Calculo integral

VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012

CURSO: Cálculo Integral CÓDIGO: 100411 TEMA A

AUTOR: JOSE BLANCO ZONA: BOGOTA – CUNDINAMARCA

CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ

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CUADERNILLO DE PREGUNTAS PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella que responde correctamente a la pregunta planteada entre cuatro opciones identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. Analizando y conceptualizando la antiderivada, podemos pensar que si tenemos una función ( )xf , la tarea consiste en encontrar otra función ( )xD tal que

( ) ( )xfxD =′ . Por lo tanto ( )xD es una antiderivada de ( )xf . Para solucionar integrales se debe identificar como primero paso el método a emplear, una sugerencia puede ser la siguiente:

Identificar si la integral a solucionar en directa.

Si podemos aplicar la formula ( )

( )∫ ++

=+

kn

axdxxan

n

1

1

Para 1−≠n

Aplicar nuestros conocimientos previos del algebra como la factorización, la simplificación, al división sintética, etc.

Utilizar la técnica de la sustitución, por partes, por fracciones parciales y otras. Con base en los anteriores conceptos, solucione las preguntas del 1 hasta el 10 1. Las integrales son importantes dentro de las matemáticas y para resolverlas

podemos utilizar la ecuación

( )

∫ ++

=+

kn

axdxaxn

n

1

1

siempre y cuando

1−≠n . Teniendo en cuenta lo anterior, la solución de la integral indefinida

dxx

x∫

−33

, es:

A. kxx

++ 2231

.

B. kxx

++−

2231

. RTA






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C. kxx

+−−

2231

.

D. kxx

+− 2231

.

Solución:

∫ ∫ ∫ ++−

=−

−−

=−=−=− −−

−− kxx

xxxxxdx

xdxdx

xx

2

2132

323 231

23

1333

2. La solución de la integral ( )∫ + 2bxadx

, donde a y b son constantes, es:

A. ( ) cbxab

++−1 RTA

B. ( ) cbxa

++21

C. ( ) cbxa

++−

21

D. ( ) cbxaa

++1

Solución:

( ) ( ) cbxab

cb

uduubbdxdu

bxaubxa

dx+

+−

=+−

=⇒⎩⎨⎧

=+=

⇒+

−−∫∫

11 12

3. La solución de la integral ( )dxx

x∫ +

−2242

, es ( ) cxxxD +−=4

2

, en donde para su

adecuada solución se utilizo el método de:

A. Fracciones parciales. B. Identidades trigonométricas. C. Sustitución por cambio de variables. D. Operaciones algebraicas. RTA

Solución:






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( )( )( )

( )( )

cxx

dxxdxdxxdxx

xxdxx

x

+−=

−=−

=+

+−=

+−

∫∫∫∫∫

4

21

22

2222

224

2

2

4. La solución de la siguiente integral indefinida ∫ ++ dx

xx

12

, es:

A. cxx +++ 1ln RTA B. cx ++1log C. cx ++1ln D. cx +

Solución:

cxxxdxdx

dxxxx

xdxxx

+++=+

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⇒

++=

++

⇒++

∫∫

∫∫

1ln1

111

111

12

12

5. Calcule la siguiente integral indefinida ( )∫ + dxxa 3, donde a se considera una

constante.

A. ( ) cxa ++ 4

B. ( ) cxa+

−2

4

C. ( ) cxa+

+4

4

RTA

D. ( ) cxa+

+2

Solución:

( ) ( ) cxacuduudxdu

xaudxxa +

+=+=⇒

⎩⎨⎧

=+=

⇒+ ∫∫ 44

4433






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6. Calcule la siguiente integral indefinida, ( )

∫+ 3

1bxa

dx donde a y b se consideran

constantes.

A. ( ) cbxa ++ 32

B. ( ) cbxab

++ 32

23 RTA

C. ( ) cbxaa

++ 32

23

D. ( ) 321

32

cbxa ++

Solución:

( )

( ) cbxab

cubb

duubdudu

bxaudx

bxa

dx

++=

+⋅=⇒⎩⎨⎧

=+=

⇒+

∫∫−

32

32

32

31

31

23

1

7. Al solucionar la siguiente integral indefinida ( ) dxn

∫ − 00 32 se obtiene: A. 0 . B. k . RTA C. k+0 . D. kn + .

Solución:

( ) kdxdx nn==− ∫∫ 032 00

8. Al resolver de forma adecuada la siguiente integral ( )( ) ( )[ ]∫ dxxCosxSen 33 , el

mejor método de integración a utilizar es: A. Integración directa






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B. Integración por Sustituciones trigonométricas C. Integración por partes. D. Integración por cambio de variable. RTA

Solución:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) cxSenxSen

dxxCosduxSenu

dxxCosxSendxxCosxSen

+==

⎩⎨⎧

==

⇒= ∫∫

3

23

23

21

92

31

333

3333

9. La solución de la siguiente integral indefinida ( ) ( )( ) ( )∫ −

+ dxxCosxSen

xCosxSenes:

A. ( ) cxCos +22 B. ( ) cxSen +22 C. ( ) ( ) cxCosxSen +−2 RTA D. ( ) cxTan +22

Solución:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) cxCosxSenxCosxSen

duxCosxSenu

dxxCosxSenduxCosxSenu

dxxCosxSen

xCosxSen

+−=+

⋅+=

⎩⎨⎧

+=−=

=⇒−+

∫

∫−

221

10. La solución a la siguiente integral ( ) ( )

( )∫ −dx

xxxsen

2cos1cos

es :

A. ( ) cxCos + B. ( ) cxTan + C. ( ) cxSec + D. ( ) cxSen + RTA






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Solución:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) cxSendxxCos

dxxsen

xxsendxxSen

xxsendxxxxsen

+==

==−

∫

∫∫∫coscos

cos1cos

22

Dada una función ( )xf de una variable real x y un intervalo [ ]ba , la integral

definida es igual al área encerrada entre las graficas de ( )xf , el eje de las abscisas y las líneas verticales ax = y bx = Solucione las preguntas del 11 hasta el 15 las cuales se refieren a integrales definidas

11. La solución de la integral definida ( )dxkxb

a∫ + , siendo k una constante, es:

A. ( )abkab−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2

22.

B. ( )abkab−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

22

22

.RTA

C. ( ) ( )abkab +++ 22 . D. ( ) ( )abkab −+− 2 . Solución:

( ) ( )abkabkxxdxkxdxdxkxb

a

b

a

b

a

b

a

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+=+=+ ∫∫∫ 222

222

12. La solución de la siguiente integral definida ( )dxxSen∫π

π 2/ es.

A. 0 B. 2 C. 1 RTA D. 1−






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Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) 10122/

0

=−−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=−=∫πππ

π

π

CosCosxCosdxxSen

13. La solución de la siguiente integral definida ( )∫2

2

2/52/32 dxx es

A. 0 RTA B. 1 C. Infinito. D. 5 Solución:

Por propiedad de la integral definida ( ) 0=∫b

adxxf , para ba =

14. La siguiente expresión ( )∫−b

adxxf

ab1

define :

A. Teorema de simetría. B. Teorema del valor medio. RTA C. Primer teorema fundamental del cálculo. D. Segundo teorema fundamental del cálculo.

Solución: Teorema del valor medio.

( ) ( ) ( )∫∑ −=Δ

−=

=→∞

b

a

n

iin

dxxfab

xxfab

xf 11lim1

15. La solución de la siguiente integral definida dxx

xx∫− −

−+0

10

2

7703

es:

A. 50 RTA B. 0 C. 150 D. 25 Solución:






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( ) ( ) ( ) 5010*1021010

210

7703 220

10

0

10

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−−=+=+=

−−+

∫∫−−

xxdxxdxx

xx

Las integrales tienen múltiples aplicaciones para solucionar problemas en diversos campos de las ciencias y la tecnología, partiendo del análisis de graficas (área bajo curvas, longitud de curva), los volúmenes de sólidos de revolución, las aplicaciones en la solución de problemas prácticos de la física y la economía. Solucione las preguntas del 16 hasta el 22 las cuales se refieren a las aplicaciones de las integrales 16. Calcule el área total bajo la curva de la siguiente función 33 23 +−−= xxxy ,

con respecto al eje x , tomando como intervalo el origen y el primer punto de intersección de la función y el eje x positivo.

A. 47

Unidades Cuadradas RTA

B. 97

C. 129

D. 2721

Solución: Se calculan las intersecciones con el eje x, Factorizando el polemonio se obtienen

( )( )( )13133 23 ++−=+−− xxxxxx por lo tanto se observa que las intersecciones son en los puntos 1=x , 3=x y 1−=x , pero como -1 y 3 está en la fuera del rango de integración, se deja por fuera de la integral.

( )473

23

433

1

0

23

41

0

23 =+−−=+−−= ∫ xxxdxxxxA






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17. Las estadísticas del DANE indican que t meses después del principio de año el

precio del arroz estaba dado por la función ( )43

916 2

+−

=t

ttP Dólares por kilo. El

precio medio del kilo de arroz, durante los dos primeros meses fue de:

A. 0.2 Dólares. B. 0.4 Dolares. C. 0.3 Dólares. D. 0.1 Dólares. RTA

Solución:

( ) 12268

23434

43916

0211 2

0

22

0

2

==−=−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−=

−= ∫∫

tttdtt

tdxxfab

VMb

a






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18. La longitud de la línea generada por ( )1

633 2

+−−

=x

xxxf entre 2=x y

4=x , es:

A. 102 RTA

B. 220

C. 402

D. 4024

Solución:

( ) ( )( )

( ) 3

631

123

=′

−=+

+−=

xf

xx

xxxf

10210.210.410914

2

4

2

=−==+= ∫ xdxL

19. De un tambor cilíndrico se han desenrollado 50 metro de cable que pesa 3

Kilopondios (Kilogramo-Fuerza) por metro. El trabajo realizado por la fuerza de la gravedad ( )2/8.9 sm , para desenrollar 250 metros más, es:

A. mkp ⋅ 153245 B. mkp ⋅ 176458 C. mkp ⋅ 125798 D. mkp ⋅ 131250 RTA

Solución: Sea Longitudx = desenrollada en un momento dado, entonces ( ) xxF 3=






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( ) ( ) mkpW

xxdxW

⋅=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⇒

==⇒ ∫

13125037501350005023300

23

233

22

300

50

2300

50

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA De la pregunta 20 a 22, constan de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:

Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.

20. El área entre las siguientes funciones ( ) 26 xxxf −= y ( ) ( )xxxg 22 −= y

las coordenadas de un punto de corte, son:

1. 3

64 Unidades Cuadradas RTA

2. [ ]8,4 RTA 3. 34.21 Unidades Cuadradas 4. [ ]1,0

Solución: El área es: Los puntos de corte se hallan igualando las dos funciones

xxxxxxx =⇒=⇒−=− 42826 222 , siendo este el punto de corte entre las dos funciones, ambas funciones se interceptan en el origen.






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( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3333.213

12864

032044

3244

324

282826

32324

0

32

24

0

24

0

22

=−=

−−−=−=

−=−=−−−= ∫∫∫∫

A

xxA

dxxxdxdxxxdxxxxxA

21. En electrónica, se entiende por voltaje RMS al valor de la señal alterna (AC –

Corriente Alterna) que disipa la misma potencia en la misma carga que en la señal directa (DC – Corriente directa); teniendo que la ecuación para hallar el valor RMS

de una señal es ( )[ ]∫=T

RMS dwtwtfT

V0

21. De acuerdo con la información

anterior el valor RMS de la grafica y el punto de corte con el eje x, son:

1. 2p

RMS

VV = RTA

2. pRMS VV =

3. [ ]0,π RTA






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4. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 0,

2π

Solución:

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ]

221

42

0241

22

221

221

2221

11

2

0

2

0

2

0

2

0

22

2

0

2

0

2

VpVpVpV

VpwtSenwtVPV

wtdwtCoswtdT

VpV

wtdwtCosT

VpV

wtdwtVpSenT

wtdwtfT

V

RMS

RMS

RMS

RMS

T

RMS

===

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=

==

∫∫

∫

∫∫

ππ

πππ

ππ

ππ

π

π

π

22. Las funciones oferta y demanda están dadas por ( ) 2xxS = , ( ) 12+−= xxD respectivamente. El excedente del consumidor (EC) y el excedente del productor (EP) en el punto de equilibrio, son: 1. 5.4=EC 2. 27=EP 3. 5.4=EC RTA 4. 18=EP RTA






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93

01212

2

2

==

=−+

+−=

yx

xxxx

( ) 5.427365.4122

9*3123

0

23

0

=−+−=+−

=−+−= ∫ xxdxxEC

( ) 189273

279*33

0

33

0

2 =−=−=−= ∫xdxxEP

PREGUNTAS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN

De la pregunta 23 a 25, constan de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de preguntas, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.






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23. La solución a la integral ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

4

0 214 dxx es 20 PORQUE se trata de una integral

definida cuyos límites de integración son 0 y 4 Solución:

Al resolver la integral se tiene: 302

2214

4

0

24

0=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∫

xxdxx

Es decir, la afirmación es falsa, pero la razón es verdadera. Respuesta D

24. Sea ( )xf una función discontinua en un intervalo definido, por consiguiente es integrable en un intervalo cerrado [ ]ba , , sea ( )xP una antiderivada de ( )xf , en

el intervalo dado, entonces ( ) ( ) ( )bPaPdxxfb

a−=∫ PORQUE para que se

cumpla el segundo teorema fundamental del cálculo, la función ( )xf tiene que ser

continua en un intervalo definido y cumplir que ( ) ( ) ( )aPbPdxxfb

a−=∫

Solución: La afirmación es falsa, pero la razón es verdadera. Respuesta D Sea ( )xf una continua en un o intervalo definido, por consiguiente es integrable en un intervalo cerrado [ ]ba , , sea ( )xP una antiderivada de ( )xf , en el

intervalo dado, entonces ( ) ( ) ( )aPbPdxxfb

a−=∫ .

25. En un salón de clases de la UNAD, el tutor plantea la siguiente integral indefinida

( )∫ +− dx

xx

311

, la cual es desarrollada por un estudiante con el siguiente

procedimiento:






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( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )c

xxxxdx

xx

dxxxdx

xdx

xx

dxx

xdxx

xdxxx

++

++−

=−+

−−+

=+−

++

−+

=+−

++−

=+

−+−=

+−

−−

∫

∫∫∫

∫∫∫

11

121

11

21

11

11

12

11

112

1111

11

2

12

3

233

333

La solución planteada por el estudiante al ejercicio del tablero es incorrecta PORQUE el procedimiento desarrollado por el mismo estudiante es claro y conciso, llegando a la respuesta correcta.

Solución: La afirmación es verdadera pero la razón es falsa. Respuesta C

1

1

−==+=

uxdxdu

xu

( ) ( ) 233

33 22211 −−− −=−=−

=+−

∫ uuuuu

uuu

kuu

uu++

−=

−−

−

−− 1112

22

12

Formulario:

Integral básica: ( )

( ) kn

axdxaxn

n ++

=+

∫ 1

1

con 1−≠n

Área entre dos funciones: ( ) ( )[ ]∫ −=b

a

dxxgxfA






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Volumen de un sólido entre dos funciones:

( )[ ] ( )[ ]{ }∫ −=b

a

dxxgxfV 22π

Longitud de línea: ( )[ ]∫ ′+=b

a

dxxfL 21

Excedente del consumidor (EC): ( )∫ −=Q

QPdxxDEC0

Excedente del productor (EP): ( )∫−=Q

dxxSQPEP0

Identidad trigonométrica: ( ) ( )2

2cos12 xxsen −=

Valor promedio: ( )∫−=

b

a

dxxfab

VM 1

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