Captulo1: Laintegral denida 1Captulo1Laintegraldenida1.1 IntroduccionEnprimerlugarrecordaremosqueenel cursoanterioryahemosestudiadolosconceptossiguientes:Denicion1.1.1 Siendoa, b R cona < b se dice que lafunciony = f(x)esacotadaen _a, b si:x _a, bA > 0 : _ f(x) < A_ .Por ejemplo,f(x) = senx es acotada en R puesto que:x R : _| senx | 1_ .Ahora , la funcionf(x) = 1/x no es acotada ya que siA > 0 fuese cota superior, entonces:f_1A+ 1_ = A+ 1 > A .A continuacion traemos a la memoria el:Teorema1.1.1 Sif: _a, bR es una funcion continua en _a, b, entoncesfes acotadaen _a, b.1.2 ConceptodeintegraldenidaPues bien, siendoa < b consideramos la funciony = f(x) acotada en _a, b y procedamos adividir el intervalo _a, b enn subintervalos mas peque nos, no necesariamente de la mismalongitud, por medio de losn + 1 puntos:a = x0< x1< x2< x3< < xn1< xn = b ,llamaremosnormadelaparticionanterior a la mayor longitud || || que se produceal medirtodosestospeque nosintervalos, oseaquesi sedenelalongituddel intervalo_xi1, xi como:xi = xixi1, i = 1, 2, , n ,se tendra:|| || = max(1in){xi} .2 CALCULOINTEGRAL FernandoArenasDazaxk xk1akb aYX OFig. 1.1Sea ahoraaicualquier valor pertenecienteal intervalo _xi1, xi. Con los datos ante-riores formamos,para cada valor dei,losproductos:f(ai)xi,(considerar la gura 1.1) y con ellos la su-ma:sn =n

i=1f(ai)xi,y si existe:limnsn,independientementedelaparticion {xi}, delosvalores {ai}y, ademas, cuando |||| 0si n ,entoncesaestelmitelollamaremoslaintegral denidadef en _a, bylosimbolizaremos por:_baf(x)dx = lim|| ||0n

i=1f(ai)xi,ademas, se dice que lafuncionfesintegrableen _a, b.Formalizando lo anterior, tenemos:Denicion1.2.1 Seafuna funcion denida en el intervalo _a, b con:P = {x0 = a, x1, x2, , xn1, xn = b} ,una particion de _a, b cuya seleccion tomada deP es:S = {a1, a2, , an1, an} ,llamaremos sumadeRiemannparafdeterminadaporPyS a:sn =n

i=1f(ai)xi.Denicion1.2.2 Laintegraldenidadelafuncionfdeaab es el n umero:_baf(x)dx = lim|| ||0n

i=1f(ai)xi, (1.1)siemprequeestelmiteexista, encuyocasodiremosquef esintegrableen _a, b. Laexpresion (1.1) signica que, para cada n umero > 0, existe un n umero> 0 tal que:n

i=1f(ai)xi_baf(x)dx 1 resulta:r < r2< r3< < rn1,luego, la norma de la particion es |||| = xn = arn1(r 1), pero como:limnr =limnn_ba= 1 ,se obtiene:limn|||| = 0 .Ahora, consideramos como:ak = xk, k = 1, 2, 3, , nCaptulo1: Laintegral denida 7es decir, los extremos derechos de cada intervalo y con ello:sn =n

k=1f(ak)xk =n

k=1(ark)park1(r 1) = ap+1r 1rn

k=1(rp+1)k== ap+1r 1rrp+1(rp+1)n1rp+11= ap+1r 1rrp+1(b/a)p+11rp+11== (bp+1ap+1)rp(r 1)(r 1)(rp+rp1rp2+ +r + 1)== (bp+1ap+1)rprp+rp1rp2+ +r + 1,nalmente:_baxpdx =limnsn = (bp+1ap+1) limnrprp+rp1rp2+ +r + 1=bp+1ap+1p + 1.En resumen, la respuesta es:_baxpdx =bp+1ap+1p + 1.Problema1.2.5 Siendo 0 < a < b, se pide calcular:_badxx.Solucion:Hagamos la particion en progresion geometrica:a = x0< x1< x2< < xn = b ,o sea,xk = x0rk, de dondeb = arn, con lo que:r =n_ba,de esto se consigue:xk = xkxk1 = a(rkrk1) = ark1(r 1) ,comor > 1 resulta:r < r2< r3< < rn1,luego, la norma de la particion es |||| = xn = arn1(r 1), pero como:limnr =limnn_ba= 1 ,se obtiene:limn|||| = 0 .8 CALCULOINTEGRAL FernandoArenasDazaAhora, consideramos como:ak = xk, k = 1, 2, 3, , nes decir, los extremos derechos de cada intervalo y con ello:sn =n

k=1f(ak)xk =n

k=1ark1(r 1)ark== nr 1r= n(1 n_a/b ) = n(n_a/b 1) ,y recordando que si > 0, entonces:limnn(n 1) = log ,a causa del problema resuelto [6.4.9], luego, obtenemos:_badxx=limnsn = log ab= logba,En resumen, la respuesta es::_badxx= logba.1.3 PropiedadesdelaintegraldenidaLas propiedades de la integral denida son las siguientes:(1) La integral denida es independiente de la variable de integracion, o sea:_baf(x)dx =_baf(u)du.Ello se debe a que la integral denida solo depende def, dea y deb.(2) Siendoa < c < b yfintegrable en _a, b, entonces:_baf(x)dx =_caf(x)dx +_bcf(x)dx .Notas:(i) Supongamosa < c = b, luego:_baf(x)dx =_c=baf(x)dx +_bc=bf(x)dx ,de ello se desprende la:Denicion1.3.1_aaf(x)dx = 0 .Captulo1: Laintegral denida 9(ii) Si ahoraa < b < c, se desea:_baf(x)dx =_baf(x)dx +_cbf(x)dx +_bcf(x)dx ,de ello se desprende la:Denicion1.3.2_cbf(x)dx = _bcf(x)dx .(3) Siendofyg integrables en _a, b, entonces:_ba(f(x) +g(x))dx =_baf(x)dx +_bag(x)dx .(4) R yfintegrable en _a, b, entonces:_baf(x)dx = _baf(x)dx .Ejemplo1.3.1_0_5senx 3senx1 + cos2x_dx = 5_0senxdx 3_0senx1 + cos2xdx == 5 cos x0 + 3 Arctg(cos x)0= 10 32.(5) Siendofintegrable en _a, b y:x _a, b(f(x)) 0), entonces_baf(x)dx 0 y representa elareade la porcion de plano encerrada porx =a, x =b, y= 0ey=f(x), comosemuestra en la gura 1.2.a bXYOFig. 1.2Problema1.3.1 Talcomoseindicaenlagura1.3,sepidecalcularelareaplanaen-cerrada por las curvasy = senx ey = cos x, cuandox es tal que 0 x 2.Solucion:Observando la gura 1.3, se consigue: = 4__/40(cos x senx)dx +_/2senxdx = 42 .10 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazaPi/2YX OPiPi/4Fig. 1.3(6) Siendofyg integrables en _a, b y x _a, b_f(x) g(x)_, entonces:_baf(x)dx _bag(x)dx .Problema1.3.2 Sea a un n umero real jo, se pide encontrar todas las funciones continuasy positivasf(x) conx _0, 1 que, a la vez, satisfacen las propiedades:_10f(x)dx = 1 ,_10xf(x)dx = a y_10x2f(x)dx = a2.Solucion:Se tiene:a2_10f(x)dx 2a_10xf(x)dx +_10x2f(x)dx ==_10(a22ax +x2)f(x)dx = a22a2+a2= 0 ,o sea:_10(x a)2f(x)dx = 0 , (1.2)y como (x a)2f(x) > 0 se debera tener:_10(x a)2f(x)dx > 0 , (1.3)de (1.2) y (1.3), se concluye una contradiccion, luegof(x) no existe.Volviendo a las propiedades:(7) Noolvidar!que:_baf(x)dx =limnb ann

k=1f_a +kb an_ .Captulo1: Laintegral denida 11Problema1.3.3 Calcular: =limn1n_11 +12 +13 + +1n_ .Solucion:Se tiene: =limn1 0n_1_1n+1_2n+1_3n+ +1_nn_ ==_10dxx=_10x12dx = 2x10 = 2 .Problema1.3.4 Calcular =limnn

k=1nn2+k2.Solucion:Tenemos: =limn1nn

k=111 +_kn_2=_10dx1 +x2= Arctg x10 =4.Problema1.3.5 Calcular =limnn

k=1kn2+k2.Solucion:Se tiene que: =limn1nn

k=1kn1 +_kn_2=_10x1 +x2dx ==12_10d(1 +x2)1 +x2=12 log(1 +x2)10 = log2 .Problema1.3.6 Calcular limnn

k=1k2n3+k3.Solucion:Se tiene:limnn

k=1k2n3+k3=limn1 0nn

k=1_kn_21 +_kn_3=12 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDaza=_10x21 +x3dx =13_10d(1 +x3)1 +x3=13 log(1 +x3)10=13 log 2 .Volviendo a las propiedades, tenemos:(8) Si R, entonces:_ba dx = (b a) .(9) x _a, b : _m f(x) M_ yfintegrable en _a, b, entonces:m(b a) _baf(x)dx M(b a) .Problema1.3.7 Demostrar que:0, 5 _ 1212dx_(1 x2)(4 x2) 0, 6 .Solucion:Se observa que:f(x) =1_(1 x2)(4 x2),es funcion par, luego bastara estudiarla parax _0, 12. Sea:g(x) = (1 x2)(4 x2) = x45x2+ 4,con ello:g

(x) = 4x310x = 2x(2x25) = 0 .Los puntos crticos deg son:x0 = 0 y x1 =_52= 1, 58113883 _0, 12_ .Ahora,g

(x) = 12x210 yg

(0) = 10 < 0, luegox0 = 0 es maximo deg y mnimo def,por lo tanto, se consigue:m = f(0) =12= 0, 5 y M= f_12_ =1_(1 14)(4 14)=435= 0, 5962284794.= 0, 6 .De ello, se deduce que:x _12, 12_ : 0, 5 f(x) 0, 6 ,y utilizando la propiedad (9) obtenemos el resultado.(10) Siendofintegrable en _a, b, entonces:_baf(x)dx _ba f(x) dx.Captulo1: Laintegral denida 13(11)DesigualdaddeCauchy-SchwarzSiendofyg integrables en _a, b, entonces:_baf(x)g(x)dx __baf2(x)dx_12__bag2(x)dx_12.Demostracion:En efecto, sea un parametro, con ello:(f(x) g(x))2 0,por lo tanto, resulta:_ba_f(x) g(x)_2dx 0,y de esto se obtiene:_baf2(x)dx 2__baf(x)g(x)dx_ +__bag2(x)dx_2 0,loqueesuntrinomiodesegundogradoenynonegativo, luegosudiscriminanteesnopositivo, es decir:__baf(x)g(x)dx_2__baf2(x)dx___bag2(x)dx_ 0;consiguiendose, con esto, el resultado requerido.Problema1.3.8 Demostrar que si 0 < a < b, entonces:logba b aab.Solucion:Tenemos que:logba=_badxx =_ba(1x 1)dx__badxx2_12 __ba12dx_12,o sea:logba _1xba_12{b a}12=_1a 1b_12(b a)12=b aab.Retomando las propiedades nuevamente.(12)_baf(x +c)dx =_b+ca+cf(x)dx .14 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazaDemostracion:a|b|En la gura anterior se tiene:x =ban, con ello:_baf(x +c)dx =limnb ann

k=1f((a +kb an) +c) , (1.4)(a +c)|(b +c)|En la gura anterior se tieneu = x +c y u =(b +c) (a +c)n= x, con ello:_b+ca+cf(u)du =limnb ann

k=1f_(a +c) +kb an_ , (1.5)Se deduce de (1.4) y (1.5) que los resultados son identicos.Ejemplo1.3.2_31(x 1)2dx =_3111x2dx =_20x2dx =83.Pasemos ahora a la siguiente propiedad:(13)_baf(cx)dx =1c_bcacf(x)dx .Demostracion:a|b|En la gura anterior se tienex =b an, con ello:_baf(cx)dx =limnb ann

k=1f_c_a +kb an__ , (1.6)(ac)|(bc)|En la gura anterior se tieneu = cx y u =(bc) (ac)n= cb an= cx, con ello:_bcacf(u)du =limncb ann

k=1f_ac +kcb an_ , (1.7)De (1.6) y (1.7) se deduce el resultado.Captulo1: Laintegral denida 15Ejemplo1.3.3_10sec24xdx =4_ 40sec2xdx =4tgx40=4.A continuacion pasamos a la propiedad:(14)_baf(c x)dx =_cacbf(x)dx .Problema1.3.9 Sif(x) = f(a x) yg(x) +g(a x) = k, entonces:_a0f(x)g(x)dx =k2_a0f(x)dx .Hallar:_0xsenx1 + cos2xdx .Solucion:0|x|a/2|(a x)|a|En la gura anterior se tiene:_a0f(x)g(x)dx =_ a20f(x)g(x)dx +_aa2f(x)g(x)dx =_ a20f(x)g(x)dx++_aa2aaf(a x)g(a x)dx =_ a20f(x)_g(x) +g(a x)_dx =k2_a0f(x)dx .Ahora, en:_0xsenx1 + cos2xdx.hacemos:g(x) = x, f(x) =senx1 + cos2xresultandof( x) = f(x) yg(x) +g( x) = x + x = , luego:_0xsenx1 + cos2xdx =2_0senx1 + cos2xdx = 2 Arctg(cos x)0== 2_Arctg(1) Arctg(1)_ = _2_2.Veamos ahora la propiedad n umero:16 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDaza(15) Sean:f: _a, b R+_c, d R+y:f1: _c, d_a, b ,funcionesinversaseintegrables, tal comose muestra en gura 1.4, entonces:_dcf1(y)dy = bd ac _baf(x)dx.a bcdO XYFig. 1.4cdYa b X OFig. 1.5Problema1.3.10 Calcular:_ebealog xdx ,tal caso se muestra en gura 1.5.Solucion:Tenemos:_ebealog xdx = bebaea_baexdx (1.8)Pero:_baexdx =limnb ann1

k=0ea+kban=limnb anean1

k=0(eban)k==limnb anea(eban)n1eban1= (ebea) limn1eban 1ban= (ebea).Aplicando este resultado en (1.8) conseguimos :_ebealog xdx = bebaea(ebea) = eb(b 1) ea(a 1) .Nota:Si enel problemaanteriortomamos0 0 yf(x) monotona, entonces:c a, b_ :_baf(x)g(x)dx = f(a)_cag(x)dx +f(b)_bcg(x)dx .Demostracion:Sea:h(x) = f(a)_xag(u)du +f(b)_bxg(u)du ,luego:h(a) = f(b)_bag(t)dt ,y:h(b) = f(a)_bag(t)dt ,ademas,h(x) es continua en _a, b.Por otra parte, a causa del (P.T.V.M.I.G.) resulta:c1 a, b_ : f(c1)_bag(x)dx =_baf(x)g(x)dx (1.9)20 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazapor otro lado, comof(x) es monotona, digamos que es creciente, se tiene:f(a) f(c1) f(b),de donde:f(a)_bag(x)dx f(c1)_bag(x)dx f(b)_bag(x)dx ,o sea:h(b) f(c1)_bag(x)dx h(a) ,o mejor, por (1.9):h(b) _baf(x)g(x)dx h(a) ,y, a causa del teoremadelvalorintermedio se consigue:c ]a, b[: h(c) =_baf(x)g(x)dx,peroh(c) = f(a)_cag(u)du +f(b)_bcg(u)du y de ello llegamos a la tesis.Problema1.4.3 Seanfygintegrablesen[a, b] cong(x) 0yf(x)>0ydecreciente,entonces:c a, b_ :_baf(x)g(x)dx = f(a)_cag(x)dx .Solucion:Sea:h(x) = f(a)_xag(u)du ,luego h(a) = 0 y h(b) = f(a)_bag(t)dt, ademas, h(x) es continua en_a, b, por (P.T.V.M.I.G.)resulta que:c1 a, b_ : f(c1)_bag(x)dx =_baf(x)g(x)dx , (1.10)ademas,a < c1< b y como f(x) es positiva y decreciente, nos resulta que f(a) > f(c1) > 0,de donde:h(b) = f(a)_bag(t)dt > f(c1)_bag(t)dt > 0 = h(a),y a causa del teoremadelvalorintermedio se consigue:c a, b_ : h(c) =_baf(x)g(x)dx ,peroh(c) = f(a)_cag(x)dx y de esto el resultado.Captulo1: Laintegral denida 211.5 TeoremafundamentaldelcalculoComenzaremos este parrafo haciendo notar que ya hemos estado ocupando el primer resul-tado que aqu se entregara. A continuacion presentamos la:Denicion1.5.1 Seaa < b, diremos queF(x) esprimitivadef(x)en a, b_ si:x a, b_ : F

(x) = f(x) .Por ejemplo, tenemos queF(x) = x(log x 1) es primitiva def(x) = log x en R+, porque:x R+: F

(x) = log x 1 +x 1x= log x .Este concepto de primitivadeunafuncion se necesita para el:Teorema1.5.1 Teoremafundamentaldelcalculo(primeraparteoregladeBa-rrow)Seafintegrable en _a, b yFuna primitiva defen c, d_, con _a, bc, d_, entonces:_baf(x)dx = F(b) F(a).Demostracion:Sea a = x0< x1< x2< < xn = b una particion de _a, b con la longitud xk =b an=, con ello:F(b) F(a) = (F(xn) F(xn1)) + (F(xn1) F(xn2)) + + (F(x1) F(x0)) ,y por T.V.M.D. se tiene que parak = 1, 2, 3, , n ck xk1, xk_ :f(ck) = F(xk) F(xk1) ,por lo tanto, resulta:F(b) F(a) =n

k=1f(ck),as, cuando:n F(b) F(a) =_baf(x)dx .22 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDaza1225 1OP1PoYXFig. 1.6Problema1.5.1 Calcular el area plana encerrada por las curvas de ecuaciones:y2= x 1 e y = x 3 .(Porcion de plano que se muestra en la -gura 1.6.)Solucion:Las curvas dadas se intersecan en los pun-tosP0(2, 1) yP1(5, 2).Esto se debe a que:y2= x 1 x = y2+ 1 , y = x 3 x = y + 3, de donde se obtieney2 y 2 = 0 =(y + 1)(y 2), con estoy = 1 x = 2 , y = 2 x = 5.Primermetodo:Se tiene: =_21_x 1 _x 1__dx +_52_x 1 (x 3)_dx == 2_10xdx +_41xdx _21xdx = =92.Segundometodo:Por otro lado, tenemos: =_21_y + 3 _y2+ 1__dy =_21(y2+y + 1)dy == =92.Vemosqueestemetodoesmasfacil!Problema1.5.2 Calcular el area plana encerrada por las curvas de ecuaciones:y2= 8 x e y =x2.(Porcion de plano que se muestra en la -gura 1.7.)Solucion:Las curvas dadas se intersecan en los pun-tosP0(8, 4) yP1(4, 2).4P18X2O4PoY8Fig. 1.7Esto se debe a que:y2=8 x x=8 y2, y=x2x=2y, dedondeseobtieney2+ 2y 8=0=(y + 4)(y 2), con estoy = 4 x = 8 , y = 2 x = 4.Captulo1: Laintegral denida 23Primermetodo:Se tiene: =_48_x2 (8 x)_dx + 2_84_8 x_dx ==x2448+_164xdx + 2_40xdx = = 36 .Segundometodo:Por otro lado, tenemos: =_24_(8 y2) 2y_dy =_8y y33y2_24== = 36 .Vemosqueestemetodoesmasfacil!Problema1.5.3 Encontrar el area de la porcion de plano comprendida entre los arcos decurva asociados af(x) = 1 x4yg(x) = x3x cuandox _2, 2.Solucion:15105052 1 1 2xFig. 1.8Considerando la gura 1.8, tenemos queel area pedida es: =_12_(1 x4) + (x3x)_dx++_11_(1 x4) (x3x)_dx++_21_(1 x4) + (x3x)_dx ,que al calcularla produce: =5920 + 85 + 14920= 12 .Teorema1.5.2 TeoremadeJacobiodelcambiodevariableSiendox = g(u) una funcion con derivada continua en c, d_, ademas,g(c) = a,g(d) = b yf(g(u)) continua en _a, b, entonces:_baf(x)dx =_dcf(g(u))g

(u)du .24 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazaDemostracion:Sea F primitiva de f (F

=f), conella formemos G(u) =F(g(u)), luego G

(u) =f(g(u))g

(u), por lo tanto, tendremos:_baf(x)dx = F(b) F(a) = F(g(d)) F(g(c)) = G(d) G(c) =_dcf(g(u))g

(u)du .Problema1.5.4 Demostrar que:n

k=0(1)k_nk_k +m+ 1=m

k=0(1)k_mk_k +n + 1.Solucion:Se tiene:n

k=0(1)k_nk_k +m+ 1=n

k=0(1)k_nk__10tk+mdt ==_10tmn

k=0(1)k_nk_tkdt =_10tm(1 t)ndt . (1.11)Si en esta integral hacemost = 1 u resulta:_10tm(1 t)ndt =_10un(1 u)mdu =_10unm

k=0(1)k_mk_ukdu ==m

k=0(1)k_mk__10uk+ndu =m

k=0(1)k_mk_k +n + 1. (1.12)De (1.11) y (1.12) se obtiene lo pedido.Problema1.5.5 Calcular el area planaencerrada por la elipse de ecuacion:x2a2+y2b2= 1 .Solucion:Captulo1: Laintegral denida 25XYOFig. 1.9Tomando en cuenta la gura 1.9 se tiene: = 4 ba_a0_a2x2dx ,en la integral hagamos:x = asen ,con ello resulta xa0 20y, ademas, dx =a cos d, con ello se obtiene: = 4 ba a2_ 20cos2d ,por lo tanto, conseguimos: = 2ab_ 20(1 + cos 2)d = 2ab__ 20d + 12_ 20cos 2d(2)_ = ab .Problema1.5.6 Calcular el area planaencerrada por la astroide de ecuaci on:x23+y23= a23.Solucion:Tomando en cuenta la gura 1.10, tenemos: = 4_a0(a23x23)32dx ,en la integral hagamos x = asen3, con elloresulta:xa0 20,y, ademas, se tiene:dx = 3asen2 cos d ,YX OFig. 1.10de ello: = 12a2_ 20(sen cos )2cos2d ,o sea: =3a22_ 20sen22(1 + cos 2)d ,es decir: =3a22_12_ 20(1 cos 4)d +_ 20sen22 cos 2d ==3a22_12_ 20d 18_ 20cos 4d(4) + 12_ 20sen22d(sen2) =3a28.26 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazaProblema1.5.7 CalcularI =_ 20senxdxsenx + cos x.Solucion:En ella hacemosx =2 y, resultando:I =_ 20cos ydyseny + cos y=_ 20cos xdxsenx + cos x 2I =_ 20senxdxsenx + cos x +_ 20cos xdxsenx + cos x,luego:2I =_ 20senx + cos xsenx + cos xdx =_ 20dx =2, de donde : I =4.Problema1.5.8 Demostrar que:n

k=1(1)k+1_nk_k=n

k=11k.Solucion:Tenemos:(1 x)n=n

k=0(1)k_nk_xk,de donde:1 (1 x)n=n

k=1(1)k+1_nk_xk,luego:1 (1 x)nx=n

k=1(1)k+1_nk_xk1,pero:_10n

k=1(1)k+1_nk_xk1dx =n

k=1(1)k+1_nk__10xk1dx ==n

k=1(1)k+1_nk_k. (1.13)Por otro lado, tenemos que en:_101 (1 x)nxdx ,al hacer el cambio dex por 1 x se consigue:_101 (1 x)nxdx =_101 xn1 xdx =_10n1

k=1xkdx =Captulo1: Laintegral denida 27=n1

k=1_10xkdx =n

k=11k. (1.14)De (1.13) y (1.14) resulta lo pedido, o sea:n

k=1(1)k+1_nk_k=n

k=11k.1.5.1 Areabajounarcodecurvaexpresadaencoorde-nadasparametricasSi el arco de curva es:C :_x = x(t)y = y(t)con : a t b ,entonces el area bajo este arco es: =_bay(t)dxdt(t)dt .Problema1.5.9 Calcular el area de la porcion de plano encerrada por el bucle de la curvadada porx(t) = t23,y(t) = 3t 13t3.YX OFig. 1.11Tomando en cuenta la gura 1.11, tenemosqueparay=0resultat= 3, 0, 3yacausa de esto se tiene que el arco corta alejedeabscisasenx=93. Debidoalasimetra con este ultimo eje se deduce queel area pedida es: = 2_30_3t 13t3_2t3dt == 43_30_3t2 13t4_dt =21653 .1.5.2 Vol umenes(I)Volumendeunsolidoderevolucion(I.1)VolumendeunsolidoderevolucionconrespectoalejedeabscisasPensemos en el arco de curva continua que no cruza al ejeOX:C : y = f(x), a x b ,28 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazarotaremos en torno al mencionado ejeOX la porcion de plano comprendida entre este eje, larecta de ecuacion x = a, la recta de ecuacion x = b y el arco de curva C asociada a y = f(x),se pide calcular el volumen generado.Solucion:Considerando la gura 1.12, vemos que se producen los peque nos cilindros de vol umenes:Vk = y2kxk,por lo tanto el volumen pedido sera:Vx =limnn

k=1y2kxk = _bay2dx ,es decir:Vx = _bay2dx ,x abYOXFig. 1.12(I.2)VolumendeunsolidoderevolucionconrespectoalejedeordenadasPor analoga, si rotamos en torno del ejeOYse obtendra:Vy = _dcx2dy.Problema1.5.10 Encontrarel volumenderevolucionquesegeneraal rotarlaporciondeplanocomprendidaentreel arcodeparabolay2= 2pxdel primercuadranteyel ejedeabscisas en torno del ejeOXcuando 0 x aSolucion:baYO XFig. 1.13Considerando la gura 1.13, el volumen pe-dido resulta ser:Vx = _a0y2dx ,peroy2= 2px e integrando conseguimos:Vx = _a02pxdx = pa2.Captulo1: Laintegral denida 29Problema1.5.11 Encontrarel volumenderevoluci onquesegeneraal rotarlaporciondeplanocomprendidaentreel arcodeparabolay2= 2pxdel primercuadranteyel ejedeordenadas en torno del ejeOYcuando 0 y bSolucion:Considerando la misma gura 1.13, resulta:Vy = _b0x2dy = _b0_y22p_2dy =4p2_b0y4dy =20p2b5.Problema1.5.12 Hallar el volumen del anillo solido que se genera al hacer girar la elipsede ecuacion(x d)2a2+y2b2= 1, cond > a, en torno al eje de ordenadas.Solucion:Considerandolagura1.14, dondelacurvaporlaizquierdaesladeecuacionx1=d ab_b2y2ylacurvadel ladoderechotieneecuaciondadapor laexoresionx2=d +ab_b2y2, obtenemos:V= 2__b0(x22x21)dy_ ==8adb_b0_b2y2dy,colocandoy = bsen, resulta:V=8adb2_ 20b2cos2d == 4abd__ 20d + 12_ 20cos 2d(2)_ == 22abd .Y-bd-a d+a d O XbFig. 1.14(II)Volumendeunsolidoconociendoelareadelasseccionestransversales30 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazaConsiderandolagura1.15, dondetene-mos un solido limitado por dos planos pa-ralelosdeecuaciones x=ayx=bcona < b, cortando el solido por un plano pa-ralelo a los anteriores determinamos la sec-ciontransversalcuyaareadenotamospor. Si estaarealapodemosexpresarsolocomo funcion dex, o sea = (x), enton-ces el volumen del solido sera:V=_ba(x)dx .ZXYFig. 1.15Problema1.5.13 UntrianguloequilaterosemuevedemodoqueunladotieneverticesA(x, 0, 0), mientras que el vertice B se mueve en la circunferencia de ecuaciones x2+y2= a2,z=0ytal queel ladoABessiempreparaleloal ejeOY , siendoel planodel trianguloperpendicular al plano (X, O, Y ); determinar el volumen del solido as generado (que vemosen gura 1.17 ).Solucion:CB XYAZFig. 1.16ZYXFig. 1.17Considerandolagura1.16, seconsigueA(x, 0, 0), B(x,a2x2, 0)y, ademas, sabemosque el area del trianguloABCes (ABC) =AB243 que se traduce en:(ABC) =a2x243 ,porqueAB2= a2x2, por lo tanto, resulta:V= 4 2 _a0a2x243dx =23_a3a33_ =43a33 .Captulo1: Laintegral denida 31Problema1.5.14 Dadalaelipsedeecuacionx2a2+y2b2=1, cona>b, porcadapuntoP(x, y) de ella se traza una circunferencia centrada en ese puntoPcon radioy(perpendi-cularmenteal ejedeabscisas). Segeneraunmarraquetoideelptico(quevemosengura1.19 ), se pide calcular su volumen.Solucion:Se tiene, considerando la gura 1.18, que:yyxPO XYFig. 1.18ZYXFig. 1.19(x) = y2= b2a2(a2x2), con ello el volumen del marraquetoide resulta ser:V= 4_a0b2a2(a2x2)dx = 4b2a2_a0(a2x2)dx = =83ab2.(III) VolumendeunsolidoderevolucionpormediodecapascilndricasProblema1.5.15 Hallar el volumenderevolucionpormediodecapascilndricasque se genera al rotar la porcion de plano encerrada por la curvay = f(x), el ejeOX, cona x b en torno al ejeOY .Solucion:XYFig. 1.20Tal como vemos en la gura 1.20, una ca-pacilndricaesunaregionacotadapormediodedoscilindroscircularesrectosyconcentricos deigualalturah. Sielcilin-dro interior tiene radio basal r1y el exte-rior tiene radio basal r2, entonces el volu-men encerrado es:V = r22h r21h == 2r1 +r22(r2r1)h = 2 rhr ,32 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazaluego, el volumen de revolucion de un solido de revolucion por medio de capas cilndricas entorno al eje de ordenadas sera:V = 2_baxf(x)dx .Problema1.5.16 Hallar el volumenderevolucionpormediodecapascilndricasque se genera al rotar la porcion de plano encerrada por la curvax = f(y), el ejeOY , conc y d en torno al ejeOX.Solucion:Por analoga volumen encerrado esV = 2_dcyf(y)dy.Problema1.5.17 Determinarel volumendel solidoderevolucionquesegeneraal rotarla curvaf(x) = ex2en torno al ejeOYcuando 0 x b yb .Solucion:Considerando la gura 1.21, resulta:V = 2_0xex2dx == 2limb_b0xex2dx == limb_b0ex2d(x2) == limbex20b= .OYXFig. 1.21Problema1.5.18 Determinarel volumendel solidoderevolucionquesegeneraal rotarla curvaf(x) = x(4 x2) en torno al ejeOYcuando 0 x 2.Solucion:YO XFig. 1.22Tenemos, considerando la gura 1.22, que:V= 2_20x2(4 x2)dx == 2_20(4x2x4)dx == 2_43x3x55_20=12815.Captulo1: Laintegral denida 33Problema1.5.19 Determinarel volumendel solidoderevolucionquesegeneraal rotarporcion de plano encerrada por las curvasx = y2yx =3yen torno al ejeOX.Solucion:Considerando la gura 1.23 resulta que las curvas intersecan en los puntos P1(0, 0) y P2(1, 1),luego el volumen pedido es:V= 2_10y(3y y2)dy == 2_10_y43y2_dy == 2_37y73 14y4_10=514.OYP2XFig. 1.23Problema1.5.20 Determinarel volumendel solidoderevolucionquesegeneraal rotarla porci on de plano encerrada por las curvasy =x ey = x3en torno al ejeOY .Solucion:OYP2XFig. 1.24Considerando la gura 1.24 resulta que lascurvasintersecanenlospuntosP1(0, 0)yP2(1, 1), luego el volumen pedido es:V= 2_10x(x x3)dx == 2_10_x32x4_dy == 2_25y52 15x5_10=25.Problema1.5.21 Utilizandocapascilndricasdeterminarel volumendel solidoderevo-lucionquesegeneraal rotarentornoalarectadeecuaci onx = 2laporciondeplanoencerrada por las curvasy = 0 ey = x3x4.Solucion:Considerando la gura 1.25, tenemos:34 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazaV= 2_10(x + 2)(x3x4)dx == 2_10(2x3x4x5)dx = ==415.Yx+2X OFig. 1.251.5.3 LongituddearcoConsiderando la gura 1.26, donde tenemos el arco de curva (con derivada continua):

AB : y = f(x) a x b .b xn1 aPn1P3P2P1YPox3 X x2PnO x1Fig. 1.26Es claro que se ha procedido a efectuar laparticion de_a, b, por medio de los puntos:a = x0< x1< x2< < xn = b ,consiguiendose en

ABlos puntos:Pk_xk, f(xk) = yk_, k = 0, 1, 2, , n .Luego, la longitud del trazoPkPk+1estara dada por:PkPk+1 = _(xk+1xk)2+ (yk+1yk)2=1 +_yk+1ykxk+1xk_2xk,luego, por el teorema del valor medio diferencial se tiene que:ck xk, xk+1_ :_yk+1ykxk+1xk= f

(ck)_ ,con lo que el arco

ABtendra como medida:(

AB) =limnn

k=1_1 +_f

(ck)_2xk =_ba_1 +y2dx .Problema1.5.22 Hallar el permetro de la astroide de ecuacion:x23+y23= a23.Captulo1: Laintegral denida 35Solucion:Considerando la gura 1.27, tenemos:YX OFig. 1.2723x13+ 23y13y

= 0 ,de donde:y

= y13x13,con lo que:1 +y2=x23+y23x23= a23x23,por lo tanto, el permetro pedido sera: = 4_a0_a23x23dx = 4a13_a0x13dx = 4a13x1131 13a0= 4a1332a23= 6a .1.5.4 IntegralesindenidasDenicion1.5.2 Sean Iunintervalo, funafuncionintegrableen Iyaunn umerojoen I; la funcion:F(x) =_xaf(u)du ,se conoce como unaintegralindenidadefen I.Por ejemplo, tenemos que:F(x) =_x3u2du1 +u2=_x3_1 11 +u2_du = _u Arctg ux3 == x Arctg x 3 +3,es una integral indenida def(x) =x21 +x2.Nota:Decimos una integral indenida de f ya que si cambiamos el valor de a resulta otra. Ademas,si:F(x) =_xaf(u)du , G(x) =_xaf(u)du36 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazason dos integrales indenidas def, entonces:G(x) =_xaf(u)du =_aaf(u)du +_xaf(u)du = F(x) +C.Teorema1.5.3 Teoremafundamentaldelcalculo,(segundaparte.)Seafcontinua en Iya I,a jo, entonces:x I :ddx__xaf(u)du_ = f(x).Demostracion:Sea:F(x) =_xaf(u)du ,deberemos probar queF

(x) = f(x). Pues bien, sabemos que:F

(x) =limhoF(x +h) F(x)h==limho_x+haf(u)du _xaf(u)duh=limho1h_x+hxf(u)du ,pero, por (T.V.M.I.) tenemos que:c x, x +h_ : _f(c) =1h_x+hxf(u)du,con ello:F

(x) =limhof(c) = f(x) .Por ejemplo, si:F(x) =_x2cos2xx2 cos xx3du5 + 3 cos u,resulta:F

(x) =ddx_x3_x2cos2xx2 cos xdu5 + 3 cos u_ ,o sea :F

(x) = 3x2_x2cos2xx2 cos xdu5 + 3 cos u +x3ddx__x2cos2xx2 cos xdu5 + 3 cos u_ . (1.15)Pero:ddx__x2cos2xx2 cos xdu5 + 3 cos u_ =ddx__x2 cos xadu5 + 3 cos u_+ddx__x2cos2xadu5 + 3 cos u_ == 1 + 2senx5 + 3 cos(x 2 cos x) + 2xcos2x 2x2cos xsin x5 + 3 cos(x2cos2x). (1.16)De (1.15) y (1.16) se consigue el resultado.Captulo1: Laintegral denida 371.6 ProblemasresueltosProblema1.6.1 Sip1(x),p2(x),p3(x) yp4(x) son polinomios enx, probar que:F(x) =_x1p1(u)p2(u)du_x1p3(u)p4(u)du _x1p1(u)p4(u)du_x1p2(u)p3(u)dues divisible por (x 1)4.Solucion:EsclaroqueF(x)esunpolinomioenx, comotambienqueF(1)=0, oseaF(x)yaesdivisible por x 1. Ahora bien, (x1)4sera factor de F(x) si F

(1) = F

(1) = F

(1) = 0.Para ver esto sera necesario aplicar la segunda parte del teorema fundamental del calculo.En efecto:F

(x) = p1(x)p2(x)_x1p3(u)p4(u)du +p3(x)p4(x)_x1p1(u)p2(u)dup1(x)p4(x)_x1p2(u)p3(u)du p2(x)p3(x)_x1p1(u)p4(u)du ,y vemos queF

(1) = 0 con lo que (x 1)2es factor deF(x). Ademas tenemos:F

(x) = p

1(x)p2(x)_x1p3(u)p4(u)du +p1(x)p

2(x)_x1p3(u)p4(u)du++p1(x)p2(x)p3(x)p4(x) +p

3(x)p4(x)_x1p1(u)p2(u)du +p3(x)p

4(x)_x1p1(u)p2(u)du++p1(x)p2(x)p3(x)p4(x) p

1(x)p4(x)_x1p2(u)p3(u)du p1(x)p

4(x)_x1p2(u)p3(u)dup1(x)p2(x)p3(x)p4(x) p

2(x)p3(x)_x1p1(u)p4(u)du p2(x)p

3(x)_x1p1(u)p4(u)dup1(x)p2(x)p3(x)p4(x) ,y vemos que F

(1) = 0 con lo que (x1)3es factor de F(x). La ultima se hace por analoga.Problema1.6.2 Demostrar que sif(x) es continua y decreciente, entonces:1x_x0f(u)du ,es decrecienteSolucion:Tenemos:ddx_1x_x0f(u)du_ =xf(x) _x0f(u)dux2,38 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazaluego, por el teorema del valor medio integral se tiene que:c 0, x_ :__x0f(u)du = xf(c)_ ,o sea:ddx_1x_x0f(u)du_ =xf(x) xf(c)x2=1x_f(x) f(c). .< 0_ < 0 .Problema1.6.3 Demostrar que para 0 < 2se tiene:2< sen .Solucion:PrimeroloharemosconGeometra, puesbien, considerando la gura 1.28 donde seha dibujado las curvasy = senx ey =2x,tenemos que para 0 < 2:y

< ys,o sea:X OYFig. 1.282= y

< ys = sen .YO XFig. 1.29Ahora lo haremos con Calculo, consideran-do la gura 1.29, tenemos quey = cos x esdecrecienteen _0, 2, luego, acausadelproblema anterior, se consigue que:1x_x0cos udu ,es decreciente para 0 < x 2, con lo que para 0 < 2resulta:1_0cos xdx =1sen ,Captulo1: Laintegral denida 39es decreciente, por lo tanto, se obtiene:1sen >sen22=2,con lo que:2< sen .Nota:Aunqueel problemaquevieneacontinuacionyalohemos estudiadoencalculounolovolveremos a considerar:Problema1.6.4 HallaralgunaparametrizaciondelabrujadeAgnesi cuyaecuacioncartesiana es:x =8a34a2+y2.Solucion:PQPTOYSXFig. 1.30En la gura 1.30 se ha dibujado la circun-ferencia de ecuacion:(x a)2+y2= a2,y su respectiva recta tangente T en el pun-to(2a, 0). Sehatrazadoel rayoOQqueformaangulot conel ejeOX; esterayoOQ corta a la circunferencia en el punto Qy a la rectaT en el puntoT.PorQsehalevantadolaperpendicularP

Qal ejeOX, estaperpendicularencuentraenP(x, y) a la paralela al ejeOX por el punto T. P(x, y) es un punto de la bruja de Agnesi.Es claro que si unimos S con Q resulta OQ = 2a cos t, ademas, conseguimos x = OQcos t =2a cos2t. Por otra parte, se tiene y = P

P= ST= 2atgt, luego las ecuaciones parametricasde la brujadeAgnesi son:C :_x = 2a cos2ty = 2a tgt, t _2, 2_ .Problema1.6.5 Determinar el volumen del solido de revolucion que se genera al rotar labrujadeAgnesi, de ecuacionx =8a34a2+y2, en torno del ejeOY .40 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazaSolucion:El dibujo lo vemos solo con una porcion tanto de la bruja como del solido en las guras 1.31y 1.32, respectivamente (esto se debe a que el eje de ordenadas es asntota de la curva), quese muestran a continuacion:XYOFig. 1.31 Fig. 1.32Tenemos:V = 2_limb_b0_8a34a2+y2_2dy_ = 128a6limb_b0dy(4a2+y2)2.Ahora si en:_b0dy(4a2+y2)2hacemos y = 2atgt ,conseguiremos:limb_b0dy(4a2+y2)2=limb2_b02a sec2tdt16a4sec4t,con lo que:V = 16a3limb2_b0cos2tdt = 8a3limb2_b0(1 + cos 2t)dt == 8a3limb2__b0dt + 12_b0cos 2td(2t)_ = 8a3limb2_b + 12sen2b_ = 42a3,es decir, la respuesta esV = 42a3.1.7 LasfuncioneslogartmicayexponencialParax > 0 ya hemos visto que:log x =_x1duu.Captulo1: Laintegral denida 41As tenemos que el area bajo la curvaf(x) =1xse encuentra representada por log x y lasvemos en las guras 1.33 y 1.34:Y1 x X Ox 1 O XY = log x =_x1duu = log x =_x1duu(parax > 1) (para 0 < x < 1)Fig. 1.33 Fig. 1.34Ademas, parax > 0 se tiene que:ddx(log x) =1x> 0 ,oseaquelafuncionlog xescontinuayestrictamentecreciente,portantoesunoaunoysobre, esto nos dice que:log : R+Res invertible y su funcion inversa es:exp : R R+,en otras palabras:y = log x x = ey.Losgracosdeestasfuncioneslosvemosen la gura 1.35.XY1O 1Fig. 1.35Nota:Sabemostambienque limn_1 +1n_n=e, como, asuvez, deellapodramosdecir quesedesprendelaconocidadesigualdadexpresadaenlaformulasiguiente _1 +1n_n 0 , y

(0) = 0 ,XPNYOFig. 1.46pero, las coordenadas del puntoNse obtienen con el sistema:___NP: Y y = 1y

(X x)OX : Y = 0,50 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDazaluego, tenemos que el punto Ntiene coordenadas _x+yy

, 0_. De lo anterior se deduce que:ky2= NP= _(yy

)2+y2,o sea:(yy

)2+y2= k2y4,(y vemos quey = 0 es una solucion), luego al dividir pory2se consigue:(y

)2= k2y21 ,es decir:dydx= _k2y21,de donde llegamos a:dx =dy_k2y21.e integrandola, se obtiene:x +C1 =_dy_k2y21=1k_d(ky)_k2y21=1k cosh1(ky) ,en otras palabras, se llega a:y =1k cosh(kx +C),y de esta, al derivarla, resulta:y

= senh(kx +C),YX O1/kFig. 1.47pero como se tiene la condicion y

(0) = 0 sededuce que 0 = senhC, o seaC = 0, obte-niendose nalmente la curva plana llamadacatenaria:y =1k cosh(kx).(y que vemos en la gura 1.47.)1.9 Problemaspropuestos1. Mediante la denicion de integral, calcular las integrales:(i)_bax2dx ,(iii)_52exdx ,(ii)_31x3dx ,(iv)_bacos xdx .Captulo1: Laintegral denida 512. Expresar el lmite dado como una integral denida en _a, b considerando que xk =b an:(i)limnn

k=1(2xk1)xken : _1, 3 ,(ii)limnn

k=1(2 3xk)xken : _3, 2 ,(iii)limnn

k=1(x2k + 4)xken : _0, 10 ,(iv)limnn

k=1(x3k3x2k + 1)xken : _0, 3 ,(v)limnn

k=1_25 x2kxken : _0, 5 ,(vi)limnn

k=1cos(2xk1)xken : _0, 2 ,(vii)limnn

k=1tgxkxken : _0, 4 ,(viii)limnn

k=1sen(2xk)xken : _0, 12 .3. Demostrar que:_10f(x)dx =limn1nn

k=1f_kn_ .4. Calcular los lmites:(i)limn1m+ 2m+ 3m+ nmnm+1,(ii)limn(n + 1) + (n + 2) + + (n +n)n2,52 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDaza(iii)limnn + 1 +n + 2 + +n +nnn,(iv)limn_1na +1na +b +1na + 2b + 1na + (n 1)b_ ,(v)limn1n_1 + sec24n + sec2 24n + sec2 34n + + sec2n4n_ .5. Sin calcular las integrales, determinar en cada pareja siguiente, cual de las integraleses la mayor:(i)_10xdx y_10_1 +x2dx ,(iii)_10x2senxdx y_10xsenxdx ,(ii)_10xdx y_103xdx ,(iv)_41x2dx y_52x2dx .6. Calcular el area de la porcion de plano limitada por las curvas de ecuaciones:(i)y2= x , x = 4 ,(iii)y = x , y = x3,(v)y = x(1 x) , y = 0 ,(vii)x2= 2y 2 , 4x 2y + 7 = 0 ,(ix)y = 2x2x , y = x3,(ii)y = 3x; , x = 1 , x = 2 ,(iv)y = x2, y = x4.(vi)y = x2, y = 4 ,(viii)y = | x | , y = 1 ,(x)y2= 2x 2 , y = x 5 .7. Calcular el areadelaporciondeplanolimitadapor el ejedeordenadasOY , laparabolay = x22x + 2 y la recta tangente a esta en su puntoP0_3, 5_.8. Dada la funcion:f(x) = (x 1)2,yademasa = 1, b = 3, encontrarelvalorc a, b_deacuerdoconelteoremadelvalor medio integral.9. Demostrar que:(i)1, 15 _31dx45 + 4x x2 1, 125 ,Captulo1: Laintegral denida 53(ii)1, 5 _30dx34 + 4x x2 2 ,(iii)0, 2 _41dx25 cos2x 0, 21 .10. Calcular:limn_2n012n senx1 +xdx .11. Dada la funcion:f(x) =x 1x2+ 1,yademasa = 0, b = 2, encontrarelvalorc a, b_deacuerdoconelteoremadelvalor medio integral.12. Calcular la longitud media de todas las ordenadas positivas de la parabola de ecuaciony = 1 x2.13. Demostrar que sifes continua en _a, b y_baf(x)dx = 0, entonces esxiste un valorc a, b_ dondef(c) = 0.14. Demostrar que siendoffuncion integrable, entonces:(i)fes par_0af(x)dx =_a0f(x)dx =12_aaf(x)dx ,(ii)fes impar_0af(x)dx = _a0f(x)dx ,(ii)fes impar_aaf(x)dx = 0 ,interpretar gracamente estos resultados.15. Dada la funcion:f(x) = (2 +x2)3,vericar que:f

(x) = 6x(2 +x2)2,y con ello evaluar la integral:_20x(2 +x2)2dx .54 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDaza16. Dada la funcion:f(x) =3 +xx 2,vericar que:f

(x) = 5(x 2)2,y con ello evaluar la integral:_11dx(x 2)2,17. Dada la funcion:f(x) =_5 +x2,vericar que:f

(x) =x5 +x2,y con ello evaluar la integral:_31xdx5 +x2.18. Calcularf

(x) enx = 1 si:(i)f(x) =_x1xsenu2du ,(ii)f(x) =_x1xeu2du .19. Calcularf

(2) si:f(x) =_x0ux + senu4 +u2du .20. Calcularf

_2_ si:f(x) =_xx4xcos u +usen3udu .21. Calcularf

(1) si:f(x) =_x1x3Arctg u2du .22. Calcularf

(2) si:f(x) =_x2ex2_8 +u2du .23. Dada la funcion:f(x) = 3 +_x01 + senu2 +u2du ,determinar un polinomiop(x) =ax2+ bx + c tal que satisfagap(0) =f(0), p

(0) =f

(0),p

(0) = f

(0).Captulo1: Laintegral denida 5524. Demostrar que si:g(x) =_x0f(u)senxdu ,entonces:g

(x) +g(x) = 2f(x) cos x +f

(x)senx .25. Demostrar que si:F(x) =_x0(u x)f

(u)du ,entonces:F

(x) = f(0) f(x) .26. Determinar el valor dea de manera que:_2axdx1 +x2=43.27. Sea:an =n

k=1(1)k+1k,demostrar que:limnan = log 2 .28. Sea:an =n

k=11k(2k 1),demostrar que:limnan = 2 log 2 .29. Sea:an =n

k=11(3k 1)3k(3k + 1),demostrar que:limnan =12_log 3 1_ .30. Sea:an =n

k=11(4k 3)(4k 2)(4k 1),demostrar que:limnan =14 log 2 .31. Seax R+, demostrar que:(i)x1 +x log(1 +x) x para : x 0 ,56 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDaza(ii)x1 x< log(1 x) < x para : 0 < x < 1 .32. Encontrar las derivadas de:(i)y = Argsenh2x(ii)y = x1Argtghx2(iii)y = Argsenh(tgx)(iv)y = Argsenh2(2x)(v)y = Arg cosh(x + 1)Arctg x(vi)y = e2x Arg coshxx33. Calcular las integrales:(i)_52dxx21(ii)_12dx1 x2(iii)_32dx(x + 1) log(x + 1)(iv)_x0(3u + 1) cos(3u2+ 2u)du(v)_x1u + 2 +4u + 24u + 2 + 1du hacer : u + 2 = v4(vi)_x1du3u2+ 4u + 5(vii)_x1du(3u + 2)7u2+ 6u + 1hacer : 3u + 2 =1vCaptulo1: Laintegral denida 5734. Hallar el area de la porcion de plano limitada por la parabola de ecuaciony = x2, elejeOXy las rectas de ecuacionesx = 2 yx = 4.35. Hallar el area de la porcion de plano limitada por la circunferencia de ecuacionx2+y2= 25, el eje de abscisasOXy las rectas de ecuacionesx = 3 yx = 4.36. Hallar el area de la porcion de plano limitada por la parabola de ecuaciony = x2, elejeOXy las rectas de ecuacionesx = 0 yx = 4.37. Hallar el area de la porcion de plano limitada por la parabola de ecuacion y = 9x2,el ejeOXy las rectas de ecuacionesx = 0 yx = 3.38. Hallar el area de la porcion de plano limitada por la hiperbola de ecuacionxy = a2,el ejeOXy las rectas de ecuacionesx = b yx = c.39. Hallarel areadelaporciondeplanolimitadaporlac ubicadeecuaciony=x3+3x2+ 2x, el ejeOXy las rectas de ecuacionesx = 3 yx = 3.40. Hallar el area de la porcion de plano limitada por la parabola de ecuacion y = 4x2,el ejeOYy las rectas de ecuacionesy = 0 ey = 1.41. Hallar el area de la porcion de plano limitada por la hiperbola de ecuacionxy = a2,el ejeOYy las rectas de ecuacionesy = b ey = c.42. Calcular el area de la porcion de plano limitada por el ejeOY , la parabola de ecuaciony = x22x + 2 y la recta tangente a esta en su puntoP0(3, 5).43. Hallar el area de la porcion de plano limitada por la curva de ecuacionx2/3+y2/3=a2/3.44. Hallar el area de la porcion de plano limitada por las curvas de ecuaciones y = 4 x2ey = 4 4x.45. Hallar el area de la porcion de plano limitada por las curvas de ecuaciones y = x33xey = x.46. Hallar el area de la porcion de plano limitada por las curvas de ecuacionesy= 2x,4y = x ey =2x2.47. Hallar el area de la porcion de plano limitada por la elipse de ecuacion x2/a2+y2/b2=1 y exterior a la circunferenciax2+y2= b2, suponiendoa > b.48. Deducir una formula que permita obtener el area de la porcion de plano limitada porla parte de la hiperbola de ecuacionx2 y2= a2contenida en el primer cuadrante,el ejeOXy la recta que pasa por el origen y por alg un punto de la hiperbola.49. Hallar el area de la porcion de plano limitada por la circunferencia de ecuacion =a cos y las rectas de ecuaciones = 0 y = /3.50. Hallarel areadelaporciondeplanolimitadaporlalemniscatadeecuacion2=a2cos 2.51. Hallar el area de la porcion de plano limitada por un bucle de la rosa de tres petalos = asen3.58 CALCULO INTEGRAL FernandoArenasDaza52. Hallar el areadelaporciondeplanolimitadapor unbucledelalemniscatadeBernouilli de ecuacion2= 2a2cos 2 y por la circunferencia de ecuacion = a.53. Hallar el area de la porcion de plano limitada por un bucle de la curva:(x2+y2)2= 4a2x2y2.(Usar coordenadas polares.)54. Hallar el area total de la porcion de plano limitada por la curva de ecuaciones:(x2+y2)2= 4a2x2+ 4b2y2.(Usar coordenadas polares.)55. Calcular el area dentro del crculo de ecuacion = 6 cos y fuera de la cardioide deecuacion = 2(1 + cos )56. Calcular el volumen que generan las siguientes porciones de plano, limitadas por lascurvas de ecuaciones dadas por:(i) ay2= x , y = 0 , x = a.(ii) y = x26x , y = 0.(iii) Un arco dey = cos 2x.(iv) (x 8)2+ (y 5)2= 9.al rotar en torno al ejeOY .57. Dada la region del primer cuadrante del plano, encerrada por las parabolas de ecua-cionesy2=4xey2=5 x, determinarel volumengeneradoporellaal rotarentorno de cada uno de los ejes coordenados.58. Hallar el volumen del solido formado al hacer girar en torno al ejeOX la gura planalimitadaporlacisoidedeecuaciony2=x32a x, larectadeecuacionx=2aylarecta de ecuaciony = 0.59. Hallar el volumen del anillo solido formado al hacer girar la elipse de ecuacion:b2(x d)2+a2y2= a2b2, (d > a)en torno al ejeOY .60. Calcularel volumengeneradoporunacircunferenciamovil cuyoplanopermaneceperpendicular al eje mayor de la elipse de ecuacionb2x2+a2x2= a2b2y cuyo centroesta en esa elipse y su borde toca al eje mayor de esta.61. CalcularelvolumengeneradoporuntriangulomovilquetieneunverticeenelejeOY , otro en una circunferencia de radioa con centro en el origen y contenida en elplano(XOY )yelterceroenlarectacontenidaenelplano(Y OZ), paralelaalejeOYy que distah de este.62. Determinar el volumen de revolucion que se obtiene al rotar, en torno del ejeOYala bruja de Agnesi de ecuacionx =8a34a2+y2.63. Hallar el volumen encerrado por el elipsoide de ecuacionx2a2+y2b2+z2c2= 1 .Captulo1: Laintegral denida 5964. La base de un solido es un crculo de radioa. Todas las secciones perpendiculares aun diametro jo de la base son cuadrados. Hallar el volumenn de este solido.65. Al expresar, en terminos de una integral, el volumen V que se genera al rotar el arcoC : y = f(x), cona x b, en torno de la recta que no lo tocay = mx +n resulta:V =(1 +m2)32_ba(mx f(x) +n)2dx .66. Utilizando el ejercicio anterior obtener:(i) El volumenV que se genera al rotar el arco de curva de ecacionC : y =x, con0 x 1, en torno de la recta de ecuaciony = x.(ii) El volumenVquesegeneraal rotar el arcodecurvadeecacionC: y =125_x225, con 5 x 13, en torno de la recta de ecuaciony =125x.67. Hallar la longitud del arco de la parabola de ecuacionx2= 2pycomprendido desdeel vertice a un extremo del latus rectum.68. Encontrar el centro de gravedad del arco:y =x36+12x1 x 2 .69. Siendo 0 < x