblicuas?¿Cuales son las asıntotas?

2. Encuentra las asıntotas de las siguientes funciones:

(a) f(x) = ln(x2 − x) (b) f(x) =x + 2

x3 + x2 − 2x(c) f(x) =

x3 + 2(x− 1)2

(d) f(x) = xe1/x



2.2. Lımites EJERCICIOS


(a) El lımite de una funcion en un punto es siempre el valor de la funcion en el punto.

(b) Si una funcion no esta definida en un punto no puede existir el lımite en dicho punto.

(c) El lımite de una funcion en un punto existe siempre que existan los lımites laterales.

(d) Si no existen los lımites de f y g en un punto, no puede existir el lımite de f + g en dicho punto.

(e) Una funcion con asıntota horizontal no puede tener asıntota oblicua.

(f) Una funcion no puede tener dos asıntotas horizontales.

2. Pon un ejemplo de una funcion acotada sin lımite ni lımites laterales en un punto.

3. Justifica, mediante ejemplos adecuados, que 0 · ∞ es una indeterminacion.

4. Si f(x) = x2 − x + 1, encuentra una expresion para g(x) de tal manera que, cuando x → +∞, f(x)/g(x)tenga lımite: (a) −3; (b) 0; (c) +∞; (d) carezca de lımite.

5. Halla el lımite de f(x) cuando x → 1 en cada caso: (a) limx→1f(x)−5

x−3 = 1; (b) limx→1xf(x)(x−1)2

= 1.

6. Halla los lımites laterales, y el lımite si existe, de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

(a) y =x(1 + x)|x| , a = 0 ; (b) y = e

1x−2 , a = 2 ; (c) y = sinh

1x

, a = 0 ; (d) y =e1/x

1 + e1/x, a = 0

7. Halla los siguientes lımites:

(a) limx→0

sin 3x

2x(c) lim

x→0

tan2 3x

4x2(e) lim

x→0

tan 3x2x2 + 5x

(g) limx→1

sin(2x− 2)x3 − 1

(b) limx→0

sinx2

x(d) lim

x→0

1− sec2 2x

x2(f) lim

x→π

sinx

x− π(h) lim

x→0

sin(x + |x|)x2


(a) limx→0

x sin1x

(b) limx→π

(x− π) cos21

x− π(c) lim

x→1|x− 1| sin 1

(x− 1)2


(a) limx→+∞

(2x− 13x + 1

)x

(b) limx→+∞

(x

x2 + 1

)x

(c) limx→−∞

(1− 1

x

)x

(d) limx→+∞

(x2 + 1x2 − 1

)3x2

10. Halla los lımites en +∞ y en −∞ de las funciones y = coshx e y = tanhx.


(a) limx→+∞x sin

1x

(b) limx→+∞

sinx

x2 sin 1x

(c) limx→−∞

sin 2x

x(d) lim

x→−∞x− cosx

x(e) lim

x→+∞x sinx

12. Halla los siguientes lımites: (a) limx→0x

2+sin 1x

; (b) limx→1x√

x−x+√

x−1x−1 ; (c) limx→0

|x|x2+x

.

13. Halla todas las asıntotas de: (a) y = 3x−2√2x2+1

; (b) y = ln(x2 + 3x + 2

); (c) xy + |x| − 2y + 1 = 0.

14. El costo de una llamada telefonica entre dos ciudades es de 0,5e por establecer la conexion mas 0,25epor cada minuto o fraccion.


(a) Encuentra la funcion que da el coste de una llamada de t minutos, y representala graficamente.

(b) ¿Cual es el importe de una llamada que dura alrededor de 5 minutos?

15. El coste, en millones de euros, que supone confiscar el x% de cierta droga viene dado por la funcionC(x) = 500x

100−x , 0 ≤ x < 100.

(a) ¿Cual es el coste de coste de confiscar el 25%, el 50% y el 75% de la droga?

(b) ¿Cual es el lımite de la funcion C(x) cuando x → 100−? Interpreta el resultado.

16. La ecuacion de Einstein afirma que la masa m de un cuerpo es funcion de su velocidad v por la formula

m(v) =m0√

1− v2/c2

donde m0 es la masa del cuerpo en reposo y c = 300.000 km/s es la velocidad de la luz.

(a) Halla el dominio natural de esta funcion.

(b) Halla su lımite cuando la velocidad tiende a la velocidad de la luz, e interpreta el resultado obtenido.

17. El precio por kilo de un determinado producto viene dado, en funcion del numero de kilos que se venden,por la funcion:

p(x) =

ax + 20 , si x ≤ 10

3xx−10 − 6x

x2−18x+80, si x > 10

(a) Halla el valor de a para que no exista una cantidad crıtica de compra (donde el precio del kilo sufraun salto brusco).

(b) Halla el lımite de la funcion cuando x → +∞ e interpreta el resultado.

18. La fabricacion de un determinado producto requiere de una inversion inicial de 1000e y de un coste de1e por litro. En el proceso de puesta en marcha se desechan los 100 primeros litros fabricados.

(a) Obten las funciones de coste total y por litro util despues de fabricar x litros.

(b) Calcula la tendencia del precio por litro si la fabricacion puesta a la venta (despues de los 100 litrosdesechados) es practicamente nula.

(c) Calcula la tendencia del precio por litro si la fabricacion es muy grande.

(d) ¿Cuantos litros hay que fabricar para que el coste del litro sea inferior a 2e? ¿E inferior a 1,01e?

(e) ¿El coste de fabricacion por litro puede ser, en algun momento, inferior a 1e?

19. Una poblacion de bacterias en un ambiente de recursos limitados crece segun la funcion P (t) = 105

4+e−2t .Estudia su evolucion a largo plazo.



2.3. Continuidad 2.3.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Continuidad de una funcion en un puntoSea y = f(x) una funcion definida en un entorno del punto a ∈ R. Se dice que f es continua en a silimx→a

f(x) = f(a).

Tipos de discontinuidadSi una funcion no es continua en un punto se dice que presenta una discontinuidad, que puede ser:

• evitable si existe y es finito el lımite de la funcion en el punto.

• esencial si no existe o es infinito alguno de los lımites laterales de la funcion en el punto.

• de salto si existen y son finitos los dos lımites laterales de la funcion en el punto.

Observacion: Cuando una funcion presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir endicho punto para convertirla en una funcion continua.

Continuidad lateral

• Se dice que f es continua por la izquierda en a si limx→a−

f(x) = f(a)

• Se dice que f es continua por la derecha en a si limx→a+

f(x) = f(a)

Obviamente, una funcion es continua en un punto si y solo si es continua por la derecha y por la izquierda.

Continuidad en intervalosUna funcion es continua en un intervalo cuando lo es en cada uno de los puntos del intervalo, entendiendosecontinuidad lateral en los extremos del mismo (por la derecha en el extremo de la izquierda y por la izquierdaen el extremo de la derecha).

Propiedades de la continuidad

1. Si f y g son dos funciones continua en a, entonces las funciones f ± g y f · g son continuas en a. Ademas,si g(a) 6= 0 la funcion f/g es tambien continua en a.

2. Si f es continua en a y g es continua en f(a), entonces g f es continua en a.

Continuidad de las funciones elementalesDe las propiedades de los lımites y de la continuidad, se puede deducir que todas las funciones elementales soncontinuas en su dominio de definicion.

Ejercicios

1. Estudia en que puntos son continuas y en cuales discontinuas cada una de las siguientes funciones:

(a) f(x) = x2 − 1 (b) f(x) =1x

(c) f(x) = x sin1x

(d) E(x) = bxc

2. Se consideran las funciones f(x) = 1x−1 , g(x) = x−1

|x−1| y h(x) = (x−1)2

|x−1| que no estan definidas en x = 1.¿Se pueden definir en ese punto para que sean continuas?

3. Determina los valores de b y c para que sea continua en toda la recta real la funcion:

f(x) =

x + 1 , si |x− 2| < 1x2 + bx + c , si |x− 2| ≥ 1

4. Estudia la continuidad (clasificando sus discontinuidades) de las siguientes funciones:

(a) f(x) =√

x + 3(x− 1)(1 + 31/x

)(2x2 − 3x + 1)

(b) f(x) =(

1x− 2

− 1|x− 2|

)sinx

x2 + xe

−1|x−1|



2.3. Continuidad 2.3.2. TEOREMAS

Teorema (signo de una funcion continua)Si f es una funcion continua en a y f(a) 6= 0, entonces existe un entorno de a en el que el signo de f(x) coincidecon el signo de f(a).

CorolarioSi f es una funcion continua en a y en todo entorno de a hay puntos donde la funcion toma signo contrario,entonces f(a) = 0.

Teorema de Bolzano

Ox

yf

abb1

‖a1

a2

‖b2

a3

‖b3

6

α

Si f : [a, b] −→ R es continua con f(a)f(b) < 0(signo contrario en los extremos del intervalo),entonces existe α ∈ (a, b) tal que f(α) = 0.

Aplicacion a la existencia y calculo de raıces de una ecuacion: En las ecuaciones, el teorema de Bolzanose puede usar para conocer la existencia de alguna raız que, aplicando el metodo de biparticion seguido en sudemostracion, se puede hallar aproximadamente.

Teorema de Darboux (de los valores intermedios)

Ox

yf

ab

f(a)

f(b)

β

α

Si f : [a, b] −→ R es continua, entonces tomatodos los valores comprendidos entre f(a) y f(b),es decir, para cualquier β comprendido entre f(a)y f(b) existe α ∈ (a, b) tal que f(α) = β.

Teorema de Weierstrass (del maximo-mınimo)

Ox

yf

a bx2

M = f(x2)

x1

m = f(x1)

Toda funcion continua f definida sobre unintervalo cerrado [a, b] alcanza su maximoy su mınimo, es decir, existen x1, x2 ∈ [a, b]tales que:

m = f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) = M

para todo x ∈ [a, b].

Ejercicios

1. Demuestra que la ecuacion x2 + x − 1 = 0 tiene al menos una raız en el intervalo [0, 1]. Hallala con unerror menor que una centesima.

2. Demuestra que la ecuacion ex = 3x tiene al menos una raız, y encuentra un intervalo de longitud 1 quela contenga.

3. Estudia la acotacion y calcula, si existen, los maximos y mınimos de las siguientes funciones en losintervalos que se indican: (a) f(x) = 3

x+2 en [−3, 2]; (b) f(x) = x1+|x| en R; (c) f(x) = e−1/x2

en R.



2.3. Continuidad EJERCICIOS


(a) Una funcion definida en toda la recta es siempre continua.(b) Si f es continua en [a, b] y f(a) < f(b) entonces su imagen es el intervalo [f(a), f(b)].(c) Toda funcion continua esta acotada.(d) Toda funcion continua definida en un intervalo acotado esta acotada.

2. Justifica intuitivamente que si f : [0, 1] −→ [0, 1] es continua, entonces existe c ∈ [0, 1] tal que f(c) = c.

3. Justifica intuitivamente que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raız real.

4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

(a) f(x) =

sin 1

x , si x < 00 , si x ≥ 0

(b) f(x) =

1

x2−1, si x < 0

x− 1 , si x > 0(c) f(x) =

e1/x

1 + e1/x

5. Estudia la continuidad de las funciones: (a) y = cos1x

; (b) y = x cos1x

.

6. Halla el valor de a para que sean continuas: (a) f(x) =

a2x2 , si x ≤ 2(1− a)x , si x > 2

; (b) g(x) =1

ax2 − 2ax + 1.

7. Halla el dominio, estudia la continuidad y clasifica las discontinuidades de las funciones:

(a) f(x) =(x + 1) |x− 2| e1/|x−1|

x3 − x2 − 2x(b) f(x) =

e1

x−3 log(x3 − 4x2 + 4x

)

x− 1

8. Encuentra un intervalo de longitud uno en el que cada una de las siguientes ecuaciones tenga una raız:(a) x3 − x + 5 = 0; (b) x5 + 4x3 − 2x + 2 = 0.

9. Usa el metodo de biparticion para hallar, con un error menor que 0,01, una raız de cada una de lasecuaciones: (a) 2x3 + 5x− 13 = 0; (b) cosx = x.

10. Estudia la acotacion y calcula, si existen, los maximos y mınimos de las siguientes funciones en losintervalos que se indican: (a) f(x) = 1

1+x2 en [0, 5]; (b) f(x) = x + bxc en [−2, 2]; (c) f(x) = ex en R.

11. La tarifa de un parking publico es de 2 euros la primera hora o fraccion y de 1.5 euros las restantes.Expresa el coste total del estacionamiento de un vehıculo en funcion del tiempo de estancia, estudia lacontinuidad de esta funcion e interpreta el resultado.

12. Un escalador comienza, desde el campamento base, la subida a una montana a las 8:00 horas; llega a lacima, pernocta en un refugio, y comienza a descender al dıa siguiente y a la misma hora, por el mismosendero, hasta el campamento. ¿Hay alguna hora a la que estuvo los dos dıas a la misma altura?

13. Un automovil se desplaza de la ciudad A a la ciudad B, y al dıa siguiente hace el camino contrario saliendoy llegando ambos dıas a la misma hora. Prueba que existe un lugar en la carretera por el que ambos dıaspasa a la misma hora.

14. El patrimonio, en miles de euros, acumulado por Juan a lo largo de su vida viene dado por la funcionP (x) = 50

(3 + 3

√x− 27

), donde x es su edad en anos. (a) Si fallecio a los 80 anos, ¿a cuanto ascendio

su herencia? (b) Justifica que, en algun momento, su patrimonio fue de 300.000e. ¿A que edad?

15. La intensidad del campo gravitatorio es una funcion g(r) que depende continuamente de la distancia r alcentro de la Tierra, que vale 9, 8m/s2 en la superficie de la Tierra, que en cada punto de su interior esuna funcion lineal de r, y que, a partir de la superficie, es proporcional a la inversa del cuadrado de r.(a) Encuentra g y representala aproximadamente; (b) ¿Donde es maxima la intensidad del campo? (c)¿A que tiende la intensidad del campo cuando la distancia a la Tierra es muy grande?


3. Derivacion de funciones de una variable

3.1. La derivada 3.1.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Derivada de una funcion en un puntoSea y = f(x) una funcion definida en un entorno del punto a ∈ R. Se dice que f es derivable en a si existe yes finito el lımite

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

= limh→0

f(a + h)− f(a)h

Otras notaciones para la derivada de y = f(x) en a son: y′(a), Df(a), dfdx(a), dy

dx(a), ...

Derivada y continuidadSi una funcion es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. El recıproco no es cierto, puesuna funcion puede ser continua y no derivable en un punto.Observacion: Como consecuencia de lo anterior, si una funcion no es continua en un punto no puede serderivable en dicho punto. Por tanto, antes de estudiar la derivabilidad de una funcion, se debe estudiar lacontinuidad.

Derivadas lateralesLa no existencia de derivada, o del lımite que en ella aparece, se debe con frecuencia a que los lımites lateralesson distintos. En estos casos, como en los que la funcion solo esta definida a uno de los lados del punto, tienesentido definir las derivadas laterales por la derecha y por la izquierda:

f ′(a+) = limx→a+

f(x)− f(a)x− a

= limh→0+

f(a + h)− f(a)h

f ′(a−) = limx→a−

f(x)− f(a)x− a

= limh→0−

f(a + h)− f(a)h

• Una funcion definida en un entorno de un punto es derivable si y solo si existen las derivadas laterales yambas coinciden.

• Cuando existen las derivadas laterales pero no coinciden, la funcion no es derivable. En este caso, lagrafica de la funcion no tiene tangente en el punto, pero sı tiene tangentes laterales y se dice que presentaun punto anguloso.

• Cuando la funcion esta definida en el extremo de su intervalo de definicion, se llama derivada en ese puntoa la derivada lateral correspondiente.

Derivada de una funcion definida a trozos en los puntos cambioSi g y h son derivables en a y g(a) = h(a), entonces:

f(x) =

g(x) , si x ≤ a

h(x) , si x > a=⇒

f ′(a−) = g′(a)f ′(a+) = h′(a)

Ejercicios

1. Halla la derivada de la funcion y = 1/x en x = 1.

2. Estudia la derivabilidad en x = 0 de cada una de las siguientes funciones:

(a) f(x) = x |x| (b) f(x) =

2√

x , si x > 02x3 , si x ≤ 0

(c) f(x) =

x2 + 1 , si x > 0x2 − 1 , si x ≤ 0

3. Estudia la continuidad y derivabilidad en x = 0 de las funciones:

f(x) =

x sin 1

x , si x 6= 00 , si x = 0

g(x) =

x2 sin 1

x , si x 6= 00 , si x = 0

Haz un esbozo de sus graficas.



3.1. La derivada 3.1.2. CALCULO DE DERIVADAS

Funcion derivada. Derivadas sucesivasSe llama funcion derivada a aquella funcion que en cada punto nos da, si existe, el valor de la derivada de f :

x −→ f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)h

Puesto que la funcion derivada es una nueva funcion, se puede volver a derivar para obtener la derivada segunda(o de orden 2) de f , y ası sucesivamente:

f ′′(x) =(f ′

)′ (x) = limh→0

f ′(x + h)− f ′(x)h

; f ′′′ =(f ′′

)′ ; f iv =(f ′′′

)′ ; fv ; fvi ; . . . ; fn) ; . . .

Se dice que f es una funcion de clase n en D si admite y son continuas hasta la derivada de orden n en D.El conjunto de todas las funciones de clase n en D se representa por Cn(D).

Notacion diferencial

y′ = f ′(x) =dy

dx; y′′ = f ′′(x) =

d

dx

(dy

dx

)=

d2y

dx2; y′′′ = f ′′′(x) =

d3y

dx3; . . . ; yn) = fn)(x) =

dny

dxn; . . .

Derivadas de operaciones con funciones

• Operaciones algebraicas:

(kf)′ (x) = kf ′(x) , k ∈ R (fg))′ (x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

(f ± g)′ (x) = f ′(x)± g′(x)(

f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)g(x)2

(1g

)′(x) =

−g′(x)g(x)2

(si g(x) 6= 0)

• Composicion: (g f)′ (x) = g′(f(x))f ′(x) (regla de la cadena)

• Funcion inversa: Si f es invertible y f(y) = x, entonces:(f−1

)′ (x) = 1f ′(y)

Tabla de derivadas elementales

f(x) f ′(x) f(x) f ′(x) f(x) f ′(x)k 0 ln x 1

x arcsinx 1√1−x2

xp (p 6= 0) pxp−1 loga x 1x ln a arccosx −1√

1−x2

n√

x 1

nn√

xn−1sinx cosx arctanx 1

1+x2

ex ex cosx − sinx sinhx coshxax ax ln a tanx 1

cos2 x= 1 + tan2 x coshx sinhx

Formula de Leibniz: y = f(x)g(x) =⇒ yn) =∑n

k=0

(nk

)fn−k)(x)gk)(x) (formula de Leibniz)

Ejercicios

1. Halla todas las funciones derivadas de y = x3 − 2x + 1.

2. Calcula, mientras existan, las derivadas sucesivas de f(x) = |x|3 en x = 0.

3. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

(a) y =x2

(2x− 1)3(c) y = sin2 x (e) y = 3

√1 + x3

1− x3(g) y = esin2 x

(b) y = ln(lnx) (d) y = sin x2 (f) y = ln(1 +

√x)

(h) y = arctan(tan2 x

)

4. A partir de la derivada de y = sinx, obten la derivada de y = arcsinx.

5. Calcula, usando la formula de Leibniz, las tres primeras derivadas de la funcion: y = x4

1−x .

6. Halla la derivada de orden 25 de la funcion y = x2e−x.



3.1. La derivada 3.1.3. DERIVACION IMPLICITA Y LOGARITMICA

Derivacion implıcitaCuando una funcion viene definida implıcitamente, por ejemplo:

x2y + 2xy3 = 3x− 1

su derivada se puede obtener directamente derivando los dos miembros de la expresion anterior. Para ello seusa la regla de la cadena y se tiene en cuenta que, al ser y funcion de x, su derivada es y′. En el ejemplo, alderivar se obtiene:

2xy + x2y′ + 2y3 + 6xy2y′ = 3 =⇒ (x2 + 6xy2)y′ = 3− 2xy − 2y3 =⇒ y′ =3− 2xy − 2y3

x(x + 6y2)

En general, se puede usar la siguiente formula:

f(x, y) = 0 =⇒ df

dx+

df

dyy′ = 0 =⇒ y′ =

− dfdx

dfdy

Derivacion logarıtmicaPara hallar la derivada de una funcion potencio-exponencial y = f(x)g(x) se procede ası:

1. Se toman logaritmos eliminando la potencia: ln y = g(x) ln f(x).

2. Se deriva implıcitamente: y′y = g′(x) ln f(x) + g(x)f ′(x)

f(x) .

3. Se despeja la derivada: y′ =[g′(x) ln f(x) + g(x)f ′(x)

f(x)

]f(x)g(x).

Ejercicios

1. Halla la derivada de y respecto de x en las siguientes expresiones implıcitas:

(a) x2(x− y)2 = x2 − y2 (b) arctany

x= ln

√x2 + y2

2. Halla la derivada segunda de y respecto de x en cada una de las siguientes expresiones implıcitas:

(a) x2 − y2 = 2 (b) y3 − x2 = 4

3. Halla las derivadas de las funciones: (a) y = xsin x; (b) y = 3

√x2

1−x .



3.1. La derivada 3.1.4. INTERPRETACION GEOMETRICA Y FISICA

Interpretacion geometrica de la derivadaLa derivada de f en a es la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en el punto a, que se conoce comopendiente de f en a.

O x

y

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡ f

a x

f(a)

f(x)

x− a

f(x)− f(a)

A

P

s

O x

y

f

a

f(a)A

t

x → a

⇓P → A

⇓secante s → tangente t

⇓

Pendiente de la secante:f(x)− f(a)

x− a−→−→−→ Pendiente de la tangente: lim

x→a

f(x)− f(a)x− a

= f ′(a)

Rectas tangente y normal a una curva

Tangente: y − f(a) = f ′(a)(x− a) Normal: y − f(a) =−1

f ′(a)(x− a) (si f ′(a) 6= 0)

Interpretacion fısica de la derivada. AplicacionesSi x(t) representa el espacio recorrido por un movil en el instante t, su derivada es, como conoces de Fısica, lavelocidad instantanea del movil en dicho instante:

x′(t) = limh→0

x(t + h)− x(t)h

= v(t)

y la derivada de la velocidad es la aceleracion: a(t) = v′(t) = x′′(t).

En general, la derivada de y = f(x) es la velocidad con que varıa y respecto de x.

Ejercicios

1. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grafica de la funcion y =1

x + 2en x = −3.

2. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva x2 + 2xy = y3 en el punto (1,−1).

3. Halla todos los puntos con tangente vertical de la cardioide:(x2 + y2

)3/2 =√

x2 + y2 + x.

4. Determina el angulo que forman las curvas y = 1− x2 e y = x3 + 5 en sus puntos de corte.

5. Halla a, b y c para que sea maximo el orden de contacto de las funciones f(x) = x4 + 2x2 − x + 1 yg(x) = ax2 + bx + c en x = 0. ¿Cual es dicho orden?

6. Un objeto se mueve sobre el eje de abscisas siendo x(t) = t3 − 12t2 + 36t− 27 su posicion en instante t.Describe su movimiento en el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ 9.

7. Un globo esferico se expande creciendo su radio a razon de 2 cm/min. ¿Con que rapidez crece el volumende globo cuando su radio es de 5 cm?

8. Una explosion proyecta hacia arriba diversos escombros con una velocidad inicial de 25 m/s. (a) ¿Encuantos segundos alcanzaran su altura maxima? (b) ¿Cual es esa altura maxima? (c) ¿Cual es suaceleracion cuando alcanzan una altura, subiendo y bajando, de 10 m?

9. Una copa en forma de cono invertido, de 12 centımetros de diametro superior y 9 centımetros de altura,esta llena de agua. La copa pierde agua por el vertice inferior a razon de 2 centımetros cubicos porminuto. ¿A que velocidad esta bajando el nivel del agua en el instante en que tiene 4 centımetros deprofundidad?



3.1. La derivada 3.1.5. LA DIFERENCIAL

Aproximacion de una funcion. La diferencial

Si f es derivable en a, entonces:

f ′(a) = limh→0

f(a + h)− f(a)h

y, por tanto:f(a + h)− f(a) ' f ′(a)h cuando h ' 0

de donde, llamando x a a + h, se obtiene la formulapara obtener valores aproximados:

f(x) ' f(a) + f ′(a)(x− a) cuando x ' a O x

y

f

a

f(a)

a+hh

f(a+h)f ′(a)h

d t

Se llama diferencial de la funcion f en a a la funcion lineal:

df : R −→ Rh −→ df(h) = f ′(a)h

cuya representacion grafica es la recta d que pasa por el origen y es paralela a la tangente a la grafica de f ena (vease figura).

El metodo de Newton-Raphson para el calculo de raıcesEs un metodo iterativo para el calculo aproximado de raıces de una ecuacion f(x) = 0, y se ilustra en la figura:

O x

y f

x1

¿¿

¿¿

¿¿

¿¿

¿

x2

##

##

##

##

x3

α

O x

yf

x1

£££££££££x2

¶¶

¶¶

¶¶¶

x3α

Para aproximar la raız α de la ecuacion f(x) = 0, se parte de un punto proximo x1 y se construye la sucesionx1, x2, x3, . . . donde xn+1 es el punto de corte con el eje de abscisas de la tangente a la grafica de f en x = xn,es decir:

y − f(xn) = f ′(xn)(x− xn) =⇒y=0

xn+1 = xn − f(xn)f ′(xn)

La sucesion converge muy rapidamente a la raız siempre que, como en los casos de la figura, se cumpla quef(x)f ′′(x) > 0 en (α, x1) o en (x1, α).

Ejercicios

1. Usando la funcion f(x) =√

x, halla un valor aproximado de√

102.

2. La funcion t = f(x) = 5700 log2x

100 da la antiguedad en anos de un fosil a partir de la proporcion x (entanto por ciento) de carbono 14 que contiene. (a) ¿Cual es la antiguedad de un fosil que contiene un25% de carbono 14?; (b) Si un fosil tiene un 1% mas de carbono 14 que otro, ¿cuanto mas antiguo esaproximadamente?

3. Los beneficios acumulados por una empresa a los t anos de su fundacion vienen dados por B(t) = 2t2

t+4 −4,en miles de euros. Usa la derivada para hallar los beneficios aproximados de la empresa durante el anodoceavo despues de su fundacion.

4. Usa el metodo de Newton-Raphson para hallar un valor aproximado de la raız positiva de la ecuacionx2 − 3 = 0.



3.1. La derivada EJERCICIOS


(a) Una funcion continua en un intervalo es derivable en todos sus puntos del interior.

(b) Una funcion es derivable en un punto si es continua y existen sus derivadas laterales en el punto.

(c) Si una funcion es continua en un punto, entonces es derivable en el punto.

(d) Si una funcion es derivable en un punto, entonces es continua en el punto.

(e) La funcion derivada es siempre continua.

(f) Los polinomios admiten infinitas derivadas.

(g) Si una funcion es derivable infinitas veces, entonces es un polinomio.

2. Demuestra que si (x− a)2 es un factor del polinomio p(x), entonces x− a es un factor de p′(x).

3. Halla las derivadas de las funciones hiperbolicas (seno, coseno y tangente).

4. Usando la formula de la derivada de la funcion inversa, halla la derivada de las siguientes funciones:y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx, y = arcsinhx, y = arccoshx e y = arctanhx.

5. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en el punto que se indica:

(a) f(x) = 3√|x| , en x = 0 (b) f(x) =

x2 , si x < 13x− 2 , si x ≥ 1

, en x = 1

6. Halla la funcion derivada, y estudia su continuidad, de:

f(x) =

x + x2 sin 1

x , si x 6= 00 , si x = 0

g(x) =∣∣1− x2

∣∣ h(x) =∣∣x3 − 4x

∣∣

7. Determina los parametros para que sean derivables las funciones:

f(x) =

ln x , si 0 < x ≤ 1ax2 + bx + c , si 1 < x ≤ 33− x , si x > 3

g(x) =

x2 , si 0 ≤ x ≤ 2ax + b , si 2 < x ≤ 4

8. Deriva simplifica: (a) y =√

x + 1 arccos(x + 1); (b) y = 2x arctanx− ln√

1 + 4x2; (c) y = ln 1+2 tan x2+tan x .

9. Halla la derivada de y respecto de x en: (a) x2 + 2xy − y2 = 2x; (b) x + sin y = xy; (c)√

x +√

y = 1.

10. Halla la derivada segunda de y respecto de x en: (a) 7x + 5y2 = 1; (b) 4x2 − 3y2 = 9.

11. Halla la derivada de la funcion y = (1 + x)ln(1+x).

12. Halla la ecuacion de la recta tangente a las siguientes curvas en el punto que se indica: (a) x2 + y2 = 13en (−2, 3); (b)

(x2 + y2

)2 = 4x2y en (1, 1); (c) sin(x − y) = xy en (0, π); (d) 2x3 + 2y3 − 9xy = 0 en(2, 1).

13. Estudia el movimiento de un objeto que se mueve, a partir del instante t = 0, sobre un eje donde suposicion viene dada en cada instante por la ecuacion: (a) x(t) = t3−3t2+3t; (b) x(t) = t4−4t3+6t2−6t−5.

14. Un barco navega por el oceano con rumbo sur y direccion hacia puerto a una velocidad de 40 km/h. Otrobarco se aleja del puerto en direccion oeste a una velocidad de 20 km/h. Al mediodıa, el primer barco sehalla a 150 km del puerto y el segundo a 65 km. ¿A que ritmo cambia la distancia entre los dos barcos?Comprueba si se acercan o se alejan entre sı.


15. Una partıcula se mueve sobre la curva y = cos(1 + 2x), siendo su abscisa x(t) = t2 + 1 en el instante detiempo t. ¿Con que velocidad se desplaza en las direcciones horizontal y vertical en t = 2?

16. Se deja caer una piedra desde una altura de 500 m. ¿Cuantos segundos tardara en alcanzar el suelo?¿Cual es su velocidad en el momento del impacto?

17. La superficie total de un cilindro circular recto de radio r y altura h viene dada por la formula A =2πr(r + h). Halla la velocidad de variacion de: (a) A respecto de h cuando r permanece constante; (b)A respecto de r cuando h permanece constante; y (c) de h respecto de r cuando A permanece constante.

18. La arista de un cubo decrece a una velocidad de 3 cm/s. ¿Como cambia el volumen del cubo cuando laarista mide 10 cm.?

19. Un balon se infla de tal forma que su volumen crece a razon de 36π cm3/s. Halla la velocidad de crecimientode radio cuando mide 3 cm.

20. Una partıcula se mueve en la orbita circular x2 + y2 = 1. Cuando pasa por el punto(

12 ,√

32

)su ordenada

disminuye a razon de 3 unidades por segundo. ¿Con que rapidez varıa su abscisa?

21. Una nave espacial se lanza verticalmente, siendo h = 15t2 metros su altura a los t segundos del lanza-miento. Para un observador que se encuentra a un kilometro del lugar del lanzamiento, ¿a que ritmocambia el angulo de elevacion de la nave 10 segundos despues del despegue?

22. Un deposito con forma de cono invertido se llena a razon de 250 l/min. La altura del deposito es de 7, 5m y el radio de la parte superior de 3, 5 m ¿Con que rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidades de 5 m? ¿Y cuando el agua se desborda?

23. En un lago en calma se deja caer una piedra que provoca ondas circulares. Si el radio del cırculo exterioraumenta a una velocidad de 0, 2 m/s, ¿a que velocidad cambia el area de la region perturbada cuando elradio es de 2 m?

24. Un hombre de 1, 80 m de altura camina a 1 m/s alejandose de una farola cuya luz esta a 6 m de altura.(a) ¿A que velocidad se mueve el extremo de su sombra?; (b) ¿A que velocidad cambia la longitud desu sombra?

25. La cantidad de cafeına en sangre, en miligramos por centımetro cubico, a las t horas de haber ingeridoun cafe, viene dada por la funcion c(t) = 1√

t2+1. ¿Cual es la velocidad de eliminacion de la cafeına a la

hora de haber ingerido el cafe? ¿Y a las cinco horas? ¿Como evoluciona la velocidad con el tiempo?

26. La funcion f(x) = 1x cambia de valor cuando x pasa de valer 0, 5 a valer 0, 6. Calcula: (a) el incremento

exacto ∆f que se produce en el valor de la funcion; (b) el valor de la diferencial df en 0, 5 con unincremento h = ∆x = 0, 1; (c) el error cometido al estimar ∆f mediante df .

27. Estima, mediante diferenciales, los valores de las siguientes expresiones: (a) 3√

1010; (b) 333/5.

28. El diametro de una bola de acero mide 16 cm con un error maximo de 0, 3 cm. Calcula mediantediferenciales el error maximo cometido en el calculo de su superficie (S = 4πr2) y en el calculo de suvolumen (V = 4

3πr3).

29. Un avion se desplaza en vuelo horizontal a 8 km de altura (se supone la Tierra plana). La ruta de vuelopasa por la vertical de un punto P del suelo. La distancia entre el avion y el punto P disminuye a razon de4 km/min en el instante en que esta distancia es de 10 km. Calcula la velocidad del avion en ese instante(en km/h).

30. Aplicando el metodo de Newton-Raphson a partir del punto que se indica, halla una raız aproximada decada una de las siguientes ecuaciones, justificando la aproximacion obtenida.

(a) x3 − 4x + 1 = 0 , x1 = 2 (b) cosx = x , x1 = 1



3.2. Propiedades locales y optimizacion3.2.1. PROPIEDADES LOCALES

Crecimiento local y extremos relativos

• f ′(a) > 0 =⇒ f es creciente en a • f ′(a) < 0 =⇒ f es decreciente en a

• f ′(a) = 0 y f ′(x) > 0 antes y despues de a =⇒ f es creciente en a

• f ′(a) = 0 y f ′(x) < 0 antes y despues de a =⇒ f es decreciente en a

• f ′(a) = 0 y

f ′(x) > 0 antes de a

f ′(x) < 0 despues de a=⇒ f tiene un maximo relativo en a

• f ′(a) = 0 y

f ′(x) < 0 antes de a

f ′(x) > 0 despues de a=⇒ f tiene un mınimo relativo en a

Los puntos donde se anula la derivada primera se llaman puntos crıticos.

Criterio de la derivada segunda para extremos relativos: Si f ′(a) = 0 (punto crıtico), entonces:

• f ′′(a) < 0 =⇒ f tiene maximo relativo en a • f ′′(a) > 0 =⇒ f tiene mınimo relativo en a

Intervalos de crecimientoLos intervalos de crecimiento son aquellos en que queda dividido el dominio de la funcion por sus puntos crıticosy los puntos donde no es derivable.

Extremos absolutos de una funcionPara hallar los extremos absolutos de una funcion hay que comparar los extremos relativos con sus valores enlos puntos donde no es derivable y en los extremos del dominio (o su lımite si no esta definida en ellos).

Definicion

• Una funcion es convexa en un punto si su grafica esta por encima de la tangente en dicho punto.

• Una funcion es concava en un punto si su grafica esta por debajo de la tangente en dicho punto.

• Una funcion tiene un punto de inflexion en un punto si su grafica esta por encima de la tangente endicho punto a un lado del punto y por debajo al otro.

Concavidad, convexidad y puntos de inflexion

• f ′′(a) > 0 =⇒ f es convexa en a

• f ′′(a) < 0 =⇒ f es concava en a

• f ′′(a) = 0 y

f ′′(x) > 0 alrededor de a =⇒ f es convexa en a

f ′′(x) < 0 alrededor de a =⇒ f es concava en a

f ′′(x) cambia de signo al pasar por a =⇒ f tiene un punto de inflexion en a

Condicion suficiente para punto de inflexionSi f ′′(a) = 0 y f ′′′(a) 6= 0, la funcion f tiene un punto de inflexion en a.

Intervalos de concavidadLos intervalos de concavidad son aquellos en que queda dividido el dominio de la funcion por los puntos dondesu derivada segunda se anula o no existe.

Ejercicios

1. Estudia el crecimiento y halla los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones:

(a) f(x) = x3 + 3x2 − 1 (b) f(x) = ln√

2x3 + 3x2 (c) f(x) =

|x| , si −2 ≤ x ≤ 1x + 3 , si 1 < x ≤ 2

2. Estudia la concavidad y halla los puntos de inflexion de las funciones del ejercicio anterior.



3.2. Propiedades locales y optimizacion 3.2.2. GRAFICAS

Representacion grafica de funcionesPara obtener una buena representacion grafica de una funcion y = f(x) se deben estudiar todos o algunos delos siguientes epıgrafes:

1. Dominio, periodicidad y simetrıas.

2. Puntos de corte con los ejes.

3. Asıntotas.

4. Crecimiento y extremos relativos.

5. Concavidad y puntos de inflexion.

Ejercicios

1. Representa graficamente las siguientes funciones:

(a) f(x) = x3 + 3x2 − 1 (b) f(x) = ln√

2x3 + 3x2 (c) y =x2(x− 1)(x + 1)2

(d) y = x2e−x



3.2. Propiedades locales y optimizacion 3.2.3. OPTIMIZACION

Problemas de optimizacionUna aplicacion muy importante del calculo de derivadas es la resolucion de problemas de optimizacion, es decir,problemas relativos a hallar un extremo absoluto (maximo o mınimo) de una funcion en un cierto dominio.

Ejercicios

1. Con una plancha de carton rectangular de 3 metros de larga y 2 metros de ancha se desea construir unauna caja sin tapa de volumen maximo. Halla las dimensiones de la caja.

2. Se desea construir un recipiente cerrado en forma de cilindro con capacidad para un litro. Calcula lasdimensiones del que tiene area total mınima.

3. La suma de dos numeros no negativos es 36. Halla dichos numeros si: (a) la diferencia entre sus raıcescuadradas positivas es lo mayor posible; (b) la suma de sus raıces cuadradas positivas es lo mayor posible.

4. Determina la mınima distancia entre la recta y = x− 3 y la parabola y = x2.

5. Halla la longitud de la escalera mas larga que puede transportarse horizontalmente a traves de un pasilloen forma de angulo recto, si la anchura del pasillo a un lado del angulo es 1 metro y al otro 2 metros.

6. Dos vıas de tren, 1 y 2, son perpendiculares entre sı y se cortan en el punto C, tal y como se indica enla figura:

r

r

A C

B

vıa 1

vıa 2 En la vıa 1 esta la ciudad A y en la vıa 2, la ciudad B. Ambas seencuentran a una distancia de 100 km de C. Dos trenes salensimultaneamente de A y de B en direccion hacia C y con velocidadesconstantes de 30 km/h y de 50 km/h, respectivamente.

(a) Al cabo de 3 horas de haber salido, ¿cuales son las coordenadas de las posiciones de los trenes(tomando como origen y ejes los del dibujo)? ¿Cual es la distancia entre ellos?

(b) ¿Cual es la distancia que separa los trenes en funcion del tiempo transcurrido desde la salida?

(c) ¿En que instante de tiempo la distancia entre los dos trenes es mınima y cual es dicha distancia?

7. Demuestra que ex ≥ 1 + x, para todo numero real x.



3.2. Propiedades locales y optimizacion EJERCICIOS

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones sobre una funcion f infinita-mente derivable en un intervalo:

(a) Entre dos subintervalos sucesivos con crecimiento distinto hay un extremo relativo.(b) Si f es par, entonces f tiene un extremo relativo en x = 0.(c) Si f tiene un maximo relativo entonces alcanza el maximo absoluto en el intervalo.(d) Si f tiene un unico extremo relativo que es mınimo alcanza el mınimo absoluto en dicho intervalo.(e) Si f alcanza un maximo relativo en a, entonces f ′(a) = 0 y f ′′(a) < 0.(f) Si f es convexa entonces f ′ es creciente.(g) Entre dos subintervalos sucesivos con concavidad distinta hay un punto de inflexion.(h) Si f tiene un punto de inflexion en a, entonces f ′′(a) = 0 y f ′′′(a) 6= 0.(i) Si f tiene un punto de inflexion en a, entonces f ′(a) = f ′′(a) = 0.

2. Encuentra los extremos absolutos de las funciones:

(a) f(x) =

x + 2 , si −1 ≤ x < 0x3 − 12x + 2 , si 0 ≤ x ≤ 3

(b) f(x) = x2/3(x− 1)4 , 0 ≤ x ≤ 2

3. Halla los extremos locales de la funcion f(x) = x1+x2 , y prueba que son absolutos.

4. Representa graficamente las siguientes funciones:

(a) y =x

x2 − 4x + 3(c) y = xe−x2

(e) y =x− 2√x2 + 1

(g) y = ln(x3 − 3x + 2)

(b) y =x3

x2 − 1(d) y = x2e1/x (f) y =

x

lnx(h) y = 3

√x2(1− x)

5. Determina las dimensiones del bote cilındrico cerrado de volumen V cuya superficie lateral es mınima.

6. Determina las dimensiones del cilindro cerrado de area A cuyo volumen es maximo.

7. Se quiere construir una caja rectangular abierta a partir de una pieza de carton de dimensiones a y b,a ≤ b. Para ello se corta en cada una de las esquinas un cuadrado y se doblan hacia arriba las solapasresultantes. ¿Cual debe ser el lado del cuadrado que se corta para que la capacidad de la caja sea maxima?

8. Determina las dimensiones del rectangulo de area maxima que puede inscribirse en un triangulo rectangulode lados 3, 4 y 5, con un lado apoyado sobre la hipotenusa.

9. Un faro esta situado 3 km mar adentro, directamente enfrente de un punto A de la costa que es recta.En la costa, a 5 km del punto A, hay un almacen. El farero puede remar en su bote a 4 km/h y puedecaminar a 6 km/h. ¿Hacia que punto de la costa debe el farero dirigir su bote para llegar al almacen loantes posible?

10. La tangente por un punto P del primer cuadrante, a la grafica de la funcion f(x) = e−x, determinaun triangulo rectangulo con los ejes coordenados. Halla el punto P para el cual el area del triangulo esmaxima.

11. Halla la altura y el radio del cilindro circular recto de mayor volumen contenido en la esfera de radio√

3.

12. Una pista de atletismo se construye anadiendo semicırculos en dos lados opuestos de un rectangulo.Encuentra las dimensiones de la pista de 400 metros que encierra area maxima.

13. Un punto material recorre la parabola y = x2−7. Encuentra la posicion, o posiciones, en que la distanciadel punto al origen es mınima.

14. Demuestra quex

1 + x≤ ln(1 + x) ≤ x, para todo x ≥ 0.



3.3. Teoremas de valor medio y aplicaciones 3.3.1. TEOREMAS

Teorema de RolleSi f es continua en [a, b], derivable en (a, b)y f(a) = f(b), entonces existe α ∈ (a, b) talque f ′(α) = 0.

O x

y

fM

α

f(a) = f(b)

a b

Teorema de CauchySi f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe α ∈ (a, b) tal que:

[f(b)− f(a)] g′(α) = [g(b)− g(a)] f ′(α)

Ademas, si g(a) 6= g(b) y las derivadas de f y g no se anulan simultaneamente en ningun punto de (a, b), sepuede escribir:

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(α)g′(α)

Teorema de valor medio

Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b),entonces existe α ∈ (a, b) tal que:

f(b)− f(a) = f ′(α)(b− a)

O x

yf

a b

´´

´´

´

´´

´´

´

α

θ

Corolario 1Si f es derivable en el intervalo I y f ′(x) = 0 para todo x ∈ I, entonces f es constante en I.

Corolario 2Si f y g son derivables en I y f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ I, entonces f − g es constante en I.

Ejercicios

1. Aplica, si es posible, el teorema de Rolle a las siguientes funciones en el intervalo que se indica:

(a) f(x) =x2 − 4x

x + 2en [0, 4] (b) f(x) = 3

√(x− 1)2 en [0, 2]

2. Demuestra que la ecuacion x5 + 5x− 3 = 0 tiene exactamente una raız real.

3. Aplica, si es posible, el teorema de Cauchy a f(x) = x2 − 1 y g(x) = x3 en el intervalo [1, 3].

4. Comprueba que las siguientes funciones satisfacen las condiciones del teorema de valor medio en elintervalo que se indica, y encuentra el punto cuya existencia asegura el teorema:

(a) f(x) = 2x2 + 1 , en [0, 2] (b) f(x) = x3 + x , en [1, 2] (c) f(x) = x4 + 2 , en [−1, 2]

5. Un coche pasa a 100 km/h por un radar, y 1 minuto despues pasa por otro radar, situado a 2,5 km, a110 km/h. Un guardia lo para y se dirige al coche. ¿Lo multara por exceso de velocidad (el lımite es de120 km/h)?



3.3. Teoremas de valor medio y aplicaciones 3.3.2. L’HOPITAL

Regla de L’HopitalSean f y g dos funciones derivables en un entorno reducido de a (que puede ser finito o infinito) con g′(x) 6= 0cerca de a. Si lim

x→af(x) y lim

x→ag(x) son simultaneamente 0 o ±∞, entonces,

limx→a

f(x)g(x)

=(

00

o∞∞

)= lim

x→a

f ′(x)g′(x)

siempre que este ultimo lımite exista.

Ejercicios

1. Halla, aplicando la regla de L’Hopital, los siguiente lımites:

(a) limx→0

x− tanx

x3(c) lim

x→∞x lnx− 1x + 1

(e) limx→∞(1 + x)1/x (g) lim

x→0

esin x − 1x

(b) limx→0

ln tan 2xln tanx

(d) limx→0

(1x− cotx

)(f) lim

x→0+xx (h) lim

x→0

sin ax

sin bx

2. En el calculo de los dos siguientes lımites se ha aplicado incorrectamente la regla de L’Hopital:

limx→∞

2x− sinx

2x + sinx=

(∞∞

)H= lim

x→∞2− cosx

2 + cosx

H= limx→∞

sinx

− sinx= −1

limx→0

x2 sin 1x

sinx=

(00

)H= lim

x→0

2x sin 1x − cos 1

x

cosx= lim

x→0

0− cos 1x

1= − lim

x→0cos

1x

no existe

Encuentra el motivo de su mala aplicacion, y hallalos correctamente sin aplicar la regla de L’Hopital.

3. Para la funcion

f(x) =

e−1/x2

, si x 6= 00 , si x = 0

(a) Obten f ′ y f ′′.

(b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y f ′.

(c) Dibuja su grafica.



3.3. Teoremas de valor medio y aplicaciones 3.3.3. TAYLOR

Polinomio de TaylorSi f es una funcion derivable n veces en a, se llama polinomio de Taylor de orden n de la funcion f en a alpolinomio:

P an (x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +

f ′′(a)2!

(x− a)2 + . . . +fn)(a)

n!(x− a)n =

n∑

k=0

fk)(a)k!

(x− a)k

Termino complementario o resto de LagrangeEs la diferencia entre la funcion y el polinomio de Taylor:

f(x)− P an (x) = Tn(x) =

fn+1)(α)(n + 1)!

(x− a)n+1 , con α entre a y x

Formula de Taylor:

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + . . . +

fn)(a)n!

(x− a)n

︸︷︷︸polinomio de Taylor

+fn+1)(α)(n + 1)!

(x− a)n+1

︸︷︷︸resto de Lagrange

, con α entre a y x

con α entre a y x.

Formula de McLaurin

f(x) = f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2!x2 + . . . +

fn)(0)n!

xn

︸︷︷︸polinomio de McLaurin

+fn+1)(α)(n + 1)!

xn+1

︸︷︷︸resto de Lagrange

, con α entre 0 y x

Ejercicios

1. Halla el polinomio de Taylor de orden 2 de f(x) = tan x en x = π/4. Usalo para hallar un valoraproximado de tan π

3 y acota el error cometido.

2. Halla el polinomio de McLaurin de orden 3 de f(x) = ex. Usalo para hallar un valor aproximado delnumero e y acota el error cometido.



3.3. Teoremas de valor medio y aplicaciones EJERCICIOS


(a) Si f es continua en [a, b] y f(a) = f(b), su derivada se anula en un punto interior.

(b) Si f es continua y derivable en (a, b) con f(a) = f(b), su derivada se anula en un punto interior.

(c) Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) 6= f(b), entonces f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b).

(d) Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b), y f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f(a) 6= f(b).

(e) El lımite de una funcion coincide con el lımite de su derivada.

(f) Una funcion coincide con su polinomio de Taylor en las proximidades del punto.

2. Estudia si se puede aplicar el teorema de Rolle a las siguientes funciones en los intervalos que se indican.En caso afirmativo, encuentra el punto cuya existencia asegura el teorema.

(a) f(x) = |x| , en [−1, 1] (b) f(x) = sin2 x , en[−π

2,π

2

](c) f(x) =

−x si x ≤ 0x2 si x > 0

, en [−1, 1]

3. Demuestra que la ecuacion 3x4 − 24x + 1 = 0 no tiene mas de dos raıces reales distintas.

4. Comprueba que las siguientes funciones satisfacen las condiciones del teorema de valor medio en elintervalo que se indica, y encuentra el punto cuya existencia asegura el teorema:

(a) f(x) =√

x , en [1, 4] (b) f(x) =1

x + 1, en [0, 2] (c) f(x) = cos x , en

[0,

π

2

]


(a) limx→0

tanx− x

x− sinx(c) lim

x→π/2

cosec 2x

1 + tanx(e) lim

x→1

(1

ln x− 1

x− 1

)(g) lim

x→0(1 + x)

1x

(b) limx→0+

ln(ex − 1)lnx

(d) limx→0

coshx− cosx

x2(f) lim

x→+∞x

(tan

a

x− tan

b

x

)(h) lim

x→0

(arcsinx

x

)1/x2

6. Halla las dos primeras derivadas, en x = 0, de la funcion: f(x) =

sin x

x , si x 6= 01 , si x = 0

7. Halla los tres primeros terminos del desarrollo de Taylor de:

(a) f(x) =1x

, en x = −1 (b) f(x) = ln cosx , en x =π

3(c) f(x) =

2x + 1x(x + 1)

, en x = 1

8. Obten el desarrollo de McLaurin de orden 3 de la funcion f(x) = sinx.

9. Halla el polinomio de Taylor de orden 4 de f(x) = lnx en un entorno del punto x = 1. Halla una cotadel error cometido al hallar ln 3

2 usando dicho polinomio.

10. Halla√

e a partir del polinomio de Taylor de orden 3 de la funcion f(x) =√

x en x = 1, y acota el errorcometido.

11. Halla 3√

30 a partir del polinomio de Taylor de orden 2 de f(x) = 3√

x en un entorno del punto x = 27, yacota el error cometido.

12. Un avion despega a las 10:00 horas para realizar un vuelo de 3000 km. Si llego a su destino a las 15:00horas, justifica que hay al menos dos instantes en que su velocidad fue de 500 km/h.


4. Integracion de funciones de una variable

4.1. La integral de Riemann 4.1.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN

Si f : [a, b] −→ R es una funcion acotaday positiva, la integral de Riemann calculael area del recinto:

R(f ; a, b) = (x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)O

y

x

f

a b

R(f ; a, b)

Particiones de un intervaloax0 x1 x2 x3 · · · xi−1 xi · · · xn−1

bxn

P = (a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b) , n ≥ 1

δ(P ) = max x1 − x0, x2 − x1, . . . , xn − xn−1

Sumas de RiemannSe definen las sumas inferior y superior de Riemann de una funcion acotada f : [a, b] −→ R asociadas ala particion P = (a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b) como:

s(f, P ) = m1(x1 − x0) + m2(x2 − x1) + . . . + mn(xn − xn−1) =n∑

i=1

mi(xi − xi−1)

S(f, P ) = M1(x1 − x0) + M2(x2 − x1) + . . . + Mn(xn − xn−1) =n∑

i=1

Mi(xi − xi−1)

donde mi y Mi son, respectivamente, el ınfimo y el supremo de f en el subintervalo [xi−1, xi], 1 ≤ i ≤ n.

O

y

xax0 x1 x2. . . xi−1 xi . . . xn

b

s(f, P ) =n∑

i=1

mi(xi − xi−1)

O

y

xax0 x1 x2. . . xi−1 xi . . . xn

b

S(f, P ) =n∑

i=1

Mi(xi − xi−1)

Integral de RiemannSe dice que una funcion acotada f : [a, b] −→ R es integrable Riemann (o, simplemente, integrable)cuando el supremo de las sumas inferiores coincide con el ınfimo de las sumas superiores, y se representa por:

∫ b

af(x) dx = sup

Ps(f, P ) = inf

PS(f, P ) = lim

δ(P )→0

n∑

i=1

f(αi)(xi − xi−1)

Funciones integrablesSon funciones integrables sobre [a, b]: las funciones monotonas, las funciones continuas, y las funciones acotadascon un numero finito (o incluso infinito numerable) de discontinuidades.

Ejercicios

1. Usando sumas de Riemann, calcula:∫ 10 x2dx.

2. Demuestra que no es integrable sobre [0, 1] la funcion: f(x) =

1 , si x ∈ Q0 , si x /∈ Q

3. Evalua, mediante integrales, los siguientes lımites:

(a) limn→+∞

(1n2

+2n2

+ . . . +n− 1n2

)(b) lim

n→+∞

(n

n2 + 12+

n

n2 + 22+ . . . +

n

n2 + n2

)



4.1. La integral de Riemann 4.1.2. TEOREMA FUNDAMENTAL

Propiedades de la integral

•∫ b

aλf(x) dx = λ

∫ b

af(x) dx •

∫ b

a(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

af(x) dx +

∫ b

ag(x) dx

• f(x) ≤ g(x) =⇒∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx • m ≤ f(x) ≤ M =⇒ m(b− a) ≤

∫ b

af(x) dx ≤ M(b− a)

•∣∣∣∣∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a|f(x)| dx • a < c < b =⇒

∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx

Observacion: Segun lo definido, la integral∫ ba f(x) dx requiere que a < b. Sin embargo, siendo compatibles

con la ultima propiedad de la integral, se puede extender a otros casos como sigue:∫ a

bf(x) dx = −

∫ b

af(x) dx

∫ a

af(x) dx = 0

Interpretacion geometrica de la integral

O

y

x

f

R

a b

∫ ba f(x) dx = A(R)

A(R) =∫ ba f(x) dx

O

y

x

f

R

a b

∫ ba f(x) dx = −A(R)

A(R) = − ∫ ba f(x) dx

O

y

x

f

R+

R−ab

c

∫ ba f(x) dx = A(R+)−A(R−)

A(R) = A(R+) + A(R−) =

=∫ ca f(x) dx− ∫ b

c f(x) dxTeorema fundamental del CalculoSea f : [a, b] −→ R una funcion continua y F : [a, b] −→ R la funcion area barrida:

F (x) =∫ x

af(t) dt

Entonces, F es continua y derivable en [a, b] con

F ′(x) = f(x), para todo x ∈ [a, b]O

y

t

f

a x

F (x)

b

CorolarioSean I y J intervalos, f : I −→ R una funcion continua, y u, v : J −→ I dos funciones derivables. Entonces

F (x) =∫ v(x)

u(x)f(t) dt es derivable y F ′(x) = f(v(x))v′(x)− f(u(x))u′(x)

Ejercicios

1. Estudia la derivabilidad, y halla la derivada, de: (a) F (x) =∫ x2

0t sin 2t dt; (b) F (x) =

∫ sin x

x2+1

dt

1 + t2.

2. Sea f una funcion continua tal que∫ x

0tf(t) dt = x sinx− cosx. Calcula f(π/2) y f ′(π/2).

3. Halla los maximos y mınimos, relativos y absolutos, de la funcion: F (x) =∫ x

0t5e−t2 dt, −1 ≤ x ≤ 1.



4.1. La integral de Riemann 4.1.3. REGLA DE BARROW

Primitiva o antiderivadaUna funcion F se llama primitiva o antiderivada de f en D ⊂ R si F ′(x) = f(x), para todo x ∈ D.

Observacion: Dos primitivas de una misma funcion en un intervalo se diferencian en una constante, es decir:

F ′(x) = G′(x) para todo x ∈ I (intervalo) =⇒ F (x)−G(x) = c, c ∈ R, para todo x ∈ I

Regla de BarrowSi f : [a, b] −→ R es continua y Φ es una primitiva de f en [a, b], entonces

∫ b

af(x) dx = [Φ(x)]ba = Φ(b)− Φ(a)

Teorema de valor medio integral

Si f : [a, b] −→ R es una funcion continua, entoncesexiste α ∈ (a, b) tal que:

∫ b

af(x) dx = f(α)(b− a)

El valor f(α) se llama valor medio de f en [a, b]. O

y

x

f

a

F (x)

bα

f(α)

Valor medio de una funcion continuaSe llaman valor medio y valor medio cuadratico, respectivamente, de la funcion f en el intervalo [a, b] a:

V M(f, [a, b]) =1

b− a

∫ b

af(x) dx V MC(f, [a, b]) =

(1

b− a

∫ b

af2(x) dx

)1/2

Ejercicios

1. Halla las siguientes integrales e interpreta geometricamente el resultado obtenido:

(a)∫ π

0sinx dx (b)

∫ 2

0x(x− 2) dx (c)

∫ 2

−1x3 dx

2. Halla el valor medio y el valor medio cuadratico de la funcion f(x) = x2 en el intervalo [0, 2].

3. Un fabricante de fertilizantes encuentra que sus ventas siguen la siguiente funcion:

V (t) = 100000[1 + sen

2π(t− 60)365

]

donde V se mide en kilos y t en dıas, siento t = 1 el primero de enero. El fabricante desea producir unacantidad uniforme de fertilizante cada dıa. ¿Cual debe ser esa cantidad?



4.1. La integral de Riemann EJERCICIOS


(a) E(x) es integrable en [0, 3].(b) F (x) =

∫ x0 E(t) dt es una primitiva de E(x).

(c) E(x) no admite primitivas.

2. Evalua, mediante integrales, los siguientes lımites:

(a) limn→+∞

√1 +

√2 + . . . +

√n

n√

n(b) lim

n→+∞

(1√n2

+1√

n2 − 1+ . . . +

1√n2 − (n− 1)2

)

3. Halla la derivada de las siguientes funciones:

(a) F (x) =∫ x2

0sin t2 dt (b) F (x) =

∫ sin x

− sin x

1√1− t2

dt (c) F (x) =∫ x

x2

√1 + t2 dt

4. Sea F : [−1, 2] −→ R definida por F (x) =∫ x−1 f(t) dt, donde f(x) =

|x| si −1 ≤ x < 12 si 1 ≤ x ≤ 2

.

(a) ¿Es f(x) integrable? ¿Es F (x) una primitiva de f(x)?(b) Estudia la continuidad y derivabilidad de F (x).

5. Sea f una funcion real derivable en R, estrictamente creciente y que se anula en el punto t = 0. Seconsidera la funcion definida sobre R por

F (x) =∫ x2−5x+6

0f(t) dt

(a) Demuestra que F (x) admites derivadas primera y segunda, y calculalas.(b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de F (x), y determina sus extremos relativos.


(a) limx→0

1x3

∫ x

0

t2

1 + t4dt (b) lim

x→0

∫ x2

0 sin√

t dt

x3(c) lim

x→0

x− ∫ x0

sin tt dt

x3

7. Una pelota se lanza hacia arriba a una velocidad de 10 m/s desde una altura de 40 m. Suponiendo lagravedad de g = 10m/s2: (a) Encuentra la funcion que expresa la altura de la pelota en funcion deltiempo; (b) ¿Cuando llega la pelota al suelo?; (c) ¿Que altura maxima alcanza la pelota?

8. Halla el valor medio de cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica:

(a) f(x) = x4 en [−1, 3] (b) f(x) = sinx en [0, π] (c) f(x) = 2x− x2 en [0, 2]

9. La velocidad del sonido en la atmosfera depende de la altura segun la siguiente funcion:

v(h) =

−4h + 341 , si 0 ≤ h < 11, 5295 , si 11, 5 ≤ h < 2234h + 278, 5 , si 22 ≤ h < 3232h + 254, 5 , si 32 ≤ h < 50−32 h + 404, 5 , si 50 ≤ h ≤ 80

donde h se expresa en kilometros y v en metros por segundo. ¿Cual es la velocidad media del sonido?

10. La intensidad de cierta corriente alterna viene dada por la expresion I(t) = 2 sin t. (a) Halla la intensidadeficaz Ie, que es el valor medio cuadratico de I(t) en [0, 2π]. (b) Halla el valor medio de la intensidad en[0, 2π].



4.2. Calculo de primitivas 4.2.1. PRIMITIVAS ELEMENTALES

Primitiva e integral indefinidaUna funcion F es primitiva o antiderivada de f en D ⊂ R si F ′(x) = f(x), para todo x ∈ D.

Integral indefinida, o simplemente integral, de f es el conjunto de todas sus primitivas:∫f(x) dx = F (x) + c con c ∈ R una constante arbitraria y F una primitiva de f

Primitivas inmediatas∫k dx = kx + c (k ∈ R)

∫xp dx =

xp+1

p + 1+ c (p 6= −1)

∫up(x)u′(x) dx =

up+1(x)p + 1

+ c (p 6= −1)∫

dx

x= ln |x|+ c

∫u′(x)u(x)

dx = ln |u(x)|+ c∫

ex dx = ex + c

∫u′(x)eu(x) dx = eu(x) + c

∫ax dx =

ax

ln a+ c (a > 0, a 6= 1)

∫u′(x)au(x) dx =

au(x)

ln a+ c (a > 0, a 6= 1)

∫sinx dx = − cosx + c

∫u′(x) sin u(x) dx = − cosu(x) + c

∫cosx dx = sin x + c

∫u′(x) cos u(x) dx = sin u(x) + c

∫dx

cos2 x=

∫ (1 + tan2 x

)dx = tanx + c

∫u′(x)

cos2 u(x)dx = tanu(x) + c

∫dx

sin2 x=

∫ (1 + cot2 x

)dx = − cotx + c

∫u′(x)

sin2 u(x)dx = − cotu(x) + c

∫dx√

1− x2= arcsinx + c

∫u′(x)√

1− u2(x)dx = arcsinu(x) + c

∫dx

1 + x2= arctanx + c

∫u′(x)

1 + u2(x)dx = arctanu(x) + c

∫secx dx =

∫dx

cosx= ln |secx + tanx|+ c

∫u′(x)

cosu(x)dx = ln |secu(x) + tanu(x)|+ c

∫cscx dx =

∫dx

sinx= ln |csc x− cotx|+ c

∫u′(x)

sinu(x)dx = ln |cscu(x)− cotu(x)|+ c

Integracion por cambio de variable∫

f(x) dx =(

x = ϕ(t)dx = ϕ′(t) dt

)=

∫f(ϕ(t))ϕ′(t) dt = F (t) + c = F

(ϕ−1(x)

)+ c

Integracion por partes:∫

u dv = uv −∫

v du

Ejercicios

1. Calcula las siguientes integrales reducibles inmediatas:

(a)∫

1− x√1− x2

dx (b)∫

2 + 3 cosx

sin2 xdx (c)

∫1 + lnx

3 + x lnxdx (d)

∫sin3 x√cosx

dx

2. Calcula por cambio de variable las integrales: (a)∫

x√

x− 5 dx; (b)∫

x3

1 + x8dx; (c)

∫dx

1 + ex.

3. Calcula las siguientes integrales mediante integracion por partes:

(a)∫

x lnx dx (b)∫

arcsinx dx (c)∫

x2e−x dx (d)∫

ex sinx dx (e)∫

x

cos2 xdx



4.2. Calculo de primitivas 4.2.2. INTEGRALES RACIONALES

Integrales de funciones racionales

1. Si el grado de numerador es mayor o igual que el grado del denominador se reduce a la suma de unpolinomio con otra funcion racional en la que el grado de numerador es inferior al grado del denominador:

P (x) Q(x)r(x) c(x)

=⇒ P (x) = Q(x)c(x) + r(x) =⇒ P (x)Q(x)

= c(x) +r(x)Q(x)

2. Cuando el grado del numerador es inferior al grado del denominador, se procede a la descomposicionen fracciones simples:

• Se halla la descomposicion factorial del denominador en la que pueden aparecer los siguientes factores:

Q(x) = (x− a) · (x− b)p · [(x− α)2 + β2] · [(x− γ)2 + δ2]q · . . . (p, q > 1)

donde se ha supuesto que el coeficiente de grado maximo en Q(x) es 1. Si no es ası, se saca factorcomun y divide al numerador r(x).

• Se buscan numeros reales A, Bi, C, D, Ei y Fi tales que:

r(x)Q(x)

=A

x− a+

p∑

i=1

Bi

(x− b)i+

Cx + D

(x− α)2 + β2+

q∑

i=1

Eix + Fi

[(x− γ)2 + δ2]i+ . . .

3. Despues de esto:

P (x)Q(x)

= c(x) +r(x)Q(x)

= c(x) +A

x− a+

p∑

i=1

Bi

(x− b)i+

Cx + D

(x− α)2 + β2+

q∑

i=1

Eix + Fi

[(x− γ)2 + δ2]i+ . . .

y entonces, la integral racional es:

∫P (x)Q(x)

dx =∫

c(x) dx +∫

A

x− adx +

p∑

i=1

∫Bi

(x− b)idx +

∫Cx + D

(x− α)2 + β2dx + . . .

4. La integral racional se reduce a hallar todas o algunas de las siguientes integrales:∫

A

x− adx = A ln |x− a|+ c

∫Bi

(x− b)idx = Bi

∫(x− b)−i dx = Bi

(x− b)−i+1

−i + 1+ c =

−Bi

(i− 1)(x− b)i−1+ c

∫Cx + D

(x− α)2 + β2dx =

∫C(x− α) + (Cα + D)

(x− α)2 + β2dx =

∫C(x− α)

(x− α)2 + β2dx +

∫(Cα + D)

(x− α)2 + β2dx =

=C

2ln

((x− α)2 + β2

)+

Cα + D

βarctan

x− α

β

Ejercicios

1. Calcula las siguientes integrales:

(a)∫

x2 + 1x4 − x2

dx (b)∫

x3 − x

x2 + 4x + 13dx (c)

∫x2 + 6x− 1

x3 − 7x2 + 15x− 9dx (d)

∫x2 + 1

(x− 1)(x2 + 2)2dx



4.2. Calculo de primitivas 4.2.3. INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

Integrales de funciones racionales trigonometricasSon integrales de la forma ∫

R(sinx, cosx) dx

donde R es una funcion racional, es decir, es un cociente de polinomios en senos y cosenos. Todas estasintegrales se reducen a integrales racionales mediante el cambio de variable:

tanx

2= t

en cuyo caso:

sinx =2t

1 + t2cosx =

1− t2

1 + t2tanx =

2t

1− t2dx =

2 dt

1 + t2

En algunos casos particulares, hay cambios mas sencillos que tambien las reducen a integrales racionales:

• Si R es impar en seno, es decir, R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx), se hace el cambio t = cosx.

• Si R es impar en coseno, es decir, R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx), se hace el cambio t = sinx.

• Si R es par en seno y coseno, es decir, R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx), se hace el cambio t = tanx.

Integrales de algunas funciones irracionalesLas integrales de la forma

∫R

(x,

√a2 ± b2x2

)dx

∫R

(x,

√a2x2 − b2

)dx

se pueden reducir a integrales de funciones racionales trigonometricas mediante los siguientes cambios devariable:

• Si R = R(x,√

a2 − b2x2), se hace el cambio bx = a sin t o bx = a cos t.

• Si R = R(x,√

a2 + b2x2), se hace el cambio bx = a tan t.

• Si R = R(x,√

a2x2 − b2), se hace el cambio ax = b sec t.

Ejercicios

1. Calcula las siguientes integrales trigonometricas:

(a)∫

sin2 x dx (b)∫

cos3 x dx (c)∫

cos4 x dx (d)∫

sin2 x cos2 x dx (e)∫

sin2 x cos5 x dx

2. Usando las formulas trigonometricas:

cos(α + β) + cos(α− β) = 2 cosα cosβcos(α + β)− cos(α− β) = −2 sin α sinβ

sin(α + β) + sin(α− β) = 2 sinα cosβ

calcula, si a 6= b, las siguientes integrales:

(a)∫

sin ax sin bx dx (b)∫

sin ax cos bx dx (c)∫

cos ax cos bx dx

3. Calcula las siguientes integrales: (a)∫

cosx

sinx(1 + cosx)dx; (b)

∫2− sinx

2 + cosxdx; (c)

∫dx

sinx + cosx.

4. Calcula las siguientes integrales: (a)∫

dx

x +√

1− x2dx; (b)

∫x2

√x2 − 1

dx; (c)∫ √

16 + x2 dx.



4.2. Calculo de primitivas EJERCICIOS

1. Calcula las siguientes integrales inmediatas:

(a)∫

dx

9x2 + 25(b)

∫e2x

2 + e2xdx (c)

∫x2

√x3 + 1

dx (d)∫

(arcsinx)2√1− x2

dx (e)∫

ex

1 + e2xdx

2. Calcula, mediante un cambio de variable adecuado, las siguientes integrales:

(a)∫

ex − 3e2x

1 + exdx (b)

∫dx

x√

x2 − 2(c)

∫ √1 + e2x dx (d)

∫x√

x− 1 dx (e)∫

ln x

xdx

3. Calcula, mediante integracion por partes, las siguientes integrales:

(a)∫

arctanx dx (b)∫

(lnx)2 dx (c)∫

x3e−x2dx (d)

∫x2 sinx dx (e)

∫x3 ln(1 + x2) dx

4. Calcula las siguientes integrales racionales:

(a)∫

x3 dx

x3 + 2x2 − x− 2(b)

∫x2 + x + 1x2 − x + 1

dx (c)∫

x− 2(x− 1)2(x2 + 1)

dx


(a)∫

cos2 x dx (b)∫

sin5 x dx (c)∫

sin6 x dx (d)∫

sin4 x cos2 x dx (e)∫

sin3 x cos4 x dx


(a)∫

dx

sin2 x cos2 x(b)

∫dx

sinx(c)

∫dx

1 + cos2 x(d)

∫dx

1 + sinx(e)

∫dx

1 + sinx + cosx

7. Calcula, mediante un cambio a funciones trigonometricas, las siguientes integrales de funciones irra-cionales:

(a)∫ √

16− x2 dx (b)∫ √

x2 + 1x2

dx (c)∫

x4

√(1− x2)3

dx (d)∫

x dx√x2 − 2x

8. Calcula, mediante un cambio a funciones trigonometricas, las siguientes integrales (a 6= 0):

(a)∫

dx

(a2 − x2)3/2(b)

∫ √a2 + x2 dx (c)

∫dx√

x2 − a2(d)

∫x2 dx√a2 − x2

9. Calcula las siguientes integrales irracionales:

(a)∫

3√

x + 2√

x + 3√

x2

1 + 3√

xdx (b)

∫dx√

2x− 1− 4√

2x− 1(c)

∫x√

x2 + 2x + 2 dx

Informates.edu Dpto. de Matematica Aplicada, FI-UPM.


4.3. Integrales impropias 4.3.1. INTEGRALES IMPROPIAS

DefinicionSe dice que

∫ ba f(x) dx es una integral impropia cuando el intervalo de integracion es infinito (a o b son ±∞)

o la funcion f : (a, b) −→ R no esta acotada.

Integral impropia de primera especieEs cualquier integral de la forma

∫ +∞a f(x) dx o

∫ b−∞ f(x) dx, donde a, b ∈ R y f es acotada en cada intervalo

de la forma [−r, b] o [a, r], segun el caso, con r ∈ R. En estos casos se define la integral impropia como:

∫ +∞

af(x) dx = lim

r→+∞

∫ r

af(x) dx

O

y

x

f

a r →

∫ b

−∞f(x) dx = lim

r→+∞

∫ b

−rf(x) dx

O

y

x

f

← −r b

siendo convergente cuando el lımite es finito, y divergente cuando es infinito. Cuando no existe el lımite se diceque la integral impropia no existe.

Integral impropia de segunda especieEs cualquier integral de la forma

∫ ba f(x) dx, donde a, b ∈ R y f es acotada en cada intervalo de la forma [a, r]

o [r, b], segun el caso, con a < r < b. En estos casos se define la integral impropia como:

∫ b

af(x) dx = lim

r→b−

∫ r

af(x) dx

O

y

x

f

a r→b

∫ b

af(x) dx = lim

r→a+

∫ b

rf(x) dx

O

y

x

f

a←r b


Observacion: Cualquier integral impropia se puede descomponer en suma de integrales impropias de primeray/o segunda especie. Se dice que la integral es convergente cuando lo son todas las integrales de primera y/osegunda especie en que se descompone, siendo divergente en caso contrario.

Ejercicios

1. Estudia la convergencia (hallando su valor) o divergencia de las siguientes integrales impropias:

(a) Ip =∫ +∞

1

dx

xp(b) Jp =

∫ 1

0

dx

xp(c)

∫ 1

0

dx√1− x2

(d)∫ 1

0

1− 2x√x(1− x)

dx



4.3. Integrales impropias 4.3.1. INTEGRALES IMPROPIAS

DefinicionSe dice que

∫ ba f(x) dx es una integral impropia cuando el intervalo de integracion es infinito (a o b son ±∞)

o la funcion f : (a, b) −→ R no esta acotada.

Integral impropia de primera especieEs cualquier integral de la forma

∫ +∞a f(x) dx o

∫ b−∞ f(x) dx, donde a, b ∈ R y f es acotada en cada intervalo

de la forma [−r, b] o [a, r], segun el caso, con r ∈ R. En estos casos se define la integral impropia como:

∫ +∞

af(x) dx = lim

r→+∞

∫ r

af(x) dx

O

y

x

f

a r →

∫ b

−∞f(x) dx = lim

r→+∞

∫ b

−rf(x) dx

O

y

x

f

← −r b


Integral impropia de segunda especieEs cualquier integral de la forma

∫ ba f(x) dx, donde a, b ∈ R y f es acotada en cada intervalo de la forma [a, r]

o [r, b], segun el caso, con a < r < b. En estos casos se define la integral impropia como:

∫ b

af(x) dx = lim

r→b−

∫ r

af(x) dx

O

y

x

f

a r→b

∫ b

af(x) dx = lim

r→a+

∫ b

rf(x) dx

O

y

x

f

a←r b


Observacion: Cualquier integral impropia se puede descomponer en suma de integrales impropias de primeray/o segunda especie. Se dice que la integral es convergente cuando lo son todas las integrales de primera y/osegunda especie en que se descompone, siendo divergente en caso contrario.

Ejercicios

1. Estudia la convergencia (hallando su valor) o divergencia de las siguientes integrales impropias:

(a) Ip =∫ +∞

1

dx

xp(b) Jp =

∫ 1

0

dx

xp(c)

∫ 1

0

dx√1− x2

(d)∫ 1

0

1− 2x√x(1− x)

dx



4.3. Integrales impropias 4.3.2. CRITERIO DE COMPARACION

Criterio de comparacionSean f, g : (a, b) −→ R tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ (a, b). Entonces:

•∫ b

ag(x) dx converge =⇒

∫ b

af(x) dx converge •

∫ b

af(x) dx diverge =⇒

∫ b

ag(x) dx diverge

Ejercicios

1. Estudia la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias:

(a)∫ +∞

1

dx√1 + x3

(b)∫ +∞

1

dx√1 + x2

(c)∫ 1

0

x√1− x2

dx (d)∫ 4

1

√x

lnxdx



4.3. Integrales impropias EJERCICIOS

1. Evalua las siguientes integrales impropias:

(a)∫ ∞

0

dx

1 + x2(b)

∫ 1

0x ln x dx (c)

∫ ∞

πcos2 x dx (d)

∫ π/2

0sec x dx (e)

∫ ∞

0xe−x2

dx

2. Evalua las siguientes integrales impropias:

(a)∫ 3

−3

dx

x(x + 1)(b)

∫ ∞

−∞

ex

1 + e2xdx (c)

∫ ∞

0

1√x(1 + x)

dx

3. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias:

(a)∫ +∞

0

dx

a2x2 + b2, ab 6= 0 (b)

∫ 2

0

dx√2x− x2

(c)∫ +∞

1sin2 1

xdx (d)

∫ 5

−1

dx

(x− 1)3

4. Estudia la convergencia, segun los valores de p y q, de las siguientes integrales impropias:

(a) Γ(p) =∫ ∞

0xp−1e−x dx (b) β(p, q) =

∫ 1

0xp−1(1− x)q−1 dx

5. Sea f : R −→ R definida por

f(t) =1π· a

a2 + (t− b)2

con a, b ∈ R y a > 0. Se pide:

(a) Esboza su grafica en el caso a = 1 y b = 0.

(b) Obten explıcitamente F (x) =∫ x−∞ f(t) dt.

(c) Determina el area comprendida entre la grafica y el eje de abscisas.



4.4. Aplicaciones de la integral 4.4.1. APLICACIONES

Area de una region plana

O

y

x

f

R

a b

A(R) =∫ b

af(x) dx

O

y

x

f

R

a b

A(R) = −∫ b

af(x) dx

O

y

x

f

ab

c

R

?

»»»»»9

A(R) =∫ c

af(x) dx−

∫ b

cf(x) dx

O

y

x

g

f

R

a b

A(R) =∫ b

a|f(x)− g(x)| dx =

∫ b

a(g(x)− f(x)) dx

Volumen y area de revolucionEl cuerpo engendrado al girar la grafica de una funcion f ≥ 0, entre x = a y x = b, alrededor del eje de abscisasse llama solido de revolucion.

O

y

xa b

f Volumen: V = π

∫ b

a(f(x))2 dx

Area: A = 2π

∫ b

af(x)

√1 + (f ′(x))2 dx

Longitud de una curva

La longitud de la grafica de una funcion f entre x = a y x = b es: L =∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx

Ejercicios

1. Halla el area del recinto limitado por las graficas de las funciones y = x2 e y = x3 − 2x.

2. Halla el volumen del solido de revolucion engendrado al girar alrededor del eje de abscisas el recintolimitado por las curvas y = x2 e y =

√x.

3. Halla el area de la superficie de revolucion engendrada al girar la curva y = coshx, 0 ≤ x ≤ 2, alrededordel eje de abscisas.

4. Halla la longitud de la curva y = coshx, 1 ≤ x ≤ 2.

5. Un tanque de gasolina con forma de cilindro de radio r y longitud l, se halla situado horizontalmente.Determina el volumen de gasolina en el tanque cuando la misma llega a una altura h, 0 ≤ h ≤ 2r.

6. Calcula la superficie de un espejo parabolico de base un cırculo de radio 4 m y altura 1 m.

7. Un objeto se mueve a lo largo del eje de abscisas con aceleracion a(t) = 2t m/seg2. Su posicion inicial (enel instante t = 0) es 5 metros a la derecha del origen. Un segundo mas tarde, el objeto se esta moviendohacia la izquierda a una velocidad de 4 m/seg. (a) ¿Cual es la posicion del objeto en el instante t = 4?;(b) ¿Cual es la distancia total recorrida por el objeto durante los 4 primeros segundos?



4.4. Aplicaciones de la integral EJERCICIOS

1. Halla el area encerrada por las curvas y = sin x e y = sin 2x, entre x = 0 y x = π2 .

2. Determina el area encerrada por las parabolas y2 = 4px y x2 = 4py, p > 0.

3. Dibuja el recinto Ω =(x, y) ∈ R2 : x2 − 1 ≤ y ≤ 1− |x| y calcula su area.

4. Sean f(x) = x − x2 y g(x) = ax, a ∈ R. Determina los valores de a para los que el area de la regionacotada limitada por ambas funciones es 9/2.

5. Dadas las funciones f(x) = −xe−x y g(x) = x2e−x, se pide: (a) Calcula el area de la region acotadalimitada por sus graficas; (b) Estudia si el area de la region comprendida entre sus graficas en x ≥ 0 eso no finita.

6. Halla el area de la region limitada por las curvas x = y2 y x− y = 2.

7. Halla el area de la region del plano limitada por las parabolas y2 = x, y2 = 2x, x2 = y y x2 = 2y.

8. Demuestra que las areas de los recintos comprendidos entre el eje de abscisas y las ondas de la curvay = e−x sinx forman una progresion geometrica decreciente de razon e−π. Halla el area total de las ondassituadas a la derecha del eje de ordenadas.

9. Determina el area de la region formada por los puntos de un cuadrado de lado l que estan mas cerca delcentro que del borde.

10. Calcula el volumen del hiperboloide engendrado al girar alrededor del eje de abscisas la porcion de lahiperbola equilatera x2 − y2 = a2, a > 0, comprendida entre las rectas x = a y x = 2a.

11. Halla el volumen del solido obtenido al hacer girar la region comprendida entre y = x2 e y = 2x alrededordel: (a) eje de abscisas; (b) eje de ordenadas.

12. Dada una esfera de radio r, se pide: (a) Su volumen; (b) El volumen del sector esferico de altura h,obtenido al cortar la esfera por un plano perpendicular a un diametro al que lo corta a una distancia hde su extremo; (c) Halla h para que el volumen del sector esferico sea un tercio del volumen de la esfera.

13. Un toro es el solido obtenido al girar una circunferencia de radio r alrededor de un eje que esta a distanciaR, R > r, del centro de la circunferencia. Calcula su volumen.

14. Considera la region acotada limitada por la parabola y = x2 y por la recta y = ax, con a > 0. Determinael valor de a para que el volumen de revolucion engendrado al girar dicha region alrededor del eje deabscisas valga 64π

15 .

15. Dadas las curva x2 + y2 − 2rx = 0 y x2 + y2 − 2ry = 0, con r > 0, se pide:

(a) El area del region comun al interior de ambas curvas.(b) El volumen del solido de revolucion engendrado al girar dicha region alrededor del eje de ordenadas.

16. Un barril es disenado mediante rotacion alrededor del eje de abscisas de la region encerrada por la elipsex2

a2 + y2

b2= 1 entre las rectas x = −l/2 y x = l/2, 0 < l < 2a. Determina la capacidad del barril.

17. Halla el area de una esfera de radio r.

18. Calcula el area de la superficie que resulta al girar f(x) = sinx, 0 ≤ x ≤ π, alrededor del eje de abscisas.

19. Halla la longitud de la astroide de ecuacion x2/3 + y2/3 = a2/3, a > 0.

20. Halla la longitud de la catenaria (cable colgante) y = a cosh xa desde el vertice (0, a) hasta el punto (b, h).

21. Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas con velocidad v(t) = 2 − 3t + t2 m/seg en elinstante t. Su posicion inicial (en el instante t = 0) es 2 metros a la derecha del origen. Halla la posiciondel objeto 4 segundos mas tarde.


5. Curvas parametricas y polares

5.1. Curvas parametricas 5.1.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Curvas en forma parametricaSe dice que γ ⊂ Rn es una curva si existe una aplicacion continua α : [a, b] −→ Rn tal que α([a, b]) = γ. Laaplicacion α se llama parametrizacion de la curva.

a bt

©©©O

γα(a)

α(b)

££££££±α(t) ¡¡µ

• Origen de la curva: α(a)

• Extremo de la curva: α(b)

• Sentido de la curva: el que va de α(a) a α(b).

• γ es curva cerrada cuando coinciden el origen y el extremo.

• γ es curva simple cuando la parametrizacion es inyectiva en[a, b) y en (a, b], es decir, si α(t1) 6= α(t2) cuando t1 6= t2 cont1, t2 ∈ [a, b) o con t1, t2 ∈ (a, b].

La curva γ no es simple cuando existen puntos multiples, es decir, cuando existen t1, t2 ∈ [a, b) o t1, t2 ∈ (a, b]tales que α(t1) = α(t2) con t1 6= t2. Intuitivamente, una curva no es simple cuando se corta a sı misma en unpunto interior.Observacion: La definicion de curva se extiende de modo natural al caso en que el intervalo de definicion noes cerrado o acotado. En estos casos puede ocurrir que el origen y/o extremo no se alcancen.

Algunas parametrizaciones de curvas

1. Segmento que va de P (x1, y1) a Q(x2, y2): α(t) = (x1 + t(x2 − x1), y1 + t(y2 − y1)), 0 ≤ t ≤ 1.

2. Circunferencia de centro (a, b) y radio r recorrida en sentido positivo (contrario a las agujas de reloj):

α(t) = (a + r cos t, b + r sin t) , 0 ≤ t ≤ 2π o β(t) = (a + r cos 2πt, b + r sin 2πt) , 0 ≤ t ≤ 1

Recorrida en sentido negativo: ϕ(t) = (a + r cos t, b− r sin t), 0 ≤ t ≤ 2π.

3. Elipse de ecuacion (x−x0)2

a2 + (y−y0)2

b2= 1: α(t) = (x0 + a cos t, y0 + b sin t), 0 ≤ t ≤ 2π.

4. Grafo de la funcion continua f : [a, b] −→ R: α(t) = (t, f(t)), a ≤ t ≤ b.

Curva contrariaSe llama curva contraria de la curva γ ⊂ Rn parametrizada por α : [a, b] −→ Rn, a la misma curva recorridaen sentido contrario. Se representa por −γ, y una parametrizacion suya es: β(t) = α(−t), −b ≤ t ≤ −a.

Ejercicios

1. Para cada una de las siguientes curvas, halla ecuaciones parametricas, indica el sentido en que se recorreny esboza su grafica: (a) Segmento AB con A(−1, 3) y B(4, 1); (b) (x− 1)2 + (y + 2)2 = 1; (c) y2 = x3;(d) x2 + y2 − 2x + 4y − 1 = 0.

2. Halla, si existen, los puntos multiples de la curvax = t2 − 4, y = t3 − 4t ; t ∈ R

.

3. Dos partıculas parten en el instante t = 0 siguiendo la trayectoria indicada por las curvas:

Partıcula 1:

x = 16

3 − 83 t

y = 4t− 5, t ≥ 0 Partıcula 2:

x = 2 sin π

2 t

y = −3 cos π2 t

, t ≥ 0

¿En que puntos se cortan sus trayectorias? ¿En que puntos chocan las partıculas?



5.1. Curvas parametricas 5.1.2. CURVAS SUAVES

Curvas suavesUna curva γ ⊂ Rn es suave si admite una parametrizacion α(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)), a ≤ t ≤ b, derivable.

• Vector tangente (vector velocidad): α′(t) = (x′1(t), x′2(t), . . . , x

′n(t))

• Velocidad: |α′(t)| = √x′1(t)2 + x′2(t)2 + . . . + x′n(t)2

• Recta tangente a la curva suave γ en el punto α(t0): (x1, x2, . . . , xn) = α(t0) + tα′(t0)

Curvas suaves planasSi α(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, es una curva suave plana:

vector tangente: α′(t) =(x′(t), y′(t)

)velocidad:

∣∣α′(t)∣∣ =√

x′(t)2 + y′(t)2

Si ademas x′(t) 6= 0, la pendiente de la curva y la derivada de y respecto de x, en el instante t, son:

Pendiente =y′(t)x′(t)

y′(x) =dy

dx=

y′(t)x′(t)

Son de interes los puntos en que la tangente es:

horizontal: y′(t) = 0 y x′(t) 6= 0 vertical: x′(t) = 0 e y′(t) 6= 0

Los puntos en los que x′(t) = y′(t) = 0 se llaman puntos singulares, y en ellos puede haber tangentehorizontal, vertical o ninguna de ellas.

Ejercicios

1. Halla la ecuacion de la recta tangente a la curva x = 2t− π sin t, y = 2− π cos t ; 0 ≤ t ≤ 2π en P (0, 2).

2. Halla la pendiente de la curvax = t2 − 1, y = 2t− t3 ; t ∈ R

en cada uno de sus puntos. ¿Cuales sonla pendiente y las rectas tangente y normal en el punto (3,−4)?

3. Halla la ecuacion de la recta tangente a la curvax = sin2 t, y = cos t

en t = π

3 . Halla la ecuacioncartesiana de la curva y haz un esbozo de su grafica junto con la tangente calculada.

4. Encuentra los puntos de tangencia horizontal y vertical de la curvax = 1− t, y = t3 − 3t ; t ∈ R

.

5. Determina el punto de la curvax = 1− 2t, y = t2, z = 2e2(t−1) ; t ∈ R

en el que el vector tangente esparalelo al vector de posicion.



5.1. Curvas parametricas EJERCICIOS

1. Para cada una de las siguientes curvas, halla ecuaciones parametricas, indica el sentido en que se recorreny esboza su grafica:

(a) x2 + y2 = 3 (b) 4x2 + 9y2 = 36 (c) y = x2

2. Para cada una de las siguientes curvas, halla ecuaciones cartesianas y esboza su grafica:

(a)

x = t + 1y = t2 − 2t

, t ∈ R (b)

x = 2− sin t

y = cos t, π ≤ t ≤ 2π (c)

x = 2 cos t

y = −2 sin t, 0 ≤ t ≤ π

3. Para cada una de las siguientes curvas, halla ecuaciones cartesianas y esboza su grafica:

(a)

x = 2t + 1y = 3t− 5

, t ∈ [−1, 2] (b)

x = (t− π)3

y = (t− π)2, t ≥ 0 (c)

x = a cos t

y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π

4. Halla la ecuacion de la recta tangente a la curva

x =√

t, y = t− 1√t; t ∈ R

en t = 4.

5. Encuentra los puntos de tangencia horizontal y vertical de la curva:

x = 4 + 2 cos t, y = −1 + sin t ; 0 ≤ t ≤ 2π

6. Encuentra las coordenadas cartesianas del punto mas alto de la curva:

x = 96ty = 96t− 16t2

, t ∈ R.

7. La posicion de una partıcula que se mueve a lo largo de una curva es (2− 3 cos t, 3 + 2 sin t), donde x ey se miden en metros y t en segundos.(a) Dibuja su trayectoria.(b) Halla las velocidades de cambio de la abscisa y la ordenada de la partıcula en t = π/3.(c) ¿Cual es el angulo de inclinacion de la tangente a la trayectoria en t = 2π/3?

8. Haz un esbozo de la grafica de la curva x = a cos t, y = a sin t, z = t ; t ≥ 0.9. Haz un esbozo de la grafica de la curva x = 2t + 1, y = 3t− 5, z = 1− t ; t ∈ R.

10. Halla la recta tangente a la curvax = sin2 t, y = t2, z =

√2t ; 0 ≤ t ≤ π

en el punto t = π

2 .



5.2. Curvas polares 5.2.1. DEFINICIONES Y GRAFICAS

Coordenadas polaresCada punto P del plano distinto del origen queda unıvocamente determinado por el segmento OP que lo uneal origen, llamado radio vector, que a su vez queda unıvocamente determinado por su longitud ρ > 0 y porel angulo θ ∈ [0, 2π) que forma con la parte positiva del eje de abscisas. El par (ρ, θ) se llaman coordenadaspolares del punto P .

O´

´´

´´

´´

P

ρ

x

y

θ

(x, y) −→ (ρ, θ)

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

(ρ, θ) −→ (x, y)

ρ =

√x2 + y2

tan θ = yx

Ecuacion polar de una curvaEn general, en coordenadas cartesianas los puntos (x, y) de una curva se caracterizan por cumplir cierta relacionque, en forma explıcita, se expresa por y = f(x). Cuando los puntos se expresan en coordenadas polares, larelacion que se establece se llama ecuacion polar de la curva y se suele expresar como ρ = f(θ), con θ ∈ D.En principio, deberıa ser θ ∈ [0, 2π) y ρ ≥ 0. Sin embargo, es posible considerar valores de θ fuera de eseintervalo (considerando sucesivas circunferencias) e incluso valores negativos de ρ. En este ultimo caso, si ρ < 0en la direccion θ, el punto se dibuja a distancia −ρ > 0 sobre la semirrecta correspondiente a la direccion θ+π.

Ejercicios

1. Pasa de coordenadas cartesianas a polares, o viceversa, cada una de las siguientes funciones:

(a) x = 2 (b) x2 + (y − 2)2 = 4 (c) ρ sin θ = 4 (d) ρ = sin θ + cos θ (e) ρ =2

1− cos θ

2. Representa las siguientes curvas indicando el sentido en que se recorren:

(a) ρ = 1− cos θ (b) ρ = 1− 2 cos θ (c) ρ = cos 2θ (d) ρ = 3 sin 3θ

3. Halla los puntos de interseccion de las curvas ρ = cos2θ y ρ = cos θ.



5.2. Curvas polares 5.2.2. PROPIEDADES DE TANGENCIA

Propiedades de tangenciaA partir de la ecuacion polar de una curva se pueden obtener unas ecuaciones parametricas:

ρ = f(θ) −→

x = ρ cos θ = f(θ) cos θ

y = ρ sin θ = f(θ) sin θ−→ α(θ) = (f(θ) cos θ, f(θ) sin θ)

Entonces, usando tecnicas de curvas parametricas:

• Vector tangente: α′(θ) = (f ′(θ) cos θ − f(θ) sin θ, f ′(θ) sin θ + f(θ) cos θ)

• Pendiente de la curva y derivada de y respecto de x:

Pendiente =dy

dx=

f ′(θ) sin θ + f(θ) cos θ

f ′(θ) cos θ − f(θ) sin θ

• Recta tangente en un punto (θ0, ρ0) con ρ0 = f(θ0):

x− f(θ0) cos θ0

f ′(θ0) cos θ0 − f(θ0) sin θ0=

y − f(θ0) sin θ0

f ′(θ0) sin θ0 + f(θ0) cos θ0

• Puntos con tangente horizontal: f ′(θ) sin θ + f(θ) cos θ = 0

• Puntos con tangente vertical: f ′(θ) cos θ − f(θ) sin θ = 0

Son tambien de interes los puntos extremales, que son aquellos puntos donde el radio vector es perpendicularal vector tangente, lo que sucede cuando f ′(θ) = 0.

Ejercicios

1. Halla la ecuacion de la recta tangente a la curva ρ = 45−cos θ en θ = π

2 .

2. Determina los puntos de tangencia horizontal y vertical de la curva ρ = 1− cos θ.

3. Halla la pendiente de la curva ρ = 1− cos θ en θ = π/2.

4. Halla el angulo que forman las curvas ρ = 3 cos θ y ρ = 1 + cos θ en sus puntos de interseccion.



5.2. Curvas polares EJERCICIOS

1. Pasa de coordenadas cartesianas a polares, o viceversa, cada una de las siguientes funciones:

(a) x2 + y2 = 9 (b) y = ax (c) y = 3 (d) ρ cos θ = 4 (e) θ =π

3

2. Representa las siguientes curvas indicando el sentido en que se recorren:

(a) ρ = 4θ (b) ρ = 2 sin 4θ (c) ρ2 = 4 cos 2θ

3. Halla los puntos de interseccion de las curvas ρ = 2 sin 2θ y ρ = 1.

4. Halla la ecuacion de la recta tangente a la curva ρ = 4− 2 sin θ en θ = 0.

5. Determina los puntos de tangencia horizontal y vertical de la curva ρ2 = 4 cos 2θ.

6. Halla la pendiente de la curva ρ = 11−cos θ en ρ = π/3.

7. Halla el angulo que forman las curvas ρ = sin 2θ y ρ = cos θ en sus puntos de interseccion.


6. Sucesiones y Series numericas

6.1. Sucesiones numericas 6.1.1. DEFINICIONES

Sucesiones de numeros realesSe llama sucesion de numeros reales a cualquier lista ordenada de numeros reales: a1, a2, a3, . . . , an, . . ., quese suele representar por an. Una sucesion se puede interpretar tambien como una aplicacion: n −→ an,donde la expresion, si existe, de cada termino en funcion del lugar que ocupa, an = f(n), se llama terminogeneral de la sucesion.

Lımite de una sucesionIntuitivamente, se dice que la sucesion an tiene lımite l (que puede ser un numero real, +∞ o −∞) si an

tiende a l cuando n tiende a infinito, y se indica: limn→∞ an = l, o lim

nan = l, o an −→ l.

El lımite de una sucesion, si existe, es unico. Las sucesiones con lımite cero se llaman infinitesimos.

Caracter de una sucesion

• Una sucesion es convergente si tiene lımite finito.

• Una sucesion an es divergente si la sucesion |an| tiende a +∞.Observa que son divergentes las sucesiones con lımite +∞ y con lımite −∞, pero tambien lo son ciertassucesiones sin lımite como, por ejemplo, la sucesion 1, −2, 3, −4, 5, −6, . . . donde los terminos que ocupanlugares impares tienden a +∞ y los que ocupan lugares pares tienden a −∞.

• Una sucesion es oscilante cuando no es convergente ni divergente. Por ejemplo: 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . ..

Tipos de sucesiones y propiedades

• La sucesion an es acotada si existe M > 0 tal que |an| ≤ M , para todo n ∈ N.

• La sucesion an es monotona creciente si an ≤ an+1, para todo n ∈ N.

• La sucesion an es monotona decreciente si an ≥ an+1, para todo n ∈ N.

• Se dice que una sucesion es monotona cuando es monotona creciente o monotona decreciente.

1. Toda sucesion monotona y acotada es convergente.2. Toda sucesion monotona no acotada es divergente. 3. Toda sucesion convergente esta acotada.

Subsucesiones y propiedadesSe llama subsucesion de la sucesion an a cualquier sucesion ank

donde n1 < n2 < n3 < . . ., es decir,cualquier sucesion formada por terminos elegidos arbitrariamente pero en orden creciente de ubicacion.

• Toda subsucesion de una sucesion convergente (divergente) es una sucesion convergente (divergente) y ellımite (si existe) es el mismo.

• Toda sucesion acotada admite una subsucesion convergente.

• Toda sucesion admite una subsucesion que es convergente o divergente.

Puesto que una sucesion oscilante contiene subsucesiones convergentes, tiene sentido definir los lımites deestas como lımites de oscilacion de la primera. Ası, por ejemplo, 1, −1 y +∞ son lımites de oscilacion de lasucesion 1, −1, 1, 1, −1, 2, 1, −1, 3, 1, −1, 4, 1, −1, 5, 1, −1, 6, . . ..

Ejercicios

1. Encuentra el termino general de las siguientes sucesiones:

(a) 1,12,

13,

14, . . . (b) 2, −4, 6, −8, 10, −12, . . . (c) 12, 6, 3,

32,

34,

38, . . .

2. Encuentra los lımites de las siguientes sucesiones:

(a) an =n− 1n + 1

(b) an =n2

n + 1(c) an =

n2

1− n(d) 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .



6.1. Sucesiones numericas 6.1.2. CALCULO DE LIMITES I

Lımites de operaciones con sucesionesSi an −→ a y bn −→ b, entonces:

an ± bn −→ a± b anbn −→ aban

bn−→ a

b(si b 6= 0) abn

n −→ ab


∞−∞ 0 · ∞ 00

∞∞ 1∞ 00 ∞0

que, en cada caso, habra que resolver mediante tecnicas adecuadas de calculo de lımites.

Lımites de sucesiones como lımites de funcionesSi an = f(n) y lim

x→∞ f(x) = l, entonces limn

an = l.Observacion: Este resultado permite usar en el calculo de lımites de sucesiones las tecnicas empleadas parael calculo de lımites de funciones, incluso la regla de L’Hopital.

Sucesiones equivalentesSe dice que an y bn son sucesiones equivalentes si lim

n

an

bn= 1, y se indica: an ∼ bn.

• Si an → 0, son equivalentes:

sin an ∼ an ∼ arcsin an (1 + an)p ∼ 1 + pan ln(1 + an) ∼ an

tan an ∼ an ∼ arctan an 1− cos an ∼ a2n2 ean − 1 ∼ an

• Si an → 1, son equivalentes: ln an ∼ an − 1 n√

a− 1 ∼ 1n

ln a (a > 0)

• Formula de Stirling: n! ∼ nne−n√

2πn =(n

e

)n√2πn

En calculo de lımites, en productos y cocientes se pueden sustituir sucesiones por otras equivalentes.

Infinitos. Ordenes de magnitudSe dice que una sucesion es un infinito si es divergente, es decir, si lim

n|an| = ∞

Dados dos infinitos an y bn, se dice que bn es un infinito de orden superior al de an si:

limn

an

bn= 0

y se representa por: an ¿ bn.Es facil comprobar, hallando los lımites pertinentes, la siguiente jerarquıa de infinitos:

lnn ¿ np ¿ an ¿ n! ¿ nn (p > 0, a > 1)

En el calculo de lımites, se puede sustituir una suma o diferencia de infinitos por aquel que tienejerarquıa superior.

Ejercicios

1. Halla el lımite de las siguientes sucesiones:

(a) an =√

n + 1−√n (c) an = n√

n

(b) an =ln n

n(d) an =

(n

n− 1

)2n+1

(e) an =apn

p + ap−1np−1 + . . .

bqnq + bq−1nq−1 + . . .

2. Calcula, usando sucesiones equivalentes, los siguientes lımites:

(a) limn

n sin1n

(b) limn

n2(e1/n − 1

)(c) lim

n

2n

n!(d) lim

n

nn

n!

3. Halla, usando la jerarquıa de infinitos, el siguiente lımite: limn

√n3 + n2 − (lnn)13

n√

n + 1



6.1. Sucesiones numericas 6.1.3. CALCULO DE LIMITES II

Dos teoremas sobre lımites

• Regla del sandwich: El lımite de una sucesion comprendida entre dos que tienen el mismo lımitecoincide con este, es decir:

an ≤ bn ≤ cn

limn

an = limn

cn = l=⇒ lim

nbn = l

• Teorema: El producto de una sucesion acotada por otra con lımite cero tambien tiene lımite cero:an acotadalimn

bn = 0=⇒ lim

nanbn = 0

Criterio de StolzSi bn es monotona divergente, o an y bn son infinitesimos con bn monotona, entonces

limn

an

bn= lim

n

an − an−1

bn − bn−1siempre que este ultimo lımite exista.

Otros criterios de calculo de lımitesComo consecuencia del criterios de Stolz, se obtienen los siguientes criterios de convergencia (aplicables cuandoel ultimo lımite existe):

• Media aritmetica: limn

a1 + a2 + . . . + an

n= lim

nan

• Media geometrica: limn

n√

a1a2 . . . an = limn

an

• Criterio de la raız: limn

n√

an = limn

an+1

an(an > 0 para todo n)

Ejercicios

1. Halla los lımites de las siguientes sucesiones:

(a) an = sin1

n +√

1+ sin

1n +

√2

+ . . . + sin1

n +√

n(b) an =

(−1)n

nsin

[(n3 + 3n2 + lnn

n!

)n]


(a) limn

√1 +

√2 +

√3 + . . . +

√n

n√

n(b) lim

n

1 + 12 + 1

3 + . . . + 1n

ln n

3. Halla los lımites de las siguientes sucesiones:

(a) an =1 +

√2 + 3

√3 + . . . + n

√n

n(c) an = n

√n

(b) an = n

√12· 45· 910· . . . · n2

n2 + 1(d) an =

n√

(n + 1)(n + 2) . . . (n + n)n



6.1. Sucesiones numericas 6.1.4. SUCESIONES RECURRENTES

Sucesiones recurrentesSe dice que an es una sucesion recurrente cuando sus terminos vienen definidos en funcion de los que lepreceden. Son sucesiones recurrentes:

a1 = 1an+1 =

√1 + a2

n , n ≥ 1es la sucesion: 1,

√2,√

3,√

4 = 2, . . .

a1 = a2 = 1an = an−1 + an−2 , n > 2

es la sucesion: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . (sucesion de Fibonacci)

Para hallar el lımite de sucesiones recurrentes es frecuente proceder como se indica a continuacion:

1. Probar que la sucesion es monotona y acotada, de donde se deduce que tiene lımite (6.1.1).

2. Tomar lımites en la expresion de recurrencia y hallar el lımite en la ecuacion que se obtiene.

Ejercicios

1. Halla el lımite de la sucesion recurrente:

an+1 = 1

3−an, n ≥ 1

a1 = 2

2. Estudia la convergencia y calcula el lımite, cuando exista, de cada una de las siguientes sucesionesrecurrentes:

(a) an+1 =n

n + 1an , a1 = 1 (b) an+1 =

√1 + 2an − 1 , a1 = a > 0

3. En un estudio sobre la reproduccion de conejos, Fibonacci encontro la sucesion que lleva su nombre:

an+2 = an + an+1 con a1 = a2 = 1

(a) Escribe los 12 primeros terminos de la sucesion de Fibonacci.

(b) Escribe los 10 primeros terminos de la sucesion definida por bn = an+1

an, n ≥ 1.

(c) Demuestra que bn+1 = 1 + 1bn

, n ≥ 1.

(d) Suponiendo que la sucesion bn es convergente, encuentra su valor (este lımite se conoce con elnombre de razon aurea).

4. Halla el lımite de las sucesiones:

(a)√

2,

√2 +

√2,

√2 +

√2 +

√2, . . . (b)

√5,

√5 +

√5,

√5 +

√5 +

√5, . . .



6.1. Sucesiones numericas EJERCICIOS


(a) Si una sucesion no es convergente, entonces es divergente.

(b) Toda sucesion divergente tiene lımite.

(c) Toda sucesion divergente de terminos negativos tiene lımite.

(d) Toda sucesion acotada es convergente.

(e) El lımite de una sucesion convergente de numeros racionales es racional.

(f) Si dos sucesiones tienen el mismo lımite, el lımite de su cociente es 1.

(g) Si dos sucesiones tienen el mismo lımite, el lımite de su diferencia es 0.

2. Halla el termino general de las siguientes sucesiones:

(a) 2, −4, 8, −16, 32, . . . (c) 2, 1,89, 1,

3225

,6436

, . . . (e) − 1,23,−35

,47,−59

, . . .

(b) 1 +12, 1 +

34, 1 +

78, 1 +

1516

, . . . (d)14,

28,

316

,432

,564

, . . . (f)13,

56,

59,

912

,915

,1318

, . . .

3. Calcula el lımite de las siguientes sucesiones:

(a)√

n√n +

√n +

√n

(e)(

n2 + 1n2 + 3

)n

(i) n

√(2n

n

)(m)

((1 + an)2

a2n2

)n

(b)√

n2 + n− n (f) 3√

n− 3√

n− 1 (j)ln nn

ln n!(n)

(2 + 3n4

) 13+2 ln(n+1)

(c)(−2)n + 3n

(−2)n+1 + 3n+1(g) n ln

√n + a

n− a(k)

(√1− n

1− 2n

) 1+3n2n−1

(n) n(

n√

a− n−1√

a)

(d)n (√

n + 2n + 1)n2 + 3

(h)

(n√

a + n√

b + n√

c

3

)n

(l)(n!)24n

(2n)!√

n(o)

(2n

n

)4−n√n

4. Calcula el lımite de las siguientes sucesiones:

(a)1√n

(1

1 +√

2+

1√2 +

√3

+ . . . +1√

n− 1 +√

n

)(e)

n√

(n + 1)(n + 2) . . . (n + n)n

(b)1√

1 + n2+

1√2 + n2

+ . . . +1√

n + n2(f)

1 + 2p + 3p + . . . + np

np+1, p ∈ N

(c)n

n2 + 1+

n

n2 + 2+ . . . +

n

n2 + n(g) n

(2 · 4 · 6 · . . . · (2n− 2)1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)

)2

(d)ln

(21 · 4

3 · 65 · . . . · 2n

2n−1

)

ln n2

5. Estudia la convergencia y calcula el lımite, cuando exista, de cada una de las siguientes sucesionesrecurrentes: (a) xn+1 =

√2 + xn, x1 =

√2; (b) xn+1 = 1

4 + x2n, x1 = a ∈ R.

6. Un programa gubernamental que actualmente cuesta a los contribuyentes 200 millones de euros, se va areducir un 10% por ano. (a) ¿Cual sera la cantidad presupuestada despues de n anos? (b) ¿Cual sera elfuturo a largo plazo de este programa?

7. Suponiendo una inflaccion mantenida del 4,5% anual, ¿cual sera el precio dentro de nn anos de un cochecuyo precio actual es de 20.000e?



6.2. Series numericas 6.2.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Series de numeros realesSe llama serie numerica o de numeros reales a la suma indicada de los infinitos terminos de una sucesion:

a1 + a2 + . . . + an + . . . =∞∑

n=1

an

que, para simplificar, muchas veces se expresa simplemente por∑

an. Como a veces ocurre, no es necesarioque la suma comience en n = 1, pudiendolo hacer en otro valor cualquiera de n.

Caracter de una serieDada una serie

∑an, se llama sucesion de las sumas parciales a Sn, donde Sn = a1 + a2 + . . . + an es la

suma de los n primeros sumandos de la serie. Entonces:

• Si la sucesion de las sumas parciales converge a S, se dice que la serie es convergente y su suma es S:

limn

Sn = S =⇒∞∑

n=1

an = S

• Si la sucesion de las sumas parciales es divergente u oscilante, se dice que la serie es divergente uoscilante.

Propiedades de las series

1. Si λ ∈ R,∑

an = A y∑

bn = B, entonces:∞∑

n=1

λan = λA∞∑

n=1

(an + bn) = A + B∞∑

n=1

(an − bn) = A−B

2. Si se quitan o anaden una cantidad finita de sumandos el caracter de la serie no varıa, aunque sı la suma.

3. No se puede aplicar la propiedad asociativa a los sumandos de una serie.

Condicion necesaria de convergencia: Si∞∑

n=1

an converge, entonces limn→∞ an = 0.

Es importante observar que esta condicion es necesaria pero no suficiente: existen series divergentes cuyotermino general de la sucesion tiende a cero:

∑ 1n = ∞.

Como consecuencia inmediata, se obtiene el siguiente criterio del termino enesimo para la divergenciade una serie:

• Si la sucesion an no converge a cero, la serie∑

an no converge (es divergente u oscilante).

• En particular, si lim an = a 6= 0 la serie∑

an es divergente.

Ejercicios

1. Estudia la convergencia o divergencia de las series:

(a)∞∑

n=1

12n

(b)∞∑

n=1

(1n− 1

n + 1

)(c)

∞∑

n=1

1 (d)∞∑

n=1

(−1)n


(a)∞∑

n=1

2n (b)∞∑

n=1

n sen1n

(c)∞∑

n=1

1n

(d)∞∑

n=1

1n2

(e)∞∑

n=1

(−1)n



6.2. Series numericas 6.2.2. SERIES SUMABLES

Serie telescopicaSe llama serie telescopica a cualquier serie de la forma

∑an donde an = bn − bn+1.

Observa que las sumas parciales de esta serie son:

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an = (b1 − b2) + (b2 − b3) + (b3 − b4) + . . . + (bn − bn+1) = b1 − bn+1

de donde se deduce que la serie es convergente si el lımite de bn es finito, siendo su suma:

∞∑

n=1

an =∞∑

n=1

(bn − bn+1) = limn

(b1 − bn+1) = b1 − limn

bn

Serie geometrica

Se llama serie geometrica a cualquier serie de la forma∞∑

n=0

arn = a + ar + ar2 + . . . + arn + . . ., con a 6= 0.

La serie geometrica diverge si |r| > 1 o r = 1, oscila si r = −1 y converge si |r| < 1, en cuyo caso:

∞∑

n=0

arn = a + ar + ar2 + . . . + arn + . . . =a

1− r

Serie aritmetico-geometrica

Se llama serie aritmetico-geometrica a cualquier serie de la forma∞∑

n=0

P (n)rn, donde P (n) es un poli-

nomio en n. La serie aritmetico-geometrica converge siempre que |r| < 1. Para calcular su suma S se aplicarepetidamente, hasta llegar a una serie geometrica, el hecho de que

S − rS = k +∑

Q(n)rn donde Q es un polinomio de grado inferior a P

Serie hipergeometrica

Se llama serie hipergeometrica a cualquier serie de la forma∞∑

n=0

an, dondean+1

an=

αn + β

αn + γ, con α > 0, β 6= 0

y α + β − γ 6= 0. Esta serie diverge cuando α + β − γ > 0, y converge cuando α + β − γ < 0, siendo la sumaen este caso: ∞∑

n=1

an =a1γ

γ − α− β

Ejercicios

1. Calcula la suma de las series: (a)∞∑

n=1

1n(n + 1)

; (b)∞∑

n=2

1n2 − 1

.

2. Calcula la suma de las series: (a)∑∞

n=023n ; (b)

∑∞n=1

3n

22n ; (c)∑∞

n=03n

2n .

3. Usa series geometricas para encontrar la expresion fraccionaria de: (a) a = 2, 3; (b) a = 2, 051.

4. Se deja caer una pelota desde una altura de 2 metros y se deja botar indefinidamente hasta que se para.Si la altura alcanzada en cada salto igual a 3/4 de la altura alcanzada en el salto anterior, ¿cual es ladistancia vertical recorrida por la pelota?


n=1

n

3n; (b)

∞∑

n=1

4n− 12n

; (c)∞∑

n=1

1n(n + 1) · · · (n + a− 1)

, a > 1.



6.2. Series numericas 6.2.3. CRITERIOS DE COMPARACION

Criterio de comparacion con la integral

Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1, y an = f(n), entonces la serie∞∑

n=1

an y la integral∫ ∞

1f(x) dx

tienen el mismo caracter (ambas convergen o ambas divergen).

Series armonicas

• Se llama serie armonica a la siguiente serie divergente:

∞∑

n=1

1n

= 1 +12

+13

+14

+15

+ . . . = ∞

• Se llama serie armonica generalizada a la serie

∞∑

n=1

1np

= 1 +12p

+13p

+14p

+15p

+ . . . que es

divergente , si 0 < p ≤ 1convergente , si p > 1

Criterio de comparacion de GaussSi 0 ≤ an ≤ bn para todo n (o, al menos, a partir de un n), entonces:

•∑

bn converge =⇒∑

an converge •∑

an diverge =⇒∑

bn diverge

Criterio de comparacion en el lımiteSi

∑an y

∑bn son dos series de terminos positivos tales que existe lim an

bn= l con 0 < l < ∞, entonces las dos

series tienen el mismo caracter (ambas convergen o ambas divergen).

Ejercicios


(a)∞∑

n=1

n

n2 + 1(b)

∞∑

n=1

1n2 + 1

(c)∞∑

n=2

1n ln n

(d)∞∑

n=2

1n(lnn)2

2. Aplica el criterio de comparacion para estudiar el caracter de las series:

(a)∞∑

n=1

sen2 n3

n3(b)

∞∑

n=2

1ln n

(c)∞∑

n=1

1(n + 1)n

3. Aplica el criterio de comparacion en el lımite para estudiar el caracter de las series:

(a)∞∑

n=1

13n2 − 4n + 5

(b)∞∑

n=1

1√3n− 2

(c)∞∑

n=1

n2 − 104n5 + n3

(d)∞∑

n=1

√n

n2 + 1



6.2. Series numericas 6.2.4. OTROS CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Criterio de la raızSea

∑an una serie de terminos positivos tal que existe lim n

√an = l. Entonces:

• Si 0 ≤ l < 1, la serie∑

an es convergente • Si l > 1, la serie∑

an es divergente

Si l = 1, este criterio no decide el caracter de la serie.

Criterio del cocienteSea

∑an una serie de terminos positivos tal que existe lim an+1

an= l. Entonces:

• Si 0 ≤ l < 1, la serie∑

an es convergente • Si l > 1, la serie∑

an es divergente


Criterio de RaabeSea

∑an una serie de terminos positivos tal que existe limn

(1− an+1

an

)= l. Entonces:

• Si l < 1, la serie∑

an es divergente • Si l > 1, la serie∑

an es convergente


Observacion: El criterio de Raabe suele decidir cuando no lo hace el criterio del cociente.

Ejercicios


(a)∞∑

n=1

(n√

n− 1)n (b)

∞∑

n=1

[(n + 1

n

)n

− 2n

n + 1

]−n

(c)∞∑

n=0

n22n+1

3n(d)

∞∑

n=1

nn

n!


(a)∞∑

n=1

√(n− 1)!

(1 + 1)(1 +√

2) . . . (1 +√

n)(b)

∞∑

n=1

(1 · 4 · 7 · . . . · (3n− 2)

3 · 6 · 9 · . . . · 3n

)2



6.2. Series numericas 6.2.5. SERIES ALTERNADAS Y ARBITRARIAS

Series alternadasSe dice que

∑an es una serie alternada si anan+1 < 0 para todo n, es decir, si es de la forma

∞∑

n=1

(−1)nan = −a1 + a2 − a3 + a4 − . . . o∞∑

n=1

(−1)n−1an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . con an > 0

Criterio de convergencia de series alternadasUna serie alternada

∑an es convergente siempre que se verifiquen las dos condiciones siguientes:

• limn

an = 0 • |an+1| ≤ |an| , para todo n

es decir, cuando |an| ↓ 0.

Suma aproximada de series alternadasSi una serie alternada

∑an verifica las condiciones del criterio de convergencia (liman = 0 y |an+1| ≤ |an|),

su suma se puede aproximar por cualquier suma parcial con un error menor que el valor absoluto del primertermino desechado:

S =∞∑

n=1

an y SN =N∑

n=1

an =⇒ |S − SN | ≤ |aN+1|

En concreto, cuando el primer termino desechado es positivo la aproximacion es por defecto, y cuando esnegativo por exceso.

Series de terminos arbitrarios. Convergencia absoluta y condicional

• Se dice que la serie∑

an es absolutamente convergente si la serie∑ |an| es convergente.

• Toda serie absolutamente convergente es tambien convergente.

• Una serie se dice condicionalmente convergente si es convergente pero no absolutamente convergente.

• Toda serie convergente de terminos positivos es tambien absolutamente convergente, por lo que no puedeser condicionalmente convergente.

Reordenacion de series

• En una serie absolutamente convergente, cualquier reordenacion es tambien convergente a la misma suma.

• En una serie condicionalmente convergente, existen reordenaciones convergentes (a cualquier valor prefi-jado), divergentes y oscilantes.

Ejercicios

1. Estudia la convergencia o divergencia de las series: (a)∞∑

n=1

(−1)n+1

n; (b)

∞∑

n=1

n

(−2)n−1.

2. Estudia la convergencia o divergencia de la serie:∞∑

n=1

(−1)n+1

n!. En caso de convergencia, aproxima su

suma por la de sus seis primeros terminos y determina una cota del error cometido.

3. Estudia el caracter y la convergencia (absoluta o condicional) de las siguientes series:

(a)∞∑

n=0

(−1)nn!2n

(b)∞∑

n=1

(−1)n

√n

(c)∞∑

n=1

(−1)n(n+1)/2

3n(d)

∞∑

n=1

(−1)n

ln(n + 1)



6.2. Series numericas EJERCICIOS


(a) Si∑

an es convergente entonces an → 0.

(b) Si an → 0 entonces∑

an es convergente.(c) Toda sucesion de terminos positivos cuya sucesion de sumas parciales esta acotada es convergente.(d) Si una serie es convergente deben ser nulos todos los terminos de una sucesion a partir de uno dado.

(e) Si a una serie se le quitan los 100 primeros sumandos, su caracter no varıa.


n=1

14n2 − 1

; (b)∞∑

n=1

n− 1n(n + 1)(n + 2)

; (c)∞∑

n=1

3n− 22n−1

.

3. De un intervalo cerrado de longitud 1 se quita el intervalo abierto central de longitud 1/3. Si se repiteesta operacion sobre cada uno de los intervalos cerrados que van quedando, quitando siempre el intervaloabierto central de longitud 1/3 del intervalo original, el conjunto que queda al final del proceso se llamaconjunto de Cantor. (a) ¿Cual es la suma de las longitudes de todos los intervalos que se quitan? (b)¿Cual es la longitud del conjunto de Cantor?

4. Se llama curva de Koch a la curva que se obtiene despues del siguiente proceso infinito:

113

13

JJ

JJ

13

13 JJ

JJ JJ

JJ JJ

(a) ¿Cual es la longitud de la curva de Koch? (b) ¿Cual es el area encerrada por la curva de Koch sobreel segmento inicial?

5. En un cuadrado Q1 de lado 1 se inscribe un cırculo C1, dentro de este se inscribe un cuadrado Q2 ydentro de el un cırculo C2, y ası sucesivamente. (a) Halla la suma de las areas de todos los cuadrados;(b) Halla la suma de las areas de todos los cırculos; (c) Halla la suma de los perımetros de todos loscuadrados; (d) Halla la suma de los perımetros de todos los cırculos.

6. Estudia el caracter de las siguientes series:

(a)∞∑

n=1

1nn

(c)∞∑

n=1

ne−n (e)∞∑

n=1

√n

n4 + 1(g)

∞∑

n=1

√n + 1−√n√

n2 + n

(b)∞∑

n=1

n!nn

(d)∞∑

n=1

1(lnn)n

(f)∞∑

n=1

lnn + 1

n(h)

∞∑

n=1

1n(n + p)

, p ∈ N

7. Analiza el caracter de las siguientes series, y suma las que converjan:

(a)∞∑

n=1

n + 2n3 + 6n2 + 11n + 6

(b)∞∑

n=2

2n + 3n

6n(c)

∞∑

n=1

n2−n (d)∞∑

n=1

n sen1n2

8. Estudia la convergencia de las siguientes series segun los valores del parametro:

(i)∞∑

n=1

a1/n

1 + an, a > 0 (ii)

∞∑

n=1

(a + 1)2n

nan, a > 0 (iii)

∞∑

n=1

n

(1− a

1 + a

)n

, a 6= −1

9. Se construye una columna de esferas apiladas (cada una encima de la anterior) de radios sucesivos: 1,1√2, 1√

3, ... metros. (a) ¿Cual es la altura de la columna? (b) ¿Cual es el area de la superficie total de

todas las esferas? (c) Si las esferas estan hechas de un material que pesa 1 newton por metro cubico,¿cual es el peso total de la columna?


7. Sucesiones y Series de funciones

7.1. Sucesiones de funciones 7.1.1. CONVERGENCIA PUNTUAL

Sucesiones de funcionesSe llama sucesion de funciones a cualquier lista ordenada de funciones reales definidas sobre un mismoconjunto de numeros reales: f1, f2, f3, . . . , fn, . . ., que se suele representar por fn donde fn es el terminogeneral de la sucesion.

Convergencia puntualSe dice que la sucesion de funciones fn converge puntualmente a la funcion f en A ⊂ R si

limn→∞ fn(x) = f(x) para todo x ∈ A

Campo de convergenciaSe llama campo de convergencia de una serie de funciones fn al conjunto de numeros reales donde convergepuntualmente, es decir, al conjunto:

A = x ∈ R : fn(x) es convergente

Ejercicios

1. Estudia la convergencia (hallando el campo de convergencia y la funcion lımite) de las sucesiones defunciones cuyo termino general es:

(a) fn(x) =x2

n(b) fn(x) = nx2 (c) fn(x) = xn (d) fn(x) = e−nx2

(e) fn(x) = n sinx

n

2. Estudia la convergencia puntual de la sucesion de funciones fn(x) = x2n

1+x2n , n ≥ 1. Compara la continuidadde las funciones de la sucesion con la de la funcion lımite.

3. Estudia la convergencia puntual de la sucesion de funciones fn(x) = sen nxn , n ≥ 1. Si f es la funcion

lımite, comprueba si se verifica:limn

f ′n(x) = f ′(x)

4. Estudia la convergencia puntual de la sucesion de funciones fn(x) = nxe−nx2, n ≥ 1. Si f es la funcion

lımite, comprueba si se verifica:

limn

∫ 1

0fn(x) dx =

∫ 1

0f(x) dx



7.1. Sucesiones de funciones 7.1.2. CONVERGENCIA UNIFORME

Convergencia uniformeSea fn una sucesion de funciones que converge puntualmente a f en A ⊂ R. Entonces:

fn converge uniformemente a f en A ⇐⇒ σn = sup |fn(x)− f(x)| : x ∈ A −→n→∞ 0

Continuidad, acotacion e integracion de la funcion lımiteSea fn una sucesion de funciones que converge uniformemente a la funcion f en A ⊂ R. Entonces:

• Si todas las funciones fn son continuas, f es continua.

• Si todas las funciones fn son acotadas, f es acotada.

• Si todas las funciones fn son integrables en [a, b] ⊂ A, f es integrable en [a, b] y

limn

∫ b

afn(x) dx =

∫ b

af(x) dx

Observacion: Si la funcion lımite puntual de una sucesion de funciones continuas (acotadas) no es continua(acotada), la convergencia no puede ser uniforme.

Ejercicios

1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones:

(a) fn(x) = xn (b) fn(x) =x

n(c) fn(x) =

nx

1 + nx(d) fn(x) = ne−nx2

2. Estudia la convergencia puntual y uniforme en [0, 1] de las siguientes sucesiones de funciones:

(a) fn(x) =1

1 + (nx− 1)2(b) fn(x) =

nx2

1 + nx(c) fn(x) =

x

1 + n2x2

3. ¿Puede ser uniforme la convergencia de las sucesiones consideradas en los ejercicios 2, 3 y 4 de la seccion7.1.1?



7.1. Sucesiones de funciones EJERCICIOS

1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones:

(a) fn(x) =(

x√n

)n

, x ∈ [−1, 2] (b) fn(x) =sen nx

nx, x ∈ (0, π] (c) fn(x) =

x2n − 1x2n + 1

, x ∈ R

2. Se considera la sucesion de funciones fn donde

fn(x) =

anxn , si 0 ≤ x ≤ 1n−1nx , si x > 1

(a) Halla an para que fn sea continua; (b) Calcula el lımite puntual y estudia si la convergencia es o nouniforme.

3. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la sucesion fn donde

fn(x) =

−1 , si x ≤ −1n

sen nπx2 , si −1

n < x < 1n

1 , si x ≥ 1n

4. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la sucesion de funciones fn(x) = xn lnx, n ≥ 1. Si f es lafuncion lımite, comprueba si se verifica:

limn

∫ 1

0fn(x) dx =

∫ 1

0f(x) dx



7.2. Series de funciones 7.2.1. SERIES DE FUNCIONES

Series de funcionesSe llama serie de funciones a la suma indicada de los infinitos terminos de una sucesion de funciones:

f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . . + fn(x) + . . . =∞∑

n=1

fn(x)

que, para simplificar, muchas veces se expresa simplemente por∑

fn. Como a veces ocurre, no es necesarioque la suma comience en n = 1, pudiendolo hacer en otro valor cualquiera de n.

Convergencia puntual y uniformeDada una serie de funciones

∑fn(x), se llama sucesion de las sumas parciales a la sucesion de funciones

Sn(x), donde Sn(x) = f1(x)+f2(x)+ . . .+fn(x) es la suma de las n primeras funciones de la serie. Entonces:

• Se dice que la serie de funciones∑

fn(x) converge puntualmente a la funcion S(x) si la sucesion delas sumas parciales converge puntualmente a dicha funcion.

• Se dice que la serie de funciones∑

fn(x) converge uniformemente a la funcion S(x) en A ⊂ R, si esuniforme la convergencia en A de la sucesion de las sumas parciales.

Continuidad, acotacion e integracion de la funcion lımiteSea

∑fn una serie de funciones que converge uniformemente a la funcion S en A ⊂ R. Entonces:

• Si todas las funciones fn son continuas, S es continua.

• Si todas las funciones fn son acotadas, S es acotada.

• Si todas las funciones fn son integrables en [a, b] ⊂ A, S es integrable en [a, b] y

∞∑

n=1

∫ b

afn(x) dx =

∫ b

aS(x) dx

Observacion: Si la funcion suma de una serie de funciones continuas (acotadas) no es continua (acotada), laconvergencia de la serie no puede ser uniforme.

Criterio mayorante de Weierstrass para la convergencia uniformeSi |fn(x)| ≤ an, para todo x ∈ A y para todo n ≥ n0, y la serie numerica

∑an es convergente, entonces la serie

de funciones∑

fn converge uniformemente en A.

Ejercicios

1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones: (a)∞∑

n=1

xn

2n; (b)

∞∑

n=1

sen nx

n2.



7.2. Series de funciones 7.2.2. SERIES DE POTENCIAS

Series de potenciasSe llama serie de potencias centrada en x0 ∈ R a cualquier serie funcional de la forma:

∞∑

n=0

an(x− x0)n = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + . . . + an(x− x0)n + . . .

con an ∈ R, n ≥ 0. En particular, si x0 = 0 se dice que la serie de potencias esta centrada en el origen:

∞∑

n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn + . . .

Radio de convergenciaSe llama radio de convergencia de la serie

∑an(x − x0)n al numero (real o infinito) que se obtiene por

cualquiera de los lımites siguientes:

R =1

limnn√|an|

R =1

limn

∣∣∣an+1

an

∣∣∣

con el convenio de que 1/0 = ∞.

Convergencia de la serie de potenciasSi R es el radio de convergencia de la serie

∑an(x− x0)n, entonces:

• La serie converge puntualmente si |x− x0| < R, es decir en el intervalo abierto (x0 −R, x0 + R).

• La serie diverge si |x− x0| > R, es decir en (−∞, x0 −R) ∪ (x0 + R,∞).

• En |x− x0| = R, es decir, en x = x0 ±R la serie puede ser convergente o divergente (hay que estudiarlosen cada caso).

• La serie converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ (x0 −R, x0 + R).

Campo de convergenciaSe llama campo de convergencia de la serie

∑an(x−x0)n al conjunto donde converge puntualmente. Si R es

el radio de convergencia, el campo de convergencia puede ser (x0−R, x0 +R), [x0−R, x0 +R), (x0−R, x0 +R]o [x0 −R, x0 + R].

Ejercicios

1. Halla el campo de convergencia de las siguientes series de potencias:

(a)∞∑

n=0

xn (b)∞∑

n=1

xn

n(c)

∞∑

n=1

xn

n2

2. Halla el campo de convergencia de las siguientes series de potencias:

(a)∞∑

n=0

(x− 2)n

n!(b)

∞∑

n=1

(−1)n+1(x− 1)n

n(c)

∞∑

n=0

(−1)n+1(x + 1)n

2n



7.2. Series de funciones 7.2.3. DESARROLLOS EN SERIE

Derivacion e integracion de series de potenciasSea

∑an(x− x0)n una serie de potencias con radio de convergencia R > 0 y cuya suma es la funcion

f(x) =∞∑

n=0

an(x− x0)n = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + a3(x− x0)3 + . . .

Entonces:

• La funcion f es derivable y su serie de potencias es la que se obtiene derivando termino a termino la seriede f , es decir:

f ′(x) =∞∑

n=1

nan(x− x0)n−1 = a1 + 2a2(x− x0) + 3a3(x− x0)2 + . . .

• La funcion f admite primitiva que es la que se obtiene integrando termino a termino la serie de f , esdecir:

∫f(x) dx = c +

∞∑

n=0

an(x− x0)n+1

n + 1= c + a0(x− x0) + a1

(x− x0)2

2+ a2

(x− x0)3

3+ . . .

El radio de convergencia de las series derivada e integral es el mismo R de la serie original, pero el campo deconvergencia puede diferir por el comportamiento en los extremos.

Desarrollos en series de potenciasDesarrollar una funcion f en serie de potencias de centro x0 es hallar una serie de potencias tal que

f(x) =∞∑

n=0

an(x− x0)n , para |x− x0| < R

Si f es infinitamente derivable en x0, la serie de potencias es la serie de Taylor: f(x) =∞∑

n=0

fn)(x0)n!

(x− x0)n

Para hallar series de potencias se recurre a la serie de Taylor, a la serie geometrica y a las propiedades dederivacion e integracion de series de potencias. Algunas de las mas importantes son:

ex =∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x +

x2

2!+

x3

3!+ . . . , ∀x ∈ R ln(1 + x) =

∫dx

1 + x=

∞∑

n=1

(−1)n−1xn

n, |x| < 1

11− x

=∞∑

n=0

xn = 1 + x + x2 + x3 + . . . , |x| < 1 arctanx =∫

dx

1 + x2=

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

2n + 1, |x| < 1

11 + x

=1

1− (−x)=

∞∑

n=0

(−1)nxn, |x| < 1 senx =∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n + 1)!= x− x3

3!+

x5

5!− . . . , ∀x ∈ R

11 + x2

=1

1− (−x2)=

∞∑

n=0

(−1)nx2n, |x| < 1 cosx =∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!= 1− x2

2!+

x4

4!− . . . , ∀x ∈ R

Ejercicios

1. Halla las series de la derivada y las primitivas de la funcion f(x) =∑∞

n=1xn

n , calculando el campo deconvergencia de cada una de ellas. ¿Cual es la expresion algebraica de f?

2. Halla las series de potencias de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y el campo deconvergencia de cada una de ellas.

(a) f(x) =1

x + 2, x = 0 (c) f(x) =

3x− 1x2 − 1

, x = 0 (e) f(x) = cos√

x , x = 0

(b) f(x) =1x

, x = 3 (d) f(x) = lnx , x = 1 (f) f(x) = coshx , x = 0



7.2. Series de funciones EJERCICIOS

1. Determina el campo de convergencia de las siguientes series de potencias:

(a)∞∑

n=1

2n

nxn (b)

∞∑

n=1

n3

n!xn (c)

∞∑

n=0

nxn

en−1(d)

∞∑

n=1

(x + 1)n

n2n(e)

∞∑

n=1

(−1)n(2x)2n

2n

2. Se consideran las series de potencias: (I)∞∑

n=1

xn

n23ny (II)

∞∑

n=1

xn−1

n3n.

(a) Halla el campo de convergencia de las dos series.

(b) Si f es la funcion definida por la serie (I) en su campo de convergencia, ¿cual es su derivada enx = 0?

3. (a) Encuentra la serie de potencias de la funcion f(x) = ln(1 + x) centrada en x = 0, y halla su campode convergencia. (b) Usa la serie obtenida para sumar la serie numerica:

∑∞n=1

(−1)n−1

n .

4. (a) Encuentra la serie de potencias de la funcion f(x) = arctanx centrada en x = 0, y halla su campode convergencia. (b) Usa la serie obtenida para sumar la serie numerica:

∑∞n=0

(−1)n

2n+1 .

5. Halla las series de potencias de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y el campo deconvergencia de cada una de ellas.

(a) f(x) =4

5− x, x = −2 (c) f(x) =

1x2 − 1

, x = 0 (e) f(x) =1

(x + 1)3, x = 0

(b) f(x) =3

2x− 1, x = 2 (d) f(x) =

1(1− x)2

, x = 0 (f) f(x) =1 + x

(1− x)2, x = 0



8.1. Funciones de varias variables 8.1.1. DEFINICIONES

Nociones basicas de la topologıa de Rn

• En R2, un entorno de centro (a, b) y radio r > 0 es:

(x, y) :√

(x− a)2 + (y − b)2 < r

.

• En R3, un entorno de centro (a, b, c) y radio r > 0 es:

(x, y, z) :√

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < r

.

• Sea A ⊂ Rn un conjunto. Se dice que un punto es punto interior de A si existe un entorno centrado enel punto y contenido en el conjunto. Se dice que un punto es punto frontera de A si en todo entornosuyo hay puntos de A y puntos que no son de A.

• Un conjunto se dice abierto si todos sus puntos son interiores.

• Un conjunto se dice cerrado si contiene a todos sus puntos frontera.

• Un conjunto se dice acotado si esta contenido en un entorno del origen de radio suficientemente grande.

• Un conjunto se dice compacto si es cerrado y acotado.

Funcion real de varias variables realesSe llama funcion real de varias variables reales a cualquier funcion f : D −→ R con D ⊂ Rn, n ≥ 2.El conjunto D se llama dominio, y el conjunto de todos los valores que toma la funcion se llama imagen orecorrido.

• Si n = 2 la funcion se suele representar por z = f(x, y), donde x e y son las variables independientes y zla variable dependiente.

• Si n = 3 la funcion se suele representar por w = f(x, y, z), donde x, y, z son las variables independientesy w la variable dependiente.

Operaciones con funciones

• Con dos funciones f(x, y) y g(x, y) se pueden realizar las siguientes operaciones aritmeticas:

(f±g)(x, y) = f(x, y)±g(x, y) (f ·g)(x, y) = f(x, y)g(x, y)f

g(x, y) =

f(x, y)g(x, y)

, si g(x, y) 6= 0

• Si g(x) es una funcion de una unica variable y f(x, y) es una funcion de dos variables, se define lacomposicion: (g f)(x, y) = g(f(x, y)).

Funciones polinomicas y racionales

• Se llama funcion polinomica de dos variables a la que se puede expresar como suma finita de terminosde la forma axnym, con a ∈ R y n y m numeros naturales. El grado de la funcion polinomica es el mayorvalor n + m de sus sumandos.

• Se llama funcion racional al cociente entre dos funciones polinomicas.

Ejercicios

1. Halla el dominio de las siguientes funciones: (a) f(x, y) =√

x2+y2−9x ; (b) f(x, y) = 1

x2+y2−2x;

(c) f(x, y) =√

x(y − x2); (d) f(x, y) =√

4x2 − y2; (e) g(x, y, z) = x√9−x2−y2−z2

.

2. La funcion de produccion de Cobb-Douglas es una funcion muy utilizada en economıa que proporcionael numero z de unidades producidas en funcion del numero x de unidades de trabajo empleadas y elnumero y de unidades de capital invertido:

z = f(x, y) = axαy1−α , donde a > 0 y 0 < α < 1

Demuestra que si se duplican el numero de unidades de trabajo y el numero de unidades de capital, elnumero de unidades producidas tambien se duplica.



8.1. Funciones de varias variables 8.1.2. REPRESENTACION GRAFICA

Grafica de una funcion de dos variablesSe llama grafica de una funcion f de dos variables a la representacion en el espacio de todos los puntos (x, y, z)tales que z = f(x, y). Esta grafica es una superficie cuya proyeccion sobre el plano xy es el dominio de lafuncion.A cada punto (x, y) del dominio le corresponde uno y solo un punto (x, y, z) de la grafica (superficie).

Recursos para la representacion grafica de funciones de dos variables

• Representar las curvas que se obtienen al cortar por planos perpendiculares a los ejes.

plano ⊥ al eje x: x = a plano ⊥ al eje y: y = b plano ⊥ al eje z: z = c

• Representar en el plano xy las curvas de nivel a lo largo de las cuales el valor de la funcion es constante.Para obtener las curvas de nivel se deben usar valores de z igualmente espaciados, de tal manera quecurvas de nivel alejadas indican que z cambia lentamente y curvas de nivel juntas indican que z cambiarapidamente. El conjunto de todas las curvas de nivel se llama mapa de contorno.

• En la actualidad, lo mas rapido y util para visualizar graficas de funciones de dos variables es recurrir ala informatica y usar programas matematicos como Maple, MatLab, etc.

Ejercicios

1. Mediante cortes por planos, haz un esbozo de la grafica de la funcion: f(x, y) =√

16− x2 − y2.

2. Haz el mapa de contorno correspondiente a las funciones: (a) f(x, y) =√

16− x2 − y2; (b) z = y2 − x2.

3. Usa Maple para visualizar las graficas de las siguientes funciones:

(a) z =√

16− x2 − y2 (c) z = (x2 + y2)e1−x2−y2(e) z =

−4x

x2 + y2 + 1(g) z =

1√x2 + y2

(b) z = y2 − x2 (d) z = (2− y2 + x2)e1−x2− y2

4 (f) z = sen x sen y (g) z =1− x2 − y2

√|1− x2 − y2|



8.1. Funciones de varias variables EJERCICIOS

1. Halla el dominio y la imagen de las siguientes funciones:

(a) f(x, y) =√

4− x2 − 4y2 (c) f(x, y) = ln(4− x− y) (e) z =x + y

2− x + 3y

(b) f(x, y) = arcsen(x + y) (d) z =x + y

xy(f) z =

3x + y

x2 + y2 − 2x

2. Una caja rectangular abierta por arriba tiene por base un rectangulo de lados x e y y altura z, todos ellosexpresados en centımetros. Construir la base cuesta 2e euros por cm2, y construir las caras laterales 1epor cm2. Expresa el costo total de fabricacion de la caja en funcion de sus dimensiones.

3. Un tanque de combustible se construye soldando semiesferas a los extremos de un cilindro circular recto.Expresa el volumen del tanque en funcion del radio y altura del cilindro.

4. Haz el mapa de contorno correspondiente a las funciones:

(a) f(x, y) = x2 + 2y2 (b) f(x, y) = xy (c) f(x, y) =x

x2 + y2(b) f(x, y) = ln(x− y)

5. Usa Maple para visualizar las graficas de las siguientes funciones:

(a) z = e1−x2−y2(b) z = e1−x2+y2

(c) z = ln∣∣y − x2

∣∣ (d) z = cosx2 + 2y2

4



8.2. Lımites y continuidad 8.2.1. LIMITES

Lımite de una funcion de dos variables en un puntoSea z = f(x, y) definida en un entorno del punto (a, b) ∈ R2 (aunque no, necesariamente, en el punto). Se diceque f tiene lımite l en (a, b) si f(x, y) tiende a l cuando (x, y) tiende a (a, b) de todas las formas posibles,y se indica: lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) = l

La existencia de lımite y su valor son independientes de que la funcion este definida en el punto y de su valoren dicho punto.

Propiedades de los lımites

• Si P (x, y) es una funcion polinomica de dos variables y f(x) es una funcion elemental de una variable,entonces:

lim(x,y)→(a,b)

P (x, y) = P (a, b) lim(x,y)→(a,b)

f (P (x, y)) = f (P (a, b))

• Si lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = l y lim(x,y)→(a,b)

g(x, y) = m, entonces:

lim(x,y)→(a,b)

(f(x, y)± g(x, y)) = l ±m lim(x,y)→(a,b)

kf(x, y) = kl

lim(x,y)→(a,b)

(f(x, y)g(x, y)) = lm lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)g(x, y)

=l

mlim

(x,y)→(a,b)(f(x, y))g(x,y) = lm


∞−∞ 0 · ∞ 00

∞∞ 1∞ 00 ∞0

Lımites iterados y direccionalesAnte la necesidad de acercarse al punto de todas las formas posibles, es interesante considerar los siguienteslımites:

• Lımites iterados: son los lımites segun las direcciones de los ejes:

limx→a

(limy→b

f(x, y))

limy→b

(limx→a

f(x, y))

• Lımites direccionales: son los lımites segun las direcciones de las rectas que pasan por el punto:

limx→a

f (x, b + m(x− a)) , para cada m ∈ R

Observacion: Los lımites iterados no coinciden necesariamente, y tampoco los direccionales. Obviamente, silos lımites iterados o direccionales no coinciden no existe el lımite.

Ejercicios


(a) lim(x,y)→(2,1)

xy2

x2 + y2(b) lim

(x,y)→(1,−1)cosπ(2x + y) (c) lim

(x,y)→(3,−2)e−x2−y3

(d) lim(x,y)→(0,0)

1x2 + y2

2. Calcula los lımites iterados y direccionales de las funciones del ejercicio anterior.

3. Halla los lımites iterados de la funcion f(x, y) = x2−y2

x2+y2 en (0, 0).

4. Halla los lımites direccionales de la funcion f(x, y) = x2

x2+y2 en (0, 0).

5. Halla los lımites iterados y direccionales de la funcion f(x, y) = x+yx3−y2 en el punto (1,−1).



8.2. Lımites y continuidad 8.2.2. RELACIONES ENTRE LIMITES

Relaciones entre el lımite y los lımites iterados y direccionales

• Si existe el lımite, entonces existen los lımites iterados y direccionales y el valor de todos ellos coincidecon el del lımite.

• La existencia de los lımites iterados, aunque coincidan, no implica la existencia de lımite.

• La existencia de los lımites direccionales, aunque coincidan, no implica la existencia de lımite.

Calculo del lımite en coordenadas polaresPara hallar el lımite de f(x, y) en el punto (a, b) se puede recurrir a coordenadas polares centradas en el puntoobteniendo un lımite direccional:

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)x=a+ρ cos θ−→−→−→−→−→y=b+ρ sen θ

limρ→0

F (ρ, θ) , con 0 ≤ θ < 2π

y en el caso de que F (ρ, θ) = g(ρ)h(θ), con limρ→0 g(ρ) = 0 y h(θ) acotada cuando 0 ≤ θ < 2π, entonces seconcluye que el lımite es cero. Lo anterior se puede resumir en que:

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) =(

x = a + ρ cos θy = b + ρ sen θ

)= lim

ρ→0F (ρ, θ) = lim

ρ→0g(ρ)h(θ) = 0 · acotado = 0

Cuando el lımite de g no es cero o h no esta acotada no se puede asegurar la existencia de lımite.Para probar, usando coordenadas polares, que el lımite de una funcion f es ` basta probar que el lımite def − ` es cero.

ObservacionEn los casos de indeterminacion, para estudiar la existencia de lımite y su valor, se puede proceder siguiendolos siguientes pasos:

1. Hallar los lımites iterados y comprobar que coinciden.

2. Hallar los lımites direccionales y comprobar que coinciden.

3. Usar coordenadas polares para comprobar si el lımite es el valor anteriormente obtenido.

Ejercicios

1. Halla los lımites iterados y direccionales de la funcion f(x, y) = xyx2+y2 en el punto (0, 0). ¿Existe el lımite

de la funcion en el punto?

2. Comprueba que existen y coinciden los lımites iterados y direccionales de la funcion f(x, y) = x2yx4+y2 en

el punto (0, 0). Halla ahora el lımite siguiendo la direccion del la parabola y = x2. ¿Existe el lımite de lafuncion en el punto?

3. Estudia la existencia del lımite de la funcion f(x, y) =(

x2−y2

x2+y2

)2en el origen.

4. Comprueba que existen y coinciden los lımites iterados y direccionales de la funcion f(x, y) = x2y2

(x2+y2)3/2

en el punto (0, 0). Usa coordenadas polares para estudiar la existencia del lımite.

5. Estudia la existencia, calculando su valor en caso afirmativo, de los siguientes lımites :

(a) lim(x,y)→(0,0)

x + y

x2 + y(b) lim

(x,y)→(2,−1)

sin(x + y − 1)y + 1

(c) lim(x,y)→(−2, 1)

ln(x2 + y − 4)x + y + 1



8.2. Lımites y continuidad 8.2.3. CONTINUIDAD

Continuidad de una funcion de dos variables en un puntoSea z = f(x, y) una funcion definida en un entorno del punto (a, b) ∈ R2. Se dice que f es continua en (a, b)si lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) = f(a, b).

Tipos de discontinuidadSi una funcion no es continua en un punto se dice que presenta una discontinuidad, que puede ser:

• evitable si existe y es finito el lımite de la funcion en el punto.

• esencial si no existe o es infinito el lımite de la funcion en el punto.

Observacion: Cuando una funcion presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir endicho punto para convertirla en una funcion continua.

Continuidad en conjuntos abiertosUna funcion es continua en un conjunto abierto D ⊂ R2 cuando es continua en todos los puntos de D.

Propiedades de la continuidad

1. Si f y g son dos funciones continua en (a, b), entonces las funciones f ± g y f · g son continuas en a.Ademas, si g(a, b) 6= 0 la funcion f/g es tambien continua en (a, b).

2. Si f(x, y) es continua en (a, b) y g(x) es continua en c = f(a, b), entonces g f es continua en (a, b).

Continuidad de las funciones elementalesDe las propiedades de los lımites y de la continuidad, se puede deducir que todas las funciones elementales soncontinuas en su dominio de definicion.

Teorema de los extremos de WeierstrassSea f una funcion continua de n ≥ 1 variables definida sobre un conjunto cerrado y acotado R ⊂ Rn. Entonces:

• Existe al menos un punto de R donde f toma su valor mınimo, llamado mınimo absoluto de f en R.

• Existe al menos un punto de R donde f toma su valor maximo, llamado maximo absoluto de f en R.

Como en el caso de una variable, el mınimo y el maximo absolutos se llaman extremos absolutos.

Ejercicios


(a) f(x, y) = ln(x + y) (b) f(x, y) =sinx cos y

x2 − y2(c) z =

√y2 − 4x2 (d) z =

1y − x2


(a) f(x, y) =x2y

x2 + y2(b) f(x, y) =

(x2 − y2

x2 + y2

)2

(c) f(x, y) =x− 2y

x2 + y2

3. Estudia la continuidad de la funcion: f(x, y, z) = 1x2+y2−z

.


(a) f(x, y) =

x2+2xy2+y2

x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0)

1 , si (x, y) = (0, 0)(b) f(x, y) =

x2y2

x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0)

1 , si (x, y) = (0, 0)



8.2. Lımites y continuidad EJERCICIOS


(a) lim(x,y)→(2,4)

x + y

x− y(c) lim

(x,y)→(0,1)

arcsen(x/y)1 + xy

(e) lim(x,y,z)→(1,0,−2)

x + y − 2z√x2 + y2 + z2

(b) lim(x,y)→(π,3)

y cos(xy) (d) lim(x,y,z)→(1,2,5)

√x + y + z (f) lim

(x,y,z)→(2,0,1)xeyz

2. Estudia la existencia, calculando su valor en caso afirmativo, de los siguientes lımites :

(a) lim(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

(c) lim(x,y)→(0,0)

x4 − y4

x2 − y2(e) lim

(x,y)→(0,0)

xy(x2 − y2)x2 + y2

(b) lim(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)x2 + y2

(d) lim(x,y)→(0,0)

y(x2 + y2)x

(f) lim(x,y)→(0,1)

x + y − 1√x−√1− y


(a) f(x, y) =

x4+y4

x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0)

0 , si (x, y) = (0, 0)(b) f(x, y) =

(x + y) sen 1

x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0)

0 , si (x, y) = (0, 0)


9. Diferenciacion de funciones reales de varias variables reales

9.1. Diferenciacion 9.1.1. DERIVADAS PARCIALES

Derivadas parciales de una funcion de dos variablesSe llaman primeras derivadas parciales de una funcion f(x, y) respecto de x e y a las funciones:

fx(x, y) =∂f

∂x(x, y) = lim

h→0

f(x + h, y)− f(x, y)h

fy(x, y) =∂f

∂y(x, y) = lim

k→0

f(x, y + k)− f(x, y)k

es decir, a las derivadas usuales respecto de cada una de las variables considerando a la otra constante. Siz = f(x, y), las derivadas parciales tambien se suelen representar por zx = ∂z

∂x y zy = ∂z∂y .

Interpretacion geometrica y fısicaLas derivadas parciales de z = f(x, y) representan

• Geometricamente: las pendientes de la superficie z = f(x, y) en las direcciones de los ejes x e y.

• Fısicamente: las velocidades de cambio de z respecto de cada una de las variables x e y.

Derivadas parciales y continuidadLa continuidad y la existencia de derivadas parciales no estan relacionadas. Una funcion continua puede notener derivadas parciales y viceversa.

Derivadas parciales de funciones de mas de dos variablesLas derivadas parciales de funciones de mas de dos variables se definen de forma analoga: se deriva respectode cada variable considerando las otras constantes.

Derivadas parciales de orden superiorPuesto que las derivadas parciales primeras son funciones, se pueden volver a derivar parcialmente para obtenerlas derivadas parciales de segundo orden, y ası sucesivamente. En el caso de dos variables hay cuatro derivadasparciales de segundo orden:

∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2= fxx

∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x= fxy

∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y= fyx

∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2= fyy

Las derivadas fxy y fyx se llaman derivadas parciales cruzadas y no son siempre iguales.

Igualdad de las derivadas parciales cruzadasSi f , fxy y fyx son continuas en un conjunto abierto D, entonces: fxy = fyx en D.

Ejercicios

1. Halla las derivadas parciales de: (a) f(x, y) = x2− xy + 3y2; (b) g(x, y) = xx2+y2 ; (c) z =

√1− x2 − y2;

(d) z = ln√

x2 + y2; (e) f(x, y) = x arctan xy , y su valor en el punto (1,−1).

2. Halla las pendientes de la superficie z = 9− x2 − 2y2 en P (2,−1, 3) en las direcciones de los ejes x e y.

3. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de acero es T (x, y) = 500− x2 − 2y2. Halla la velocidadde cambio de la temperatura respecto en cada una de las direcciones en el punto (1, 2).

4. Una empresa fabrica dos tipos de estufas, X e Y, siendo C(x, y) = 32√

xy + 175x + 205y + 1050 el costeen euros de fabricar x estufas del tipo X e y estufas del tipo Y. (a) Halla los costes marginales (derivadasparciales) cuando x = 80 e y = 20; (b) Si se requiere una produccion adicional, ¿que modelo de estufaincrementara el costo con una tasa mas alta?

5. Utiliza las funciones f y g para comprobar que la continuidad y la existencia de derivadas parciales noestan relacionadas.

f(x, y) =

xy2

x2+y4 , si (x, y) 6= (0, 0)

0 , si (x, y) = (0, 0)g(x, y) =

y sen 1

x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0)

0 , si (x, y) = (0, 0)

6. Halla las derivadas parciales segundas de las funciones del ejercicio 1.



9.1. Diferenciacion 9.1.2. LA DIFERENCIAL

Incrementos y diferencialesDada una funcion z = f(x, y), se llama incremento de la funcion, cuando x e y se incrementan ∆x e ∆y, a:

∆z = f (x + ∆x, y + ∆y)− f(x, y)

y se llama diferencial total a:

dz =∂z

∂xdx +

∂z

∂ydy = fx(x, y) dx + fy(x, y) dy

Diferencial de una funcion en un puntoUna funcion z = f(x, y) es diferenciable en (a, b) si su incremento se puede expresar como:

∆z = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y donde ε1, ε2 → 0 cuando (∆x,∆y) → (0, 0)

para lo que se debe cumplir que:

lim(x,y)→(a,b)

|f(x, y)− f(a, b)− fx(a, b)(x− a)− fy(a, b)(y − b)|√(x− a)2 + (y − b)2

= 0

Condicion suficiente de diferenciabilidadSi una funcion y sus primeras derivadas parciales son continuas en un abierto, entonces es diferenciable en elabierto.

Condiciones necesarias de diferenciabilidadSi una funcion es diferenciable en un punto entonces es continua y admite derivadas parciales primeras en elpunto.

Uso de la diferencial como aproximacionDespreciando los terminos que tienden a cero, si una funcion es diferenciable en (a, b) entonces se verifica lasiguiente formula para la estimacion de errores:

∆z ' fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y cuando ∆x,∆y ' 0

Sustituyendo los incrementos por su expresion, se obtiene la siguiente formula de aproximacion:

f(x, y) ' f(a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b) cuando (x, y) ' (a, b)

Ejercicios

1. Halla las diferenciales totales de las siguientes funciones: (a) z = 2x sen y− 3x2y2; (b) w = x2 + y2 + z2.

2. Prueba que la funcion f(x, y) = x2 + 3y es diferenciable en todo punto.

3. Prueba que la siguiente funcion es continua y admite derivadas parciales primeras en el origen, pero noes diferenciable en dicho punto.

f(x, y) =

xy√x2+y2

, si (x, y) 6= (0, 0)

0 , si (x, y) = (0, 0)

4. El error cometido al medir cada una de las aristas de una caja rectangular es ±0, 1 milımetros. Halla elerror absoluto y relativo que se puede cometer al hallar el volumen de una caja de aristas que miden 50,20 y 15 centımetros.



9.1. Diferenciacion 9.1.3. REGLA DE LA CADENA

Regla de la cadena

• Si z = f(x, y) con x = x(t) e y = y(t), entonces:

z(t) = f (x(t), y(t)) ydz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dto, mejor en este caso: z′(t) =

∂z

∂xx′(t) +

∂z

∂yy′(t)

• Si z = f(x, y) con x = x(u, v) e y = y(u, v), entonces:

z(u, v) = f (x(u, v), y(u, v))∂z

∂u=

∂z

∂x

∂x

∂u+

∂z

∂y

∂y

∂u

∂z

∂v=

∂z

∂x

∂x

∂v+

∂z

∂y

∂y

∂v

Derivacion implıcita

• Si F (x, y) = 0 define implıcitamente a y como funcion derivable de x, entonces:

∂F

∂x

dx

dx+

∂F

∂y

dy

dx= 0 =⇒ Fx(x, y) + Fy(x, y)y′ = 0 =⇒ y′ = −Fx(x, y)

Fy(x, y)

• Si F (x, y, z) = 0 define implıcitamente a z como funcion diferenciable de x e y, entonces:

∂F

∂x

∂x

∂x+

∂F

∂z

∂z

∂x= 0 =⇒ Fx(x, y, z) + Fz(x, y, z)

∂z

∂x= 0 =⇒ ∂z

∂x= −Fx(x, y, z)

Fz(x, y, z)∂F

∂y

∂y

∂y+

∂F

∂z

∂z

∂y= 0 =⇒ Fy(x, y, z) + Fz(x, y, z)

∂z

∂y= 0 =⇒ ∂z

∂y= −Fy(x, y, z)

Fz(x, y, z)

Ejercicios

1. Si z = (x2−y)y, con x = sin t e y = et, aplica la regla de la cadena para calcular z′(t) y su valor en t = 0.

2. Deduce la expresion de la regla de la cadena para la funcion w = f(x, y, z) si: (a) x = x(t), y = y(t) yz = z(t); (b) x = x(u, v), y = y(u, v) y z = z(u, v).

3. Usa la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales de w respecto de u y v en los siguientes casos:

(a) w = x2−2xy +y2 , con x = u + 2v e y = uv (b) w = xyz , con x = u + v, y = u− v y z = uv2

4. Halla las derivadas parciales de z respecto de ρ y θ (coordenadas polares) de las dos formas siguientes:usando la regla de la cadena y obteniendo primero la expresion de z en polares.

(a) z =√

1− x2 − y2 (b) z = arctany

x

5. Deriva implıcitamente a y respecto de x en la ecuacion: y3 + y2 − 5y− x2 + 4 = 0. ¿Cual es la pendientede la curva representada por la ecuacion en el punto de abscisa −1 y ordenada negativa?

6. Deriva implıcitamente a z respecto de x e y en la ecuacion 3x2z − x2y2 + 2z3 + 3yz + 15 = 0, y calculasus valores en el punto de la superficie donde x = 2 e y = −1.

7. El radio de un cilindro circular recto se incrementa a razon de 6 centımetros por minuto y la alturadecrece a razon de 4 centımetros por minuto. ¿Cual es la velocidad o ritmo de cambio del volumen y delarea superficial del cilindro cuando el radio es de 12 centımetros y la altura de 36 centımetros?



9.1. Diferenciacion 9.1.4. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE

Derivada direccional de funciones de dos variablesSea f(x, y) una funcion de dos variables y u = (cos θ, sen θ), 0 ≤ θ < 2π, un vector unitario. Se llama derivadadireccional de f en (a, b) en la direccion de u al siguiente lımite (si existe):

Duf(a, b) = Dθf(a, b) = limh→0

f (a + h cos θ, b + h sen θ)− f(a, b)h

Cuando la funcion es diferenciable en el punto, la derivada direccional se puede expresar en funcion de lasderivadas parciales:

Duf(a, b) = Dθf(a, b) = fx(a, b) cos θ + fy(a, b) sen θ

Gradiente de funciones de dos variablesSe llama gradiente de la funcion diferenciable f al vector cuyas componentes son las derivadas parciales:

∇f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y))

Usando el gradiente, la derivada direccional se puede expresar mediante el producto escalar:

Duf(a, b) = ∇f(a, b) · uPropiedades del gradiente de una funcion de dos variables

• Si ∇f(a, b) = 0, entonces Duf(a, b) = 0 para todo u.

• La derivada direccional en (a, b) es maxima en la direccion del vector gradiente ∇f(a, b) (direccion demaximo incremento de f), siendo ‖∇f(a, b)‖ su valor maximo.

• La derivada direccional en (a, b) es mınima en la direccion del vector −∇f(a, b) (direccion de mınimoincremento de f), siendo −‖∇f(a, b)‖ su valor mınimo.

• La derivada direccional en (a, b) es nula en cualquier direccion perpendicular al vector gradiente.

Derivada direccional y gradiente de una funcion de tres variablesLa derivada direccional de f(x, y, z) en (a, b, c) en la direccion del vector unitario u = (u1, u2, u3) es

Duf(a, b, c) = fx(a, b, c)u1 + fy(a, b, c)u2 + fz(a, b, c)u3 = ∇f(a, b, c) · udonde

∇f(a, b, c) = (fx(a, b, c), fy(a, b, c), fz(a, b, c))

es el vector gradiente, que tiene las mismas propiedades que en el caso de dos variables.

Ejercicios

1. Halla las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direcciones que se indican:(a) f(x, y) = 5 + x2 − 3y2, en el punto (1, 2) y el la direccion θ = π

6 .(b) f(x, y) = y2 sen(3xy), en el punto (π, 1) y el la direccion v = 3i− 4j.

2. Usa el gradiente para hallar la derivada direccional de f(x, y) = 3x2 − 2y2 en P (−3/4, 0) en la direccionque va de P a Q(0, 1).

3. La temperatura en grados centıgrados en la superficie de una placa metalica es T (x, y) = 20− 4x2 − y2,donde x e y se expresan en centımetros. A partir del punto (2,−3), ¿en que direccion aumenta masrapidamente la temperatura de la placa? ¿Cual es el ritmo de crecimiento?

4. Halla el vector gradiente de la funcion f(x, y, z) = x2 + y2 − 4z, ası como las direcciones de maximo ymınimo incremento de f en el punto (2,−1, 1). ¿Existe alguna direccion en la que la derivada direccionalsea nula?



9.1. Diferenciacion 9.1.5. APLICACIONES GEOMETRICAS

Recta normal y plano tangente a una superficieSi S es una superficie de ecuacion implıcita F (x, y, z) = 0, y P (a, b, c) un punto de la misma en el que∇F (a, b, c) 6= 0, entonces un vector normal a S en P es ∇F (a, b, c) y, en consecuencia:

• La recta normal a la superficie S en el punto P es la que pasa por P con vector de direccion ∇F (a, b, c),cuya ecuacion es:

(x, y, z) = (a, b, c) + λ (Fx(a, b, c), Fy(a, b, c), Fz(a, b, c))

• El plano tangente a la superficie S en el punto P es el que pasa por P con vector normal ∇F (a, b, c),cuya ecuacion es:

Fx(a, b, c)(x− a) + Fy(a, b, c)(y − b) + Fz(a, b, c)(z − c) = 0

ObservacionSi la superficie viene dada en forma explıcita, z = f(x, y), entonces F (x, y, z) = f(x, y)− z y el vector normalen el punto P (a, b, c) es:

∇F (a, b, c) = (Fx(a, b, c), Fy(a, b, c), Fz(a, b, c)) = (fx(a, b), fy(a, b),−1)

Recta tangente a una curva dada como interseccion de superficiesSi Γ es la curva dada por la interseccion de las superficies F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0, su recta tangente enel punto P (a, b, c) es paralela al producto vectorial de los vectores perpendiculares a cada una de las superficies,es decir, paralela al vector: ∇F (a, b, c)×∇G(a, b, c). Su ecuacion vectorial es:

(x, y, z) = (a, b, c) + λ (∇F (a, b, c)×∇G(a, b, c))

Ejercicios

1. Halla ecuaciones de la recta normal y del plano tangente al hiperboloide z2 − 2x2 − 2y2 = 12 en el punto(1,−1, 4).

2. Halla ecuaciones de la recta normal y del plano tangente al paraboloide z = 1 − x2 − 2y2 en el punto(1,−1,−2).

3. Halla ecuaciones de la recta normal y del plano tangente a la superficie xy − x2z + xz2 + 4 = 0 en elpunto donde x = −1, y = 2 y z < 0.

4. Halla una ecuacion de la recta tangente a la curva interseccion de las superficies x2 + y2 + z2 = 6 yx + y − z = 0 en el punto (2,−1, 1).



9.1. Diferenciacion EJERCICIOS

1. Halla las derivadas parciales primeras de las siguientes funciones:

(a) f(x, y) = esen yx (b) f(x, y) = arctan

y

x(c) f(x, y) = xy (d) f(x, y, z) = (xy)z

2. Una medida de la percepcion del calor ambiental se mide por el ındice de temperatura aparente:

A(t, h) = 0, 885t− 22, 4h + 1, 20th− 0, 544 grados centıgrados

donde t es la temperatura del aire y h la humedad relativa en tanto por uno. (a) Halla el ındice detemperatura aparente y sus derivadas parciales cuando la temperatura del aire es 30oC y la humedadrelativa del aire es del 80%; (b) ¿Que influye mas sobre el ındice, la temperatura del aire o la humedad.

3. Si el radio y la altura de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4% y 2%, respectiva-mente, ¿cual es el error relativo que se puede cometer al medir el volumen?

4. Dos lados adyacentes de un triangulo miden 3± 0, 01 y 4± 0, 01 metros, y el angulo comprendido entreellos mide π/4± 0, 02 radianes. ¿Cual es el maximo error que se puede cometer al hallar su area?

5. La potencia electrica viene dada por la formula P = E2

R , donde E es el voltaje y R la resistencia. Aproximael error relativo que se puede cometer al hallar la potencia si se aplican 200 voltios a una resistencia de4000 ohmios, medidos con errores relativos del 2% y 3%, respectivamente.

6. Usa la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales, con respecto a u y v, en los siguientes casos:(a) z = x2 sen(xy) + y2 cos(xy), con x = u2v e y = uv2.(b) w = xy + xz + yz, con x = uv, y = u2 y z = v2.

7. Calcula las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direcciones que se indican:(a) f(x, y) = ln

√x2 + y2, en el punto (1,−1) y en la direccion del vector v = (2, 1).

(b) f(x, y) = ex cos(xy), en el punto (−1, π2 ) y en la direccion del vector v = −3i + 4j.

8. Se considera la funcion f(x, y) = 1πex+y +

∫ x0

t2√t4+1

dt.(a) Prueba que es diferenciable en todo el plano.(b) Calcula la derivada direccional en el origen segun el vector v = (1, 2).(c) ¿En que direccion es maxima la derivada direccional en el origen? ¿Cual es su valor?

9. Se consideran las funciones:

f(x, y) =

x+y1−xy , si xy 6= 1

0 . si xy = 1g(x, y) =

xy

x4+y6 , si (x, y) 6= (0, 0)

0 . si (x, y) = (0, 0)

(a) Estudia la continuidad y diferenciabilidad.(b) Halla las derivadas parciales en el origen y, si existe, la derivada direccional segun el vector v = (1, 2).(c) ¿En que direccion es maxima la derivada direccional en el origen? ¿Y nula?

10. Un rastreador termico se encuentra en el punto (2,−3) sobre una placa metalica cuya temperatura vienedada por la funcion T (x, y) = 20− 4x2 − y2. Si el rastreador se mueve continuamente en la direccion demaximo incremento de temperatura, ¿cual sera su trayectoria?

11. Halla la ecuacion del plano tangente a la superficie z = 1xy en el punto (1, 1, 1).



9.2. Extremos 9.2.1. POLINOMIOS DE TAYLOR

Polinomios de Taylor y de McLaurinSe llama polinomio de Taylor de orden n ≥ 1 de la funcion f(x, y) en (a, b) al polinomio:

P (a,b)n (x, y) = f(a, b) +

∂f(a, b)∂x

(x− a) +∂f(a, b)

∂y(y − b)+

+12!

(∂2f(a, b)

∂x2(x− a)2 + 2

∂2f(a, b)∂x∂y

(x− a)(y − b) +∂2f(a, b)

∂y2(y − b)2

)+ . . .+

+1n!

n∑

k=0

(n

k

)∂nf(a, b)∂xn−k∂yk

(x− a)n−k(y − b)k

En el caso particular en que (a, b) = (0, 0) se obtiene el polinomio de McLaurin:

Pn(x, y) = f(0, 0) +∂f(0, 0)

∂xx +

∂f(0, 0)∂y

y +12!

(∂2f(0, 0)

∂x2x2 + 2

∂2f(0, 0)∂x∂y

xy +∂2f(0, 0)

∂y2y2

)+ . . .+

+1n!

n∑

k=0

(n

k

)∂nf(0, 0)∂xn−k∂yk

xn−kyk

Ejercicios

1. Obten el polinomio de McLaurin de orden 2 de la funcion f(x, y) = x cos y + y senx.

2. Obten el polinomio de Taylor de orden 3 de la funcion f(x, y) = ln xy en el punto (1, 1).



9.2. Extremos 9.2.2. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS

Extremos relativosSea f(x, y) una funcion definida sobre el conjunto R del que (a, b) es un punto interior. Se dice que:

• La funcion f alcanza un mınimo relativo en el punto (a, b) si en un entorno del punto: f(x, y) ≥ f(a, b).

• La funcion f alcanza un maximo relativo en el punto (a, b) si en un entorno del punto: f(x, y) ≤ f(a, b).

Puntos crıticosSea f(x, y) una funcion definida sobre el conjunto R del que (a, b) es un punto interior. Se dice que (a, b) esun punto crıtico de f si en dicho punto se anulan las dos derivadas parciales o no existe alguna de ellas.

Criterio de las primeras derivadas parciales para la determinacion de extremos relativosUna funcion definida sobre un abierto solo puede alcanzar extremos relativos en los puntos crıticos, es decir,donde se anulan las dos derivadas parciales o no existe alguna de ellas.

Matriz hessianaDada una funcion f diferenciable dos veces en el punto (a, b), se llama matriz hessiana de f en (a, b) a lamatriz:

Hf (a, b) =(

fxx(a, b) fxy(a, b)fyx(a, b) fyy(a, b)

)

Criterio de las segundas derivadas parciales para la determinacion de extremos relativosSea f una funcion con segundas derivadas parciales continuas en una region abierta que contiene al punto (a, b)que es crıtico (fx(a, b) = fy(a, b) = 0). Entonces:

• Si |Hf (a, b)| > 0 y fxx(a, b) > 0, f tiene un mınimo relativo en (a, b).

• Si |Hf (a, b)| > 0 y fxx(a, b) < 0, f tiene un maximo relativo en (a, b).

• Si |Hf (a, b)| < 0, f tiene un punto de silla en (a, b).

• Si |Hf (a, b)| = 0, este criterio no lleva a ninguna conclusion.

Extremos absolutosSea f(x, y) una funcion definida sobre el conjunto R. Se dice que:

• La funcion f alcanza un mınimo absoluto en el punto (a, b) si: f(x, y) ≥ f(a, b), para todo (x, y) ∈ R.

• La funcion f alcanza un maximo absoluto en el punto (a, b) si: f(x, y) ≤ f(a, b), para todo (x, y) ∈ R.

Para la existencia de extremos absolutos se considera el teorema de Weierstrass: toda funcion continua definidasobre un conjunto cerrado y acotado alcanza su maximo y su mınimo absolutos.Para determinar los extremos absolutos hay que tener en cuenta que se pueden alcanzar tanto en los extremosrelativos como en la frontera del dominio de definicion.

Ejercicios

1. Determina los extremos relativos de las siguientes funciones:(a) f(x, y) = 2x2 + y2 + 8x− 6y + 20; (b) f(x, y) = 1− 3

√x2 + y2.

2. Determina los extremos relativos de las siguientes funciones:(a) f(x, y) = −x3 + 4xy − 2y2 + 1; (b) f(x, y) = x2y2.

3. Determina los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = sen(xy) en [0, π]× [0, 1].



9.2. Extremos 9.2.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

Problemas de optimizacionComo en el caso de funciones de una variable, una aplicacion muy importante del calculo de derivadas defunciones de varias variables es la resolucion de problemas de optimizacion, es decir, problemas relativos ahallar un extremo absoluto (maximo o mınimo) de una funcion en un cierto dominio.

Ejercicios

1. Una caja rectangular descansa en el plano z = 0 con uno de sus vertices en el origen y el opuesto en elprimer octante sobre el plano 6x + 4y + 3z = 24. ¿Cual es el volumen maximo de la caja?

2. Un fabricante de artıculos electronicos determina que los beneficios obtenidos con la fabricacion de xunidades de un reproductor de DVD e y unidades de un grabador de DVD vienen dados por la funcion

P (x, y) = 8x + 10y − 0, 001(x2 + xy + y2)− 10000 euros

¿Cuantas unidades debe fabricar de cada producto para obtener el maximo beneficio? ¿Cual es?

3. Se quiere construir un canal cuya seccion sea un trapecio isosceles de base x y lado inclinado y conx + 2y = 1 metro. ¿Cual debe ser el angulo exterior de los lados inclinados y cuanto deben medir loslados para que tenga seccion maxima.

4. Demuestra que el cubo es la caja rectangular de volumen maximo inscrita en una esfera.

5. Una empresa fabrica velas en dos lugares distintos. El costo de produccion de x unidades en el lugar 1es C1(x) = 0, 02x2 + 4x + 500, y en lugar 2 es C2(x) = 0, 05x2 + 4x + 275.(a) Interpreta las diferencias entre estas dos funciones de costo.(b) Si las velas se venden a 15e por unidad, ¿cual es el beneficio obtenido con la venta de x unidadesproducidas en 1 e y unidades producidas en 2?(c) Determina las unidades que se deben producir en cada lugar para que el beneficio sea maximo.



9.2. Extremos 9.2.4. EXTREMOS CONDICIONADOS

Extremos condicionadosMuchos problemas de optimizacion requieren de la obtencion de algun extremo (maximo o mınimo) absolutode cierta funcion f , llamada funcion objetivo, que esta definida sobre variables que deben verificar ciertascondiciones, dadas por medio de ecuaciones, llamadas restricciones o ligaduras. Estos extremos se llamanextremos condicionados, y se resuelven usando el conocido como metodo de los multiplicadores de Lagrange.

El metodo de los multiplicadores de LagrangeA continuacion se expondra el metodo de los multiplicadores de Lagrange en los casos mas usuales. Entodos ellos, f y gi son funciones con primeras derivadas parciales continuas.

• Dos variables y una ligadura. Para hallar el extremo absoluto de f(x, y) sometido a la restricciong(x, y) = 0, se procede ası:

1. Se considera la funcion F (x, y) = f(x, y) + λg(x, y) y se resuelve el sistema:

∇F (x, y) = 0g(x, y) = 0

que es equivalente a:

fx(x, y) + λgx(x, y) = 0fy(x, y) + λgy(x, y) = 0g(x, y) = 0

2. Se evalua f en cada solucion del sistema. El valor mayor y el menor valor obtenidos dan el maximoy el mınimo de f , respectivamente, condicionado a la ligadura.

• Tres variables y una o dos ligaduras. Para hallar el extremo absoluto de f(x, y) sometido a lasrestricciones g1(x, y, z) = 0 y g2(x, y, z) = 0, se procede ası:

1. Se considera la funcion F (x, y, z) = f(x, y, z) + λ1g1(x, y, z) + λ2g2(x, y, z) y se resuelve el sistema:

∇F (x, y, z) = 0g1(x, y, z) = 0g2(x, y, z) = 0

2. Se evalua f en cada solucion del sistema. El valor mayor y el menor valor obtenidos dan el maximoy el mınimo de f , respectivamente, condicionados a las ligaduras.

Ejercicios

1. Halla el valor maximo que alcanza la funcion f(x, y) = xy, sobre la circunferencia x2 + y2 = 1.

2. Halla el valor mınimo que alcanza la funcion f(x, y, z) = 3x2 + y2 + 5z2 sobre el plano 3x + y − 2z = 2.

3. Sea T (x, y, z) = 20 + 2x + 2y + z2 la temperatura en cada punto de la esfera x2 + y2 + z2 = 11. Halla lastemperaturas extremas sobre la curva interseccion del plano x + y + z = 3 con la esfera.

4. Halla los valores extremos de la funcion f(x, y) = x2 + 2y2 − 2x + 3 en el cırculo x2 + y2 ≤ 10.

5. Halla las dimensiones del paralelepıpedo de volumen maximo que se puede construir siendo 1 metro lasuma de las longitudes de sus lados distintos.



9.2. Extremos EJERCICIOS

1. Obten el polinomio de McLaurin de orden 3 de la funcion f(x, y) = ex cos y.

2. Obten el polinomio de Taylor de orden 2 de la funcion f(x, y) = x3 + y2 + xy2 en el punto (1, 2).

3. Halla los extremos relativos de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = x4 + y4 + 6x2y2 + 8x3;(b) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 12y + 5; (c) f(x, y) = (1− x)(1− 2x)(1− y)(1− 2y).

4. Halla los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones en el recinto que se indica:(a) f(x, y) = x2 − y2, en R =

(x, y) : y − x2 + 1 ≥ 0 , y + x2 − 1 ≤ 0

.

(b) f(x, y) = xy, en R =(x, y) : x2 + y2 ≤ a2

, a > 0.

5. Calcula el area del mayor rectangulo con lados paralelos a los ejes inscrito en: (a) un cırculo de radio r;(b) una elipse de semiejes a y b.

6. Se considera la circunferencia C interseccion de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el plano x + y + z = 1, y elpunto P (0, 3, 3).(a) Obten las coordenadas del punto Q sobre la circunferencia C cuya distancia a P sea mınima.(b) ¿Cual es el valor de esa distancia mınima?

7. Se desea construir una caja cerrada rectangular de volumen 10 cm3 usando tres materiales diferentes paracada par de caras opuestas. El precio de los materiales es de 1e, 2e y 5e el cm2, respectivamente.Determina las dimensiones de la caja mas economica.

8. Halla el volumen maximo de un prisma rectangular de area igual a 6 m2.

9. Una fabrica, que produce tres productos diferentes en cantidades x, y y z, obtiene un beneficio iguala B(x, y, z) = 2x + 8y + 24z. Encuentra las cantidades que se deben producir, sujetas a la restriccionx2 + 2y2 + 4z2 = 4, 5 · 109, para que beneficio sea maximo.

10. Calcula el mınimo y maximo absolutos de:(a) f(x, y, z) = ex+y+z2

, sobre Γ =(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 4 , x2 + y2 = 1

.

(b) f(x, y, z) = x + y + z, sobre Γ =(x, y, z) : x2 + y2 = 2 , x + z = 1

.

Cálculo Infinitesimal. curso 2008-2009. Univ. Politéc. de Madrid. Mata - Reyes

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