Cálculo integral

CAPTULO 5APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDACuando estamos jugando o viendo jugar algn deporte no pensamos en cuestiones de ciencia o de ingeniera. Sin embargo, el diseo de equipamiento deportivo se ha convertido en una empresa muy tcnica, con papel importante de las Matemticas. Una comparacin superficial de la raqueta de tenis de madera de 1980 y la Kevlar de 1990 basta para desvelar el impacto dramtico de la tecnologa en el deporte (vase la fotografa adjunta). Uno de los principales objetivos en el diseo de una raqueta de tenis es crear un punto dulce lo ms extenso posible. Se llama as a la zona de la raqueta que produce un golpe ideal. Para algunos jugadores, ideal significa mxima potencia, para otros vibracin mnima de la raqueta. Ambos conceptos son traducibles en trminos de problemas de ingeniera susceptibles de ser analizados mediante integrales definidas. El diseo de una raqueta de tenis comienza por el estudio de la fsica de la colisin entre la raqueta y la bola. A gran velocidad, una pelota de tenis se aplana casi por completo y las cuerdas de la raqueta se estiran. (Una fotografa notable de este hecho se encuentra en Stretching the Limits, de Lee Torrey, donde tambin se dan ms detalles acerca del punto dulce). La manera en que pelota y cordaje recuperan su forma determina las caractersticas del vuelo resultante de la pelota. Medidas detalladas proporcionan grficas de las fuerzas y desplazamientos de las cuerdas al estirarse y al recuperar su posicin natural (vase figura adjunta). Se observa que la energa perdida por rozamiento es proporcional al rea entre las dos Fuerza curvas. Adems, el giro de la raqueta depende de su centro de masa y de su momento de inercia. Si mencionamos esto aqu es porque el rea entre dos curvas, el centro de masa y el momento de inercia de la raqueta se calcuEstiramiento lan usando integrales definidas. Discutiremos Recuperacin el rea entre curvas en la seccin 5.1 y el centro de masa y los momentos en la seccin 5.6.Compresin

340

Captulo 5

Aplicaciones de la integral definida

La colisin entre una raqueta y una pelota determina la velocidad y el giro de la pelota tras ser golpeada. Estas caractersticas determinan, a su vez, la trayectoria de vuelo de la pelota (si se est acertado, una grcil curva hacia la esquina de la pista). En la seccin 5.4 veremos cmo calcular la longitud de la curva, mientras que el movimiento de un proyectil (la pelota de tenis, por ejemplo) se analiza en la seccin 5.5. La velocidad de la pelota depende de una cantidad llamada impulso, que introduciremos en la seccin 5.6. Este captulo pondr de manifiesto la versatilidad de la integral definida. Aunque ser introducida como un mtodo para calcular el rea bajo una curva, veremos que se utiliza para resolver un espectro muy amplio de situaciones. Las aplicaciones contenidas en este captulo son slo una muestra de las que encuentra en Matemticas, Estadstica, Fsica e Ingeniera. Ya hemos considerado la integral definida desde tres perspectivas: grfica (reas con signo), numrica (aproximacin por sumas de Riemann) y terica (teorema fundamental del Clculo). Debe tener presentes las tres mientras analizamos cada nueva aplicacin, con especial atencin al papel que desempean en la conexin de cada nuevo problema con la integracin. De ese modo se dar cuenta de que el argumento comn a todas esas aplicaciones es la integral definida.

5.1

REA ENTRE CURVAS

Inicialmente, la integral definida se ha introducido, en el Captulo 4, para calcular el rea bajo una curva. En particular, para cualquier funcin f(x) 0 y continua en [a, b], queramos hallar el rea bajo la curva y = f(x) en el intervalo [a, b]. Empezbamos haciendo una partiba cin del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual anchura, x = . Los puntos de la n particin se denotan por x0 = a, x1 = x0 + x, x2 = x1 + x, y as sucesivamente. Es decir. xi = x0 + i x, para i = 0, 1, 2, , n. En cada subintervalo [xi1, xi] construimos un rectngulo de altura f (ci) para algn ci Z [xi1, xi], como indica la figura 5.5. La suma de las reas de esos n rectngulos se tomaba como aproximacin del rea A bajo la curva:Figura 5.1 Aproximacin del rea.n

A;i=1

f(ci) x.

Al tomar ms y ms rectngulos, las sumas de sus reas se iban acercando al valor exacto del rea bajo la curva y ese lmite daba lo que se ha llamado integral definida:n

A = lm

n

f(ci) x =i=1

b

f(x) dx.a

En esta seccin extenderemos esta nocin. Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) g(x) para todo x en [a, b]. Deseamos hallar el rea entre las curvas y = f(x) e y = g(x) en el intervalo [a, b] (figura 5.2). Puesto que no sabemos an cmo calcularla exactamente, vamos a aproximarla usando rectngulos. Como antes, partimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual anchura, x = ba , tomando como puntos de la particin n xi = a + i x, para i = 0, 1, 2, , n.Figura 5.2 rea entre dos curvas.

Ahora sobre cada subintervalo [xi1, xi] construimos un rectngulo desde la curva inferior y = g(x) hasta la curva superior y = f(x) (figura 5.3a). La figura 5.3b indica que el i-simo rectngulo tiene altura hi = f(ci) g(ci), para ciertos ci Z [xi1, xi]. As, pues, el rea del i-simo rectngulo es rea = longitud anchura = hi x = [f(ci) g(ci)] x.

Seccin 5.1

rea entre curvas

341

Figura 5.3a rea aproximada.

Figura 5.3b rea del i-simo rectngulo.

Tomamos la suma de las reas de los rectngulos como aproximacin del valor exacto del rea A entre las dos grficas:n

A;i=1

[f(ci) g(ci)] x.

Finalmente, si existe el lmite para n , dar el rea exacta, lo que identificamos como una integral definida: Nota 1.1La frmula (1.1) slo es vlida si f(x) g(x) en el intervalo [a, b]. En general, el rea entre las grficas de f(x) y g(x) viene dada porb

rea entre dos curvas

n

A = lm

n

[f(ci) g(ci)] x =i=i

b

[f(x) g(x)] dx.a

(1.1)

Ejemplo 1.1

rea entre dos curvas

|f(x) g(x)| dx.a

Calcular el rea acotada por las grficas de y = 3 x e y = x2 9 (figura 5.4).Solucin

Ntese que para calcular esta integral hay que calcular primerod

[f(x) g(x)] dxc

en cada uno de los subintervalos donde f(x) g(x), despusd

La regin, ilustrada en la figura 5.4, viene determinada por la interseccin de dos curvas. Las coordenadas x de los puntos de interseccin sern los lmites de integracin. Para hallarlas, igualamos a cero las dos funciones y resolvemos en x. Se tiene 3 x = x2 9, o sea, 0 = x2 + x 12 = (x 3)(x + 4). As, pues, las curvas se cortan en x = 4 y en x = 3. Ahora hay que ver cul de las grficas es la frontera superior de la regin. En este caso, la curva superior es y = 3 x. Por tanto, para cada valor de x la altura del rectngulo indicado en la figura 5.4 es h(x) = (3 x) (x2 9).

[g(x) f(x)] dxc

en cada uno de los subintervalos donde g(x) f(x) y finalmente sumar esas integrales.

No se preocupe por el hecho de que (x2 9) < 0 en parte del intervalo. La altura de un rectngulo dado sigue siendo h(x). Por (1.1), el rea entre las curvas viene dada por3

A=4 3

[(3 x) (x2 9)] dx (x2 x + 12) = 4

=

x3 x2 + 12x 3 2

3 4

= Figura 5.4 y = 3 x e y = x2 9.

343 33 32 (4)3 (4)2 + 12(3) + 12(4) = . 3 2 3 2 6

342

Captulo 5


A veces, la grfica de una de las funciones es curva superior en parte del intervalo e inferior en otra, como ocurre en el prximo ejemplo. Ejemplo 1.2 rea entre dos curvas que se cruzan

Calcular el rea acotada por las grficas de y = x2 e y = 2 x2 en 0 x 2. Como siempre, una figura ayuda a adoptar la estrategia adecuada. La figura 5.5 muestra que las curvas se cortan en el centro del intervalo, as que ser necesario calcular dos integrales, una en el intervalo donde 2 x2 x2 y otra en el intevalo donde x2 2 x2. Parece que se cortan en x = 1, siendo 2 x2 x2 en 0 x 1 y x2 2 x2 en 1 x 2. Para hallar el punto exacto de corte resolvemos x2 = 2 x2, o sea, 2x2 = 2, o x2 = 1, con soluciones x = 1. Pero x = 1 est fuera del intervalo en cuestin, as que el nico punto de interseccin que nos interesa est en x = 1. Por (1.1), el rea esSolucin1 2

A=0 1

[(2 x2) x2] dx +1 2

[x2 (2 x2)] dx 2x3 31

=0

(2 2x2) dx +1

(2x2 2) dx = 2x 16 4 3

+0

2x3 2x 3

2 1

Figura 5.5 y = x2 e y = 2 x2.

= 2

2 3

(0 0) +

4 2 4 4 2 = + + = 4. 3 3 3 3

En el ejemplo 1.2, aunque 2 x2 < 0 en una parte del intervalo, el clculo del rea depende slo de que 2 x2 x2 o x2 2 x2. Conviene advertir que ese ejemplo estaba preparado para que el punto de interseccin fuera fcil de hallar. En el prximo ejemplo, por el contrario, hay que recurrir a una aproximacin numrica. Un caso en el que los puntos de interseccin no se conocen exactamente

Ejemplo 1.3

Calcular el rea acotada por las grficas de y = cos x e y = x2.Solucin Antes de nada hemos de determinar los puntos de interseccin de las curvas. La figura 5.6 indica que las intersecciones estn cerca de x = 1 y de x = 1. Las intersecciones ocurren donde cos x = x2. No sabemos resolver esta ecuacin, de modo que hay que usar algn mtodo de aproximacin. [Por ejemplo, se puede aplicar el mtodo de Newton a los ceros de la ecuacin f(x) = cos x x2 = 0]. Se obtienen as los valores aproximados x = 0,824132, que sern, por tanto, los lmites de integracin. La grfica muestra que, entre esos dos puntos, cos x x2, as que el rea buscada es

0,824132

A;Figura 5.6 y = cos x e y = x2.0,824132

(cos x x2) dx = sen x

1 3 x 3

0,824132 0,824132

= sen 0,824132 ; 1,09475.

1 1 (0,824132)3 sen (0,824132) (0,824132)3 3 3

Ntese que hemos aproximado tanto los lmites de integracin como el clculo final. Calcular el rea de algunas regiones exige romper la integral en varias, cada una con distintas fronteras superior e inferior.

Seccin 5.1

rea entre curvas

343

Ejemplo 1.4

rea de una regin determinada por tres curvas

Hallar el rea acotada por las grficas de y = x2, y = 2 x e y = 0. La figura 5.7a muestra las tres curvas. La curva superior es la parbola y = x2 en la primera porcin del intervalo y la recta y = 2 x en la segunda. Para determinar entre qu puntos exactamente, hemos de resolver la ecuacinSolucin Figura 5.7a y = x2 e y = 2 x.

2 x = x2,

o sea,

0 = x2 + x 2 = (x + 2)(x 1).

Como x = 2 cae fuera del intervalo, la interseccin buscada ocurre en x = 1. Eso obliga a romper la regin en dos partes (figura 5.7b) y a calcular el rea de cada una por separado. Por tanto, el rea de la regin es1 2

A = A1 + A2 =0

(x2 0) dx +1

[(2 x) 0] dx

=

x3 3

1

+ 2x 0

x2 2

2

=1

5 . 6

Figura 5.7b y = x2 e y = 2 x.

Aunque en el ejemplo 1.4 ha sido fcil romper la regin en varios fragmentos, vamos a sugerir una alternativa sorprendentemente til. Si mira la figura 5.7a, girando la pgina, con el eje x en posicin vertical, ver una nica curva que determina las fronteras superior e inferior. Eso equivale a intercambiar los papeles de x e y, lo cual da la clave para hallar el rea de regiones de este tipo: tratar las fronteras izquierda y derecha de la regin como funciones de y. En general, si f y g son funciones continuas de y, con f(y) g(y) en el intervalo c y d, podemos extender nuestra nocin de rea al rea entre las curvas x = f(y) y x = g(y). En dc este caso, partimos el intervalo [c, d] en n subintervalos de igual anchura, y = (figun ra 5.8a). Denotamos los puntos de la particin por y0 = c, y1 = y0 + y, y2 = y1 + y, etc. Es decir, yi = c + i y, con i = 0, 1, 2, , n. En cada subintervalo [yi1, yi] (con i = 1, 2, , n) construimos un rectngulo de anchura wi = [f(ci) g(ci)], para ciertos ci Z [yi1, yi], como indica la figura 5.8b. El rea del i-simo rectngulo viene dada por rea = longitud anchura = [f(ci) g(ci)] y. El rea total entre las dos curvas puede aproximarse porn

A;i=1

[f(ci) g(ci)] y.

Figura 5.8a rea entre x = g(y) y x = f(y).

Figura 5.8b rea del i-simo rectngulo.

344

Captulo 5


Como otras veces, hallamos el rea exacta como el lmite para n y reconociendo en ese lmite una integral definida. As, se obtienerea entre dos curvasn

A = lm

n

[f(ci) g(ci)] y =i=i

d

[f(y) g(y)] dy.c

(1.2)

Ejemplo 1.5

Clculo de un rea como integral en y

Rehacer el ejemplo 1.4 integrando respecto de y.Solucin

La figura 5.9 muestra el rea limitada por las grficas de y = x2, y = 2 x e y =

0. La frontera izquierda es la grfica de y = x2 y la derecha es la recta y = 2 x, de manera que una sola integral en y ser suficiente. Pero antes hemos de escribir esas dos fronteras como funciones de y. A tal fin, basta despejar x en y = x2. Se obtiene x = y (ntese que slo la mitad derecha de la parbola forma la frontera). Anlogamente, de y = 2 x resulta x = 2 y. Finalmente, estas curvas se cortan cuando y = 2 y. Elevando al cuadrado, vemos que y = (2 y)2 = 4 4y + y2,Figura 5.9 y = x e y = 2 x.2

es decir, 0 = y2 5y + 4 = (y 1)(y 4). As, pues, las curvas se cortan en y = 1 y en y = 4. La figura 5.9 deja claro que y = 1 es la solucin que nos interesa. (A qu corresponde la solucin y = 4?). Segn (1.2), el rea viene dada por1

A=0

[(2 y) y] dy = 2y

1 2 2 3/2 y y 2 3

1

=20

1 2 5 = . 2 3 6

Ejemplo 1.6

rea de una regin acotada por funciones de y

Calcular el rea acotada por las grficas de x = y2 y x = 2 y2. La figura 5.10 muestra las dos parbolas, una abierta hacia la izquierda y la otra hacia la derecha. Integrar en x exigira romper en dos la regin y hallar por separado las ecuaciones de las fronteras superior e inferior, as que es ms fcil integrar en y. Para ello hemos de hallar las intersecciones de las dos curvas. Ocurren cuando y2 = 2 y2, o sea, y2 = 1, de modo que y = 1. En el intervalo [1, 1] es 2 y2 y2 (la curva x = 2 y2 est a la derecha de la curva x = y2). Por tanto, segn (1.2), el rea esSolucin1 1

A=1

[(2 y2) y2] dy =1

(2 2y2) dy 2 3 2 3 8 . 3

Figura 5.10 x=y yx=2y.2 2

= 2y

2 3 y 3

1

= 21

2 +

=

Al golpear una pelota de tenis con una raqueta, la pelota cambia de forma: primero se comprime y despus se expande. Sea x la compresin de la pelota, con 0 x m, y sea f(x) la fuerza ejercida por la raqueta sobre la pelota. La energa transferida es proporcional al

Seccin 5.1

rea entre curvas

345

rea bajo la curva y = f(x). Supongamos que fc(x) es la fuerza durante la compresin y fe(x) la fuerza durante la expansin. La energa es transferida a la pelota durante la compresin y transferida por la pelota durante la expansin, de modo que la energa perdida por la pelota m en la colisin (debido al rozamiento) es proporcional a 0 [fc(x) fe(x)] dx. Por tanto, el porcentaje de energa perdida en la colisin viene dado por 100

0 [fc(x) fe(x)] dx 0 fc(x) dxm

m

Ejemplo 1.7

Estimacin de la energa perdida por una pelota

x (pulg.) fc(x) (libras) fe(x) (libras)

0,0 0 0

0,1 25 23

0,2 0,3 50 46 90 78

0,4 160 160

Se han efectuado medidas en varios golpes de tenis con los resultados de la tabla. Estimar el porcentaje de energa perdida por la pelota en la colisin con la raqueta. Solucin La figura 5.11 muestra los puntos correspondientes a esos datos conectados por segmentos rectos. Necesitamos estimar el rea entre las dos curvas y el rea bajo la curva superior. Como no tenemos una frmula para ninguna de las dos funciones, tenemos que recurrir a un mto0,4 do numrico. Con el mtodo de Simpson aplicado a 0 fc(x) dx, obtenemos0,4

fc(x) dx ;0

0,1 [0 + 4(25) + 2(50) + 4(90) + 160] = 24. 3

Figura 5.11 Fuerza ejercida sobre una pelota de tenis.

x fc(x) fe(x)0,4

0,0 0

0,1 2

0,2 0,3 4 12

0,4 0

Con el fin de aproximar 0 [fc(x) fe(x)] dx, por el mtodo de Simpson, necesitamos una tabla de valores de fc(x) fe(x). Restando, vemos que de donde deducimos, por la regla de Simpson.0,4

[fc(x) fe(x)] dx ;0

6,4 0,1 [0 + 4(2) + 2(4) + 4(12) + 0] = . 3 3

As, pues, el porcentaje de energa perdido es

100(6,4/3) = 8,9%. Con ms de un 90% de su 24 energa retenida tras la colisin, es una pelota muy viva.

346

Captulo 5


EJERCICIOS 5.11. Supongamos que las funciones f y g satisfacen f(x) g(x) 0 en todo x del intervalo [a, b]. Explicar, en trminos de las reas A1 = b f(x) dx y A2 = b g(x) dx, por qu el rea entre las a a curvas y = f(x) e y = g(x) viene dada por b | f(x) g(x)| dx.a

En los ejercicios 27-34, hacer un esbozo de la regin acotada por las curvas dadas y calcular su rea. Elegir la variable independiente que permita expresar el rea mediante una nica integral. 27. 28. 29. 31. 33. 34. 35. y = x, y = 2 x, y = 0 y = 2x(x > 0), y = 3 x2, x = 0 y = 3y, x = 2 + y2 x = y, x = y, x = 1 y = x, y = 2, y = 6 x, y = 0 x = y2, x = 4 El valor medio de una funcin f (x) en el intervalo [a, b] es b 1 A= f(x) dx. Calcular el valor medio de f(x) = x2 en ba a [0, 3] y probar que el rea comprendida entre y = A e y = f(x) es igual al rea comprendida entre y = A y el eje x. Demostrar que el resultado del ejercicio 35 es siempre cierto, probando que b [f(x) A] dx = 0.a

2.

Supongamos que las funciones f y g satisfacen f(x) g(x) 0 en todo x del intervalo [a, b]. Explicar, en trminos de las reas A1 = b f(x) dx y A2 = b g(x) dx, por qu el rea entre las a a curvas y = f(x) e y = g(x) viene dada por b | f(x) g(x)| dx.a

30. 32.

x = y2, x = 1 y = x, y = x, y = 2

3.

Las velocidades de dos automviles A y B son vA(t) y vB(t) mph, respectivamente. Si vA(t) vB(t) para todo t, vA(0) = vB(0), y la carrera transcurre entre t = 0 y t = 2 horas, expli2 car por qu A ganar con una ventaja de 0 [vA(t) vB(t)] dt millas. Las velocidades de dos automviles A y B son vA(t) y vB(t) mph, respectivamente. Si vA(t) vB(t) en 0 t 0,5 y 1,1 t 1,6, mientras que vB(t) vA(t) en 0,5 t 1,1 y en 2 1,6 t 2, describir la diferencia entre 0 |vA(t) vB(t)| dt y 2 0 [vA(t) vB(t)] dt. Qu integral dice quin es el ganador?

4.

En los ejercicios 5-12, calcular el rea entre las curvas en el intervalo que se especifica. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. y = x3, y = x2 1, 1 x 3 y = cos x, y = x2 + 2, 0 x 2 y = ex, y = x 1, 2 x 0 y = ex, y = x2, 1 x 4 y = x2 1, y = 1 x, 0 x 2 y = x2 3, y = x 1, 0 x 3 y = x3 1, y = 1 x, 2 x 2 y = x4 + x 2, y = x 1, 2 x 2

36.

37.

El consumo de petrleo en Estados Unidos en los aos 19701974 sigui el modelo f(t) = 16,1e0,07t (millones de barriles anuales), donde t = 0 corresponde a 1970. A causa de la crisis de 1974, el consumo cambi al modelo g(t) = 21,3e0,04(t4), t 4. Probar que f(4) ; g(4) y explicar qu representa este nmero. Calcular el rea entre f(t) y g(t) en 4 t 10. Usar este nmero para estimar el nmero de barriles ahorrados por la reduccin de consumo entre 1974 y 1980.

En los ejercicios 13-20, hacer un esbozo de la regin determinada por las intersecciones de las curvas y calcular su rea. 13. 15. 17. 19. y = x2 1, y = 7 x2 y = x2 + 1, y = 3x 1 y = x3, y = 3x + 2 y = x3, y = x2 14. 16. 18. 20. y = x2 1, y =1 2

x2

y = x2 x 4, y = x + 4 y = x3 2x2, y = x2 y = x, y = x2 38. Supongamos que el consumo de madera en un pas sigue el modelo 76e0,03t m3/ao y el crecimiento de rboles nuevos produce 50 6e0,09t m3/ao. Calcular e interpretar el rea entre las curvas en 0 t 10. En una poblacin hay b(t) = 2e0,04t millones de nacimientos al ao y d(t) = 2e0,02t millones de defunciones. Probar que b(t) d(t) para t 0 y explicar por qu el rea entre las dos curvas representa el incremento de la poblacin. Calcular ese incremento en el perodo 0 t 10.

En los ejercicios 21-26, esbozar y estimar el rea de la regin determinada por las intersecciones de las curvas. 21. 23. 25. y = ex, y = 1 x2 y = sen x, y = x2 y = x4, y = 2 + x 22. 24. 26. y = x4, y = 1 x y = cos x, y = x4 y = ln x, y = x2 2 39.

Seccin 5.2 40. En una poblacin hay b(t) = 2e0,04t millones de nacimientos al ao y d(t) = 3e0,02t millones de defunciones. Hallar la interseccin T de las curvas (T > 0). Interpretar el rea entre las curvas en 0 t T y en T t 30. Calcular el cambio neto de poblacin en 0 t 30.

Volumen

347

x (mm) fs(x) (N) fr(x) (N)

0 0 0

2,0 300 150

4,0

6,0

8,0

1.000 1.800 3.500 700 1.300 3.500

41. De forma anloga a la compresin y expansin de una pelota de tenis, la fuerza ejercida por un tendn como funcin de su extensin determina la prdida de energa. Sean x la extensin, fs(x) la fuerza durante la extensin y fr(x) la fuerza durante la distensin del tendn. Los datos de la tabla corresponden al tendn posterior de un ualab (vase el libro Exploring Biomechanics, de Alexander): x (mm) fs(x) (N) fr(x) (N) 0 0 0 0,75 110 100 1,5 250 230 2,25 450 410 3,0 700 700

Usando la regla de Simpson, estimar la proporcin de energa devuelta por el arco. 43. Las velocidades de dos objetos que caen por efecto de la gravedad vienen dadas por f(t) = 40 32t pies/s y g(t) = 30 32t pies/s. Si los dos objetos parten de la misma altura en t = 0, calcular e interpretar el rea entre las curvas para 0 t 10. Las velocidades de dos atletas vienen dadas por f(t) = 10 mph y g(t) = 10 sen t mph. Evaluar e interpretar las integrales 2 0 [f(t) g(t)] dt y 0 [f(t) g(t)] dt. Las velocidades de dos automviles A y B vienen dadas por f(t) = 40(1 et) mph y g(t) = 20t mph, respectivamente. Ambos arrancan en t = 0 desde el mismo lugar. Estimar (a) la mxima ventaja de A, (b) el instante en que B le alcanza. Ya est en disposicin de calcular reas de regiones planas simples. Para una regin general acotada a la izquierda por una funcin x = i(y), a la derecha por x = d(y), arriba por una funcin y = t(x) y por abajo por y = b(x), escribir el rea como suma de integrales. (Ayuda: Divida la regin en subregiones cuyas reas se puedan expresar como integral de i(y) d(y) o de t(x) b(x)).

44.

45.

Usando la regla de Simpson, estimar la proporcin de energa devuelta por el tendn. 42. El arco del pie humano acta como un muelle al caminar o al saltar, almacenando energa cuando el pie se estira (cuando el arco se pone plano) y devolvindola cuando el pie se distiende. En los datos, x es el desplazamiento vertical del arco, fs(x) la fuerza durante la extensin y fr(x) la fuerza durante la distensin (vase el libro Exploring Biomechanics, de Alexander): 46.

5.2

VOLUMEN

A lo largo de este captulo tendremos ocasin de comprobar la sorprendente versatilidad de la integral. En la seccin 5.1 se ha utilizado para calcular el rea una medida del tamao de una regin bidimensional. En esta seccin, las usaremos para calcular el volumen una medida del tamao de las regiones tridimensionales. Empezamos con un problema sencillo. Una piscina tiene su parte superior rectangular, de 50 por 15 metros. Si orientamos los ejes como indica la figura 5.12, la superficie superior de la piscina viene dada por y = 0. Su 1 fondo tiene por ecuacin y = (x4 67x3) 3. (Ntese que la profundidad en un 165.000 punto es y). Calcular el volumen de agua necesario para llenar la piscina hasta el nivel y = 0.

Figura 5.12 Vista lateral de una piscina.

348

Captulo 5


Notas histricas

Antes una pregunta previa: de qu slidos sabe calcular el volumen en este momento? Tal vez su respuesta sea: caja rectangular (V = longitud anchura altura), esfera (V = 4 r3) 3 y cilindro circular recto (V = r2h). En cierto sentido, el primero y el tercero son del mismo tipo: cilindros. En efecto, un cilindro es cualquier slido cuyas secciones (perpendiculares a alguna recta fija) son idnticas. As, pues, la caja rectangular es un cilindro con secciones rectangulares. Es interesante advertir la conexin entre las frmulas de esos dos tipos de cilindros. El volumen de un cilindro circular recto es V= Y el de la caja V = longitud anchura altura (r2)rea de la seccin

h .altura

Arqumedes (ca. 287-212 a.C.). Matemtico y cientfico griego, fue el primero en deducir frmulas para reas y volmenes. Arqumedes es famoso por haber descubierto las leyes fundamentales de la Hidrosttica (el clebre Eureka! y su salida precipitada de la baera para compartir, a voz en grito, su descubrimiento por las calles) y las palancas (Dadme un punto de apoyo y mover la Tierra). Ingeniero de inventiva admirable, sus catapultas, gras y espejos aterrorizaron a un masivo ejrcito romano cuando intent la conquista de Siracusa, su ciudad natal. El da en que el asedio romano concluy, a los tres aos, Arqumedes se hallaba estudiando unos dibujos geomtricos trazados sobre la arena. Un soldado romano intent arrestarlo. Las ltimas palabras de Arqumedes fueron: No destruyas mis crculos.

rea de la seccin

En general, el volumen de cualquier cilindro se calcula as: V = (rea de la seccin) (altura). En la figura 5.12 vemos que la piscina es tambin un cilindro, ya que todas las secciones perpendiculares al eje x son idnticas. Por tanto, su volumen es el producto del rea (constante) de una de sus secciones por la anchura (15 metros). El rea de la seccin es la 1 (x4 67x3) 3. Por (1.1), comprendida entre las curvas y = 0 e y = 165.00050

A=0

0

1 (x4 67x3) 3 165.000

dx

y, en consecuencia, el volumen V viene dado por V = rea 15 = 15 =50 0

1 (x4 67x3) 3 dx 165.00050 0

1 67 x5 + x4 + 45x 55.000 44.000

6.085 m3

Volumen por rodajas (o rebanadas)Si el rea de la seccin o la anchura de un slido no son constantes, tenemos que modificar nuestro mtodo. Por ejemplo, consideremos una piscina en forma de reloj de arena (figura 5.13). Salvo que su profundidad sea constante, la piscina no es un cilindro, as que no sabemos hallar su volumen. Adoptaremos, por tanto, la estrategia que ya hemos utilizado otras veces: aproximar el volumen y mejorar despus esas aproximaciones. Dado un slido que se extiende desde x = a hasta x = b, con secciones de rea A(x), ba . tomamos una particin del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual anchura, x = n Como de costumbre, denotamos x = a, x = a + x, y as sucesivamente, es decir,0 1

xi = a + i x, con i = 0, 1, 2, , n. Ahora dividimos el slido en rodajas perpendiculares al eje x cortando por cada uno de los (n 1) puntos x1, x2, , xn1 (figura 5.14a). Necesitamos aproximar el volumen de cada rodaja. Si las rodajas son finas, el rea de sus secciones es casi constante. De hecho, la rodaja entre xi1 y xi es casi un cilindro (figura 5.14b). As que si ci denota cualquier punto del intervalo [xi1, xi], el rea de cada seccin en ese intervalo es aproximadamente A(ci).

Figura 5.13 Piscina (vista desde arriba).

Seccin 5.2 i-sima rebanada

Volumen

349

i-simo cilindro aproximadamente

Figura 5.14a Slido en rebanadas.

Figura 5.14b i-sima rebanada.

Figura 5.14a i-simo cilindro aproximante.

Por tanto, podemos aproximar el volumen Vi de la i-sima rodaja por el de un cilindro de rea de seccin constante A(ci) en el intervalo [xi1, xi] (figura 5.14c): Vi ; A(ci)rea de la seccin

x,anchura

Nota 2.1Seguiremos un proceso anlogo al anterior para deducir muchas frmulas importantes: rea, volumen, longitud de arco, rea de una superficie. Dividimos un objeto en n fragmentos, aproximamos la cantidad de inters para cada uno de ellos, sumamos las aproximaciones y tomamos el lmite para acabar reconociendo una integral al final del camino. Por eso es fundamental comprender la idea que se esconde detrs de la frmula (2.1). Memorizar la frmula no le ayudar en ese aspecto. Pero si entiende las piezas del rompecabezas y cmo encajan (particin, aproximacin, suma y lmite hasta dar con la integral definida), dominar el resto de este captulo sin dificultad.

donde x es la anchura de la rodaja. Repitiendo este proceso para las n rodajas, podemos aproximar el volumen total V del n slido por V; A(ci) x.i=1

Al tomar un nmero mayor de rodajas, cada vez ms estrechas, la aproximacin mejorar. De esa forma obtenemos el valor exacto del volumen como el lmiten

V = lm

n

A(ci) x,i=1

supuesto que exista ese lmite. Reconocemos inmediatamente esas sumas como sumas de Riemann, de manera que el lmite define una integral. La frmula para el volumen exacto es, finalmente,Volumen de un slido con secciones de rea A(x)b

V=a

A(x) dx.

(2.1)

Ejemplo 2.1

Clculo del volumen por reas de secciones

Supongamos que la piscina de la figura 5.13, en forma de reloj de arena, est definida por las x2 + 1 metros, en 3 x 3 y que su profundidad es d(x) = 6 + x metros. curvas y(x) = x4 + 1 Calcular su volumen. Para todo x, la seccin de la piscina perpendicular al eje x es un rectngulo de x2 dimensiones 2 + 1 por 6 + x. Por (2.1), el volumen viene dado por x4 + 1Solucin3

V=3

2

x2 x4 + 1

+ 1 (6 + x) dx ; 123,81 m3,

rea de la seccin

donde hemos calculado la integral numricamente. (Se puede usar la regla de Simpson o un PCS). En el ejemplo 2.1 sabamos cmo calcular el rea de la seccin exactamente. En muchas aplicaciones importantes no conocemos el rea exacta de la seccin y hay que aproximarla realizando medidas. En tales circunstancias, podremos hallar el volumen por integracin numrica.

350

Captulo 5


Ejemplo 2.2

Estimacin del volumen con reas medidas experimentalmente

En la tomografa computarizada o en la IRM se toman numerosas medidas y se procesan en un ordenador para producir una imagen tridimensional del tejido que el mdico desea analizar. Es un proceso parecido al de las rodajas que hemos utilizado para calcular el volumen de un slido. Sin embargo, en este caso las representaciones matemticas de varias capas del tejido se combinan para producir una imagen tridimensional que pueda ser analizada por el mdico. Supongamos que un barrido de IRM da los siguientes valores del rea de las secciones de un tumor. x (cm) A(x) (cm )2

0

0,1

0,2 0,4

0,3 0,3

0,4 0,6

0,5 0,6 0,9 1,2

0,7 0,8

0,8 0,6

0,9 0,2

1,0 0,1

0,0 0,1

Estimar el volumen del tumor.Solucin

Para calcular el volumen del tumor tenemos que usar (de acuerdo con (2.1)) la1

integral V=0

A(x) dx,

pero ahora slo conocemos A(x) en unos cuantos puntos. Es suficiente para nuestro objetivo? S, ya que podemos aproximar la integral por la regla de Simpson (seccin 4.7) con x = 0,1:1

V=0

A(x) dx ba 3n A(0) + [4A(0,1) + 2A(0,2) + 4A(0,3) + 2A(0,4) + 4A(0,5) + 2A(0,6) + 4A(0,7) + 2A(0,8) + 4A(0,9) + A(1)

;

0,1 (0 + 0,4 + 0,8 + 1,2 + 1,2 + 3,6 + 2,4 + 3,2 + 1,2 + 0,8 + 0,1) 3 = 0,49667 cm3. = En el ejemplo 2.1, el rea de las secciones era fcil de calcular porque eran rectngulos. Dedicaremos un notable esfuerzo a otra situacin favorable en ese aspecto: los slidos generados al hacer girar una curva en torno a una recta, cuyas secciones son discos circulares. Tales slidos, llamados slidos de revolucin, son comunes en la Naturaleza y en los objetos de fabricacin industrial.Radio

Ejemplo 2.3

Volumen de un slido de revolucinx , 3

Se hace girar el segmento de recta y = 1 +Figura 5.15a Girar en torno al eje x.

0 x 12 (figura 5.15a) en torno al eje x. El

slido resultante tiene forma de megfono (figura 5.15b). Calcular su volumen.Solucin Para todo x de ese intervalo, la seccin perpendicular al eje x es un disco circular de radio r = 1 + x . (Piense en esto!). El rea de esa seccin circular es3

A(x) = r2 = 1 +

x 3

2

.

De (2.1) se sigue que el volumen de ese slido de revolucin es12

V=0

1+

x 3

2

12

dx =0

1+

2x x2 + dx 3 9

Secciones circulares

rea de la seccin = r2

Figura 5.15b Slido de revolucin.

= x+

x3 x2 + 3 27

12

= (12 + 48 + 64) = 124.0

Seccin 5.2

Volumen

351

El ejemplo 2.3 ilustra lo que se conoce como mtodo de los discos para calcular el volumen de un slido generado por una curva que gira en torno a una recta vertical u horizontal. A continuacin presentamos el mtodo en general.

El mtodo de los discosSea f(x) una funcin continua en el intervalo [a, b], con f(x) 0 en todo x de [a, b]. Hagamos girar, en torno al eje x, la regin acotada por la curva y = f(x) y el eje x en a x b. Se genera as un slido de revolucin (figuras 5.16a y 5.16b).


Figura 5.16a y = f(x) 0.


Podemos calcular su volumen haciendo en l cortes perpendiculares al eje x cuyas secciones son discos circulares de radio r = f(x) (figura 5.16b). Por (2.1), el volumen del slido viene dado por

Volumen de un slido de revolucin (mtodo de los discos)

b

V=a

[f(x)]2 dx.rea de la seccin = r2

(2.2)

Como las secciones de este slido de revolucin son todas discos circulares, nos referiremos a este mtodo como el mtodo de los discos.

Ejemplo 2.4

Clculo del volumen por el mtodo de los discos

Calcular el volumen del slido de revolucin generado al hacer girar la curva y = x, en el intervalo [0, 4], en torno al eje x.

352

Captulo 5

Aplicaciones de la integral definida Solucin

Es importante hacer un esbozo de la regin y del slido que genera con el fin de tener una idea clara de cul es el radio de las secciones circulares. En las figuras 5.17a y 5.17b vemos que el radio de cada seccin circular es r = x. Por (2.2), el volumen es4

V=0

[ x]2 dx =

4 0

x dx =

x2 2

4

= 8.0

rea de la seccin = r2

Figura 5.17a y = x.


Anlogamente, si g(y) 0 y g es continua en el intervalo [c, d], al hacer girar la regin acotada por la curva x = g(y) y el eje y, en c y d, en torno al eje y, se genera un slido de revolucin (figuras 5.18a y 5.18b). Como muestra la figura 5.18b, las secciones son discos circulares de radio r = g(y). Lo nico que ha cambiado es el papel de las variables x e y. As, pues, el volumen de este slido viene dado por

d

Volumen de un slido de revolucin (mtodo de los discos)

V=c

[g(x)]2 dx.2

(2.3)

rea de la seccin = r

Nota 2.2Al usar el mtodo de los discos, que la variable de integracin sea x o y no depende de la geometra de la regin (como suceda al hallar el rea entre dos curvas en la seccin 5.1), sino de cul es el eje de giro: si es el eje x, hay que integrar en x; si es el eje y, hay que integrar en y. Es fcil saberlo por simple inspeccin de un esbozo del slido. No tome la primera que se le ocurra. Eso es preludio de desastre, ya que en el resto del captulo va a tener que tomar decisiones anlogas, cada una de ellas acorde a las exigencias concretas del problema entre manos.

Figura 5.18a Girar en torno al eje y.


Seccin 5.2

Volumen

353

Ejemplo 2.5

El mtodo de los discos con y como variable independientex2 , 2

Calcular el volumen del slido resultante al girar la porcin de las curva y = 2 y x = 2, en torno al eje y.Solucin

entre x = 0

Las figuras 5.19a y 5.19b muestran la regin que gira y el slido generado.

Figura 5.19a y=2 x . 22

Figura 5.19b Slido de revolucin

Vemos en2 ellas que el radio de cualquier seccin circular viene dado por x. Despejando x en x y=2 , obtenemos x = 4 2y. Como la superficie se extiende desde y = 0 hasta y = 2, 2 el volumen del slido es, segn (2.3),2

V=0

( 4 2y)2 dy =r2

2 0

(4 2y) dy

= 4y 2

y2 2

2

= (8 22) = 4.0

El mtodo de las arandelasRespecto de lo visto hasta ahora, en el clculo del volumen se pueden presentar dos dificultades adicionales. En primer lugar, podemos estar interesados en calcular el volumen de un slido que tiene un hueco o cavidad en su interior. Y, en segundo lugar, a veces se hace girar una cierta regin respecto de una recta que no es ni el eje x ni el eje y. En ambos casos, una mirada a las figuras apropiadas ensea que no suponen obstculos insalvables. Ilustramos esos casos en los ejemplos que siguen. Ejemplo 2.6 Volumen de slidos con y sin cavidad interior

Sea R la regin acotada por las grficas de y = x2, x = 0 e y = 1. Calcular el volumen de los slidos generados al girar R en torno a (a) el eje y, (b) el eje x, (c) la recta y = 2.Solucin (a) La figura 5.20a muestra la regin R y la 5.20b el slido generado por R al girar en torno al eje y. Ntese que esta parte del problema es semejante al ejemplo 2.5.

354

Captulo 5


Figura 5.20a x = y.


Segn (2.3), el volumen viene dado por1

V=0

( y)2 dy = r2

1 2 y 2

1

=0

. 2

Radio exterior:

Radio interior

Figura 5.21a x = y.

(b) Esta parte es distinta de todo lo anterior, porque al girar en torno al eje x, la regin R deja una cavidad dentro del slido. Las figuras 5.21a y 5.21b muestran una grfica de R y el slido generado. La estrategia para hallar el volumen de ese slido consiste en calcular el volumen del slido completo (como si no tuviera cavidad) y restarle el volumen de la cavidad. Antes de hacer clculos observe la geometra del problema. La superficie exterior del slido se forma haciendo girar la recta y = 1 en torno al eje x. La cavidad se forma haciendo girar la curva y = x2 en torno al eje x. Intente visualizar todo esto con claridad en las figuras. El radio exterior rext es la distancia de la recta y = 1 al eje x, o sea, rext = 1. El radio interior rint es la distancia de la curva y = x2 al eje x, o sea, rint = x2. Aplicando (2.2) dos veces, vemos que el volumen buscado viene dado por1

V=0 1 0

(1)2 dx 2

1 01

(x2)2 dx (radio interior)2

Mtodo de las arandelas

(radio exterior)

=

(1 x4) dx = x

1 5 x 5

= 10

1 4 = . 5 5

(c) Ahora, al girar la regin R en torno a la recta y = 2, se forma un slido con un hueco cilndrico que lo atraviesa por su centro. Las figuras 5.22a y 5.22b muestran la regin y el slido que genera.

Radio interiorSecciones con forma de arandela

Figura 5.21b Slido de revolucin. Radio exterior

Figura 5.22a Gira en torno a y = 2.


Seccin 5.2

Volumen

355

El volumen se calcula como en el apartado (b), restando el volumen de la cavidad del slido completo. Si mira con atencin las figuras ver que el radio exterior es la distancia entre la recta y = 2 y la curva y = x2, es decir, rext = 2 x2. El radio del orificio interior es la distancia entre las rectas y = 2 e y = 1, o sea, rint = 2 1 = 1. Por (2.2), el volumen resulta ser1

V=0

(2 x2)2 dx 1 0

1 0

(2 1)2 dx 4 3 1 5 x + x 3 51 0

(radio exterior)2 (radio interior)2

=

[(4 4x2 + x4) 1] dx = 3x 4 1 28 + = . 3 5 15

= 3

En los apartados (b) y (c) del ejemplo 2.6 hemos calculado el volumen restando un volumen interior del volumen exterior para tener en cuenta el hueco que haba dentro del slido. Esta tcnica es una generalizacin del mtodo de los discos, que llamaremos mtodo de las arandelas, debido a la forma que tiene cada seccin del slido. Ejemplo 2.7 Una regin que gira respecto de distintas rectas

Sea R la regin acotada por y = 4 x2 e y = 0. Calcular el volumen de los slidos generados por R al girar en torno a (a) el eje y, (b) la recta y = 3, (c) la recta y = 7, (d) la recta x = 3.Solucin

(a) Las figuras 5.23a y 5.23b muestran la regin R y el slido de revolucin

generado.

Radio

Figura 5.23a Gira en torno al eje y.


En ellas vemos que la seccin es un disco circular de radio igual a la distancia entre la grfica de y = 4 x2 y el eje y, es decir, x. Despejando x, se tiene x2 = 4 y, o sea, x = 4 y, donde hemos elegido x positivo, ya que x representa una distancia. Por (2.3), el volumen del slido viene dado por4

V=0

( 4 y)2 dy = (radio)2

4

(4 y) dy0

= 4y

y2 2

4

= 8.0

356

Captulo 5


Un error frecuente es tomar 2 4 y como radio. (Qu volumen se obtendra as?). (b) Las figuras 5.24a y 5.24b muestran la regin R y el slido de revolucin generado. Las secciones tienen aspecto de arandelas. Vemos adems que el radio exterior rext es la distancia al eje de giro y = 3 de la curva y = 4 x2. Esto es, rext = y (3) = (4 x2) (3) = 7 x2. Y el radio interior es la distancia desde el borde inferior (el eje x) a la recta y = 3. Esto es,rext rint

rint = 0 (3) = 3. De acuerdo con (2.2), el volumen viene dado por2


V=2

(7 x2)2 dx

2 2

(3)2 dx =

(radio exterior)2

(radio interior)2

1.472 . 15

Dejamos los detalles del clculo como ejercicio. (c) La situacin, con la recta y = 7 como eje de giro, es parecida a la parte (b). La regin y el slido generado pueden verse en las figuras 5.25a y 5.25b.




De nuevo, las secciones son arandelas. Esta vez, el radio exterior es la distancia de la recta y = 7 al eje x, es decir, rext = 7. El radio interior es la distancia de la recta y = 7 a la curva y = 4 x2, es decir, rint = 7 (4 x2) = 3 + x2.

Seccin 5.2

Volumen

357

Por (2.2), el volumen del slido es2

V2

(7)2 dx

2 2

(3 + x2)2 dx =

(radio exterior)2 (radio interior)2

576 . 5

Dejamos los detalles del clculo como ejercicio. (d) La regin y el slido que genera al girar en torno a la recta x = 3 se pueden ver en las figuras 5.26a y 5.26b. En este caso, las secciones son arandelas, pero los radios exterior e interior son algo ms difciles de determinar. Mirando con cuidado las figuras 5.26a y 5.26b se observa que el radio exterior es la distancia entre la recta x = 3 y la mitad izquierda de la parbola, mientras que el radio interior es la distancia entre la recta x = 3 y la mitad derecha de la parbola. La parbola tiene ecuacin y = 4 x2, o sea, x2 = 4 y, as que x = 4 y. Aqu x = 4 y corresponde a la mitad derecha de la parbola, mientras que x = 4 y describe su mitad izquierda. Por tanto, rint = 3 4 y y rext = 3 ( 4 y) = 3 + 4 y.

En consecuencia, el volumen resulta ser4

V=0

(3 + 4 y)2 dy (radio exterior)2

4 0

(3 4 y)2 dy = 64, (radio interior)2

donde dejamos de nuevo los detalles del clculo, algo tediosos, al cuidado del lector. (En esta ocasin conviene usar un PCS). En la seccin 5.3 presentamos un mtodo para calcular el volumen que produce en este ltimo caso integrales mucho ms fciles.

rint rext

Figura 5.26a Gira en torno a x = 3.


Nota 2.3Buena parte del xito en el clculo del volumen de slidos de revolucin radica en una figura razonable. Merece la pena perder tiempo en eso y en indicar en ella las curvas con cuidado. Slo hay que tener presente cmo se calcula el rea de la seccin. La integracin hace el resto. Tenga cuidado!

358

Captulo 5


EJERCICIOS 5.21. Discutir la relacin (perpendicularidad o paralelismo) con los ejes x e y de los discos de los ejemplos 2.4 y 2.5. Explicar cmo esa relacin permite determinar la variable de integracin correcta. Los mtodos de los discos y de las arandelas son casos particulares de una frmula general para el volumen. Discutir las ventajas de aprender frmulas separadas frente a la posibilidad de deducirlas de una frmula general en cada ejemplo. Le parece preferible aprender frmulas extra o elaborar cada problema a partir de principios bsicos? Cuntas frmulas le pareceran demasiadas? Explicar por qu se usara y-integracin para calcular el rea de un tringulo de la forma en la seccin 5.1. En esta seccin, hubiera sido ms fcil hallar el volumen girando ese tringulo en torno al eje x o en torno al eje y? Explicar la respuesta. En el apartado (a) del ejemplo 2.7, la figura 5.23a se extiende desde x = 4 y hasta x = 4 y, pero hemos tomado 4 y como radio. Explicar por qu se es el radio correcto y no 2 4 y. lugar de terminar la pirmide los constructores de Gizeh se hubieran detenido a 250 pies de altura (con un cuadrado superior de 375 pies de lado), calcular el volumen de esa estructura. Explicar por qu el volumen es mayor que la mitad del de la pirmide completa. 13. La aguja de la torre de una iglesia mide 30 pies de altura y tiene secciones cuadradas, cuyo lado vara linealmente desde 3 pies en la base hasta 6 pulgadas en lo alto. Calcular su volumen. Un tico tiene secciones rectangulares paralelas al suelo y secciones triangulares perpendiculares al suelo. El rectngulo de la base mide 30 por 60 pies y los tringulos tienen 30 pies de base y 10 de altura. Calcular el volumen del tico. Un jarrn tiene secciones circulares de radio 4 + sen x pul2 gadas, en 0 x 2. Dibujar un esbozo del jarrn y calcular su volumen. Un jarrn tiene secciones circulares de radio 4 sen x pulga2 das, en 0 x 2. Dibujar un esbozo del jarrn y calcular su volumen. La tabla muestra las reas de las secciones adyacentes de un tumor, medidas en una IRM. Estimar su volumen por la regla de Simpson.

2.

14.

3.

15.

16. 4.

17.

En los ejercicios 5-8, calcular el volumen del slido con secciones de rea A(x). 5. 7. A(x) = x + 2, 1 x 3 A(x) = (4 x)2, 0 x 2 6. A(x) = 10e0,01x, 0 x 10 8. A(x) = 2(x + 1)2, 1 x 4

x (cm) A(x) (cm ) x (cm) A(x) 18. (cm2)2

0,0 0,0 0,6 0,3

0,1 0,1 0,7 0,2

0,2 0,2 0,8 0,2

0,3 0,4 0,9 0,1

0,4 0,6 1,0 0,0

0,5 0,4

En los ejercicios 9-16, escribir una integral apropiada y calcular el volumen. 9. x4 + 1 (todas las unidades en pies). Su profundidad es 6 + 3 sen Esbozar una figura de la piscina y calcular el volumen. Una piscina tiene perfil y = x2 + 1 , con 3 x 3 6

x .

La tabla muestra las reas de las secciones adyacentes de un tumor, medidas en una IRM. Estimar su volumen por la regla de Simpson. x (cm) A(x) (cm )2

10.

Una piscina con el mismo perfil que la del ejercicio 9 tiene 3 pies de profundidad en 3 x 1 y 9 pies en 1 x 3, y crece linealmente en 1 x 1. Esbozar una figura y calcular el volumen. 19.

0,0 0,0

0,2 0,2

0,4 0,3

0,6 0,2

0,8 0,4

1,0 0,2

1,2 0,0

11. La gran pirmide de Gizeh tiene 750 pies de lado en su base cuadrada y 500 pies de altura. Calcular su volumen por integracin. Coincide su clculo con lo que da la frmula geomtrica?

Estimar el volumen con las reas de secciones que se indican. x (pies) A(x) (pies2) 0,0 1,0 0,5 1,2 1,0 1,4 1,5 1,3 2,0 1,2

20. 500 pies

Estimar el volumen con las reas de secciones que se indican. x (m) A(x) (m2) 0,0 2,0 0,5 2,0 0,1 1,8 0,6 2,1 0,2 1,7 0,7 2,2 0,3 1,6 0,8 2,4 0,4 1,8

750 pies 1 2 . Si en

x (m) A(x) (m2)

Seccin 5.2 En los ejercicios 21-28, hallar el volumen del slido generado por la regin dada al girar en torno a la recta que se especifica. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. Regin acotada por y = 2 x, y = 0 y x = 0 en torno a (a) el eje x; (b) y = 3 Regin acotada por y = x2, y = 0 y x = 2 en torno a (a) el eje x; (b) y = 4 Regin acotada por y = x, y = 2 y x = 0 en torno a (a) el eje y; (b) x = 4 Regin acotada por y = 2x, y = 2 y x = 0 en torno a (a) el eje y; (b) x = 1 Regin acotada por y = ex, x = 0, x = 2 y y = 0 en torno a (a) el eje y; (b) y = 2. Estimar numricamente. Regin acotada por y = cos x, x = 0 y y = 0 en torno a (a) y = 1; (b) y = 1 Regin acotada por y = x3, y = 0 y x = 1 en torno a (a) el eje y; (b) el eje x Regin acotada por y = x3, y = 0 y x = 1 en torno a (a) x = 1; (b) y = 1 Sea R la regin acotada por y = 3 x, el eje x y el eje y, Calcular el volumen del slido que genera al girar en torno a la recta indicada. (a) El eje y (d) y = 3 (b) El eje x (e) x = 3 (c) y = 3 (f) x = 3 31. 32.

Volumen

359

Sea R la regin acotada por y = x2, y = 0 y x = 1. Calcular el volumen del slido que genera R al girar en torno a la recta dada. Sea R la regin acotada por y = x, y = x y x = 1. Calcular el volumen del slido que genera R al girar en torno a la recta dada. (a) El eje x (c) y = 1 (b) El eje y (d) y = 1

33.

Sea R la regin acotada por y = ax2, y = h y el eje y (h y a son constantes positivas). Calcular el volumen del slido generado por R al girar en torno al eje y. Probar que la respuesta es igual al volumen del cilindro de altura h y radio h/a. Esbozar una figura para ilustrar esto. 34. Usar el resultado del ejercicio 33 para escribir inmediatamente el volumen del slido generado al hacer girar la regin acotada por y = ax2, x = h/a en torno al eje x y en torno al eje y. El cuadrado 1 x 1 y 1 y 1 gira en torno al eje y. Probar que el volumen del slido resultante es 2. El crculo limitado por x2 + y2 = 1 gira en torno al eje y. Comprobar que el volumen del slido resultante es 4 .3

35.

36.

37.

El tringulo de vrtices (1, 1), (0, 1) y (1, 1) gira en torno al eje y. Probar que el volumen del slido generado es 2 .3

38.

Dibujar el cuadrado, el crculo y el tringulo de los ejercicios 35-37 en unos mismos ejes. Probar que los volmenes relativos de los slidos generados al girar esas regiones en torno al eje y estn en la relacin 3:2:1. Verificar la frmula para el volumen de una esfera haciendo girar el crculo interior a x2 + y2 = r2 en torno al eje y. Verificar la frmula para el volumen de un cono haciendo girar el segmento recto y = h x + h, 0 x r, en torno al eje y.r

39.

40.

41.

Sea A un cilindro circular recto de radio 3 y altura 5. Sea B un cilindro circular inclinado de radio 3 y altura 5. Tienen A y B el mismo volumen?

30.

Sea R la regin acotada por y = x2 e y = 4. Calcular el volumen del slido que genera al girar en torno a la recta indicada. (a) y = 4 (c) y = 6 (b) El eje y (d) y = 2

42.

Averiguar si los dos paralelogramos de la figura tienen la misma rea.

(a) El eje y (d) y = 1

(b) El eje x (e) x = 1

(c) x = 1 (f) y = 1

360 43.

Captulo 5

Aplicaciones de la integral definida 44. El slido, en forma de rosquilla, generado por el crculo interior a (x 2)2 + y2 = 1 en torno al eje y recibe en Matemticas el nombre de toro. Calcular su volumen y probar que es igual al producto del rea del crculo multiplicada por la distancia recorrida por el centro del crculo. ste es un caso particular del teorema de Pappus (s. IV a.C.). Verificar que este resultado es vlido, asimismo, para el tringulo del ejercicio 32, apartados (c) y (d).

Generalizar el resultado del ejercicio 38 a cualquier rectngulo. Es decir, dibujar el rectngulo a x a y b y b, x2 y2 la elipse 2 + 2 = 1 y el tringulo de vrtices (a, b), (0, b) a b y (a, b). Probar que los volmenes relativos de los slidos generados al girar esas regiones en torno al eje y estn en la relacin 3:2:1.

5.3

VOLUMEN POR CAPAS CILNDRICAS

Vamos a presentar un mtodo alternativo al de las arandelas (seccin 5.2) que ayudar en situaciones como la del ejemplo 2.7 (d), donde el de las arandelas produce una integral desagradable. Ms que los detalles del clculo importa aprender cmo la geometra del problema indica el mtodo conveniente. Como motivacin, volvamos al ejemplo 2.7 (d), donde R era la regin acotada por y = 4 x2 e y = 0 (figura 5.27a) desde x = 2 hasta x = 2. Si R gira, como indica la figura 5.27a, en torno a la recta x = 3, cmo calcular el volumen del slido generado (figura 5.27b)? La geometra de R hace molesto integrar en y porque sus fronteras izquierda y derecha son las dos mitades de la parbola. Por otra parte, como R est limitada arriba simplemente por y = 4 x2 y abajo por y = 0, sera ms fcil integrar en x. Por desgracia, en este caso el mtodo de las arandelas exige integrar en y. La solucin est en un mtodo alternativo que utiliza la variable de integracin opuesta.

Figura 5.27a Gira en torno a x = 3.


Antes de retomar el ejemplo, consideremos el caso general de una regin que gira en torno al eje y. Sea R la regin acotada por la grfica de y = f(x) y el eje x, en el intervalo [a, b], con 0 < a < b y f(x) 0 en [a, b] (figura 5.28a). Al girar en torno al eje y, genera el slido de la figura 5.28b.

Figura 5.28a Gira en torno al eje y.


Seccin 5.3

Volumen por capas cilindras

361

ba . En cada subintervalo n [xi1, xi] tomamos un punto ci y construimos un rectngulo de altura f(ci) (figura 5.29a). Al girar este rectngulo en torno al eje y, genera una fina capa cilndrica (es decir, un cilindro hueco, como un trozo de tubo), como muestra la figura 5.29b. Para hallar el volumen de esta capa cilndrica, imagine que cortamos el cilindro desde arriba hasta abajo y lo aplanamos formando una lmina rectangular (figura 5.29c). Partimos [a, b] en n subintervalos de igual anchura x =Espesor

Figura 5.29a i-simo rectngulo.Altura

Circunferencia de la capa cilndrica

Figura 5.29c Capa cilndrica aplanada. Figura 5.29b Capa cilndrica.

La longitud de esa lmina es la circunferencia de la capa cilndrica, o sea, 2 radio = 2ci. Por tanto, el volumen Vi de la i-sima capa cilndrica es aproximadamente Vi ; longitud anchura altura = (2 radio) espesor altura = (2ci) x f(ci). El volumen V del slido se puede aproximar mediante la suma de los volmenes de las n capas cilndricas:n

V;i=1

2 ciradio

f(ci)altura

x.espesor

Como ya hemos hecho otras veces, podemos obtener el valor exacto del volumen del slido tomando el lmite n e identificando el resultado como una integral definida.n

Volumen de un slido de revolucin (capas cilndricas)

V = lm

n

2ci f(ci) x =i=1

b

2a

xradio

f(x)altura

dx.espesor

(3.1)

AdvertenciaNo se limite a memorizar la frmula (3.1). Una vez ms, debe entender el significado de sus ingredientes. Es fcil si observa cmo se corresponden con el volumen de una capa cilndrica: 2(radio)(altura)(espesor). Si piensa as en el volumen, resolver sin dificultad cualquier problema de este tipo.

Ejemplo 3.1

El mtodo de capas (cilndricas)

Hallar el volumen del slido de revolucin generado por la porcin del primer cuadrante de la regin acotada por las grficas de y = x e y = x2 al girar en torno al eje y. La regin (figura 5.30a) tiene y = x como frontera superior e y = x2 como frontera inferior. Se extiende desde x = 0 hasta x = 1. La figura 5.30a muestra un rectngulo tpico y la capa cilndrica que genera. El slido de revolucin resultante se puede ver en la figura 5.30b.Solucin

362

Captulo 5


Radio

Altura

Figura 5.30a Un rectngulo tpico y la capa cilndrica que genera.


Podemos escribir una integral para el volumen analizando las diversas componentes del slido en las figuras 5.30a y 5.30b. De (3.1) se deduce que1

V=0

21

xradio

(x x2)altura

dxespesor

= 20

(x2 x3) dx = 2

x3 x4 3 4

1

=0

. 6

Ahora ya podemos aplicar este mtodo para resolver el ejemplo antes citado como motivacin. Un volumen en el que las capas son preferibles a las arandelas

Ejemplo 3.2

Calcular el volumen del slido generado por la regin acotada por las grficas de y = 4 x2 y el eje x en torno a la recta x = 3.Solucin

Mire con tranquilidad la figura 5.31a, que muestra un rectngulo que genera una capa cilndrica, y el slido de la figura 5.31b. Observar que el radio de la capa cilndrica es la distancia de la recta x = 3 a la capa: r = 3 x.

Eso da para el volumenn

V = lm

n

2 (3 ci) (4 ci2) xi=1

radio2

altura

espesor

=2

2 (3 x) (4 x2) dxradio2

altura

espesor

= 22

(x3 3x2 4x + 12) dx = 64,

donde los detalles del clculo se dejan como ejercicio.

Seccin 5.3


363

Radio

Altura

Figura 5.31a Un rectngulo tpico y la capa cilndrica que genera.


Con el mtodo de capas como complemento al de arandelas, lo primero que hay que hacer en el clculo de un volumen es analizar la geometra del slido para decidir si es ms fcil integrar en x o en y. Para un slido dado, la variable de integracin del mtodo de capas es exactamente la opuesta a la del mtodo de arandelas. Debe elegirse el mtodo que mejor se adapte al problema en cuestin. Clculo del volumen por los mtodos de capas y de arandelas

Ejemplo 3.3

Sea R la regin acotada por las grficas de y = x, y = 2 x e y = 0. Calcular el volumen de los slidos generados al girar R en torno a las rectas (a) y = 2, (b) y = 1, (c) x = 3. La regin se muestra en la figura 5.32a. Observe con atencin las diferencias entre los tres volmenes. (a) Al girar en torno a la recta y = 2, el radio de una capa cilndrica es la distancia de la recta y = 2 a la capa: 2 y, para 0 y 1 (figura 5.32b). La altura es la diferencia de los valores x de las dos curvas: despejando x se tiene x = y y x = 2 y. Por (3.1), el volumen viene dado porSolucin Figura 5.32a y = x e y = 2 x.1

V=0

2 (2 y) [(2 y) y] dy =radio altura espesor

10 , 3

donde dejamos al cuidado del lector los detalles del clculo. (b) Al girar en torno a la recta y = 1, la altura de las capas cilndricas es la misma que en (a), pero el radio r es la distancia de la recta y = 1 a la capa: r = y (1) = y + 1 (figura 5.32c). Eso da para el volumenRadio1

V=0

2 [y (1)] [(2 y) y] dyradio altura

=

8 . 3

espesor

Figura 5.32b Gira en torno a y = 2.

(c) Al girar en torno a la recta x = 3 para hallar el volumen mediante capas cilndricas tenemos que romper el clculo en varios trozos, ya que la altura de las capas en [0, 1] y en [1, 2] es diferente. (Piense en esto). Por otra parte, con el mtodo de las arandelas el clculo es fcil.

364

Captulo 5


rext rint

rext rintRadio

Figura 5.32c Gira en torno a y = 1.

Figura 5.32d Gira en torno a x = 3.

El radio exterior es la distancia de la recta x = 3 a la recta x = y : rext = 3 y, y el radio interior es la distancia de la recta x = 3 a la recta x = 2 y : rint = 3 (2 y) (figura 5.32d). Eso da para el volumenNtese la importancia de una figura en la que poder visualizar el slido. El mayor reto en estos problemas es saber cmo plantear la integral. Mire detenidamente la figura y decida cul es la variable de integracin adecuada (es decir, decida si usa arandelas o capas). A continuacin, determine los ingredientes de la integral apropiada [el radio o radios y posiblemente la altura] mirando otra vez la figura. Finalmente, calcule la integral. Si no sabe cmo, puede recurrir a un PCS o a una aproximacin numrica (la regla de Simpson, por ejemplo).1

V=0

(3 y)2 [3 (2 y)]2 dy = 4.radio exterior2 radio interior2

Ejemplo 3.4

Aproximacin de un volumen por capas y arandelas

Sea R la regin acotada por las grficas de y = cos x e y = x2. Calcular el volumen de los slidos generados por R al girar en torno a las rectas (a) x = 2, (b) y = 2.Solucin Para empezar, hacemos un esbozo de R (figura 5.33a). Como las fronteras superior e inferior de R estn dadas por curvas de la forma y = f(x), interesa integrar en x. A continuacin, buscamos los puntos de interseccin de las dos curvas, resolviendo cos x = x2. No sabemos resolver esa ecuacin exactamente, as que usamos un mtodo aproximado (el de Newton, pongamos por caso) para encontrar x = 0,824132.

Figura 5.33a y = cos x, y = x2.

Figura 5.33b Gira en torno a x = 2.

Seccin 5.3


365

(a) Si giramos R en torno a la recta x = 2, debemos usar capas cilndricas (figura 5.33b). En este caso, el radio r de una capa es la distancia de la recta x = 2 a la capa: r = 2 x, y la altura de la capa es cos x x2. Por tanto,0,824132

V;0,824132

2 (2 x) (cos x x2) dx ; 13,757,radio altura

donde hemos aproximado el valor de la integral numricamente. (De momento no conocemos una primitiva del integrando, pero veremos cmo hallarla en el Captulo 7). (b) Si giramos R en torno a la recta y = 2 (figura 5.33c), usamos el mtodo de las arandelas. El radio exterior de una arandela es la distancia de la recta y = 2 a la curva y = x2 : rext = 2 x2, y el radio interior es la distancia de la recta y = 2 a la curva y = cos x : rint = 2 cos x (figura 5.33c). As, pues, el volumen viene dado por0,824132

V;0,824132

(2 x2)2 (2 cos x)2 dx ; 10,08,radio exterior2 radio interior2

donde hemos aproximado numricamente el valor de la integral.

rint rext

Figura 5.33c Gira en torno a y = 2.

Cerramos la seccin con un resumen de las estrategias para calcular el volumen de slidos de revolucin.

VOLUMEN DE UN SLIDO DE REVOLUCIN Dibujar un esbozo de la regin que gira. Determinar la variable de integracin (x si la regin tiene partes superior e inferior bien definidas, y si tiene las fronteras izquierda y derecha bien definidas). Segn el eje de giro y la variable de integracin, decidir qu mtodo conviene (el de discos o arandelas para integracin en x con eje horizontal o en y con eje vertical, y el de capas para integracin en x con eje vertical o en y con eje horizontal). Marcar en la figura los radios interiores y exteriores de discos o arandelas, o bien el radio y la altura de las capas cilndricas. Escribir la integral adecuada y evaluarla.

366

Captulo 5


EJERCICIOS 5.31. Explicar por qu el mtodo de capas produce una integral en x cuando el eje de giro es vertical. (Describir cmo estn situadas las capas y en qu direccin hay que desplazarse para pasar de una capa a otra). Explicar por qu el mtodo de capas tiene la misma forma, independientemente de que el slido tenga una cavidad o no. Es decir, no son necesarios mtodos separados como sucede con discos y arandelas. Supongamos que se hace girar, en torno a la recta x = 2, la regin acotada por y = x2 4 e y = 4 x2. Argumentar qu mtodo (discos, arandelas o capas) sera el ms fcil para calcular el volumen del slido generado. 8. 9. 10. 2. La regin acotada por y = x, y = x y x = 1 gira en torno a x = 1. La regin acotada por y = x, y = x e y = 1 gira en torno a y = 2. La regin acotada por y = x, y = x e y = 1 gira en torno a y = 2.

11. La mitad derecha de x2 + (y 1)2 = 1 gira en torno al eje x. 12. La mitad derecha de x2 + (y 1)2 = 1 gira en torno a y = 2.

3.

En los ejercicios 13-20, calcular el volumen por el mtodo de las capas. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. La regin acotada por y = x2 e y = 2 x2 gira en torno a x = 2 La regin acotada por y = x2 e y = 2 x2 gira en torno a x = 2 La regin acotada por x = y2 y x = 1 gira en torno a y = 2 La regin acotada por x = y2 y x = 1 gira en torno a y = 2 La regin acotada por y = x e y = x2 2 gira en torno a x = 2 La regin acotada por y = x e y = x2 2 gira en torno a x = 3 La regin acotada por x = (y 1)2 y x = 1 gira en torno al eje x La regin acotada por x = (y 1)2 y x = 1 gira en torno a y = 2

4.

Supongamos que se hace girar, en torno a la recta x = 3, la regin acotada por y = x3 3x 1 e y = 4, en 2 y 2. Explicar qu sera necesario para calcular el volumen por el mtodo de las arandelas y qu para calcularlo por el mtodo de capas. Qu mtodo preferira? Por qu?

En los ejercicios 21-30, usar el mejor mtodo posible para calcular cada volumen. 21. La regin acotada por y = 4 x, y = 4 e y = x gira en torno a (a) el eje x 22. (b) el eje y (c) x = 4 (d) y = 4

La regin acotada por y = x + 2, y = x 2 y x = 0 gira en torno a (a) y = 2 (b) x = 2 (c) el eje y (d) el eje x

23.

La regin acotada por y = x e y = x2 6 gira en torno a (a) x = 3 (b) y = 3 (c) x = 3 (d) y = 6

24.

La regin acotada por x = y2 y x = 2 + y gira en torno a (a) x = 1 (b) y = 1 (c) x = 2 (d) y = 2

En los ejercicios 5-12, dibujar un esbozo de la regin y una capa cilndrica. Identificar el radio y la altura de las capas y calcular el volumen. 5. La regin acotada por y = x2 y el eje x, 1 x 1, gira en torno ax=2 La regin acotada por y = x2 y el eje x, 1 x 1, gira en torno ax=2 La regin acotada por y = x, y = x y x = 1 gira en torno al eje y.

25.

La regin acotada por y = cos x e y = x4 gira en torno a (a) x = 2 (b) y = 2 (c) el eje x (d) el eje y

26.

La regin acotada por y = sen x e y = x2 gira en torno a (a) y = 1 (b) x = 1 (c) el eje y (d) el eje x

6.

27.

La regin acotada por y = x2, y = 2 x y x = 0 gira en torno a (a) el eje x (b) el eje y (c) x = 1 (d) y = 2

7.

Seccin 5.4 28. La regin acotada por y = 2 x2, y = x (x > 0) y el eje y gira en torno a (a) el eje x (b) el eje y (c) x = 1 (d) y = 1 38. 37.

Longitud de arco y rea de superficies

367

Por un mtodo anlogo al utilizado para la ecuacin (3.1), deducir el siguiente hecho acerca de un crculo de radio R. rea = R2 = R c(r) dr, donde c(r) = 2r es la longitud de la circun0 ferencia de radio r. Tal vez haya observado que la longitud de la circunferencia de radio r (2r) es igual a la derivada respecto de r del rea del crculo (r2). Usando el ejercicio 37, explique por qu eso no es una coincidencia. Un abalorio de joyera se ha formado taladrando un orificio de 1 cm de radio por el centro de una bola de 1 cm de radio. Ex2 1 plicar por qu el volumen viene dado por 1/2 4x 1 x2 dx. Calcular esta integral o calcular el volumen por un mtodo ms simple. Hallar el radio del orificio en el ejercicio 39 que extrae la mitad del volumen de la bola. Un hormiguero tiene la forma generada por la regin acotada por y = 1 x2 y el eje x al girar en torno al eje y. Un investigador quita un cilindro centrado en el vrtice. Qu radio debe tener el cilindro para eliminar el 10% del hormiguero? Por el centro de una bola de radio R se taladra un orificio de radio r. Calcular el volumen que pierde la bola en trminos de R y r. Calcular la longitud del orificio en trminos de R y r. Reescribir el volumen en trminos de L. Es razonable afirmar que el volumen quitado a la bola depende de L, pero no de R?

29. La regin acotada por y = 2 x, y = x 2 y x = y2 gira en torno a (a) el eje x 30. (b) el eje y

La regin acotada por y = ex 1, y = 2 x y el eje x gira en torno a (a) el eje x (b) el eje y

39.

En los ejercicios 31-36, la integral representa el volumen de un slido. Dibujar un esbozo de la regin y el eje de revolucin.2

40.

31.0 2

(2x x2)2 dx [(4 x2 + 4)2 (x2 4 + 4)2] dx2

41.

32.2 1

33.0 1

[( y)2 y2] dy 2x(x x2) dx

34.0 2

(4 y2)2 dy

42.

35.0

36.0

2(4 y)(y + y) dy

5.4

LONGITUD DE ARCO Y REA DE SUPERFICIES

En esta seccin aplicamos la integral al estudio de otras dos medidas del tamao. Longitud y rea le sern familiares desde el punto de vista intuitivo. Sin embargo, ya hemos visto que el clculo del rea es sorprendentemente difcil para muchas formas geomtricas. Pues bien, los clculos que acometeremos aqu vienen complicados por la adicin de una dimensin ms. En concreto, se trata de calcular la longitud (una medida unidimensional) de una curva en dos dimensiones y el rea (una medida bidimensional) de una superficie en tres dimensiones. Como siempre, preste atencin a la deduccin de las frmulas. Igual que en ocasiones anteriores, partiremos de una aproximacin y llegaremos al valor exacto tomando el lmite.

Longitud de arcoQu queremos decir cuando hablamos de la longitud de una porcin de la curva seno de la figura 5.34a? (Llamaremos longitud de arco a la longitud de una curva). Si la curva es una carretera, podemos recorrerla con un automvil y mirar la indicacin del cuentakilmetros. Si es un trozo de cuerda, podemos ponerla recta y medirla con una regla o con un metro. Estas dos ideas son muy tiles a la intuicin. Ambas reducen el problema de medir longitudes en dos dimensiones al problema (mucho ms fcil) de medirlas en una dimensin.

Figura 5.34a y = sen x.

368

Captulo 5


Para formular esa idea matemticamente, empezamos aproximando la curva por varios segmentos rectos unidos como indica la figura 5.34b. Los segmentos unen los puntos (0, 0), 1 3 1 , , ,1 , , y (, 0) de la curva y = sen x, Una aproximacin de la longi2 2 4 2 4 tud de la curva viene dada por la suma de las longitudes de esos segmentos: s; 4 42

+2

1 2

2

+2

4 +

2

+ 1 42

1 2 1 2

2

Figura 5.34b Cuatro segmentos rectos aproximantes.

+

+

1 1 2

2

+

; 3,79.

n 8 16 32 64 128

Longitud 3,8125 3,8183 3,8197 3,8201 3,8201

Este valor aproximado es demasiado pequeo (por qu?). Podemos mejorar esa aproximacin utilizando ms segmentos de menor longitud. La tabla del margen muestra estimaciones de la longitud de la curva tomando n segmentos, con valores ms grandes de n. Cabe esperar que al usar un nmero de segmentos cada vez mayor y de longitud cada vez menor, la aproximacin se ir acercando al valor exacto de la longitud de la curva. Ya debe sonarle familiar esta idea. El problema general que vamos a plantearnos es el clculo de la longitud de arco de la curva y = f (x) en el intervalo [a, b]. Suponemos que f es continua en [a, b] y derivable en (a, b). (Dnde hemos impuesto estas mismas condiciones antes de ahora?). Como de costumbre, empezamos haciendo una particin del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud: a = x0 < x1 < < xn = b, donde ba xi xi1 = x = , n para i = 1, 2, ..., n. Entre cada par de puntos consecutivos de la curva, (xi1, f(xi1)) y (xi, f(xi)), aproximamos la longitud de arco si por la distancia recta entre ellos (figura 5.35). Aplicando la frmula de la distancia entre dos puntos, si ; d{(xi1, f(xi1)), (xi, f(xi))} = (xi xi1)2 + [f(xi) f (xi1)]2. Como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), f es tambin continua en el subintervalo [xi1, xi] y derivable en (xi1, xi). Por el teorema del valor medio, f(xi) f(xi1) = f.(ci)(xi xi1),

Figura 5.35 Aproximacin de la longitud de arco por un segmento recto.

para algn ci Z (xi1, xi). Esto proporciona la aproximacin si ; (xi xi1)2 + [f(xi) f (xi1)]2 = (xi xi1)2 + [f.(ci)(xi xi1)]2

= 1 + [f.(ci)]2 (xi xi1) = 1 + [f.(ci)]2 x.x

Sumando las longitudes de esos n segmentos rectos, obtenemos como aproximacin de la longitud de arco Nota 4.1La frmula para la longitud de arco es simple, pero se puede calcular de forma exacta para muy pocas funciones. Casi siempre hay que recurrir a mtodos numricos (un PCS, por ejemplo).n

s;i=1

1 + [f.(ci)]2 x.

Parece lgico que, al ir creciendo n, la aproximacin debe acercarse al valor exacto de la longitud de arco, es decir,n

s = lm

n

1 + [f.(ci)]2 x.i=1

Seccin 5.4


369

Reconocemos aqu el lmite de una suma de Riemann para 1 + [f.(x)]2, as que la longitud de arco viene dada exactamente por una integral definida:Longitud del arco de y = f(x) en el intervalo [a, b]b

s=a

1 + [f.(x)]2 dx,

(4.1)

siempre que el lmite existe. Ejemplo 4.1 Aplicacin de la frmula para la longitud de arco

Calcular la longitud de arco de la curva y = sen x en 0 x . (Hemos obtenido para esta longitud un valor aproximado 3,79 en nuestro ejemplo de introduccin).Solucin

Por (4.1), la longitud de arco es

s=0

1 + (cos x)2 dx.

Intente hallar una primitiva de 1 + cos2 x, pero sin perder mucho tiempo. (Un PCS contesta 2 EllipticE[x, 1 ], que no es especialmente til). Un PCS da para esa integral el valor aproximado2

s=0

1 + (cos x)2 dx ; 3,8202.

Incluso para curvas sencillas, la evaluacin de la integral de longitud de arco puede ser un reto nada fcil. Ejemplo 4.2 Estimacin de una longitud de arco

Calcular la longitud de arco de la curva y = x2 en 0 x 1.Solucin

Por la frmula (4.1), la longitud de arco es1 1

s=0

1 + (2x)2 dx =0

1 + 4x2 dx ; 1,4789,

donde hemos evaluado la integral numricamente otra vez. (En esta ocasin puede hallar una primitiva con ayuda de las tablas o de un PCS, pero la aproximacin es igual de significativa a nuestros efectos). Las grficas de y = x2 e y = x4 se parecen de un modo sorprendente en [0, 1] (figura 5.36). Ambas unen los puntos (0, 0) y (1, 1), son crecientes y cncavas hacia arriba. Si las dibujamos en unos mismos ejes, vemos que y = x4 empieza siendo ms plana y termina ms pendiente a partir de x = 0,7. (Demuestre que esto es verdad!). La longitud de arco distingue entre esas dos grficas. Ejemplo 4.3Figura 5.36 y = x2 e y = x4.

Comparacin de longitudes de arco de funciones potencia

Comparar la longitud de arco de las curvas y = x4 e y = x2 en el intervalo [0, 1].Solucin

Segn (4.1), la longitud de arco de y = x4 viene dada por1 1

1 + (4x3)2 dx =0 0

1 + 16x6 dx ; 1,6002.

Es un 8% mayor que la de y = x2, ya calculada en el ejemplo 4.2.

370

Captulo 5


En los ejercicios se le pedir que explore las longitudes de y = x6, y = x8 y otras potencias en el intervalo [0, 1]. Puede adivinar qu ocurre con la longitud de arco de y = xn en [0, 1] cuando n ? Al igual que con tantas otras, el uso cotidiano de la palabra longitud puede inducir a confusin. As, cuando decimos que la longitud de un lanzamiento de disco fue de 20 metros nos referimos a la distancia horizontal alcanzada, no a la longitud de arco de la curva descrita por la bola. En ese caso, la distancia horizontal tiene ms sentido y, de paso, es ms fcil de medir. En otros muchos casos, la cantidad de inters es la longitud de arco. Por ejemplo, si alguien va a colgar una pancarta de dos postes que distan 10 metros y slo dispone de 10 metros de cuerda, tendr problemas. La longitud de cuerda necesaria la da la longitud de arco, no la distancia horizontal. Ejemplo 4.4 Longitud de un cable colgante

Un cable cuelga de dos postes de igual altura distantes 20 metros. Se puede demostrar que un cable suspendido adopta la forma de una catenaria. Supongamos que en este caso la forma viene dada por y = 5(ex/10 + ex/10), 10 x 10 (figura 5.37). Cul es la longitud del cable?Solucin

Por (4.1), la longitud del cable viene dada por10

s=10 10

1+

ex/10 ex/10 2 2

2

dx

Figura 5.37 y = 5(ex/10

+e

x/10

).

=10

1+

1 x/5 (e 2 + ex/5) dx 4

; 23,504 metros, que supera a la distancia horizontal de 20 metros en 31 2

metros.

rea de superficiesEn las secciones 5.2 y 5.3 aprendimos a calcular el volumen de un slido de revolucin. Muchas veces interesa calcular adems el rea de su superficie. Por ejemplo, al hacer girar el segmento 0 x 1 de la recta y = x + 1 en torno al eje x, la superficie generada recuerda una porcin de megfono abierta por los dos lados (figura 5.38). Es un tronco de cono resultado de cortar un cono por un plano paralelo a su base. Vamos a hallar el rea de su superficie curvada. La figura 5.39a muestra un cono circular recto con radio r en la base y de altura oblicua l. (Como veremos, en este contexto es ms conveniente especificar la altura oblicua que la altura). Si cortamos el cono y lo aplanamos, obtenemos un sector circular (figura 5.39b). El rea de la superficie curvada del cono es

Corte


Figura 5.38 Superficie de revolucin.

Figura 5.39a Cono circular recto

Figura 5.39b Cono aplanado.

Seccin 5.4


371

igual al rea A de ese sector circular. Y sta es el rea del crculo de radio l multiplicada por la fraccin de crculo incluida: radianes de los 2 del crculo completo, es decir, A = (radio)2

2 = l 2 = l . 2 2 2

(4.2)

El nico problema es que no conocemos . Pero tal como hemos construido el sector (aplanando el cono), la circunferencia del sector es la de la base del cono. Por tanto, 2r = 2l Dividiendo entre l, se obtiene

= l . 22r . l

=Figura 5.40 Tronco de cono.

Segn (4.2), el rea de la superficie curvada del cono es A=

2 r 2 l = l = rl. 2 l

En realidad, nos interesaba el rea curvada de un tronco de cono (figura 5.38). Para el tronco de cono de la figura 5.40, el rea de la superficie curvada viene dada por A = (r1 + r2)L. Puede verificar esta frmula restando el rea de dos conos usando tringulos semejantes para hallar la altura del cono mayor, del cual se corta el tronco de cono. Dejamos los detalles como ejercicio. Volviendo al problema original de hacer girar, en el intervalo [0, 1], la recta y = x + 1 en torno al eje x (figura 5.38), se tiene r1 = 1, r2 = 2 y L = 2 (por el teorema de Pitgoras). El rea de la superficie curvada es, pues, A = (1 + 2) 2 = 3 2 ; 13,329. Como problema general de clculo del rea de una superficie de revolucin, consideremos una funcin f (x) 0 continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si hacemos girar el intervalo [a, b] de su grfica en torno al eje x (figura 5.41a), generamos una superficie de revolucin (figura 5.41b). Como hemos hecho ya otras veces, partimos [a, b] en n subintervalos de igual longitud ba , para i = 1, 2, ..., n. mediante los puntos a = x0 < x1 < < xn = b, con xi xi1 = x = n En cada subintervalo [xi1, xi], aproximamos la curva por el segmento recto que une los puntos (xi1, f(xi1)) y (xi, f(xi)), como en la figura 5.42. Al girar en torno al eje x, ese segmento genera un tronco de cono. El rea de la superficie de este tronco de cono nos dar un valor aproximado del rea de la superficie de revolucin en el intervalo [xi1, xi]. En primer lugar, observemos que la altura oblicua de ese tronco de cono es Li = d{(xi1, f(xi1)), (xi, f(xi))} = (xi xi1)2 + [f(xi) f (xi1)]2 por la frmula usual de la distancia. Debido a nuestra hiptesis sobre f, podemos aplicar el teorema del valor medio, luego f(xi) f(xi1) = f.(ci)(xi xi1) para algn nmero ci Z (xi1, xi). As, se obtieneFigura 5.42 Gira en torno al eje x.

Figura 5.41a Gira en torno al eje x.


Figura 5.41b Superficie de revolucin.

Li = (xi xi1)2 + [f(xi) f (xi1)2 = 1 + [f.(ci)]2 (xi xi1).x

372

Captulo 5


El rea Si de la superficie de revolucin en el subintervalo [xi1, xi] es aproximadamente el rea del tronco de cono, Si ; [f(xi) + f(xi1)] 1 + [f.(ci)]2 x ; 2 f(ci) 1 + [f.(ci)]2 x, porque si x es muy pequeo, f(xi) + f(xi1) ; 2 f(ci). Repitiendo ese argumento para cada subintervalo [xi1, xi], i = 1, 2, , n, obtenemos como aproximacin del rea total S de la superficie de revolucin:n

S;i=1

2 f(ci) 1 + [f.(ci)]2 x.

Como ya hemos hecho notar varias veces, cuando n crece esa aproximacin mejora y tiende al valor exacto del rea buscado. Tomando el lmite para n , resultan

S = lm

n

2 f(ci) 1 + [f.(ci)]2 x.i=1

En este lmite reconocemos ya sin dificultad el lmite de una suma de Riemann, lo que produce la integral

rea de la superficie de un slido de revolucin

b

S=a

2 f(x) 1 + [f.(x)]2 dx,

(4.3)

siempre que esta integral existe. Conviene advertir que el factor 1 + [f.(x)]2 dx del integrando en (4.3) es la longitud de arco de una pequea porcin de la curva y = f(x), mientras que el factor 2f(x) es la longitud de la circunferencia del slido de revolucin. Lo cual es fcil de interpretar como sigue. Para cualquier pequea porcin de la curva, si aproximamos el rea de la superficie que genera por el rea de un tronco de cono, S = 2 f(x) 1 + [f.(x)]2 dx, ya que el radio, casi constante, del segmento es f(x) y la altura oblicua del tronco de cono es 1 + [f.(x)]2 dx. Es mucho mejor pensar as en la frmula del rea de una superficie de revolucin que memorizarla sin ms. Nota 4.2 Ejemplo 4.5Son muy pocas las funciones para las que la integral en (4.3) se puede calcular exactamente. No se preocupe; para eso estn los mtodos numricos.

Aplicacin de la frmula del rea de una superficie

Calcular el rea de la superficie de revolucin generada por y = x4, en 0 x 1, al girar en torno al eje x.Solucin

Usando la frmula (4.3), se tiene1 1

S=0

2x4 1 + (4x3)2 dx =0

2x4 1 + 16x6 dx ; 3,4365,

donde, como de costumbre, hemos aproximado el valor de la integral mediante un mtodo numrico.

Seccin 5.4


373

EJERCICIOS 5.41. Explicar, en palabras, cmo se deduce la integral para la longitud de arco de las longitudes de segmentos de rectas secantes. Explicar por qu la suma de las longitudes de los segmentos rectos de la figura 5.34b es menor que la longitud de arco de la figura 5.34a. Discutir si la integral que expresa la longitud de arco debe ser considerada una frmula o una definicin (es decir, puede definir la longitud de una curva sin hacer uso de esa integral?). Suponga que dibuja en un papel el trapecio acotado por y = x + 1, y = x 1, x = 0 y x = 1, lo recorta y lo curva. Explicar por qu no se obtendra la figura 5.38. (Ayuda: Compare las reas y observe con atencin las figuras 5.39a y 5.39b). 24. Una pelota de bisbol sigue la trayectoria y = 1 x (100 x) 300 yardas. Esbozar su grfica. Cunto ha recorrido horizontalmente? Calcular la longitud de arco. Explicar por qu el jugador deseara una longitud de arco pequea, mientras que el del ejercicio 23 la preferira grande. En el ejemplo 4.4 probar que la longitud de arco es exactamente 10(e e1). Evaluar la integral del ejemplo 4.4 con un PCS. Comparar la respuesta con la del ejercicio 25 y con la forma equivalente 20 senh(1), donde senh x = 1 (ex ex).2

2.

25.

3.

26.

4.

27.

La integral elptica de segunda clase se define como EllipticE(, m) = 1 m sen2 u du. Con respecto al ejemplo 4.1, 0 muchos PCS dan 2 EllipticE x, 1 como primitiva de 1 + cos2 x. 2 Verificar que lo es. Muchos PCS dan 1 + 16x6 Verificar que es una primitiva del integrando. 1 + 16x6 dx = 1 x 1 + 16x6 + 4 3/4 dx.

En los ejercicios 5-8, aproximar la longitud de arco de la curva usando rectas secantes con n = 2 y n = 4. 5. 7. y=x,0x12

28.

6. 8.

y=x,0x14

y = cos x, 0 x

y = ln x, 1 x 3 29.

En los ejercicios 9-18, escribir la integral de la longitud de arco y aproximar su valor por un mtodo numrico. 9. 11. 13. 15. 17. 18. 19. y = x3, 1 x 1 y = 2x x2, 0 x 2 y = x3 + x, 0 x 3 y = cos x, 0 x x

10. 12. 14. 16.

y = x3, 2 x 2 y = tan x, 0 x /4 y = x1/3, 1 x 2 y = ln x, 1 x 3 30.

Hallar, con un PCS, una primitiva para el ejemplo 4.2. Evaluarla en los extremos del intervalo y comparar la diferencia entre sus valores con el valor que el PCS da por integracin numrica. Intente lo mismo para el ejemplo 4.3. Explique brevemente qu significa la respuesta f(x) dx de un PCS cuando se le pide hallar f(x) dx.

En los ejercicios 31-38, escribir la integral que expresa el rea de la superficie de revolucin y aproximar su valor por algn mtodo numrico. 31. 32. y = x2, 0 x 1, gira en torno al eje x y = sen x, 0 x , gira en torno al eje x y = 2x x2, 0 x 2, gira en torno al eje x y = x3 4x, 2 x 0, gira en torno al eje x y = ex, 0 x 1, gira en torno al eje x y = ln x, 1 x 2, gira en torno al eje x y = cos x, 0 x /2, gira en torno al eje x y = x, 1 x 2, gira en torno al eje x

y=0 x

u sen u du, 0 x e sen u du, 0 x u

y=0

33. 34. 35. 36. 37. 38.

Se cuelga una cuerda entre dos estacas que distan 20 pies. Si la cuerda adopta la forma de la catenaria y = 4(ex/10 + ex/10), 10 x 10, calcular la longitud de la cuerda. Se cuelga una cuerda entre dos estacas que distan 60 pies. Si la cuerda adopta la forma de la catenaria y = 4(ex/30 + ex/30), 30 x 30, calcular la longitud de la cuerda. En el ejemplo 4.4, calcular el pandeo del cable, es decir, la diferencia de valores y en el centro (x = 0) y en los extremos (x = 10). A la vista del resultado, es sorprendente la longitud hallada? Calcular el pandeo en los ejercicios 19 y 20. Un baln de rugby sigue la trayectoria y = 1 x (60 x) yardas. 15 Esbozar su grfica. Cunto ha recorrido horizontalmente? Calcular la longitud de arco de la trayectoria. Si el baln ha estado 4 segundos en el aire, cul ha sido su velocidad media?

20.

21.

22. 23.

La longitud de arco puede dar informacin sobre si una curva es casi recta. En los ejercicios 39-44, calcular la longitud de arco L1 de la curva y la longitud L2 de la recta secante que une los puntos inicial y final de la curva. Evaluar el cociente L2/L1; cuanto ms cerca est de 1 ese nmero, ms recta es la curva. 39. 41. y = sen x, x 6 y = sen x, x 6 2 6

40. 42.

y = cos x, x 6 6 y = cos x, x 23 3

374

Captulo 5

Aplicaciones de la integral definida 53. Esbozar la grfica y calcular la longitud de la astroide x2/3 + y2/3 = 1. En los ejercicios 45 y 46 hemos investigado la longitud de y = xn en [0, 1]. Ahora consideraremos polinomios ms generales en ese mismo intervalo. En primer lugar, estime cul puede ser la longitud mxima de la grfica de un polinomio en [0, 1]. Ahora calcule la longitud para varias parbolas. Explique por qu fc(x) = cx(1 x) es una parbola abierta hacia abajo con x-intersecciones en 0 y 1 y vrtice en x = 1/2. Qu ocurre con la longitud cuando c se hace muy grande? Imagine que nos restringimos a polinomios cuyos valores estn entre 1 y 1. Compruebe que en [0, 1] las funciones g2(x) = 4x(1 x), g3(x) = 20x(1/2 x)(1 x) y g4(x) = 80x(1/3 x)(2/3 x)(1 x) tienen todas esta propiedad. Compare las longitudes de arco de g2(x), g3(x) y g4(x). Cul ser el lmite de esas longitudes? Defina una funcin g5(x) que contine esa pauta. En este ejercicio va a enfrentarse a una famosa paradoja relativa a la trompeta de Gabriel. Se hace girar, en torno al eje x, la curva y = 1/x, para 1 x R, con R > 0 un valor constante grande. Calcule el rea y el volumen encerrado por esa superficie de revolucin. (En ambos casos se pueden hallar las primitivas, aunque tal vez necesite un PCS para hallar el rea). Determine el lmite del rea y del volumen para R . Ahora vamos con la paradoja. Segn sus resultados, tenemos un slido de volumen finito y rea infinita. As, pues, ese slido tridimensional se podra llenar completamente con una cantidad finita de pintura, pero para pintar su superficie hara falta una cantidad infinita.

43. 45.

y = ex, 3 x 5

44.

y = ex, 5 x 3

Calcular la longitud de arco de y = x6, y = x8 e y = x10 en 0 x 1. A la vista de los ejemplos 4.2 y 4.3, identificar la pauta de la longitud de y = xn, 0 x 1, al crecer n. Conjeturar el lmite cuando n . Para entender mejor el resultado del ejercicio 45, calcular n lm x para cada x tal que 0 x < 1. Calcular la longitud den

54.

46.

esa curva lmite. Si se conecta esa curva con el punto final (1, 1), cul es la longitud total? 47. Probar que y = x4 es ms plana que y = x2 para 0 < x < 1/2 y ms pendiente para x > 1/2. 48. 49. 50. Comparar cmo son de planas o de pendientes y = x6 e y = x4. Calcular el rea de la superficie generada por el cuadrado 1 x 1 y 1 y 1 al girar en torno al eje y. Hallar el rea de la superficie generada por la circunferencia x2 + y2 = 1 al girar en torno al eje y. 55.

51. Calcular el rea de la superficie generada por el tringulo de vrtices (1, 1), (0, 1) y (1, 1) al girar en torno al eje y. 52. Dibujar, en unos mismos ejes, el cuadrado, el crculo y el tringulo de los ejercicios 49-51. Probar que las reas relativas de los slidos de evolucin que generan (cilindro, esfera, cono) est en razn 1+ 5 . 3:2:, donde es la razn urea, definida como = 2

5.5

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

En varias secciones hemos discutido aspectos del movimiento de un mvil rectilneo. Si conocemos la posicin en funcin del tiempo, la derivada de la funcin posicin es la velocidad y la derivada de la velocidad es la aceleracin. Ms interesante es el problema inverso: dada la aceleracin, hallar la posicin y la velocidad de un objeto. Matemticamente, esto significa reconstruir una funcin cuya derivada se conoce. Con la integracin a nuestra disposicin, es fcil conseguir ese objetivo. En esta seccin consideraremos el caso de un mvil que se desplaza por una curva en dos

Cálculo integral

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