Colegio de bachilleres de Chiapas Plantel 09 playas de catazaja Alumno: roco Elizabeth zenteno Gonzlez Materia: calculo integral Grado: 6 Grupo: c Turno: matutino Actividad: investigacin Fecha: 17/06/11 ndice 1.EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO Y SUS APLICACIONES..3 2.INTEGRACION APROXIMADAS: REGLAS TRAPECIAL Y REGLA DE SIMPSOM4 3.AREA Y AREA ENTRE DOS GRAFICAS.5 4.DETERMINACION DE VOLUMENES POR ELEMENTO DE SECCION.6 5.SOLIDOS DE REVOLUCION...7 6.SUPERFICIE DE REVOLUCION.....8 7.APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA..9 8.LONGITUD DE ARCO..10 9.VALOR MEDIO DE UNA FUNCION Y TEOREMA DE VALOR MEDIO.11 10.MOVIMIENTOS RECTILINIO..12 11.TRABAJO MECANICO.13 12.PRESION HIDROSTATICA.14 13.CENTRO DE MASA DE UNA VARILLA ..15 14.CENTROIDE DE UNA REGION PLANA...16 15.RESPUESTA CARDIACA17 16.SUPERAVIT DEL CONSUMIDOR Y DEL PRODUCTOR..18 INTRODUCCION Veremos como el teorema es fundamental porque hasta entonces el clculo aproximado de reas -integrales- en el que se vena trabajando desde Arqumedes era una rama de las matemticas que se segua por separado al clculo diferencial que se vena desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow Gottfried Leibniz en el siglo XVIIIy dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar reas y volmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "rea bajo una funcin" estaba ntimamente vinculado al clculo diferencial, resultando la integracin, la operacin inversa a la derivacin. Se denomina slido de revolucin, al slido obtenido al rotar una regin del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje de revolucin. 3.1teorema s fundamental de clculoy sus aplicaciones El teorema fundamental del clculo consiste (intuitivamente) en la afirmacin de que la derivacin e integracin de una funcin son operaciones inversas. Esto significa que toda funcin continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemticas denominada de anlisis declculo. El teorema es fundamental porque hasta entonces el clculo aproximado de reas -integrales- en el que se vena trabajando desde Arqumedes era una rama de las matemticas que se segua por separado al clculo diferencial que se vena desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow Gottfried Leibniz en el siglo XVIIIy dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar reas y volmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "rea bajo una funcin" estaba ntimamente vinculado al clculo diferencial, resultando la integracin, la operacin inversa a la derivacin. Primer teorema fundamental del clculo Dada una funcin f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por. Si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c). Consecuencia directa del primer teorema fundamental del clculo infinitesimal es: Siendo f(t) una funcin integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables Sea [[f]] integrable sobre [a, b] y Entonces Por definicin se tiene que . Sea h>0. Entonces . Se define mh y Hm como: Aplicando el 'lema' se observa que , y esto lleva a que Segundo teorema fundamental del clculo Tambin el honor o regla de newton. Dada una funcin f continua en el intervalo[a,b] y sea g cualquier definicin primitiva de f, es decir g'(x)=f(x) para todo, entonces: Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas. Demostracin Sea . Tenemos por el primer teorema fundamental del clculo que: . Por lo tanto, tal que. Observamos que y de eso se sigue que; por lo tanto, . Y en particular si x = b tenemos que: Ejemplos 3.1.2 INTEGRACIN APROXIMADA: REGLA TRAPECIAL Y REGLA DE SIMPSON. 1- INTEGRACIN APROXIMADAElmtodomssimpleeintuitivodeintegracinaproximadaeselmtododelos trapecios, En el que se sustituye la funcin o la curva por varias cuerdas que unen los extremos de las Ordenadas (tambin se puede decir que se sustituye en cada tramo por un polinomio de primer *Grado). Es evidente que se conseguir mayor precisin en la medida en que tengamos un nmero Mayor de ordenadas y por consiguiente de cuerdas, pues la adaptacin de las cuerdas a la funcin Mejora, El procedimiento de clculo consiste en hallar el rea de los distintos trapecios entre Ordenadasconsecutivasysumarlostodos.Aqupartimosdequelaseparacinentre ordenadas Consecutivas es siempre la misma, o sea, igual a alfa El trapecio entre y0 e y1 tendr el rea: * reaalfa yy y el siguiente trapecio: rea alfa: Y as sucesivamente, con lo que sacando factor comn y arreglando los coeficientes nos queda: rea alfa T Otro mtodo es el de Simpson. Aqu en vez de cuerdas, sustituimos la funcin por un Polinomio de segundo grado (funcin cuadrtica). Al ser una curva suave su adaptacin ser mejor Queenelmtodoanterior.Puestoqueaplicamosunafuncindesegundogrado, podemos integrar Esta funcin y buscar un sistema para que partiendo de las ordenadas y del intervalo de separacin, Podamos calcular el rea. Veamos la primera regla de Simpson La funcin es Y = ax 2 + bx + c Integramos para determinar el rea: = + 2( 0 rea f (x) dx rea = + ydx 2( 0 = + ( + + ) 2( 0 rea ax2 bx c dx 2( 0 3 2 2 3 ( rea = ax + bx + cx ( ) ( ) ( ( 2( 2 2 3 2 3 2 rea = a + b + c rea a( b( 2c( 2 4 3 8 3 2 = + + Sacamos factor comn ( / 3 rea (8a 6b 6c) 3 =( ( 2 + ( + Pero tambin podemos poner: Y = ax + bx + c 0 2 0 0 que al ser 0 0 x = c 2 Si tomamos0 1 2 1yyy tenemos: Ca 2b ca 2b c Que equivale a: 8a 2b c Vemos que se puede sustituir: 0 1 2 4 3 reayyy Ahora pongamos ordenadas de un rea anexa Si aplicamos lo anterior a las ordenadas siguientes, al sumar todo tendremos: 0 1 2 2 3 4 4 3 4 3 rea y y y TOTAL 0 1 2 3 4 4 2 4 3 rea y y y y y TOTAL-I) Universidad de Cantabria Fndanme Regla trapecial y de simpson

REGLA DE SIMPSON La funcin f(x) (azul) es aproximada por una funcin cuadrtica P(x) (rojo). En anlisis numrico, la regla o mtodo de Simpson (nombrada as en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un mtodo de integracin numrica que se utiliza para obtener la aproximacin de la integral: . Derivacin de la regla deSimpson Consideramos el polinomio interpelante de orden dos P2(x), que aproxima a la funcin integrando f(x) entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresin de ese polinomio interpelante, expresado a travs de la Interpolacin polinmica de LaGrange es: As, la integral buscada se puede aproximar como:

REA Y REA ENTRE DOS GRAFICAS Ejemplos DETERMINACIN DE VOLMENES POR ELEMENTOS DE DOS SESIONES Se denomina slido de revolucin, al slido obtenido al rotar una regin del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje de revolucin. Sea f una funcin continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la regin R indicada en la figura rota alrededor del eje X, est genera un slido de revolucin cuyo volumen tratamos de determinar. Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos El volumen de los slidos generados por revolucin alrededor de los ejes cartesianos se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadrticas. Rotacin paralela al eje de abscisas (eje x) El volumen de un slido generado por el giro de un rea comprendida entre dos grficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresin y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente frmula genrica En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del slido de revolucin viene generado por la frmula: Mtodo de discos. Rotacin paralela al eje de ordenadas (Eje y) ste es otro mtodo que permite la obtencin de volmenes de slidos generados por el giro de un rea comprendida entre dos grficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolucin paralelo al eje de ordenadas cuya expresin es x=K siendo K constante. La frmula general del volumen de estos slidos es: Esta frmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del slido de revolucin viene generado por: 3.2APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA Longitud de arcos En matemtica, la longitud de arco, tambin llamada rectificacin de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensin lineal. Histricamente, ha sido difcil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios mtodos para curvas especficas, la llegada del clculo trajo consigo la frmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Al considerar una curva definida por una funciny su respectiva derivada que son continas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuacin: (1) En el caso de una curva definida para mtricamente mediante dos funciones dependientes de t comoe, la longitud del arco desde el punto hasta el puntose calcula mediante: (2) Si la funcin esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ngulo polar estn relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo, toma la forma: (3) * VALOR MEDIO DE UNA FUNCIN En clculo diferencial, el teorema de valor medio (de LaGrange), tambin llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-LaGrange o teora del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemticos consideran que este teorema es el ms importante de clculo (ver tambin el teorema fundamental del clculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemticos; ms bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial. Demostracin Dado que la funcin f es continua en [a,b], posee un valor mximo en dicho intervalo para algn, que llamaremos M = f(V) y tambin un valor mnimo en el mismo intervalo: m = f(v), para algn. Es decir y. Si consideramos las reas de los rectngulos con base b a y altura M m tendremos la siguiente desigualdad: Lo que implica: De donde se deduce que debe existir algnpara el cual la funcin f alcanza el valor de la integral, es decir: El teorema no especifica como determinar , pero resulta que f() coincide con el valor medio (promedio) de la funcin f en el intervalo [a,b]. Se denomina movimiento rectilneo, aqul cuya trayectoria es una lnea recta. En la recta situamos un origen O, donde estar un observador que medir la posicin del mvil x en el instante t. Las posiciones sern positivas si el mvil est a la derecha del origen y negativas si est a la izquierda del origen. PosicinLa posicin x del mvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una funcin x=f(t). Desplazamiento Supongamos ahora que en el tiempo t, el mvil se encuentra en posicin x, ms tarde, en el instante t' el mvil se encontrar en la posicin x'. Decimos que mvil se ha desplazado Ax=x'-x en el intervalo de tiempo At=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.Velocidad La velocidad media entre los instantes t y t' est definida por Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo At tan pequeo como sea posible, en el lmite cuando At tiende a cero. Pero dicho lmite, es la definicin de derivada de x con respecto del tiempo t. Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio Aceleracin En general, la velocidad de un cuerpo es una funcin del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del mvil es v, y en el instante t' la velocidad del mvil es v'. Se denomina aceleracin media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Av=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, At=t'-t. La aceleracin en el instante t es el lmite de la aceleracin media cuando el intervalo At tiende a cero, que es la definicin de la derivada de v. *TRABAJO MECNICO 1.TRABAJO MECANICO En el campo de la Fsica no se habla de trabajo simplemente, sino de Trabajo Mecnico y se dice que una fuerza realiza trabajo cuando desplaza su punto de aplicacin en su misma direccin. El Trabajo Mecnico se puede designar con la letra T o W. Cuando se levanta un objeto pesado contra la fuerza de gravedad se hace trabajo. Cuanto ms pesado sea el objeto, o cuanto ms alto se levante, mayor ser el trabajo realizado. En todos los casos en los que se realiza un trabajo intervienen dos factores: (1) la aplicacin de una fuerza y (2) el movimiento de un objeto, debido a la accin de dicha fuerza2.TRABAJO MECANICO Si se aplica una fuerza a un cuerpo y ste no sufre desplazamiento alguno (d=0), el trabajo de dicha fuerza es nulo. De modo que si una persona sostiene un objeto muy pesado sin desplazarlo no est realizando trabajo desde el punto de vista de la fsica; es decir, que aunque la persona sude la gota gorda sosteniendo el cuerpo, si no cambia de posicin, fsicamente su trabajo realizado es nulo.3.TRABAJO MECANICO De este modo tenemos que para que exista trabajo debe aplicarse una fuerza mecnica a lo largo de una cierta trayectoria, y se define como el producto escalar de la fuerza aplicada por la distancia recorrida.4.TRABAJO MECANICO donde a es el ngulo que forman la direccin de la fuerza y el desplazamiento. As pues, el trabajo es una magnitud escalar, que alcanza su valor mximo cuando la fuerza se aplica en la direccin y el sentido del movimiento. El trabajo depende del valor de la fuerza, del desplazamiento del cuerpo y de la direccin o ngulo que forme la fuerza aplicada con el desplazamiento. Si la fuerza forma un ngulo comprendido entre 0y 90, el trabajo es positivo y vara desde su valor mximo (0) hasta 0 (90).TRABAJO MECANICO Si el ngulo est comprendido entre 90y 180, el trabajo es negativo y vara entre 0 y el mayor valor negativo. De forma general se puede expresar el trabajo en funcin del ngulo que forma la fuerza con el desplazamiento utilizando la funcin trigonomtrica coseno de un ngulo (cos ): 1b. PRESIN HIDROSTTICA Hemos estudiado la presin atmosfrica, es decir, la presin que ejerce el aire sobreloscuerposqueestnensuinterior,ayudndonosdeunaanimacin paraentender el concepto y calcular su valor a nivel de la superficie terrestre. Ahoravamos aestudiarcomo esla presinen elinteriordeunlquido(agua) siguiendo los mismos pasos realizados en el estudio de la presin atmosfrica, y haremos una generalizacin para todo tipo de fluido.

Supongamos que te sumerges en el agua del mar, la presin queactasobretidependerdelpesodelacolumnade agua que tengas encima, sobre la superficie de tu cuerpo. Si te sumerges hasta 1 tendrs menos presin que en 2 y a su vez que en 3. PULSA(Mueve la burbuja y observa su volumen) La presin hidrosttica es un tipo de presin debida al peso de un fluido en reposo, en este la nica presin existente es la presin hidrosttica, en un fluido en movimiento adems puede aparecer una presin hidrodinmica relacionada con la velocidad del fluido. Un fluido pesa y ejerce presin sobre las paredes, sobre el fondo del recipiente que lo contiene y sobre la superficie de cualquier objeto sumergido en l. Esta presin, llamada presin hidrosttica provoca, en fluidos en reposo, una fuerza perpendicular a las paredes del recipiente o a la superficie del objeto sumergido sin importar la orientacin que adopten las caras. Si el lquido fluyera, las fuerzas resultantes de las presiones ya no seran necesariamente perpendiculares a las superficies. CENTRO DE MASA DE UNA VARILLA Centro de masa de varillas delgadas y alambres (opcional)Momento, masa y centro de masa de una varilla o tira delgada a lo largo del eje x. Supongamos que la masa est distribuida en forma uniforme en toda la longitud. Haciendo una particin del intervaloensu intervalos de longitud , en cada uno de los cuales la masa es, donde, dondela densidad lineal (masa/unidad de longitud). Entonces el momento del sistema es aproximadamentecon lo cual el centro de masaes aproximadamente Si la distribucin de la masa es una funcin continua, tomando el lmite ( como se ha hecho anteriormente en otras aplicaciones ) cuando la norma de la particin tiende a cero *CENTRO DE UNA REGIO PLANA Se conoce como centroide al centro de masa de una regin sin masa en un plano Sea g