Calculo Integral 2012A

Cálculo integralCálculo integral

DERECHOS RESERVADOS

Queda prohibida la reproducción o trans-misión total o parcial del texto de la pre-sente obra, bajo cualquier forma electró-nica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

1ª EdiciónDiciembre de 2011

Impreso en México

Dirección y realización del proyectoLCC. Gabriel Barragán Casares Director general del Colegio de Bachilleres del estado de Yucatán

Planeación y coordinaciónLic. Alejandro Salazar OrtegaDirector académico

Metodología y estrategia didácticaLic. Lorenzo Escalante PérezJefe del Departamento de Servicios Académicos

CoordinaciónL.M. Davy Alejandro Pérez Chan

ISBN: 978-607-489-304-5

Cálculo integral

II

La reforma integral de la Educación Media Superior

La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser atendidos sólo si este nivel educativo se desarrolla con una identidad definida que permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos pro-puestos. Es importante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un panorama general articulado y sin que exista suficiente comunicación entre ellos. El reto es encontrar los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y de esta manera lograr entre todos, reglas claras de operación. Es im-portante para el desarrollo de la EMS, que ustedes docentes y estudiantes conoz-can los ejes que la regulan, cómo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir a partir de dicho conocimiento una actitud diferente que nos permita coadyuvar en este esfuerzo.

Los diferentes subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estruc-turas los cuales pretendieron dar la pertinencia, eficacia y calidad necesarias para que la población a la que atiende (jóvenes entre los 15 y 21 años aproximadamente) adquiriera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más ge-neral, en la vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos, y cómo tales deben reunir, en adición a los conocimientos y ha-bilidades que definirán su desarrollo personal, una serie de actitudes y valores que tengan un impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto.

Es en este contexto que las autoridades educativas del país han propuesto la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos consisten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de mecanismos que permitan articular los diferentes actores en un Sistema Nacional de Bachillerato, dentro del cual se pueda garantizar además de lo anterior, tránsito de estudiantes, intercambio de experiencias de aprendizaje y la certificación de los mismos.

Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y que incluye: Competencias Genéricas, Competencias Disciplinares (básicas y exten-didas) y Competencias Profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara, los componentes comunes entre los diversos subsistemas, así como aquellos que son propios de cada uno y que por consiguiente, los hace dis-tintos. Lo anterior muestra cómo la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del país, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro país.

Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y acti-tudes en un contexto específico. Esta estructura reordena y enriquece los planes y programas de estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reempla-zarlos, sino complementarlos y especificarlos. Define estándares compartidos que hacen más flexible y pertinente el currículo de la EMS.

Cálculo integral

III

Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachille-rato general, el cual en la definición del MCC de la reforma integral, deberá de-sarrollar en los estudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas, competencias disciplinares básicas y extendidas, además de competen-cias profesionales básicas.

Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar; las que les permiten comprender el mundo e influir en él; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus vi-das, y para desarrollar relaciones armónicas con quienes les rodean, así como parti-cipar eficazmente en los ámbitos social, profesional y político. Dada su importancia, dichas competencias se identifican también como competencias clave y constituyen el perfil del egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se listan las competencias genéricas, agrupadas en sus categorías correspondientes:

Se autodetermina y cuida de sí

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresio-nes en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y comunica

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Piensa crítica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, con-siderando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conoci-mientos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo disciplinar para que los estudiantes se desarrollen de manera eficaz en dife-rentes contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser básicas o extendidas.

IV

Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacida-des que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y pro-gramas de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la formación de los estudiantes en las competencias genéricas que inte-gran el perfil de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educati-vos, contenidos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Eco-logía), Ciencias Sociales y Humanidades (Historia, Sociología, Política, Economía, Administración, Lógica, Ética, Filosofía y Estética) y Comunicación (Lectura y Ex-presión oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informática).

Las competencias disciplinares extendidas dan sustento a las competen-cias genéricas del perfil del egresado del bachillerato, además de que tienen como propósito preparar al estudiante para el nivel superior de estudios, especificando en los elementos disciplinares correspondientes y en su caso, incrementando la complejidad de la competencia a desarrollar. Al igual que las disciplinares básicas se agrupan en los campos de conocimiento del Bachillerato General.

Matemáticas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáti-cos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o na-tural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitu-des del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proce-so o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemá-ticos y científicos.

ESTRATEGIA DIDÁCTICA

Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableció una estrategia que permita integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes.

V

Se le denomina estrategia en el sentido de su flexibilidad, ya que no pretende ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que puede adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan las sesiones de aprendizaje.

La estrategia consta de siete pasos o etapas que deberán conocerse en las primeras sesiones, para un mejor desarrollo de los bloques. Los pasos se listan y describen a continuación:

• Dinamización.

• Contextualización.

• Problematización.

• Formación, adquisición, desarrollo y construcción de competencias.

• Síntesis.

• Realimentación.

• Evaluación de la competencia.

Dinamización

En el proceso de construcción del aprendizaje, es indispensable para el facilitador tener evidencia de los aprendizajes previos que el alumno ha adquirido y conside-rar que es a partir de éstos que se desarrollarán los nuevos, motivando a la cola-boración del estudiante en el mismo proceso.

Contextualización

En el desarrollo de competencias es necesario el aprendizaje contextual, es decir, presentar elementos a través de escenarios que le sean significativos a los estudian-tes. La contextualización deberá realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio.

Problematización

En el modelo de competencias que la RIEMS establece, el contenido toma un signi-ficado primordial al acercarnos a él, a través, de su aplicación en la vida cotidiana, por tanto, la problematización debe estar presente a lo largo de toda la estrategia en el aula.

Formación, adquisición, desarrollo y construcción de competencias

Etapa en la cual el facilitador, a partir de diversas experiencias de aprendizaje, muestra el quehacer del estudiante para lograr las competencias. En esta etapa de la estrategia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proceso de asi-milación. Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenómeno inmediato.

Las distintas etapas del proceso de asimilación que el alumno experi-menta para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivación, la cual debe fomentarse y mantenerse durante todo el curso, recordemos que si un alumno no está motivado, difícilmente aprenderá. La segunda etapa de este proceso es la formación de la BOA, esta incluye la forma que el facilitador utiliza para que el alumno desarrolle una competencia. La RIEMS sugiere la creatividad como método o forma de enseñanza para cumplir tales fines.

VI

La BOA puede llevarse a cabo de varias formas, cubriendo tres aspectos importantes: la orientación al alumno, que como ya dijimos debe estar precedida por una buena carga de motivación, dicha orientación puede ser de dos tipos, completa en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido, e incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno pueda descubrir o investigar por sí mismo. La generalidad es otro aspecto importante en la constitución del BOA, que puede ser concreta o gene-ralizada, es decir, el docente puede mostrar hechos concretos relativos a algún contenido, o puede abarcar el mismo contenido por medio de hechos generales, que tengan alguna relación con el concepto que se expone al alumno.

El modo de obtención es el último de los aspectos que incluye la BOA. Éste se presenta de dos formas: pre-elaborada e independiente. En la primera, el alumno llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador y en la segunda, los alumnos adquieren el conocimiento en forma independiente.

Síntesis

Actividad que permite integrar los aprendizajes del estudiante a través de eviden-cias de conocimiento, desempeño, producto y actitud de manera que el docente cuente con estrategias para la evaluación formativa logrando involucrar al estu-diante en procesos de coevaluación.

Evaluación de la competencia

Para llevar a cabo la evaluación sumativa de las competencias que se indican en los programas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del proceso, es decir, no debe en ningún momento separarse de la formativa. La mejor forma de lograr esta unidad será integrando un portafolio de evidencias de aprendizaje.

Dinamización Síntesis

Contextualización Realimentación

Problematización Evaluación de la competencia

Formación, adquisición, desarrollo y construcción de competencias

VII

ContenidoBloque I: Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas 3

Sesión 1: La diferencial y sus aplicaciones 5

Diferenciales 6

Aproximaciones de radicales por variables 8

Aproximación de raíces por el método de Newton 11

Estimación de errores 14

Bloque II: Determinas la primitiva de una función e integras funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas 19

Sesión 1: Primitivas. La integral indefinida.

Fórmulas de integración inmediata 20

Integral indefinida 22

Fórmulas de integración directa 24

La constante C 32

Sesión 2: Otras técnicas de integración. 36

Integración por cambio de variable 38

Integración por partes 38

Integración de potencias de funciones trigonométricas 42

Integración por fracciones parciales 46

Integración por sustitución trigonométrica 50

VIII

Bloque III: Calculas e interpretas el área bajo la curva en el contexto de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas 65

Sesión 1: Sumas de Riemann y la integral definida 66

Sumas de Riemann y el problema del área 68

La integral definida como sumas de Riemann 77

Sesión 2: El teorema fundamental del cálculo 82

Integración aproximada 83

Teorema fundamental del cálculo 85

Bloque IV: Resuelves problemas de aplicación de la integral definida en situaciones reales en el campo de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas 99

Sesión 1: Áreas y volúmenes generados por curvas 100

Áreas por integración y áreas entre curvas 103

Volúmenes de sólidos de revolución 111

Sesión 2: Otras aplicaciones de la integral 120

Aplicaciones a la Economía y Biología 134

IX

Bloque I: Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativasObjetos de aprendizaje

• La diferencial.

• Aproximaciones de variables.

• Estimación de errores.

Desempeños del estudiante • Calcula e interpreta aproximaciones de la derivada de modelos matemáticos relativos a diversas

disciplinas, a partir de su representación gráfica y la determinación de su diferencial.

• Aplica la diferencial para determinar el error presente en el resultado de la medición de una magnitud en diferentes situaciones.

Competencias a desarrollar• Interpreta gráficamente el modelo matemático de fenómeno de su entorno y aproxima el com-

portamiento de su derivada a partir del cálculo de la diferencial.

• Analiza el error obtenido mediante la aplicación de la diferencial para determinar la precisión en la medición de una magnitud y cómo afecta la confiabilidad de ésta en situaciones reales de su contexto.

• Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debili-dades al trabajar con aproximaciones y estimación de errores.

DinamizaciónEn la parte final de tu travesía en el bachillerato has tenido la oportunidad de com-prender y desarrollar las diferentes habilidades y destrezas propias de tu perfil. Más aún, en esta especialidad te has adentrado al manejo de herramientas matemáticas y analíticas que te permitirán relacionarte con las carreras afines a la especialidad. Sobre este tenor quizás ya estés orientado al estudio superior que te dirigirás, razón por la cual es recomendable que medites sobre los alcances que has logrado en es-tos 5 semestres para entrelazarlos con los que se te proporcionarán en este último.

Como quedó establecido en la obra del pasado semestre, el estudio del cálculo se puede dividir en dos grandes ramas:

Cálculo

Diferencial Integral

En este semestre nos enfocaremos en el estudio del cálculo integral con su proceso natural que es la integración.

Estas ramas curriculares se encuentran conectadas y en ocasiones es difícil realizar una separación entre ellas, por eso la mayoría de las obras de cálculo contiene en un solo tomo el cálculo diferencial y el integral. Para nuestro estudio y con fines didácticos-pedagógicos las hemos separado en dos unidades curriculares, de manera que, a pesar de su extensión, podamos trabajarlas de forma adecuada en cada semestre.

Ya se ha hablado sobre el origen del cálculo en la pasada obra, de manera que prácticamente hemos aterrizado los conceptos básicos de la procedencia y descu-brimiento de tal disciplina. En modo general tenemos a los pensadores que la nutren hasta llegar a donde la conocemos y estudiamos.

En la primera sesión nos dedicaremos a analizar el concepto final de la diferencial en sus diferentes aplicaciones geométricas y analíticas, con el fin de utilizar algunos métodos para determinar las raíces de las ecuaciones. Durante la sesión final del bloque nos adentraremos al concepto básico de integral, así como de las reglas que nos permitirán determinarlas.

En resumen, el cálculo integral también nos orienta hacia el entendimiento de diferentes procesos naturales, científicos y sociales, por lo que, sin importar tu orientación hacia los estudios superiores, te ofrecerá una nueva forma de ver, apre-ciar y utilizar las matemáticas.

Bloque I

4

Sesión 1: La diferencial y sus aplicacionesCriterios:

• Reconozco la definición de diferencial, así como de los elementos que la constituyen según se me presenten.

• Relaciono los elementos que componen la diferencial, ya sea de forma analítica o gráfica.

• Realizo aproximaciones de incrementos a diversas situaciones y errores pequeños.

• Promuevo el estudio y aplicación de las diferenciales para resolver dife-rentes situaciones hipotéticas o reales.

• Empleo el diálogo y diferentes puntos de vista para reforzar la solución a problemáticas surgidas.

ContextualizaciónRecuerda que el cálculo provino de grandes problemáticas analizadas por diferentes estudiosos de la antigüedad y de tiempos modernos, entre tales retos figuraban los siguientes:

• Determinar la recta tangente en un punto específico de una curva conocida

• Hallar el valor máximo o mínimo de una curva

• Obtener la velocidad y aceleración en un tiempo específico que poseerá de un cuerpo que se mueve siguiendo una trayectoria establecida.

• En una curva obtener la longitud de un segmento de ella

• Encontrar el valor del área contenida en una región

• Determinar el volumen de un sólido

Los primeros tres aspectos se han analizado ya en la obra de cálculo dife-rencial, por lo tanto, las restantes tres caen en el ámbito del cálculo integral, que nos corresponde este semestre.

Como señalé anteriormente, el cálculo presenta una base para resolver si-tuaciones geométricas y analíticas, por ello vamos a realizar una conexión entre el cálculo diferencial e integral con esta primera puntualización. Se trata de las diferen-ciales. Es muy probable que manejes ya de memoria los mecanismos o más bien los teoremas de derivación de funciones, ya que los necesitarás aún en este semestre. De manera que es útil desde este momento que vayas discerniendo las relaciones biunívocas entre estas dos grandes ramas.

Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

5

ProblematizaciónSi nos presentan determinar las raíces de las siguientes ecuaciones:

a) x x2 2 1 0− + =

b) x x3 2 5 0+ − =O si nos piden determinar las raíces:

c) 273

d) 94

Sin el uso de calculadora quizás nos veríamos en predicamentos, pero al analizarlas con detenimiento quizás notemos que los incisos a) y c) son directos, dándonos las raíces de la ecuación x = 1. De forma instantánea la raíz cúbica de 27 es igual a 3. ¡Sin calculadora!

Pero qué sucede con las raíces de los incisos b) y d). En primer lugar sin cal-culadora se nos complica determinar estos valores, pues aparentemente nos darán valores decimales. A fin de obtener estos tipos de raíces, o más bien aproximaciones de ellas sin calculadora, en la antigüedad se utilizaban métodos numéricos recurriendo a la derivada.

Considerando estas bases y nociones comenzaremos nuestro recorrido con el contenido aplicativo del cálculo.

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competenciasDurante el pasado curso usamos el proceso de derivación de funciones y utilizamos las notaciones siguientes para referirnos a la derivada de una función diferenciable

y f x= ( ) :

dydx

f x= ´( )= Dx

En donde recordamos, que el símbolo dydx no representa un cociente sino a

la derivada de la función con variable dependiente y respecto de la variable indepen-diente x . Sin embargo, en cálculo integral existirán situaciones en donde se trabaje a dy y dx de modo separado.

Diferenciales

Definición: Si una función f está definida por la ecuación y f x= ( ) , entonces la diferencial de y será:

dy f x x= ´( )∆

En donde ésta se denota por dy . Además x está en el dominio de f´ y ∆x es un pequeño incremento arbitrario de x.

Bloque I

6

Por otro lado tenemos la definición de la diferencial de la variable dependiente:

Definición: Si una función f está definida por la ecuación y f x= ( ) , entonces la diferencial de x, será:

dx x= ∆

En donde esta se denota por dx . Además x está en el dominio de f´ y x∆ es un pequeño incremento arbitrario de x.

Con estas definiciones podemos dar a conocer la relación entre las diferenciales de las variables respectivas:

dy f x dx= ´( )

Esto señala que la diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.

Se nota también que dy depende de los valores de x y de dx . Si se tiene el valor de dx y x es tomado del dominio de la función, entonces dy podrá ser calculado.

Consideremos para una mejor aclaración, una interpretación geométrica de lo que estamos definiendo.

R

Q

y

x

y=f(x)

dy∆y

Sdx=∆(x)

x x+∆x

P

Figura 1.1 Representación gráfica de las diferenciales de f(x).

En la figura 1.1 se aprecian las gráficas de la función y=f(x), así como la recta tangente a ella en el punto P. Q es otro punto de la curva. Como el cambio en x es Δx, entonces el cambio en la variable y es:

∆ ∆y f x x f x= + −( ) ( )

Ya sabemos que la pendiente de la línea tangente PR es la derivada de la función f´(x). Como la distancia dirigida de S a R está dada por f x dx dy´( ) = , entonces:

Es necesario que repa-ses las definiciones de incrementos x∆ y y∆


7

dy representa la cantidad que la línea tangente aumenta o disminuye conforme x cambia por una cantidad dx.

∆y representa la cantidad que la curva y=f(x) aumenta o disminuye conforme x cambia por una cantidad dx.

Consideremos un ejemplo:

Ejemplo 1:

Halla el valor de dy cuando y x= + 3 y si x = 2 y ∆x = 0 04.

Solución:

Primero determinamos dy f x dx= ´( ) :

dyx

dx=+1

2 3

Ahora como x = 2 y ∆x dx= = 0 04. se tendrá que:

dyx

dx=+

=+

= =1

2 3

1

2 2 30 04 0 04

2 50 008944271. . .

Las diferenciales no sólo nos sirven para calcular incrementos sino también para determinar aproximaciones de radicales, así como de raíces de funciones, entre otros.

Consideremos por tanto la primera de las citadas.

Aproximaciones de radicales por variablesPara este caso pretendemos hallar el valor de las siguientes raíces a modo de ejem-

plos: 65 , 3403

Sin calculadora parecerían imposibles de realizar, pero con las diferenciales podrás realizar estas y otros tipos de radicales. Primero toma nota de los procesos que tienes que analizar.

• Analiza cuál función es la que se asocia al radical; por ejemplo, si tie-

nes an entonces estarías asociando la función y f x xn= =( ) .

• Determina el valor de la raíz exacta más cercana al radicando que se te presente, ya sea mayor o menor a él. Es decir, supongamos que

b cn = , donde a b< o a b> y son los valores más próximos entre sí.

• Halla el valor de a b dx− =

• Si a b< entones a c dyn = − donde dy f b dx= ´( )

• Si a b> entones a c dyn = + donde dy f b dx= ´( )

Bloque I

8

Para adoptar este proceso es mejor realizar los dos ejemplos previamente citados.

Ejemplo 2:

Encuentra mediante aproximación de radicales las siguientes raíces (sin calculadora).

a) 65

b) 3403

Solución:

Vamos a consolidar lo descrito anteriormente de manera que observa en cada inciso los pasos realizados.

a) En este caso n = 2 y a = 65 . De manera que la función a emplear sea

y f x x x= = =( ) /1 2 .

El valor del radicando más cercano a 65 con raíz exacta es 64, por lo que

64 8= , es decir, b = 64 y c = 8 .

Se tendrá que dx a b= − = − =65 64 1

Calculamosdy f b dx= ´( ) , lo cual nos da: dy

bdx= = = =1

2

1

2 641 1

2 8116

( )( )

.

Finalmente, como a b> entones a c dyn = + Esto queda:

65 8 116

12916

8 0625= + = = .

Lo cual es una buena aproximación al valor real hecho con calculadora: 8.062257748…

b) Para este inciso se observa que n = 3 y a = 340. De manera que la función

a emplear sea y f x x x= = =( ) /3 1 3.

El valor del radicando más cercano a 340 con raíz exacta es 343, por lo que

343 73 = , es decir, b = 343 y c = 7 .

Notemos que dx a b= − = − =340 343 3

Determinamos dy f b dx= ´( ) , que nos da:

dybdx= = = = =1

3

1

3 3433 1

3 343

13 7

3 14923 23 3 2 2

( )( ) ( )

( )

Finalmente, como a b< entones a c dyn = − Esto queda:

340 7 149

34249

6 9795918373 = − = = . ...


9

Lo cual es una buena aproximación al valor real hecho con calculadora: 6.9795532047…

Cabe señalar que los cálculos realizados en estos incisos se determinaron sin calculadora, salvo las operaciones para verificar los resultados de las aproxima-ciones. Con el fin de visualizar estos aspectos presentamos la gráfica del inciso a.

x

f(65)=√65=?dy

-5 -5 10 15 20 25 30 35 40 -5 50 55 60 64 65

dx=1

y

Figura 1.2 Representación de relación entre dx y dy.

Actividad 1De forma individual representa gráficamente el inciso b del ejemplo 2. Además, co-menta en tu grupo las ventajas de realizar estas operaciones de radicales sin el uso de la calculadora. ¿En qué situaciones de la vida real serían útiles estos conocimientos?

Bloque I

10

Aproximación de raíces por el método de NewtonComo te comentaba al inicio de la sesión, las diferenciales tienen diversas aplica-ciones, entre ellas obtener las raíces de funciones. A este respecto Sir Isaac Newton ideó un algoritmo que hasta ahora lo utilizan en sus programas las calculadoras científicas.

El método se describe a continuación:

Si se desea hallar la solución de una función de la forma f x( ) = 0 :

• Escoge una buena aproximación x1 de la raíz verdadera de la función. Lo óptimo es realizar una gráfica.

• Hallar una segunda aproximación x2 de la raíz con el valor de x1 . Realizar una tercera aproximación de la raíz con el valor de x3 de la raíz con el valor de x2 . Así sucesivamente hasta lograr si es posible que x xn n+ =1 . Los decimales utilizados son de importancia, de mane-ra que si tomas más será mucho mejor.

La regla a utilizar en este proceso es:

x x

f xf xn n

n

n+ = −1

( )´( )

Siempre que f xn´( ) ↑ 0

Te proporciono un ejemplo para que comprendas la utilidad de este mé-todo de Newton.

Ejemplo 3:

Utiliza el método de Newton para aproximar una raíz de las ecuaciones:

a) f x x x( ) = − + =2 2 1 0

b) g x x x( ) = + − =3 2 5 0


11

Solución:

Las representaciones gráficas de cada una de estas ecuaciones son:

2.5

2

1.5

1

0.5

-0.5

-0.5 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1

1

-1.5

x2-2x+1

x

yx3+2x-5

?

?

Figura 1.3 Gráfica de las funciones x x2 2 1 0− + = y x x3 2 5 0+ − = con sus intersecciones en el eje X.

a) Para este caso aparentemente la raíz verdadera es 1, así que vamos a tomar este valor como nuestra primera aproximación, es decir, x1 1 1= . .

Determinemos ahora x2y x3 :

x xf xf x2 1

1

1

2

1 1 1 1 2 1 1 12 1 1 2

1 1 0 01= − = − − +−

= −( )´( )

. [( . ) ( . ) ][ ( . ) ]

. .00 2

1 05.

.=

x xf xf x3 2

2

2

2

1 05 1 05 2 1 05 12 1 05 2

1 05= − = − − +−

=( )´( )

. [( . ) ( . ) ][ ( . ) ]

. −− =0 00250 1

1 025..

.

Nuestras suposiciones se están aclarando, ya que las aproximaciones tien-den al valor 1. Hagamos dos iteraciones más.

x xf xf x4 3

3

3

2

1 025 1 025 2 1 025 12 1 025 2

= − = − − +−

=( )´( )

. [( . ) ( . ) ][ ( . ) ]

11 025 0 0006250 05

1 0125. ..

.− =

x xf xf x5 4

4

4

2

1 0125 1 0125 2 1 0125 12 1 0125

= − = − − +( )´( )

. [( . ) ( . ) ][ ( . ) −−

=2

1 00625]

.

Conforme realicemos más aproximaciones nos estaremos acercando al valor

real de la solución que es 1. Esto se afirma ya que f ( )1 0= .

Podemos verificar que nos estamos acercando cada vez más a la raíz, ya

que f x f( ) ( . ) .5 1 00625 0 000039062= = .

Bloque I

12

b) En esta función y según la figura 1.3, tomaremos el valor inicial de x1 1 3= . que es el que aparentemente nos da la gráfica. Usaremos cuatro decimales para ser homogéneos en las tres iteraciones a realizar.

x xg xg x2 1

1

1

3

21 3 1 3 2 1 3 5

3 1 3 21 3287= − = − + −

+=

( )´( )

. [( . ) ( . ) ][ ( . ) ]

. ....

x xg xg x3 2

2

2

3

1 3287 1 3287 2 1 3287 53 1 3287

= − = − + −( )´( )

. [( . ) ( . ) ][ ( . )22 2

1 3282+

=]

. ...

x xg xg x4 3

3

3

3

1 3282 1 3282 2 1 3282 53 1 3282

= − = − + −( )´( )

. [( . ) ( . ) ][ ( . )22 2

1 3282+

=]

. ...

Aquí se presenta la situación con los 4 decimales utilizados, que: x x4 3= , de manera que con las condiciones dadas hallamos una excelente aproxi-mación de la raíz de la función. Donde g x( ) . ...4 0 0005021= −

Las raíces obtenidas difícilmente las podrías hallar sólo con la visión de la gráfica, pero con este método tienes la ventaja que a partir de una aproxi-mación cercana, podrás obtener nuevas aproximaciones; en donde el error se hace cada vez más pequeño conforme realizas más iteraciones.

Actividad 2En binas, hallen la representación gráfica y las aproximaciones de las siguientes fun-ciones, de manera que con tu docente acuerden la cantidad de decimales que se utilizarán en el proceso.

a) f x x( ) = −2 10

b) g x x x( ) cos= −2 2

Recuerda que al trabajar con funciones trigono-métricas en tu calcula-dora debes programarla en el modo RAD, es decir, en radianes.


13

Estimación de erroresLos errores pequeños de cálculo se pueden cometer por inexactitud de medición o por otras causas. Pero para determinar la influencia de estos errores en los resulta-dos, emplearemos el cálculo. Consideremos unos ejemplos.

Ejemplo 4:

Se determina que el diámetro de un círculo es de 4.2 cm con un error máximo de 0.05 cm. Halla el valor aproximado del máximo error que puede cometerse al calcular el área de ese círculo con la fórmula, A r= π 2 donde r es el valor del radio del círculo.

Solución:

El error máximo exacto que se obtiene en A será el cambio de su valor, es decir dA el cual es determinado con la fórmula de área dada en el momento en que el diámetro cambia de 4.2 cm a 4.25 cm.

El radio a considerar será entonces de 2.1 a 2.125, de donde dx=0.025

Tenemos que:

dA r dx cm= ⋅ = =2 2 2 1 0 025 0 3298 2π π ( . )( . ) .Ejemplo 5:

Obtén el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de 300 mm de diámetro y 1 mm de espesor.

Solución:

El volumen de una esfera de diámetro x es: V x= π 3

6 . El volumen exacto de esa cáscara es la diferencia ∆V entre los volúmenes de las dos esferas de diámetros 300 mm y 298 mm, respectivamente. Ya que dx=2 es un valor pequeño comparado con el diámetro de 300, hallaremos dV .

dV x dx= π 2

2

De aquí sustituimos los valores conocidos de x=300 y dx=2 obtenemos:

dV mm= =π ( ) ( ) .3002

2 282743 332

3

Esta aproximación es aceptable comparada con la real que es: ∆V = 280862 57. , ya que como se indicó antes el valor dx=2 es pequeño. De otra forma la aproximación realizada no sería aceptable.

Actividad 3Les propongo agruparse en equipos de 2 o 3 integrantes, bajo el visto bueno de tu docente, y resuelvan las siguientes situaciones que les presento. Al finalizarlas compartan sus experiencias con el resto del grupo de manera que se observen las posibles deficiencias de su trabajo y así hagan los cambios necesarios.

Bloque I

14

1. Determinen el peso aproximado de un tubo de metal de 6 m de largo si su diámetro interior es de 2 cm y su espesor es de ¼ de cm. El peso específico del metal considerado es de 7.8 kg/dm.

2. Una placa circular se dilata bajo el calor del sol, de manera que su radio pasa de 10 a 10.4 cm. Determinen su crecimiento aproximado en área.

SíntesisA continuación te presento una serie de problemáticas que dará un refinamiento a las competencias de esta sesión abarcando las diferenciales.

1. Aproxima mediante diferenciales y sin el uso de la calculadora las siguientes raíces:

a) 10

b) 503

c) 20115

d) 1003

2. Representa y determina las aproximaciones a las raíces de cada una de las si-guientes funciones utilizando el método de Newton. Las iteraciones y decimales se los indicará su docente con el fin de realizar el mismo trabajo en aula.

a) x x2 3 1 0− + = (2 raíces)

b) x x3 5 3 0+ + = (1 raíz real)

c) x x3 5 3 0− + = (3 raíces)

d) x x x4 25 3 5 0+ + − = (2 raíces reales)

3. Una bola de metal de 10 cm de radio se reduce a un radio de 9.9 cm. Aproxima el decrecimiento en su:

a) área

b) volumen

4. La velocidad v en pies/seg de un objeto que está en caída libre una distancia h a partir del reposo está dada por la relación v h= 52 2. . Determina el error en v debido a una dificultad técnica en la medición de h en donde este error es de 0.3 pies.

5. Si una aeronave le diese vuelta a la Tierra a través del ecuador terrestre a una altura de 2 km, entonces, ¿cuántos km más recorre respecto de una persona que diese la vuelta caminando por el Ecuador?

6. Un tinaco cilíndrico sin tapa tendrá un revestimiento de 3 cm de espesor. Si el radio interno es de 5 cm y la altura es de 8 m, obtén la cantidad aproximada de material de revestimiento que se utilizará.

7. La quemadura de forma circular de una persona en su piel que tenga r cm de radio y un área A de quemadura en cm2 será claramente A r= π 2 . Determina la disminución del área de la quemadura cuando el radio disminuye de 2 cm a 1.6 cm.


15

RealimentaciónFinalmente te proporciono actividades que te servirán de trampolín final en el desa-rrollo de las competencias correspondientes.

I. Encuentra la raíz real de cada una de las funciones:

a) x x− =cos 0 (1 raíz)

b) x x3 3 1 0+ + = (1 raíz real)

c) x x4 25 5 0+ − = (2 raíces)

II. Se desea conocer el radio de un círculo y su área. Si el radio se puede medir con 0.01 cm de error y el área ha de tener precisión de 0.1 cm, determina el máximo radio para el cual ese proceso es veraz.

III. Halla el cambio en el área de un cono circular recto cuando:

d) El radio permanece constante mientras la altura cambia un poco

e) La altura permanece constante mientras el radio cambia un poco

IV. Una caja cerrada en forma cúbica y cuyo volumen es de 500cm3, se construye con seis cuadrados de material con costo de $2 por cm2 cada uno. Aproxima-damente ¿cuánto debe medir el lado de cada cuadrado de forma que el costo total del material tenga una variación de $30?

V. La medida de una arista de un cubo mide 12 cm con un posible error de 0.01 cm. Determina el error aproximado al calcular a partir de esa medida:

a) el volumen

b) el área de una de las caras

VI. El tiempo de oscilación de un péndulo se da mediante la relación t lg

22

= π En donde t está en segundos, l es la longitud del péndulo y g=9.8. Con todo esto encuentra:

a) La longitud de un péndulo que oscila dos veces por segundo.

b) La alteración del tiempo si el péndulo se alarga 2mm.

c) Cuánto se atrasaría o adelantaría en un día un reloj con esas características.

Bloque I

16

Rúbrica del bloqueTe proporciono la rúbrica de este primer bloque con el fin de que no olvides cuáles son los objetivos a considerar durante el mismo.

Rúbrica para la evaluación del bloque

Producto, logro o

desempeñoNivel de logro o desempeño

5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Conocimientos

Reconozco la definición de diferencial así como todos sus elementos que la constituyen según se me presenten aportando puntos de vista.

Reconozco la definición de diferencial así como sus elementos que la constituyen según se me presenten.

Reconozco la definición de diferencial así como algunos de sus elementos que la constituyen según se me presenten.

Reconozco la definición de diferencial pero ninguno de sus elementos que la constituyen.

No reconozco la definición de diferencial ni sus elementos que la constituyen.

Habilidades

Relaciono todos los elementos que componen la diferencial ya sea de forma analítica y de forma gráfica.

Realizo aproximaciones de incrementos a diversas situaciones así como de errores pequeños aportando detalles implícitos.

Relaciono algunos de los elementos que componen la diferencial ya sea de forma analítica o de forma gráfica.

Realizo aproximaciones de incrementos a diversas situaciones así como de errores pequeños.

Relaciono algunos de los elementos que componen la diferencial pero sólo de forma analítica o gráfica.

Realizo aproximaciones de incrementos sólo de algunas situaciones así como de errores pequeños.

Relaciono algunos de los elementos que componen la diferencial.

Realizo aproximaciones de incrementos sólo de algunas situaciones.

No puedo relacionar los elementos que componen la diferencial ya sea de forma analítica ni de forma gráfica.

No realizo aproximaciones de incrementos ni de errores pequeños.

Actitudes

Promuevo todo el tiempo el estudio y aplicación de las diferenciales para resolver diferentes situaciones, hipotéticas o reales.

Empleo el diálogo y diferentes puntos de vista para reforzar la solución a problemáticas surgidas en mi salón.

Promuevo el estudio y aplicación de las diferenciales para resolver diferentes situaciones, hipotéticas o reales.

Empleo el diálogo y diferentes puntos de vista para reforzar la solución a problemáticas surgidas en mi equipo.

Promuevo el estudio y aplicación de las diferenciales para resolver algunas de las situaciones, hipotéticas o reales, presentadas.

Empleo en ocasiones el diálogo y diferentes puntos de vista para reforzar la solución a problemáticas surgidas en mi equipo.

Promuevo el estudio y aplicación de las diferenciales para resolver algunas de las situaciones, hipotéticas o reales.

Empleo en ocasiones el diálogo o diferentes puntos de vista para reforzar la solución a problemáticas surgidas.

No promuevo el estudio y aplicación de las diferenciales para resolver diferentes situaciones, hipotéticas o reales.

No empleo el diálogo ni diferentes puntos de vista para reforzar la solución a problemáticas surgidas.

Puntaje 15 12 9 6 3


17

Bloque II: Determinas la primitiva de una función e integras funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativasObjetos de aprendizaje

• Funciones primitivas y antiderivadas

• Integral Indefinida.

Desempeños del estudiante• Determina la primitiva de una función como antecedente de la integral en el campo de las Ciencias

Exactas, Naturales, Sociales y Administrativas.

• Aplica el cálculo de las primitivas a problemas de su entorno, referentes al ámbito de las ciencias.

• Obtiene integrales indefinidas de funciones algebraicas y trascendentes de manera inmediata y me-diante el uso de técnicas de integración, en un contexto teórico como herramienta en la resolución de problemas reales.

Competencias a desarrollar• Resuelve problemas que involucren la obtención de la primitiva de una función y la interpreta en

situaciones reales de su entorno.

• Desarrolla la habilidad en el manejo de técnicas de integración en un contexto teórico.

• Valora el trabajo en equipo como una alternativa para mejorar sus habilidades operacionales en el cálculo de integrales indefinidas.

Dinamización Nos acercaremos al concepto básico de la integral indefinida así como al de cons-tante de integración, una vez analizados estos conceptos nos será factible continuar con algunas técnicas de integración. Esto es necesario ya que cuando nos topemos con situaciones que generen integrales no tan sencillas es útil aplicar los métodos alternativos de integración.

Se notará sobre la constante de integración que tiene su caracterización analítica y gráfica; pues lo mismo ocurrirá con la integral. Por ello, en este bloque también analizaremos el significado gráfico de la integral y en el bloque subsecuen-te, las aplicaciones específicas a diferentes ramas.

Siguiendo este argumento, el cálculo integral es en cierto modo más com-plejo que el cálculo diferencial, pero ello conlleva nuevas aplicaciones que no son adoptadas por el cálculo diferencial. Sólo me resta motivarte a adquirir las diversas actitudes y habilidades propias de este bloque que te proporciono con sus criterios.

Sesión 1: Primitivas. La integral indefinida. Fórmulas de integración inmediataCriterios

• Identifico qué es una antiderivada, la constante de integración y su signi-ficado geométrico y físico.

• Reconozco las fórmulas de integración inmediata que se requieren en diferentes tipos de integración pertinentes.

• Utilizo las diferentes fórmulas de integración inmediatas con el fin de ob-tener las antiderivadas de funciones de tipo algebraico, trigonométrico, exponencial y logarítmico.

• Caracterizo la aplicación de las integrales en problemas de ciencias na-turales y sociales que me proporcionen al determinar el valor de la cons-tante de integración.

• Aporto puntos de vista para resolver las diversas situaciones presentadas de manera que se cree un ambiente óptimo y relajado.

• Considero las actitudes y razonamientos de mis compañeros de manera reflexiva para llegar a un consenso respecto de la solución de conflictos.

ContextualizaciónEs claro hasta este momento que tras el estudio del cálculo diferencial ya hayas descubierto la interpretación de la derivada, así como la aplicación de los teoremas respectivos para llegar a su cálculo. A partir de esta sesión estaremos adentrándonos de forma directa al estudio del cálculo integral.

De manera similar en que la derivada se relaciona geométricamente a la pendiente de la recta tangente de una gráfica, la integral se compara con la interpre-tación del área de una región plana.

Bloque II

20

En esta sesión también abarcaremos los métodos directos de integración de funciones algebraicas, trigonométricas y trascendentales. De manera que es útil que desde ahora te vayas relacionando con el uso de tales métodos. Esto te servirá en el futuro cuando toquemos procesos o situaciones reales que requieran solución con el uso de las integrales.

ProblematizaciónConsidera las siguientes funciones que te enlisto:

a) f x x( ) = 2

b) g x x( ) = +2 2

c) h x x e( ) = − +2 610≠

Cuando derivas estas funciones seguro notarás la relación que surge a continuación.

f x g x h x x´( ) ´( ) ´( )= = = 2

De aquí surge la siguiente pregunta, ¿existirá otra función que al derivarla pueda darnos la misma relación, a saber, 2x?

En caso afirmativo, ¿cuál o cuáles serían?

¿Existirá una forma general de representar a esa familia de funciones cuya derivada nos proporciones 2x?

Discute esta situación con tus compañeros de manera que traten de repre-sentar esa forma general de modo gráfico. Comparen sus procesos y discutan sobre lo que sea necesario modificar.

Escribe los resultados obtenidos en las siguientes líneas:

Si te preguntaran cuál es la operación inversa a la adición o suma, seguro responderás que es la sustracción o resta. De modo similar si te cuestiono las ope-raciones inversas a la multiplicación y potenciación, es probable que respondas que son la división y radicación respectivamente.

En la obra de cálculo diferencial observamos que la diferencial es como un operador que si le “introducimos” una función a este operador diferencial obtenemos la derivada de dicha función.

Ahora, si te cuestionara ¿cuál sería la operación inversa a la diferenciación o derivada?, ¿qué responderías y por qué?

Determinas la primitiva de una función e integras funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

21

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competencias

Integral indefinidaDefinición. Una función F x f x´( ) ( )= se llama antiderivada o primitiva de la función f en

un intervalo del eje x, si F x f x´( ) ( )= para todo valor de x en ese intervalo.

A este respecto considera la función:

F x x x x( ) = − −3 24

Entonces se determina que F x x x´( ) = − −3 8 12 . Por lo tanto si tomamos

f x x x( ) = − −3 8 12

Estaríamos llegando a que: F x f x´( ) ( )=

Con lo que de acuerdo a la definición previa, F es la antiderivada de f .

Pero si consideramos la función:

G x x x x( ) = − − +3 24 1

Notarías que:

G x f x´( ) ( )=

Por lo tanto, existe más de una antiderivada para la función f x( ) . Estas an-tiderivadas difieren por una constante, de manera que la familia de las antiderivadas de la función dada estaría establecida por:

F x C( ) +

Esta afirmación se demostrará más adelante en un teorema.

Teniendo en cuenta esta afirmación presentamos una interpretación grá-fica de la función f y tres de sus antiderivadas que componen la familia dada por:

F x C( ) +

Bloque II

22

0.5

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

4

6

-0.5-1.5 -1-2-2.5-3 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x

yf(x)=3x3+8x-1

(x3-4x2-x)+4

(x3-4x2-x)-4 (x3-4x2-x)

Figura 2.1 Interpretación gráfica de la constante C en una familia de antiderivadas de la función f(x).

Teorema 2.1. Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces

cada antiderivada de f en I está definida por:

F x C( ) +

En donde C representa una constante arbitraria llamada constante de integración. Todas las antiderivadas de f en ese intervalo se pueden adquirir al darle valores peculiares a C .

Procedamos con su demostración:

Demostración:

Consideremos como G a otra antiderivada f en el intervalo I , entonces se tiene que G x f x´( ) ( )= para toda x en I . Además como se sabe que F es antiderivada de f en ese mismo intervalo se concluye que F x f x´( ) ( )= , de este modo al realizar la igualdad se obtendrá:

F x G x´( ) ´( )=Es decir:

F x G x´( ) ´( )− = 0

Para toda x en I .

Ahora tomemos la función definida en I :

H x F x G x( ) ( ) ( )= −


23

Al realizar su derivada se llegará a que H x F x G x'( ) ´( ) '( )= − = 0 , con lo que afirmamos que H x´( ) = 0 , o sea, existe una constante k, tal que en el intervalo se tiene:

H x k( ) =

De esta manera:

k F x G x= −( ) ( )

F x G x k( ) ( )= +

O bien:

G x F x C( ) ( )= +

Como G representa a cualquier antiderivada de f en I , entonces toda anti-

derivada de f puede obtenerse a partir de la relación F x C( ) + , con C constante.

Definición. El proceso por el cual se obtiene el conjunto de todas las antiderivadas de una función f x( ) se denomina antiderivación o antidiferen-ciación. Esta operación se representa con el símbolo ∫ y esto se escribe como

f x dx F x C( ) ( )= +∫

En el teorema anterior el símbolo f x dx( )∫ se denomina integral indefinida de f , F x C( ) + se llama antiderivada general de f y f misma es el integrando. Ade-más como se tiene que f x dx F x C( ) ( )= +∫ en donde F x f x´( ) ( )= y d F x f x dx( ( )) ( )= se observa que la antiderivación es la operación inversa a la derivación. Es decir:

ddx

f x dx f x dx∫ =[ ( )] ( )

Por ello los siguientes teoremas se pueden demostrar o deducir a partir de la diferenciación vista en el pasado semestre.

Fórmulas de integración directaMás que fórmulas, representamos estos hechos por medio de teoremas.

Teorema 2.2. af x dx a f x dx( ) ( )∫ ∫= , donde a es una constante.

Teorema 2.3. Si f f f fn1 2 3, , ,..., están definidas en un mismo intervalo y

c c c cn1 2 3, , ,..., son constantes, entonces:

c f x c f x c f x c f x dx c f x dx c f xn n1 1 2 2 3 3 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )± ± ± ± = ±∫ ddx c f x dx c f x dxn n± ± ± ∫∫∫∫ 3 3( ) ( )

c f x c f x c f x c f x dx c f x dx c f xn n1 1 2 2 3 3 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )± ± ± ± = ±∫ ddx c f x dx c f x dxn n± ± ± ∫∫∫∫ 3 3( ) ( )

Bloque II

24

Nota que en los dos teoremas anteriores sólo se destacan propiedades de la integral. La primera indica que una constante puede “salir” de la integral y así el integrando sólo se trata de la función f(x), la segunda muestra que es posible separar la integral con diferentes integrandos en diferentes integrales con cada integrando respectivo.

Algebraicas:

Teorema 2.4.1. dx x C= +∫

Teorema 2.4.2. x dx xn

nn

∫ =+

+1

1, para n ≠ −1 y n racional.

Trascendentes:

Teorema 2.4.3. dxx

x C= +∫ ln

Teorema 2.4.4. a dx aa

Cxx

= +∫ ln donde a>0 y a≠1

Teorema 2.4.5. e dx e Cx x= +∫

Trigonométricas:

Teorema 2.4.6. senxdx x C∫ = − +cos

Teorema 2.4.7. cosdx senx C= +∫

Teorema 2.4.8. tan ln secxdx x C= +∫

Teorema 2.4.9. cot lnxdx senx C= +∫

Teorema 2.4.10. sec ln sec tanxdx x x C= + +∫

Teorema 2.4.11. csc ln csc cotxdx x x C= − +∫

Teorema 2.4.12. sec tan2 xdx x C= +∫

Teorema 2.4.13. csc cot2 xdx x C= − +∫

Teorema 2.4.14. sec tan secx xdx x C= +∫

Teorema 2.4.15. csc cot cscx xdx x C= − +∫

En una integral no debe faltar el término dx.


25

Otros útiles:

Teorema 2.4.16. dx

a xarcsen Cx

a2 2−∫ = +

Teorema 2.4.17. dx

a xCa

xa2 2

1

+= +∫ arctan

Teorema 2.4.18. dx

x x aarcsen Ca

xa2 2

1

−= +∫

Teorema 2.4.19. dx

x ax ax a

Ca2 212−

= −+

+∫ ln

Teorema 2.4.20. dxa x

a xa x

Ca2 212−

= +−

+∫ ln

Teorema 2.4.21. dx

x ax x a C

2 2

2 2

+= + + +∫ ln

Teorema 2.4.22. dx

x ax x a C

2 2

2 2

−= + − +∫ ln

Teorema 2.4.23. a x dx a x arcsen Cx a xa

2 22

2 22

2− = − + +∫

Teorema 2.4.24. x a dx x a x x a Cx a2 22

2 22

2 22+ = + + + + +∫ ln

Teorema 2.4.25. x a dx x a x x a Cx a2 22

2 22

2 22− = − − + − +∫ ln

Repasa las ocho identi-dades trigonométricas, ya que te serán útiles al emplear estos teoremas pertenecientes a trigo-nometría.

Con fines didácticos demostraré dos de los teoremas anteriores. Por lo tanto es necesario que prestes atención al uso de las derivadas para que te sirva de repaso.

Demostración del teorema 2.4.2.

Derivemos la funciónxn

n+

+

1

1 con el fin de obtener xn .

Procedamos: Dxn n

n x xx

nn n( ) ( )

+

+=

++ =

1

111

1

Lo cual demuestra el teorema.

Demostración del teorema 2.4.19.

Da

x ax a a ax

x a x ax ax ax a

ax ax ax

( ln )( ) ( )

( ) ( )12

12

12

2 22

−+

= =+ − −

+−+

+−++

= +− +

=−a a

a x ax a x a x a

12

2 12 2 2

( )( )( )

Bloque II

26

Es tiempo de considerar algunos ejemplos que nos esclarecerán el uso de los teoremas señalados. Para facilidad señalaré dos o tres ejemplos de cada sección de los teoremas indicados anteriormente.

Ejemplo 1:

Algebraicas. Obtén con el uso de los teoremas respectivos, las integrales indicadas:

a) 4dx∫b) ( )3 52x x dx− +∫ π

c) ( )23

23t t dt+∫

Solución:

Se emplearán los teoremas 2.2., 2.3., 2.4.1. y 2.4.2.

a) 4 4dx dx=∫ ∫ por T.2.2.

4 4 4 4dx x c x c= + = +∫ ( ) por T.2.4.1. Pero como 4c es constante la podemos

representar como C, de manera que la solución será 4 4dx x C= +∫b) ( )3 5 3 5 3 52 2 2x x dx x dx xdx dx x xdx dx− + = − + = − +∫ ∫∫∫∫∫∫π π π

por T. 2.3. y 2.2.

= 33

52

3

1

2

2 3( ) ( ) ( )x c x c x c+ − + + +π por T. 2.4.1. y 2.4.2. Además tomaremos

3 51 2 3c c c C− + =π de forma que:

( )3 52 3 52

2x x dx x x x C− + = − + +∫ π π

c) ( )23

23 23

23t t dt tdt t dt+ = +∫ ∫∫ por T. 2.3. y 2.2. Ahora cambiamos las

funciones de forma radical a exponencial, ya que a amn mn=

23

23

1

12

1

23

23 3

253

49

12

23

12

23

32

53

1 1t dt t dt t t C t t C+ =

++

++ = + + =

+ +

∫∫ tt t C3

25

325+ + por T. 2.4.2.

Regresando a radicales si es necesario tendremos:

( )23

23 49

3 25

53 49

25

23t t dt t t C t t t t C+ = + + = + +∫

Nota: De aquí en adelante reuniremos todas las constantes que surjan en una sola, es decir en C, con el fin de ahorrarnos pasos. Cabe señalar también que una inte-gral puede resolverse con el empleo de diferentes teoremas en un mismo momento, a saber, el inciso c del ejemplo anterior se resolvió con el empleo de 3 diferentes teoremas.


27

Ejemplo 2:

Trigonométricas. Halla la antiderivada en cada uno de los incisos.

a) (tan cot )2 2θ θ θ+∫ d

b) s coten t t

sentdt

2 −∫

c) ( sec tan sec )− +∫ 2 4 2x x x dx

Solución:

Evitaré mencionar algunos pasos así como los teoremas ya vistos que se emplearán en la resolución de cada inciso. También se usarán algunas identidades trigonomé-tricas elementales.

a) (tan cot ) (sec csc ) sec csc t2 2 2 2 2 21 1 2θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ+ = − + − = + − =∫ d d d d d aan cotθ θ θ− − +∫∫∫∫ 2 C

por T. 2.4.12. y 2.4.13.

b) s cot cot csc coten t t

sentdt sen t

sentdt t

sentdt sentdt t tdt

2 2− = − = −∫ == − + +∫∫∫∫ cos csct t C

por T. 2.4.6. y 2.4.15.

( sec tan sec ) sec tan sec sec tan− + = − + = − + +∫ 2 4 2 4 2 42 2x x x dx x xdx dx x x C∫∫∫ por T. 2.4.12. y 2.4.14.

Existen muchas antiderivadas que no se podrían determinar con el simple uso de los teoremas anteriores, sino que será necesario emplear ciertos teoremas que incluyen la regla de la cadena y cambio de variable. Los teoremas pertinentes son los siguientes:

Regla de la cadena para antiderivación:

Teorema 2.5. Sea g una función diferenciable y considérese algún intervalo del contradominio de g. Supóngase además que f es una función definida en ese mismo intervalo de modo que F es una antiderivada de f en el intervalo mencionado. De manera que:

f g x g x dx F g x C( ( ))[ ´( ) ] ( ( ))= +∫Teorema 2.6. Sea g una función diferenciable y sea n un número

racional diferente de −1. De forma que:

[ ( )] [ ´( ) ] [ ( )]g x g x dx g xn

Cnn

∫ =+

++1

1

Teorema 2.7. f xf x

dx f x C´( )( )

ln ( )∫ = +

Recuerda que una variable independiente puede ser representada tanto por x como por cualquier otra variable, por ejemplo t. De forma que todos los teoremas anteriores quedan suje-tos a que las variables puedan ser diferentes a x. Por ejemplo el teorema 2.4.23 podría verse así:

a t dt2 2−

a t arcsen Ct t ta

2 22

2− + +

∫2

=

Bloque II

28

Ejemplo 3:

Para ejemplificar el uso de la Regla de la cadena determina las integrales indefinidas siguientes:

a) 2 2 1 2( )x dx−∫

b) x x dx2 5+∫

c) ( )x dx

x x

+

+∫

3

62

d) sen x xdx23 3cos∫

e) (tan sec )2 2 2x x dx−∫

Solución:a) Para identificar los elementos a usar en el teorema de la regla de la cadena

para integración podemos notar que si g x x( ) ( )= −2 1 entonces g x dx'( ) debería darnos g x dx dx´( ) = 2 y como podemos observar estos elementos están en el integrando, de manera que ordenando la integral quedará lista de este modo:

[ ] [ ] [ ] ( )2 1 2 2 12 1

2 13

22 1 3

x dx x C x C− = −+

+ = − +∫+

b) Aquí g x x( ) ( )= +2 5 , de manera que necesitamos tener g x dx xdx´( ) = 2 pero sólo disponemos de dx , por lo tanto necesitamos un factor de 2 endx . Para lograr esto, si multiplicamos por el factor 1 2

2= a xdx entonces no se afectaría el integrando. El factor constante ½ sobrante podrá salir de la integral para ya usar la regla de la cadena de integración. Esto es:

x x dx x xdx x xdx x xdx2 2 2 25 5 5 22

12

5 21

21

21

2+ = + = + = +∫ ∫∫ ∫[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] == ++

+ = + + =

+ +

+12

51

5

5

2 1

12

13

2

29

2 3

12 3

2[ ] ( )

( )

xC x C

x C

c) ( ) [ ] [( ) ]x dx

x xx x x dx+

+= + +∫ ∫ −3

66 3

2

2 12 de manera que, aparentemente,

g x x x( ) ( )= +2 6 , y así g x dx x dx x dx´( ) ( ) ( )= + = +2 6 2 3 .

De este modo notamos que nos hace falta un factor 2 de dx . Realizando una operación semejante al inciso anterior tendremos:

( ) [ ] [( ) ] [ ] [ ( ) ]x dx

x xx x x dx x x x dx+

+= + + = + + =∫ ∫ ∫− −3

66 3 6 2

23

2

2 212

12

112

6 2 3

12

6 2 6 6

2

2 12

2

12

12

[ ] [ ( ) ]

[ ] [( ) ] ( )

x x x dx

x x x dx x x

+ + =

+ + = +

−

−

∫

∫112

12

2 6+ = + +C x x C


29

d) sen x xdx sen x xdx2 23 3 3 3cos [ ] [cos ]∫ ∫= Si g x sen x( ) = 3 entonces:

g x x dx´( ) cos= ⋅3 3 . Aquí el argumento de la función es 3x. De este modo nos hace falta el factor 3. Tomando en cuenta esto realizamos lo siguiente:

sen x xdx sen x xdx sen x xdx2 2 2 13

3 3 3 3 13

3 3 3cos [ ] [cos ] [ ] [ cos ]∫ ∫ ∫= = = (( ) ( )sen x C sen x C33

39

3 3

+ = +

e) En este caso vamos de forma directa realizando primero el binomio al cuadrado:

(tan sec ) (tan tan sec sec )

(sec

2 2 2 2 2 2 2

2 1

2 2 2

2

x x dx x x x x dx

x

− = − + =

−∫ ∫

)) sec tan sec sec sec tandx x x dx xdx xdx x xdx dx− + = − − =∫∫∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ∫∫∫∫∫∫∫ − − = − − +sec sec tan tan sec2 2 2 2 2 2 2 2x dx x x dx dx x x x C

Nota: en un integrando sólo se puede multiplicar por factores constantes de la forma, a

a con a = 0, pero es totalmente erróneo añadir o sustraer factores que contengan a la variable independiente correspondiente. O sea que no podemos sumar o restar x, a menos que dé cero, por ejemplo (3x − 3x).

Con estas pautas podremos entrar de lleno a los ejemplos de integrales de funciones trascendentes, los cuales se compondrán con las trigonométricas y algebraicas.

Ejemplo 4:

Trascendentes. Integrar cada inciso.

a) ( )e e dxx x2 4 21+ −∫b) x

xdx+

+∫21

c) e sen xdxx4 3 3cos∫

Solución:

a) Por la regla de la cadena g x e x( ) ( )= +2 1 de donde g x dx e dxx´( ) = 2 2 , de manera que nos falta el factor 2.

( ) ( ) ( )(

e e dx e e dx e Ce

x x x xx

x2 4 2 2 4 2

2 3

21 1

21 2 1

213

16

+ = + = +−

+ =− +

− −−

∫ 11 3)+∫ C

b) xx

dx xx

dx xx

dxx

dx dx dxx

x x++

= + ++

= ++

++

= ++

= +∫ ∫∫∫∫∫21

1 11

11

11 1

( ) ln ++ +1 C

Por T. 1.7.

c) En este caso falta la derivada del exponente, es decir, − ⋅ = −4 3 3 12 3sen x dx sen xdx

e sen xdx e sen xdx e Cx x x4 3 4 3 112

4 33 112

12 3cos cos cos( )∫ ∫= − − = +− por T. 1.4.5.

Bloque II

30

Pasamos a la última parte con los teoremas restantes.

Ejemplo 5:

Integra mediante los teoremas pertinentes cada uno de los incisos siguientes:

a) ( )2 9

92

x dxx++∫

b) 2 34 72

xx

dx−−∫

c) 3 2 2− −∫ x x dx

Solución:

a) ( ) ln

( ) ( )ln2 9

92

99

99 9

32 2 22

2 2

x dxx

xdxx

dxx

x C dxx

++

=+

++

= + + ++

=∫ ∫∫ ∫ xx Cx2 13 39 9+ + +( arctan )

por T. 2.7. y T. 2.4.17. con a=3.

b) Aquí se usará la racionalización del radical final así como los teoremas 2.7 y 2.4.19. con variable 2x y a = 7

2 34 7

14

4 2 34 7

14

84 7

14

124 7

142 2 2 2

xx

dx xx

dx xdxx

dxx

−−

= −−

=−

−−

=∫ ∫∫( )

∫∫ ∫ ∫−−

−=

− − −+

+ =

84 7

64

2

2 7

4 7 2 7

2 7

2 2 2

14

2 32

12 7

xdxx

dx

x

x x

xC

( ) ( )

ln ln 114

2 3 7284 7 2 7

2 7ln lnx x

xC− − −

++

c) Tras unos ajustes algebraicos se empleará el teorema 1.4.23. a la vez de una variable (x+1) y a=2

3 2 4 1 2 2 1 3 2 22 2 2 2 12

2− − = − + + = − + = − − +∫ ∫ +x x dx x x dx x dx x x arcsex( ) ( ) ( ) n Cx+ +∫ 12

Actividad 1I. Utilizando las reglas de derivación vistas en el pasado semestre y junto con un

compañero más, demuestren los teoremas de integración que les señalo a con-tinuación: Teoremas 2.4.8 al 2.4.11. En caso de no haber obtenido su resultado esperado, ¿podrían verificar en dónde se halla el error del proceso? Les sugiero que retomen desde el inicio su demostración hasta dar con el posible fallo. Muestren al grupo sus demostraciones con el fin de que en consenso, dirigidos por su docente, las aprueben.

Hasta aquí quizás puedas discernir que existe más de un camino para de-terminar la integral, como prueba de ello te dejo la siguiente actividad que realicen en binas con el fin de explorar esta idea.

II. Integra cada una de las siguientes integrales mediante las sugerencias dadas, de manera que cada uno en la bina las resuelva siguiendo sólo una de las sugeren-cias señaladas, de manera que cada quien lo realice diferente. Al final observen las aparentes diferencias entre sus métodos y revisen los procesos de su compa-ñero para llegar a un acuerdo: si hubo error o ambos caminos llegan al mismo resultado:


31

1. ( )2 12

x dx−∫a) Desarrolla el binomio al cuadrado antes de integrar

b) Usa el teorema de la regla de la cadena para integrales usando g x= −( )2 1

2. ( )x dx

x

−∫

2 2

a) Desarrolla el binomio y multiplica por x −1 2/

b) Usa el teorema de la regla de la cadena para integrales usando g x= −( )2

3. 2senx xdxcos∫a) Usa la relación trigonométrica 2senxcosx = sen2x

b) Usa el teorema de la regla de la cadena para integrales usando g = senx.

La constante CPara resolver algunas aplicaciones directas con la antiderivación se requiere a gran-des rasgos la determinación del valor de la constante de integración C, que satisface las condiciones iniciales del problema o también llamada condiciones de frontera. Con el fin de llegar a una comprensión más clara de lo antedicho, es mejor que con-sideremos algunos ejemplos aplicativos.

Ejemplo 6: Hallar la antiderivada que satisfaga la ecuación dydx x= −3 además de que

cuando x = 2 se tenga que y = 1 .

Solución: En primer lugar tenemos que dydx x= −3 , es decir dy xdx= −3 , de donde inte-

grando ambos lados en esta última relación obtenemos:

dy xdx

y x C

= −

= − +∫∫ 332

2

Ahora sustituimos las condiciones del problema, a saber x = 2 , y = 1 . De forma que así determinemos el valor particular de C:

1 27

32

2= − +=

( ) CC

Así que la antiderivada pedida es:

y x= − +32

2 7

Bloque II

32

Ejemplo 7:

En una curva específica la pendiente en el punto (x, y) es igual a 2x+1, además se sabe que el punto (5, −3) pertenece a dicha curva. Con estos datos halla la ecuación de la curva.

Solución:

Con los datos dados afirmamos que se tiene dydx x= +2 1 , por lo que vamos

a proceder del mismo modo al anterior ejemplo, es decir, integramos ambos lados y después sustituimos las condiciones específicas con el fin de hallar el valor de la constante C que determine la solución.

dy x dxdy x dx

y x x CC

C

= += +

= + +− = + +− =

∫∫( )

( )

( ) ( )

2 1

2 1

3 5 533

2

2

Ecuación buscada:

y x x= + −2 33

Ejemplo 8:

La herida de piel en cierto tipo de ganado ha disminuido a una tasa de −+22 2( )t cm2 por día, contando t días a partir del martes. Si el jueves el área de la herida

fue de 1.8 cm2, determina:

a) El área de la herida el martes

b) Si continúa con esa tasa cuál será el área prevista para el día sábado de esa misma semana

Solución:

Considerando como A el área de la herida después de t días a partir del martes se tiene que dA

dt t= −

+22 2( ) de manera que:

dA dt

dA t dt t dt

A t C

t=

= − + = − +

= + +

−+

− −

−

∫∫∫

22

2 2

1

2

2 2 2 2

2 2

( )

( ) ( )

( )

Sustituyendo el valor de los datos A = 1.8 y t = 2 (han pasado dos días desde el martes):

1 8

1 3

22 2.

.( )= +

=+ C

C

De donde At

=+

+22

1 3.


33

a) Para el día martes lógicamente t = 0, por lo que A =+

+ =22 0

1 3 2 3. . . Es

decir el área original de la herida del animal era de 2.3 cm2.

b) En este caso t = 4, por lo que A =+

+ = =22 4

1 3 1 6334930. . . Este será en cm2

el área de la herida.

Actividad 2Te propongo ahora una serie de situaciones en donde podrás aplicar las integrales; de modo que consulta con tu docente sobre los inconvenientes que quizás te surjan.

1. Se sabe que el punto (2, −3) pertenece a una curva, además en cualquier punto (x, y) de la curva la pendiente de la recta tangente es −3x+2. Con esto determina la ecuación de la curva.

2. Si la pendiente de una recta tangente en cualquier punto (x, y) de una

curva es igual a 5x y también el punto (1, 1) pertenece a dicha curva, entonces, ¿cuál será la ecuación de esta curva?

SíntesisLlegó el momento de realizar una serie de situaciones que condensarán lo obtenido y desarrollado a lo largo de esta sesión. Puedes apoyarte en los recursos vistos para cada planteamiento y obtención de la solución. No olvides escribir todos los proce-sos necesarios.

1. Utiliza los teoremas de integración pertinentes con el fin de obtener las soluciones señaladas en cada inciso.

a) ( )2 3 23 32

2 14

4− + = − + +∫ x x dx x x x C

b) y y dy y C3 4 16

4 3 21 1+ = + +∫ ( ) /

c) 3

33

23

94

2 2 3tdt

tt C

+= + +∫ ( ) /

d) xx

dx x x C−+

= − + +∫11

2 1ln

e) ( )e x dx e e x Cx e x x− = + + +∫ 12

2 2

f) cos x xdx sen C2 22= +∫g) (cos ) cost sent dt t t C− = + +∫ 2 1

2 2

h) sec tan tan2 12

2xb

xb

xbdx b C= +∫

Bloque II

34

i) dxx

Cx

9 4216

32+

= +∫ arctan

j) dx

x xx x arc Cx

27 627 6 3

2

2 36

+ −= − + − + +−∫ sen

k) dx

xx x C

4 252 4 25

2

12

2

−= + − +∫ ln

l) 12 4 2 12 4 82 12

2 24+ − = − + − + +−∫ x x dx x x x arcsen Cx( )

2. Obtén la integral de cada uno de los siguientes incisos, mencionando en cada caso cuál teorema aplicaste.

a) axdx∫

b) dz

a bz−∫

c) ( )a x dx−∫ 2

d) cosax

b senaxdx

+∫

e) e dxa be

x

x+∫

f) e de

2

2 1

θ

θ

θ+∫

g) e xdxxtan sec2∫

h) dxx1 +∫ cos

i) csc ( )2 a bx dx−∫

j) 5

1 4

xdx

x−∫


35

k) dt

t t2 4 3+ +∫

l) dx

x x3 22− −∫

m) dθθ θ1 2+ +∫

n) rdrr r4 2 1− −∫

3. El volumen V en cm3 de un neumático va creciendo a un ritmo dado pordVdt t t= + +1 3

4 , en donde t es el tiempo transcurrido en segundos. Si el volu-men es de 30 cm3 al pasar 2.5 segundos, ¿cuál es el volumen a los 7 segundos?

4. Una célula vegetal estuvo creciendo siguiendo la relación1

8 2( )−t µm3 por día, donde t representa el tiempo en días transcurridos. Si se proporciona la infor-mación de que en tres días la célula creció 2.5 µm3, entonces halla el volumen después de media semana.

Sesión 2: Otras técnicas de integraciónCriterios

• Comprendo los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integra-les no directas.

• Identifico cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.

• Manejo las diferentes técnicas de integración de forma apropiada según las variables que presenten las integrales.

• Realizo lecturas donde pueda extraer información sobre las diversas apli-caciones de las integrales de funciones en mi contexto.

• Trabajo de manera colaborativa en diversos equipos de trabajo en el que me encuentre.

• Represento una fuente de estímulo al momento de resolver situaciones presentadas, ya sean de índole hipotética o real.

• Respeto las opiniones generadas por mis compañeros o docente ante las situaciones de trabajo que surjan.

Bloque II

36

ContextualizaciónYa he indicado que el cálculo integral tiene cierto plus de complejidad respecto al cálculo diferencial. Para conllevar este hecho se dieron diferentes teoremas que nos ayudan a resolver las integrales, sin embargo, existen integrandos que al parecer son sencillos, pero no existe una antiderivada elemental cuya derivada no dé claramente el integrando. Prueba de ello se te presenta en la siguiente sección.

ProblematizaciónA un ingeniero civil le proponen realizar dos de las siguientes tres integrales con los métodos convencionales (los teoremas vistos en el bloque anterior):

a) x senxdx⋅∫b) tan xdx∫

c) x xdx2 21−( )∫

En parejas propongan la solución como ayuda al ingeniero. Pueden esco-ger dos de las tres con el fin de terminar el proyecto presentado. Para ello guíense de las siguientes pautas para los incisos escogidos:

¿Hay algún teorema aplicable a la integral escogida?, ¿cuál o cuáles serían esos teoremas apropiados?

¿Pueden ser utilizados de forma directa de manera que con ellos logren la solución?

En caso de contestar afirmativamente den sus soluciones.

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competenciasComo ya se habrán dado cuenta, para llegar a la antiderivada de algunas funciones se necesitan otras armas matemáticas para lograr el objetivo. Los métodos a consi-derar en esta sesión son los siguientes:

• Cambio de variable

• Integración por partes

• Integración de potencias de funciones trigonométricas

• Integración por fracciones parciales

• Integración por sustitución trigonométrica

Por lo pronto entraremos a detallar cada una de ellas de manera que con-forme avancemos:

Ve armándote un cuadro general de qué tipo de integrales se pue-den resolver con el método visto.


37

Integración por cambio de variableEste método ya ha sido analizado en el bloque anterior bajo el teorema de la regla de la cadena y el teorema 2.6, a saber: sea g una función diferenciable y sea n un número racional diferente de −1. De forma que:

[ ( )] [ ´( ) ][ ( )]g x g x dx g xn

Cnn

∫ =+

++1

1

Tomando como ejemplos para este caso las integrales:

a) ( ) ( )x x x dx− −∫ 2 1 42 3

b) sen x x dx−∫ 4 3 3( )cos( )

En donde para el inciso a tomamos g x x x( ) ( )= − 2 2 , y para el inciso b se toma g x sen x( ) ( )= 3 . De forma que haciendo las adecuaciones pertinentes, ordena-mos y resolvemos las integrales de la siguiente manera:

[ ] [ ] ( )x x x dx x x C− − = − +∫ 2 1 4 24

2 32 4

sen x x dx sen x x dx sen x− −−

= = −∫ ∫4 13

43

3 3 3 3 3 3( )cos( ) [ ( )] [cos( )] ( )9 +C

De este modo abarcamos el primero de los métodos no convencionales de integración.

Integración por partesConsiderando una integral como la siguiente e x dxx2 3∫ nos parecería, a primera vista, utilizar el teorema 2.4.5, mas no es factible para integrar de forma inmediata este caso.

Para aclarar, si se desea emplear el teorema 2.4.5 se requiere que D x x( )2 2=aparezca en el integrando, pero notamos que sólo se tiene la opción de x3 y es im-posible eliminar a la variable a integrar. De manera que este teorema no nos es apli-cable en este momento.

Comprendiendo la necesidad de estos casos se requiere la integración por partes, ésta se deduce del hecho que el integrando posee dos funciones diferencia-bles que se hallan en un producto, así que digamos que:

Si u x( ) y v x( ) son dos funciones diferenciables en un intervalo I , se tendrá que por derivación del producto que:

D u x v x dx D u x v x dx D v x u x dxx x x[ ( ) ( )] [ ( )] ( ) [ ( )] ( )= +

Ordenando e integrando cada uno de los miembros se tendrá:

u x D v x dx D u x v x dx v x D u x dxx x x( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) [ ( )]= −

u x D v x dx D u x v x dx v x D u x dxx x x( ) [ ( )] { [ ( ) ( )] ( ) [ ( )] }= −∫∫

Bloque II

38

Como la integral y la derivada son inversas se tiene que:

u x D v x dx u x v x v x D u x dxx x( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )]= − ∫∫Este último hecho se conoce como la integración por partes, que conside-

rándolo de forma abreviada podríamos darla a conocer como:

Integración por partes:

u dv u v v du⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫Cabe señalar las condiciones básicas para el uso de este método:

• La sección escogida como dv ha de ser fácil de integrar.

• La parte v du⋅∫ debe ser más sencilla de la original u dv⋅∫ .

Este método sugiere que en el integrando escojamos dos partes, una será u que debemos derivar para hallar du y la otra parte será dv la cual al integrarla se obtendrá v . Con esto el resultado de la integral original es el productou v⋅ menos la integración del productov du⋅ .

En caso de que la integral que surja con v du⋅ requiera una adecuación más para ser integrada, se puede utilizar de nuevo la integración por partes sobre ella.

Consideremos ejemplos de ello.

Ejemplo 9:

Integrar cada uno de los siguientes incisos:

a) e x dxx2 3∫b) 2x xdx∫ ln

Solución:

Conforme vayas observando los ejemplos tendrás la habilidad de escoger cuáles serán los términos u y dv .

a) Para este caso se podrían crear las combinaciones posibles:

u dv

1 ex2

x dx3

2 e xx2

x dx2

3 e xx2 2 xdx

4 e xx2 3dx

5 x3e dxx2


39

6 x2e xdxx2

7 x e x dxx2 2

8 1 e x dxx2 3

De éstas sólo servirá la que satisfaga los puntos señalados respecto a la integración por partes, a saber:

dv ha de ser fácil de integrar, de donde eliminamos lógicamente las pare-jas que contengan a dv complicadas,a saber, e dxx2

, e x dxx2 2 y e x dxx2 3 .

El segundo elemento lo observaremos por ensayo y error, por ejemplo, si tomamos la pareja:

u e xx=2

y dv x dx= 2

Estaríamos obteniendo lo siguiente:

du d e x e x e dxx x x= = +( ) ( )2 2 2

2 y v dv x dx x= = =∫ ∫ 23

3De forma que:

uv e xx x= ( )( )2 3

3 y vdu e x e dxx x x= +∫∫3 2 2

3 2( )

Y aquí claramente se observa que en esta elección de los términos u y dvno se satisface que la integral vdu∫ sea más sencilla que la original. Por lo tanto, se rechaza esta pareja elegida.

Análogamente se observa que las parejas 1, 3 y 4 tampoco nos ayudan.

La pareja correcta en este caso será la número 6, es decir:

u x= 2 y dv e xdxx=2

Realizando la derivada e integral respectivamente a cada igualdad pode-mos llegar a:

du d x xdx= =( )2 2 y v dv e xdx e xdx ex x x= = = =∫ ∫ ∫2 2 21

2122 Entonces:

uv x ex= ( )( )2 12

2

y vdu e xdxx= ∫∫ ( )( )12

2

2

Aquí la integral vdu∫ es más sencilla que la original, procedemos con el método:

u dv u v v du⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

( )( ) ( )x e xdx x e e xdxx x x2 12

2 12

2 2 2

2∫ ∫= −

Ahora sólo nos resta integrar 12

2

2e xdxx∫ ( ) . Se procede así:

12

12

2 2

2e xdx e Cx x∫ = +( )

Reuniendo los resultados llegamos a que:

( )( ) ( )x e xdx x e e xdx x e e Cx x x x x2 12

2 12

12

2 12

2 2 2 2 2

2∫ ∫= − = − +

Bloque II

40

b) Ya con las nociones recabadas en el inciso a, tomamos la pareja de este modo:

u x= ln y dv xdx= 2

En consecuencia:

du dxx

= y v x= 2

Por lo que la integral resultante será:

u dv x xdx u v v du x x x dxx

⋅ = = ⋅ − ⋅ = −∫ ∫ ∫∫(ln )( ) (ln )( ) ( )( )2 2 2

Finalmente se integra:

( )( )x dxx

xdx x2 12

2∫ ∫= =

Entonces la respuesta consta de:

2 2 12

2x xdx x x x Cln ln= − +∫Como indiqué antes, en ocasiones es necesario utilizar este método más

de una vez con el fin de alcanzar la solución de la integral. Proporciono un ejemplo de esto.

Ejemplo 10:

Integra x xdx2∫ cos mediante el método por partes.

Solución.

Para nuestra primera parte tomaremos:

u x= 2 y dv xdx= cos

De donde:

du xdx= 2 y v dv dx senx= = =∫∫ cos

Por lo tanto, la aplicación de la integración por partes indica que:

x dx x senx senx xdx x senx xsenxdx2 2 22 2cos ( )( ) ( )= − = − ∫∫∫ (1)

Nos falta integrar xsenxdx∫ pero para este propósito hemos de usar de nuevo la integración por partes. De modo que en este último caso proponemos:

u x= y dv senxdx=

Así que:

du dx= y v x= −cos

Contemplando la integral xsenxdx∫ se tiene la relación de integración por partes de esta forma:

xsenxdx x x xdx x x xdx x x senx= − − − = − + = − +∫∫ ∫( )( cos ) cos cos cos cos


41

Teniendo esta solución la procedemos a colocar en la integral inicial (1), por lo cual se obtendrá:

x dx x senx xsenxdx x senx x x senx C2 2 22 2cos cos= − = − − + +∫ ∫Más específicamente la solución final del ejemplo será:

x xdx x senx x x senx C2 2 2 2cos cos= + − +∫Con el uso de este método podremos distribuir la integración al escoger de

forma apropiada los elementos u y dv de la integral.

Entre las aplicaciones más resaltables de la integración por partes se incluyen las:

• Que posean diferenciales de productos

• Que posean diferenciales con logaritmos

Te propongo realices la siguiente actividad respecto a este método.

Actividad 1En tercias y con la dirección apropiada de tu docente utilicen la integración por partes las veces que se requiera para señalar que efectivamente la integral siguiente tiene el resultado mostrado:

e sen nx dx e asen nx n nxa n

Caxax

∫ = −+

+( ) [ ( ) cos( )]2 2

Tras concluir con su resultado de la tercia, comparen con la de los demás compañeros de manera que puedan sugerirse mutuamente los procesos que se rea-lizaron, así como del manejo aritmético empleado en tales procesos.

Integración de potencias de funciones trigonométricasNo es igual de fácil de integrar una expresión de la forma cos 4xdx∫ como una expresión de la forma cos3 24 4x sen xdx∫ ⋅ ,

ya que en la primera podremos utilizar la integración di-

recta pero en la segunda no parece ser tan obvia qué teorema de integración emplear o cuál camino tomar si la deseamos realizar por el método de integración por partes.

Por ello es necesario adentrarnos a una forma diferente de resolver una integral que incluye las potencias de las funciones trigonométricas. El sentido de este método consiste en transformar la integral a integrales inmediatas con el empleo de las identidades trigonométricas básicas.

Algunas de las identidades trigonométricas básicas utilizadas serán:

• sen x x2 2 1+ =cos

• 1 2 2+ =tan secx x

• 1 2 2+ =cot cscx x

• sen x x2 12 1 2= −( cos )

Bloque II

42

• cos ( cos )2 12 1 2x x= +

• senx x sen xcos = 12 2

• senx y sen x y sen x ycos [ ( ) ( )]= − + +12

• senx y x y x ycos [cos( ) cos( )]= − − +12

• cos cos [cos( ) cos( )]x y x y x y= − + +12

Para facilitar este método usaremos dos reglas generales:

Caso I

Para integrales de la forma sen u udum ncos∫ :

En el caso de que m o n sea entero positivo e impar se puede tomar cualquiera de las opciones.

Si m es impar, considerar sen u sen u senum m= ⋅−1 de manera que se debe expresar sen um−1 como una potencia de cos2 u y así sustituirlo con la identidad sen u u2 21= − cos .

Análogamente si n es impar, representar cos cos cosn nu u u= −1 para

expresar cosn u−1 como una potencia de sen u2 y así sustituirlo con la identidad

cos2 21u sen u= − .

Caso II

Para integrales de la forma tanm udu∫ o cotm udu∫ :

Si n es un entero, escribir:

tan tan tan tan (sec )m m mu u u u u= = −− −2 2 2 2 1 o

cot cot cot cot (csc )m m mu u u u u= = −− −2 2 2 2 1

Caso III

Para integrales de la forma tan secm nu udu∫ o cot cscm nu udu∫ :

Si n es entero positivo y par, entonces tomar.

sec sec sec ( tan ) secn nu u u u un

= = +− −2 2 2 2122 o

csc csc csc ( t ) cscn nu u u co u un

= = +− −2 2 2 2122

Recalco que estos casos se refieren a particularidades de integrales, ya que no todas se realizan o caen en el rango de estos tres casos sino que con la sustitución adecuada de las identidades trigonométricas pertinentes, se podrá obtener un mejor panorama de la integral. Sobre todo se pretende como parte de las competencias implícitamente que adquieras, con la práctica, la pericia de manejar estas expresio-nes, así como de las identidades trigonométricas.

Repasa el uso correcto. así como los despejes de las identidades tri-gonométricas de forma que puedas emplearlas correctamente en esta sección.


43

Los ejemplos indicarán los pasos pertinentes en el uso de estas claves de integración de funciones trigonométricas con potencias.

Ejemplo 11:

En cada inciso, integrar las potencias de funciones trigonométricas:

a) cos2 4xdx∫b) sen xdx5∫c) sen x dx2 3∫ cos

d) sen x xdx3 53 3cos∫e) tan sec3 42 2x xdx∫f) sen x sen xdx3 2⋅∫

Solución:

Para cada inciso recalcaremos las identidades utilizadas, así como los casos que resulten representados.

a) En este caso no se puede integrar de forma directa, pero si realizamos la transformación por identidades trigonométricas, el panorama será más factible. Utilizaremos el hecho dado por la quinta identidad que recalqué al inicio de esta sección, a saber, que cos x x2 1

2 1 2= +( cos ). Analizándola, esta se adaptaría del siguiente modo (tomando en cuenta que el argu-mento es 4x): cos ( cos ( )) ( cos )2 1

2124 1 2 4 1 8x x x= + = + .

De esta manera nuestro inciso quedará justificado como:

cos ( cos ) cos2 12

12

124 1 8 8xdx x dx dx xdx∫ ∫ ∫∫= + = +

Llevando a cabo el ajuste en la diferencial dx de la segunda integral se obtendrá que:

cos cos cos2 12

12

12

12184 8 8 8xdx dx xdx dx x dx∫ ∫∫ ∫∫= + = +

Así que hemos llegado a integrales que se pueden resolver con los méto-dos directos ya antes señalados en el bloque anterior.

cos cos2 12

12

18

12

1164 8 8 8xdx dx x dx x sen x C∫ ∫∫= + = + +

b) Como en el caso 2, separamos en potencias cuadradas al factor sen x2 , es decir:

sen dx sen x senxdx5 2 2= ∫∫ ( )

Ahora realizamos el cambio del factor sen x2 con la primera identidad tri-gonométrica y se logra tener:

sen dx sen x senxdx x senxdx x x5 2 2 2 2 2 41 1 2= = −( ) = − +∫∫ ∫( ) cos ( cos cos )ssenxdx∫Multiplicamos los factores y ordenamos de forma adecuada la expresión para visualizar el uso de la regla de fórmulas de integración elementales en donde resalta la regla de la cadena para integración:

sen dx senxdx xsenxdx xsenxdx5 2 42= − +∫ ∫∫∫ cos cos

Ten presente los argu-mentos de las identi-dades para no causar conflictos al momento de su empleo en las integrales.

Bloque II

44

Esto es:

sen dx x x x C5 23

3 15

5= − + − +∫ cos cos cos

c) Se presenta a coseno con potencia impar de manera que se vislumbra el caso 1, en donde se reordena la potencia de coseno de la forma siguiente:

sen x dx sen x x xdx sen x sen x xdx sen x2 3 2 2 2 2 21∫ = = − =cos (cos )cos ( )cos ccos cosxdx sen x xdx− ∫∫∫∫ 4

Integrando por la regla de la cadena para integrales llegamos a la solución:

sen x dx sen x sen x C2 13

3 15

5∫ = − +cos

d) Este presenta claramente el caso 1, pero con el hecho de poder realizar cualquiera de las conversiones trigonométricas señaladas (sólo una); de manera que al realizar cualquiera de ellas se obtiene una respuesta co-rrecta aunque aparentemente no sean iguales. Realizaremos sólo una de tales opciones que nos aventaja este inciso con el caso 1.

Tomaremos la descomposición de la función seno, de manera que:

sen x xdx sen x sen x xdx x sen x3 5 2 5 2 53 3 3 3 3 1 3 3cos ( ) cos ( cos ) cos∫ ∫= = − 33xdx∫Realizando las operaciones correspondientes separamos las integrales de manera que se obtienen las formas directas de integración:

sen x xdx xsen xdx xsen xdx x sen3 5 5 7 13

53 3 3 3 3 3 3 3cos cos cos cos (= − = − − xx dx x sen x dx) cos ( )3 3 3 313

7+ −∫∫∫∫∫

Integrando esto nos da la solución del problema:sen x xdx x x C3 5 1

186 1

2483 3 3 3cos cos cos= − + +∫

Para este caso 3 descomponemos la función secante de manera que surja una potencia cuadrada de ella y luego que realicemos posteriormente la sustitución correspondiente, como sigue:

tan sec tan sec (sec ) tan sec ( tan3 4 3 2 2 3 2 22 2 2 2 2 2 2 1x xdx x x x dx x x∫ = = + 22x dx)∫∫Reordenando los componentes de la última expresión e integrando se obtiene:

tan sec tan (sec ) tan (sec )3 4 12

3 2 12

5 22 2 2 2 2 2 2 2x xdx x x dx x x dx= + =∫ ∫∫ 118

4 112

62 2tan tanx x C+ +

e) En este caso no recae directamente en los casos vistos, sin embargo, podemos tomar la identidad trigonométrica senx y sen x y sen x ycos [ ( ) ( )]= − + +1

2 ya vista anteriormente. De manera que para el integrando de sen x sen xdx3 2⋅∫ podemos reordenarlo de este modo:

sen x sen xdx n x x sen x x dx senxdx sen3 2 3 2 3 2 512

12

12⋅ = − + + = +∫ [se ( ) ( )] xxdx∫∫∫

Tomando los valores constantes pertinentes logramos que

sen x xdx senxdx sen x dx x x C3 2 5 5 512

110

12

110⋅ = + = − − +∫∫∫ cos cos cos


45

Hasta aquí hemos observado sólo unos pequeños ejemplos de la apli-cación de las técnicas de integración de potencias de funciones trigonométricas. Recalco lo que señalé al inicio de esta parte, que la práctica podrá darte los mejores elementos para hacerte diestro en el empleo de este método de integración cuando la situación lo requiera.

Actividad 2Realiza la integración del inciso c de ejemplo anterior al realizar la sustitución 1 32− cos x que se procede después de descomponer el factor coseno. Compara tu resultado con el obtenido en el ejemplo al descomponer el factor seno. En caso de que difiera tu respuesta con la previamente obtenida, ¿es signo de error en tu proceso de integración?, ¿por qué? Justifica tus respuestas de manera que puedas persuadir a tu docente sobre tu proceso de integración que realizaste.

Integración por fracciones parcialesEn tu curso de Temas Selectos de Matemáticas 1 te han provisto de los recursos ne-cesarios para descomponer una fracción propia en sus fracciones parciales. Es aquí donde se observa la transversalidad de las competencias genéricas en matemáticas, ya que estas se desarrollan en Temas Selectos de Matemáticas 1 y en Cálculo Integral.

Manejaremos en esta sección con fracciones polinomiales propias y sim-plificadas.

Cabe recalcar que todo polinomio con coeficientes reales puede ser ex-

presado como un producto de factores reales lineales de la forma ( )ax b+ y factores

cuadráticos irreducibles de la forma ( )ax bx c2 + + , dando a entender que un elemen-to cuadrático de la forma anterior es irreducible en el campo de los números reales si se cumple que b ac2 4 0− < .

Se observan entonces cuatro casos pertinentes según los factores del de-nominador. Por esto se tienen los siguientes casos:

Caso I. Factores lineales distintos

Por cada factor lineal ( )ax b+ que aparezca una sola vez en el denomi-nador de la función racional propia le corresponde una sola fracción simple de la forma A

ax b+, en donde A es una constante por hallar.

Caso II. Factores lineales repetidos

Por cada factor lineal ( )ax b+ que aparezca n veces en el denominador de la función racional propia le corresponde una suma de n fracciones simples

de la forma A

ax bA

ax bA

ax bn

n1 2

2++

++ +

+( ) ( )

, en donde A1 , A2, …, y An son cons-

tantes por hallar.

Recuerda que una fracción propia es aquella en la que el grado del polinomio del numerador es menor al grado del polinomio del denominador. Por el contrario una fracción impropia puede verse con la suma de un po-linomio y una fracción propia, por ejemplo

xx

xx

x3

2 21 1+ += − .

Bloque II

46

Caso III. Factores cuadráticos distintos

Por cada factor cuadrático irreducible en los reales ax bx c2 + + que aparezca una sola vez en el denominador de la función racional propia le co-

rresponde una sola fracción simple de la forma Ax Bax bx c

++ +2

, donde A y B son constantes a determinar.

Caso IV. Factores cuadráticos repetidos

Por cada factor cuadrático irreducible en los reales ax bx c2 + +que aparezca n veces en el denominador de la función racio-nal propia le corresponde una suma de fracciones simples de la formaA x B

ax bx cA x B

ax bx cA x B

ax bx cn n

n1 12

2 22 2 2

++ +

++

+ ++ +

++ +( ) ( )

, donde A1 , A2, …, An , B1

, B2,

…,y Bn son constantes a determinar.

Pudieran preguntarse, ¿qué relación tiene el uso de las fracciones parciales con la integración? Esta relación se presenta porque la fracción polinómica original se descompone en fracciones simples que pueden ser integradas por los métodos convencionales ya vistos.

Siguiendo estas líneas es tiempo de remarcar un ejemplo que explore cada uno de los casos previstos. Cabe señalar desde ahora que me evitaré el desarrollo engorroso del álgebra.

Ejemplo 12:

En cada inciso determina la integral solicitada usando las fracciones parciales.

a) s

s s sds+

+ −∫163 2

b) t t t

t tdt

4 3

3 2

1− − −−∫

c) x x xx x

dx3 2

4 2

23 2

+ + ++ +∫

d) x x x x x

xdx

5 4 3 2

2 3

4 4 8 42

− + − + −+∫ ( )

Solución:

En cada uno de los incisos nos evocaremos al beneficio de la descompo-sición en fracciones parciales y su relación con la integración, de manera que no nos detendremos tanto en el paisaje algebraico.

a) El denominador factorizado quedará de la siguiente manera:

s s s s s s3 2 6 3 2+ − = + −( )( )

De aquí las que las fracciones parciales pertenecen al caso 1, es decir:

ss s s

As

Bs

Cs

++ −

= ++

+−

16 3 23 2


47

Ordenando los factores de esta igualdad obtendremos una serie de ecua-ciones como sigue:

s As s ss

Bs s ss

Cs s ss

+ = + − + + −+

+ + −−

1 3 2 3 23

3 22

( )( ) ( )( ) ( )( )

s A s s Bs s Cs s+ = + − + − + +1 3 2 2 3( )( ) ( ) ( )

s A B C s A B C s A+ = + + + − + + −1 2 3 62( ) ( ) ( )

A B CA B C

A

+ + =− + =− =

02 3 16 1

Resolviendo el sistema presentado se obtienen los valores de las constantesA = − 1

6 , B = − 215 e C = 3

10 y así las fracciones quedarán es este orden:

ss s s s s s

++ −

=−

+−+

+−

16 3 23 2

16

215

310

La integración consecuente es:

s

s s sds ds

sdss

dss

s s++ −

= − −+

+−

= − − +∫∫∫∫16 3 2

33 2

16

215

310

16

215ln ln ++ − +3

10 2ln s C

b) Se presenta una fracción impropia que al dividir nos arroja el resultado siguiente:

t t tt t

t tt t

4 3

3 2 3 2

1 1− − −−

= − +−

La porción a trabajar e fracciones parciales consta de t

t t+−1

3 2 con factoriza-ción del denominador t t t t3 2 2 1− = −( )que nos recae en el caso 2.

tt t

tt t

At

Bt

Ct

+−

= +−

= + +−

1 11 13 2 2 2( )

Que arroja la igualdad t At t B t Ct+ = − + − +1 1 1 2( ) ( ) y de aquí se forma el sistema:

A CA BB

+ =− + =− =

01

1

Dándonos las soluciones A = −2 , B = −1 y C = 2 . Confirmando que el in-tegrando se puede separar en fracciones parciales:

t t tt t

dt t tt t

dt tt t t

dt4 3

3 2 2 2

1 11

2 1 21

− − −−

= − +−

= − − − +−

=∫∫ ∫[( )

] [ { }] ttdt dtt

dtt

dtt

+ + −−∫∫∫ ∫2 212

Bloque II

48

Resolviendo cada integral con los métodos ya vistos se concluye que:

t t tt t

dt tdt dtt

dtt

dtt

t t t4 3

3 2 212

21 2 21

2 2− − −−

= + + −−

= + − −∫ ∫∫∫ ∫ ln ln tt C− +1

c) Factorizando el denominador se tiene que x x x x+ + = + +3 2 1 22 2 2( )( ) , notando que se trata claramente del caso 3. Entonces:

x x xx x

Ax Bx

Cx Dx

3 2

4 2 2 2

23 2 1 2

+ + ++ +

= ++

+ ++

Agrupando esta igualdad se deduce el sistema:

A CB DA CB D

+ =+ =+ =+ =

11

2 12 2

Cuyo resultado es A = 0 , B = 1 , C = 1 y D = 0 . Con esto la integral se trans-forma en:

x x xx x

dxx

dx xx

dx3 2

4 2 2 2

23 2

11 2

+ + ++ +

=+

++∫∫∫

Tomando los medios de integración vistos concluimos lo que se presenta a continuación:

x x xx x

dxx

dx xx

dx x x3 2

4 2 212 2

12

223 2

11

22

2+ + ++ +

=+

++

= + +∫∫∫ arctan ln ++C

d) Para este inciso del caso 4 tenemos:

x x x x xx

Ax Bx

Cx Dx

Ex Fx

5 4 3 2

2 3 2 2 2 2 3

4 4 8 42 2 2 2

− + − + −+

= ++

+ ++

+ ++( ) ( ) ( )

Al realizar las operaciones pertinentes llegaremos a un sistema de ecua-ciones como el que se muestra:

ABA C

B DA C EB D F

== −+ =

+ = −+ + =+ + = −

11

4 44 44 2 84 2 4

Donde los valores alcanzados por este sistema son: A = 1 , B = −1 ,C = 0 , D = 0 , E = 4 e F = 0 Así que nuestra integral será así:

x x x x xx

dx xx

dx xx

dx5 4 3 2

2 3 2 2 3

4 4 8 42

12

42

− + − + −+

= −+

++∫ ∫∫( ) ( )


49

Ordenándolas apropiadamente podremos integrar cada una de estas frac-ciones parciales:

x x x x xx

dx xx

dx dx

xx

5 4 3 2

2 312 2 2 2

24 4 8 42

22 2

2 2− + − + −+

=+

−+

+ +∫ ∫( ) ( )( )−− −= + − − + +∫∫ 3 1

22 1

2 2

2 22 2 2xdx x x Cxln arctan ( )

Examinando estos ejemplos comprendemos que el poder de las fraccio-nes parciales le otorga al cálculo integral en la integración de fracciones polinomiales propias.

Tras este análisis es conveniente entrar en el desarrollo de la siguiente actividad.

Actividad 3En binas resuelvan las dos integrales de manera que identifiquen a cuál de los 4 casos vistos pertenece cada una de ellas.

a) 3 5

13 2

θθ θ θ

θ+

− − +∫ d

b) 2 32 1

2

4 2

αα α

α+

+ +∫ d

Integración por sustitución trigonométricaNuestro método final de integración se refiere a integrandos que poseen cualquie-ra de las siguientes expresiones con radicales cuadráticos: a b x2 2 2− , a b x2 2 2+ o b x a2 2 2− , donde a y b son constantes arbitrarias.

Para ello se emplea una sustitución apropiada que posee elementos trigo-nométricos mediante un cambio de variable, de manera que se integra la expresión en estos términos trigonométricos para luego regresar la expresión integrada a su variable original. Se realiza este cambio de variable a expresiones trigonométricas con el fin de obtener una expresión más apropiada o sencilla para integrar con los métodos trigonométricos vistos.

La siguiente tabla nos dará un panorama de las expresiones a sustituir con un cambio de variable apropiado, así como su justificación trigonométrica.

Caso Sustituir Para obtener Puesto que

a b x2 2 2− x senzab= a zcos

y=

bx

a2-b2x2

a

z

Bloque II

50

Caso Sustituir Para obtener Puesto que

a b x2 2 2+ x zab= tan a zsec bx

a

z

a2+b2x2

b x a2 2 2− x zab= sec a ztan

bx

z

a

b2x2−a2

Esta tabla se comprende que al sustituir por ejemplo la expresión x senzab=

en a b x2 2 2− se obtendrá:

a b x a b senz a a sen z a sen z a z aab

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21− = − = − = − = =( ) ( ) cos cos zz

Es decir a b x a z2 2 2− = cos de donde cos za b x

a= −2 2 2

como se observa en el triángulo rectángulo. A partir de este último se pueden determinar las demás funciones trigonométricas para el ángulo z.

El método consiste como se indicó de forma implícita, en:

• hacer el cambio de variable obteniendo una relación trigonométrica en términos de z.

• integrar la relación trigonométrica con los métodos vistos.

• regresar a la variable original x por medio del triángulo rectángulo per-tinente.

Para aclarar dudas es necesario actuar con base en estos hechos teóricos a la metodología práctica. Para ello algunos ejemplos.

Ejemplo 13:

Utiliza la sustitución de cambio de variable para integrar cada inciso.

a) ( )4 2 32− −∫ x dx

b) dx

x x4 92 +∫

c) x dx

x

2

2 4−∫


51

Solución:

Abarcaremos cada inciso que corresponde a cada uno de los 3 casos descritos en la tabla.

a) Aparentemente no se posee una expresión de la forma a b x2 2 2− . Pero tras un ajuste de las potencias convertidas a expresiones radicales se tiene:

( )( ) ( )

44 4

2

2 2 3

32

32

− =−

=−

−∫ ∫ ∫x dx dx

x

dx

x

En donde, para este caso las variables a2 4= y b2 1= , o sea a = 2 y b = 1. Ya que estamos en el primer caso, es necesario tomar la sustitución x senza

b= es decir:x senz= 2

La tabla indica que el radical 4 2− x nos dará a zcos , o sea, 2cos z .

Con esto nos fijamos en la integral que necesitamos sustituir los siguientes elementos: dx y ( )4 2 3− x de los cuales sólo nos resta calcular dx . Esto se halla al derivar x senz= 2 , de donde:

dx zdz= 2cos

Sustituyendo estos elementos en la integral la transformamos en:

( )( ) ( )

44 4

2

2 2 3

32

32

− =−

=−

−∫ ∫ ∫x dx dx

x

dx

x

( )( )

cos( cos )

44

22

2

2 3 3

32− =

−=−∫ ∫ ∫x dx dx

x

zdzz

Este integrando ya es de por sí de forma trigonométrica e involucra a la variable z. La reordenamos convenientemente e integramos:

( ) cos( cos )

coscos cos

s4 22

28

23 3

14 2

14

32− = = = =−∫ ∫ ∫x dx zdz

zzdzz

dzz

eec tan2 14zdz z C= +∫∫

Una vez que integramos nos resta regresar la solución en términos de la variable original x. Esto se realiza apoyándonos en el triángulo rectángulo correspondiente.

La solución posee solamente la variable z en la expresión tan z, por lo que este valor de tangente se analiza en el triángulo rectángulo de la tabla y se nota que:

tan z bx

a b x=

−2 2 2

De donde:

tan z x

x=

−4 2

Bloque II

52

Que sustituyéndolo en la solución de variable z llegamos a la solución con la variable original x.

( ) tan4 14 4 4 4

2 14 2 2

32− = + =

−+ =

−+−∫ x dx z C x

xC x

xC

b) Claramente se trata del caso 2, pues la expresión a b x2 2 2+ está presente. Aquí entonces se vislumbra que a2 9= y que b2 4= , por lo que a = 3 y b = 2 .

Con esto consideramos x z zab= =tan tan3

2 .

Para obtener en vez del radical, la expresión sec z3

Ya que dx zdz= 32

2sec entonces las sustituciones serán:

x z= 32 sec , dx zdz= 3

22sec y 4 9 32x z+ = sec

La integral se transforma en:

dx

x x

zdzz z

zdzz

zsenz4 9 3 32

32

2

32

13

1

+= = =∫

sec( tan )( sec )

sectan

cos

ccos

coscos

csc ln csc cotz

dz zsenz z

dz zdz z z C= = = − +∫∫∫∫∫ 13

13

13

Ya determinada la integral sólo resta pasar a la variable original con el uso apropiado de csc z e cot z en el triángulo rectángulo correspondiente lo que nos aporta el siguiente resultado:

dx

x xz z C x

x xC

4 9

9 42

322

13

13

2

+= − + = + − +∫ ln csc cot ln

c) En este caso se utilizará el cambio x zab= sec

Claramente se nota que de x2 4− logramos obtener que a = 2 y b = 1 , por lo que:

x z= 2sec

dx z zdz= 2sec tan

x z2 4 2− = tan

Sustituyendo estos datos en la integral, ordenando e integrando se con-cluye que:

x dx

x

z z zdzz

zdz z C2

2

22

4

2 22

4 4−

= = = +∫∫ ∫( sec ) sec tan

tansec tan

Ahora regresando a la variable inicial con el triángulo respectivo notamos lo siguiente:

x dx

xz C x C x C

2

2

22

44 4 4

22 4

−= + = − + = − +∫ tan

Concluida la explicación del procedimiento necesario para la integración de este tipo de integrandos, llega el momento de que practiques las habi-lidades necesarias con su uso.

Repasa las leyes de los logaritmos para resol-ver la actividad anterior.


53

Actividad 4En el bloque anterior utilizaste los teoremas 2.4.16, 2.4.18, 2.4.21 y 2.4.22. Utilizando el método de cambio de variable consigue llegar la demostración de 3 de tales teoremas.

Una vez concluidas tus demostraciones y cuando tu docente considere pertinente compara tus conclusiones con las de tus demás compañeros para com-partir sus experiencias y logren tener las 4 demostraciones.

SíntesisEn cada una de los incisos obtén la integral de manera que utilices los métodos vis-tos en esta sesión, así como los teoremas de integración que analizaste en el bloque anterior.

a) x xdx x x x Csec tan ln sec2 13

193 3 3∫ = − +

b) x xdx x x x C2 2105

21 1 15 12 832∫ − = − − + + +( ) ( )

c) s e ds e s s Cs s2 3 13

3 2 23

29∫ − −= − + + +( )

d) t dt

tt t t C

2215

2

13 4 8 1

+= − + + +∫ ( )

e) sen xsenxdx sen x x xsenx C3 3 318

38= − +∫ cos cos

f) e t dt e sen t t Ctt

−−

∫ = −+

+cos( ) [ ( ) cos( )]π π π ππ 2 1

g) sen xdx x x C3 16

3 122 2 2∫ = − +cos cos

h) cos62

516

12

332

124

32∫ = + + − +s ds s sens sen s sen s C

i) sen x xdx x x C3 3 148

3 1162 2∫ = − +cos cos cos

j) sen x xdx x x C2 4 2 614

112cos cos cos= − +∫

k) cos312

2

1xdx

senxsenx sen x C

−= + +∫

l) tan sec sec sec3 19

3 133 3 3 3α α α α αd C= − +∫

m) dx

xxx

C2

169

33−

= −+

+∫ ln

Bloque II

54

n) ds

s sxx

C2

157 6

16+ +

= ++

+∫ ln

o) x

xdx x

xC

( )ln

−= − −

−+∫ 2

2 222

p) xxdx x x x

xC

4

312

2

13 6 1 4

1( )ln

−= − − − − −

−+∫

q) 2 44

4 44

3 2

22 1

2 2 2

x xx

dx xx

Cx+ ++

= + + ++

+∫ ( )ln arctan

r) dte e

ee

Ct t e

t

tt213

193

3−

= + − +∫ ln

s) 25

4 4

2

2

− =−

+∫x

xdx x

xC

t) dx

x a x

a xa x

C2 2 2

2 2

2−

= − − +∫

u) x dx

a x

x

a xarcsen Cx

a

2

2 2 2 232( )−=

−− +∫

v) s ds

ss x x Cs

2

2 22 2

1616 8 16

−= − + + − +∫ ln

w) t a t dt a t a x Ca3 2 2 15

2 23

2 252

3 32− = − − − +∫ ( ) ( )

x) d

xCα

α

α

α α( )4

2

4 42 232−= −

−+∫


55

Mi proyecto del bloqueEs momento de trabajar el proyecto del bloque. Te presentamos una situación que te resultará de ayuda para formar y desarrollar las competencias en el presente bloque. También te ayudará con la interacción de las TIC’s.

Proyecto: Verificación de teoremas de integración.

Problema: Cerciorarse de la veracidad de los teoremas de integración vistos en el bloque mediante el uso de la diferenciación.

Duración: Tres días.

Puntuación: 15 puntos.

Competencias:

Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.

Actividades:

Para relacionar la operación de integración con lo visto previamente el semestre anterior, a saber: la diferenciación, vas a llevar a cabo las demostraciones de los teoremas relativos a integración, que se señalan en este bloque.

Para ello organícense en equipos que tu docente determine, si consideran pertinente deléguense responsabilidades para terminar de forma correcta el proyecto.

Los teoremas a demostrar serán los teoremas 1.4.1 al 1.4.25 (todos). Algunos de estos teoremas se demostraron durante el curso del libro, de manera que si ya los han realizado sólo redacten de nuevo su demostración.

Recuerda que para demostrarlos se tiene que derivar la “solución” y debe obtenerse el integrando.

Una vez concluido reúnan todas sus demostraciones en un solo trabajo para hacérselo entregar a su docente.

Pidan ayuda a su docente si lo consideran necesario.

Recursos: Libros de texto (cálculo diferencial e integral), hojas en blanco, impresora, libros de consulta en la biblioteca.

Normas:

Se presentará en la fecha indicada por tu docente. Él determinará las cuestiones no previstas según su buen juicio.

Todos en el equipo participarán y presentarán el proyecto del modo que tu docente señale.

Bloque II

56

Realimentación Finalmente considera las siguientes actividades que te servirán de trampolín final en el desarrollo de las competencias correspondientes.

I. Demuestra los teoremas de integración siguientes: Teoremas 2.4.20, 2.4.21 y 2.4.24.

II. Utiliza los teoremas de integración pertinentes con el fin de obtener las solucio-nes señaladas en cada inciso.

a) xdx x C3 34

4 3= +∫ /

b) 3 1 293 1 3 2x dx x C− = − +∫ ( ) /

c) xdxx x

C( ) ( )2 3 2 24

14 4+

= −+

+∫

d) dxx

x C−

= − +∫ 11ln

e) e dx e Cx x4 14

4= +∫

f) ee

dx e Cx

xx

2

212

2

22

+= + +∫ ln

g) x x dx x Csec tan2 2 12

2= +∫

h) cos cos4 15

5θ θ θ θsen d C= +−∫

i) dtt

Cx

5 255

55+

= +∫ arctan

j) 22 1

24 2

213

3 22

x xx

dx x x x C−+

= − + +∫ arctan

k) dss

Css4 92

112

2 32 3−

= +−+∫ ln

l) 4 9 4 9 2 4 922

2 94

2θ θ θ θ θθ+ = + + + + +∫ d Cln

m) t tdt t t t t t t C2 12

2 28 4 8 8 4 8− = − − − − + − +∫ ( ) ln

III. Obtén la integral de cada uno de los siguientes incisos.

a) a bxdx+∫

b) 4

1

2

3

x dx

x −∫


57

c) x a x dx( )−∫2

d) ta bt

dt+∫ 2

e) senx

xdx

1 −∫ cos

f) ( )e a dzz z2 2+∫

g) 1 ++∫

cos xx senx

dx

h) cos x

sen xdx

16 2−∫

i) dyy4 252 +∫

j) dxx x4 2−∫

k) 38 252

tdtt t− +∫

l) dx

x x3 2 42 − +∫IV. En una subasta se ha adquirido una famosa alhaja a un costo sumamente ba-

rato ($1000). Se menciona esto ya que conforme pasa el tiempo t en años, esta adquiere un costo C cada vez más elevado siguiendo la siguiente relación: dCdt t t= + +3 8 803 ¿Qué costo presentará esta alhaja al paso de 3 años?

V. Si V representa el volumen de un tanque de agua dado en cm3 cuando la pro-fundidad del mismo es de h metros, y si la tasa de variación del volumen res-pecto de la profundidad está dada por 3 10 32π π πh h+ − , entonces determina el volumen de agua en el mencionado tanque cuando se tiene llenado a una profundidad de 2.8 m.

VI. Con el manejo de los métodos de integración apropiados determina la integral solicitada. Realiza todos los pasos necesarios.

a) xdx

a bx+∫

b) sen[ln ]x dx∫

c) ( )x dx2 152−∫

Bloque II

58

d) sen4∫ xdx

e) e tdtt2 3∫ cos

f) ( )e dθ θ θ+∫ 2 2

g) tan3∫ xdx

h) tan sec32 4∫ θ θ θd

i) sectan

xx

dx

∫4

j) tan secx xdx∫

k) sec3 tdt∫l) csc5∫ xdx

m) x xx x

dx2

2

3 42 8

+ −− −∫

n) dtt t+∫ 3

o) senxdxx xcos ( cos )1 2+∫

p) t

tdt

2

24 −∫

q) dy

y y2 2 7−∫

r) yy

dy2 9−

∫

s) 100 2−∫

uu

du

t) dxx 4 1+∫

u) tan xdx∫


59

Evaluación de la competenciaResponde la rúbrica correspondiente al proyecto para que analices junto con tu do-cente y prevengan lo que has de cumplir a lo largo de éste.

Rúbrica para la evaluación del proyecto

Producto, logro

o desempeño

Nivel de logro o desempeño

5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Conocimientos

Reconozco la relación entre la integración y la diferenciación como operadores inversos.

Identifico el integrando en cada uno de los teoremas con el fin de emplearlos adecuadamente.

Reconozco la mayor parte del tiempo la relación entre la integración y la diferenciación como operadores inversos.

Identifico el integrando en cada uno de los teoremas con el fin de emplearlos adecuadamente.

Reconozco sólo en pocas ocasiones la relación entre la integración y la diferenciación como operadores inversos.

Identifico en ocasiones el integrando en cada uno de los teoremas con el fin de emplearlos adecuadamente.

Reconozco difícilmente la relación entre la integración y la diferenciación como operadores inversos.

Identifico en ocasiones el integrando en cada uno de los teoremas con el fin de emplearlos adecuadamente.

Reconozco difícilmente la relación entre la integración y la diferenciación como operadores inversos.

No identifico el integrando en cada uno de los teoremas con el fin de emplearlos adecuadamente.

Habilidades

Demuestro con el uso de la diferenciación cada uno de los teoremas respectivos en el proyecto.

Presento acorde a lo convenido mis resultados del proyecto.

Demuestro con el uso de la diferenciación, de 16 a 20 de los teoremas respectivos en el proyecto.

No presento acorde a lo convenido mis resultados del proyecto.



Demuestro con el uso de la diferenciación y con la ayuda pertinente, de 5 a 9 de los teoremas respectivos en el proyecto.




Actitudes

Mantengo continuamente una actitud positiva ante las demostraciones a realizar.

Promuevo el trabajo colaborativo en el proyecto respetando a los demás en todo tiempo.

Trabajo continuamente aportando puntos de vista importantes.

Mantengo continuamente una actitud positiva ante las demostraciones a realizar.

No promuevo el trabajo colaborativo en el proyecto pero respeto a los demás en todo tiempo.

Trabajo continuamente pero no aporto puntos de vista importantes.

Mantengo una actitud neutral ante las demostraciones a realizar.

No promuevo el trabajo colaborativo en el proyecto pero la mayoría del tiempo respeto a los demás.

Trabajo continuamente pero no aporto puntos de vista importantes.

Mantengo continuamente una actitud neutral ante las demostraciones a realizar.

No promuevo el trabajo colaborativo en el proyecto pero ocasionalmente respeto a los demás.

Trabajo de manera parcial continuamente pero no aporto puntos de vista.

Mantengo continuamente una actitud negativa ante las demostraciones a realizar.

No promuevo el trabajo colaborativo en el proyecto pero ocasionalmente respeto a los demás.

Trabajo ocasionalmente pero no aporto puntos de vista.

Puntaje 15 12 9 6 3

Bloque II

60

Rúbrica del bloqueTe proporciono la rúbrica de este segundo bloque con el fin de que no olvides cuáles son los objetivos a considerar durante el mismo.

Te proporciono la rúbrica de este segundo bloque con el fin de que no olvides cuáles son los objetivos a considerar durante el mismo.


Producto, logro

o desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Conocimientos

Identifico qué es: una antiderivada, la constante de integración y su significado geométrico y físico.

Reconozco todas las fórmulas de integración inmediata que se requieren en diferentes tipos de integración pertinentes.

Comprendo todos los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integrales no directas.

Identifico claramente cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.

Identifico uno de los siguientes elementos: una antiderivada, la constante de integración y su significado geométrico y físico.

Reconozco la mayoría de las fórmulas de integración inmediata que se requieren en diferentes tipos de integración pertinentes.

Comprendo tres de los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integrales no directas.

Identifico parcialmente cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.

Identifico uno de los siguientes elementos:una antiderivada, la constante de integración con su interpretación gráfica o física.

Reconozco algunas de las fórmulas de integración inmediata que se requieren en diferentes tipos de integración pertinentes.

Comprendo dos de los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integrales no directas.

Identifico parcialmente y con ayuda cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.

Identifico uno de los siguientes elementos: una antiderivada, la constante de integración.

Reconozco tres o cuatro de las fórmulas de integración inmediata que se requieren en diferentes tipos de integración pertinentes.

Comprendo uno los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integrales no directas.

Identifico dudosamente y con ayuda cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.

No identifico ninguno de los elementos: una antiderivada, la constante de integración ni su significado geométrico y físico.

Reconozco una o dos de las fórmulas de integración inmediata que se requieren en diferentes tipos de integración pertinentes.

No comprendo ninguno de los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integrales no directas.

No identifico cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.


61


Producto, logro

o desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Habilidades

Utilizo las diferentes fórmulas de integración inmediatas con el fin de obtener las antiderivadas de funciones de tipo algebraico, trigonométrico, exponencial y logarítmico, dando aportes pertinentes.

Caracterizo la aplicación de las integrales en problemas de ciencias naturales y sociales que me proporcionen al determinar el valor de la constante de integración.

Manejo todas las cuatro diferentes técnicas de integración de forma apropiada según las variables que presenten las integrales.

Realizo lecturas donde pueda extraer información sobre las diversas aplicaciones de las integrales de funciones en mi contexto real.

Utilizo las diferentes fórmulas de integración inmediatas con el fin de obtener las antiderivadas de funciones de tipo algebraico, trigonométrico, exponencial y logarítmico.

Caracterizo con dificultad la aplicación de las integrales en problemas de ciencias naturales y sociales que me proporcionen al determinar el valor de la constante de integración.

Manejo tres de las diferentes técnicas de integración de forma apropiada según las variables que presenten las integrales.

Realizo lecturas donde pueda extraer información sobre las diversas aplicaciones de las integrales de funciones en mi contexto colegiado.

Con ayuda utilizo las diferentes fórmulas de integración inmediatas con el fin de obtener las antiderivadas de funciones de tipo algebraico, trigonométrico, exponencial y logarítmico.

Caracterizo vagamente la aplicación de las integrales en problemas de ciencias naturales y sociales que me proporcionen al determinar el valor de la constante de integración.

Manejo dos de las diferentes técnicas de integración de forma apropiada según las variables que presenten las integrales.

Realizo lecturas donde pueda extraer alguna información sobre aplicaciones de las integrales de funciones en mi contexto escolar.

Con ayuda utilizo algunas de las diferentes fórmulas de integración inmediatas con el fin de obtener las antiderivadas de funciones de tipo algebraico, trigonométrico, exponencial y logarítmico.

Caracterizo con errores la aplicación de las integrales en problemas de ciencias naturales y sociales que me proporcionen al determinar el valor de la constante de integración.

Manejo una de las diferentes técnicas de integración de forma apropiada según las variables que presenten las integrales.

Realizo lecturas donde pueda extraer parcamente alguna sobre aplicación de las integrales de funciones en mi contexto escolar.

Con ayuda utilizo pocas o ninguna de las diferentes fórmulas de integración inmediatas con el fin de obtener las antiderivadas de funciones de tipo algebraico, trigonométrico, exponencial y logarítmico.

No caracterizo en lo más mínimo la aplicación de las integrales en problemas de ciencias naturales y sociales que me proporcionen al determinar el valor de la constante de integración.

Manejo algunas de las diferentes técnicas de integración de forma inconsistente.

No realizo lecturas donde pueda extraer alguna información pertinente sobre las diversas aplicaciones de las integrales de funciones en mi contexto.

Bloque II

62


Producto, logro

o desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Actitudes

Considero las actitudes y razonamientos de mis compañeros de manera reflexiva para llegar a un conceso respecto a la solución de conflictos escolares de mi alcance.

Trabajo de manera colaborativa en diversos equipos de trabajo en el que me encuentre.

Represento una fuente de estímulo al momento de resolver todas las situaciones presentadas, ya sean de índole hipotética o real.

Respeto siempre las opiniones generadas por mis compañeros y docente ante las situaciones de trabajo que surjan.

Considero las actitudes o razonamientos de mis compañeros de manera reflexiva para llegar a un conceso respecto a la solución de conflictos escolares de mi alcance.

Trabajo de manera colaborativa en equipos de trabajo íntimos en el que me encuentre.

Represento una fuente de estímulo al momento de resolver algunas de las situaciones presentadas, ya sean de índole hipotética o real.

Respeto la mayoría de las veces las opiniones generadas por mis compañeros y docente ante las situaciones de trabajo que surjan.

Considero las actitudes y razonamientos de mis compañeros de manera reflexiva.

Trabajo ocasionalmente de manera colaborativa en diversos equipos de trabajo en el que me encuentre.

Represento una fuente de ayuda al momento de resolver situaciones presentadas, ya sean de índole hipotética o real.

Respeto ocasionalmente las opiniones generadas por mis compañeros y docente ante las situaciones de trabajo que surjan.

Considero las actitudes o razonamientos de mis compañeros de manera.

Trabajo parcialmente de manera colaborativa en diversos equipos de trabajo íntimos en el que me encuentre.

Represento una fuente de ayuda al momento de resolver alguna de las situaciones presentadas.

Respeto ocasionalmente las opiniones generadas por mis compañeros o docente ante las situaciones de trabajo que surjan.

No considero las actitudes ni razonamientos de mis compañeros de manera reflexiva para llegar a un conceso respecto a la solución de conflictos escolares de mi alcance.

No trabajo de manera colaborativa en cualquiera de los equipos de trabajo en el que me encuentre.

No represento una fuente de estímulo o ayuda al momento de resolver situaciones presentadas, ya sean de índole hipotética o real.

No respeto las opiniones generadas por mis compañeros y docente ante las situaciones de trabajo que surjan

Puntaje 15 12 9 6 3


63

Objetos de aprendizaje• Sumas de Riemann.

• Integral definida.

Desempeños del estudiante• Calcula e interpreta áreas bajo la curva mediante las Sumas de Riemann en la resolución de

problemas en un entorno teórico.

• Compara el método de las Sumas de Riemann con las áreas obtenidas mediante la integral definida y determina las fortalezas y debilidades de ambos métodos, comprobándolo me-diante software graficador (GeoGebra, mathgv, graph).

• Obtiene integrales definidas de funciones algebraicas y trascendentes en un contexto teórico, y las visualiza como herramientas en la resolución de problemas reales.

Competencias a desarrollar• Resuelve problemas de áreas mediante la sumas de Riemann en cualquier disciplina que ten-

ga relación con su entorno.

• Resuelve problemas de áreas mediante la integral definida en cualquier disciplina que tenga relación con su entorno.

• Asume una actitud constructiva y congruente con las competencias que cuenta en el uso de las TIC´s como herramientas, para el modelado y la simulación de problemas de áreas bajo la curva, en el contexto de la física, la geometría y la química.

Bloque III: Calculas e interpretas el área bajo la curva en el contexto de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

DinamizaciónCon el fin de conectar el proceso analítico y matemático de la integral indefinida, con el proceso geométrico, es necesario establecer las herramientas matemáticas útiles que nos servirán de escalón en dicho proceso. Se trata de las sumas de Riemann, así como su conexión con el teorema fundamental del cálculo, que da paso a la integral definida con sus teoremas respectivos.

Todas estas pautas nos servirán en el último paso de este semestre, dado que el bloque final contiene aplicaciones puras.

Sesión 1: Sumas de Riemann y la integral definidaCriterios:

• Distingo la relación gráfica, algebraica y conceptual de integral definida que provenga de una situación hipotética o real.

• Describo los elementos de una suma de Riemann bajo la conexión del área bajo una curva.

• Establezco la relación entre los conceptos algebraico y gráfico integral definida en un intervalo cerrado.

• Calculo los valores de integrales definidas, que provengan de diversas situaciones, con el uso de las sumas de Riemann.

• Mediante la integral definida y los datos dados hallo el valor de la cons-tante de integración de funciones.

• Mantengo una actitud perseverante frente al de las sumas de Riemann con el fin de llegar a una comprensión de la integral definida.

• Colaboro de manera activa con mis compañeros y docente en el desarrollo de las actividades propuestas.

ContextualizaciónEn cálculo diferencial logramos contextualizar la derivada de forma gráfica como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado (además de poder verse también como la velocidad de un objeto que sigue una trayectoria específica en un instante de tiempo fijo). De forma similar la integración tiene relación con un proceso que has realizado de forma mecánica desde tus estudios en primaria.

En esta sesión nos avocaremos a la interpretación gráfica de la integral en un intervalo y a los conceptos necesarios para su correcta comprensión.

Para dar inicio te propongo que desarrolles la actividad que se te presenta a continuación en relación a determinación de áreas.

Bloque III

66

ProblematizaciónEn parejas desarrollen la actividad descrita a continuación de manera que necesaria-mente que justifiquen todos sus procesos realizados con el fin de que mantengan una actitud coherente con los que proponen.

Actividad 1 Ya has manejado desde estudios iniciales el concepto de área, tal como el área de un triángulo que es el producto de su base por su altura, el área de un rectángulo el cual resulta del producto de su largo y ancho, así como el área de un polígono regular que resulta del producto de su perímetro por su apotema entre dos. En binas planteen y desarrollen un plan para determinar:

1. El área del siguiente polígono irregular:

Figura 3.1 Polígono irregular de 6 lados.

2. El área determinada por el eje X, las rectas x=2, x=5 y la gráfica de la función

y x x= + −12

2 1 .

-5

y=(1/2)x3+x-1

Área a determinar

1

x

y

-1

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

-2-3-4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Figura 3.2 Región de área a determinar.

Calculas e interpretas el área bajo la curva en el contexto de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

67

Pueden usar los medios necesarios y materiales como reglas, calculadoras, etcétera, para realizar los cálculos pertinentes. A continuación les dejo unas líneas para que detallen los procedimientos requeridos para el cálculo de las dos áreas.

Después de llenar las líneas con sus resultados es necesario que con su profesor como mediador, realicen un debate sobre los mecanismos y pasos que cada uno de las binas realizaron con el fin de llegar a un acuerdo parcial sobre el cálculo de áreas determinadas por curvas.

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competenciasCon el fin prepararnos en la exploración de los conceptos clave del cálculo integral hemos de adentrarnos a una notación útil y necesaria en matemáticas.

Sumas de Riemann y el problema del áreaEl elemento a considerar en este caso es la sumatoria. Como su nombre lo indica, representa la suma de ciertos términos. Esta sumatoria se representa con la letra griega sigmaΣ .

Por ejemplo si deseáramos sumar los números a1 , a2 , a3 , a4 , no habría el mayor problema en representar esta suma como a a a a1 2 3 4+ + + . El problema em-pieza a surgir cuando nos indican que representemos la suma de los primeros 2011 números. Qué tedioso sería hacer esto, ¿verdad? Es aquí donde entra la notación de sumatoria.

Esta operación la podríamos representar así:

a a a a a1 2 3 2010 2011+ + + + +

Donde los puntos suspensivos indican que las sumas siguen bajo ese mismo patrón desde el primer elemento hasta el elemento que ocupa la posición 2011. En-tonces la representación como una sumatoria será de la manera siguiente:

aii=∑1

2011

Bloque III

68

Esto indica la suma previamente descrita, o sea:

a a a a a aii

= + + + + +=∑ 1 2 3 2010 20111

2011

En esta representación podemos dar la definición siguiente.

Definición. La suma de los n términos a a a a an n1 2 3 1+ + + + +−se describe

por:

a a a a a ai n ni

n

= + + + + +−=∑ 1 2 3 11

En donde i se denomina índice de la sumatoria, el límite inferior es en este caso 1 y el límite superior de la suma es en este caso n.

Algunos ejemplos de sumatorias serían los siguientes casos:

a) ii

= + +=∑ 1 2 31

3

b) 2 2 2 2 2 23 4 5 6 7

3

7j

j

= + + + +=∑

c) 1 1 11

12

111 1 1 1 1p k

k m

n

p m p m p m p nb b b b b( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − + − + − + + − +=

+ + −∑

11 1p nb( )−

Para el empleo correcto de las sumatorias se requiere saber las propiedades en las cuales se rigen, razón por la cual las describo a continuación.

Propiedades básicas de las sumatorias

ca c aii

n

ii

n

= =∑ ∑=

1 1

, donde c es una constante.

( )a b a bi i ii

n

ii

n

i

n

± = ±= ==∑ ∑∑1 11

En ciertos momentos se requerirá el empleo de ciertas sumatorias que tienen una estructura fija, éstas las describo a continuación.

i n ni

n

= +=∑ ( )1

21

i n n ni

n2

1

1 2 16=

∑ = + +( )( )

i n ni

n3

1

2 214=

∑ = +( )

i n n n n ni

n4

1

21 2 1 3 3 130=

∑ = + + + −( )( )( )

El índice de la suma puede ser representado por cualquier otra letra ya que se trata de un número ficticio, es decir, la siguiente sumatoria

aii m

n

=∑representa lo mismo

que akk m

n

=∑


69

Veamos algunas aplicaciones de estas propiedades.

Ejemplo 1:

Determinar la suma descrita en cada inciso.

a) 3 5 12

5

[ ( ) ]kk

+=∑

b) ( )( )k kk

− +=∑ 1 10

3

c) i ik

n

( )3 21

−=∑

Solución:

Sigue los pasos presentados de manera que argumenta qué propiedad se utilizó en cada caso.

a)

3 5 1 3 5 1 3 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 52

5

[ ( ) ] [ ( ) ] {[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ (k kk

+ = + = + + + + + +=∑ )) ]

{ } { }

+ =

+ + + = =

=∑ 1

11 16 21 26 3 74 222

2

5

k}

3

b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )k kk

− + = − + + + ==∑ 1 1 1 1 0 2 1 3 2 4 100

3

c) k k k k k i p p pk

p

k

p

k

p

k

p

( ) ( ) ( )( )3 2 3 2 3 2 3 1 2 161

2 2

11 1

− = − = − = + += == =∑ ∑∑ ∑ −− + = + −2 1

22

2

3 2p p p p p( )

Actividad 2Halla el valor de cada una de las siguientes sumatorias:

a) ( )3 21

4

ii

−=∑

b) 112

0

4

kk +=∑

c) 311

5

jj +=∑

d) ( )( )k kk

− +=∑ 3 12

6

e) 1 2

1 ai b

i

n

( )+=∑

Ya he señalado de forma implícita que el cálculo de un área comprendida por una curva delimitada por otras da origen a la interpretación geométrica de la in-tegral. En lo que respecta ahora es presentarte una serie de situaciones que te llevará a la conexión de lo que describo.

Supongamos que se tiene una función continua en un intervalo cerrado [a, b] con ecuación y=f(x) y una región se halla delimitada por la curva, el eje X y las rectas x=a y x=b como se representa a continuación.

Bloque III

70

x=a

y=f(x)

x=b

Área a determinar

x

y

Figura 3.3 Área delimitada por las rectas y curvas descritas.

La interrogante que surge es: ¿cómo determinar el valor del área A repre-sentada en la figura?

O en el mejor de los casos, ¿cómo aproximar numéricamente el valor que represente al área indicada?

Para comenzar con estos conceptos consideremos la función y x= 2 con las rectas x = 0, x = 1 y el eje X. Lo que buscamos es crear rectángulos con la misma base de longitud desde 0 hasta 1 y cuyas alturas respectivas sean las intersecciones de los vértices izquierdos de los rectángulos con la curva o en su defecto los lados derechos de los vértices. Calculamos las áreas de los rectángulos y determinamos la suma de ellos con lo cual estaremos aproximando el área de la región sombreada (ver figura 2.4).

Para iniciar tomemos 4 rectángulos de la misma longitud con lo cual serán de base igual a ∆x = =−1 0

414 . Denotamos los extremos de los cuatro intervalos por

x0 0= , x114= , x 2

12= , x3

34= y x4 1= .

Ahora representamos los rectángulos de base 14 y cuya altura respectiva

será la intersección del vértice superior izquierdo con la curva. En este caso serán sólo 3 de ellos. Esto se representa en la siguiente figura.


71

y=x2

1/4

A1

A2

A3

1/2 3/4

(1,1)

x

y

Figura 3.4 Rectángulos contenidos dentro de la curva.

Claramente el área real de la región es mayor que el área que resulte de sumar las áreas de cada rectángulo.

Es decir A A A A> + +1 2 3

Notamos que cada área parcial queda dado por:

A bh114

142 1

64= = =( )( ) , A214

122 1

16= =( )( ) , A314

342 9

64= =( )( )De manera que:

A A A A Aii

> + + = ==∑1 2 31

3 1464

O sea:

A > =1464

0 21875.

De forma análoga podemos calcular el área generado con rectángulos cu-yos vértices superiores derechos coincidan con la curva. De forma gráfica quedarían cuatro rectángulos:

Bloque III

72

y=x2

A3

A1 A2

A4

1/4 1/2 3/4

(1,1)

x

y

Figura 3.5 Rectángulos que contienen a la curva.

En este caso se concluye que A A A A A< + + +1 2 3 4 en donde A1 14

142 1

64= =( )( )

A214

122 1

16= =( )( ) , A314

342 9

64= =( )( ) , A414

2 141= =( )( ) .

De manera que A A A A A Aii

< + + + = ==∑1 2 3 41

4 1532

O sea:

A < =1532

0 46875.

Combinando ambas desigualdades notamos que:

0 21875 0 46875. .< <A

Este resultado se ha obtenido tras realizar una subdivisión del intervalo [0,1] en cuatro partes de igual longitud. Si tuviéramos la oportunidad de realizar una cantidad mayor de divisiones rectangulares, entonces mejor será nuestra estimación del área real debajo de la curva, así como por encima de ella.

Te presento una tabla en donde se contienen los resultados obtenidos tras un largo proceso de cálculo aproximado de áreas. Cada división más fina nos arroja un resultado cada vez más exacto.

n

10 0 2850000 0 3850000. .< <A

20 0 3087500 0 3587500. .< <A

30 0 3168519 0 3501852. .< <A

50 0 3234000 0 3434000. .< <A


73

n

100 0 3283500 0 3383500. .< <A

1000 0 3328335 0 3338335. .< <A

El promedio de estas últimas aproximaciones cuando n =1000 nos dará 0.333335 lo cual es un valor cercano a 1/3. Si pudiéramos obtener una cantidad n de rectángulos entonces el área calculada se determina por Ai

i

n

=∑

1

, pero cuando n crece indefinidamente podremos justificar el siguiente límite:

A An i

i

n

= =→∞ =∑lim

1

13

De forma general podemos relacionar lo que se hizo con una función con-tinua y f x= ( )en el intervalo [a, b] en donde suponemos que la región R está con-tenida por la curva, el eje X y las rectas verticales x=a y x=b. Lo que se realiza es lo siguiente:

Primero se define una región de polígonos que contenida en R. Esto me-diante la división del intervalo cerrado [a, b] en n subintervalos de igual longitud, digamos:

∆x b an= −

De este modo los extremos de estos subintervalos serán:

a x= 0 , x1 , x2, …, xn−1 y x bn =

Estos subintervalos son:

[ , ]x x0 1 , [ , ]x x1 2 , …, [ , ]x xn n− −2 1 e [ , ]x xn n−1

Siguiendo este orden el i-ésimo intervalo es:

[ , ]x xi i−1

Acto seguido al ser la función continua en el intervalo cerrado [a, b] en-tonces lo será en cada uno de los subintervalos. Así para cada subintervalo [ , ]x xi i−1existe un valor ci con el cual f tiene un mínimo absoluto ahí, digamos f xi( ) , esa altura es la que se considera para cada rectángulo respectivo en su intervalo [ , ]x xi i−1con base Δx.

Por último cada uno de los rectángulos con base de longitud Δx tendrá un área igual a f c xi( )∅Δx. Si consideramos:

S f c xn ii

n

==∑ ( )1

∆

Esta sumatoria representa el área total de los n rectángulos inscritos dentro de la curva de f x( ) , con lo cual:

A Sn≥ Observa la figura para notar este aspecto que acaba de mencionar.

Bloque III

74

y=f(x)

x0=a x1x2 x3

Ci

xi-1 xn-2 xn-1 xn=b

∆x

xi

x

y

Figura 3.6. Rectángulos inscritos en la curva de la función f(x)

Mediante herramientas de cálculo avanzado se puede demostrar que para las funciones que contengan las hipótesis señaladas se concluye que el área de la región R será:

A S f c xn n n i

i

n

= =→∞ →∞ =

∑lim lim ( )∆1

En el análisis anterior se consideró las alturas de los polígonos como las mínimas posibles; sin embargo, podemos tomar en cada intervalo [ , ]x xi i−1

los valores di en donde la función toma su valor máximo posible de manera que la suma que-

daría S f d xn ii

n

==∑ ( )1

∆ en donde claramente A Sn≤ . Tras lo cual llegaremos a la misma

conclusión previamente vista.

Mediante este hecho ya tenemos la facultad de desarrollar la demostración del área calculada mediante aproximaciones. Considerarlo como un ejemplo más nos servirá de detonador de estrategias.

Ejemplo 2:

Demuestra usando sumatorias que para la función y x= 2 el área de la re-gión formada por el eje X, la curva y el intervalo [0, 1] es igual a 1/3.

Demostración:

Como se subdividirá en n intervalos de longitud ∆x b an n n= = =− −1 0 1 . Se po-

seerán los puntos 1 / n , 2 / n , 3 / n ,…, ( ) /n n−1 y n n/ cuyas alturas respectivas serán ( / )1 2n , ( / )2 2n ,…, e ( / )n n 2 respectivamente. Ya que f es en este caso creciente en [0, 1] el valor mínimo absoluto en el subintervalo i-ésimo [ , ]x xi i−1 se halla en el punto xi−1

de manera que el área de un rectángulo en el subintervalo i-ésimo tendrá el área( / )[( ) / ]1 1n i n n− .


75

Sumando los n rectángulos se podrá escribir el área total obtenida mediante

sumatorias como Sn nin

i

n

= −

=∑( )( )( )1 1 2

1

. Esto puede transformarse mediante las propieda-

des de las sumatorias:

S in nin

i

n

nin

i

n

n n= = = −−

=

−

=∑ ∑( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 2

1

1 1

1

1 1 22 12

2 2

ii

n

ni

n

i

n

i

n

n

i i

n n n n= = = =∑ ∑ ∑ ∑= − +

= + + −

1

1 2

1 1 1

1

3

3

2 1

1 2 16

2

( )

( )[ ( )( ) (nn n n nn

+ + = − +12

2 3 16

2

2

) ]

Tomamos el límite al infinito de la siguiente manera de forma que estare-mos aproximándonos al valor real del área de la región.

lim lim lim( ) ( )( )n n n n n n

S n nn→∞ →∞ →∞

= − + = − + = =2 3 16

2 2 13

2

216

3 1 162

Ejemplo 3:

Mediante rectángulos infinitos calcula el área de la curva dada por 2 8 0x y+ − = y que forma la región comprendida por la curva el eje X y las rectas x = 0.5 y x = 3. Representa la gráfica.

Solución:

La longitud de los n subintervalos es ∆x n n= =−3 0 5 2 5. . . Ya que la curva es decreciente en el i-ésimo intervalo [ , ]x xi i−1

el valor mínimo absoluto se halla en el punto f xi( ) . Además x i xi = +0 5. ∆ , con estas premisas el área será:

A S f x x i x xn n n i

i

n

n i

n

= = = − + =→∞ →∞ = →∞ =

∑ ∑lim lim ( ) lim [ ( . )]∆ ∆ ∆1 1

8 2 0 5 llim ( )

lim [ ( ) ( ) ] lim. .

n i

n

n n ni

n

x i x

i

→∞ =

→∞ =

− =

− =

∑

∑

7 2

7 2

2

1

2 5 2 5 2

1

∆ ∆

nn n ni

n

n n nn ni n

→∞ = →∞

+− = −∑[ ] lim[ ( ) ( )]. . . . ( )17 5 12 5

1

17 5 12 5 121 2 2 ==

− + = − ==

→∞

∑i

n

n n

1117 5 6 25 1 17 5 6 25 11 25lim[ . . ( )] . . .

La gráfica se presenta a continuación:

x

y

y=8-2x

0.5 xi-1 xi=ci

Figura 3.7. Representación del área de la región sombreada.

Recuerda que

1limx x→∞

= 0

Bloque III

76

Actividad 3Considerando el área de la región comprendida entre la gráfica de y e x= − , entre el eje X y las rectas x = 0 y x = 2. Estima el área tomando los puntos medios de las bases de los rectángulos de aproximación considerando 8 subintervalos.

La integral definida como sumas de RiemannSe ha tenido un acercamiento a la integración por medio de sumas de Riemann aun-que de un modo particular, ya que las funciones consideradas son tales que f x( ) ≥ 0 . Ahora nos avocaremos a un modo general.

Sea f x( )una función definida en el intervalo cerrado [a, b]. Dividamos este intervalo en n subintervalos al tomar cualesquiera (n-1) puntos intermedios del in-tervalo, de manera que a x x x x x bn n= < < < < < =−0 1 2 1 .

Recalco que los puntos obtenidos no forman de manera necesaria subinter-valos de la misma longitud. Estas longitudes las marcaremos como ∆1 1 0x x x= − , ∆2 2 1x x x= − y así sucesivamente de modo que la longitud del i-ésimo subinterva-lo será ∆i i ix x x= − −1 . Formando estos subintervalos decimos que construimos una partición del intervalo [a, b]. Por tanto, nombraremos a esta partición realizada por el símbolo Δ. Otro detalle importante es que de los n subintervalos de la partición obtenida existe uno o más de ellos que tiene la mayor longitud, de forma que en-tonces al mayor de estos subintervalos se le denominará norma de la partición y se le describe como llΔll.

En cada subintervalo de la partición Δ tomamos un punto arbitrario, es decir, en el intervalo ∆1 x tomamos al punto w1 donde x w x0 1 1≤ ≤ , en el intervalo ∆2 x to-mamos al punto w2 donde x w x1 2 2≤ ≤ y así sucesivamente con lo que en el intervalo ∆i x tomamos al punto wi con x w xi i i− ≤ ≤1 . Con todo esto la siguiente suma es de importancia:

f w x f w x f w x f w xi i n ni

n

( ) ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆= + + +=∑ 1 1 2 21

Esta última suma se conoce como suma de Riemann.

En este análisis se incluye la posibilidad de que algunos o todos los valores f wi( ) sean negativos. Lo que indica que la gráfica de f tiene porciones tanto por arriba del eje X como por debajo de él. Finalmente si se supone que existe un valor L tal que:

f w x Li ii

n

( )∆=∑ −1

De manera que esta diferencia pueda hacerse lo más pequeño que se de-see para todas las particiones Δ cuyas normas sean suficientemente pequeñas y para cualquier wi en su respectivo subintervalo cerrado. Entonces se dice que f es integra-ble en el intervalo [a, b]. Esto último puede representarse como:

Aquí se señala que para la función en [a, b] se puede aproximar los valores de las sumas de Riemann a L tanto como se desee al tomar las normas ∆

de todas las particiones de [a, b] suficientemente pequeñas para toda las posibles elecciones de los valores wi .


77

lim ( )∆

∆→ =

=∑0 1

f w x Li ii

n

Nos es posible dar la siguiente definición respecto a la integral definida.

Definición. Si f es continua en [a, b], entonces la integral definida de

f de a a b , representada por f x dxa

b

( )∫ , está dada mediante el siguiente límite

siempre que éste exista:

f x dx f w xi ii

n

a

b

( ) lim ( )=→ =∑∫ ∆

∆0 1

El integrando es f x( ) , el límite inferior es a y el límite superior es

b . El signo ∫es el que representa la integración.

El símbolo f x dxa

b

( )∫ se lee “la integral definida de f x( ) con respecto a x

desde x = a hasta x = b”.

Al retomar estos aspectos podemos señalar la dirección en la que apunta la integral y el área de una región R que está delimitada por la gráfica de la curva.

Definición. Sea f una función continua en [ , ]a b e f ≥ 0 para toda x a b∈ [ , ] . Sea R la región delimitada por la curva y f x= ( ) , el eje X y las rectas x=a y x=b. Entonces el área de la región R está dada con:

A f x dx f w xi ii

n

a

b

= =→ =∑∫ ( ) lim ( )

∆∆

0 1

De esto se desprende que si f es continua en [a, b] e f ≥ 0 para toda x a b∈ [ , ] , en-

tonces la integral f x dxa

b

( )∫ se puede interpretar como la medida del área de la región R.

Por ejemplo, si consideramos la región formada por la función y x= , el eje X y las rectas x = 1 y x = 4, entonces ésta queda representada en la siguiente figura.

Bloque III

78

A=AM-Am

y=x

x=1

6

5

4

3

2

1

0.5 1.51 2 2.5 3.53 4 4.5 5 65.5 6.5-0.51-1.5x=4

R

Figura 3.8 Representación de la región R.

Ya que y x= es continua en [1, 4] entonces como concepto de integral es-

taríamos determinando xdx1

4

∫ , lo cual es el área de la región sombreada. Además el área de esta región la podemos determinar mecánicamente, por ejemplo, al restar el área del triángulo rectángulo mayor AM del área del triángulo rectángulo menor Am es decir: A A AM m= − . Estas áreas son AM = =( )( ) /4 4 2 8 , Am = =( )( ) / .1 1 2 0 5 . Por lo que A A AM m= − = 7 5. ; que señalándola con lo ya previsto se tendría esto:

xdx =∫ 7 51

4

.

De modo similar para la función y x= −16 2 es continua en [−4, 4] con lo que la región que comprendería es la mostrada.

A=(πr�)/2=8πy=√16-x2

(4,0)

-0.50.5

0.5

-0.5-1-1.5-0.5-2.5-3-3.5-4-4.5 1

1

1.5

1.5

2

2

2.5

2.5

3

3

3.5

3.5

4

4.5

4 4.5 5

(-4,0) 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura 3.9 Región R que contiene la curva y su área.


79

Para este caso se tiene un semicírculo de radio 4 con lo que su área conte-nida será de A r= =π π

2

2 8 que visualizando esto en términos de integral se concluye ni más ni menos que:

16 82

4

4

− =−∫ x dx π

Se ha definido f x dxa

b

( )∫ en [a, b], o sea cuando a<b; pero para una función fde a hacia b que disponga de a b> o de a = a se aplican las siguientes definiciones.

Definiciones. Si a b> y f x dxa

b

( )∫ existe, entonces:

f x dx f x dxa

b

b

a

( ) ( )∫ ∫= −

Si f a( ) existe, entonces:

f x dxa

a

( )∫ = 0

Hasta ahora para determinar el área de una región plana se emplea la integral definida pero este paso incluye el límite de una suma y resulta demasiado tedioso de realizar, por ello en el siguiente bloque exploraremos unos teoremas que nos harán el manejo más sencillo de las integrales definidas y por ende el del cálculo de áreas de regiones planas.

Es propio dar a conocer algunos teoremas de utilidad para el manejo par-ticular de ciertas integrales definidas.

Teorema 3.1. Si k es cualquier constante entonces kdx k b aa

b

= −∫ ( )

Teorema 3.2. Si f es integrable en el intervalo [a, b] y k es cualquier

constante entonces kf x dx k f x dxa

b

a

b

( ) ( )= ∫∫Teorema 3.3. Si las funciones f1 , f2 , …y fn son integrables en [a, b]

entonces ( )f f fn1 2± ± ±� es integrable en [a, b] y

[ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( )f x f x f x dx f x dx f x dx f x dxna

b

a

b

a

b

n1 2 1 2± ± ± = ± ± ±∫∫ ∫

aa

b

∫

Teorema 3.4. Si f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los números a, b y c entonces:

f x dx f x dx f x dxc

b

a

c

a

b

( ) ( ) ( )= + ∫∫∫

Para cualquier orden de los números a, b y c.

Un caso particular del teorema3.4 es cuando a<c<b.

Bloque III

80

Actividad 4Realiza los gráficos necesarios y los cálculos pertinentes con geometría básica para demostrar que ( )2 4

2

2

− =−∫ x dx .

De manera similar cuánto aportará la integral definida − −−∫ 9 2

3

3

x .

SíntesisEntrarás en la etapa en donde junto con tu docente y compañeros podrán desarrollar de manera más completa las habilidades propias de esta sesión.

1. Determina las sumas respectivas:

a) ( )3 21

20

ii

−=∑

b) ( )2 55

15

ii

+=∑

c) ( )ii

+=∑ 1 2

1

18

d) i

ik +=∑ 13

7

e) ( )− +

=∑ 1 1

2

10 j

j j

2. Sea R la región que se halla bajo la gráfica de f x e x( ) = − entre x = 0 y x = 2.

a) Utilizando los vértices derechos determina una expresión para el área como un límite sin que lo evalúes.

b) Estima el área tomando los puntos medios de un total de 10 subintervalos.

3. Estima el área bajo la curva de f x x( ) = 1 desde x = 1 a x = 5 usando cuatro rectán-gulos y sus vértices derechos. Representa la situación en una gráfica junto con los rectángulos. En este caso ¿se sobrepasa del área o le falta al área real? Repite el proceso considerando los vértices izquierdos.

4. Estima el área bajo la curva de f x x( ) = −25 2 desde x = 0 a x = 5 usando cinco rectángulos y sus vértices derechos. Representa la situación en una gráfica junto con los rectángulos. En este caso ¿se sobrepasa del área o le falta al área real? Repite el proceso considerando los vértices izquierdos.

5. Estima el área bajo la curva de f x x( ) = +2 1 desde x = −1 a x = 2 usando tres rectángulos y sus vértices derechos. Representa la situación en una gráfica junto con los rectángulos. En este caso ¿se sobrepasa del área o le falta para llegar al área real? Repite el proceso considerando los vértices izquierdos.

Repite ambos procesos mediante seis rectángulos.


81

6. Utiliza la definición de integral mediante límite para hallar el área de la región R que se halla bajo la gráfica de:

a) f x x( ) = 4 entre x = 1 y x = 10

b) f x xx( ) ln= entre x = 4 y x = 10

7. Halla la suma de Riemann para f x x sen x( ) = − 2 2 de x = 0 a x = 3, con cuatro tér-minos.

8. Halla f x dx( )2

5

∫ si f x dx( ) .2

81 8∫ = y f x dx( ) .

5

82 3∫ =

9. Calcula f x dx( )1

3

∫ si f x dx( )0

12∫ = , f x dx( )

0

45∫ = − y f x dx( ) .

3

41 2∫ = −

10. S i a < b < c < d d e te r m i n a g x dxb

c( )∫

s i g x dxa

d( )∫ = 100 , f x dx

b

a( )∫ = 50 y

f x dxc

d( )∫ = −30 .

Sesión 2: El teorema fundamental del cálculoCriterios:

• Defino de forma verbal y analítica el teorema fundamental del cálculo con los elementos que le corresponden.

• Interpreto modelos matemáticos de mi contexto relacionados al teorema fundamental del cálculo y a la regla de Simpson.

• En el principio fundamental del cálculo comparo la relación entre los ele-mentos que entran en juego para su uso.

• Aplico la regla de Simpson relacionada al cálculo de un área bajo una curva.

• Utilizo el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situacio-nes presentadas.

• Mantengo una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

ContextualizaciónComo había señalado en la obra de cálculo diferencial, los conceptos básicos del cálculo fueron utilizados de alguna forma desde los tiempos de los antiguos griegos. Entre estos resalta el caso del cálculo de áreas de polígonos. Más tarde Newton y Leibniz, trabajando de forma independiente e ingeniosa, lograron consolidar todos los trabajos previos para hacer surgir el cálculo diferencial e integral. El cálculo in-tegral nace a partir de la primicia griega de determinar el área del círculo y figuras poligonales, sin embargo, Newton y Leibniz lograron pasar del caso particular al general, mediante el cálculo de áreas de regiones contenidas por curvas o conjuntos de curvas. Este procedimiento condujo a los teoremas fundamentales del cálculo.

Bloque III

82

ProblematizaciónPara encontrar el valor exacto de una integral definida se presentan dos dificultades que hacen imposible su determinación.

En el primer caso esto radica cuando no se tiene forma de conocer la an-tiderivada de la función en cuestión: pueden ser las integrales e dtt2

0

2

∫ o 1 3

1

3+

−∫ x dx

El segundo caso sale a colación cuando la función se determina a partir de la experimentación, o sea, cuando se recolectan los datos mediante instrumentos de medición y en este caso es común que no se obtenga una fórmula para el integrando.

Por ello se utilizan dos técnicas que a partir de estos datos podrán aproxi-marse la integral. Estas técnicas se rigen a partir de las sumas de Riemann.

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competenciasHasta ahora hemos logrado aproximar las integrales definidas mediante las sumas de Riemann con el uso de rectángulos apropiados, pero podemos usar los siguientes métodos si nuestro integrando es difícil de integrar.

Integración aproximadaPara ambos métodos utilizaremos una comprensión similar a las sumas de Riemann.

Supóngase que se tiene una función f x( ) y esta genera una región de área A entre ella, el eje X y los puntos x=a y x=b. Una partición∆x b a

n= − de subintervalos genera por ejemplo el i-ésimo intervalo [ , ]x xi i−1 con lo que podemos observar el i-ésimo trapecio formado por los puntos x x f xi i i−1 , , ( ) y f xi( )−1 . Estos trapecios se hallan en forma vertical de manera que sus bases serán f xi( )−1

y f xi( ), por lo que su altura corresponde al ancho de los intervalos de la partición, o sea ∆x. Como el área de un trapecio es la suma de sus bases multiplicada por su altura entre dos, entonces el área de este i-ésimo trapecio será:

[ ( ) ( )]f x f x xi− +1 1 2

∆

Realizando este proceso para cada uno de los trapecios de la partición, la suma de estos nos aproximará al área real de la región. De modo que al realizar las sumas pertinentes junto con las simplificaciones adecuadas llegamos a lo siguiente:

Regla de los trapecios. Si se tiene la partición ∆x b an= − , entonces el

área aproximada de f x( ) desde a hasta b es:

f x dxf x

f x f x f x f x f x fa

b

i i n( ) [( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (∫ ≈ + + + + + + + +− −0

1 2 1 22 xx

f xxn

n− +1 2)

( )]∆


83

Claro, mientras n → ∞ nuestra aproximación tendrá cada vez menos mar-gen de error.

Veamos el segundo método para después analizar algunos ejemplos de ambos.

De manera similar a la regla del trapecio, se particiona el intervalo [a, b] enn subintervalos de manera que n sea par. Esta regla se basa en la aproximación a partir del uso de parábolas en vez de segmentos rectilíneos.

Regla de Simpson. Si se tiene la partición ∆x b a

n= − , con n par enton-

ces el área aproximada de f x( ) desde a hasta b es:

f x dx f x f x f x f x f x f xa

b

n n( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ≈ + + + + + + +− −0 1 2 3 2 14 2 4 2 4 ff x xn( )]∆

3

Nota que se debe tener par, además de que se genera la sucesión de coeficientes:

1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 2, 4,1

Observa detenidamente cada ejemplo que se realizará con las reglas mencionadas.

Ejemplo 4:

Utiliza la regla de los trapecios para aproximar con n = 7 la integral x dx2

1

2

∫Solución:

Consideramos entonces que ∆x = =−2 17

17 de forma que:

x dx2

1

2 2872 9

72 10

72 11

72 12

72 13

721

22

∫ ≈ + + + + + + +[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 17

22914

172

22998

2 336]( ) [ ]( ) .= = ≈

Observa la figura que se presenta respecto de este ejemplo.

0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Y

X

1.5 2.5 3 3.5 4 4.52

f(x)=x2

A=2.336

Figura 3.10 Área de la región comprendida por la curva, el eje x y las rectas verticales en 1 y 2 mediante una aproximación de regla del trapecio con n=7

Bloque III

84

Ejemplo 5:

Utiliza la regla de los trapecios para aproximar con la integral e dtt2

0

2

∫Solución:

Consideramos entonces que ∆t = =−2 010 0 2. de forma que:

e dt e e e e e et2 2 2 2 2 2 2

0

2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 14 2 4 2 4 2∫ ≈ + + + + + +[ ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( ) ee e e e e( . ) ( . ) ( . ) ( . ) .]( )

[ . ](

1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 23

2 2 2 2 2

4 2 4

247 353 0

+ + + +

≈ .. ) .0666 16 4737≈

La figura respectiva será la que se da a continuación:

Y

X

0.5 1

10

20

30

50

4

1.5 2.5 3 3.52

A=16.4737

f(t)=er2

Figura 3.11 Área de la región comprendida por la curva, el eje x y las rectas verticales en 0 y 2 mediante una aproximación de regla de Simpson trapecio con n=10.

Actividad 1Con la integral 1 3

1

3+

−∫ x dx mencionada en la problematización determina el área mediante la aproximación con la regla del trapecio y con la regla de Simpson. ¿Varía demasiado tu resultado con ambos procesos? Realiza una representación de la re-gión comprendida.

Teorema fundamental del cálculoProseguimos con el estudio del comportamiento de las integrales. Uno de los teore-mas importantes para esta sección será el teorema del valor medio para integrales. Debido a la complejidad de las demostraciones de estos teoremas, las omitiré.

Teorema 3.5. Teorema del valor medio para integrales: Si la funciónf es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces existirá un valor c en ese intervalo que satisface que:

f x dx f c b aa

b( ) ( )( )= −∫


85

El valor c del teorema anterior no es necesariamente único, pero bajo ciertos procesos podremos calcular estos valores como se describe en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6:

Halla el valor aproximado de c para la integral x dx2

1

2

∫ usando el teorema del valor medio para integrales.

Solución:

Necesitamos hallar el valor que satisfaga la condición:

x dx f c2

1

22 1∫ = −( )( )

Sin embargo, realizando aproximaciones por medio del método del trapecio hacia la integral x dx2

1

2

∫ con un valor de n = 10 se obtendrá que x dx2

1

22 3332∫ ≈ . De

forma que:

x dx f c2

1

22 1 2 3332∫ = − ≈( )( ) .

Surgiendo la ecuación:

f cc

cc

( )( ) .( ) .

..

2 1 2 33321 2 332

2 33321 5274

2

− ≈≈

≈≈ ±

Pero el valor negativo −1.5274 es claramente rechazado puesto que no pertenece al intervalo [1, 2] que se está considerando.

Finalmente se concluye que:

c = 1 5274.

En el teorema anterior el valor f c( ) se denomina valor medio o promedio de f en [a, b].

Ya que se estableció este primer teorema del bloque y que será de utilidad más adelante, podremos pasar a los dos teoremas fundamentales del cálculo y es aquí en donde se observará la relación estrecha entre el cálculo integral con el cálculo diferencial que se contempló en el pasado semestre.

El primer teorema fundamental proporciona la derivada de una función con-siderada como una integral definida que tiene un límite superior variable, veamos.

Teorema 3.5. Primer teorema fundamental del cálculo: Sea una función f continua en el intervalo [ , ]a b y sea x a b∈ [ , ] , considere la función Fdada por:

F x f t dta

x( ) ( )= ∫

Entonces:

F x f x ddx

f t dt f xa

x´( ) ( ) ( ) ( )= ⇔ =∫

Bloque III

86

Teorema 3.6. Segundo teorema fundamental del cálculo: Sea f una función continua en [ , ]a b y sea g una función que satisface para todax a b∈ [ , ] que:

g x f x´( ) ( )=

Entonces:

f t dt g b g aa

b( ) ( ) ( )∫ = −

También se acostumbra denotar:

g b g a( ) ( )− por a

b

g x( )Mediante el uso del segundo teorema fundamental del cálculo ya nos es

posible determinar una integral definida de manera exacta y sin el uso de aproxima-ciones. También señalo que, al evaluar la integral definida dada por este teorema se observa que primero se sustituye en la antiderivada el límite superior de la integral ( b ) y le restamos la sustitución del límite inferior ( a ).

Consideremos ejemplos de esta aplicación.

Ejemplo 7:

Utiliza el teorema 3.3 para obtener el valor de cada integral definida descrita:

a) x dx2

0

3

∫b) 3

1

2tdt

−∫c) sds

1

2

∫Solución:

Notemos primero cómo será la antiderivada en cada caso.

a) Una antiderivada de f x x( ) = 2 será g x Cx( ) = +3

3 , es decir, g x f x´( ) ( )= por lo que por el teorema 3.3 se tendrá:

x dx x C2

0

3

0

333∫ += ( )]

Esto se observa como:

x dx C C C C Cx2

0

3

3 0

3 33

03

3 3 3

9 9∫ = + = + − + = + − =( ) ( ) ( )( ) ( )

Con esto se detalla que la constante de integración C no será necesaria al momento de realizar una integral definida, ya que al usar este teo-rema 3.3, dicha constante se cancelará. Por ello la integral definida nos dará un valor exacto.


87

b) La antiderivada representativa será en este caso32

2t, por lo que el valor de

la integral definida viene dado por los siguientes pasos:

3 61

232 1

23 22

3 12

32

92

2 2 2

tdt t− −

−∫ = = − = − =( ) ( )

c) Aquí poseeremos los procesos siguientes:

sds s

1

2 23

1

22 23

2 13

4 2 23

3 3 3

∫ =

= − = −( )

Con el uso de los métodos de integración y las propiedades de las integra-les señaladas en los teoremas del bloque anterior ya podemos realizar el cálculo de integrales definidas casi de cualquier tipo.

Es útil dar señalización de esto con un ejemplo más.

Ejemplo 8:

Obtén el valor de cada integral definida:

a) ( )/

/

/x x dx1 3

1 2

5 42 1− +∫

b) x x dx2 523

0

1+∫

Solución:

Realicemos cada integración paso a paso para después evaluar los límites.

a) ( ) ( )/

/

/

/

//x x dx x xx1 3

1 2

5 43

42

1 2

5 42 1 4 3− + = − + ∫

( ) ( ( )( ) /

454

54

4 3

− 22 54

3

412

2 12

12

4 3

0 6973 0 5476 0 1496+ − − + = − =) ( ( ) ) . . .( ) /

=

b) x x dx x x dx2 5 4 2 523

0

114

2 1 3

0

1+ = + =∫ ∫ ( )( )

x2 5 7162 4 3

0

13

16+ =( ) (/

/

)) ( ) ./ /4 3 316

4 35 0 9076− =3

Terminamos esta sección con una aplicación directa del teorema 3.3 aun-que se analizarán otras más complejas en la sesión 3 de este bloque.

Ejemplo 9:

La fuerza electromotriz en volts de cierto circuito eléctrico de mide por la relación 3 2

5sen t( )π a los t segundos. Si se desea determinar la fuerza electromotriz desde su encendido hasta los 5 seg.

Solución.

Se tiene la integral 30

525sen dtt∫ ( )π . Este se resuelve:

3 30

425

52

250

425

152

25sen dt sen dtt t t∫ ∫= = − ( ) ( ) ( )[ ] cos( )π

ππ π

ππ

00

4 152

85 0 1 6496= − =−

ππ(cos cos ) .

Esto señala que la fuerza electromotriz a los 4s de funcionamiento del cir-cuito es de 1.6496 volts.

Bloque III

88

Actividad 2Medita en cómo tendrías la posibilidad de hallar el valor de las siguientes dos in-tegrales definidas (el truco es sencillo, sólo has de visualizar bien cada integrando):

a) tt dt3 110

1++∫

b) x xxdx5

332

4−∫

SíntesisSe ha llegado al momento de reforzar los saberes señalados en esta primera sesión del bloque.

1. En cada inciso realiza la aproximación de la integral mediante la regla designada. Utiliza el valor de n y representa la situación en una gráfica.

a) dxx1

2 5.

∫ Regla del trapecio con n = 8

b) dt

t1 30

3

+∫ Regla de Simpson con n = 10

c) e dx s dsx−∫ ∫+

2

0

1 2

1

1 5.Regla del trapecio para la primera integral con n = 5 y

regla de Simpson para la segunda con n = 6

2. Calcula en cada caso mediante una aproximación de centésimos el valor de c que cumpla el teorema del valor medio para integrales. Las integrales definidas puedes obtenerlas mediante el segundo teorema fundamental del cálculo.

a) x dx3

0

3

∫b) ( )2 1

1

3x dx−∫

c) ( )− + −−∫ x x dx2

1

33

d) ( )x x x dx4 3

1

4− −∫

e) ( )t dt3

2

21+

−∫f) ds

s2 42

4

−∫g) dt

t2 31

3

+−∫h) tanθ θ

π

π

d6

4∫

i) cot xdx2

3

56

π

π

∫


89

3. Con el uso del teorema del valor medio para integrales prueba cada desigualdad.

a) sen dθ θ ππ

0∫ ≤

b) dxx2 40

212+∫ ≤

c) dss2 63

31

+−≤∫

d) cos x dx23

6

6

−∫ ≤π

ππ

4. En cada inciso halla la derivada:

a) ddx

dtt

x

2 42 +∫b) d

dx xt dt43

1+∫

c) ddx x

sentdt3

∫5. Emplea el segundo teorema fundamental del cálculo para probar el valor correcto

de cada una de las integrales definidas siguientes.

a) ( )1 2

1

294− =

−−∫ t dt

b) x x dx( )10

1 2130− =∫

c) dxx253

4 3 252−∫ = ln( / )

d) ln( ) lnx dx220

11 2 2+ = + −∫ ≠

e) 3 23

11983+ =∫ xdx

f) senxdxx xcos cos

ln( )24

34

5 413

7 3 27 3 2− +−+

=∫ππ

g) ln( ) ln( )x x dx+ − = + −∫ 2

1

31 3 3 2 2 2 2

h) ( )( )

ln( / )x dxx x+

−∫ = −11

8321

4

34 4 1 3

i) dxxtan ln+∫ = +20

15

3 24 10

4π

π

Bloque III

90

Mi proyecto del bloqueEs momento de trabajar el proyecto del bloque. Te presenta una situación que te resultará de ayuda para formar y desarrollar las competencias en el presente bloque. También te ayudará con la interacción de las TIC´s.

Proyecto: Software de graficación e integración.

Problema: Utilizar un software para integrar funciones.

Duración: Dos semanas

Puntuación: 15 puntos

Competencias:

Interpreta tablas, mapas, gráficas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

5.6 Utiliza las Tecnologías de la Información y la Comunicación para procesar e interpretar información.

Actividades:

En equipos diseñados por el profesor descargarán de internet un software gratuito que represente funciones determine las integrales definidas. En el mejor de los casos el profesor les proporcionará uno. En su defecto pueden usar cualquier otro que sea recomendado por el docente y de fácil acceso. Existen incluso páginas de internet que ofrecen el cálculo de integrales definidas en línea e impresiones de ellas, sólo basta escribir la ecuación en la forma implícita, explícita e incluso paramétrica.Realicen un consenso con tu docente sobre las opciones de software que existan disponibles. Lo que se realizará es lo siguiente:- Reportar las opciones localizadas durante su búsqueda del software. En caso de que su docente les proporcione el software, esto último no aplica. - Realizar un consenso sobre cuál software se va a utilizar, esto para que sea el único.- Al cabo del tiempo señalado por el docente (dentro del período que abarca el proyecto), deberán reconocer el manejo básico del software (con la ayuda sólo necesaria del docente), es decir, conocer sus principales características, posibles menús y funciones para realozar los cálculos y posibles gráficas. De forma que entre su equipo se ayuden a utilizar este software. - Su docente les indicará a cada equipo las funciones que representarán utilizando el software. Los resultados y gráficos los imprimirán o crearán frente a tu profesor para que compruebe le manejo básico del software. - Por último su profesor les dará una serie de integrales definidas para determinar su valor.- Pueden exponer las gráficas y valores de las integrales definidas que les parezcan más relevantes.

Recursos: Libro de texto, PC, software informático de graficación, hojas en blanco, impresora, libros de consulta en la biblioteca.


91

Normas:

Deberá de entregarse en la fecha indicada por el docente y en caso de que un miembro del equipo falte se resolverá con el criterio de tu profesor.

El trabajo se entregará cuando contenga los elementos básicos requeridos aunque pudiera contener elementos extra.

Cada elemento del equipo trabajará y explicará lo necesario cuando se le pregunte.

RealimentaciónI. Realiza las sumas que se señalan a continuación:

1. 3 21

20

i ii

( )−=∑

2. ( )2 2 1

1

k k

k

n

− −

=∑

3. ( )10 101

1

j j

j

n+

=

−∑

4. [ ]1 111 i ii

n

−+=

∑

5. [( ) ( ) ]3 3 3 32 1 1 2

1

− − − +

=

− − −∑ k k k k

k

n

II. Utiliza el método de límites para integrales definidas con el fin de determinar el área de la región señalada:

a) La región comprendida entre y x= 2 , el eje X y las rectas x = 0 y x = 2.

b) La región comprendida sobre el eje X, la recta x = 1 y la curva y x= −4 2 .

c) La región limitada por la curva y x= 3 , el eje X y las rectas x =−2 y x = 1.

III. Mediante la regla de los trapecios estima la distancia que recorre un automóvil en kilómetros por minuto si se sabe que su velocidad v , en kilómetros, se da en la siguiente tabla con sus respectivos tiempos t , en minutos:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v 50 55 60 63 77 81 81 84 92 95

Sugerencia: Al graficar toma como el eje horizontal los minutos.

Bloque III

92

IV. Con el uso del teorema del valor medio para integrales prueba cada desigual-dad.

a) 0 11

2

12≤ ≤

−∫ cos( )π s ds

b) 2 215

9≤ ≤

−∫ dxx

c) 0 3 12

513≤ ≤

+∫ dtt

V. Emplea el segundo teorema fundamental del cálculo para probar el valor correc-to de cada una de las integrales definidas siguientes.

a) 3 1 261

8x dx+ =∫

b) b x dxb

b2 2

0 4

2− =∫ π

c) 16

2

4 24 2 3 2 3− = + −∫ x

x dx ln( )

d) x xdx2 127

2

03 43 sen = −∫ ( )π

π

e) 114

94 3 4 1−

+∫ = −xxdx ln( / )

f) dx

xsen26

3 3π

π

∫ = ln

g) dx

x x2 2 21

22 1

+ +−

−

∫ = −ln( )

h) ( )( )

ln( )x dxx x+−−

−

∫ = +228

312

34

152

VI. Demuestra con cálculos que ds

s

ds

s2 2163

5

163

5

+ +−

−= −∫ ∫


93

Evaluación de la competenciaAquí está la rúbrica del proyecto correspondiente a este bloque.

Rúbrica del proyecto

Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Conocimientos

Conozco todos los elementos analíticos y gráficos que componen una integral definida de acuerdo al contexto en que se me proporciona.

Describo el funcionamiento completo del software así como los elementos que lo componen y reconozco otras aplicaciones opcionales.

Conozco algunos de los elementos analíticos y gráficos que componen una integral definida de acuerdo al contexto en que se me proporciona.

Describo el funcionamiento básico del software así como los elementos que lo componen y reconozco otras aplicaciones opcionales.

Conozco solo los elementos gráficos que componen una integral definida de acuerdo al contexto en que se me proporciona.

Describo el funcionamiento básico del software así como los elementos que lo componen.

Conozco solo los elementos analíticos que componen una integral definida de acuerdo al contexto en que se me proporciona.

Describo el funcionamiento muy escueto del software así como los elementos que lo componen.

No reconozco los elementos analíticos ni gráficos que componen una integral definida.

Describo solo el funcionamiento escueto del software pero no identifico ningún elementodel mismo como los menús.

Bloque III

94


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Habilidades

Represento de forma óptima las integrales definidas solicitadas a la vez de que puedo realizarles ciertos ajustes opcionales para su mejor visualización.

Puedo imprimir en presencia de mi docente las integrales definidas que indique y respondo de manera correcta y aporto ideas a las preguntas planteadas al exponer lo realizado.

Represento de forma adecuada las integrales definidas solicitadas a la vez de que puedo realizarles ciertos ajustes opcionales para su mejor visualización.

Puedo imprimir en presencia de mi docente las integrales definidas que indique y respondo de manera correcta a las preguntas planteadas al exponer lo realizado.

Represento de forma adecuada las integrales definidas solicitadas y les realizo algunos ajustes con ayuda proporcionada.

Puedo imprimir en presencia de mi docente las integrales definidas que indique y respondo de manera correcta a la mayoría de las preguntas planteadas al exponer lo realizado.

Represento de forma elemental las integrales definidas solicitadas sin realizarles ajustes opcionales para su mejor visualización.

Con ayuda puedo imprimir en presencia de mi docente las integrales definidas que indique y respondo de manera correcta a algunas de las preguntas planteadas al exponer lo realizado.

No puedo representar de forma adecuada las integrales definidas solicitadas.

Con ayuda puedo imprimir en presencia de mi docente las integrales definidas que indique pero no respondo de manera correcta a las preguntas planteadas al exponer lo realizado.


95


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Actitudes

Tengo un alto compromiso con mi equipo y con la resolución del proyecto de forma que colaboro con él en todo momento.

Mantengo una actitud positiva en todo momento del trabajo además de que expreso mis ideas y aportaciones con un lenguaje digno en todo tiempo.

Demuestro un alto interés en el manejo del software dando otras posibles interpretaciones del mismo.

Tengo un alto compromiso con mi equipo y con la resolución del proyecto de forma que colaboro con él en la mayoría del tiempo.

Mantengo una actitud neutral en todo momento del trabajo además de que expreso mis ideas y aportaciones con un lenguaje digno en todo tiempo.

Demuestro interés en el manejo del software dando otras posibles interpretaciones del mismo.

Tengo un compromiso concreto con mi equipo y con la resolución del proyecto de forma que colaboro con él en la mayoría del tiempo.

Mantengo una actitud neutral en todo momento del trabajo además de que expreso mis ideas y aportaciones con un lenguaje básico.

Demuestro interés en el manejo del software.

Tengo un bajo compromiso con mi equipo y con la resolución del proyecto de forma que colaboro con él.

Mantengo una actitud pasiva en todo momento del trabajo además de que expreso en ocasiones mis ideas y aportaciones.

Demuestro poco interés en el manejo del software.

Tengo un bajo compromiso con mi equipo y con la resolución del proyectopero no colaboro con él.

Mantengo una actitud apática en todo momento del trabajo además de que no expreso ideas niaportaciones.

Demuestro apatía y falta de interés en el manejo del software.

Puntaje 15 12 9 6 3

Bloque III

96

Rúbrica del bloqueObserva y medita detenidamente cada uno de los niveles de la rúbrica del bloque a fin de considerar lo que se debe evidenciar en tu formación en este bloque.


Producto, logro o desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Conocimientos

Distingo adecuadamente la relación gráfica, algebraica y conceptual de integral definida que provenga de una situación hipotética y real.

Describo todos los elementos de una suma de Riemann bajo la conexión del área bajo una curva en general.

Comprendo todos los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integrales no directas.

Identifico claramente cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.

Distingo parcialmente la relación gráfica, algebraica y conceptual de integral definida que provenga de una situación hipotética y real.

Describo algunos de los elementos de una suma de Riemann bajo la conexión del área bajo una curva en general.

Comprendo tres de los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integrales no directas.

Identifico parcialmente cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.

Distingo parcialmente la relación gráfica, algebraica y conceptual de integral definida que proviene del ámbito hipotético o real.

Describo algunos de los elementos de una suma de Riemann bajo la conexión del área bajo una curva en particular.

Comprendo dos de los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integrales no directas.

Identifico parcialmente y con ayuda cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.

Distingo vagamente y con ayuda la relación gráfica, algebraica y conceptual de integral definida que provenga de una situación hipotética o real.

Describo con ayuda algunos de los elementos de una suma de Riemann bajo la conexión del área bajo una curva particular.

Comprendo uno los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integrales no directas.

Identifico dudosamente y con ayuda cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.

No distingo la relación gráfica, algebraica ni conceptual de integral definida que provenga de situaciones hipotéticas o reales.

No describo los elementos de una suma de Riemann bajo la conexión del área bajo una curva.

No comprendo ninguno de los diferentes métodos necesarios para el cálculo de integrales no directas.

No identifico cuál o cuáles métodos utilizar para integrar según los datos de las integrales presentadas.


97

Bloque IV: Resuelves problemas de aplicación de la integral definida en situaciones reales en el campo de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativasObjetos de aprendizaje

• Áreas y volúmenes de curvas y de sólidos de revolución.

• Ley de Newton.

• Crecimientos exponenciales.

• Oferta y demanda.

Desempeños del estudiante• Aplica el concepto de sólido de revolución en el diseño de: envases, depósitos y contenedores

en general, de formas homogéneas y heterogéneas.

• Aplica las integrales definidas en la solución de problemas de leyes de Newton (centro de masa, trabajo realizado por una fuerza, movimiento de partículas) y/ o crecimientos exponen-ciales, resolviéndolos de manera autónoma utilizando los procesos aprendidos.

• Aplica las integrales definidas para resolver problemas de oferta y demanda de un bien (pro-ducto) o un servicio..

Competencias a desarrollar• Identifica casos factibles de aplicación de la integral definida en el ámbito de las ciencias exac-

tas, naturales y sociales.

• Aplica la integral definida para resolver problemas en el campo disciplinar de las matemáticas, física, biología y economía, administración y finanzas.

• Valora el uso de las TIC´s como herramientas para el modelado y la simulación de problemas de aplicación de integrales definidas en cualquier contexto disciplinar.

• Asume una actitud constructiva, congruente a sus competencias para proponer maneras de solucionar un problema de su entorno mediante la aplicación de la integral diferenciada.

DinamizaciónLlegamos a la parte final del camino en donde aplicaremos a problemas del contexto los teoremas fundamentales del cálculo así como de la interacción de la integración con diferentes áreas de conocimiento. Es decir no sólo abarcaremos la utilización del proceso de integración al cálculo de áreas de curvas, sino que la aplicación se extenderá al cálculo de volúmenes, longitudes de arco de curvas, centros de masa, etcétera.

La parte principal de este bloque radica en la evaluación de las integrales definidas. Es aquí donde estableceremos la conexión de los diferentes saberes reco-rridos en los bloques anteriores y también de tus semestres que has cursado.

Recuerda que a lo largo de estos últimos dos semestres deberás de mani-festar las competencias disciplinares extendidas, así que es oportuno recordarte que las consideres durante este último escalafón que estás por dar en el bachillerato.

¡Éxito en lo que hagas¡

Sesión 1: Áreas y volúmenes generados por curvasCriterios

• Comprendo la utilidad de las fórmulas de áreas y volúmenes generadas por una o más curvas.

• Identifico las características de las áreas y volúmenes generadas por curvas.

• Represento de forma gráfica el área y volumen generado por una o más curvas, según sea el caso y según sea el eje de simetría.

• Empleo las fórmulas y métodos para determinar las áreas y volúmenes de rotación de curvas que se me proporcionen.

• Soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volú-menes con el fin de mantener un buen ritmo de trabajo.

• Estoy consciente de mis valores, fortalezas y debilidades con el fin de re-currir a la ayuda necesaria de cualquier fuente, de manera que conserve el respeto debido a mis compañeros y docente.

ContextualizaciónPreviamente hemos considerado que el área A de una región plana comprendida por una curva y f x= ( ) , el eje X y las rectas x=a y x=b se puede determinar con una suma de Riemann que al hacer más pequeños las particiones, es decir, su límite hacia cero, entonces surgió que este límite de la suma de Riemann no es más ni menos que la integral definida A f x dx

a

b= ∫ ( ) .

Bloque IV

100

Y

X

y=f(x)

x=a x=b

Área de la región R es:

A= f(x)dxʃ a

b

Figura 4.1 El área de la región se determina con la integral definida A f x dxa

b= ∫ ( )

En esta sección nos abocaremos al inicio de las aplicaciones directas de la integral definida, que surgió con el estudio de los antiguos griegos al querer determi-nar el área de diferentes figuras mediante aproximaciones. En nuestro caso se tratará de área entre gráficas de funciones del tipo y f x= ( ) sobre el eje X o del tipo x g y= ( ) sobre el eje Y.

Además también tocaremos el cálculo de volúmenes que se forma al girar las curvas en torno a diferentes ejes de rotación.

ProblematizaciónPara dar inicio consideremos la siguiente situación:

Un arquitecto está contemplando desarrollar un proyecto de plaza comer-cial en donde surge un jardín que tiene una forma muy especial como la siguiente

y=(1/2)x3+x-1

Járdin

Figura 4.2 Vista aérea del jardín del proyecto arquitectónico.

Resuelves problemas de aplicación de la integral definida en situaciones reales en el campo de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

101

Este arquitecto tiene la responsabilidad de hacerle saber al ingeniero de obra civil del proyecto, el área que contendrá esta jardinera. Algo curioso es que esta jardinera está acotada o delimitada por dos funciones conocidas. Desde el plano ar-quitectónico se desprende que, vista de la forma anterior, las funciones son f x x( ) =para la parte superior y recta; y g x x( ) = 2 para la parte curva inferior.

Con estos datos el arquitecto se ve en la disyuntiva de cómo calcular el área de la región que ocupará esta jardinera en la obra.

Actividad 1En parejas reúnete con un compañero para que ambos exploren las posibles ayudas que se le pueda dar al arquitecto e ingeniero, si sólo conocen la aplicación del segundo teorema fundamental del cálculo. Expongan sus escritos y cálculos a tu docente con el fin de validarlos y que observe sus razonamientos. Tomen como escala 1:10 m.

Al final expongan sus interpretaciones, sugerencias y resultados del proceso que siguieron al momento de atacar esta problemática.

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competenciasComo habrás notado en la situación anterior. Es necesario poseer ciertas herramien-tas que nos permitan resolver estas situaciones comprometedoras. Por ello retoma-mos el caso del área de regiones.

Si en una integral definida hallamos un área que nos resulta negativa, esto señala que la región se halla debajo del eje X (si la variable es x) o se halla a la izquierda del eje Y (si la variable es y).

Bloque IV

102

Áreas por integración y áreas entre curvasConforme fuimos avanzando en esta obra nos centrábamos cada vez más en que para una función f x( ) ≥ 0 el área de la región se determinaba por medio de la inte-gral definida con los límites inferior y superior que las rectas del eje X nos determina-ban, es decir, f x dx

a

b( )∫ y el valor de esta integral es positivo. Sin embargo, también se

tendrá el caso en que f x( ) ≤ 0 , por lo tanto se comprende que el valor de la integral será negativa, o sea f x dx

a

b( )∫ ≤ 0 así que si deseamos determinar el área de esta fun-

ción que se halla debajo del eje X podemos realizar la integral −∫ f x dxa

b( ) con lo cual

nos dará obviamente positiva.

Esta a su vez será positiva si se halla a la derecha del eje Y y negativa si se encuentra al lado izquierdo de este mismo eje.

Si la función respectiva cambia de signo en el intervalo descrito entonces el área correspondiente viene dado por la suma de dos o más integrales definidas.

Cuando nos topamos con regiones de áreas que resultan estar entre las curvas continuas en [a, b] y f x= ( ) y y g x= ( ) con f x g x( ) ( )≥ entre las rectas x a= y x b= , el área de estas regiones se determinan con la integral

[ ( ) ( )]f x g x dx

a

b−∫

Por el contrario, si se consta de regiones que resulten estar entre las curvas continuas en [c, d] x f y= ( ) y x g y= ( ) con f y g y( ) ( )≥ entre las rectas y c= y y d= ,

el área de estas regiones se determinan con la integral [ ( ) ( )]f y g y dyc

d−∫ .

Toda esta pequeña discusión la resumo en la siguiente tabla:

Región R Gráfico Fórmula

Comprendida por y f x= ≥( ) 0 en

[ , ]a b ,el eje X, y las rectas x a= y

x b= f x( ) continua en [ , ]a b

Y

X

y=f(x)

R

x=a x=b

f x dxa

b( )∫

Comprendida por y f x= ≤( ) 0 en

[ , ]a b , el eje X, y las rectas x a= y

x b= f x( ) continua en [ , ]a b

YX

y=f(x)

R

x=a x=b

−∫ f x dxa

b( )

A su vez es posible que tengamos una funciónx g y= ( ) al lado de-recho del eje Y con los límites y c= y y d= con lo que su integral será g y dy

c

d( )∫ .


103

Comprendida por x g y= ≥( ) 0 en

[ , ]c d , el eje Y, y las rectas y c= y

y d= g y( ) continua en [ , ]c d

Y

R

X

x=f(y)

y=d

y=c

g y dyc

d( )∫

Comprendida por x g y= ≤( ) 0 en


y d= g y( ) continua en [ , ]c d

Y

X

y=c

x=f(y)

y=d

R −∫ g y dyc

d( )

Comprendida por y f x= ( ) ,

y g x= ( ) , con f x g x( ) ( )≥ en

[ , ]a b , el eje X, y las rectas x a= yx b= . f x( ) y g x( ) continuas en

[ , ]a b

x=f(y)

x=f(y)

y=by=a

R

Y

X [ ( ) ( )]f x g x dxa

b−∫

Comprendida por x f y= ( ) ,

x g y= ( ) , con f y g y( ) ( )≥ en


y d= . f y( ) y g y( ) continuas en

[ , ]c d

y=d

x=f(y)

y=c

Ry=g(x)

[ ( ) ( )]f y g y dyc

d−∫

Una vez que he señalado las diversas situaciones en donde podamos cal-cular áreas de regiones entre una o más gráficas de funciones podemos realizar un pequeño recuento de cómo usar estas fórmulas.

Bloque IV

104

Para determinar la región de un área con las integrales definidas realizamos:

• Una representación gráfica donde se visualice la región en cuestión, esto incluyendo el intervalo que de manera explícita o implícita se describa. Este intervalo nos dará los límites inferior o superior para la integral definida.

• Dibujar un i-ésimo rectángulo de longitud ∆i x que llamaremos fran-ja vertical (o ∆i x si el i-ésimo rectángulo tiene su base en el eje Y que llamaremos una franja horizontal).

• Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente para aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo de la forma co-rrespondiente de acuerdo a la tabla anterior.

Nota: para determinar el área de una región que por ejemplo corta al eje X, no necesariamente se ha de recurrir a los i-ésimos intervalos con base ∆x o franjas verticales, sino también en ocasiones, será posible hacerlo con i-ésimos intervalos de longitud ∆x o franjas horizontales. Esto da a entender que una función de variable y f x= ( )puede integrarse de la forma f y dy

c

d −∫ 1 ( ) , donde x f y= −1 ( ) es el despeje de la variable x en y f x= ( ) . Esto se señalará más adelante con un ejemplo.

Por tanto comencemos a realizar algunos cálculos de áreas para compren-der y aplicar mejor estas ideas.

Ejemplo 1:

Calcula el área de la región delimitada por la curva y x x= −4 2 y el eje X.

Solución:

Tenemos la representación de esta curva con sus respectivas intersecciones con el eje X que al hacer 4 02x x− = se obtiene que estas son x = 0 y x = 4 .

Y

X

1

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5.55-1-1.5

2

3

4y=4x-x2

∆x

RyI

Figura 4.3 Región delimitada por la curva y x x= −4 2 y el eje X.


105

Estaremos trabajando con franjas verticales. Notamos que la altura del i-ésimo rectángulo representativo puede considerarse como yi así que el rectángulo tendrá un área de ∆i ix y⋅ (base por altura) , o sea y xi i⋅ ∆ . De modo que si tomamos el límite siguiente:

lim y xii

n

i∆∆

→ =∑

0 1

pero como y x x= −4 2 , entonces el área de ese rectángulo será

lim y x ydx x x dxii

n

i∆∆

→ =∑ ∫ ∫= = −

0 10

4 2

0

44( )

En esta última integral definida se toman los límites inferior y superior como 0 y 4 respectivamente, puesto que en ese intervalo [0, 4] se encuentra la re-gión determinada.

Algo que te podrá servir como método de ubicación en estos casos será considerar que la altura del rectángulo representativo sea y o sea 4 2x x− y la base∆x que se “transforma” en dx en la integral definida, por ello esta última tiene la forma ( )( ) ( )( )altura base y dx

a

b

a

b

∫ ∫= .

Prosiguiendo con la integral ésta resultará en lo siguiente de acuerdo al segundo teorema fundamental del cálculo:

( ) ( )4 22

0

4 23 0

4323

3x x dx x x− = − =∫Por tanto el área de la región R será de 323 .

Ejemplo 2:

Halla el área de la región limitada por la curva y x x x= − + + −3 22 5 6 , el eje X y las rectas x = −1 y x = 3 .

Solución:

Dibujemos la gráfica con las rectas pertinentes y los rectángulos represen-tativos, ya que como se denotará, será necesario considerar dos regiones.

2

4

y=-x2+2x2+5x-6

∆ix

∆ix

Y

X

R1

R2

-yi

-yi

1-1-2-3-4-5-6 2 4 5 6 7 8

Figura 4.4 Representación de la situación del ejemplo 8.

Bloque IV

106

La gráfica muestra que el en el intervalo [−1, 1] se tiene f x( ) ≤ 0 y para [1, 3] se contempla que f x( ) ≥ 0 , por lo tanto, es necesario dividir la región total en dos regiones R1 y R2, de donde se comprende que el área total A será la suma de los áreas A1 y A2 respectivas a las dos regiones descritas.

Para la región R1 el valor de la altura del rectángulo representativo es −yi ; mientras que para la región R2 será de yi . Entonces las integrales correspondientes quedarán de esta manera:

A ydx ydx x x x dx x x x13 2

1

1

1

1

1

1 3 2

12 5 6 2 5 6= − = − = − − + + − = − − +

−−− −∫∫∫ ( ) ( )11

∫ dx

A ydx x x x dx23 2

1

3

1

32 5 6= = − + + −∫∫ ( )

Utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo estas áreas serán:

A x x x dx xx x x1

3 2

1

1

423

52 1

13712

912 5 6 64 3 2= − − + = − − + = −− −

−∫ ( ) ( ) ( ) ( 112323) =

A x x x dx xx x x2

3 2

1

3

423

52 1

394

37122 5 6 64 3 2= − + + − = − + + − = −∫ −( ) ( ) ( ) ( )) = 16

3

Entonces el área total es A A A= + =1 2 16

Ejemplo 3:

Encuentra el área acotada por la curva x y= −4 2 y el eje Y utilizando:

a) Franjas verticales

b) Franjas horizontales

Solución:

Representaremos en primer lugar la región con sus rectángulos aproxi-mantes para cada uno de los incisos.

X=-4y2

Y

X

-2 -1.5 -1 -0.5

1

-1

2

-2

-3

3

R

∆y

∆x

xi

-yi

0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Figura 4.5 Región acotada por la curva x y= −4 2 y el eje Y.


107

Notamos que la región es simétrica respecto al eje X, razón por la cual nos va a ahorrar unos pasos para determinar su área.

Considerando a x como variable independiente, la gráfica se compone de dos partes:

y x= −4 para la parte superior del eje X y

y x= − −4 para la parte inferior del eje X.

a) Debido a la simetría de esta región no es necesario determinar el área ha-llada en la parte superior del eje X y al mismo tiempo la que se encuentra en la parte inferior del mismo eje. Nos basta calcular cualquiera de ella y multiplicar el resultado por dos. En esta ocasión vamos a hallar el área que se encuentra en la parte inferior del eje X, por lo tanto la altura del rectángulo de base ∆i x será −yi . Notamos también que el intervalo a considerar es [0, 4] en el eje X.

El área está dada al considerar la función − −4 x :

A y dx x dx x dx x= − = − − − = − = − − ∫ ∫ ∫2 2 4 2 4 4

0

4

0

4

0

443

0

412 3

2( ) ( ) ( ) [ ( ) ] == − − =[ ] [ ]0 323

323

b) Para el caso de las franjas horizontales resulta más sencillo, ya que al ser simétrica el intervalo [−2, 2] en el eje Y puede resumirse al intervalo [0, 2] y multiplicar por dos al resultado. Con esto la integral será:

A xdy y dy y y= = − = − =

−∫ ∫2

2 2 23

0

2

0

23232 4 8

3

( ) ( )

Esto indica que cualquiera de los métodos empleados de manera correcta nos llevará a la solución buscada.

Ejemplo 4:

Calcula el área de la región delimitada por las funciones y x2 2 2= − y y x= −5 con el uso de:

a) Franjas verticales

b) Franjas horizontales

Solución:

En primer lugar determinamos las posibles intersecciones que tengan las funciones. Tras resolver el sistema de ecuaciones que se forma con estas dos, es decir, el sistema:

y xy x

2 2 25

= −= −

Se obtienen las soluciones (9, 4) y (3, −2).

Cuando se comprende a la variable x como la variable independiente, la ecuación y x2 2 2= − es equivalente a las ecuaciones y x= −2 2 y y x= − −2 2 las cuales corresponde a la parte superior e inferior al eje X respectivamente.

Bloque IV

108

(9,4)

(3,-2)

y=x-5

y2=2x-2

Y

X

1

-1

-2

-3

-4

-5

2

3

4

5

0.5

Figura 4.6 Región comprendida entre las funciones y x2 2 2= − y y x= −5

c) Al usar franjas verticales es necesario dividir la región en dos partes y observar que para la región R1 la región es simétrica en el eje X, para el intervalo [1, 3] razón por la cual solo obtendremos el área de la parte superior y multiplicamos por dos. Para el intervalo [3, 9] tendremos una resta de funciones, ya que si nombramos y x1 2 2= − y y x1 5= − enton-ces claramente la altura buscada para el rectángulo aproximante en este intervalo será y yi i1 2− .

Todo esto discutido se muestra en la siguiente figura.

(3,-4)

(9,4)

y2=2x-2

y=x-5

y -y

R1

R2

Y

X

1

-1

-2

-3

-4

-5

2

3

4

5

6

∆x∆x

yi

1i 2i

Figura 4.7 Área de la región a determinar usando franjas verticales.


109

El área para cada región estará dada por:

A ydx x dx x1 1

3

1

323

1

31632 2 2 2 2 2

32= = − = −

=∫∫ [ ( ) ]

A y y dx x x dx x x dx x2 1 2 3

9

3

9132 2 5 2 2 5 2 2

32= − = − − − = − − + = −∫∫ ( ) [ ( )] [ ] [ ( ) −− +

= − =∫ 1

22

3

91556

796

3833

95x x] ( ) ( )

d) Para este caso la representación quedará de acuerdo a la figura siguiente:

(3,-4)

(9,4)

y2=2x-2

y=x-5

1

-1

-2

-3

-4

-5

2

3

4

5

6

∆iy x - x1i 2i

Figura 4.8 Área de la región a determinar usando franjas horizontales.

Se trata de una sola región en el intervalo [−2, 4] en el eje Y en donde la altura del rectángulo aproximante es la resta de las alturas de las funciones que de-notaremos x y1 5= + y x y2

12

2 2= +( ) . Con esto el área se calcula así:

A x x dx y y dx yy y= − = + − + = + − =

− − −∫ ∫( ) [( ) ( )] ( )1 22

412

2

2

4

2 62

4

5 2 42 3

(( ) ( )403

143 18− =−

Tras esto observamos que ambos métodos nos dan el mismo resultado.

La mejor arma para atacar las problemáticas de este tipo es la visualización del mejor trayecto para lograr el objetivo, ya que al notar los datos que se desprenden de la situación podremos dar inicio con el mecanismo de resolución más óptimo.

Actividad 2En parejas retomen la actividad mencionada en la problematización de esta sesión, de manera que puedan determinar el área de la jardinera por medio de los métodos de las franjas verticales y franjas horizontales. Con el fin de comparar los procesos realiza la actividad usando uno de los métodos y que tu compañero lo resuelva con el otro método. Describan a la clase sus experiencias.

La resta en el inte-

grando ( )y y dx1 2−∫

es equivalente a

[ ( ) ( )]f x g x dx−∫

al considerar a las

funciones y f x1 = ( ) y

y g x2 = ( ) .

El área total de esta re-

gión comprendida entre

estas dos ecuaciones es

de 163383 18+ = .

Bloque IV

110

Volúmenes de sólidos de revoluciónProseguimos con las aplicaciones de la integral definida.

Actividad 3Imagina que posees un triángulo rectángulo en un cartoncillo con las siguientes medidas:

Eje de revolución

15cm

8cm

R

Figura 4.9 Triángulo rectángulo (región plana) con su eje de revolución.

Ahora a este rectángulo, que representa una región plana, pégale una varillita en el cateto que tiene 15 cm de longitud, de forma tal que tenga un excedente de 10 cm aproximadamente. Coloca el excedente de la varilla entre tus palmas y procede a ha-cer girar esta región tomando como apoyo la varillita o lápiz, tal y como se señala en la figura anterior. Mientras se gira repetidas veces y de manera rápida este cartoncillo notarás algo. Responde:

¿Qué forma se observa?

¿Puede verse como un volumen?

Si se tratase de un volumen, ¿cuál sería el volumen de esta forma?

Si consideras una operación semejante con un semicírculo donde se coloca la varilla verticalmente en el diámetro de esta, ¿qué forma o volumen se forma al girar la región?, ¿cuál será su volumen?


111

Representa gráficamente los volúmenes que se observarían en ambos casos.

Esta actividad nos sugiere que al girar regiones o áreas planas bajo ciertos ejes de rotación podremos generar ciertos volúmenes, por ello para iniciar la parte conceptual de esta sección se define lo que compone un sólido de revolución.

Definición. Un sólido de revolución es un sólido que se genera al girar una región plana en torno a una recta del mismo plano, esta recta se llama eje de rotación o eje de revolución y puede intersectar o no a la región.

Por ejemplo, si hacemos girar el triángulo rectángulo anterior de forma vertical en torno al cateto menor, podremos observar un sólido de revolución como el siguiente (vamos a considerar el cateto menor como el eje X positivo y el cateto menor el eje Y):

Eje de ejecución

x

Y

Figura 4.10 Sólido de revolución cuyo eje de revolución es el cateto menor.

Sin embargo, si el eje de rotación es la recta vertical paralela el cateto mayor que y que pasa por el ángulo agudo del cateto menor (recta x = 8), entonces generaríamos un sólido de revolución como se presenta en la figura siguiente:

Eje de revolución

Figura 4.11. Sólido de revolución cuyo eje es la recta x = 8.

En esta obra emplea-remos como ejes de revolución líneas ver-ticales u horizontales. No trataremos las líneas oblicuas como estos ejes.

Bloque IV

112

Los sólidos de revolución pueden ser generados en diferentes casos, estos son cuando:

• El eje de revolución forma parte del contorno de la región.

• El eje de revolución no es parte del contorno de la región.

Para determinar de forma exacta el volumen de un sólido de revolución se recurre a métodos específicos que se describen a continuación.

Método de los discos

Este se utiliza cuando el eje de revolución forma parte del contorno de la región y se emplean los siguientes pasos:

• Trazar un diagrama indicando el área de la región, así como un i-ésimo rectángulo representativo perpendicular al eje de rotación.

• Determinar el volumen del disco producido por la rotación del i-ésimo rectángulo en torno al eje de rotación y la sumar de los rectángulos de la partición.

• Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo al suponer que el número de intervalos crece indefinidamente.

Eje de revoluciónx=a x=b

y=f(x)

yi

∆ix

R

Figura 4.12 Aquí se presenta un ejemplo cuando el eje de revolución forma parte de la región R.

De este modo cuando el eje de revolución o rotación es el eje X y la frontera superior de la región está dada por la curva y f x= ( ) en el intervalo [ , ]a b , enton-ces el volumen V del sólido de revolución viene dado por la relación:

V y dx f x dxa

b

a

b= =∫ ∫π π2 2[ ( )]


113

El valor de π aparece en esta relación, ya que si hacemos girar el rectán-gulo aproximante de altura yi y base ∆i x en torno a su base (eje X) entonces se generará un cilindro de altura yi y área de su base igual a π por radio al cuadrado, es decir, π yi

2 así que el volumen de este cilindro está dado por π y xi i

2∆ , si tomamos la suma de estos cilindros y hacemos que el número de los rectángulos crezca inde-finidamente, se logra llegar a la relación.

∆i x

∆ix

yi

2�yi ∆ixVolumen=

Figura 4.13. Disco que contiene el volumen de un rectángulo aproximante que gira en torno a la base.

De forma similar cuando el eje de revolución es el eje Y , además un lado de la región está dado por la curva x g y= ( ) en el intervalo [ , ]c d , entonces el volumen del sólido revolución estará dado por:

V x dy g y dyc

d

c

d= =∫ ∫π π2 2[ ( )]

Método de las arandelas

Empleado cuando el eje de revolución no forma parte del contorno de la región. Se siguen los pasos:

• Trazar un diagrama indicando el área de la región así como un i-ésimo rectángulo representativo perpendicular al eje de rotación.

• Determinar la diferencia de los volúmenes de los dos discos producidos-por la rotación del i-ésimo rectángulo en torno al eje de rotación y la suma de los rectángulos de la partición.


Bloque IV

114

Eje de revolución

x=a x=b∆ix

∆ix

Y

X

y =f(x)

y =g(x)

R y -y

1

1i 2i

2

Figura 4.14 Aquí se presenta un ejemplo cuando el eje de revolución no forma parte de la región R.

g

�[f 2-g2]yi ∆ix

f∆ix

Volumen=

Figura 4.15 Arandela que contiene el volumen de un rectángulo aproximante, que gira en torno a la base.

Cuando el eje de revolución es el eje X, la frontera de la región en la parte superior es la función y f x= ( ) y por la parte inferior y g x= ( ) , ambas en el intervalo [ , ]a b , entonces el volumen del sólido de revolución es:

V f x g x dxa

b= −∫π {[ ( )] [ ( )] }2 2

Análogamente si el eje de rotación es el eje Y, además si el área plana está acotada a la derecha por x f y= ( ) , por la izquierda mediante x g y= ( ) , am-bas en el intervalo [ , ]c d , entonces el área del sólido de revolución es:

V f y g y dyc

d= −∫π {[ ( )] [ ( )] }2 2


115

Método de las capas

Este método es factible cuando es complicado despejar cierta variable para que las franjas sean perpendiculares al eje de revolución, por ello se utilizan franjas paralelas a este eje. Cuando esta franja gira se forma una capa cilíndrica, la cual es un sólido contenido entre cilindros que tienen el mismo centro y el mismo eje. Se siguen estos pasos generales:

• Trazar un diagrama indicando el área de la región, así como un i-ésimo rectángulo representativo paralelo al eje de rotación.

• Escribir el volumen de la capa cilíndrica generada al girar el i-ésimo rec-tángulo aproximante alrededor del eje de revolución y la suma de los n rectángulos de la partición.


Cuando el eje de revolución se trata del eje Y, la región está en el pri-mer cuadrante y se halla acotada superiormente por y f x= ( ) e inferiormente por el eje X en el intervalo [ , ]a b , entonces el volumen estará señalado mediante:

V xf x dxa

b= ∫2π ( )

Ahora, cuando se trata de que el eje de revolución es el eje X, la región está en el primer cuadrante acotada a la derecha por x g y= ( ) y a la izquierda por el eje Y en el intervalo [ , ]c d , entonces su volumen será:

V yg y dyc

d= ∫2π ( )

Se debe recalcar que en la relación V xf x dxa

b= ∫2π ( ) el valor de la variable

x representa la distancia dirigida desde el rectángulo aproximante hacia el eje de re-volución (que en este caso es el eje Y). Análogamente en la relación V yg y dy

c

d= ∫2π ( )

el valor de la variable y representa la distancia dirigida medida desde el rectángulo aproximante hacia el eje de revolución (que en este caso es el eje X).

En caso que los ejes de revolución no sean los eje X o Y se deben tomar la distancias dirigidas correctas desde los ejes especificados hacia los rectángulos aproximantes respectivos.

Actividad 4Representa una situación en donde se observe un volumen calculado por el método de las capas.

Tras señalar estos recursos nos queda buscar aplicaciones en donde poda-mos poner manos a la obra con estas herramientas matemáticas. Consideraremos un ejemplo para cada uno de los métodos.

Ejemplo 5:

Hallar el volumen generado por la región que existe en el primer cuadrante por la parábola y x2 9= y la recta x=4.

Bloque IV

116

Solución:

En primer lugar daré la gráfica de esta situación.

(4,6)

∆ix

y2=9x

Ryi

0.5-0.5 1

1

-1

-1 1.5-1.5 2

2

-2

-2 2.5 3

3

-3

3.5 4.5 5.5 6

6

6.5 7 7.55

5

4

4

X

Y

Figura 4.16 Determinación del volumen por medio del método de los discos.

Emplearemos el método de los discos. Se observa que la parte superior de la región que girará alrededor del eje X, es y x= 9 . Además estaremos considerando el intervalo [0, 4], de forma que el volumen provendrá de:

V y dx x dx xdx x= = = = =∫ ∫ ∫π π π π≠2

0

4 2

0

49

2 0

4

0

49 9 722[ ]

Esto señala que el volumen del sólido es de 72π unidades cúbicas.

Ejemplo 6:

Determina el volumen generado por la región comprendida entre las fun-ciones y x= −3 y y x x= − − +2 3 6 , al girar en torno al eje X.

Solución:

Analizando la gráfica de la situación.

(-3,6)

(1,2)

R

y =-x2-3x+6

2-x

y2=3-x

y -y

0.5-0.5 1

1

-1-2-2.5-3-3.5-4.5-5 1.5-1.5 2

2

-4 2.5 3

3

4

5

6

7

8

3.5 3 4.5

∆ix

1

1 2

Figura 4.17 Representación de la situación del ejemplo 6.


117

Podemos observar que será atacado mediante el método de las arandelas en donde las funciones serán f x x x( ) = − − +2 3 6 y g x x( ) = −3 , además esta integra-ción será en el intervalo [−3, 1]:

V x x x dx x x x x dx= − − + − − = + − − +− −∫ ∫π π[( ) ( ) ] ( )2 2 2

3

1 4 3 2

3

13 6 3 6 4 30 27

Que al integrar y evaluar obtenemos:

V x xx x x= + − − + = − =−

−π π( ) [( ) ( )]5 4 3

53

24

32

3

137130

107110

179215 27 π15

En resumen, el volumen del sólido de revolución es de 179215 π unidades cúbicas.

Ejemplo 7:

Resuelve el ejemplo anterior si la región gira alrededor de la recta x = 2.

Solución:

La figura anterior señala la región y el eje de revolución. Al emplear el mismo rec-tángulo aproximante del ejemplo anterior se tiene que este es paralelo al eje de revolución, así que estamos en momento de usar el método de las capas. En este caso el eje de revolución no es el eje Y, pero es uno paralelo a él, o sea la recta x = 2. Por tanto hemos de determinar el valor de la distancia entre la recta x = 2 y el rectángulo aproximante.

Notando la figura se concluye que la distancia dirigida horizontalmente desde el eje Y a la recta x = 2, es de dos unidades y la distancia dirigida desde el eje Y hacia el rectángulo aproximante es de −x unidades. Así que la distancia entre este rectángulo y el eje de revolución será (2 − x) unidades.

Por otra parte la altura del rectángulo aproximante está dada por la dife-rencia de ordenadas de las funciones respectivas, es decir [( ) ( )]− − + − −x x x2 3 6 3 .

Entonces el método de las capas y los elementos de la figura nos sugieren realzar las siguientes operaciones:

V x x x x dx x x dx= − − + − − − = − +− −∫ ∫2 3 6 3 2 2 7 62

3

1 3

3

1[( ) ( )]( ) ( )

Finalmente tras manejos aritméticos y el uso del segundo teorema funda-mental del cálculo se tiene que:

V xx x= − + = − =−

−2 6 2 644 2

47

2 3

1114

1174 π( ) [( ) ( )]ππ

En resumen el volumen del sólido de revolución calculado por el método de las capas es de unidades cúbicas.

Actividad 5Relacionado a la situación de la jardinera dada en la problematización de esta sesión calcula, con el método apropiado, el volumen del sólido de revolución que resulta de hacer girar la región señalada en torno:

a) Al eje X

b) Al eje Y

c) A la recta x=1

d) A la recta y=1

Bloque IV

118

1. En parejas hallen dos funciones que, acotadas bajo ciertas circunstancias, ten-gan regiones que al girar bajo ciertos ejes de revolución formen volúmenes parecidos a:

a) trompos

b) balones de futbol americano

Propongan fórmulas y situaciones particulares para determinar sus volúmenes.

SíntesisMediante el uso de las técnicas de cálculo de áreas y volúmenes determina lo que se te pide. Recuerda que una representación gráfica te dará una mejor pauta de lo que se desea determinar.

1. Halla el área que se encuentra entre las dos curvas f x x x( ) = −6 2 y

g x x x( ) = −2 2

2. Determina el área de la región que ocupa la curva y x x2 2 21= −( ) en el primer y cuarto cuadrante.

3. Calcula el área de la región que se encuentra acotada en la parte superior por la

curva x y2 2 25+ = y en la parte inferior por la recta y = 3.

4. Dos círculos x y x2 2 4+ = y x y2 2 4+ = se intersecan. Obtén el área de la región que resulta de esta intersección.

5. En el segundo cuadrante se obtiene una región que es acotada por la curva

y x x2 4 54= + . Calcula el área de esa región.

6. En la siguiente serie de incisos se describe una región en particular limitada por curvas. Halla el área de tales regiones.

a) y x y x= − = −2 24 8 2,

b) y x y x x= = −4 42 4 2,

c) y e y e x xx x= = = =−, , ,0 2

d) x y x x e y= = = =12 1 02/ , , ,

e) y x x x y= + = = − =1 1 1 1 02/ ( ), , ,

7. Demuestra que la fórmula del volumen de una esfera de radio r es igual a:

V r= 43

3π

8. Utiliza el método apropiado para determinar el volumen de cada una de las re-giones especificadas en torno al eje o recta de revolución señalado.

a) x y y x2 2 16 0 8− = = =, , ; eje Y

b) y x x y= = =4 0 162 , , ; eje X


119

c) y x x y= = =3 0 8, , ; recta x=2

d) x y x y= − − − =9 7 03 , ; recta x=4

e) y x x y= − + =2 5 6 0, ; eje Y

f) Dentro de x y= −9 2 , entre x y x− − = =7 0 0, ; recta y=3

g) Un arco de y sen x= 3 ; eje X

h) Primer arco de y e senxx= ; eje X

i) y x x y= − + =2 2 4 03 , ; recta x=2

Sesión 2: Otras aplicaciones de la integralCriterios:

• Describo diferentes facetas en las ciencias, en donde sea aplicable la inte-gral definida como medio de resolución de una problemática.

• Aplico las integrales definidas requeridas con el fin de resolver situaciones relacionadas a las ciencias experimentales o sociales, ya sean hipotéticas o reales.

• Propongo diferentes medios para dar solución a una situación presentada al aplicar las integrales.

• Reflexiono sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas de las ciencias, así como de su utilidad en ellas.

ContextualizaciónHasta estos momentos has observado dos aplicaciones directas de las integrales definidas, a saber, la determinación de áreas de regiones acotadas por curvas y la obtención de volúmenes de sólidos de revolución. Sin embargo, el cálculo integral no tiene limitantes en cuanto aplicaciones, puesto así, un ingeniero puede aplicar el cálculo diferencial para hallar el máximo de tensión que ejercerán las columnas de un puente, y también puede utilizar el cálculo integral para determinar la cantidad de trabajo necesario por una maquinaria al momento de levantar cierto material bajo cierto distancia.

Bloque IV

120

Como estarás intuyendo, las aplicaciones de la integral definida no solo recaen en las ingenierías que si bien son las ramas que están en mayor relación con nuestros estudios, no son las únicas y privilegiadas. Es decir, no bastará analizar aplicaciones en la ingeniería, mecánica, hidráulica, etcétera; sino, por sorprendente que te parezca, estaremos conectando este conocimiento con la economía y con la biología. También se podrá encadenar esto con otras ramas de la matemática como lo es la probabilidad, pero en ésta sólo la mencionaremos en vista del tiempo que nos limita para su estudio.

ProblematizaciónSupongamos que se trata de medir la longitud de una cuerda que forma una circun-ferencia. Sabes que para este caso será sencillo, ya que particularmente empleare-mos la fórmula del perímetro de una circunferencia, sólo nos resta conocer la longi-tud del radio o diámetro. No obstante, si se tratase del arco de una circunferencia, ¿cómo calcularías su longitud?

Vamos a complicarlo un poco más. ¿Recuerdas la situación de la jardinera de la sesión anterior? Recordando, se trataba de un arquitecto que al desarrollar una plaza comercial se le presenta una jardinera que tiene una forma especial, ya que vista desde arriba en la parte superior se presenta un contorno como si fuera la funciónf x x( ) = y en la parte inferior la función g x x( ) = 2 .


121

La figura en el plano puede verse como sigue, en donde la escala es 1:10 m.

(1,1)

(0,0)

f(x)=x

g(x)=x2Jardín

X

Y

Figura 4.18 Vista aérea del jardín del proyecto arquitectónico como funciones.

Con estos datos el arquitecto se ve en la problemática de calcular el pe-rímetro que ocupará esta jardinera en la obra, ya que para gestionar sus gastos de decoración con un material especial el dueño debe saber el perímetro de la misma.

En este caso la longitud de la parte superior es más sencilla de determinar, ¿cómo la determinarías y cuánto vale?

Para la parte inferior que corresponde al arco de una parábola, ¿puedes aproximar su longitud?, ¿cuál es ésta?

Con esto propón la longitud total de la jardinera y a cuánto equivale en medidas reales.

Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competenciasPara tener una mejor facilidad de comprensión de algunas de las más destacadas aplicaciones las dividiremos en:

• Aplicaciones a la Matemática

• Aplicaciones a la Física e ingeniería

• Aplicaciones a la Economía

• Aplicaciones a la Economía y Biología

Bloque IV

122

Teniendo un breve bosquejo de lo que analizaremos en este bloque pro-cedemos a iniciar su revisión. Cabe destacar desde el inicio que sólo presentaré las relaciones o fórmulas aplicativas, ya que no estaremos en tiempo de visualizar los orígenes de y demostraciones de tales relaciones.

Aplicaciones a la matemáticaLongitud de arco

Si se tiene una función y f x= ( ) en el intervalo [ , ]a b y la derivada f x´( ) con-tinúa en ese mismo intervalo, entonces la longitud del arco desde el punto

A a f a( , ( )) al puntoB b f b( , ( )) viene dado por:

L dxdydxa

b= + ( )∫ 1

2

Similarmente, si se tiene la curva x g y= ( ) en el intervalo [ , ]c d y la de-

rivada g y´( ) continúa en ese intervalo, entonces la longitud del arco desde el

punto A g a a( ( ), ) al puntoB g b b( ( ), ) viene dado por.

L dydxdyc

d= + ( )∫ 1

2

Consideremos dos ejemplos ilustrativos para aterrizar los conceptos y fór-mulas presentadas.

Ejemplo 8:Determina la longitud del arco de la curva y x= 3 2/ en el intervalo [ , ]1 5 del

eje X.

Solución.

La situación se presenta a continuación:

B(5,(5)(3/2))

A(1,1)

y=x(3/2))

X

Y

Figura 4.19 Longitud de arco AB de una función.


123

Usaremos claramente la relación L dxdydxa

b= + ( )∫ 1

2 de donde calculamos

los elementos faltantes, en este caso, dydx es decir, la derivada de la variable función

respecto a la variable x :

dydx x= 3

2

12

Por lo que:

( ) ( )dydx x x2 3

22 9

4

12= =

Entonces la relación será:

L dx xdx x dxdydxa

b= + ( ) = + = +∫ ∫ ∫1 1 1

2941

594

1 2

1

5( ) /

Utilizando el teorema fundamental del cálculo llegaremos a que el valor buscado es:

L x= + = − ≈827

94

3 2

1

5827

494

3 2 134

3 21 10 9676( ) [( ) ( ) ] ./ / /

Por lo tanto la longitud del arco AB vale 10.9676 unidades.

Ejemplo 9:

Encuentra el valor de la longitud del arco de la parábola x y= 2 desde el punto (0,0) al (1,1).

Solución.

Vemos que será más sencillo derivar la ecuación respecto a la variable de modo

que estaremos utilizando la relación L dydxdyc

d= + ( )∫ 1

2 en el intervalo [0,1] del eje Y.

Calculamos lo pedido:

( ) ( )dxdy y y2 2 22 4= =

Entonces:

L dx y dydxdyc

d= + ( ) = +∫ ∫1 1 4

22

0

1

Reordenando el integrando logramos llegar al resultado

L y dy y y yy= + = + + + +

= + + ≈∫12 2

0

1

22 1

42

0

112

141 2 2 1 4 2 1 4 5 2 5( ) ( ln ) ln 11 4789.

Valor promedio de una función

Cuando nos piden determinar el valor promedio de una cantidad finita de datos simplemente realizamos la suma de ellos y dividimos el resultado entre el total de ellos. Sin embargo cuando pretendemos calcular el promedio de los valores infinitos de una función f nos vemos en ciertas dificultades. Primero que nada hemos de observar sobre qué intervalo deseamos hallar dicho promedio. Para ello se da la siguiente definición:

Cuando trates con fun-ciones implícitas puedes optar por la derivada implícita que requieras determinar según cuál de las dos relaciones estés utilizando.

Bloque IV

124

Definición. Si una función y f x= ( ) es definida en el intervalo [ , ]a b en-tonces el valor promedio de f o la ordenada media de f, se describe por

fb a

f x dxmed a

b=

− ∫1 ( )

Dados estos elementos podemos considerar el siguiente ejemplo:

Ejemplo 10:

Obtén el valor promedio de:

a) La parábola y x= −4 2 en el intervalo [−2, 2]

b) La función y x= +2 1 en [−1, 2]

c) Una semicircunferencia de radio r

Solución:

En cada caso evitaré dar pormenores del método de integración, así como sus pasos algebraicos que ya se han analizado a lo largo de la obra.

a) Al ser simétrica la función respecto al eje Y podemos ahorrarnos algunos pasos:

f x dx x dx xmedx=

− −− = − = − =

−∫ ∫1

2 24 1

24 42

2

2 2

0

212 3 0

283

3

( )( ) ( ) ( )

f x dx xmedx=

− −+ = + =

− −∫1

2 11 22

1

213 3 1

23

( )( ) ( )

b) La función de la semicircunferencia de radio r puede a modo sencillox y r2 2 2+ = , o sea y r x= −2 2 , por tanto la ordenada media se deter-mina como sigue en el intervalo [−r, r] o por ser simétrica el doble del obtenido en el intervalo [0, r], es decir:

fr r

r x dx r x arcsenmed

r

rx r x

r

rr=

− −− = − +

=∫

2 2 2

01

22 2

20

4

2

( )( ) π

Aplicaciones a física e ingenieríaPasaremos a otro rubro de aplicación de las integrales definidas

Trabajo

Se ha visto en estudios anteriores de física que el trabajoT se define como el pro-ducto de la fuerza F requerida para mover un objeto a una distancia d . Es decir:

T F d= ⋅

En el sistema métrico internacional la fuerza se mide en Newton (N), y la distancia en metros (m). Por lo tanto el trabajo se da en kg m⋅ que en términos apro-piados equivale a un Joule (J).

Esto equivale a dividir el área de la región entre el valor de la longitud de su base.

Recuerda que la fuerza o peso de un objeto puede medirse a partir de su masa mediante F mg=donde g m s= 9 8 2. / .

AdemásN kg m s= ⋅ / 2

o sea, un Newton es la cantidad de fuerza re-querida para mover un objeto de un kilogramo a una aceleración de un metro entre segundo al cuadrado.


125

Si el objeto a mover está sobre el eje horizontal en dirección positiva desde a hacia b de manera que en cada punto x de ese intervalo una fuerza actúa f x( ) sobre el objeto, en donde además f es continua en ese mismo in-tervalo, entonces el trabajo realizado sobre el objeto desde a hacia b es:

T f x dxa

b= ∫ ( )

Ejemplo 11:

Cuando una partícula está localizada a una distancia (horizontal) metros del origen, una fuerza dada por la función y x x= +2 3 Newton actúa sobre ella. ¿Qué trabajo se requerirá para moverla 3 metros a partir del metro x = 2 ?

Solución:

Debemos comprender primero que estamos tratando con intervalos del eje X, de manera que si queremos mover el objeto 3 m a partir del metro 2, esto indica que necesitamos llegar al metro 5, o sea el intervalo en cuestión será [2, 5]. La función de la fuerza está ya dada de forma que el trabajo será:

T f x dx x x dxa

bx x= = + = + =∫ ∫( ) ( ) ( )2

2

5

332 2

514123 3 2

El trabajo realizado es de 1412 J.

Ejemplo 12:

Una fuerza de 50 N es requerida para mantener un resorte estirado hori-zontalmente unos 4 cm de su posición natural de 10 cm medido desde el origen. ¿Cuánto trabajo se requiere para estirar ese mismo resorte de 14 a 18 cm?

Solución:

En primer lugar estamos aplicado la ley que se analiza en física y se conoce como la ley de Hooke. Esta ley afirma que la fuerza necesaria para mantener un resorte estirado unidades de su posición natural es proporcional a esa distancia x , es decir, f kx= , k donde es una constante de proporcionalidad positiva que la determinamos con los primeros datos conocidos del resorte.

Como sabemos ahora que la fuerza para mantener un resorte estirado una cantidad a partir de su posición natural es f x kx( ) = , podemos sustituir el valor de x cm m= =4 0 04. y de f N= 50 en la relación anterior para determinar el valor de k , es decir:

Bloque IV

126

50 0 04 0 04= =f k( . ) ( . )

k = =500 04 1250.

Por tanto, la fuerza para este caso en particular es de f x x( ) = 1250

Finalmente, basándonos es esta función de la fuerza requerida y el interva-lo en metros en cuestión que se trata de [0.14, 0.18], podremos determinar el valor del trabajo requerido, esto es:

T xdx x= = =∫ 1250 625 82

0 14

0 18

0 14

0 18

.

.

.

.

Lo cual indica que al estirar el resorte desde 14 a 18 cm se realizará un trabajo de 8J.

Fuerza de presión hidrostática

Conforme un buzo se sumerge más y más en el fondo del mar, experimenta un “peso” cada vez mayor sobre todo su cuerpo. Este “peso” al que se refieren los buzos se conoce como presión hidrostática y es cada vez mayor conforme se está más profundo de la superficie, esto debido a que el peso del agua se incrementa.

A modo general la presión se define como la fuerza aplicada sobre una unidad de superficie o área, es decir la presión equivale a la fuerza que actúa perpen-dicularmente a una superficie entre el área sobre la que se distribuye dicha fuerza. En términos matemáticos P F

A= .

En hidrostática la presión P de un líquido es la fuerza por unidad cuadrada de área ejercida por el peso del líquido. De manera que si la densidad del líquido en cuestión se denota por ρ , entonces la presión ejercida por el líquido en un punto hallado a una profundidad de h unidades debajo de la superficie del líquido será dado por:

P h= ρSi introducimos una placa, de área A, de forma paralela a la superficie del

líquido de dentro de éste y representamos como F a la fuerza ejercida por el líquido sobre la parte superior de la placa, entonces esto se escribe:

F P A hA= ⋅ = ρ

El principio de Pascal indica que la presión ejercida en un punto del interior del líquido es la misma en todas las direcciones. En el sistema internacional de me-dida se representa la presión en N/m2 que se llaman pascales, es decir, 1N/m2 = 1Pa.

Sin embargo, cuando se sumerge la placa de manera vertical podremos adoptar como el eje X positivo al contenido desde la superficie del líquido hacia la profundidad de tal; y al eje Y positivo como la línea horizontal sobre la superficie que va hacia la derecha. En figura se tiene.

La densidad del agua es de 9810 N/m3


127

superficie

Líquido

Líquido Placa

0

ya

b

x

y∆x

Figura 4.20 Representación de la placa sumergida de forma vertical en un líquido.

Nota: cómo se toman los rectángulos aproximantes. Con este precedente se indica que:

Si una placa se sumerge verticalmente en un líquido de densidad ρademás la longitud de la placa a una profundidad de x unidades debajo la su-perficie es de f x( )unidades, donde f es continua en [a, b] y f ≥ 0 en [a, b], en-tonces la fuerza F ejercida por la presión del líquido sobre la placa será de:

F xydx xf x dxa

b

a

b= =∫ ∫ρ ρ ( )

También podría considerarse una función del tipo x g y= ( ) como el de la figura:

superficie

Líquido

Líquido Placa

0

xc

d

x

x∆y

Figura 4.21 Representación de la placa sumergida en un líquido.

Bloque IV

128

Con ello la relación para determinar su fuerza de presión es

F yxdy yg y dyc

d

c

d= =∫ ∫ρ ρ ( )

Aquí la profundidad se representa con la variable y .

Apliquemos esto a dos ejemplos ilustrativos.

Ejemplo 13:

Determina la fuerza que se notará en el fondo de una piscina de forma semicircular de 10 m de diámetro cuando está lleno de agua.

Solución:

Colocamos la ecuación de manera que esté centrado en los ejes, por ello la ecuación será x y2 2 25+ = ( ) , de donde y x= −25 2 que abarca el intervalo [0, 5]. Gráficamente:

y

y

0

5

x

Figura 4.22 Representación de la situación de la piscina.

La profundidad será x y la altura 2y , pues es simétrica respecto al eje X. La fuerza será entonces

F xydx x x dx x x dx xa

b= = − = − = − −∫ ∫ ∫ρ 9810 2 25 19620 25 4905 252

0

5 2

0

5 2( ) ( )) /3 2

0

5817500 =

La fuerza ejercida será de 817,500 N.

Ejemplo 14:

Si un recipiente de forma cilíndrico circular recto con base 2 m de radio se coloca de lado (acostado) en el fondo de un tanque lleno de agua de 12 m de profundidad, ¿cuál es la fuerza ejercida por el agua sobre un extremo del recipiente?

La densidad del agua es de 9810 N/m


129

Solución:

Nuestra situación se presenta a continuación de forma gráfica.

∆x

Agua

0

8

y

8+x12

x

Figura 4.23 Esquema de la situación del ejemplo 14.

La circunferencia quedará centrada en el punto C(10, 0) por lo que su ecua-

ción será ( )x y− + =10 42 2 , es decir:

f x x( ) ( )= − −4 10 2

Además, la altura del rectángulo es y metros multiplicado por dos en el intervalo [8, 12]. La profundidad es 8 + x metros, por lo tanto la fuerza es:

F x x dx x dx x x= + − − = − − + − −∫ ∫2 8 4 10 313920 4 10 39240 48

12 2 2

8

10ρ ( ) ( ) ( ) ( 110 2

8

10)∫ dx

Aplicando técnicas de integración con sumo cuidado se obtiene el resultado pedido, la fuerza de la presión del agua es de F=2´114,300N.

Momento y Centro de masa

Si te dan un plato y deseas balancearlo hori-zontalmente con un palillo sin que se caiga, requiere mucho más que habilidad para colo-car en el punto apropiado el palillo. Tal como suceden con los discos chinos.

Sin embargo, si te dan una figura plana irregular, ¿cómo descubrirías el punto en donde colocar la varillita y esta mantenga hori-zontalmente el plano sin que se caiga?

Bloque IV

130

Nuestro objetivo entonces es determinar ese punto P del plano en don-de este se balancee horizontalmente; ese punto se denomina centro de gravedad, centro de masa. Para un plano homogéneo ese punto se conoce como centroide de la región que conforma el plano. Es decir, si se tratase de un plano circular enton-ces su centroide coincidiría con su centro de gravedad. Lo mismo ocurriría con un plano rectangular.

En el caso de un área plana el centroide se representa con las coorde-nadas ( , )x y .

El momento de un área plana respecto a una recta L se representa porML

y se determina con el producto del área por la distancia dirigida de su centroide a esa recta.

Por tanto, se procede a determinar el momento de un área plana con respecto a un eje de coordenadas de la siguiente manera:

• Representar el área señalando una rectángulo aproximante.

• Multiplicar el área del rectángulo por la distancia que existe de su centroide al eje en cuestión, y suponer que el número de rectángulos aproximantes crece indefinidamente para aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo.

Entonces, si poseyéramos una región plana con área A y su centroide ( , )x y , entonces los momentos MX y MY respecto a los ejes coordenados X e Y respectiva-mente serán:

M AyM Ax

X

Y

==

R

y/2

ba

x(x,y)

y=f(x)

∆x

Figura 4.24 Centroide de una región plana R.

De esto se intuye que para determinar el centroide de una región cuando se conocen sus momentos respecto a los ejes coordenados se puede calcular con los despejes de las fórmulas anteriores, es decir:

( , ) ( , )x yMA

MA

Y X=


131

Recordando que un área de una región puede verse como la integral de-finida en el intervalo señalado, es decir, A f x dx

a

b= ∫ ( ) podremos describir estas rela-

ciones mediante integrales:

M f x dxX a

b= ∫12 2[ ( )]

M xf x dxY a

b= ∫ ( )

( , ) (( )

( ),

[ ( )]

( ))x y

xf x dx

f x dx

f x dx

f x dxa

b

a

ba

b

a

b= ∫

∫∫∫

12

2

Cabe señalar que estas relaciones se pueden ajustar cuando la región está determinada por una función x g y= ( ) sobre el intervalo [c, d] del eje Y.

Ejemplo 15:

Encuentra, con las relaciones vistas anteriormente, los momentos con res-pecto a los ejes coordenados del área plana acotada en el primer cuadrante por la función f x x( ) = −4 2.

Solución:

Una representación con los elementos correspondientes es la siguiente:

P(x,y)

y=4-x2

∆x

1

1

0.5

-0.5

0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

1.5

2

2.5

3

3.5

Centroide del rectángulo aproximante

(x, y/2)

Figura 4.25 Un rectángulo aproximante y su centroide de la función y x= −4 2 en el primer cuadrante.

Las relaciones a utilizar son M f x dxX a

b= ∫12 2[ ( )] y M xf x dxY a

b= ∫ ( ) , en donde

claramente el intervalo es [0, 2].

Se tiene:

M f x dx x dxX a

b= = − =∫ ∫1

22 1

22 2

0

2128154[ ( )] ( )

Bloque IV

132

M xf x dx x x dxY a

b= = − =∫ ∫( ) ( )4 42

0

2

Y así los momentos respecto a los ejes X e Y son MX = 12815

y MY = 4 res-pectivamente.

Ejemplo 16:

Obtén el centroide de la región comprendida por las curvas y x= − y y x= − 2

8 .

Solución:

En primer lugar bosquejamos la situación.

x

y

1

-1

0.5

-0.5

1.5

-1.5

-2

-2.5

-3

Centroide del rectángulo aproximante

0.5 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

y1=-(x)1/2x,(y1+y2)/2) y2=-x2/8

(4,-2)

Figura 4.26 Gráfica de la región a determinar su centroide que se halla entre dos curvas.

Notamos que la altura del rectángulo aproximante consta de la resta de las alturas respectivas de las coordenadas de las funciones; sin embargo, esto no representa el punto medio de la altura del rectángulo aproximante. Al tratarse del punto medio necesitamos el promedio de las alturas involucradas, por ello sumamos el valor de las respectivas coordenadas y dividimos entre dos. Con el fin de hallar el centroide es necesario calcular el valor del área de la región en el intervalo [0, 4] y así

utilizar la relación ( , ) ( , )x yMA

MA

Y X= .

El área será:

A y y dx x dx x dxxa

bx= − − = − − − − = − =∫∫ ∫( ) ( ( )) ( )1 2 80

4

0

4

883

2 2

Los momentos son:

M y y dx x dx x dxX a

bx x= + = − − = + =∫ ∫ ∫ −1

2 1 212 8

2 120

4

82

0

41252 2 2( ) ( ) ( )

M x y y dx x x dxY a

bx= − = − =∫ ∫( ) ( )1 2 80

4245

2


133

Luego entonces el centroide es:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yMA

MA

Y X= = =−

−24583

12583

95

910

Aplicaciones a la Economía y Biología Finalizo esta obra con algunas aplicaciones del cálculo integral en otras facetas des-critas al inicio de la sesión. En este caso sobre Economía y Biología. No carece de sentido reiterar que existen muchas más aplicaciones que no podremos abarcar; en tu proyecto de bloque se enfatiza este hecho.

Excedente del consumidorUna función de demanda p x( ) es el precio que una compañía tiene que cargar a sus artículos para poder vender X cantidad de esos artículos disponibles. Básicamente si se venden grandes cantidades de producto, los precios bajan, de manera que la función de demanda tiene que ser decreciente. La representación de esta función se conoce como curva de demanda. Si X representa la cantidad de artículos disponi-bles para venta, entonces P p X= ( ) indica el precio de venta de los artículos. Esto se muestra en la siguiente curva de demanda.

y1=-(x)1/2

P

P (X,P)

p=p(x)

Excedente del consumidor

x

x

Figura 4.27 Curva de demanda p(x).

Los economistas describen la integral:

[ ( ) ]p x P dxX

−∫0como el excedente del consumidor para el producto. Esto representa la

cantidad de dinero ahorrado por los consumidores al adquirir los artículos al precio P, correspondiente a la demanda X de estos productos.

Notemos un ejemplo aplicativo.

Bloque IV

134

Ejemplo 17:

Halla el excedente del consumidor cuando el nivel de venta requerido es de 800 artículos, sabiendo además que la función de demanda para estos productos está dado por p x x= − −1200 5 10000

2

en pesos.

Solución:

Hemos de conocer primero el precio correspondiente a los 800 artículos, esto es:

p( ) ( )800 1200 9768005

80010000

2

= − − =

Por tanto nuestra integral quedará ordenada de esta forma:

[ ( ) ] [ ] (p x P dx dxX

x x x x− = − − − = − −∫ ∫0 5 100000

800

5 100001200 976 2242 2 )) .0

80098133 33∫ =dx pesos.

Gasto cardiacoNuestro maravilloso cuerpo tiene un complejo ritmo incansable de trabajo, muestra de ello es el sistema cardiovascular en donde el principal elemento es el corazón. Mediante éste, la sangre regresa al cuerpo a través de las venas y se introduce en el ventrículo derecho de donde es bombeada hacia los pulmones a través de las arterias pulmonares con el fin de oxigenarla. Esta regresa ya oxigenada hacia el ventrículo izquierdo mediante las venas pulmonares y desde ahí se bombea hacia el resto del cuerpo a través de la aorta. Entonces se define que el gasto cardiaco es el volumen de sangre que bombea el corazón y que pasa a través de la aorta en una unidad de tiempo. Es decir, la razón de flujo de sangre a través de la aorta.

Con el fin de medir el gasto cardiaco se emplea el método de dilución de tinta. Esto consiste básicamente en inyectar un tipo de tinta al ventrículo derecho del corazón y observar la concentración del flujo, que pasa por la aorta en tiempos específicos sobre un intervalo de tiempo [0, T].

Si c t( ) representa la concentración de la tinta en el tiempo t entonces el gasto cardiaco está dado por:

G A

c t dtT

=∫ ( )0


135

En donde la cantidad de tinta inyectada A es conocida y la integral puede ser aproximada por las lecturas de concentración de la tinta.

Te proporciono un ejemplo.

Ejemplo 18:

Un paciente tiene problemas cardiacos y se somete a una medición de gasto cardiaco. Se le inyectan 5 mg de tinta especial en su ventrículo derecho y se observa la concentración de la tinta (en miligramos por litro), en la aorta a intervalos de un segundo. Los datos arrojados se muestran en la siguiente tabla.

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c t( ) 0 0.4 2.8 6.5 9.8 8.9 6.1 4 2.3 1.1 0

Estima el gasto cardiaco de este paciente mediante la aproximación con el método de la Regla de Simpson.

Solución:

En este caso en particular se tiene que A t= =5 1,∆ yT = 10 . Para calcular la integral de concentración se usará la regla de Simpson como se pide:

c t dt c t dtT( ) ( ) [ ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( .= ≈ + + + + +∫∫ 0

10

013 0 4 0 4 2 2 8 4 6 5 2 9 8 4 8 99 2 6 1 4 4 2 2 3 4 1 1 0) ( . ) ( ) ( . ) ( . ) ]+ + + + +

De donde: c t dt( ) .0

1041 87∫ ≈

Luego entonces el gasto cardiaco de este paciente será:

G A

c t dtT

= ≈ ≈∫ ( )

..

0

541 87 0 1194

Esto da a entender que el gasto cardiaco aproximado es de 0.1194 L/s.

La estadística también se conecta con el cálculo integral bajo ciertos pa-rámetros, por ejemplo, en el análisis de un comportamiento aleatorio. Además, mu-chos fenómenos aleatorios tales como pruebas de aptitud o peso y medidas de individuos de una población homogénea son modelados mediante una distribución normal. Esto está íntimamente ligado al cálculo también.

En resumen, tras documentarte con la amplia gama de aplicaciones directas del cálculo integral te estás abriendo paso a lo que las matemáticas ofrece a los que se aventuran en conocerla.

Bloque IV

136

SíntesisCuando tu docente indique que has de trabajar en equipos para resolver las siguientes situaciones, entonces realízalas con el objeto de sacar provecho de los condiscípulos que te acompañen.

1. Determina la longitud del arco descrito por la curva en el intervalo presentado (si te es posible puedes utilizar un programa informático que determine la grá-fica y la longitud del arco pedido):

a) x y= 3 2/ , 0 1y≤ ≤

b) y xx= + −3

612 , 1

2 1≤ ≤x

c) x y= −ln( ),1 2 0 12≤ ≤y

d) y ex= , 0 1≤ ≤x

e) 24 484xy x= + ,2 4≤ ≤x

f) y a e ex a x a= + −12 ( ),/ / 0 ≤ ≤x a

g) y x= lncos , π π6 4≤ ≤x

2. En cada inciso halla el valor promedio de la función respectiva en el intervalo señalado.

a) y x= cos [ , ]0 2π

b) y x= ln , [ , ]1 3

c) y x x= − +3 1, [ , ]0 2

d) y te t= − 2

, [ , ]0 5

e) y xsenx= 2 ,[ , ]0 π

3. Una partícula se mueve a lo largo del eje X por una fuerza que mide 101 2( )x+ kg en

un punto de x m del origen. Determina el trabajo al mover el cuerpo del origen hasta una distancia de 9 m.

4. Para estirar un resorte, que en estado natural es de 10 cm, una longitud de 2.5 mm, se requiere una fuerza de 25 kilopodios. Determina el trabajo realizado para alargarlo de 11cm hasta 22 cm.

5. Dos partículas se repelen mutuamente con una fuerza inversamente proporcio-nal a la distancia que las separa. Supón que una de ellas está fija en un punto (2,0), con ello determina el trabajo necesario para desplazar a la otra ubicada en el punto (−3, 0) hasta el origen.

6. La forma de un tanque en su parte inferior tiene la forma de la región acotada por las curvas y yx= =2

2 12, dadas en pies. Halla la fuerza de la presión hidrostá-tica en el fondo del tanque si es llenado con gasolina (la densidad de la gasolina es 42 lb/ft3).


137

7. Una piscina es de 20 m de ancho y 40 m de largo con su parte inferior en forma de plano inclinado de forma que la parte más honda es de 9 m y la menos hon-da es de 3 m. Si esta piscina se llena de agua determina la fuerza de la presión hidrostática en:

a) la parte más honda

b) la parte menos profunda

8. Grafica cada una de las regiones siguientes y determina su centroide:

a) y x y x= = =2 0 2, ,

b) y x y x= = =, ,0 9

c) y e y x xx= = = =, , ,0 0 1

d) y x y x x= = = =−1 0 1 2, , ,

9. La función de demanda para cierto artículo es p x x( ) = −5 10 . Halla el excedente del consumidor cuando el nivel de venta es de 30.

10. La curva de demanda de cierto artículo está dada por p x x( ) = −50 20 . Halla el excedente del consumidor cuando el nivel de venta es de $15.

11. En un paciente se le introduce 8 mg de tinta para medir su gasto cardiaco. La concentración de tinta en mg/L está modelada por la función c t tt( ) ( )= −4 12 en [0, 12] en donde t está en segundos. Halla su gasto cardiaco.

Mi proyecto del bloqueCon el fin de evidenciar las competencias del bloque es necesario que trabajes en el siguiente proyecto del bloque.

Proyecto: Otras aplicaciones y volumen de un sólido de revolución en torno a una recta oblicua.

Problema:

Investigar otras aplicaciones de las integrales, así como conocer la forma de calcular el volumen de un sólido de revolución en torno a una recta oblicua de la forma y mx b= +, donde m ↑ 0 .

Duración: Una semana

Puntuación: 15 puntos

Competencias:

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.

Bloque IV

138

Actividades:

Será necesario que te reúnas en equipos con la cantidad de elementos que tu docente considere óptimo. A partir del proyecto lograrán interpretar diferentes usos de las integrales aparte de los que se analizan en esta obra. También tendrán que investigar sobre la forma de obtener el volumen de un sólido de revolución que se obtiene al girar una región del plano en torno a una recta que no es paralela a ninguno de los ejes coordenados. Sigan estas pautas:

La investigación respecto a las aplicaciones de la integral definida y del teorema fundamental del cálculo deben ser tomadas de fuentes confiables, razón por la cual su investigación será presentada ya sea de forma escrita en su portafolio de evidencias, de forma impresa conteniendo aportaciones al escrito electrónico o de forma expuesta al grupo y docente, mediante plantillas de power point mediante un proyector. Es necesario que en su investigación incluyan ejemplos descritos y explicados. Contestarán a preguntas que su docente o compañeros les haga para coevaluar y heteroevaluar su trabajo.

De manera similar respecto al reporte de la manera para hallar el volumen del sólido que se presente como en la figura siguiente.

Han de señalar las fuentes de investigación así como los ejemplos correspondientes. Para evidenciar este proceso determinen los siguientes volúmenes:

La región formada por y x= −9 2 y 4 4 33y x= + en torno a la recta 4 4 33y x= +

La región formada por xy = 6 y x y+ = 7 que gira en torno a la recta x y+ = 7

Recursos: Libro de texto, fuentes de información bibliográfica, fuentes de información electrónica, papelería, proyector.

Normas:

Se presentará en la fecha indicada por tu docente. Él determinará las cuestiones no previstas según su buen juicio.

Todos en el equipo participarán y presentarán el proyecto del modo que tu docente señale.


139

RealimentaciónDesarrolla lo que se te pide en cada uno de los ejercicios, de forma que al final y cuando tu docente te lo solicite comparen sus resultados con el fin de retroalimentarse.

I. En la siguiente serie de incisos se describen las rectas y curvas que delimitan una región en particular. Halla el área de tales regiones.

a) y x x x y= = = =2 2 5 0, , ,

b) y x x x= = =tan , ,0 4≠

c) y x y x= − = −2 2 ,

d) y x x x y= = = =3 1 3 0, , ,

e) y x y x= − = +9 32 ,

f) x y y y x= − = = =3 9 0 1 02 , , ,

g) x y y x= + =2 4 0,

II. Halla el área acotada por la hipérbola xy a= 2, el eje X y las rectas x a= y x a= 2

III. Calcula el área de la región limitada por la curva y x3 2= y la cuerda que une los puntos (8, 4) y (−1, 1)

IV. Determina el volumen del sólido que se genera haciendo alrededor de cada una de las siguientes rectas la superficie que corta a la curva correspondiente.

a) y y x x= = −3 4 2;

b) x y x= =4 2 3;

c) y y x x= − = + −4 4 6 2 2;

V. Las curvas x y= −5 2 y y x2 4= se intersecan. Calcula el volumen que se genera al hacer girar la región descrita alrededor del eje:

a) X

b) Y

VI. Un cuerpo es arrojado de un globo aerostático que se halla a una altura de 180m y que se encuentra viajando a una velocidad de 15m/s. La trayectoria parabólica que describe el objeto arrojado es y x= −180 2

45 , en donde el valor de la variable x representa la distancia horizontal recorrida por el objeto, mientras que la variable y indica la altura del mismo. Calcula la distancia recorrida por ese objeto desde el momento en que es soltado hasta que toca al suelo.

VII. En una ciudad la temperatura después de t horas a partir de las 9 am se propo-ne mediante el modelo T t sen t( ) = +50 14 12

π . Si esta temperatura está dada en °F, obtén el promedio de estas temperaturas desde las 9 am hasta las 9 pm.

Bloque IV

140

VIII. La fuerza de atracción de la Tierra para un cuerpo deα kilopodios situado a una distancia de d km desde el centro de la Tierra es,

F

d= 16000000

2 2 2

α.

. Si el radio terres-tre es de 6400 km, halla el trabajo realizado contra la fuerza de gravedad, para mover un cuerpo de un kilopodio desde la superficie terrestre hasta un punto situado a 1000 km arriba de la superficie.

IX. Halla el trabajo realizado contra la fuerza de gravedad para elevar un cohete de 10 toneladas métricas de peso hasta una altura de 300 km sobre la superficie terrestre.

X. Encuentra los momentos MX y MY y el centroide de un cuarto de circunferencia en el tercer cuadrante si la densidad es 2.

XI. La función de demanda para cierto artículo es p x x( ) = +4508 . Halla el excedente del

consumidor cuando el precio de venta es de $10.

XII. Determina el gasto cardiaco de un paciente, quien tras inyectarle 8 mg de tinta presenta las siguientes mediciones de concentración de tinta cada dos segun-dos. Usa la regla de Simpson.

t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

c t( ) 0 2.4 5.1 7.8 7.6 5.4 3.9 2.3 1.6 0.7 0


141

Evaluación de la competenciaConoce bien la rúbrica asociada al proyecto de este bloque para que evidencies lo requerido.


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Conocimientos

Identifico con facilidad la relación entre la integral definida con los datos de las aplicaciones a otras ciencias aportando datos extra.

Reconozco todos los elementos contenidos en las relaciones investigadas de aplicación del cálculo integral.

Identifico con facilidad la relación entre la integral definida con los datos de las relaciones a otras ciencias.

Reconozco la mayoría de los elementos contenidos en las relaciones investigadas de aplicación del cálculo integral.

Identifico con ciertos problemas la relación entre la integral definida con los datos de las relaciones a otras ciencias.

Reconozco con dificultad la mayoría de los elementos contenidos en las relaciones investigadas de aplicación del cálculo integral.

Identifico vagamente la relación entre la integral definida con los datos de las relaciones a otras ciencias.

Reconozco algunos de los elementos contenidos en las relaciones investigadas de aplicación del cálculo integral.

No identifico claramente la relación entre la integral definida con los datos de las relaciones a otras ciencias.

Reconozco sólo los elementos básicos de los contenidos en las relaciones investigadas de aplicación del cálculo integral.

Bloque IV

142

Habilidades

Describo claramente y correctamente el uso de las relaciones obtenidas del cálculo integral.

Demuestro un correcto manejo óptimo de las relaciones investigadas al presentar los ejemplos requeridos.

Utilizo correctamente y con solidez las relaciones que determinan el volumen de un sólido de revolución en torno a una recta oblicua.

Expongo claramente el contenido de la presentación requerida por mi docente y resuelvo las dudas extras.

Describo correctamente el uso de las relaciones obtenidas del cálculo integral.

Demuestro un manejo completo de las relaciones investigadas al presentar los ejemplos requeridos.

Utilizo correctamente las relaciones que determinan el volumen de un sólido de revolución en torno a una recta oblicua.

Expongo claramente el contenido de la presentación requerida por mi docente y resuelvo las dudas.

Describo con dificultades el uso de las relaciones obtenidas del cálculo integral.

Demuestro un buen manejo de las relaciones investigadas al presentar los ejemplos requeridos.

Utilizo parcialmente correcto las relaciones que determinan el volumen de un sólido de revolución en torno a una recta oblicua.

Expongo con ciertas inconsistencias el contenido de la presentación requerida por mi docente y resuelvo las dudas.

Describo erróneamente el uso de algunas de las relaciones obtenidas del cálculo integral.

Demuestro un manejo parcial de las relaciones investigadas al presentar los ejemplos requeridos.

Utilizo con ciertas dificultades y errores las relaciones que determinan el volumen de un sólido de revolución en torno a una recta oblicua.

Expongo con varios errores el contenido de la presentación requerida por mi docente y resuelvo algunas dudas presentadas.

Describo incorrectamente el uso de las relaciones obtenidas del cálculo integral.

No demuestro un manejo de las relaciones investigadas al presentar los ejemplos requeridos.

No utilizo correctamente las relaciones que determinan el volumen de un sólido de revolución en torno a una recta oblicua.

No expongo ni claramente ni correctamente el contenido de la presentación requerida por mi docente ni resuelvo las dudas.

Actitudes

Presento una actitud laboriosa y de equipo durante todo tiempo que lleve el proyecto.

Mantengo una actitud comprometida en el equipo de manera que aporte información importante para el cometido.

Presento una actitud laboriosa y de equipo durante la mayoría del tiempo que lleve el proyecto.

Mantengo una actitud comprometida en el equipo de manera que aporte información básica para el cometido.

Presento una actitud laboriosa y de equipo durante la mayoría del tiempo que lleve el proyecto.

Mantengo una actitud comprometida en el equipo de manera que aporte algún tipo de información necesaria para el cometido.

Presento una actitud laboriosa y de equipo solo algunas veces durante el proyecto.

Mantengo una actitud comprometida en el equipo.

No presento una actitud laboriosa y de equipo durante el tiempo que lleve el proyecto.

No mantengo una actitud comprometida en el equipo ni aporto información necesaria para el cometido.

Puntaje 15 12 9 6 3


143

Rúbrica del bloqueNota los criterios de la rúbrica del bloque de manera que te propongas la meta de subir al menos un nivel de dominio en el cual te halles al inicio del mismo.


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Conocimientos

Defino de forma verbal y analítica el teorema fundamental del cálculo con todos los elementos que le corresponden.

Interpreto todos los modelos matemáticos presentados en mi contexto relacionados al teorema fundamental del cálculo y a la regla de Simpson.

Comprendo siempre la utilidad de las fórmulas de áreas y volúmenes generadas por una o más curvas e identifico las características de las áreas y volúmenes generadas por curvas.

Describo diferentes y variadas facetas en las ciencias, en donde sea aplicable la integral definida como medio de resolución de una problemática.

Defino de forma verbal o analítica el teorema fundamental del cálculo con todos los elementos que le corresponden.

Interpreto algunos de los modelos matemáticos de mi contexto relacionados al teorema fundamental del cálculo y a la regla de Simpson.

Comprendo en ocasiones la utilidad de las fórmulas de áreas y volúmenes generadas por una o más curvas e identifico las características de las áreas y volúmenes generadas por curvas.

Describo diferentes facetas en las ciencias, en donde sea aplicable la integral definida como medio de resolución de una problemática.

Defino de forma verbal o analítica el teorema fundamental del cálculo con algunos de los elementos que le corresponden.

Interpreto algunos de los modelos matemáticos de mi contexto relacionados al teorema fundamental del cálculo y a la regla de Simpson.

No comprendo la utilidad de las fórmulas de áreas y volúmenes generadas por una o más curvas o no identifico las características de las áreas y volúmenes generadas por curvas pero no ambas cuestiones.

Describo algunas facetas correctas en las ciencias, en donde sea aplicable la integral definida como medio de resolución de una problemática.

Defino incorrectamente de forma verbal o analítica el teorema fundamental del cálculo con los elementos que le corresponden.

Interpreto con dificultad algunos de los modelos matemáticos de mi contexto relacionados al teorema fundamental del cálculo y a la regla de Simpson.

Comprendo parcialmente la utilidad de las fórmulas de áreas o volúmenes generadas por una curva e identifico en ocasiones las características de las áreas o volúmenes generadas por curvas.

En ocasiones describo facetas parcialmente correctas en las ciencias, en donde sea aplicable la integral definida como medio de resolución de una problemática.

No defino de forma verbal ni analítica el teorema fundamental del cálculo con los elementos que le corresponden.

No interpreto algún modelo matemático de mi contexto relacionado al teorema fundamental del cálculo y a la regla de Simpson.

No comprendo la utilidad de las fórmulas de áreas y volúmenes generadas por una o más curvas ni tampoco identifico las características de las áreas y volúmenes generadas por curvas.

No describo faceta alguna en la ciencia, en donde sea aplicable la integral definida como medio de resolución de una problemática.

Bloque IV

144


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Habilidades

En el principio fundamental del cálculo comparo constantemente la relación entre los elementos que entran en juego para su uso.

Aplico correctamente la regla de Simpson relacionada al cálculo de un área bajo una curva según lo pedido.

Represento adecuadamente y de forma gráfica el área y volumen generado por una o más curvas, según sea el caso y según sea el eje de rotación.

Empleo las fórmulas correctamente, así como los métodos apropiados para determinar las áreas y volúmenes de revolución de curvas que se me proporcionen.

Aplico las integrales definidas requeridas con el fin de resolver situaciones relacionadas a las ciencias experimentales o sociales, ya sean hipotéticas o reales.

En el principio fundamental del cálculo comparo en ocasiones la relación entre los elementos que entran en juego para su uso.

Aplico correctamente la regla de Simpson relacionada al cálculo de un área bajo una curva en condiciones sencillas.

Represento adecuadamente y de forma gráfica el área y volumen generado por una o más curvas, según sea el caso y según sea el eje de rotación.

Empleo las fórmulas correctamente, así como algunos de los métodos para determinar las áreas y volúmenes de revolución de curvas que se me proporcionen.

Aplico las integrales definidas requeridas con el fin de resolver situaciones relacionadas a las ciencias experimentales o sociales, que sean hipotéticas.

En el principio fundamental del cálculo comparo la relación entre algunos de los elementos que entran en juego para su uso.

Aplico con dificultad la regla de Simpson relacionada al cálculo de un área bajo una curva.

Represento de forma básica la gráfica, el área y volumen generado por una o más curvas, según sea el caso y según sea el eje de rotación.

Empleo las fórmulas y métodos de forma inconsistente al momento de determinar las áreas y volúmenes de revolución de curvas que se me proporcionen.

Aplico con ciertos errores las integrales definidas requeridas con el fin de resolver situaciones relacionadas a las ciencias experimentales o sociales, ya sean hipotéticas o reales.

En el principio fundamental del cálculo comparo en ocasiones la relación entre algunos de los elementos que entran en juego para su uso.

Aplico con ciertos errores la regla de Simpson relacionada al cálculo de un área bajo una curva.

Represento con ciertos errores la gráfica del área y volumen generado por una o más curvas, según sea el caso y según sea el eje de rotación.

Empleo las fórmulas y métodos de forma incorrecta al momento de determinar las áreas y volúmenes de revolución de curvas que se me proporcionen.

Aplico con errores las integrales definidas requeridas con el fin de resolver situaciones relacionadas a las ciencias experimentales o sociales, de la forma hipotética.

En el principio fundamental del cálculo no puedo comparar la relación entre los elementos que entran en juego para su uso.

No aplico la regla de Simpson relacionada al cálculo de un área bajo una curva.

No puedo representar de forma gráfica el área y volumen generado por una o más curvas, según sea el caso y según sea el eje de rotación.

No empleo las fórmulas ni los métodos para determinar las áreas y volúmenes de rotación de curvas que se me proporcionen.

No aplico las integrales definidas requeridas con el fin de resolver situaciones relacionadas a las ciencias experimentales o sociales, ya sean hipotéticas o reales.


145


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Actitudes

Utilizo de forma continua el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas.

Mantengo y reflejo siempre una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

Soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volúmenes con el fin de mantener óptimo ritmo de trabajo.

Estoy consciente de mis valores, fortalezas y debilidades con el fin de recurrir siempre a la ayuda necesaria de cualquier fuente de manera que conserve el respeto debido a mis compañeros y docente.

Reflexiono continuamente sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas así como de su utilidad en ellas.

Utilizo el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas.

Mantengo siempre una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

Soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volúmenes con el fin de mantener un buen ritmo de trabajo.

Estoy consciente de mis valores, fortalezas y debilidades con el fin de recurrir en ocasiones a la ayuda necesaria de cualquier fuente de manera que conserve el respeto debido a mis compañeros y docente.

Reflexiono ocasionalmente sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas así como de su utilidad en ellas.

Utilizo en ocasiones el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas.

Mantengo y reflejo ocasionalmente una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

Soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volúmenes con el fin de mantener un básico ritmo de trabajo.

Estoy consciente de mis valores, fortalezas pero no de mis debilidades con el fin de recurrir a la ayuda necesaria de cualquier fuente de manera que conserve el respeto debido a mis compañeros y docente.

Reflexiono ocasionalmente sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas pero no sobre su utilidad en ellas.

Utilizo en ocasiones el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones sencillas presentadas.

Mantengo ocasionalmente una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

Ocasionalmente soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volúmenes con el fin de mantener un buen ritmo de trabajo.

Estoy consciente de mis valores, fortalezas pero no de mis debilidades con el fin de recurrir en ocasiones a la ayuda necesaria de cualquier fuente de manera que conserve el respeto debido a mis compañeros y docente.

Reflexiono con errores sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas pero no sobre su utilidad en ellas.

No utilizo el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas.

No mantengo una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

No soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volúmenes con el fin de mantener un buen ritmo de trabajo.

No estoy consciente de mis valores, fortalezas ni debilidades.

No reflexiono sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas ni así como de su utilidad en ellas.

Puntaje 15 12 9 6 3

Bloque IV

146


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Actitudes

Utilizo de forma continua el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas.

Mantengo y reflejo siempre una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

Soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volúmenes con el fin de mantener óptimo ritmo de trabajo.

Estoy consciente de mis valores, fortalezas y debilidades con el fin de recurrir siempre a la ayuda necesaria de cualquier fuente de manera que conserve el respeto debido a mis compañeros y docente.

Reflexiono continuamente sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas así como de su utilidad en ellas.

Utilizo el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas.

Mantengo siempre una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

Soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volúmenes con el fin de mantener un buen ritmo de trabajo.

Estoy consciente de mis valores, fortalezas y debilidades con el fin de recurrir en ocasiones a la ayuda necesaria de cualquier fuente de manera que conserve el respeto debido a mis compañeros y docente.

Reflexiono ocasionalmente sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas así como de su utilidad en ellas.

Utilizo en ocasiones el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas.

Mantengo y reflejo ocasionalmente una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

Soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volúmenes con el fin de mantener un básico ritmo de trabajo.

Estoy consciente de mis valores, fortalezas pero no de mis debilidades con el fin de recurrir a la ayuda necesaria de cualquier fuente de manera que conserve el respeto debido a mis compañeros y docente.

Reflexiono ocasionalmente sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas pero no sobre su utilidad en ellas.

Utilizo en ocasiones el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones sencillas presentadas.

Mantengo ocasionalmente una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

Ocasionalmente soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volúmenes con el fin de mantener un buen ritmo de trabajo.

Estoy consciente de mis valores, fortalezas pero no de mis debilidades con el fin de recurrir en ocasiones a la ayuda necesaria de cualquier fuente de manera que conserve el respeto debido a mis compañeros y docente.

Reflexiono con errores sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas pero no sobre su utilidad en ellas.

No utilizo el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas.

No mantengo una actitud positiva frente a las dificultades que se presentan al equipo o de forma individual.

No soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de áreas y volúmenes con el fin de mantener un buen ritmo de trabajo.

No estoy consciente de mis valores, fortalezas ni debilidades.

No reflexiono sobre la aplicación de las integrales en diversas áreas ni así como de su utilidad en ellas.

Puntaje 15 12 9 6 3

NoTAS


147

NoTAS

Bloque IV

148

Calculo Integral 2012A

Documents

Transcript of Calculo Integral 2012A